E + m. m + E 2m (σ p)/(2m) v. i( p) x = v(p, 97/389

Transcript

1 97/389 Χρησιμοποιώντας τον ίδιο νορμαλισμό N = E + m έχουμε vp, s = σ p E + m E +m χs χ s, s =, 2 και ψ = vp, se i p x = vp, se ip x με p = E, p. Η επιλογή είναι χ = και χ 2 = γιατί η απουσία ενός άνω spin ηλεκτρονίου με αρνητική ενέργεια ισοδυναμεί με παρουσία ποζιτρονίου με κάτω spin με θετική ενέργεια. Άσκηση 2 Δείξτε ότι πράγματι η εξίσωση Dirac περιγράφει εσωτερική στροφορμή /2. Δηλαδή, δείξτε ότι η χαμιλτονιανή δεν μετατίθεται με τη στροφορμή L αλλά με τον τελεστή L + 2 Σ Στη μη σχετικιστική προσέγγιση η κάτω συνιστώσα του 4-spinor είναι κατά v/c μικρότερη από την άνω συνιστώσα: m + E 2m σ p/2m v.

2 Άσκηση 2 Δείξτε ότι στη μη σχετικιστική προσέγγιση η εξίσωση του Dirac καταλήγει στην εξίσωση του Pauli παρουσία ηλεκτρομαγνητικού πεδίου A µ = V, A [ p + ea 2 E + ev mψ A = + e ] 2m 2m σ B ψ A Από τον όρο e 2mσ B βλέπουμε ότι υπάρχει μια εσωτερική στροφορμή του ηλεκτρονίου. Ας θυμηθούμε ότι μαγνητική ροπή m, σε μαγνητικό πεδίο B έχει ενέργεια m B. Φορτίο q, μάζας M έχει μια μαγνητική ροπή m = q 2 M L όπου L η στροφορμή. Άρα, ο όρος e e e 2M σ B = 2M 2S B = 2 2M S B όπου S = 2σ αντιστοιχεί σε μια ιδιοστροφορμή του ηλεκτρονίου. Η αντίστοιχη μαγνητική ροπή είναι m = e 2M 2S = 2 e 2M S. Δηλαδή ο συντελεστής μποστά από το S είναι διπλάσιος από αυτόν της στροφορμής L q 2 m L B. 98/389

3 Η δικαιολόγηση του συντελεστή 2 θεωρείται από τους θριάμβους της εξίσωσης του Dirac. Αντισωματίδια Οπως έχουμε ήδη πει οι δύο λύσεις e ipx u,2 p αντιστοιχούν στο ελεύθερο ηλεκτρόνιο με E, p. Το αντι-ηλεκτρόνιο θα περιγραφεί από τις άλλες δύο λύσεις. Μένουμε πάντοτε στην περιγραφή: αντιηλεκτρόνιο με E και p περιγράφεται από ηλεκτρονική λύση με E και p 99/389 e i px u 3,4 p e ipx v 2, p με p E >. Το v είναι ο spinor του ποζιτρονίου. Ας δούμε ποια εξίσωση πληροί το v p/ mup = p/ mu p = p/ + mvp = Στα διαγράμματα Feynman συνεχίζουμε την ίδια τακτική: εισερχόμενο εξερχόμενο ποζιτρόνιο αντικαθίσταται από εξερχόμενο εισερχόμενο ηλεκτρόνιο. Προσοχή θέλει η ελικότητα. Οταν p p και σ σ, η ελικότητα 2σ ˆp δεν αλλάζει.

4 /389 Ηλεκτρόνιο σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο πληροί την εξίσωση [γ µ i µ + ea µ m] ψ =. Πώς θα γράψουμε την αντίστοιχη εξίσωση για το ποζιτρόνιο. Θα πρέπει να καταλήξουμε σε μια παρόμοια με αλλαγή του προσήμου του φορτίου. Από την συζηγή της παραπάνω εξίσωσης έχουμε πολλαπλασιάζοντας από αριστερά με C και εισάγοντας τον όρο C C μετά το γ [γ µ i µ + ea µ m] ψ = [ γ µ i µ ea µ m] ψ = [ C γ µ C i µ ea µ m ] C ψ = Θα πρέπει λοιπόν να βρεθεί ένας πίνακας C τέτοιος ώστε C γ µ C = γ µ. Συνηθίζουμε να γράφουμε C = Cγ. Άρα θα πρέπει Cγ γ µ = γ µ Cγ. Αν λοιπόν ορίσουμε ψ C C ψ = Cγ ψ = C ψ T, το ψ C υπακούει την εξίσωση [iγ µ µ ea µ m] ψ C = Άσκηση 22 Δείξτε ότι με την συγκεκριμένη μορφή των πινάκων γ, η μορφή Cγ = iγ 2 πληροί την συνθήκη Cγ γ µ = γ µ Cγ.

5 /389 Άσκηση 23 Δείξτε ότι ισχύουν οι σχέσεις C γ µ C = γ µ T, C = C = C = C T, ψ C = ψ T C. Ας δούμε τη δράση του iγ 2 πάνω σε ένα συγκεκριμένο spinor: [ ] ψ C = iγ2 e ipx u p = e ipx iσ2 iσ 2 = e ipx σ iσ p 2 E+m iσ 2 σ p E+m = Αλλά { σ 2 σ σ2 σ,3 = = σ 2σ,3 = σ,3 σ 2 σ 2 σ2 = σ 2σ 2 } = σσ 2

6 2/389 Άρα = e ipx = e ipx ψ C σ p E+m = eipx σ p E+m iσ 2 iσ 2 σ p E+m = eipx = e i px u 4 p = e ipx v p Ξαναγράφουμε, συμπερασματικά, = = σ p E +m = ψ C = iγ2 [ e ipx u p] = e ipx u 4 p = e ipx v p

7 Το ηλεκτρικό ρεύμα είναι j µ = e ψγ µ ψ για το ηλεκτρόνιο. Οπότε, το ρεύμα για το ψ C θα είναι j µ C = e ψ C γ µ ψ C. Αυτό γράφεται ψ C = ψ T C j µ C = e ψ C γ µ ψ C = +eψ T C γ µ ψ C = = +eψ T C γ µ Cγ ψ = eψ T γ µt C Cγ ψ = = eψ T γ µt γ ψ = eψ T γ µt γ T ψ = T = +e ψ γ γ ψ µ = +e ψγ µ ψ Η αλλαγή προσήμου στην προτελευταία ισότητα είναι σημαντική. Επιβάλλεται από την σχέση στατιστικής-spin. Στην κβαντική θεωρία πεδίου παρουσιάζεται λόγω της αντιμεταθετικότητας των φερμιονικών τελεστών ψ. Στην θεωρία πεδίου ο τελεστής της συζυγίας φορτίου μετατρέπει ένα ηλεκτρόνιο θετικής ενέργειας σε ένα ποζιτρόνιο θετικής ενέργειας. Το αποτέλεσμα είναι ότι θα πρέπει να εισάγουμε με το χέρι ένα αρνητικό πρόσημο σε κάθε διάγραμμα Feynman που περιέχει ένα αρνητικής ενέργειας ηλεκτρόνιο στην τελική κατάσταση. 3/389

8 Ο τελεστής Cγ κατασκευάζει κυματοσυναρτήσεις ποζιτρονίου. Αν ο αντίστοιχος τελεστής του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου μετατρέπει A µ A µ τότε η εξίσωση Dirac παραμένει αναλλοίωτη 4/389 [γ µ i µ + ea µ m] ψ = [γ µ i µ ea µ m] ψ C = ηλεκτρόνιο θετικής ποζιτρόνιο θετικής ενέργειας ενέργειας spin άνω spin άνω Τώρα βλέπουμε την αναλλοίωτητα φορτίου για τις ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις j C µ A µ C = j µ A µ = j µ A µ Νορμαλισμός των spinors και σχέσεις πληρότητας Θα νορμαλίσουμε όπως και με τα μποζόνια: 2E σωματίδια ανά μονάδα όγκου. Από το ρεύμα πιθανότητας j µ = ψγ µ ψ παίρνουμε την πυκνότητα πιθανότητας ρ = ψγ ψ = ψ γ γ ψ = ψ ψ.

9 Οπότε ρ dv = ψ ψ dv = u u = 2E μονάδα όγκου για τις λύσεις με θετικές ενέργειες. Το u δίνεται από τη σχέση χ s u = N σ p E+m χs όπου χ s = ή. Βέβαια, αυτό αντιστοιχεί με ορμή στον άξονα των z, αλλά γνωρίζουμε ότι με μια κατάλληλη στροφή μπορούμε να πάμε σε οποιαδήποτε διεύθυνση ενεργώντας πάνω στο u με τον τελεστή expiσ ˆnθ/2. Τα δύο χ είναι νορμαλισμένα στην μονάδα και ορθογώνια. Επομένως, για s = ή 2, χ s u u = N 2 χ s = N 2 + χ s σ p E + m p 2 E + m 2 σ p E+m χs = N 2 2E E + m = 5/389

10 Επομένως, N = E + m. Εύκολα φαίνεται ότι το ίδιο θα ισχύει και για τους spinors v με αρνητική ενέργεια. Το u υπακούει την εξίσωση Dirac: iγ µ µ m ψ = γ µ p µ mu = p/ mu = Ποια είναι η αντίστοιχη εξίσωση για το ū; Παίρνουμε τη συζηγή της προηγούμενης σχέσης και πολλαπλασιάζουμε με γ από δεξιά u p µ γ µ m = u p µ γ µ γ mγ = u p µ γ γ µ mγ = ū p/ m = μιας και γνωρίζουμε ότι γ γ µγ = γ µ. Ομοια, από την εξίσωση που πληροί το v: p/ + mv = παίρνουμε vp/ + m =. Τώρα, μπορούμε να δείξουμε τις σχέσεις ū s u s = 2m και v s v s = 2m, s =, 2 Ας δείξουμε την πρώτη σχέση. Πολλαπλασιάζουμε την p/ mu = με ūγ από αριστερά και την ū p/ m = με γ u από δεξιά, και αθροίζουμε 6/389

11 7/389 ūγ p/ mu = ū p/ m γ u = } ū γ p/ + p/γ u 2mūγ u = 2p ūu 2mu u = ūu = m E u u = 2m μιας και u u = 2E. Ομοια δείχνεται και η δεύτερη σχέση για τα v. Άσκηση 24 Δείξτε τις σχέσεις πληρότητας u s pū s p = p/ + m, v s p v s p = p/ m s=,2 Άσκηση 25 Δείξτε ότι p/p/ = p 2 Άσκηση 26 Δείξτε ότι οι τελεστές s=,2 Λ + = p/ + m 2m, Λ = p/ + m 2m προβάλλουν τις καταστάσεις θετικής και αρνητικής ενέργειας αντίστοιχα. Ελέγξτε ότι, ως προβολικοί τελεστές, υπακούουν στους κανόνες: Λ 2 ± = Λ ± και Λ + + Λ =.