Charge Conjuga,on. Μπορούμε να περιγράψουμε την κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου σε. ελεύθερου σωματίδιου ως:

Transcript

1 Charge Conjuga,on Μπορούμε να περιγράψουμε την κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο αντικαθιστώντας την ορμή και την ενέργια του ελεύθερου σωματίδιου ως: χρησιμοποιώντας τους τελεστές καταλήγουμε σε και η εξίσωση Dirac ( ) παίρνει την μορφή: Παίρνοντας την μιγαδική συζυγή και πολλαπλασιαζοντας από αριστερά με Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1

2 Charge Conjuga,on Εύκολα βλέπει κανείς ότι: και και τελικά (D14) Ορίζουμε τον charge conjugazon τελεστή ως Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 2

3 Συγκρίνοντας με την εξίσωση Dirac για σωμάτιο με φορτίο e συμπεραίνουμε ότι ο spinor περιγράφει σωμάτιο με αντίθετο φορτίο, - e, δηλαδή περιγράφει αντισωμάτιο! spinor σωματιδίου spinor αντισωματιδίου

4 Ας εξετάσουμε πιο αναλυτικά spinor σωματιδίου spinor αντισωματιδίου Εξετάσετε την δράση του τελεστή πάνω στη κυματοσυνάρτηση ελεύθερου σωματιδίου δηλαδή και ομοίως Με την δράση του τελεστή charge conjugazon, οι spinors και! μετασχηματίζονται στους spinors αντισωματιδίων και! Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 4

5 Ανακεφαλαίωση των Λύσεων της Εξίσωσης Dirac Οι κανονικοποιημένες λύσεις για ελεύθερα ΣΩΜΑΤΙΑ της εξίσωσης Dirac: ικανοποιεί με Οι λύσεις ANTIΣΩΜΑΤΙΩΝ που αντιστοιχούν στην μετρoύμενη ενέργεια και ορμή: ικανοποιεί με Για τις καταστάσεις αντισωματίου και για όλες τις λύσεις: Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 5

6 Εν γένει οι spinors Spin States ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ιδιοκαταστάσεις του Ωστόσο, όταν τοσωμάτιο/αντισωμάτιο κινείται κατά τον z- άξονα: ΕΙΝΑΙ ιδιοκαταστάσεις του Προσοχή στην αλλαγή προσήμου Στην περίπτωση των spinors αντισωματίων z! z! Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 6

7 Τι έχουμε και τι μας χρειάζεται Βρήκαμε λύσεις της εξίσωσης Dirac που είναι ιδιοτιμές του που κινούνται παράλληλα με τον z αξονα. Ωστόσο αυτή η βάση ιδιοκαταστάσεων δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιμη αλλά μόνο για σωμάτια Εν γένει θα θέλαμε να χρησιμοποιούμε καταστάσεις που αντιστοιχούν σε καλούς κβαντικούς αριθμούς, δηλαδή σε τελεστές που αντιστοιχούν σε διατηρήσιμα μεγέθη. Προφανώς δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την z συνιστώσα του spin, διότι: Θα εισάγουμε την έννοια της ελικότητας, HELICITY Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 7

8 Helicity Μπορείτε να δείξετε (... Να το δείξετε!) ότι η συνιστώσα του spin κατά την διεύθυνση της ορμής, αντιμετατίθετε με την Hamiltonian της Dirac Ορίζουμε ως HELICITY τον ακόλουθο τελεστή που αντιμετατίθεται με την H: Οι ιδιοτιμές της z συνιστώσας του spin, για κάθε επιλογή άξονα z, παίρνουν τιμές Συνεπώς οι ιδιοτιμές του τελεστή ελικότητας θα είναι: Συνήθης χαρακτηρισμός: right- handed le - handed Προσοχή: RIGHT- HANDED και LEFT- HANDED HELICITY ιδιοκαταστάσεις Αργότερα θα ορίσουμε RH και LH CHIRAL ιδιοκαταστάσεις. Μόνο στο όριο οι HELICITY και CHIRAL ιδιοκαταστάσεις ταυτίζονται Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 8

9 Ιδιοκαταστάσεις της Helicity Αναζητούμε λύσεις της εξίσωσης Dirac, οι οποίες να είναι επίσης ιδιοκαταστάσεις Helicity: όπου και είναι right και le handed καταστάσεις helicity, όπου εδώ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κατά την διεύθυνση του σωματιδίου. οι σχέσεις ιδιοτιμών μπορούν να γραφούν, ως: ˆp = p p που καταλήγουν σε: (D15) Για σωμάτιο που κινείται σε κατεύθυνση που ορίζεται από τις γωνίες Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 9

10 Γράφοντας είτε ή, η (D15) δίνει τις σχέσεις (For helicity ) Για ΑΜΦΟΤΕΡΕΣ τις συνιστώσες και For the right- handed helicity state, i.e. helicity +1: χρησιμοποιώντας σταθερές αναλογίας κ 1 και κ 2 Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 10

11 (D12) Αλλά από την εξίσωση Dirac (D12), έχουμε επίσης: (D16) Helicity Η (D16) ορίζει την σχετική κανονικοποίηση των και, δηλ. Για κ 1 = 1 Οι καταστάσεις για σωμάτια αρνητικής helicity ευρίσκονται με τον ίδιο τρόπο. Οι καταστάσεις αντισωματίων ευρίσκονται με ίδιο τρόπο, ΑΛΛΑ Βρείτε τις δύο ιδιοκαταστάσεις helicity για τα αντισωμάτια Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 11

12 Οι καταστάσεις σωματιδίου και αντισωματιδίου που είναι λύσεις της Dirac και είναι επίσης ιδιοκαταστάσεις της Helicity, είναι: parzcles anz- parzcles όπου η κανονικοποίηση αντιστοιχεί σε 2E σωμάτια/μον. όγκου Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 12

13 Εσωτερική Parity των Dirac Σωματιδίων Ο μετσχηματισμός parity ορίζεται ως αντιστροφή του προσήμου των χωρικών συντεταγμένων: Ο Dirac spinor, ικανοποιεί την εξίσωση Dirac (D17) Μετά από μετασχηματισμό parity: Δοκιμάζουμε so (D17) αντικαθιστώντας στις παραγώγους : Αλλά μετατίθεται με : Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 13

14 Πολλαπλασιάζοντας από αριστερα με την: Καταλήγουμε ότι Δηλαδή καταλήξαμε στην εξίσωση Dirac στις νέες συντεταγμένες. Δηλαδή, η εξίσωση Dirac για ελέυθερο σωμάτιο μένει αμετάβλητη σε μετασχηματισμό parity, εφόσον οι Dirac spinors μετασχηματίζονται ως: (οι υπολογισμοί μας και τα αποτελέσματαδεν αλλάζουν αν επιλέξουμε )

15 Για ακίνητα σωμάτια ή αντισωμάτια οι λύσεις της εξίσωσης Dirac είναι: με Με απλές πράξεις... γενικά Δηλαδή ένα αντισωμάτιο σε ακινησία έχει αντίθετη parity από ακίνητο σωμάτιο. Επιλογή: τα σωματίδια έχουν θετική parity, και ο τελεστής είναι: Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 15

16 Ανακεφαλαίωση Ξεκινήσαμε την αναζήτηση της QM εξίσωσης που περιγράφει σχετικιστικά σωμάτια με την γραμμική εξίσωση Οι νέοι βαθμοί ελευθερίας : βρέθηκαν να περιγράφουν Spin ½ σωμάτια Με τις 4x4 γάμμα πίνακες η εξίσωση Dirac gr;afetai me thn morf;h: Εισάγαμε το τετραδιάνυσμα του ρεύματος πιθανότητητας και τον adjoint spinor: Αναγκαστικά η εξίσωση Dirac: πρέπει να έχει δύο λύσεις θετικής ενέργειας και δύο λύσεις αρνητικής ενέργειας Η εικόνα Feynman- Stückelberg : οι λύσεις αρνητικής ενέργειας περιγράφουν σωμάτια που διαδίδονται αρνητικά στον χρόνο και αντιστοιχούν με πραγματικά αντι- σωμάτια θετικής ενέργειας που διαδίδονται θετικά στον χρόνο Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 16

17 Οι πλέον χρήσιμες καταστάσεις βάσης: σωμάτια και αντισωμάτια ιδιοτιμές της helicity Δρώντας στους spinors, οι τελεστές του «charge conjugazon» και της «parity» είναι: Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 17

18 Μαγνητική Ροπή Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό στις συζευγμενες εξισώσεις (D12) (A.2) Πολλαπλασιαζοντας με την πρώτη και αντικαθιστούμε την δεύτερη όπου Τ είναι για ασθενή πεδίο φ και στο μη σχετικιστικό όριο όπου η (A.3) γινεται (A.3) (A.4) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 18

19 εάν τότε άρα Αντικαθιστώντας: Λ Λ Αρα η (A.4) καταλήγει στην εξίσωση Schrödinger- Pauli για την κίνηση ενός μη- σχετικιστικού spin ½ σωματιδίου σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 19

20 " Η ενέργεια σε μαγνητικό πεδίο είναι με συνέπεια να ταυτοποιούμε τον όρο που αντιστοιχεί στην μαγνητική ροπή σωματιδίου με spin ½, με τον όρο: Η χρησιμοποιώντας τον: " Κλασικά, για σωμάτιο που διαγράφει κύκλο " Η εσωτερική μαγνητική ροπή spin ½ σωματιδίου Dirac είναι διπλάσια από την κλασικά προβλεπόμεη. Αυτό εκφράζεται με τον γυρομαγνητικό λόγο, για τον οποίο g=2. Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 20

21 Appendix V : TransformaZon of Dirac Current non- examinable The Dirac current plays an important rôle in the descripzon of parzcle interaczons. Here we consider its transformazon properzes. Under a Lorentz transformazon we have and for the adjoint spinor: First consider the transformazon properzes of where giving hence The product is therefore a Lorentz invariant. More generally, the product is Lorentz covariant Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 21

22 Now consider To evaluate this wish to express (A.7) in terms of where we used Rearranging the labels and reordering gives: Hence the Dirac current,, transforms as a four- vector Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 22