Kontaktne fasade ETICS. Kamena vuna. Protupožarna, toplinska i zvučna izolacija.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Kontaktne fasade ETICS. Kamena vuna. Protupožarna, toplinska i zvučna izolacija."

Transcript

1 Kontaktne fasade ETICS Kamena vuna. Protupožarna, toplinska i zvučna izolacija.

2 2

3 je jedan od najvećih proizvođača izolacijskih materijala na svijetu, koji već 80 godina proizvodi i distribuira niz održivih izolacijskih sustava i rješenja za cijelu ovojnicu zgrade. To čini jedinom tvrtkom za izolaciju od kamene vune koja se može pohvaliti dugovječnosti znanja i iskustva u ovom sektoru. Naša izolacijska rješenja temeljena na inovativnom tehnološkom procesu štite ljude od hladnoće, vrućine, opasnosti od požara i buke, poboljšavaju kvalitetu života milijunima ljudi te pomažu ublažiti ekološke izazove, kao što su efekt staklenika, smog i kisele kiše. Vodeći smo u svijetu za rješenja na bazi kamene vune, uključujući izolaciju za zgrade, sustave za zvučnu izolaciju stropova, vanjske fasadne sustave i obloge, hortikulturalna rješenja, specijalna vlakna za industrijsku uporabu, izolaciju koja se primjenjuje u procesnoj industriji te pomorskoj i offshore djelatnosti. Koristeći kamen kao najbogatiji prirodni resurs pomažemo vam svladati kompleksne globalne izazove. Zašto je vulkan naš zaštitni znak? Zato što simbolizira vulkansko podrijetlo kamena, prirodnog resursa od kojeg izrađujemo naša rješenja na bazi kamene vune. Vulkanska stijena je gotovo neiscrpna sirovina u prirodi, koja nam omogućuje razvijanje visoko kvalitetnih, izdržljivih i održivih proizvoda za moderan život koji se mogu u potpunosti reciklirati i pridonijeti rješavanju globalnih izazova. 3

4 Nešto je uistinu zadivljujuće u prirodnoj snazi kamena Otkrijte 7 snaga kamena Otkrivanje tajni utkanih u kamen nije samo naš svakodnevni posao, to je naša strast. Dosad smo tu prirodnu sirovinu uspjeli razložiti na 7 snaga koje su utkane u raznovrsna svojstva kamene vune. To je sedam razloga zbog kojih vjerujemo da se najrasprostranjeniji svjetski resurs može obraditi i oblikovati u jedinstvene, korisne i privlačne proizvode. Primjenom tih 7 snaga na sve što činimo, čvrsto smo uvjereni kako možemo ponuditi rješenja za neke od najvećih izazova današnjice. U Grupi upotrebljavamo prirodnu snagu ovog rasprostranjenog prirodnog resursa za razvoj proizvoda široke primjene, imajući uvijek na umu sljedeći cilj: učiniti ljudske živote sigurnijima, bogatijima, produktivnijima i estetski ugodnijima. Cirkularnost Materijal koji se može ponovno upotrijebiti i reciklirati Otpornost na vatru Podnosi temperature i iznad 1000 C OTKRIJTE LES Dugotrajnost Zadržava svoje karakteristike, svojstva i performanse dugi niz godina Toplinska svojstva Štedi energiju održavanjem optimalne unutarnje temperature i klime SNAGA FORCES KAMENA DE LA ROCHE Estetika Kombiniranje estetike i visokih performansi uz nebrojene mogućnosti Akustična svojstva Blokira, apsorbira ili pojačava zvukove Gospodarenje vodom Omogućava pametno upravljanje našim najdragocjenijim resursom 4

5 6 Zašto kamena vuna? Sadržaj 8 Visoko učinkovit ETICS sustav 9Dvoslojna gustoća - idealno rješenje za kontaktne fasade 10 Detalji izvedbe 14 Nova ETICS paleta proizvoda 15 Frontrock Casa 16 Za više informacija posjetite naše web stranice ili nam pošaljite na info@rockwool.hr Frontrock Max Plus 17 Frontrock Reno 18 Tehničke karakteristike proizvoda Podrška i kontakt Izrađujemo i isporučujemo cijeli niz pametnih i održivih izolacijskih proizvoda za građevinsku industriju koji se temelje na inovativnoj tehnologiji proizvodnje kamene vune. Ukoliko niste sigurni koje proizvode odabrati, imate li tehničkih pitanja, trebate našu pomoć ili savjet oko vašeg projekta, slobodno nas kontaktirajte. Na raspolaganju su vam naši kolege iz prodaje i tehnički savjetnik. 5

6 Zašto kamena vuna? Sigurnost i zaštita Kvaliteta fasadnog sustava podrazumijeva mnogo više od toplinskih karakteristika. Sustav koji odaberete treba osigurati nepromijenjena izolacijska svojstva materijala tijekom cijelog životnog vijeka proizvoda, bez skrivenih rizika za dobrobit vašeg doma. Samo kontaktni fasadni sustavi koji sadrže izolacijski sloj kamene vune najviše kvalitete osiguravaju sigurnost i zaštitu koju očekujete, bez kompromisa % postojećih zgrada je energetski neučinkovito, no primjenom izolacijskih rješenja, te zgrade mogu se obnoviti i postati energetski učinkovite. Udobnost interijera Toplinska provodljivost (λ) samo je jedan od faktora koji utječu na udobnost unutrašnjosti. Zahvaljujući gustoći kamene vune, toplina se zadržava unutar zidova, traje duže vremena i pruža osjećaj udobnosti. Materijal vlaknaste strukture, kao što je kamena vuna, omogućava paropropusnost kontaktnih fasada tako da se vlaga ne zadržava u unutrašnjosti prostora, što je posebno važno za sprječavanje razvoja plijesni unutar zgrade. Uz to, struktura kamene vune pridonosi zvučno izolacijskoj moći konstrukcije zida te smanjuje buku urbanog okruženja. Dugoročna investicija Energetski troškovi u stalnom su porastu te im se ne nazire kraj unatoč globalnoj nestašici energije. Potreba za uštedom energije poznata je većini ljudi, osobito u privatnim kućanstvima gdje postoji ogroman potencijal uštede na troškovima grijanja i hlađenja. Najveći gubici topline događaju se zbog nedovoljno izolirane fasade, stoga je izolacijski sustav s kamenom vunom prirodno rješenje za smanjenje gubitaka energije i povećanje vrijednosti nekretnine. 6

7 Kvaliteta materijala tijekom ugradnje i životnog vijeka proizvoda Kamena vuna dimenzijski je stabilan materijal koji se ne širi i ne smanjuje s promjenama temperature, što je važno uzeti u obzir neovisno o podlozi na koju se postavlja. Izrazito je izdržljiva, ne zahtijeva dodatnu zaštitu od UV zračenja te ne mijenja toplinska i mehanička svojstva pod utjecajem Sunčevih zraka. Zahvaljujući prirodnim svojstvima sirovine, samo kamena vuna može pružiti trajnost i stabilnost cjelokupne fasade tijekom cijelog životnog vijeka proizvoda. Standard niskoenergetskih kuća do godine Kao dio direktive Europske Unije o ukupnoj energetskoj učinkovitosti zgrada, države članice EU postavile su cilj uvođenja standarda zgrada gotovo nulte energije, tzv. Nearly Zero Energy Building (NZEB) do godine. Takav standard niskoenergetskih kuća podrazumijeva visoku razinu toplinske izolacije što smanjuje ukupni gubitak topline kroz vanjsku ovojnicu zgrade, tako da aktivni sustav grijanja gotovo nije potreban. Većina preostalih zahtjeva za toplinom može biti pokrivena pasivnim izvorima topline kao što su Sunce, ljudi, kućanski aparati i slično. 7

8 Visoko učinkovit ETICS sustav Bilo da je riječ o novogradnji ili obnovi, s visokokvalitetnim fasadnim sustavom toplinske izolacije, ostvarite svoj san o udobnosti i sigurnosti vašeg doma. izolacija izrađena je od negorive kamene vune koja u kombinaciji s odgovarajućim građevinskim materijalima osigurava maksimalnu sigurnost, energetsku učinkovitost, trajnost i ekonomičnost. Udobnost i blagostanje započinju već s odgovarajućom omotnicom zgrade. Sve veća potreba za ETICS sustavima gdje su kvaliteta, pouzdani održivi materijali i zaštita od požara nužni, dovodi do odabira sustava temeljenih na izolaciji od kamene vune. Različite zidne konstrukcije i područja primjene zahtijevaju različita izolacijska rješenja. je razvio široku paletu proizvoda koji zadovoljavaju potrebe tržišta za različitim formatima, mehaničkim karakteristikama i svojstvima izolacijskih materijala. Nisu sve fasade jednake Podloga Ljepilo izolacija Armaturni sloj Mrežica Armaturni sloj Osnovni premaz Završna žbuka 8

9 Idealno rješenje za kontaktne fasade zahvaljujući svojstvu dvoslojne gustoće Naša jedinstvena patentirana tehnologija predstavlja najveću inovaciju u proizvodnji kamene vune. Samo proizvodi izolacijske ploče autentične dvoslojne gustoće koja nastaje za vrijeme proizvodnog procesa i bez potrebe za korištenjem ljepila. 2 GUSTOĆE U 1 PLOČI Dvoslojna gustoća u usporedbi sa standardnom gustoćom u svom asortimanu nudi proizvode dvoslojne i standardne gustoće. Međutim, najbolje rješenje za performanse fasade tijekom ugradnje i za životnog vijeka zgrade su proizvodi dvoslojne gustoće. Vanjski površinski sloj naših proizvoda premašuje sve ostale proizvode na tržištu svojstvima čvrstoće i otpornosti prilikom izvedbe armaturnog sloja. Unutrašnji sloj osigurava bolje toplinske performanse, kao i fleksibilnost ploča tijekom instalacije, čime je moguće kompenzirati manje neravnine podloge. Ploče standardne gustoće najbolje je iskoristiti za špalete oko prozora, gdje je potrebna debljina od 2 do 4 cm. Vanjski sloj veće gustoće posebno je označen crtom i uvijek treba biti okrenut prema van. 9

10 Detalji izvedbe Nanošenje ljepila na ploče Ljepilo se na ploče može nanositi na 2 načina. Ljepilo se nanosi s jedne strane ploče, po svim rubovima u trakama širine 5-10 cm te s po tri točke u sredini ploče, promjera cm. Minimalna kontaktna površina između podloge i izolacijske ploče mora biti 40% površine ploče. Kad su površine zidova na koje se postavlja izolacija gotovo potpuno ravne, zbog dimenzijske stabilnosti ploča od kamene vune, može se koristiti i potpuno prekrivno nanošenje nazubljenim gleterom. 2 GUSTOĆE U 1 PLOČI 10

11 Postavljanje ploča Postavljanje ploča kamene vune izvodi se odozdo prema gore s horizontalnim pomakom od približno pola ploče. Prvi red ploča treba biti odignut minimalno 30 cm od okolnog terena. Na uglovima objekta, po visini, ploče se naizmjenice preklapaju, odnosno izvodi se tzv. vez na češalj. Spojnice (fuge) izolacijskih ploča ne smiju biti u liniji s rubovima otvora zbog povećanih naprezanja na uglovima koja mogu uzrokovati pukotine. Iz istog razloga, potrebno je i dodatno armirati uglove otvora u armaturnom sloju. 11

12 Izvedba oko otvora Pri izvedbi kontaktnih fasada veliku pozornost treba obratiti i na izvedbu detalja. Pravilno izvedeni detalji spojeva bitno utječu na trajnost i funkcionalnost kontaktnih fasada. Jedan takav primjer je spoj izolacije i prozora. Ukoliko detalj nije pravilno izveden može doći do pojave kondenzacije vlage u prostoru. Za ispravnu izvedbu izolacije prozorske špalete koriste se izolacijske ploče standardne gustoće Fasrock/ Frontrock debljine od 2 do 4 cm. 12

13 Izvedba pričvrsnica fasadne ploče mehanički se pričvršćuju pričvrsnicama koje moraju prolaziti kroz sloj ljepila između ploče i podloge. Prema HUPFAS-ovim* smjernicama preporučena je izvedba W sheme pričvrsnica. Rub rozete pričvrsnice mora biti odmaknut 5 cm od ruba ploče, a ukupni broj pričvrsnica koje su potrebne za pričvršćivanje ovisi o opterećenju vjetrom i nosivosti odabrane pričvrsnice na podlozi. *Hrvatska udruga proizvođača toplinsko-fasadnih sustava Ukoliko je površinska izvedba pričvrsnica, gornja površina rozete mora biti u istoj ravnini s površinom izolacijske ploče. Iz tog razloga, zbog preciznije izvedbe, preporuka je koristiti pričvrsnice s vijkom, no moguće je koristiti i udarne pričvrsnice. Ukoliko je zahtijevana upuštena ugradnja pričvrsnica, preporuča se proizvod Frontrock Reno. Prilikom upuštene ugradnje za ostale proizvode potrebno je korisiti dodatni element za pričvršćivanje. 13

14 Nova ETICS paleta proizvoda stvorena je na način da odgovara vašim specifičnim potrebama i tipu gradnje 14

15 Frontrock Casa Izolacija s najboljom toplinskom provodljivosti Dizajniran posebno za obiteljske kuće, naš proizvod Frontrock Casa predstavlja najbolji odabir za toplinsku učinkovitost. Koristeći jedinstvenu tehnologiju dvoslojne gustoće, izolacijske ploče Frontrock Casa objedinjuju optimalnu gustoću i odgovarajuće mehaničke karakteristike za izolaciju obiteljskih kuća. Zahvaljujući patentiranoj tehnologiji dvoslojne gustoće u jednoj ploči, kamena vuna je najodrživije rješenje, uz odgovarajući omjer gustoće materijala i tehničkih performansi. Standardna mehanička svojstva Izvrsna toplinska svojstva Odgovarajuća vanjska površina za izvedbu armaturnog sloja λ D =0,034 W/(mK) 15

16 Frontrock Max Plus Najbolji spoj toplinskih i mehaničkih svojstava Naš najbolji i najprodavaniji proizvod za kontaktne fasade, Frontrock Max Plus spoj je optimalnih toplinskih i mehaničkih karakteristika. Prikladan za svaki tip gradnje i proizveden našom jedinstvenom tehnologijom dvoslojne gustoće, Frontrock Max Plus premašit će vaše zahtjeve i očekivanja. Zahvaljujući patentiranoj tehnologiji dvoslojne gustoće u jednoj ploči, kamena vuna je najodrživije rješenje, uz odgovarajući omjer gustoće materijala i tehničkih performansi. Odlična mehanička svojstva Odlična toplinska svojstva Najbolja vanjska površina za aplikaciju armaturnog sloja λ D =0,035 W/(mK) 16

17 Frontrock Reno Izolacija s najboljim mehaničkim karakteristikama U situacijama gdje su potrebne posebne mehaničke karakteristike, Frontrock Reno je nenadmašan. Zahvaljujući izvanrednoj gustoći površine, ovaj izolacijski proizvod omogućava mehanička svojstva kao niti jedan drugi proizvod na tržištu. Frontrock Reno je prikladan za svaki tip gradnje, naročito prilikom obnova ili kada se radi o posebnim zahtjevima za mehaničkom otpornosti. Izvrsna mehanička svojstva Standardna toplinska svojstva Izvrsna gornja površina za aplikaciju armaturnog sloja λ D =0,036 W/(mK) 17

18 Tehničke karakteristike svih proizvoda Reakcija na požar Deklarirana toplinska provodljivost Tolerancija debljine Tlačna čvrstoća kod 10% deformacije Delaminacijska čvrstoća Točkasto opterećenje pri 5 mm deformacije Norma Frontrock Casa Frontrock Max Plus Frontrock Reno Fasrock/Frontrock HRN EN A1 A1 A1 A1 HRN EN λ D = 0,034 W/[mK] λ D = 0,035 W/[mK] λ D = 0,036 W/[mK] λ D = 0,039 W/[mK] HRN EN mm / + 3 mm - 1 mm / + 3 mm - 1 mm / + 3 mm - 1 mm / + 3 mm HRN EN 826 σ 10 = 10 kpa σ 10 = 15 kpa σ 10 = 30 kpa σ 10 = 40 kpa HRN EN 1607 σ mt = 5 kpa σ mt = 7,5 kpa σ mt = 10 kpa σ mt = 15 kpa HRN EN NPD* Fp = 200 N Fp = 500 N NPD Paropropusnost HRN EN μ = 1 μ = 1 μ = 1 μ = 1 Kratkotrajna vodoupojnost Dugotrajna vodoupojnost HRN EN kg/m 2 1 kg/m 2 1 kg/m 2 1 kg/m 2 HRN EN kg/m 2 3 kg/m 2 3 kg/m 2 3 kg/m 2 Talište HRN DIN 4102 > 1000 C > 1000 C > 1000 C > 1000 C Gustoća Dvoslojna gustoća Dvoslojna gustoća Dvoslojna gustoća Standardna gustoća *NPD - No performance declared, svojstvo nije određeno 18

19 Dimenzije proizvoda i podaci o pakiranju Frontrock Casa Debljina (mm) Dužina x širina (mm) 1200 x 600 m 2 / pakiranje 3,60 3,60 2,88 1,44 1,44 1,44 1,44 1,44 1,44 m 2 / paleta 28,80 21,60 17,28 14,40 11,52 11,52 11,52 8,64 8,64 Frontrock Max Plus Debljina (mm) Dužina x širina (mm) 1200 x 600 m 2 / pakiranje 3,60 3,60 3,60 2,88 1,44 1,44 1,44 1,44 1,44 1,44 m 2 / paleta 36,00 28,80 21,60 17,28 14,40 11,52 11,52 11,52 8,64 8,64 Frontrock Reno Debljina (mm) Dužina x širina (mm) 1000 x 600 m 2 / pakiranje 3,00 2,40 2,40 2,40 2,40 1,20 1,80 1,20 1,20 1,20 m 2 / paleta 24,00 19,20 19,20 14,40 14,40 12,00 10,80 9,60 7,20 7,20 Fasrock/Frontrock za špaletne elemente dostupan je u dimenziji ploče 1000 x 600 mm i debljinama od 20, 30 i 40 mm. Ostale debljine proizvoda dostupne na upit. 19

20 HR Predano radimo kako bismo svima vama olakšali izazove suvremenog života. Koristeći kamen, nepresušnu prirodnu sirovinu, ostavljamo trajan trag kroz generacije. Kamena vuna poboljšava rad i dobrobit ljudi na mnoštvo različitih načina. Naša rješenja znatno utječu na obogaćivanje ljudskih života koji postaju još produktivniji i ljepši. Možda nikada nećete vidjeti ove tajne skrivene u modernom svijetu, a i ne morate. Ponosni smo što osjećate njihov učinak svakoga dana. Pravna napomena: Ovaj dokument nudi općenite informacije o proizvodima koji su na raspolaganju na tržištima tvrtke Adriatic d.o.o.. Općenite informacije nisu jamstvo za tehničke parametre određenog proizvoda. Ti su parametri na raspolaganju u našim tehničkim i prodajnim službama koje na zahtjev kupca dostavljaju odgovarajuće podatke i pripadajuće ateste za pojedine proizvode. Reklamacije koje se pozivaju na ovaj dokument i navode u njemu su bez osnova i unaprijed ih odbacujemo. Zadržavamo pravo izmjene sadržaja u dokumentu u bilo koje vrijeme bez prethodne najave. ADRIATIC d.o.o. Ured prodaje Radnička cesta 80 HR Zagreb Tel Fax Sjedište i proizvodnja Poduzetnička zona Pićan Jug 130, Zajci HR Potpićan

Opšte KROVNI POKRIVAČI I

Opšte KROVNI POKRIVAČI I 1 KROVNI POKRIVAČI I FASADNE OBLOGE 2 Opšte Podela prema zaštitnim svojstvima: Hladne obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina, Tople obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina i prodora hladnoće

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Knauf zvučna zaštita. Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja. Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje

Knauf zvučna zaštita. Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja. Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje Knauf zvučna zaštita Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje Knauf ploče Gipsana Gipskartonska Gipsano jezgro obostrano ojačano

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Cjenik građevinskih izolacija i folija Izolacija za bolje sutra

Cjenik građevinskih izolacija i folija Izolacija za bolje sutra Cjenik građevinskih izolacija i folija 2018 Izolacija za bolje sutra Toplinska i zvučna izloacija za dugoročno održivu gradnju Odlična toplinska izolacija Odlična zvučna izolacija Negoriva - klasa A1 Paropropusna

Διαβάστε περισσότερα

Cenovnik spiro kanala i opreme - FON Inžinjering D.O.O.

Cenovnik spiro kanala i opreme - FON Inžinjering D.O.O. Cenovnik spiro kanala i opreme - *Cenovnik ažuriran 09.02.2018. Spiro kolena: Prečnik - Φ (mm) Spiro kanal ( /m) 90 45 30 Muf/nipli: Cevna obujmica: Brza diht spojnica: Elastična konekcija: /kom: Ø100

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Srednjenaponski izolatori

Srednjenaponski izolatori Srednjenaponski izolatori Linijski potporni izolatori tip R-ET Komercijalni naziv LPI 24 N ET 1) LPI 24 L ET/5 1)2) LPI 24 L ET/6 1)2) LPI 38 L ET 1) Oznaka prema IEC 720 R 12,5 ET 125 N R 12,5 ET 125

Διαβάστε περισσότερα

TOPLINSKA IZOLACIJA REV. 01/15

TOPLINSKA IZOLACIJA REV. 01/15 TOPLINSKA IZOLACIJA REV. 01/15 1 PROIZVODNJA SUSTAVA TOPLINSKE I ZVUČNE IZOLACIJE, VODONEPROPUSNIH SUSTAVA I OSTALIH ELEMENATA ZA GRADITELJSTVO Isosystem je dinamična tvrtka koja proizvodi ventilirane

Διαβάστε περισσότερα

Baumit Star. Kvaliteta života. Ideje budućnosti.

Baumit Star. Kvaliteta života. Ideje budućnosti. Baumit Star Kvaliteta života Ideje budućnosti. Baumit Star POUZDANOST I ISKUSTVO Ulaganje u budućnost Baumit Star sistem je ulaganje u bezbrižnu budućnost. Ugradnjom Star sistema smanjuju se troškovi grijanja

Διαβάστε περισσότερα

kvantni skok učinkovitosti gradnje

kvantni skok učinkovitosti gradnje kvantni skok učinkovitosti gradnje IZOLATIVNOST Okoliš Požar Jamstvo do 20% poboljšanje toplinske UČINKOVITOSTI Otkrijte napredak u tehnologiji izolacijskih panela: ipn-quadcore.co.uk #itsinthecore 40godina

Διαβάστε περισσότερα

Kombinirana protupožarna pregrada od morta PROMASTOP -VEN. Popis pozicija

Kombinirana protupožarna pregrada od morta PROMASTOP -VEN. Popis pozicija 0 EI 0 3 3 Tablica Dimenzije pregrada od protupožarnog morta za protupožarno brtvljenje Situacija ugradnje 3 0 površine s mortom Detalj A Kombinirano protupožarno brtvljenje mortom u lakom pregradnom zidu

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

KOSI KROV Izolacija između i ispod greda Airrock LD, ND Multirock Izolacija iznad greda Hardrock Energy Durock Monrock MAX E

KOSI KROV Izolacija između i ispod greda Airrock LD, ND Multirock Izolacija iznad greda Hardrock Energy Durock Monrock MAX E Katalog proizvoda 1 KOSI KROV Izolacija između i ispod greda Airrock LD, ND Multirock Izolacija iznad greda Hardrock Energy Durock Monrock MAX E KONTAKTNA FASADA (ETICS) Frontrock MAX E RAVNI KROV Monrock

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Pločasta i cjevna izolacija od elastomernog kaučuka

Pločasta i cjevna izolacija od elastomernog kaučuka K a t a l o g p r o i z v o d a Pločasta i cjevna izolacija od elastomernog kaučuka 2 Rubaflex cjevna izolacija................................ Str 4 Rubaflex izolacija u ploči...............................

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

YTONG MULTIPOR mineralno izolacijske ploče

YTONG MULTIPOR mineralno izolacijske ploče Tehnička uputa YTONG MULTIPOR mineralno izolacijske ploče Dimenzije Širina x duljina mm Debljina mm Mineralna izolacijska ploča Ytong Multipor 600 x 500 50, 75, 100, 125, 150, 200 Utrošak materijala/m

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Zaštitni znak tvrtke Ravago S.A.

Zaštitni znak tvrtke Ravago S.A. RAVATHERM XPS Općenito o proizvodu A RAVATHERM XPS je toplinska izolacija od polistirenske pjene sa strukturom zatvorenih ćelija, proizvedena najsuvremenijom tehnologijom 21. stoljeća. Modra pjena proizvedena

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Izolacija kosih krovova i potkrovlja

Izolacija kosih krovova i potkrovlja Izolacija kosih krovova i potkrovlja Izolirani krov je ušteđen novac! Važne vrijednosti za izoliranje krova: U-vrijednost: U-vrijednost opisuje koja se količina topline gubi po 1 m 2 krova kod pada (razlike)

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V

H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V Vodič: Cu klase Izolacija: PVC H07V-U HD. S, IEC 7-5, VDE 08- P JUS N.C.00 450/750 V 500 V Minimalna temperatura polaganja +5 C Radna temperatura -40 C +70 C Maksimalna

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Toplinska izolacija. Fasadni sustavi. Najveća ušteda energije. Ideje budućnosti.

Toplinska izolacija. Fasadni sustavi. Najveća ušteda energije. Ideje budućnosti. Fasadni sustavi Najveća ušteda energije Ideje budućnosti. Sadržaj 2 3 Uvod 4 Klimatske promjene 5 Zadržimo energiju u kući 6 Toplinski mostovi 8 Obnovljiva energija 12 Toplinska 14 Fasadni sustavi Baumit

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog

Διαβάστε περισσότερα

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo

Διαβάστε περισσότερα

Klima uređaji renomiranog proizvođača. predstavljaju vrhunac ponude split i multisplit sustava za grijanje i hlađenje.

Klima uređaji renomiranog proizvođača. predstavljaju vrhunac ponude split i multisplit sustava za grijanje i hlađenje. Klima uređaji renomiranog proizvođača predstavljaju vrhunac ponude split i multisplit sustava za grijanje i hlađenje. www.mariterm.hr GRIJANJE HLAÐENJE info@mariterm.hr K L I M AT I Z A C I J A Ugodna

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

UVOD ZAVRŠNO DEKORATIVNE ŽBUKE SUSTAVI TOPLINSKE IZOLACIJE - ETICS SUSTAVI OBNOVI FASADU TOPLINSKI SUSTAVI KERAMIČARSKI RADOVI PODLOŽNE ŽBUKE

UVOD ZAVRŠNO DEKORATIVNE ŽBUKE SUSTAVI TOPLINSKE IZOLACIJE - ETICS SUSTAVI OBNOVI FASADU TOPLINSKI SUSTAVI KERAMIČARSKI RADOVI PODLOŽNE ŽBUKE UVOD ZAVRŠNO DEKORATIVNE ŽBUKE Sadržaj Predpremazi Završne mineralne žbuke Završne pastozne žbuke Završne žbuke za podnožja Vanjske boje Unutarnje boje Cjenovne grupe SUSTAVI TOPLINSKE IZOLACIJE - ETICS

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

ZAŠTO IZOLIRATI? 3 SIGURNOSNI ASPEKTI IZOLACIJSKIH MATERIJALA 8 ECOSE TECHNOLOGY: PIKA? NE, VIŠE NE PIKA! 10 IZOLACIJA FASADE 13

ZAŠTO IZOLIRATI? 3 SIGURNOSNI ASPEKTI IZOLACIJSKIH MATERIJALA 8 ECOSE TECHNOLOGY: PIKA? NE, VIŠE NE PIKA! 10 IZOLACIJA FASADE 13 Škola Izoliranja Edukativni časopis o izoliranju I 2015. IZDVAJAMO IZ SADRŽAJA ZAŠTO IZOLIRATI? - str. 3 Osim uštede, izolacija donosi i niz drugih dobrobiti. Provjerite koje! IZOLACIJA FASADE - str. 13

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

ZVUK ROCKWOOL ZVUČNA IZOLACIJA ZA UDOBNIJI I MIRNIJI ŽIVOT

ZVUK ROCKWOOL ZVUČNA IZOLACIJA ZA UDOBNIJI I MIRNIJI ŽIVOT ZVUK ROCKWOOL ZVUČNA IZOLACIJA ZA UDOBNIJI I MIRNIJI ŽIVOT 1 ZVUK Što nam narušava kvalitetu života, nevidljivo je i neopipljivo, nema boje, mirisa i okusa, a sveprisutno je? Koja je to vrsta zagađenja

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE **** MLADEN SRAGA **** 0. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE α LOGARITMI Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga

Διαβάστε περισσότερα

Porotherm IZO Profi. Asortiman Porotherm IZO Profi opeke punjene kamenom vunom i upute za obradu

Porotherm IZO Profi. Asortiman Porotherm IZO Profi opeke punjene kamenom vunom i upute za obradu Porotherm IZO Profi Asortiman Porotherm IZO Profi opeke punjene kamenom vunom i upute za obradu Foto: Uwe Strasser Porotherm ENERGY + sistem s iznimnim toplinskim karakteristikama namijenjen je za gradnju

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα