ZVUK ROCKWOOL ZVUČNA IZOLACIJA ZA UDOBNIJI I MIRNIJI ŽIVOT

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ZVUK ROCKWOOL ZVUČNA IZOLACIJA ZA UDOBNIJI I MIRNIJI ŽIVOT"

Transcript

1 ZVUK ROCKWOOL ZVUČNA IZOLACIJA ZA UDOBNIJI I MIRNIJI ŽIVOT 1

2 ZVUK Što nam narušava kvalitetu života, nevidljivo je i neopipljivo, nema boje, mirisa i okusa, a sveprisutno je? Koja je to vrsta zagađenja okoliša koja neprimjetno krade naš san, naš mir te rezultira neispavanošću i nervozom? Odgovor je - buka. Buka je neželjeni zvuk koji narušava kvalitetu života, a ukoliko smo često izloženi buci ona može ugroziti i zdravlje. Ova brošura sadrži uvod u građevinsku akustiku te će Vam pomoći prepoznati koji sustav višestrukih unutarnjih pregradnih zidova je adekvatno rješenje za zaštitu od buke. Svakodnevno se povećava broj upita vezanih za zaštitu od buke. ROCKWOOL ima rješenja za Vas. Rješenje su višestruki pregradni zidovi s ispunom od ROCKWOOL Acoustic i ROCKWOOL Acoustic EXTRA kamene vune. 2

3 Sadržaj Zvuk Zvuk 5 Glasnoća 6 Frekvencijska područja zvuka (nisko, srednje, visoko) 8 Područje niskih frekvencija 8 Područje srednjih frekvencija 8 Područje visokih frekvencija 8 Zvučna izolacija Zvučna izolacija 11 Prijenos zvuka 12 Izravni prijenos zvuka [1] 12 Bočni prijenos zvuka [2] 12 Ostali prijenosi zvuka [3] 12 Mjerenje i prikaz jednobrojnog indeksa zvučne izolacije Rw 14 Princip zvučne izolacije pregradnih zidova 16 Zakon mase 16 Masa-opruga-masa 16 Opruga (kamena vuna) 17 Tipovi pregradnih zidova 18 Jednostruki pregradni zid 20 Višestruki pregradni zid 22 Tehničke karakteristike proizvoda od kamene vune ROCKWOOL Acoustic i ROCKWOOL Acoustic EXTRA ROCKWOOL Acoustic 26 ROCKWOOL Acoustic EXTRA 27 3

4 ZVUK Zvuk 4

5 ZVUK Zvuk je mehaničko titranje čestica medija kojim se širi. Može se prenositi iz medija u medij: iz zraka u zid, a i obrnuto, iz zida u zrak. Osim što ga možemo pobuditi titranjem glasnica ili zvučnikom (zvuk koji se prenosi zrakom), također ga možemo proizvesti direktnim udarcem po konstrukciji npr. hodanje i lupanje vratima (udarni zvuk). Prikaz nastajanja i širenja zvuka Akustično zračenje Zvuk može potjecati od vibracija materijala koji prenosi svoju energiju na okolne čestice zraka, na primjer membrana zvučnika vibrira i širi zvuk. Prikaz širenja zvuka koji se prenosi zrakom Udarni zvuk (prijenos kroz konstrukciju) Zvuk može nastati zbog udarca, na primjer udarac čekića, pad predmeta, struganje stolca. Zvuk koji se prenosi zrakom možemo uspješno izolirati višestrukim pregradnim zidom izgrađenim od sustava gips-kartonskih ploča i ROCKWOOL kamene vune. Emisija buke (prijenos zrakom) Zvuk koji se širi zrakom može doći izvana (promet, cestovni radovi ) ili iz unutrašnjosti zgrade (glasovi, pjesma s radija ). 5

6 ZVUK Glasnoća Glasnoću zvuka izražavamo u db (decibelima). Za 0 db kažemo da je ljudski prag čujnosti odnosno najtiše titranje čestica zraka koje ljudsko uho može prepoznati. U prosjeku ljudi pričaju na glasnoći od 60 db. Usisivač radi na glasnoći od 70 db. Ostali kućanski uređaji poput frižidera rade na glasnoći od 40 do 50 db, tako da za prosječnu glasnoću doma uzimamo 50 db. Ako se u takvim uvjetima pojavi zvuk glasnoće 40 db, ukupna glasnoća doma je još uvijek 50 db te takav izvor zvuka ne narušava kvalitetu života. Ako se pojavi zvuk glasnoće 50 db u prostoru koji već sadrži 50 db glasnoće, tada je ukupna glasnoća prostora 53 db. Takvu promjenu ćemo primjetiti, a moguće je da će nas i smetati, dok samo par decibela tišeg zvuka nećemo biti svjesni. Ako se zvuk pojača za 10 db tada ga čujemo duplo glasnije. Treba napomenuti da je 10 db prilično velika razilka u glasnoći jer kada udvostučimo izvor zvuka (stavimo 4 zvučnika umjesto 2) zvuk smo poglasnili za 3 db (na primjer 70 db + 70 db = 73 db). Iz toga vidimo da je razlika glasnoće od 10 db prilično velika. Podesimo li zvuk televizora na 60 db (glasnoću ljudskog govora), nećemo percipirati zvuk kuhinjskog frižidera koji emitira zvuk glasnoće 40 db. Dapače, glasnoću televizora bismo morali smanjiti na gotovo 40 db da bismo postali svjesni zvuka koji proizvodi frižider. Ta psihoakustička karakteristika naziva se maskiranje. Glasnoća u ljudskom okruženju Glasnoća (db)

7 ZVUK U domu koji se nalazi u glasnom gradskom okruženju mjerimo višu razinu zvuka (50 db) nego u domu koji se nalazi u predgrađu udaljenom od većih prometnica (40 db). Razina glasnoće će se smanjiti u noćnim satima na 35 db jer se također smanjio intenzitet ljudskog djelovanja (poput prometa ili košnje trave). U tišem okruženju moći ćemo percipirati zvukove koje u glasnijem okruženju ne čujemo, poput zvuka televizora ili govora iz susjednog stana. Zvuk koji nije maskiran okruženjem nam može stvoriti nelagodu. Stoga tiha okruženja, da bi ostala tiha, zahtijevaju veću zvučnoizolacijsku moć pregradnih zidova. Povećanje glasnoće usred udvostručavanja izvora zvuka 70dB 73dB 76dB 79dB 50 db + 50 db = 53 db, 60 db + 60 db = 63 db, 50 db + 40 db = 50 db, Udvostručavanje izvora zvuka povećava glasnoću za 3 db. 7

8 ZVUK Frekvencijska područja zvuka (nisko, srednje, visoko) Visina zvuka je određena brzinom titranja čestica zraka i izražavamo je u Hercima - Hz. Herci objašnjavaju koliko puta u sekundi čestica zraka prevali svoj ciklus. Zvuk putuje kao val i ima svoju konstantnu brzinu širenja (343 m/s) stoga, njegovu visinu možemo opisati i valnom duljinom v (λ= ) te je izraziti u metrima. f 20 Hz Ljudski čujni raspon Hz Oktave [Hz] Visina zvuka ljudskog okruženja opisana pomoću frekvencije i valne duljine infrazvuk bas frekvencije srednje frekvencije visoke frekvencije ultrazvuk Trećine oktava [Hz] Hz Zvučni raspon građevine 5000 Hz Područje niskih frekvencija Kada čestice titraju sporo (ciklus od 20 do puta u sekundi, odnosno 20 do Hz), kažemo da se radi o niskom frekvencijskom području. Nizak zvuk ima velike valne duljine (od 3,5 m do 17 m) i sadrži mnogo energije koja se s lakoćom prenosi uobičajenim konstrukcijskim i pregradnim građevinskim elementima poput betona i cigle. Udarni zvuk (hod, udaranje lopte) također sadrži najviše energije u području niskih frekvencija. To je područje koje sadrže bas instrumenti (bas bubanj, kontrabas, bas gitara, niski tonovi klavira), veći zvučnici, subwoofer, motorna vozila, duboki muški glas. U tom području se također nalazi i vlastita rezonantna frekvencija višestrukih pregradnih zidova te zbog toga moramo pripaziti na svrhu pojedinih vrsta višestrukih pregradnih zidova. Područje srednjih frekvencija Zvuk u frekvencijskom području od Hz do 5000 Hz (5 khz - kiloherca) svrstavamo u srednje frekvencijsko područje. Srednje područje čine zvukovi valne duljine od 3,5 m do 0,07 m. To je frekvencijsko područje zvuka kojim se bavimo u graditeljstvu. U tom području ispitujemo zvučno-izolacijska svojstva građevinskih elemenata. Čovjek bolje čuje u srednjem području nego u niskom i visokom. U srednjem frekvencijskom području zvuka se nalaze sve informacije koje su nam potrebne u svakodnevnom životu. Akustično izolacijska svojstva građevinskih elemenata su najvažnija u srednjem frekvencijskom području zvuka. Područje visokih frekvencija Visoko frekvencijsko područje se proteže od 5000 Hz do Hz (0,04 m do 0,02 m). Energiju u tom području je lagano raspršiti te nam u smislu izolacije ne predstavlja problem. Zvuk u području visokih frekvencija jednostavno je izolirati. 8

9 ZVUK db Čujni raspon Glazba Ljudska percepcija 50 Govor Slika krivulje ljudskog praga čujnosti i praga boli. Ako se radi o vrlo dubokom zvuku (60 Hz), taj zvuk ćemo percipirati tek kada postigne glasnoću od 60 db, dok zvukove koji vladaju u srednjem frekvencijskom području (0 Hz = 1 khz) čujemo čim glasnoćom pređu naš referentni prag čujnosti od 0 db. Glasnoća 0 10 K 10K Frekvencija Hz 9

10 ZVUČNA IZOLACIJA Zvučna izolacija 10

11 Na zvučnu izolaciju je bitno misliti prilikom projektiranja kako kasnije ne bi trebalo ulaziti u adaptacijske zahvate. Još donedavno projektiranje nije ozbiljno uzimalo u obzir zahtjeve zaštite od buke, stoga danas ima mnogo zgrada s neadekvatnom zvučnom izolacijom. Zahtjevi svojstava građevinskih materijala su često kompleksni, ali to ne znači da i rješenje mora biti kompleksno. ROCKWOOL ima akustična rješenja koja zadovoljavaju suvremene potrebe i želje korisnika u novogradnji i adaptaciji. 11

12 ZVUČNA IZOLACIJA Prijenos zvuka Osim što se prenosi kroz pregradni zid i njegove otvore, zvuk se iz prostora u prostor prenosi i preko bočnih zidova, stropa i poda te otvorima poput ventilacije i slično. Uz pravilno projektiranje zvučno-izolacijskog sustava, ključna je i pravilna izvedba. Osim dobro odabranog sustava, pravilna izvedba čini veliku razliku kada je riječ o zvučnoj izolaciji. Izravni prijenos zvuka Izravni prijenos zvuka [1] U kontaktu s čvrstim zidom zvučni val predaje akustičnu energiju tom zidu. Pobuđene čvrste čestice šalju energiju dalje u susjednu prostoriji: to je izravni prijenos zvuka. Bočni prijenos zvuka [2] Prijenos zvuka između dva prostora ne ovisi samo o razdjelnom elementu, već i o bočnom prijenosu. Ovi prijenosi idu putem bočnih zidova, poda i stropa. Obično je bočni prijenos manji od izravnog prijenosa zvuka. Ukoliko ga želimo dodatno umanjiti, potrebno je izolirati bočne zidove, pod i strop. U fazi projektiranja možemo odvojiti konstruktivne elemente te na taj način smanjiti prijenos zvuka. Ostali prijenosi zvuka [3] Do ostalih prijenosa zvuka dolazi radi takozvanog curenja zvuka. Najčešća mjesta curenja zvuka su pukotine i loše izrađeni slojevi između zida, stropa i poda, loše brtvljen prostor oko vrata i prozora, neizolirani cjevovodi i instalacijski prolazi te loše zidanje (premalo morta između opeke). Neadekvatno projektiran ventilacijski sustav će također povećati prijenos zvuka. Bočni prijenos zvuka Ostali prijenosi zvuka [3] Ukoliko kroz naše pregrade može procuriti voda, procurit će i zvuk. 12

13 ZVUČNA IZOLACIJA 13

14 ZVUČNA IZOLACIJA Mjerenje i prikaz jednobrojnog indeksa zvučne izolacije Rw Rezultate ispitivanja zvučno-izolacijske moći pregradnog zida prikazujemo dijagramom koji za svako pojedino frekvencijsko područje pokazuje indeks zvučne izolacije R. Glasnoću zvuka mjerimo u više frekvencijskih područja u oba prostora, predajnom i prijemnom. Za svaki prostor dobijemo jedan graf (L1 i L2) koji prikazuje razinu glasnoće zvuka u pojedinim frekvencijskim područjima. Razlika grafova L1 i L2 nam pokazuje kolika je izolacijska moć R pregrade u pojedinim frekvencijskim područjima. R indeks R indeks U prisutnosti bočnog prijenosa, a ovisno o kvaliteti gradnje zida, standardizirani indeks zvučne izolacije mjeren in situ R je evidentno manji od indeksa zvučne izolacije R mjerenog u laboratoriju: R > R R [db] 60 L1 R [db] 60 L Frekvencija [Hz] Frekvencija [Hz] 14

15 ZVUČNA IZOLACIJA Za jednostavnije razumijevanje, dijagram se svodi na 3 broja: Rw: srednja vrijednost indeksa izolacijske moći koji prikazuje izolacijsku moć pregrade C: spektralna korekcijska vrijednost koja pokriva buku srednje frekvencije kao što je govor Ctr: spektralna korekcijska vrijednost koja pokriva buku srednje frekvencije kao što je prometna buka Što je veća vrijednost Rw, bolja je izolacijska moć zida. Puno je mogućih prijenosnih putova zvuka u zgradi i mnogo faktora koji utječu na kvalitetu zvučne izolacije. Zbog toga se može očekivati slabiji rezultat mjerenja u zgradi nego u laboratoriju. Za iste konstrukcije, laboratorijska mjerenja će obično pokazivati 4-5 db bolju zvučno-izolacijsku karakteristiku od mjerenja izvršenih u dovršenim objektima. Indeks Ctr koristimo za proračun zvučne izolacije od vanjskog zvuka i zvuka koji sadrži mnogo energije u niskom području (motorna vozila, disko glazba, mlazni avion, tvornice). Indeks C koristimo za proračun izolacije od unutarnje buke odnosno pregradnih zidova (govor, televizija, dječja igra). Indeks zvučne izolacije R se ispituje u laboratoriju gdje su testne sobe izgrađene tako da rezultat većinom bilježi samo izravan prijenos zvuka. S R = L1 - L Log [db], A r gdje je L1 - razina zvuka u predajnoj sobi L2 - razina zvuka u prijemnoj sobi S 10 Log - korekcija razine zvuka u prijemom prostoru A r nastala zbog akustičnih karakteristika elemenata prijemnog prostora S - površina pregradnog zida Ar - ekvivalentna apsorpcijska površina prijemne prostorije korekcija razine zvuka + = 10 Log S A r 80 R [db] 60 L1-L2 R [db] 60 R Frekvencija [Hz] Frekvencija [Hz] 15

16 ZVUČNA IZOLACIJA Princip zvučne izolacije pregradnih zidova Za pravi odabir sustava bitno je znati po kojim principima pregradni zid izolira zvuk. Za poboljšanje zvučne izolacije pregradnog zida postoji nekoliko rješenja. Zvučnu izolaciju možemo poboljšati povećanjem mase odnosno debljine zida (zakon mase). Međutim, možemo graditi i višestruki zid tako da odijelimo dvije mase zrakom i kamenom vunom ROCKWOOL (princip masa-opruga-masa). Zakon mase Zakon mase nam govori da ukoliko udvostručimo masu pregradnog zida, njegov će se indeks zvučne izolacije povećati za samo 5 db. To znači da udvostručavanjem debljine zida s 15 cm na 30 cm nećemo značajno poboljšati njegova zvučnoizolacijska svojstva, a udvostručit ćemo masu konstrukcije. Osim što bismo takvim načinom gradnje smanjili koristan prostor, također bismo narušili i stabilnost konstrukcije. Kod jednostrukih zidova, za koje vrijedi zakon mase, postoji i kritični frekvencijski raspon u čijem području zid bitno gubi na svojim zvučno-izolacijskim svojstvima. Također se očituje i veći pad izolacijskih svojstava ispod kritične frekvencije. Iz tih razloga koristimo višestruke zidove kako bismo postigli dobru akustičnu izolaciju. Udvostručenje mase povećava zvučnu izolaciju za samo 5 db. Sustav masa-opruga-masa sastavljen je od dvije mase (gips-kartonske ploče - 2) s elastičnim materijalom između (kamena vuna - 1) Masa-opruga-masa Kada gradimo pregradni zid po principu masa-opruga-masa osiguravamo veću zvučnu izolacijsku moć uz puno manju ukupnu težinu pregradnog zida. To postižemo odjeljivanjem masa. Što je veća udaljenost između dvije mase to je veća izolacijska moć. Povećavanje tih masa zasebno, odnosno povećanje debljine svakog dijela posebno, također poboljšava zvučnu izolaciju. Međutim, takva konstrukcija posjeduje vlastitu frekvenciju rezonancije sustava i frekvenciju rezonancije generiranu razmakom između svojih dijelova. Taj problem rješavaju ROCKWOOL Acoustic i ROCKWOOL Acoustic EXTRA. Korištenje razdvojenih masa s ispunom od kamene vune (lagani pregradni zid) je najučinkovitiji način poboljšanja akustičnih svojstava s manjom ukupnom masom i boljim zvučno-izolacijskim svojstvima u odnosu na uobičajene zidane i betonske pregrade. Pregradni zidovi od gips-kartonskih ploča i ROCKWOOL kamene vune između njih predstavljaju ekonomično i učinkovito rješenje po pitanju akustičnih svojstava. 16

17 ZVUČNA IZOLACIJA Opruga (kamena vuna) Kamena vuna koristi se uglavnom u akustičnim sustavima masa-opruga-masa kao elastični materijal zahvaljujući svojoj vlaknastoj strukturi. Kad zvučni val ulazi u vlaknasti materijal, akustična energija molekula zraka postepeno se prigušuje trenjem na površini vlakana. Energija zvuka u vlaknastoj strukturi kamene vune razbija se i pretvara u druge oblike energije, najvećim dijelom u toplinsku energiju. Otpor strujanju zraka AFr (kpa s/m 2 ) Otpor strujanju zraka određuje sposobnost vlaknastog i poroznog materijala da rasipa akustičnu energiju trenjem. Otpor strujanju zraka se povećava s gustoćom, a ovisi i o debljini vlakana i strukturi kamene vune. Niske vrijednosti ukazuju da materijal nije prepreka prolazu akustičnog vala, dok visoke vrijednosti ukazuju da je materijal nepropustan za protok zraka, te se više zvučne energije reflektira nego apsorbira. Otpor strujanju zraka kamene vune ROCKWOOL Acoustic iznosi AFr = 12 kpa s/m 2, a za ROCKWOOL Acoustic EXTRA iznosi AFr = 25 kpa s/m 2, što je pokazatelj njezinih odličnih zvučnoapsorpcijskih svojstava. Stabilnost ROCKWOOL proizvodi izrađeni od vulkanskog kamena imaju dugotrajnu stabilnost koja osigurava nepromjenjivost dimenzija, gustoće te orijentacije i promjera vlakana. Struktura Akustična svojstva kamene vune uglavnom ovise o strukturi materijala: gustoći, orijentaciji vlakana, vezivu i eventualnim aditivima. ROCKWOOL proizvodi imaju različite strukture ovisno o njihovoj namjeni (toplinska izolacija, zaštita od požara i zaštita od buke). Struktura proizvoda ROCKWOOL Acoustic i ROCKWOOL Acoustic EXTRA osigurava vrhunske karakteristike za sve tri namjene. ROCKWOOL kamena vuna (Acoustic i Acoustic EXTRA) značajno poboljšava zvučnu izolaciju jer se sastoji od mnogo višesmjerno isprepletenih vlakana koja čine otvorenu strukturu idealnu za upijanje i reguliranje buke. 17

18 ZVUČNA IZOLACIJA Tipovi pregradnih zidova Pregradni zidovi od gips-kartonskih ploča i šupljine ispunjene ROCKWOOL kamenom vunom predstavljaju najučinkovitije i ekonomično odvajanje dva prostora u akustičkom smislu. Prikaz jednostruke i višestruke podkonstrukcije Lagana dvostruka masa sastoji se od dva odvojena sloja gipskartonskih ploča odvojenih metalnim profilima. Dvostruki lagani zidovi se opisuju kao sustav masa-opruga-masa jer imaju dvije mase i zračni prostor između. Kad se zračni prostor (šupljina) između dvije mase ispuni ROCKWOOL kamenom vunom, indeks zvučne izolacije R se uvelike poboljša. Dijagram prikazuje usporedbu pregradnog zida sa i bez ispune od ROCKWOOL kamene vune u šupljini između dvije mase. Podaci se temelje na laboratorijskim mjerenjima. Rezultat u korist ugrađivanja ROCKWOOL kamene vune je poboljšanje Rw za +13 db. Da bismo dodatno pridonijeli zvučnoj izolaciji, možemo izvoditi i višestruki pregradni zid koji se od običnog dvostrukog pregradnog zida razlikuje u podkonstrukciji. Višestruka podkonstrukcija bolje odvaja mase te se na taj način smanjuje utjecaj takozvanog zvučnog mosta. Takvim načinom izvedbe možemo poboljšati zvučnu izolaciju za do 5 db R bez kamene vune R s kamenom vunom , ,5 125 Zvučna izolacijska moć R [db] Frekvencija [Hz] Hz R sa R bez 36,9 32, ,3 21, ,6 29, ,4 37, ,5 35, ,1 32, ,5 39, ,2 42, , ,4 49,2 0 60,4 51, ,3 54, ,1 55, , ,2 47, ,3 49, ,3 53, ,7 61,7 Rw C -3-3 Ctr Gips-kartonska ploča debljine 12,5 mm 2 Metalni C profili 3 Metalni U nosači 18

19 ZVUČNA IZOLACIJA 19

20 ZVUČNA IZOLACIJA Jednostruki pregradni zid Kod jednostrukog pregradnog zida smanjuje se razina izolacije oko njegove rezonantne frekvencije. Rezonantnu frekvenciju možemo smanjiti povećanjem debljine (masa) slojeva i udaljenosti između slojeva te postavljanjem ROCKWOOL kamene vune unutar šupljine. ROCKWOOL Acoustic 40 mm Frekvencija R [Hz] [db] Zvučna izolacijska moć R [db] Eksperimentalna krivulja Referentna krivulja 21, , , , , , , , , ,1 0 58, , , , , , , Standardne gips-kartonske ploče debljine 12,5 mm 2 ROCKWOOL Acoustic - 40 kg/m 3-40 mm 3 Metalni okvir debljine 50 mm 12,5 12, RW = 52,0 db C = -4 db Ctr = -11 db Frekvencija [Hz] Jedan metalni okvir 50 mm 4 standardne gips-kartonske ploče ROCKWOOL Acoustic 40 mm Izvješće o ispitivanju br.: I.G Ekonomičan i tanak jednostruki pregradni zid, male vlastite težine s adekvatnom zaštitom za sve izvore zvuka. 20

21 ZVUČNA IZOLACIJA ROCKWOOL Acoustic 60 mm Frekvencija R [Hz] [db] Zvučna izolacijska moć R [db] Eksperimentalna krivulja Referentna krivulja 14, , , , , , , , , ,9 0 63, , , , , , , Standardne gipskartonske ploče debljine 12,5 mm 2 ROCKWOOL Acoustic - 40 kg/m 3-60 mm 3 Metalni okvir debljine 75 mm 12, RW = 46,0 db C = -5 db Ctr = -13 db Frekvencija [Hz] Jedan metalni okvir 75 mm 2 standardne gipskartonske ploče ROCKWOOL Acoustic 60 mm Izvješće o ispitivanju br.: I.G Ekonomičan i tanak jednostruki pregradni zid, minimalne vlastite težine s vrlo dobrom izolacijom zvučnih izvora poput govora i televizije. 21

22 ZVUČNA IZOLACIJA Višestruki pregradni zid Višestruke pregradne zidove dobivamo prekidom zvučnih mostova odnosno udvostručavanjem podkonstrukcije. Na taj način svaka strana zida dobiva svoju podkonstrukciju i svoj sloj kamene vune te se tako umanjuje prijenos zvuka iz prostora u prostor. To je najbolji način zvučne izolacije u području niskih frekvencija poput glasne reprodukcije glazbe i instrumenata koji sadrže veliku zvučnu energiju u niskom području zvuka. ROCKWOOL Acoustic EXTRA mm Eksperimentalna krivulja Referentna krivulja Frekvencija R [Hz] [db] 39, , , , , , , , ,5 12,5 12, Zvučna izolacijska moć R [db] , , ,9 0 66, , , , , , ,9 1 Standardne gipskartonske ploče debljine 12,5 mm 2 ROCKWOOL Acoustic EXTRA - 70 kg/m mm 3 Metalni okvir debljine 50 mm 4 Zračni razmak od 1 cm između dva metalna okvira Frekvencija [Hz] RW = 60,0 db C = -2 db Ctr = -6 db Dupli metalni okvir 50 mm 4 standardne gipskartonske ploče ROCKWOOL Acoustic Extra mm Izvješće o ispitivanju br.: IGH 2160/104/13-/14 Vrhunska izolacija na niskim frekvencijama poput disko glazbe, glazbenog studija i sličnih izvora zvuka. 22

23 ZVUČNA IZOLACIJA Moguće je dodati i treću masu (gips-kartonska ploča) na jednu od unutarnjih strana dodatne podkonstrukcije. Na taj način ćemo dobiti vrhunsku zvučnu izolaciju zvuka u području ljudskog govora, televizora, radija itd. Zvučna izolacijska moć R [db] ROCKWOOL Acoustic EXTRA mm Eksperimentalna krivulja Referentna krivulja Frekvencija R [Hz] [db] 30, , , , , , , ,4 0 74, , , , , , , , Standardne gips-kartonske ploče debljine 12,5 mm 2 ROCKWOOL Acoustic EXTRA - 70 kg/m mm 3 Metalni okvir debljine 75 mm 4 Standardne gips-kartonske ploče debljine 12,5 mm 12, , ,5 7,5 12, Frekvencija [Hz] RW = 65,0 db C = -6 db Ctr = -15 db Dupli metalni okvir 75 mm 5 standardnih gipskartonskih ploča ROCKWOOL Acoustic Extra mm Izvješće o ispitivanju br.: I.G Višestruki pregradni zid velike debljine, koji osigurava vrhunsku zvučnu izolaciju za izvore zvuka poput glasnog govora, televizije, emitiranja glazbe i plača bebe. Idealno za objekte koji zahtijevaju uvjete za ugodan i miran boravak (hoteli, vile ) 23

24 ZVUK Tehničke karakteristike proizvoda od kamene vune ROCKWOOL 24

25 ZVUK ROCKWOOL Acoustic [ ] ROCKWOOL Acoustic EXTRA [ ] 25

26 ZVUK ROCKWOOL Acoustic [ ] ROCKWOOL Acoustic su akustične izolacijske ploče od kamene vune srednje gustoće posebno prilagođene za zvučnu i toplinsku izolaciju pregradnih zidova. Dimenzije proizvoda i podaci o pakiranju Debljina (mm) Dužina x širina (mm) 1200 x 600 m 2 / pakiranje 10,80 8,64 7,20 5,76 4,32 3,60 m 2 / paleta 172,80 138,24 115,20 92,16 69,12 57,60 Proizvodi se isporučuju u paketima na drvenim paletama dimenzija 1200x1200x2520mm, zaštićeni PE folijom. Tehnički parametri Svojstvo Simbol Vrijednost Norma Reakcija na požar - A1 HRN EN Otpor strujanju zraka AFr 12 r 12 kpa s/m² HRN EN Koeficijent toplinske provodljivosti - λ D = 0,035 W/[mK] HRN EN Kratkotrajna vodoupojnost WS 1 kg/m 2 HRN EN 1609 Dugotrajna vodoupojnost WL(P) 3 kg/m 2 HRN EN Paropropusnost MU1 μ = 1 HRN EN Gustoća - ρ = 40 kg/m 3 HRN EN 1602 Točka tališta - T t > 0 C HRN DIN 4102 Ključ za obilježavanje MW-EN T4-DS(70,90)-WS-WL(P)-MU1-AF r 12 Izjava o svojstvima (DoP) CPR-DoP-ADR-061 MW - mineralna vuna; EN - europska norma; Ti - tolerancija debljine; DS(70,90) - dimenzijska stabilnost pri određenim uvjetima temperature i relativne vlažnosti zraka; WS - kratkotrajna vodoupojnost; WL(P) - dugotrajna vodoupojnost; MUi - difuzija vodene pare (paropropusnost); AFi - otpor strujanju zraka Debljina i R D Debljina (mm) Toplinski otpor R D [m 2 K/W] 1,10 1,40 1,70 2,25 2,85 3,40 26

27 ZVUK ROCKWOOL Acoustic EXTRA [ ] ROCKWOOL Acoustic EXTRA su akustične izolacijske ploče od kamene vune velike gustoće posebno prilagođene za zvučnu i toplinsku izolaciju pregradnih zidova. Često se koristi samostalno kao akustična obloga (absorber) ili u sustavu s perforiranim dekorativnim oblogama. Dimenzije proizvoda i podaci o pakiranju Debljina (mm) Dužina x širina (mm) 1200 x 600 m 2 / pakiranje 8,64 5,76 5,76 4,32 2,88 2,88 m 2 / paleta 86,40 69,12 57,60 43,20 34,56 23,04 Proizvodi se isporučuju u paketima na drvenim paletama dimenzija 1200x1200x2520mm, zaštićeni PE folijom. Tehnički parametri Svojstvo Simbol Vrijednost Norma Reakcija na požar - A1 HRN EN Otpor strujanju zraka AFr 25 r 25 kpa s/m² HRN EN Koeficijent toplinske provodljivosti - λ D = 0,033 W/[mK] HRN EN Kratkotrajna vodoupojnost WS 1 kg/m 2 HRN EN 1609 Dugotrajna vodoupojnost WL(P) 3 kg/m 2 HRN EN Paropropusnost MU1 μ = 1 HRN EN Gustoća - ρ = 70 kg/m 3 HRN EN 1602 Točka tališta - T t > 0 C HRN DIN 4102 Ključ za obilježavanje MW-EN T4-DS(70,90)-WS-WL(P)-MU1-AF r 25 Izjava o svojstvima (DoP) CPR-DoP-ADR-062 MW - mineralna vuna; EN - europska norma; Ti - tolerancija debljine; DS(70,90) - dimenzijska stabilnost pri određenim uvjetima temperature i relativne vlažnosti zraka; WS - kratkotrajna vodoupojnost; WL(P) - dugotrajna vodoupojnost; MUi - difuzija vodene pare (paropropusnost); AFi - otpor strujanju zraka Debljina i R D Debljina (mm) Toplinski otpor R D [m 2 K/W] 1,20 1,50 1,80 2,40 3,00 4,20 27

28 ZVUK 08/16 HR ROCKWOOL ADRIATIC d.o.o. Ured prodaje Radnička cesta 80 HR - 00 Zagreb Tel Fax info@rockwool.hr Besplatni telefon: Pravna napomena: Ovaj dokument nudi općenite informacije o ROCKWOOL proizvodima koji su na raspolaganju na tržištima ROCKWOOL ADRIATICA. Općenite informacije nisu jamstvo za tehničke parametre određenog proizvoda. Ti su parametri na raspolaganju u našim tehničkim i prodajnim službama koje na zahtjev kupca dostavljaju odgovarajuće podatke i pripadajuće ateste za pojedine proizvode. Reklamacije koje se pozivaju na ovaj dokument i navode u njemu su bez osnova i unaprijed ih odbacujemo. Zadržavamo pravo izmjene sadržaja u dokumentu u bilo koje vrijeme bez prethodne najave. 28

ZVUK ROCKWOOL ZVUČNA IZOLACIJA ZA UDOBNIJI I MIRNIJI ŽIVOT

ZVUK ROCKWOOL ZVUČNA IZOLACIJA ZA UDOBNIJI I MIRNIJI ŽIVOT ZVUK ROCKWOOL ZVUČNA IZOLACIJA ZA UDOBNIJI I MIRNIJI ŽIVOT 1 ZVUK Šta nam narušava kvalitet života, nevidljivo je i neopipljivo, nema boje, mirisa i ukusa, a sveprisutno je? Koja je to vrsta zagađenja

Διαβάστε περισσότερα

Knauf zvučna zaštita. Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja. Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje

Knauf zvučna zaštita. Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja. Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje Knauf zvučna zaštita Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje Knauf ploče Gipsana Gipskartonska Gipsano jezgro obostrano ojačano

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Tehnička regulativa gradnje Zaštita od buke u zgradarstvu ZVUČNA IZOLACIJA PREGRADNIH ZIDOVA

Tehnička regulativa gradnje Zaštita od buke u zgradarstvu ZVUČNA IZOLACIJA PREGRADNIH ZIDOVA i 1998 TEHNIČKO VELEUČILIŠTE U ZAGREBU Graditeljski odjel 10010 Zagreb, Avenija V. Holjevca 15 STRUČNO USAVRŠAVANJE OVLAŠTENIH ARHITEKATA I OVLAŠTENIH INŽENJERA XIV. tečaj 8. i 9. veljače 2013. Tema: Tehnička

Διαβάστε περισσότερα

Opšte KROVNI POKRIVAČI I

Opšte KROVNI POKRIVAČI I 1 KROVNI POKRIVAČI I FASADNE OBLOGE 2 Opšte Podela prema zaštitnim svojstvima: Hladne obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina, Tople obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina i prodora hladnoće

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

ZAŠTITA OD BUKE LINIJA PROIZVODA ZA REDUKCIJU BUKE TEHNOGUMA D.O.O. CMP SAVICA ŠANCI OBRTNIČKA ZAGREB

ZAŠTITA OD BUKE LINIJA PROIZVODA ZA REDUKCIJU BUKE TEHNOGUMA D.O.O. CMP SAVICA ŠANCI OBRTNIČKA ZAGREB ZAŠTITA OD BUKE LINIJA PROIZVODA ZA REDUKCIJU BUKE TEHNOGUMA D.O.O. CMP SAVICA ŠANCI OBRTNIČKA 1 10 000 ZAGREB ZAŠTITA OD BUKE APSORPCIJA ZVUKA I ZVUČNA IZOLACIJA Što je buka? Buka je jaki zvuk koji izaziva

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

F2_ zadaća_ L 2 (-) b 2

F2_ zadaća_ L 2 (-) b 2 F2_ zadaća_5 24.04.09. Sistemi leća: L 2 (-) Realna slika (S 1 ) postaje imaginarni predmet (P 2 ) L 1 (+) P 1 F 1 S 1 P 2 S 2 F 2 F a 1 b 1 d -a 2 slika je: realna uvećana obrnuta p uk = p 1 p 2 b 2 1.

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Oblaganje zidova Rigips RB pločama sa zidnom slobodno stojećom metalnom potkonstrukcijom CW/UW. Oblaganje zidova

Oblaganje zidova Rigips RB pločama sa zidnom slobodno stojećom metalnom potkonstrukcijom CW/UW. Oblaganje zidova Projektovanje i gradnja u sistemu RB pločama sa zidnom slobodno stojećom metalnom potkonstrukcijom CW/UW vrši se RB pločama sa zidnom metalnom potkonstrukcijom CW/UW širine 50, 75 ili 100 mm. Zvučna zaštita

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

YTONG MULTIPOR mineralno izolacijske ploče

YTONG MULTIPOR mineralno izolacijske ploče Tehnička uputa YTONG MULTIPOR mineralno izolacijske ploče Dimenzije Širina x duljina mm Debljina mm Mineralna izolacijska ploča Ytong Multipor 600 x 500 50, 75, 100, 125, 150, 200 Utrošak materijala/m

Διαβάστε περισσότερα

Kombinirana protupožarna pregrada od morta PROMASTOP -VEN. Popis pozicija

Kombinirana protupožarna pregrada od morta PROMASTOP -VEN. Popis pozicija 0 EI 0 3 3 Tablica Dimenzije pregrada od protupožarnog morta za protupožarno brtvljenje Situacija ugradnje 3 0 površine s mortom Detalj A Kombinirano protupožarno brtvljenje mortom u lakom pregradnom zidu

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Kontaktne fasade ETICS. Kamena vuna. Protupožarna, toplinska i zvučna izolacija.

Kontaktne fasade ETICS. Kamena vuna. Protupožarna, toplinska i zvučna izolacija. Kontaktne fasade ETICS Kamena vuna. Protupožarna, toplinska i zvučna izolacija. 2 je jedan od najvećih proizvođača izolacijskih materijala na svijetu, koji već 80 godina proizvodi i distribuira niz održivih

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα