ΛΥΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 1. α) ΔS νερ 1300 J/K, ΔS δεξ -110 J/K, ΔS ολ 180 J/K β) ΔS νερ 1300 J/K, ΔS δεξ -105 J/K, ΔS ολ 95 J/K γ) Θα έπρεπε να έρθει το νερό σε επαφή διαδοχικά με μεγάλο αριθμό δεξαμενών θερμότητας με θερμοκρασίες από 0 έως 100 C (που θα διαφέρουν η κάθε μία από την επόμενη πολύ λίγο στη θερμοκρασία μεταξύ τους, για να παραμένει συνεχώς σε ισορροπία το συνολικό σύστημα) ώστε ΔS ολ 0.. α) Ν 1 (Ne)=800, Ν 1 (He)=80, Ν (Ne)=00, Ν (He)=0 β) P=1.6x ( 0). 3. α) Όχι, θα λυώσουν 6 gr και τα υπόλοιπα 174 gr θα παραμείνουν πάγος με τελική Τ=0 C. β) ΔS ολ 1 J/K. 4. α) Τ 58 C β) ΔS ολ 14.5 J/K 5. α) n 1 =(Nε -Ε)/(ε -ε 1 ), n =(E-Nε 1 )/(ε -ε 1 ), Ω=Ν!/n 1!(N-n 1 )! S(N,E,ε 1,ε )=KlnΩ=K{NlnN-[(Nε -Ε)/(ε -ε 1 )]ln[(νε -Ε)/(ε -ε 1 )]-[(E-Nε 1 )/(ε - ε 1 )]ln[(e-nε 1 )/(ε -ε 1 )]} n 1 =Ν[e -ε1/κτ ]/(e -ε1/κτ + e -ε/κτ ), n =Ν[e -ε/κτ ]/(e -ε1/κτ + e -ε/κτ ) Ε(Ν,Τ,ε 1,ε )=Ν[ε 1 exp(-ε 1 /ΚΤ)+ε exp(-ε /ΚΤ)]/[exp(-ε 1 /ΚΤ)+exp(-ε /ΚΤ)] β) Για ε 1 =ε και ε =-ε, Ε(Ν,Τ,ε)=Νε[exp(-ε/ΚΤ)-exp(-ε/ΚΤ)]/[exp(-ε/ΚΤ) +exp(ε/κτ)]=-νεtanh(ε/κτ) και C V =NΚε /[(ΚΤ) cosh (ε/κτ)] Για Τ<<, Ε=min=-Nε ενώ για Τ>>, Ε=max=0. Αντίστοιχα, C V =0 για Τ<< και Τ>> και S=0 για Τ<<. Η S=max=ΚΝln, όταν n 1 =N/ και Τ>>. 6. α) Z G (T,V,μ)=exp[exp(βμ)ζ(T,V)] όπου β=1/kt β) Φ=-KTlnZ G και η καταστατική του εξίσωση είναι η: PV=NKT. 7. α) Το lnz G υπακούει στην αρχή της προσθετικότητας β, γ) Χρησιμοποιώντας τη μεγάλη συνάρτηση επιμερισμού Z G (T,V,μ)=exp[exp(βμ)ζ(T,V)] όπου β=1/kt και τη σχέση του γενικευμένου δυναμικού Φ=-PV=F-μ<Ν>=-ΚΤlnZ G, με κατάλληλες μερικές παραγωγίσεις των παραπάνω ποσοτήτων υπολογίζονται τα <Ν> και <Ν > και αποδεικνύεται ότι <(N- <N>) >/<N> =-KT/V ( V/ P) Ν,Τ και ότι (<Ν >-<Ν> )/<Ν> ~1/<N> (τείνει στο 0 για Ν>>). 8. P(Ν)=κ Ν ε -κ /Ν! όπου κ=ζexp(βμ) και Z G =exp[ζexp(βμ)].

2 9. α) Ζ=V N (πmkt) 3N/ /N! β) U=3NKT/, u=u/n=3kt/ γ) S=5NK/+KN{ln[(V/N)(πmKT/h ) 3/ ]} δ) C=3NK/ ε) F=-NKT{ln[(V/N)(πmKT) 3/ ]+1} 10. Αν Ζ(Τ,Ν,V)=[4πΝ/(3Ν)!][ΑV Τ 3 /Ν 1/ ] Ν τότε, στα πλαίσια της κανονικής κατανομής, αποδεικνύεται με τη χρήση της σχέσης F=-KTlnZ και κατάλληλες μερικές παραγωγίσεις (από τους ορισμούς των C P /C V ) ότι C P /C V =5/ α) S(V,N,T)=ΚΝ{(3/)lnT+ln(V/N)+ln[(πmK) 3/ e 5/ /h 3 ]} ή S(V,N,T)=KNln(V/N) +C(m,T) όπου C εξαρτάται από Τ και m. β) ΔS ολ =NKln, ΔΩ= N, Αν Ν 1 N και V 1 V, τότε το ΔS θα εξαρτάται από αυτά τα μεγέθη γ) ΔS=0, ανεξάρτητα πλέον από τον αριθμό μορίων ή τον όγκο του κάθε αερίου (λόγω της μη διακρισιμότητας των μορίων του ιδανικού αερίου). 1. α) Z=(1/N!)(πmKT/h ) 3N/ (KTA/mg) Ν, β) U=5NKT/ γ) C=5NK/ δ) F=-KTlnZ=-NΚΤln{[(πmKT/h ) 3/ (KTA/Nmg)]+1} 13. α) U=N(e -βε1 ε 1 +e -βε ε )/(e -βε1 +e -βε ), β=1/kt β) C=(-1/KT )( U/ T), γ) F=-KTlnZ όπου Z=(e -βε1 +e -βε ) N, δ) S=(U-F)/T Όταν Τ τείνει στο 0 τότε U=Nε 1, C=0, F=0, S=0 Όταν Τ τείνει στο τότε U=N(ε 1 +ε )/, C=0, F=-NKTln, S=NKln C=max στη T=T 0, όπου dc/dt= α) P(-ε)=e βε /ζ, P(0)=1/ζ, P(ε)=e -βε /ζ, όπου ζ=1+e -βε +e βε και β=1/κτ β) Z=(1+e -βε +e βε ) Ν γ) <E>=-Νε[sinh(βε)/(1+cosh(βε))] δ) C=(-1/ΚΤ )( <Ε>/ β) Όταν Τ τείνει στο 0 τότε U=-Nε, C=0. Όταν Τ τείνει στο τότε U=0, C= α) Z=ζ Ν =(e -βε +e -βε +3e -3βε +4e -4βε +5e -5βε +6e -6βε ) Ν όπου β=1/κτ β) <Ε>=Νε(e -βε +4e -βε +9e -3βε +16e -4βε +5e -5βε +36e -6βε )/ζ Όταν το Τ τείνει στο 0, <Ε>=Νε. Όταν το Τ τείνει στο, <Ε>=91Νε/1 Αν Ν=104, τότε γενικά για κάθε Τ: Ν i (ε i )=NP i (ε i )=Ng i exp(-βε i )/ζ, για κάθε σωματιδιακή κατάσταση i. Επομένως, Ν 1 (ε)=νe -βε /ζ, Ν (ε)=νe -βε /ζ, Ν 3 (3ε)=3Νe - 3βε /ζ, Ν 4 (4ε)=4Ne -4βε /ζ, Ν 5 (5ε)=5Ne -5βε /ζ, Ν 6 (6ε)=6Νe -6βε /ζ Στο απόλυτο μηδέν, Ν 1 =Ν, ενώ Ν =Ν 3 =Ν 4 =Ν 5 =Ν 6 =0 Όταν Τ τείνει στο, Ν 1 =Ν/1, Ν =Ν/1, Ν 3 =3Ν/1, Ν 4 =4Ν/1, Ν 5 =5Ν/1, Ν 6 =6Ν/ U=-NμBtanh(μβB) όπου β=1/κτ. Μ=Νμtanh(μβΒ) C=NK(μβΒ) /cosh (μββ) χ=νμ β/cosh (μββ) S=KN[ln+lncosh(μβΒ)-μβΒtanh(μβΒ)]

3 Για Τ>>, cosh(μββ) 1, tan(μββ) μββ, lncosh(μββ) ln[1+(μββ) /] (μββ) / άρα S=KNln και χ=νμ β (νόμος Curie) Για Τ<<, sinh(μββ)=cosh(μββ) e μββ / άρα S= α) Ν /Ν 1 =P /P 1 =3e -βε όπου β=1/κτ Ν 3 /Ν 1 =P 3 /P 1 =5e -βε b) Z={e -βε (1+3e -βε +5e -βε )} Ν c) <E>=Nε(1+6e -βε +15e -βε )/(1+3e -βε +5e -βε ) d) C=(-1/KT )( <E>/ β) Όταν Τ τείνει στο 0, <Ε>=Νε και P 1 =1, P =P 3 =0 Όταν Τ τείνει στο, <Ε>=Νε/9 και P 1 =1/9, P =3/9, P 3 =5/9. ε) Για Ν=45, όταν Τ τείνει στο 0 τότε Ν 1 =45, Ν =Ν 3 =0 Όταν Τ τείνει στο, τότε Ν 1 =5, Ν =15, Ν 3 = α) Ζ=(e -βε +3e -βε +5e -4βε ) Ν, όπου β=1/κτ. β) <Ε>=Νε[(1+6e -βε +0e -3βε )/(1+3e -βε +5e -3βε )] γ) Όταν το Τ τείνει στο 0, τότε το β τείνει στο άπειρο και e -nβε τείνει στο 0 για κάθε n>0. Άρα <Ε>=Νε. Όταν το Τ τείνει στο άπειρο, τότε το β τείνει στο 0 και e -nβε τείνει στο 1 για κάθε n. Άρα <Ε>=3Νε. Όταν το Τ τείνει στο ε/kln3, τότε το β τείνει στο ln3/ε και <Ε>=101Νε/59. γ) Για Ν=4096, τότε Ν i (ε i )=NP i (ε i )=Ng i exp(-βε i )/ζ, για κάθε κατάσταση i. Άρα, όταν το Τ τείνει στο 0, τότε Ν 1 =4096 ενώ Ν =Ν 3 =0. Όταν το Τ τείνει στο άπειρο, τότε Ν 1 =4096/9 ενώ Ν =4096/3 και Ν 3 =(5/9)4096. Όταν το Τ τείνει στο ε/kln3, τότε Ν 1 =(7/59)4096 ενώ Ν =(7/59)4096 και Ν 3 =(5/59)4096. Επειδή η κατανομή των σωματιδίων σε αυτή τη θερμοκρασία είναι παρόμοια με αυτή για Τ>>, μπορεί με καλή προσέγγιση να θεωρηθεί υψηλή αυτή η θερμοκρασία. 19. α) lnω 5N/+Nln[VE 3/ N -5/ (4πm/3h ) 3/ ] για δε<<. Άρα, S(Ν,Ε,V)=KlnΩ ή S(N,V,T)=5NK/+NKln[V(πmKT/h ) 3/ /N], E=3NKT/, PV=NKT, μ=-κτln[v(πmkt/h ) 3/ /N], F=-NKT-NKTln[V(πmKT/h ) 3/ /N], H=U+PV=5NKT/, G=H-TS=μΝ=-ΝΚΤln[V(πmKT/h ) 3/ /N], Φ=-PV=F-μN άρα Φ(Τ,V,μ)=-Ve μ/κτ (ΚΤ) 5/ (πm/h ) 3/, C V =3NK/, C P =5NK/. Η ενθαλπία Η μπορεί να εκφραστεί εναλλακτικά και ως συνάρτηση των S,P,N ως H=(5/3)(3h /4πm) (3P/) /5 Ne (S/5KN) α) Συνολικά έχουμε 8 εφικτές καταστάσεις που προκύπτουν από το συνδυασμό 3 σωματιδίων δύο υποσυστημάτων με δυνατές διευθύνσεις μαγνητικών ροπών το καθένα (είτε παράλληλα είτε αντιπαράλληλα προς το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο). Οι συνολικές ενέργειες του συστήματος των σωματιδίων έχουν τιμές -4μ 0 Β (1 φορά), -μ 0 Β ( φορές), 0 ( φορές), μ 0 Β ( φορές), 4μ 0 Β (1 φορά). Οι αντίστοιχες συνολικές μαγνητικές ροπές του συστήματος των σωματιδίων έχουν τιμές 4μ 0 (1 φορά), μ 0 ( φορές), 0 ( φορές), -μ 0 ( φορές), -4μ 0 (1 φορά).

4 β) Πριν έρθουν σε επαφή τα δύο υποσυστήματα, το συνολικό σύστημα μπορεί να βρεθεί σε μία εφικτή κατάσταση με μαγνητική ροπή του πρώτου και δεύτερου -μ 0 και μ 0, αντίστοιχα. Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι ½. Αφού έρθουν σε επαφή, το σύστημα μπορεί να βρεθεί σε δύο εφικτές καταστάσεις με μηδενική ολική ροπή και ενέργεια. Η συνολική μέση μαγνητική ροπή τόσο του πρώτου όσο και του δεύτερου (επομένως και του συνολικού) συστήματος είναι α) Ν Σ_Α(παράλληλη) =Ν!/[n!(N-n)!] β) Ν Σ_Α(αντιπαράλληλη) =Ν!/[(n+1)!(N-n-1)!] και Ν Σ =(Ν+1)!/[(n+1)!(N-n)!] γ) P - /P + =(N-n)/(n+1)=n'/n(1-1/n- ) n'/n (αφού οι υπόλοιποι όροι είναι πολύ μικρότεροι καθώς n',n>>1). Αν n>n', P - /P + <1.. α) Γενικά, ε i =-μ i B για κάθε μία από τις 4 εφικτές σωματιδιακές καταστάσεις i, όσον αφορά τον προσανατολισμό της μαγνητικής ροπής ενός σωματίου του συστήματος σε σχέση με το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο Β. Πιο συγκεκριμένα, ε 1 =- μ 0 Β (ροπή παράλληλη προς το Β), ε =μ 0 Β (ροπή αντιπαράλληλη προς το Β), ε 3 =ε 4 =0 (ροπές κάθετες προς το Β). β) Ζ= Ν [1+cosh(βμ 0 Β)] Ν όπου β=1/κτ <ε>=<ε>/ν=-[μ 0 Βsinh(βμ 0 Β)]/[1+cosh(βμ 0 Β)] γ) Για Τ<<, <ε>=-μ 0 Β ενώ για Τ>>, <ε>=0. Για Ν=150, όταν Τ<< τότε Ν 1 =Ν ενώ Ν =Ν 3 =Ν 4 =0. Όταν Τ>>, τότε Ν 1 =Ν =Ν 3 =Ν 4 =Ν/4. 3. α) Γενικά, ε i =-μ i B για κάθε μία από τις 3 εφικτές σωματιδιακές καταστάσεις i, όσον αφορά τον προσανατολισμό της μαγνητικής ροπής ενός σωματίου του συστήματος σε σχέση με το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο Β. Πιο συγκεκριμένα, ε 1 =- μ 0 Β (ροπή παράλληλη προς το Β), ε =μ 0 B/ (ροπή σε γωνία 10 προς το Β), ε 3 = μ 0 B/ (ροπή σε γωνία 40 προς το Β). β) Ζ=[exp(βμ ο Β)+exp(-βμ ο Β/)] Ν, όπου β=1/κτ γ) <m>=<m>/n=μ 0 {[1-exp(-3βμ 0 /)]/[1+exp(-3βμ 0 /)]} <ε>=<e>/n=-<m>b=-μ 0 B{[1-exp(-3βμ 0 /)]/[1+exp(-3βμ 0 /)]} Για Τ<<, <ε>=0 και <m>=0 ενώ για Τ>>, <ε>=-μ 0 Β και <m>=μ α) Γενικά, ε i =-μ Α B-μ Β B-λμ Α μ Β για κάθε μία από τις 4 εφικτές σωματιδιακές καταστάσεις i, όσον αφορά τον προσανατολισμό της μαγνητικής ροπής των σωματίων του συστήματος σε σχέση με το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο Β. Πιο συγκεκριμένα, ε 1 =-μ 0 Β-λμ 0 (ροπές παράλληλες προς το Β), ε =μ 0 Β-λμ 0 (ροπές αντιπαράλληλες προς το Β) και ε 3 =ε 4 =λμ 0 (ροπές αντιπαράλληλες μεταξύ τους, δηλαδή η μία παράλληλη και η άλλη αντιπαράλληλη προς το Β). β) Ζ=[exp(-βλμ 0 )+exp(βλμ 0 )cosh(βμ 0 Β)] <Ε>={λμ 0 exp(-βλμ 0 )-exp(βλμ 0 )[4μ 0 Βsinh(βμ 0 Β)+λμ 0 cosh(βμ 0 Β)]}/Z Για Τ<<, όταν Β=0 τότε Ν ( παράλληλες) =Ν ( αντιπαράλληλες) =50 και Ν (1 παράλληλη, 1 αντιπαράλληλη) =0. Όταν Β=(1/)λμ 0, τότε Ν ( παράλληλες) =500, Ν ( αντιπαράλληλες) =Ν (1 παράλληλη, 1 αντιπαράλληλη) =0.

5 5. α) 3 είναι οι εφικτές καταστάσεις του συνολικού συστήματος που προκύπτουν από το συνδυασμό των μαγνητικών ροπών των σωματιδιακών καταστάσεων των δύο υποσυστημάτων. M ΟΛ =5μ 0 και Ε ΟΛ =-5μ 0 Β (1 κατάσταση), M ΟΛ =3μ 0 και Ε ΟΛ =-3μ 0 Β (5 καταστάσεις), M ΟΛ =μ 0 και Ε ΟΛ =-μ 0 Β (10 καταστάσεις), M ΟΛ =-μ 0 και Ε ΟΛ =μ 0 Β (10 καταστάσεις), M ΟΛ =-3μ 0 και Ε ΟΛ =3μ 0 Β (5 καταστάσεις) και M ΟΛ =-5μ 0 και Ε ΟΛ =5μ 0 Β (1 κατάσταση). β) Πριν έρθουν τα δύο συστήματα σε επαφή, 1 είναι η εφικτή κατάσταση του συνολικού συστήματος με M ΟΛ =μ 0 και Ε ΟΛ =-μ 0 Β (για Μ Α =-μ 0 και Μ Β =3μ 0 ). Αφού έρθουν σε επαφή και φτάσουν σε ισορροπία ανταλλάσοντας μεταξύ τους ενέργεια, 10 είναι οι εφικτές καταστάσεις του συνολικού συστήματος με M ΟΛ =μ 0 και Ε ΟΛ =-μ 0 Β. Σ αυτές τις καταστάσεις, P(Μ Α =-μ 0 )=1/10 και P(Μ Β =3μ 0 )=1/10, P(Μ Α =μ 0 )=3/10 και P(Μ Β =-μ 0 )=3/10, P(Μ Α =0)=6/10 και P(Μ Β =μ 0 )=6/10. <Μ Α >=4μ 0 /10, <Μ Β >=6μ 0 /10 και <Μ ΟΛ >=μ 0. γ) Οι αντίστοιχες πιθανότητες και μέσες τιμές μαγνητικών ροπών δε θα μεταβληθούν αν τα δύο υποσυστήματα χωριστούν ξανά ώστε να μη μπορούν να ανταλλάσουν μεταξύ τους ενέργεια.