ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ. Μενέλαος Θεοχάρης Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. M.Sc. Γεωπονίας Παν. Θεσσαλίας. Αναπληρωτής Καθηγητής ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΡ ΕΥΣΕΩΝ

Transcript

1 ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ Μενέλαος Θεοχάρης Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. M.Sc. Γεωπονίας Παν. Θεσσαλίας ιδάκτορας Α.Π.Θ. Αναπληρωτής Καθηητής ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΡ ΕΥΣΕΩΝ ΑΡΤΑ 07

2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Η Μηχανική των ρευστών και η υδραυλική. Εισαωή. Ορισμός του ρευστού. Μέτρηση των φυσικών μεεθών του ρευστού.. Οι μονάδες μέτρησης των φυσικών μεεθών.. Συσχέτιση των διαφόρων μονάδων του ίδιου φυσικού μεέθους 5.. Το Διεθνές σύστημα μονάδων SI 6.4 Οι φυσικές ιδιότητες των ρευστών 9.4. Η πυκνότητα 9.4. Η σχετική πυκνότητα 0.4. Η συνεκτικότητα ή ιξώδες Η τάση των ατμών.4.5 Η επιφανειακή τάση.4.6 Τα τριχοειδή φαινόμενα Η πίεση των ρευστών Το μέτρο ελαστικότητας Οι διαταραχές της πίεσης Οι φυσικές ιδιότητες του νερού στο SI 5.5 Λυμένες ασκήσεις 7.6 Άλυτες ασκήσεις 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ. Η υδροστατική πίεση. Η αρχή του Pαscαl. Μεταβολή της πίεσης με το υψόμετρο μέσα σε ένα ρευστό.4 Μέτρηση υδροστατικών πιέσεων - μανόμετρα 5.4. Απλά μανόμετρα 5

3 .. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης.4. Διαφορικά Μανόμετρα 7.4. Επίλυση των προβλημάτων των μανομέτρων 7.5 Υδροστατικές πιέσεις σε επιφάνειες 8.5. Οριζόντιες επίπεδες επιφάνειες 8.5. Κεκλιμένες επίπεδες επιφάνειες Το κέντρο πίεσης 9.6 Λυμένες ασκήσεις 0.7 Άλυτες ασκήσεις 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ. Αρχές της υδροδυναμικής 44.. Εισαωή 44.. Η ροή των ρευστών Μόνιμη ροή Ομοιόμορφη ροή 45.. Οι ραμμές ροής Οι σωλήνες ροής Τα δίκτυα ροής 46. Η εξίσωση συνεχείας 46. Η εξίσωση ενερείας 46.. Το ύψος κινητικής ενερείας 47.. Εφαρμοή της εξίσωσης ενερείας 48.. Η ραμμή ενερείας Η πιεζομετρική ραμμή 48.4 Η εξίσωση ποσότητας κινήσεως 48.5 Χρησιμοποίηση των εξισώσεων ποσότητας κινήσεως 49.6 Η ισχύς της αντλίας 50.7 Λυμένες ασκήσεις 50.8 Άλυτες ασκήσεις 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΕΚΡΟΕΣ ΑΠΟ ΟΠΕΣ ΥΠΕΡΧΕΙΛΙΣΤΕΣ ΚΑΙ ΘΥΡΟΦΡΑΓΜΑΤΑ 4. Εισαωή 6 4. Εκροή από οπή δοχείου υπό την επίδραση πίεσης - ακροφύσια 6 4. Εκροή από οπή δοχείου υπό την επίδραση της βαρύτητας 65

4 4.. Περίπτωση οπής μικρών διαστάσεων στον πυθμένα του δοχείου Περίπτωση οπής μεάλων διαστάσεων στην πλευρά του δοχείου και ελεύθερη εκροή Περίπτωση οπής μεάλων διαστάσεων στην πλευρά του δοχείου και εκροή κάτω από το νερό ( βυθισμένη ) Περίπτωση οπής μεάλων διαστάσεων στην πλευρά του δοχείου και μικτή εκροή (μερικώς βυθισμένη ) 4.4 Ροη πάνω από υπερχειλιστή λεπτής στέψης χωρίς πλευρική συστολή (καθολικός υπερχειλιστής) Ροή κάτω από θυρόφραμα λεπτής ακμής Χρόνος εκκένωσης δεξαμενής Λυμένες ασκήσεις Άλυτες ασκήσεις

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Η Μηχανική των ρευστών και η υδραυλική. Εισαωή Με τη συμπεριφορά των υρών ασχολήθηκε από τους αρχαιότατους χρόνους ο άνθρωπος, στη προσπάθειά του να επιλύσει τα διάφορα πρακτικά προβλήματα που του παρουσιάζονταν. Χαρακτηριστικοί είναι οι σχετικοί μύθοι στην Ελληνική Μυθολοία, (άθλοι του Ηρακλή: Λερναία Ύδρα, Κόπρος του Αυεία κ.ά. σχετιζόμενοι με ποταμούς). Η πρώτη όμως συστηματική μελέτη των υρών ανάεται στην ελληνική αρχαιότητα. Πραματικά τον ο αιώνα π.χ. ο Αρχιμήδης είναι ο πρώτος που ανακάλυψε την άνωση και διατύπωσε την ομώνυμή του αρχή. Με τα υρά ασχολήθηκε επίσης και ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς. Εν τούτοις παρά τη μακραίωνη αυτή ιστορία της, μόλις τις τελευταίες 0ετίες κατάφερε η υδραυλική να απαλλαχτεί από τον εμπειρικό της χαρακτήρα και να καταστεί πραματική τεχνική επιστήμη. Ο χώρος εφαρμοής της υδραυλικής είναι ευρύς αφού ασχολείται με τα αρδευτικά, τα αποστραιστικά και τα αντιπλημμυρικά έρα, την ύδρευση και αποχέτευση, την παντός είδους εκμετάλλευση της υδραυλικής δύναμης, τα λιμενικά έρα, οι θαλάσσιες ποτάμιες και λιμναίες συκοινωνίες, οι διώρυες κλπ αποτελούν αντικείμενα της υδραυλικής. Συνεπώς η συμβολή της στην ανάπτυξη του πολιτισμού θεωρείται σημαντική. Εν όψει μάλιστα της παράλληλης επιστημονικής και τεχνικής προόδου του ανθρώπου αφενός, αλλά και της συνεχιζόμενης αύξησης των ανακών του αφετέρου, το μέλλον της υδραυλικής διαράφεται περισσότερο λαμπρό. Αφού αυτοί οι δύο παραπάνω λόοι - αιτίες είναι οι συντελεστές όλων των ιάντιων υδραυλικών έρων αλλαής της φύσεως με στόχο τη περισσότερη αξιοποίηση υδάτινων πόρων σε άονες περιοχές. Η Μηχανική των Ρευστών, ή Ρευστομηχανική ή Υδρομηχανική, ονομάζεται ο κλάδος εκείνος της Μηχανικής που εξετάζει τις ιδιότητες των ρευστών σε ηρεμία ή κίνηση. Η υδραυλική αποτελεί τον κλάδο εκείνο της ρευστομηχανικής, που ασχολείται με τη συμπεριφορά του νερού σε ηρεμία (υδροστατική) ή κίνηση (υδροδυναμική) με κύριο αντικείμενο την εκμετάλλευσή του. Στην ανάπτυξη των αρχών της ρευστομηχανικής μερικές από τις ιδιότητες των ρευστών παίζουν πρωταρχικό ρόλο, άλλες μικρότερο και άλλες δεν παίζουν κανένα ρόλο. Για παράδειμα στην υδροστατική, το βάρος είναι η σημαντική ιδιότητα, ενώ στη ροή των ρευστών, η πυκνότητα και η συνεκτικότητα είναι οι κυρίαρχες ιδιότητες. Ακόμη, όπου υπάρχει αξιοσημείωτη συμπιεστότητα, πρέπει να λαμβάνονται υπόψη και οι αρχές της Θερμοδυναμικής. Η πίεση των ατμών αποκτά σημασία όταν παρουσιάζονται αρνητικές πιέσεις, ενώ η επιφανειακή τάση επιδρά στις συνθήκες ηρεμίας και ροής σε μικρές διατομές.

6 .. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης. Ορισμός του ρευστού Ρευστό είναι μια ποσότητα ύλης που έχει την ικανότητα να ρέει και να παίρνει το σχήμα του δοχείου που το περιέχει. Συνεπώς ο όρος ρευστό χαρακτηρίζει συνοπτικά τα υρά και τα αέρια σώματα. Υρά ονομάζονται ουσίες που έχουν συκεκριμένο μεν όκο αλλά όχι καθορισμένο σχήμα και αποτελούν μία από τις τρεις μορφές της κατάστασης της ύλης. Τα υρά παρουσιάζουν μεάλη αντίσταση σε κάθε μεταβολή του όκου τους και χαρακτηρίζονται πρακτικά σαν ασυμπίεστα. Επίσης παρουσιάζουν ελεύθερη επιφάνεια πάνω στην οποία η μόνη δύναμη που ασκείται εξαρτάται από το περιβάλλον. Τα αέρια παρουσιάζουν μηδαμινή αντίσταση σε κάθε μεταβολή του όκου τους και χαρακτηρίζονται πρακτικά σαν συμπιεστά. Καταλαμβάνουν ολόκληρο τον όκο που τους προσφέρεται και ι αυτό δεν παρουσιάζουν ελεύθερη επιφάνεια. Είναι δυνατό να βρίσκονται σε ισορροπία μόνο όταν είναι κλεισμένα. Έτσι στις περισσότερες περιπτώσεις προβλημάτων τα υρά θεωρούνται σαν ασυμπίεστα, ενώ τα αέρια μπορούν να θεωρηθούν σαν ασυμπίεστα, μόνο σε περιπτώσεις προβλημάτων που οι μεταβολές όκου - πιέσεων είναι μικρές. Σε κατάσταση ισορροπίας στα ρευστά δεν εξασκούνται εφαπτομενικές ή διατμητικές δυνάμεις μεταξύ των διαφόρων στρώσεων. Όλα τα ρευστά είναι σε κάποιο βαθμό συμπιεστά και παρουσιάζουν μικρή αντίσταση σε αλλαές του σχήματος τους. Τα ρευστά διακρίνονται στις ακόλουθες τρεις κατηορίες:. Ιδανικά ρευστά ή τέλεια ρευστά ή και ακόμα ιδεώδη ή ιδεατά: Χαρακτηρίζονται υποθετικά ρευστά (συνήθως υρά) τα οποία είναι τελείως ασυμπίεστα και καμία εσωτερική τριβή των μορίων τους δεν αναπτύσσεται κατά τη ροή τους. Όπως επίσης και καμία δύναμη συνάφειας μεταξύ αυτών και των τοιχωμάτων των δοχείων ή αωών που περιέχονται. Είναι προφανές ότι αυτά αποτελούν υποθετική θεωρητική κατάσταση και μόνο, η οποία λαμβάνεται υπόψη στις έρευνες και μελέτες των Νόμων των ρευστών διευκολύνοντας έτσι κατά πολύ την εξαωή συμπερασμάτων με αντίστοιχους υπολοισμούς. Παρά ταύτα ορισμένα φυσικά ρευστά με πολύ χαμηλό ιξώδες και μικρή θερμική αωιμότητα είναι δυνατόν να αντιμετωπιστούν, βέβαια κατά προσέιση, ως ιδανικά ρευστά.. Φυσικά ρευστά ή Νευτώνεια ρευστά: Χαρακτηρίζονται όσα εμφανίζουν τις αποτρεπτικές ιδιότητες των προηουμένων π.χ. το νερό, υδατικά διαλύματα, ορισμένοι υδατικοί διαλύτες, τα αραιά αιωρήματα και αλακτώματα, καθώς και όλα τα αέρια.. Mη νευτώνεια ρευστά: Τέτοια χαρακτηρίζονται συνήθως υρά που παρουσιάζουν μικρότερης κλίμακας ιδιότητες των φυσικών ρευστών, δηλαδή χαμηλό ιξώδες ιδιαίτερα όταν υποβάλλονται σε ανάδευση και ίνονται περισσότερο λεπτόρρευστα. Όπως ια παράδειμα το τυποραφικό μελάνι, οι διάφορες βαφές (ελαιοχρώματα κ.λπ.). Επίσης σε αυτή τη κατηορία υπάονται τα πυκνά αιωρήματα καθώς και τα διάφορα πυκνά αλακτώματα. Ρευστό σωματίδιο ονομάζεται ο μικρότερος όκος ρευστού, ο οποίος περιέχει ικανό αριθμό μορίων έτσι ώστε να επιτρέπει τη στατιστική ερμηνεία συνεχούς μέσου. Τα θεμελιώδη σωματίδια που συκροτούν κάθε μορφή της ύλης (άτομα, μόρια, ιόντα) και εν προκειμένω των υρών απέχουν μεταξύ τους περισσότερο από ότι συμβαίνει με τα σωματίδια των στερεών. Αυτό σημαίνει πως οι ελκτικές δυνάμεις στα υρά είναι ασθενέστερες και τα σωματίδια αυτών μπορούν να κινηθούν σε μικρές αποστάσεις. Έτσι το υρό «ρέει» λαμβάνοντας κάθε φορά το σχήμα του χώρου που βρίσκεται ή τοποθετείται, διατηρώντας πάντα τον ίδιο όκο.

7 Οι ιδιότητες των ρευστών... Μέτρηση των φυσικών μεεθών του ρευστού Η μέτρηση είναι από τα πρώτα πράματα που ανακάλυψε ο άνθρωπος. Από την αρχή ο άνθρωπος δημιούρησε στοιχειώδεις μονάδες μέτρησης ια να μετρήσει απλά πράματα. Τυπικά όμως η μέτρηση σαν έννοια είναι η σύκριση δύο ίδιων μεεθών. Για να μετρήσουμε ένα μέεθος ια παράδειμα το ύψος χρειαζόμαστε ένα πρότυπο ια να συκρίνουμε το ύψος με το πρότυπο. Αυτό είχε σαν αποτέλεσμα από παλιά να δημιουρηθεί μια σειρά προτύπων μονάδων. Όμως δεν είναι πολύ εύκολο μια και μπορεί να εμπεριέχει σφάλμα. Έτσι μετά από χρόνια και με την βοήθεια της τεχνολοίας φτιάχτηκαν συσκευές μετρήσεως, οι οποίες βοήθησαν στην μέτρηση τον μεεθών. Με την πάροδο των χρόνων και με την ανάπτυξη της τεχνολοίας οι συσκευές έιναν πιο αξιόπιστες, πιο εύκολες στην χρήση και πιο ρήορες στη συλλοή των αποτελεσμάτων. Οι μετρήσεις παίζουν μεάλο ρόλο στην βιομηχανία μια και αυτός ο κλάδος είναι αρκετά ευαίσθητος και δεν έχει περιθώρια ια λάθη σε τέτοια μεέθη. Για παράδειμα σε ένα πυρηνικό εροστάσιο ή σε ένα αεροπλάνο τα όρανα μετρήσεων είναι το άλφα και το ωμέα και τυχών λάθη στην ακρίβεια των οράνων θα είχε δυσάρεστα αποτελέσματα. Μέτρηση μπορεί να σημαίνει είτε απαρίθμηση με χρήση των φυσικών αριθμών, είτε σύκριση μεταξύ του προς μέτρηση μεέθους και ενός πρότυπου μεέθους όπως περιράφεται παραπάνω... Οι μονάδες μέτρησης των φυσικών μεεθών Για να ορισθεί ένα μέεθος εκτός από ένα αριθμό θα χρειαστούμε και μία μονάδα μέτρησης ιατί χωρίς αυτήν θα επικρατούσε μία σύχυση. Έτσι ια την αποφυή αυτής της σύχυσης ορίσαμε μονάδες μέτρησης. Από πολύ παλιά οι άνθρωποι δημιούρησαν συστήματα μονάδων μέτρησης. Υπάρχει το Βαβυλωνιακό σύστημα, το Αιυπτιακό σύστημα, το ελληνικό, το ρωμαϊκό, το κινέζικο, το βρετανικό και άλλα δεκάδες συστήματα. Για να αποφευχθούν τα παραπάνω την σύχυση από το 960 ισχύει πακοσμίως το σύστημα SI (International System of units) στις μετρήσεις. Οι μονάδες μέτρησης των φυσικών μεεθών, περιλαμβάνονται σε ορισμένα συστήματα μονάδων, τα κυριότερα από τα οποία είναι τα εξής : α. Το διεθνές σύστημα, SI. β. Το C.G.S.. Το τεχνικό σύστημα. δ. Το απόλυτο Αλικό σύστημα ( FPS ) ε. Το Αλικό πρακτικό σύστημα. στ. Το Αμερικάνικο πρακτικό σύστημα ζ. Πέρα από τα παραπάνω υπάρχουν και κάποιες ανεξάρτητες μονάδες, όπως η ατμόσφαιρα (atm), ια την πίεση, ή το καλορί (cal) ια την θερμότητα. Ήδη εδώ και πολλά χρόνια, έχει επικρατήσει η χρησιμοποίηση του διεθνούς συστήματος (S.I.), κυρίως στους επιστημονικούς κύκλους. Οι θεμελιώδεις και οι παράωες μονάδες μέτρησης, των κυριοτέρων συστημάτων, παραθέτονται στον παρακάτω πίνακα.

8 4.. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης Πίνακας. Οι θεμελιώδεις και οι παράωες μονάδες μέτρησης, των κυριοτέρων συστημάτων Συστήματα μονάδων Μήκος Χρόνος Μάζα Φυσικά μεέθη Δύναμη Ενέρεια Θερμοκρασία Πίεση L S M F E T P S.I. m sec kgr Newton joule 0 C, 0 K Pα C.G.S. cm sec gr dyn erg 0 C, 0 K dyn/cm Απόλυτο Αλικό ή FPS Αλικό πρακτικό Αμερικάνικο πρακτικό Τεχνικό σύστημα ft sec lb auntal ft sec slug ft sec lbm (λίμπρα μάζας) lbm (Λίμπρα βάρους ) lbf (λίμπρα δύναμης) ft. auntal 0 F, 0 R auntal/ ft Btu 0 F, 0 R lbf/ ft HP.h 0 F, 0 R lbf/ ft m sec kgr k kg.m 0 C, 0 K bar.. Συσχέτιση των διαφόρων μονάδων του ίδιου φυσικού μεέθους H συσχέτιση - ισοδυναμία των διαφόρων μονάδων του ίδιου φυσικού μεέθους φαίνεται στους πίνακες που ακολουθούν. Πίνακας. Μονάδες μήκους m cm mm km ml in ft yrd m , ,7,8,09 cm , ,94,8. 0 -,. 0 - mm 0-0, 0-6 6,. 0-7, ,8. 0 -,. 0 - km , ,7.09,9 ml , , ,5 in, ,54 5,40, , ,. 0 -, ft 0,05 0,50 05, , , yrd 0,94 9, , ,

9 Οι ιδιότητες των ρευστών.. 5 Πίνακας. Μονάδες όκου m lt cm gal ft m ,8 5, lt ,7, cm ,7. 0-4, gal,7. 0 -, ,4 ft,8. 0-8, ,48 Πίνακας.4 Μονάδες μάζας kgr gr tn lb kgr gr ,. 0 - tn ,6 lb 0, , Πίνακας.5 Μονάδες δύναμης Nt k dyn Nt 0, k 9, , dyn 0-5,0. 0-6, Πίνακας.6 Μονάδες πίεσης Pa MPa bar atm tor si Pa , ,5. 0 -, MPa , bar , 0, ,5 atm ,0, ,69 torr,,. 0 -,. 0-4,. 0 -, si ,9. 0-6,9. 0-6,8. 0-5,57

10 6.. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης.. Το ιεθνές σύστημα μονάδων SI Το SI βασίζεται στις παρακάτω αρχές: Υπάρχουν 7 θεμελιώδεις μονάδες. Υπάρχει ένα σύνολο πολλαπλασιαστών που μπαίνουν ως προθέματα στις μονάδες. Από τις θεμελιώδεις μονάδες προκύπτουν παράωες μονάδες από τα ινόμενα και τα πηλίκα τους. Το σύνολο των θεμελιωδών και των παράωων μονάδων του SI, εκφράζει ποσοτικά τα διαστατά φυσικά μεέθη. Πίνακας.7 Θεμελιώδεις μονάδες μέτρησης του SI Μέεθος Όνομα Σύμβολο Μήκος Μέτρο m Μάζα Χιλιόραμμο kg Χρόνος Δευτερόλεπτο s Ένταση ηλεκτρικού ρεύματος, ηλεκτρικό ρεύμα Αμπέρ A Θερμοδυναμική θερμοκρασία Κέλβιν K Ποσότητα ουσίας Μολ mol Φωτεινή ένταση, φωτοβολία Καντέλα cd Οι παράωες μονάδες του διεθνούς συστήματος προκύπτουν από τους συνδυασμούς (μόνο με ινόμενα ή πηλίκα καθώς απαορεύεται η πρόσθεση ασύμβατων φυσικών μεεθών) των θεμελιωδών μονάδων. Κάθε διαστατό φυσικό μέεθος που δεν περιράφεται άμεσα από κάποια θεμελιώδη μονάδα, μπορεί να περιραφεί από κάποια παράωη. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται ορισμένες συχνά χρησιμοποιούμενες παράωες μονάδες: Πίνακας.8 Παράωες μονάδες μέτρησης του SI Φυσικό μέεθος Έκφραση ινομένου ή πηλίκου Παράωη μονάδα Ιδιαίτερος συμβολισμός Όνομα της μονάδας Επιφάνεια μήκος m - τετραωνικό μέτρο Όκος μήκος dm l (liter) λίτρο, κυβική παλάμη, κυβικό δεκατόμετρο Ταχύτητα Μήκος / Χρόνος m/s - μέτρο ανά δευτερόλεπτο Επιτάχυνση Μήκος / Χρόνος m/s - Δύναμη Μάζα Επιτάχυνση kg m/s N (Newton) νιούτον Πίεση - τάση Δύναμη / Επιφάνεια Ν/m Pa (Pascal) πασκάλ μέτρο ανά δευτερόλεπτο στο τετράωνο

11 Οι ιδιότητες των ρευστών.. 7 Ροπή Δύναμη Μήκος N m - Πυκνότητα Μάζα / Όκος kg/m - νιούτον επί μέτρο, νιουτόμετρο χιλιόραμμο ανά κυβικό μέτρο Ειδικό βάρος Δύναμη / Όκος N/m - νιούτον ανά κυβικό μέτρο Έρο - Ενέρεια Δύναμη Μήκος N m J (Joule) τζάουλ Ισχύς Έρο / Χρόνος J/s W (Watt) βατ Πίνακας.9 Αποδεκτές μονάδες εκτός του SI Όνομα Σύμβολο Τιμή σε μονάδες του SI Λεπτό (minute min min 60 s Ώρα (Hour) h h 60 min 600 s Ημέρα (Day) d d 4 h s Μοίρα (ωνία) (degree, angle) (/80) rad Λεπτό μοίρας (ωνία) ' ' (/60) ( /0 800) rad Δευτερόλεπτο μοίρας '' '' (/60) ' ( / ) rad Λίτρο L L 0 - m Μετρικός τόννος t t 0 kg Μίλι ναυτικό nautical mile nautical mile 85 m Κόμβος ναυτικός knot nautical mile er hour (85/600) m/s Are a a dam 0 m Εκτάριο (hectare) ha ha hm 0 4 m bar bar bar 0. MPa 00 kpa 000 hpa 0 5 Pa ångström Å Å 0. nm 0-0 m Στο SI υπάρχει ένα σύστημα προθεμάτων το οποίο επιτρέπει να χρησιμοποιούνται μονάδες της τάξης μεέθους που είναι πιο βολικές. Με το πρόθεμα πριν το όνομα της μονάδας προκύπτει ένα πολλαπλάσιο ή μια υποδιαίρεση της μονάδας κατά μία δύναμη τού 0. Έτσι χρησιμοποιήθηκαν Ελληνικά προθέματα ια τα πολλαπλάσια (deca, hecto, kilo) και Λατινικά ια τις υποδιαιρέσεις (deci, centi, milli) των μονάδων. Η ιδέα είχε αφετηρία την αλλική επανάσταση, κατά την οποία προτάθηκε η χρήση αποκλειστικά δεκαδικού συστήματος αρίθμησης σε αντικατάσταση του υπάρχοντος δωδεκαδικού. Τα νέα μέτρα δεν είχαν την κατάλληλη κλίμακα ια όλες τις ερασίες οπότε τα προθέματα έδωσαν την λύση ώστε να δημιουρηθούν με συστηματικό τρόπο οι κατάλληλες μονάδες. Στα ελληνικά χρησιμοποιείται το αντίστοιχο ελληνικό πρόθεμα (που είναι είτε το καθαρά ελληνικό πρόθεμα είτε μια αντίστοιχη εκδοχή του διεθνούς προθέματος. Ιδιαίτερα το πρόθεμα kilo (και milli) στα ελληνικά είναι χιλιο αλλά χρησιμοποιείται και ως κιλό (και μίλι) ιδιαιτέρως αν το δεύτερο συνθετικό ακούεται ξενικό (πχ συνήθως κιλοβάτ και όχι χιλιοβάτ, αλλά χιλιόμετρο και όχι κιλόμετρο).

12 8.. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης Πίνακας.0 Tα προθέματα στο SI, ια τα υποπολλαπλάσια και τα πολλαπλάσια των μεεθών Διεθνές όνομα Σύμβολο Προφορά Συντελεστής Κλίμακα Παράδειμα yotta Y ιοττα 0 4 επτάκις εκατομμυριάδα ιοττάμετρο zetta Ζ ζεττα 0 εξάκις εκατομμυριάδα ζεττάμετρο exa E εξα 0 8 πεντάκις εκατομμυριάδα εξάμετρο eta P πετα 0 5 τετράκις εκατομμυριάδα πετάμετρο tera T τερα 0 τρισεκατομμυριάδα τεράμετρο giga G ια 0 9 δισεκατομμυριάδα ιάμετρο mega M μεα 0 6 εκατομμυριάδα μεάμετρο kilo k χιλιο 0 χιλιάδα χιλιόμετρο hecto h εκατο 0 εκατοντάδα εκατόμετρο deca da δεκα 0 δεκάδα δεκάμετρο μονάδα μέτρο deci d δεκατο 0 - δέκατο δεκατόμετρο centi c εκατοστο 0 - εκατοστό εκατοστόμετρο milli m χιλιοστο 0 - χιλιοστό χιλιοστόμετρο micro μ μικρο 0-6 εκατομμυριοστό μικρόμετρο nano n νανο 0-9 δισεκατομμυριοστό νανόμετρο ico πικο 0 - τρισεκατομμυριοστό πικόμετρο femto f φεμτο 0-5 τετράκις εκατομμυριοστό φεμτόμετρο (φέρμι) atto a αττο 0-8 πεντάκις εκατομμυριοστό αττόμετρο zeto z ζεπτο 0 - εξάκις εκατομμυριοστό ζεπτόμετρο yocto y ιοκτο 0-4 επτάκις εκατομμυριοστό ιοκτόμετρο Σημείωση: Το χιλιόραμμο (kilogram) είναι η μόνη μονάδα του SI που περιλαμβάνει στο όνομα και στο σύμβολό της ένα πρόθεμα (k). Συνεπώς, όταν χρειάζεται να χρησιμοποιηθεί πρόθεμα, τότε χρησιμοποιούμε το σύμβολο του ραμμαρίου (g), π.χ. 0-6 kg mg ( χιλιοστοραμμάριο, ή μιλιράμ milligram).

13 Οι ιδιότητες των ρευστών Οι φυσικές ιδιότητες των ρευστών.4. Η πυκνότητα Το φυσικό μέεθος πυκνότητα αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της ύλης και συμβολίζεται με το ράμμα ρ. Μονάδα μέτρησης της πυκνότητας στο SI είναι το kgr/m. Αρκετά συχνά όμως σαν μονάδα χρησιμοποιείται και το ραμμάριο ανά κυβικό εκατοστό, gr/cm. Η πυκνότητα των τέλειων αερίων μπορεί να υπολοιστεί από την καταστατική εξίσωση των τέλειων αερίων (νόμος των Βοyle και Charles), δηλαδή: u s R T όπου: R είναι η πακόσμια σταθερή των αερίων σε j/kg Κ. είναι η απόλυτη πίεση σε Pascal us είναι ο ειδικός όκος σε m /kg, Τ είναι η απόλυτη θερμοκρασία σε βαθμούς Kelvin ( 7+βαθμοί Κελσίου) Επειδή ρ / us, η παραπάνω εξίσωση μπορεί να ραφεί: ρ RT Για τα υρά μπορούμε να δεχόμαστε σταθερή πυκνότητα ια συνηθισμένες μεταβολές της πίεσης, αλλά μεταβάλλεται σημαντικά με τη θερμοκρασία. Η πυκνότητα του νερού είναι 000 kg/m στoυς 4 0 C. Όσον αφορά τα αέρια σώματα, η πυκνότητα τους μεταβάλλεται εύκολα, όταν μεταβάλλεται η πίεση ή/και η θερμοκρασία. Η πυκνότητα δεν εξαρτάται από την ποσότητα του υλικού, αλλά αποτελεί κύριο σταθερό χαρακτηριστικό συκεκριμένου υλικού. Για παράδειμα, η πυκνότητα ενός σιδερένιου συνδετήρα είναι ίδια με την πυκνότητα μιας σιδερένιας ράβδου, δηλαδή ίση με 7800 kgr/m, (ίδιο υλικό κατασκευής). Οι πυκνότητες των συνηθέστερων σωμάτων (στερεών, υρών, ή αερίων) δίνονται στον πίνακα.. Πίνακας.. Η πυκνότητα των διαφόρων υλικών στο SI Υλικό Πυκνότητα (kg/m ) Υλικό Πυκνότητα (kg/m ) Υλικό Πυκνότητα (kg/m ) Αέρας (στους 0 ο c), Πάος 90 Μόλυβδος 400 Αέρας (στους 0 ο c), Νερό 000 Υδράρυρος 600 Φελλός 50 Τσιμέντο 400 Χρυσός 900 Οινόπνευμα 800 Αλουμίνιο 700 Όσμιο 600 Ελαιόλαδο 900 Σίδηρος 7800 Ειδικά σε περιπτώσεις που αναφέρονται σε υρά χρησιμοποιείται συχνά το ινόμενο ρ g, όπου g είναι η επιτάχυνση βαρύτητας (συμβατικά ίση με 9,8 m/sec ). Άλλοτε αυτό το ινόμενο ονομαζόταν ειδικό βάρος και συμβολιζόταν με w.

14 0.. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης Με τον όρο Ειδικό βάρος χαρακτηρίζεται το βάρος (σε ραμμάρια της μονάδας του όκου ( κυβικού εκατοστομέτρου) κάποιου σώματος, ή ο λόος του βάρους ενός σώματος προς τον όκο αυτού ή προς το βάρος ίσου όκου απεσταμένου ύδατος και θερμοκρασίας 4 0 C. Στο σύστημα SΙ το επίθετο ειδικός πρέπει να χρησιμοποιείται αποκλειστικά ια την περιραφή μεεθών ανά μονάδα μάζας κι έτσι ο όρος ειδικό βάρος δεν πρέπει να χρησιμοποιείται πλέον. Επειδή όμως χρησιμοποιείται ακόμα στην πράξη και ια να αποφύουμε να λέμε βάρος ανά μονάδα όκου, θα χρησιμοποιούμε τον όρο ειδικό βάρος..4. Η σχετική πυκνότητα Η σχετική πυκνότητα ενός σώματος είναι εκείνος ο καθαρός αριθμός που δηλώνει το λόο της μάζας ενός σώματος προς τη μάζα μιας ίσου όκου ουσίας που λαμβάνεται ως μέτρο σύκρισης δηλαδή: μάζα του σώματος πυκνότητα του σώματος Σχετική πυκνότητα σώματος μάζα ίσου όκου νερού πυκνότητα του νερού Τα στερεά και τα υρά αναφέρονται στο νερό (στους 4 0 C) ως μέτρο σύκρισης, ενώ τα αέρια αναφέρονται συχνά στον αέρα απαλλαμένο από CΟ και υδροόνο (στους 0 0 C και πίεση μιας ατμόσφαιρας.0 Χ 05 Pa). Έτσι, αν η σχετική πυκνότητα ενός λαδιού είναι 0,750, η πυκνότητά του είναι 0,750 (.000 kg/m ) 750 kg/m. Η σχετική πυκνότητα του νερού είναι,00 και του υδράρυρου,57. Η σχετική πυκνότητα μιας ουσίας είναι ανεξάρτητη από το σύστημα μονάδων που χρησιμοποιείται..4. Η συνεκτικότητα ή ιξώδες Η συνεκτικότητα ή το ιξώδες 4 ενός ρευστού είναι η ιδιότητα εκείνη που καθορίζει την αντίστασή 5 του σε διατμητικές δυνάμεις. Η συνεκτικότητα οφείλεται κυρίως σε αλληλεπιδράσεις των μορίων του ρευστού. Για παράδειμα, διαφορετικά ρέουν το μέλι, το λάδι και το νερό. Πολύ συχνά ίνεται σύχυση μεταξύ του ειδικού βάρους και της πυκνότητας μιας ουσίας που όμως είναι διαφορετικές έννοιες εκφραζόμενες όμως με τον ίδιο αριθμό. Το Ειδικό βάρος είναι βάρος σε ραμμάρια (βάρους) της μονάδας του όκου, ενώ πυκνότητα είναι ο λόος της μάζας μιας ουσίας προς τον όκο αυτής ή προς την μάζα ίσου όκου ύδατος θερμοκρασίας 4 C. Έτσι όταν λέμε ια παράδειμα ότι ο σίδηρος έχει ειδικό βάρος 7 εννοούμε ότι το κυβ. εκατοστό αυτού ζυίζει 7 ραμμάρια βάρους. Εάν όμως θέλουμε να βρούμε την πυκνότητα του σιδήρου λαμβάνοντας κυβικό εκατοστό όκου του τότε θα πρέπει να διαιρέσουμε τη μάζα ενός κυβικού εκατοστού που είναι ίση με 7 ραμμάρια (μάζας) δια της μάζας του ενός κυβικού εκατοστού ύδατος απεσταμένου σε θερμοκρασία 4 C που ως νωστό λαμβάνεται ως μονάδα μάζας και ισούται με ραμμάριο (μάζας). Συνεπώς και η πυκνότητα του σιδήρου εκφράζεται με τον αριθμό 7. Έτσι κατά την έννοια της μάζας και όχι του βάρους θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι το (σχετικό) ειδικό βάρος είναι ένα μέτρο της πυκνότητας μιας ουσίας. Ορίζεται ως ο λόος της πυκνότητας της ουσίας προς την πυκνότητα μιας ουσίας αναφοράς. Είναι αδιάστατο μέεθος και ι' αυτό έχει την ιδιότητα να έχει την ίδια τιμή ανεξάρτητα από το σύστημα μονάδων που θα χρησιμοποιηθεί ια την έκφραση της πυκνότητας της ουσίας. 4 Η λέξη ιξώδες προέρχεται από τη λέξη ιξός (τη νωστή κολλώδη ουσία που περιβάλλει κάποιους καρπούς) και σημαίνει το κολλώδες. 5 Αντίθετος όρος του ιξώδους, κατ έννοια και κατά μέτρο είναι η ρευστότητα, έτσι ένα υρό που παρουσιάζει μεάλο ιξώδες έχει μικρή ρευστότητα, και αντίστροφα. Τα μόνα υρά που παρουσιάζουν μεταβλητό ιξώδες είναι τα θιξότροπα μετά την ανάδευσή τους.

15 Οι ιδιότητες των ρευστών.. Η αντίσταση αυτή που παρουσιάζουν τα ρευστά οφείλεται στις εσωτερικές τριβές των μορίων τους από δυνάμεις συνοχής, σε βαθμό που το ίδιο το ιξώδες να αποτελεί μέτρο αντίστασης του υρού στη ροή και που εξετάζεται ιδιαίτερα από την Υδροδυναμική. Το μέτρο του ιξώδους 6 είναι ο συντελεστής συνεκτικότητας ή συντελεστής εσωτερικής τριβής ή συντελεστής ιξώδους του υρού. Όσο πιο παχύρρευστο είναι ένα υρό, τόσο μεαλύτερο ιξώδες λέμε ότι έχει, π.χ. το μέλι έχει μεαλύτερο ιξώδες από το λάδι. Στο σχήμα. θεωρούνται δύο μεάλες παράλληλες πλάκες σε μικρή απόσταση y μεταξύ τους. Ο χώρος μεταξύ των πλακών είναι εμάτος από ρευστό. Έστω ότι στην πάνω πλάκα ασκείται σταθερή δύναμη F με αποτέλεσμα η πλάκα να κινείται με σταθερή ταχύτητα V. Σχήμα. Προφίλ ταχύτητας Το ρευστό που βρίσκεται σε επαφή με την πάνω πλάκα θα προσκολληθεί σ' αυτή και θα κινηθεί με ταχύτητα V, ενώ το ρευστό που βρίσκεται σε επαφή με τη σταθερή πλάκα θα έχει ταχύτητα μηδέν. Αν η απόσταση y και η ταχύτητα V δεν είναι πολύ μεάλες, η μεταβολή της ταχύτητας (κλίση) θα είναι μια ευθεία ραμμή. Έχει δειχτεί πειραματικά ότι η δύναμη F μεταβάλλεται ανάλοα με την επιφάνεια της πλάκας, την ταχύτητα V και αντιστρόφως ανάλοα με την απόσταση y. Επειδή από τα όμοια τρίωνα είναι V/y dv / dy, έχομε : F EU y EdV dy F E τ dv dy όπου τ F/Ε είναι η διατμητική τάση. Αν στην παραπάνω σχέση εισαχθεί μια σταθερή αναλοίας, μ, που την ονομάζουμε απόλυτη (δυναμική) συνεκτικότητα ή απλά συνεκτικότητα, τότε προκύπτει: dv τ μ μ dy τ dv / dy Οι μονάδες μέτρησης της μ είναι Pa s ιατί: Pa Pa s (m / s) / m Τα ρευστά που ακολουθούν τη σχέση: 6 Το ιξώδες μετριέται με ειδικό όρανο που λέεται ιξωδόμετρο. Η μέτρηση ίνεται σε βαθμούς, που σήμερα σε χρήση είναι οι "βαθμοί Engler", ή "βαθμοί Redwood", ή "βαθμοί Saybott", κ.λπ, που παρέχονται από το εχειρίδιο του, κατά περίπτωση χρήσης τύπου, ομώνυμου οράνου.

16 .. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης dv τ τ μ μ dy dv / dy ονομάζονται Νευτώνεια ρευστά. Ένας άλλος συντελεστής συνεκτικότητας, ο κινηματικός συντελεστής συνεκτικότητας, ή κινηματική συνεκτικότητα, ορίζεται με τη σχέση : μ ν ρ Οι μονάδες 7 μέτρησης του ν είναι m /s ιατί: Pa s Kg / m (N / m Kg / m ) s ((Kg m / s ) / m ) s Kg / m / s m Kg / m Kg / m s Η συνεκτικότητα των υρών ελαττώνεται με την αύξηση της θερμοκρασίας, αλλά δεν επηρεάζεται σημαντικά από μεταβολές της πίεσης. Η απόλυτη συνεκτικότητα των αερίων αυξάνεται με την αύξηση της θερμότητας, αλλά δε μεταβάλλεται σημαντικά από μεταβολές της πίεσης. Επειδή η πυκνότητα των αερίων αλλάζει σημαντικά με την μεταβολή της πίεσης (σε σταθερή θερμοκρασία), η κινηματική συνεκτικότητα μεταβάλλεται αντίστροφα με την πίεση. Τα ιδεατά ρευστά είναι ρευστά ασυμπίεστα (ρ σταθερό) και μη συνεκτικά (μ0), ή διαφορετικά είναι ρευστά ασυμπίεστα και χωρίς τριβές δηλαδή με μηδενική συνεκτικότητα και κατά συνέπεια δεν αναπτύσσονται διατμητικές τάσεις μεταξύ των μορίων του ρευστού κατά την κίνησή των. Τα πραματικά ρευστά, είναι ρευστά ασυμπίεστα με συνεκτικότητα μ, που θεωρείται σταθερή και διάφορη του μηδενός, ή διαφορετικά είναι ρευστά ασυμπίεστα με εσωτερικές διατμητικές τάσεις οι οποίες αντιδρούν στις παραμορφώσεις που δημιουρούνται από την κίνησή τους. (Για το λόο αυτό τα πραματικά ρευστά λέονται και συνεκτικά ρευστά)..4.4 Η τάση των ατμών Τάση ατμών ενός υρού σώματος σε μία ορισμένη θερμοκρασία, ονομάζεται η πίεση των ατμών τού σώματος όταν ατμοί και υρό βρίσκονται σε ισορροπία στη θερμοκρασία αυτή. Κατάσταση ισορροπίας, εν προκειμένω χαρακτηρίζεται η κατάσταση εκείνη κατά την οποία η ταχύτητα εξάτμισης εξισώνεται με την ταχύτητα υροποίησης στον ίδιο περιβάλλοντα χώρο. Δηλαδή, όταν ένα υρό εξατμίζεται σε έναν κλειστό χώρο, η μερική πίεση που δημιουρείται από τα μόρια των ατμών ονομάζεται τάση ατμών. Η τάση των ατμών εξαρτιέται από τη θερμοκρασία και μάλιστα αυξάνεται με αυτή. Όλα τα υρά τείνουν να εξατμιστούν, ή εξαερωθούν, πράμα το οποίο το επιτυχάνουν προωθώντας μόριά τους στο χώρο πάνω από την επιφάνειά τους. Αν αυτός ο χώρος είναι ένας περιορισμένος χώρος, η μερική πίεση, που προκαλείται από τα μόρια του εξατμιζόμενου υρού, αυξάνει μέχρι την τιμή, στην οποία τα μόρια που επανεισέρχονται στο υρό, είναι αριθμητικά ίση με εκείνα που το εκαταλείπουν. Λόω αυτής της συνθήκης ισορροπίας η τάση των ατμών είναι νωστή σαν πίεση κορεσμού. 7 Σε αρκετά βιβλία οι συνεκτικότητες δίνονται σε oise και stoke (μονάδες του συστήματος CGS) και μερικές φορές σε Saybοlt seconds, από μετρήσεις συνεκτικoμέτρων.

17 Οι ιδιότητες των ρευστών.. Η τάση ατμών φανερώνει ια μια ορισμένη θερμοκρασία, την ευκολία ή δυσκολία με την οποία εξατμίζεται ένα υρό. Έτσι μία "μεάλη τάση ατμών" φανερώνει την ευκολία της ενός υρού και αντιστρόφως. υρό εξάτμιση συμπύκνωση αέριο Η τάση ατμών ενός σώματος εξαρτάται τόσο από την φύση τού σώματος όσο και από τη θερμοκρασία του. Αυτό σημαίνει ότι όσο ισχυρότερες είναι οι διαμοριακές δυνάμεις (συνοχής) τόσο μικρότερη είναι αυτή η τάση, καθώς επίσης και όταν αυξάνεται η θερμοκρασία αυξάνεται και η ταχύτητα εξάτμισης με συνέπεια να αυξάνεται και η πίεση των ατμών στην ισορροπία. Τα σώματα με μεάλη τάση ατμών λέονται πτητικά 8. Η πίεση κορεσμού μπορεί να ίνει νωστή σαν πίεση βρασμού ια τη δεδομένη θερμοκρασία. Η τιμή της πίεσης κορεσμού των ατμών είναι πρακτικού ενδιαφέροντος στην περίπτωση των υρών, ιατί αν η περιορίζουσα πίεση επί του υρού ίνει μικρότερη της τιμής αυτής, το υρό θα εξαερωθεί. Από τα διάφορα υρά ο υδράρυρος, επειδή έχει χαμηλή πίεση κορεσμού, είναι κατάλληλος ια την κατασκευή διαφόρων ειδών βαρομέτρων..4.5 Η επιφανειακή τάση Ένα μόριο στο εσωτερικό ενός υρού υφίσταται ελκτικές δυνάμεις από όλες τις διευθύνσεις και το διανυσματικό άθροισμα αυτών των δυνάμεων είναι μηδέν. Σχήμα. Οι μοριακές δυνάμεις έλξης σε ένα ρευστό Σε ένα μόριο όμως στην επιφάνεια ενός υρού, ασκείται μια συνολική δύναμη κάθετη στην επιφάνεια προς το εσωτερικό του υρού. Συνεπώς, ια να μετακινηθεί ένα μόριο από το εσωτερικό στην επιφάνεια, χρειάζεται να δαπανηθεί έρο ια να υπερνικηθεί αυτή η αντιτιθέμενη δύναμη. Από αυτό συμπεραίνεται ότι τα επιφανειακά μόρια έχουν περισσότερη ενέρεια από τα εσωτερικά. Η επιφανειακή τάση ενός υρού είναι το έρο που πρέπει να δαπανηθεί ια τη μεταφορά αρκετών μορίων από το εσωτερικό του υρού στην επιφάνεια ώστε να αυξηθεί το εμβαδόν της επιφάνειας κατά μία μονάδα και μετράται σε Nm/m. 8 Πρόσθετα η τάση ατμών στα διαλύματα μη πτητικών ουσιών εκτός της φύσεως του διαλύτη και της θερμοκρασίας εξαρτάται και από τη συκέντρωση του διαλυμένου σώματος.

18 4.. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης Το έρο αυτό είναι αριθμητικά ίσο με την εφαπτομενική δύναμη συνοχής που ασκείται ανά μονάδα μήκους μιας υποθετικής ραμμής της επιφάνειας (N/m). Στα περισσότερα προβλήματα της ρευστομηχανικής η επιφανειακή τάση δεν παίζει μεάλο ρόλο..4.6 Τα τριχοειδή φαινόμενα Η άνοδος και η πτώση ενός υρού σε έναν τριχοειδή σωλήνα (ή σε παρόμοιες καταστάσεις, όπως σε ένα πορώδες μέσο) οφείλεται στην επιφανειακή τάση και εξαρτάται από τα σχετικά μεέθη συνοχής του υρού και συνάφειας του υρού με τα τοιχώματα του δοχείου όπου περιέχεται. Άνοδος του υρού σε σωλήνα συμβαίνει όταν διαβρέχει τα τοιχώματα (η συνάφεια υπερτερεί της συνοχής) και πτώση όταν δεν τα διαβρέχει (η συνοχή υπερτερεί της συνάφειας). Τα τριχοειδή φαινόμενα έχουν πρακτική σημασία, όταν χρησιμοποιούνται σωλήνες με διάμετρο μικρότερη από 0 mm περίπου. Σχήμα. Τριχοειδή φαινόμενα σε λεπτούς υάλινους σωλήνες.4.7 Η πίεση των ρευστών Η πίεση των ρευστών μεταδίδεται με ίση ένταση προς όλες τις διευθύνσεις και ασκείται κάθετα σε κάθε επίπεδη επιφάνεια. Στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο οι εντάσεις της πίεσης σε ένα υρό είναι ίσες. Η πίεση μπορεί να μετρηθεί με διάφορες συσκευές (όρανα). Στα επόμενα, όταν δεν αναφέρεται το αντίθετο, οι πιέσεις είναι σχετικές, δηλ. πάνω ή κάτω από την ατμοσφαιρική πίεση. Η απόλυτη πίεση ισούται με τη σχετική συν μία ατμόσφαιρα..4.8 Το μέτρο ελαστικότητας Το μέτρο ελαστικότητας ή μέτρο διόκωσης Ε εκφράζει τη συμπιεστότητα ενός ρευστού και εκφράζεται με το λόο της μεταβολής της πίεσης προς την αντίστοιχη μεταβολή του όκου ανά μονάδα όκου, δηλαδή: d E du / u Το μέτρο ελαστικότητας μετράται σε m Pa / m Pa N / m

19 Οι ιδιότητες των ρευστών Οι διαταραχές της πίεσης Οι διαταραχές πίεσης σε ένα ρευστό διαδίδονται σαν κύματα. Αυτά τα κύματα πίεσης κινούνται με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα του ήχου μέσα στο ρευστό. Η ταχύτητα αυτή σε m/s δίνεται από τη σχέση: E C ρ / όπου το Ε είναι σε Pa και το ρ σε Kg/m. Για τα αέρια η ταχύτητα του ήχου είναι : C ( krt) /.4.0 Οι φυσικές ιδιότητες του νερού στο SI Το νερό 9 (ή στη καθαρεύουσα ύδωρ, λέξη από την οποία και πολλοί οι παράωοι όροι: υδατικό, ένυδρο κ.λπ.) είναι η περισσότερο διαδεδομένη χημική ένωση που είναι απαραίτητη σε όλες τις νωστές μορφές ζωής στον πλανήτη μας. Στις τροφές υπάρχει σε μεάλο ποσοστό. Στο ανθρώπινο σώμα το νερό περιέχεται σε ποσότητα 70% και στο αίμα 90%, ενώ στα λαχανικά και τα φρούτα μέχρι 9%. Ο χημικός του τύπος του νερού είναι HO και είναι ασύμμετρο με υψηλή διπολική ροπή. Απαντάται και στις τρεις μορφές: στερεά (πάος, χιόνι), υρή (νερό πηών, ποταμών, θαλασσών) και αέρια (υδρατμοί στην ατμόσφαιρα). Η πυκνότητα του νερού είναι διαφορετική σε διάφορες θερμοκρασίες, με μέιστη στους 4 C. Στον παρακάτω πίνακα 0. δίνονται οι τιμές της πυκνότητας του νερού σε διάφορες θερμοκρασίες. 9 Το νερό μέχρι το 8ο αιώνα θεωρούνταν ως στοιχείο. Πρώτος ο πατέρας της νεότερης χημείας Λαβουαζιέ απέδειξε ότι είναι ένωση του υδροόνου και του οξυόνου. 0 Από τον πίνακα φαίνεται πως το νερό σε στερεή κατάσταση έχει μικρότερη πυκνότητα απ ό,τι στην υρή. Αυτό έχει μεάλη σημασία ια την οικονομία της φύσης: Οι πάοι επιπλέουν στο νερό και δρουν ως μονωτικά, εμποδίζοντας το νερό που βρίσκεται από κάτω να παώσει, μ' όλες τις ευερετικές συνέπειες στη ζωή του υδρόβιου κόσμου. Χωρίς την "ανωμαλία" αυτή της πυκνότητας του νερού, η ζωή στον πλανήτη μας δε θα υπήρχε, τουλάχιστον με τη σημερινή της μορφή, εξαιτίας της βαθμιαίας ψύξης του νερού της επιφάνειας της Γης. Η ιδιορρυθμία της πυκνότητας του νερού είναι η αιτία της αποσάθρωσης των βράχων. Το νερό που εισέρχεται στις ρωμές των βράχων στερεοποιείται κατά τη διάρκεια του χειμώνα και προκαλεί την αποσάθρωσή τους. Ακόμα, το σπάσιμο των σωλήνων διανομής του νερού κατά το χειμώνα οφείλεται στην αύξηση του όκου του νερού κατά τη μετάβαση από την υρή στη στερεή κατάσταση.

20 6.. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης Πίνακας.. Οι φυσικές ιδιότητες του νερού σε μονάδες SI Θερμοκρασία βάρος τα κότητα συνεκτ. ακή τάση ατμών πίεσης ελαστικότ Ειδικό Πκνότη- Συνεκτη- Κινημ. Επιφανει- Τάση Ύψος Μέτρο ρ μ.0 ν.0 6 σ υ ατμών ητας υ / 0 C KN/m kg/m N.sec/m m /sec N/m KN/m m GN/m 0 9, ,8,78,785 0,0756 0,6 0,06,0 5 9, ,0,58,59 0,0749 0,87 0,09,06 0 9, ,7,07,06 0,074. 0,,0 5 9, ,,9,9 0,075,70 0,7,5 0 9, ,,00,004 0,078,4 0,5,8 5 9, ,0 0,890 0,89 0,070,7 0,, 0 9, ,7 0,798 0,800 0,07 4,4 0,44,5 40 9,70 99, 0,65 0,658 0,0696 7,8 0,76,8 50 9, ,0 0,547 0,55 0,0679,,6,9 60 9,64 98, 0,466 0,474 0,066 9,9,0,8 70 9, ,8 0,404 0,4 0,0644,6,0,5 80 9,50 97,8 0,54 0,64 0,066 47,4 4,96,0 90 9, , 0,5 0,6 0, ,0 7,8,4 00 9,99 958,4 0,8 0,94 0,0589 0, 0,,07 Πίνακας.4. Φυσικές ιδιότητες υρών σε κανονική ατμοσφαιρική πίεση σε μονάδες SI. Υρό 0 C Ειδικό βάρος KN/m Κινημ. συνεκ/τα ν.0 6 m /sec Επιφ. τάση σ N/m Τάση ατμών υ KN/m Μέτρο ελαστικότητας GN/m Νερό 0 9, ,,00,004 0,07,4.070 Θερμοκρασία Πυκνότητα ρ kg/m Συνεκτηκότητα μ.0 N.sec/m Βενζίνη 0 8, ,65 0,76 0,09 0,00.00 Τετραχλωράνθρακας 0 5, ,97 0,6 0,06,0.00 Ακατέραστο πετρέλαιο 0 8, ,0 8,4 0, Γκαζολίνη 0 6, ,9 0, Γλυκερίνη 0, ,06 0, Υδροόνο -57 0, ,0 0,9 0,00, Κηροζίνη 0 7,94 808,9,76 0,05, Υδράρυρος 0, ,56 0,5 0,5 0, Οξυόνο -95, ,8 0, 0,05, Λάδι SAE 0 0 9, , Λάδι SAE 0 0 9, ,

21 Οι ιδιότητες των ρευστών Λυμένες ασκήσεις.5. Να υπολοιστεί η πυκνότητα, ρ, και ο ειδικός όκος, υ s, του μεθανίου σε 40 0 C και απόλυτη πίεση 8, bar. (Δίδεται R 58 ) Λύση 8,x0 Pa ρ RT 58 x(7,5 + 40) υ ρ 5,0 Kg / m s 5 0,96 m 5,0 Kg / m / Kg.5. Αν 5,6 m λαδιού ζυίζουν Ν, να υπολοιστεί η πυκνότητα ρ και η σχετική πυκνότητά του. Λύση Βάρος μοναδιαίου όκου (ειδικό βάρος) Επομένως: Πυκνότητα 860N / m ρ 85 Kg / m g 9,8m / s 46800N 5,60m ρλάδι 85Kg / m Σχετική πυκνότητα ρσχ. 0, 85 ρ 000Kg / m νερού 860N / m ρg.5. Να υπολοιστεί η πίεση σε Pa σε βάθος h6 m κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού. Λύση. Χρησιμοποιώντας ια τo ειδικό βάρος μέση τιμή 980 Ν/m προκύπτει: ρgh h 980N / m 6m 58860N / m 58860Pa.5.4 Να υπολοιστεί η πίεση σε bar σε βάθος h0 m σε λάδι σχετικής πυκνότητας ρ σχ. 0,750. Λύση. Σχετική πίεση: ρgh ρ σχ. ρ νερού gh 7600 bar 0,76 bar 5 0 0,750x000Kg / m x9,8m / s x0,00 m 7600 Pa

22 8.. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης.5.5 Να υπολοιστεί η απόλυτη πίεση σε Pa σε βάθος h6 m κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού, όταν το βαρόμετρο δείχνει h Hg 760 mm σχετικής πυκνότητας ρ σχ.,57. Λύση Απόλυτη πίεση ατμοσφαιρική πίεση + πίεση που οφείλεται σε 6 m νερού. at. + w kg / m Hg h Hg x 9,8m / s + w h w,57 x000 kg / m x 6,00 m Pa x 9,8m / s x 0,76 m.5.6 Σε πόσο βάθος λαδιού σχετικής πυκνότητας ρ σχ. 0,750 δημιουρείται πίεση,75 bar ; Σε πόσο βάθος νερού; Λύση h h 5,75 bar,75x0 Pa λ άδι ρλάδι g 0,750 x000 kg / m x9,8m / s 5,75 bar,75x0 Pa w ρ w g 000 kg / m x9,8m / s 8,00 m 7,40 m.6 Άλυτες ασκήσεις.6. Νερό στους T (5+ 0,*Ν) ο C τοποθετείται σ ένα κύπελλο μέσα σ ένα αεροστεές δοχείο. Ο αέρας αντλείται βαθμιαία έξω από το δοχείο. Να υπολοιστεί η πτώση κάτω από το επίπεδο της ατμοσφαιρικής πιέσεως των a 0, kpa μπορεί να επιτευχθεί πριν το νερό βράσει..6. Αν η πυκνότητα ενός υρού είναι ρ (87 + Ν) kg/m, να υπολοιστεί το ειδικό βάρος και τη σχετική του πυκνότητα..6. Αν λάδι έχει απόλυτη συνεκτικότητα μ (50+Ν) x 0 - oises, να υπολοιστεί η συνεκτικότητά του σε μονάδες SI..6.4 Να υπολοιστεί η κινηματική συνεκτικότητα του υδραρύρου, αν η συνεκτικότητα του είναι μ (5,6 + 0,Ν) x 0 - oises και η σχετική του πυκνότητα είναι ρ σχ., Να υπολοιστεί σε πόση πίεση σε millibars, σε Pa και σε atm βράζει το νερό σε θερμοκρασία T (40+Ν) ο C..6.6 Να μετατραπεί ένα ύψος πίεσης h ( ,0*Ν) mm υδραρύρου σε μέτρα λαδιού σχετικής πυκνότητας ρ σχ. 0,750.

23 Οι ιδιότητες των ρευστών.. 9 Λύσεις των ασκήσεων ια Ν.6. Νερό στους T (5+ 0,*Ν) ο C τοποθετείται σ ένα κύπελλο μέσα σ ένα αεροστεές δοχείο. Ο αέρας αντλείται βαθμιαία έξω από το δοχείο. Να υπολοιστεί η πτώση κάτω από το επίπεδο της ατμοσφαιρικής πιέσεως των a 0, kpa μπορεί να επιτευχθεί πριν το νερό βράσει. Λύση Είναι T (5+ 0,*) ο C 5, ο C Για τη θερμοκρασία αυτή υπολοίζεται από τον πίνακα... η τάση των ατμών σε KN/m με ραμμική παρεμβολή από τη σχέση: (T a) (5, 5,00) υ α + (β α),7 + (4,4,7),4 kn/m,4 (b a) (0,00 5,00) Απόσπασμα από τον πίνακα... a 5 9, ,0 0,890 0,89 0,070 α,7 0,, b 0 9, ,7 0,798 0,800 0,07 β 4,4 0,44,5 Επομένως η ατμοσφαιρική πίεση a 0, kpa μπορεί να μειωθεί κατά: Δ 0, kpa -,4 kpa 98,096 kpa πριν το νερό βράσει..6. Αν η πυκνότητα ενός υρού είναι ρ (87 + Ν) kg/m, να υπολοιστεί το ειδικό βάρος και τη σχετική του πυκνότητα. Λύση Είναι: ρ (87+ ) 840 kg/m Το ειδικό βάρος υπολοίζεται από τη σχέση: ρg 840kg / m 980m / sec N/m 840,4 kn/m Η σχετική πυκνότητα υπολοίζεται από τη σχέση: ρ ρ 840kg/m σχ. ρ w 000kg/m 0, Αν λάδι έχει απόλυτη συνεκτικότητα μ (50+Ν) x 0 - oises, να υπολοιστεί η συνεκτικότητά του σε μονάδες SI. Λύση kpa Είναι: μ (50 + ) x 0 - oises 5 x 0 - oises dyn (/ 98000) 9,8)N 9,8N Επίσης oise sec sec 4 cm 0 m 98000x0 4 m N sec 0, m sec

24 0.. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης Άρα μ 5 x 0 - oises 5 x 0 - N x0, m sec 5, x 0 - N m sec.6.4 Να υπολοιστεί η κινηματική συνεκτικότητα του υδραρύρου, αν η συνεκτικότητα του είναι μ (5,6 + 0,Ν) x 0 - oises και η σχετική του πυκνότητα είναι,57. Λύση Είναι: μ (5,6 + 0,) x 0 - oises 5,90 x 0 - oises,590 x 0 - N sec/m dyn Επίσης oise sec cm (/ 98000) 0 4 9,8)N 9,8N sec m 98000x0 Η κινηματική συνεκτικότητα υπολοίζεται από τη σχέση : 4 m N sec 0, m sec ν μ ρ ρ μ ρ σχ. w - 5,90 x 0 oises,57 000kg / m,590 x 0 - N sec/ m,57 000kg / m 0,7 x0 6 m sec.6.5 Να υπολοιστεί σε πόση πίεση σε millibars, σε Pa και σε atm βράζει το νερό σε θερμοκρασία t (40+Ν) ο C. Λύση Είναι t (40 + ) ο C 4 ο C Για τη θερμοκρασία αυτή υπολοίζεται από τον πίνακα... η τάση των ατμών σε KN/m με ραμμική παρεμβολή από τη σχέση: (T a) (4,00 40,00) υ α + (β α) 7,8 + (, 7,8) 8,865 kn/m (b a) (50,00 40,00) Άρα υ 8,865 kn/m 8865 Pa 8865x0-88,65 millibars 8865 x 9, atm 0,087 atm.6.6 Να μετατραπεί ένα ύψος πίεσης ( ,0*Ν) mm υδραρύρου σε μέτρα λαδιού σχετικής πυκνότητας 0,750. Λύση. h λάδι ρ λάδι g h Hg ρ Hg g h λάδι h Hg ρ ρ λάδι Hg g g h Hg ρ ρ λάδισχ. Hgσχ. ρ ρ w w g g h Hg ρ ρ λάδισχ. Hgσχ. 600,06 mm,57 0, mm 0,857 m

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ Υ ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ Η υδροστατική μελετά τους νόμους, που διέπουν τα ρευστά όταν αυτά βρίσκονται σε ισορροπία. Ένα ρευστό βρίσκεται σε ισορροπία, είτε όταν ακινητεί, είτε όταν κινείται μεν, αλλά κινείται σαν απολύτως στερεό σώμα. Η συμπεριφορά των πραματικών υρών υπό την επίδραση των μοριακών δυνάμεων αποτελεί ιδιαίτερο κεφάλαιο της Υδροστατικής όπου και εξετάζονται η επιφανειακή τάση, τα τριχοειδή φαινόμενα οι δυνάμεις συνοχής και συνάφειας κλπ. Θα εξεταστούν στη συνέχεια τα ρευστά σε ηρεμία.. Η υδροστατική πίεση Ένα ρευστό όταν περιορισθεί μέσα σε στερεά όρια (τοιχώματα) εξασκεί κάθετες δυνάμεις πάνω στις οριακές επιφάνειες. Η κάθετη δύναμη, που εξασκείται από το ρευστό πάνω στη μονάδα επιφάνειας των ορίων του, λέεται υδροστατική πίεση του ρευστού ή απλά πίεση και παριστάνεται με το σύμβολο. Η υδροστατική πίεση οφείλεται στην εξωτερική δύναμη της βαρύτητας και μόνο, δηλαδή στο βάρος του ρευστού που βρίσκεται πάνω από το αντικείμενο ή την επιφάνεια. Έτσι αν με F χαρακτηρισθεί η δύναμη, η οποία παριστά το βάρος του υπερκείμενου υρού σε μία επιφάνεια Ε (εντός του ρευστού) και επί της οποίας ασκείται αυτή, τότε η υδροστατική πίεση δίδεται από τη σχέση: F E Γενικά η πίεση πάνω σε μία τυχούσα επιφάνεια μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο. Η ένταση της πίεσης σε οποιοδήποτε σημείο δίνεται τότε από τη διαφορική σχέση: ΔF lim ΔE df de όταν ΔE 0 Σύμφωνα με τον νόμο δράση - αντίδραση, και οι οριακές επιφάνειες εξασκούν πάνω στο ρευστό δύναμη ίση σε ένταση και αντίθετη σε διεύθυνση με αυτή την οποία το ρευστό εξασκεί επάνω τους. Δεδομένου δε ότι σε ένα ρευστό σε ηρεμία υπάρχουν μόνο συμπιεστικές τάσεις, η υδροστατική πίεση στο όριο οποιουδήποτε όκου ρευστού είναι πάντοτε κάθετη πάνω στο όριο και έχει κατεύθυνση προς το εσωτερικό του όκου. Επειδή κατά τις εφαρμοές της Υδραυλικής η μεν δύναμη μετριέται σε Νιούτον (N) και αντίστοιχα η δε επιφάνεια σε τετραωνικά μέτρα (m ), η υδροστατική πίεση,, θα εκφράζεται σε Νιούτον ανά τετραωνικό μέτρο (Ν/m ) και ονομάζεται Πασκάλ (Pa) είναι δηλαδή Pa N/m

26 . Μενέλαος Ε. Θεοχάρης. Η Αρχή Του Pαscαl Η «Αρχή του Pαscαl» που προσδιορίσθηκε από τον Γάλλο φυσικό και μαθηματικό Μπλεζ Πασκάλ (6-66), προς τιμή του οποίου και φέρει το όνομά της, καθορίζει ότι: Η πίεση σε οποιοδήποτε σημείο ενός ρευστού, που βρίσκεται σε ηρεμία, είναι η ίδια προς όλες τις διευθύνσεις, δηλαδή η πίεση δεν εξαρτάται από τη διεύθυνση μιας επιφάνειας που περνά από το σημείο πάνω στο οποίο επενερεί. Αν δηλαδή σε ένα ανοικτό δοχείο πλήρες υρού εφαρμόσουμε σε όλη την ελεύθερη επιφάνειά του (π.χ. με ένα έμβολο) οποιαδήποτε πίεση, τότε θα διαπιστώσουμε ότι οι δυνάμεις που θ ασκεί το υρό σε οποιοδήποτε σημείο των εσωτερικών τοιχωμάτων ή του πυθμένα του δοχείου, ανεξάρτητα της βαρύτητας, θα παρουσιάζουν παντού την ίδια τιμή. Προφανές λοιπόν είναι ότι η πίεση αυτή, που προέρχεται από εξωτερικές δυνάμεις π.χ. ατμοσφαιρική πίεση ή πίεση από πεπιεσμένο αέρα ή πίεση που ασκεί ένα έμβολο στην επιφάνεια ενός υρού, είναι τελείως ανεξάρτητη από τις δυνάμεις της ήινης βαρύτητας. Αυτό σε αντιδιαστολή με την υδροστατική πίεση που εξαρτάται από την βαρύτητα. Εφαρμοές της Αρχής του Πασκάλ αποτελούν η πλήρωση με αέρα ενός τροχού ή μπαλονιού, το υδραυλικό πιεστήριο, οι υδραυλικοί ερανοί, τα υδραυλικά φρένα και πλείστα άλλα. Απόδειξη της Αρχής του Πασκάλ Για την απόδειξη της αρχής του Pαscαl, ας φαντασθούμε μέσα στο ρευστό σε ηρεμία έναν πολύ μικρό όκο του με σχήμα ορθοώνιο τετράεδρο με πλευρές dx, dy και dz κατά μήκος των αντιστοίχων αξόνων, x, y, z των καρτεσιανών συντεταμένων. Έστω ότι το σημείο Μ είναι η κορυφή της τρισορθοώνιας ωνίας του τετράεδρου και η αρχή των αξόνων. Έστω x, y και z οι υδροστατικές πιέσεις που ενερούν αντίστοιχα πάνω στις επιφάνειες του τετράεδρου που είναι κάθετες πάνω στους άξονες, x, y και z και έστω, η υδροστατική πίεση πάνω στη στοιχειώδη κεκλιμένη επιφάνεια ΑΒΨ dε. Όλες οι πιέσεις ενερούν κάθετα πάνω στις αντίστοιχες επιφάνειες και με διεύθυνση προς το εσωτερικό του τετράεδρου. Εκτός όμως από τις δυνάμεις πίεσης ενερούν πάνω στη μάζα του τετράεδρου και άλλες δυνάμεις, συνήθως δε η βαρύτητα, που έχουν συνιστώσες ƒ x, ƒ y και ƒ z στη μονάδα της μάζας, με διεύθυνση προς το εξωτερικό του τετράεδρου. Η συνθήκη της ισορροπίας κατά τον x άξονα είναι : x ( dy dz ) - n dε συν (P, x) + fx ( dx dy dz) 0 6 dy dz dε συν (P, x) όπου είναι η προβολή του εμβαδού της κεκλιμένης επιφάνειας dε πάνω στο επίπεδο ymz. dy dz x - n + ρf x dx 0 Διαιρώντας την εξίσωση δια παίρνουμε Αν το τετράεδρο αφεθεί να σμικρυνθεί πάρα πολύ, ο τελευταίος όρος της εξίσωσης ο οποίος περιλαμβάνει το διαφορικό dx, θα τείνει προς το μηδέν, ενώ οι πιέσεις x και n, παραμένουν πεπερασμένες. Έτσι στο όριο dx 0 έχουμε : x - n 0 x n Όμοια, με την ισορροπία των δυνάμεων και προς τις διευθύνσεις y και z, θα έχουμε : y - n 0 y n z - n 0 z n και x y z n Άρα : Δεδομένου ότι οι διαστάσεις dx, dy και dz του τετράεδρου πάρθηκαν αυθαίρετα, η κλίση της επιφάνειας ABΨ dε είναι επίσης αυθαίρετη και κατά συνέπεια όταν το τετράεδρο σμικρυνθεί ώστε να ίνει σημείο, η πίεση στο σημείο αυτό είναι η ίδια προς όλες τις διευθύνσεις. Το 58 περίπου, ο Ολλανδός μαθηματικός Σίμον Στεβάιν (Simon Stevin, ) απέδειξε ότι η πίεση που ασκεί ένα υρό πάνω σε μια δεδομένη επιφάνεια εξαρτάται από το βάθος στο οποίο βρίσκεται η επιφάνεια και όχι από το σχήμα του δοχείου που περιέχει το υρό. Όμως κατά τον 7ο αιώνα ο Βλάσιος Πασκάλ διατύπωσε τη θεμελιώδη αρχή της υδροστατικής τη νωστή ως «Αρχή του Πασκάλ». Από τότε η περαιτέρω πρόοδος της υδροστατικής συνίσταται κυρίως αφενός σε θεωρητικές διερευνήσεις των δύο παραπάνω βασικών αρχών, αφετέρου σε πρακτικές εφαρμοές των πορισμάτων αυτών.

27 Υδροστατική..... Μεταβολή της πίεσης με το υψόμετρο μέσα σε ένα ρευστό Η μεταβολή της πίεσης από σημείο σε σημείο μέσα στη μάζα ενός ρευστού σε ηρεμία μπορεί να προσδιορισθεί ως εξής : Αν θεωρηθεί ένας στοιχειώδης κυλινδρικός όκος ρευστού με εμβαδόν διατομής dε και ύψος dz, όπως φαίνεται και στο σχήμα, οι δυνάμεις οι οποίες επενερούν πάνω σε αυτόν οφείλονται στις υδροστατικές πιέσεις και στη βαρύτητα. Στο σχήμα φαίνονται οι δυνάμεις στην κατακόρυφη διεύθυνση z Επειδή το ρευστό είναι σε ηρεμία, είναι: de + dz de dz de 0 z Από την εκτέλεση των πράξεων προκύπτει: z Η μερική παράωος της εξίσωσης μπορεί να ραφεί και σαν ολική, ή κανονική παράωος του ως προς z ιατί σ' αυτό το πρόβλημα η πίεση μεταβάλλεται μόνο κατά τη z διεύθυνση. Άρα η εξίσωση ράφεται : d dz d d z dz z dz (z z ) h όπου h είναι η υψομετρική διαφορά μεταξύ των σημείων z και z. Η εξίσωση ισχύει ια συμπιεστά και ασυμπίεστα ανομοιοενή ή ομοενή ρευστά. Η ολοκλήρωση όμως του πρώτου όρου ενώ επιτυχάνεται πάντοτε ια την περίπτωση των ασυμπίεστων ομοενών ρευστών, ια τα συμπιεστά ρευστά καθώς και ια τα ανομοιοενή ασυμπίεστα ρευστά, η ολοκλήρωσή του εξαρτάται από τη σχέση μεταξύ της πίεσης και του ειδικού βάρους. Με τον όρο Ειδικό βάρος χαρακτηρίζεται ο λόος του βάρους ενός σώματος προς τον όκο αυτού ή προς το βάρος ίσου όκου αποσταμένου νερού και θερμοκρασίας 4 ο C.Είναι αδιάστατο μέεθος και ι' αυτό έχει την ιδιότητα να έχει την ίδια τιμή ανεξάρτητα από το σύστημα μονάδων που θα χρησιμοποιηθεί ια την έκφραση της πυκνότητας της ουσίας. Σαν ουσία αναφοράς ια υρά και στερεά χρησιμοποιείται συνήθως το

28 4. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης Για τα ομοενή υρά το ειδικό βάρος παραμένει σχετικά σταθερό είναι : d οπότε προκύπτει : ( z z) + z + z σταθερό Η παραπάνω σχέση αποτελεί τη θεμελιώδη εξίσωση της υδροστατικής Ο όρος / έχει διαστάσεις μήκους και ι αυτό λέεται ύψος πίεσης, ή φορτίο πίεσης, ο δε όρος z, λέεται ύψος θέσης, ή φορτίο θέσης. Το άθροισμα / + z λέεται πιεζομετρικό ύψος, ή υδραυλικό φορτίο. Από τη θεμελιώδη εξίσωση της υδροστατικής προκύπτει: Δ (z z) h Εάν το z βρίσκεται πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια του υρού, τότε η πίεση α ατμοσφαιρική πίεση και επομένως ισχύει : a + h Η εξίσωση αυτή δίνει την πραματική ή απόλυτη πίεση πάνω σε ένα σημείο μέσα σε ομοενές υρό σταθερού ειδικού βάρους. Εάν τεθεί a τότε η εξίσωση ίνεται : h η οποία δίνει τη σχετική πίεση, ή πίεση οράνου πάνω σε ένα σημείο μέσα σε ομοενές υρό σταθερού ειδικού βάρους. Η σχετική πίεση μπορεί να είναι θετική, δηλαδή μεαλύτερη της ατμοσφαιρικής πίεσης, ή αρνητική, δηλαδή μικρότερη της ατμοσφαιρικής πίεσης. Η αρνητική σχετική πίεση καλείται επίσης και κενό. Ατμοσφαιρική πίεση ή «Βαρομετρική πίεση» ονομάζεται η πίεση που ασκεί η ατμόσφαιρα, με το βάρος της, στην επιφάνεια της Γης. Η ατμοσφαιρική πίεση που υφίσταται το σώμα του ανθρώπου αντισταθμίζεται από τον αέρα και τα λοιπά ρευστά που κυκλοφορούν εντός του ορανισμού του. Η ατμοσφαιρική πίεση στην επιφάνεια της θάλασσας ισούται, ια θερμοκρασία 0 C, με 07, Pa ή,07 bar ή l,0 K/cm ή 0, tn/m. Η τιμή αυτή της ατμοσφαιρικής πίεσης χρησιμοποιείται σαν πρακτική μονάδα μέτρησης της πίεσης και συνήθως λέεται φυσική ατμόσφαιρα, (atm 07, Pa,07 bar,0 K/cm 0, tn/m ). Σήμερα στις τεχνικές εφαρμοές η εν λόω μονάδα "φυσική ατμόσφαιρα" δεν χρησιμοποιείται ευρύτατα επειδή είναι δύσχρηστη στους υπολοισμούς. Αντί αυτής χρησιμοποιείται η "τεχνική ατμόσφαιρα" που ισούται με K/cm και συμβολίζεται με at. Για τις at και atm ισχύουν οι σχέσεις: at k/cm 980 N/ cm 9800 Pa 75,5 mm Hg 0,968 atm και atm,0 at 0,7 N/ cm 07,0 Pa 760 mm Hg Το ύψος της κανονικής ατμοσφαιρικής πίεσης εξαρτάται από το ειδικό βάρος του υρού μέτρησης και είναι ια το νερό: νερό. Έτσι το σχετικό ειδικό βάρος μιας ουσίας είναι ο λόος της πυκνότητάς της, προς την πυκνότητα του νερού. Για το σχετικό ειδικό βάρος των αερίων, σαν ουσία αναφοράς χρησιμοποιείται συχνά ο αέρας. Ως πρώτη μονάδα πίεσης χρησιμοποιείται η ατμόσφαιρα (και ορθότερα φυσική ατμόσφαιρα) που παρίσταται με το διεθνές σύμβολο Atm και που αντιπροσωπεύει την πίεση που ασκεί το βάρος του αέρα της ατμόσφαιρας στην επιφάνεια της Γης. Πρώτος που μέτρησε την πίεση αυτή, του βάρους του αέρα, ήταν ο Εβαντζελίστα Τοριτσέλλι (Evangelista Torricelli), ο οποίος και βρήκε ότι στην επιφάνεια της θάλασσας και με ορισμένες ατμοσφαιρικές συνθήκες, η πίεση του αέρα προκαλούσε την ανύψωση μια στήλης υδρα ρύρου (Hg) σε ύψος 760 mm, ή 76 cm, ή 9,9 (ιντσών), δηλαδή:

29 Υδροστατική a 07, Pa 07, N/m h H O 0, m H O 980 N/m 980 N/m HO και ια τον υδράρυρο: h a 07, Pa 0,7 kn/m Hg Hg,768 kn/m,768 kn/m Η πίεση στο Αλικό σύστημα μονάδων 0,76 m Hg Όπως είναι νωστό, στο αλικό σύστημα μονάδων αντί του Νιούτον χρησιμοποιείται η λίβρα ή λίμπρα (lb) και αντί του τετραωνικού εκατοστού η τετραωνική ίντσα (in ή sq.in.). Επομένως στο σύστημα αυτό μονάδα πίεσης είναι η μία λίμπρα ανά τετραωνική ίντσα η οποία και ράφεται ως lb/in ή lb/sq.in και απλούστερα si (από τον αλικό όρο - φράση: ound er square inch λίμπρα ανά τετραωνική ίντσα). Για την μετατροπή των μονάδων πίεσης από το ένα σύστημα στο άλλο χρησιμοποιείται η σχέση: si 0,454x9,8 N/(0,054 m ) 690, Pa. Η μέτρηση της ατμοσφαιρικής πίεσης ίνεται με τα βαρόμετρα..4 ΜΕΤΡΗΣΗ Υ ΡΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΠΙΕΣΕΩΝ - ΜΑΝΟΜΕΤΡΑ Η μέτρηση της υδροστατικής πίεσης ίνεται με ειδικά όρανα, τα οποία λέονται μανόμετρα και τα οποία στηρίζονται στην αρχή της εξισορρόπησης της μετρούμενης πίεσης με στήλη υρού σε ισορροπία. Τα μανόμετρα διακρίνονται σε διάφορους τύπους ή κατηορίες ανάλοα με το σχήμα τους, το χρησιμοποιούμενο απ' αυτά υρό, τον τρόπο λειτουρίας τους, την ένταση της μετρούμενης πίεσης, κλπ..4. Απλά μανόμετρα. Το απλό μανόμετρο, αποτελείται από ένα υάλινο σωλήνα που μπορεί να προσαρμοστεί κατακόρυφα σε ένα σημείο σωλήνα ή δοχείου εμάτου με υρό ια τη μέτρηση της πίεσής του. atm 760 χιλιοστά στήλης υδραρύρου 760 mm Hg. Η ατμοσφαιρική ή βαρομετρική πίεση μεταβάλλεται «οριζόντια» και «κατακόρυφα» τόσο από τόπο σε τόπο, όσο και από χρόνο σε χρόνο παρατήρησης. Οι «οριζόντιες μεταβολές» είναι πολύ μικρότερες από τις «κατακόρυφες μεταβολές» πλην όμως έχουν εξαιρετική σημασία στη δημιουρία των καιρικών φαινομένων, όπως π.χ. οι άνεμοι, είναι αποτέλεσμα αυτών των μεταβολών. Εκτός των παραπάνω παρατηρείται κατά τη διάρκεια του 4ώρου, υπό ομαλή βεβαίως καιρική κατάσταση και η «ημερήσια μεταβολή» κατά την οποία η ατμοσφαιρική πίεση παρουσιάζει «διπλή κύμανση» με μέιστη τιμή κατά τις ώρες 0.00 και.00, και ελάχιστη κατά τις ώρες και Το κύριο εύρος (διαφορά) αυτών είναι μικρό,,0 mmhg στον Ισημερινό και,5 mm Hg στις εύκρατες περιοχές. Δηλαδή καθώς αυξάνεται το εωραφικό πλάτος, αυτή ελαττώνεται. Η σημασία της ημερήσιας βαρομετρικής μεταβολής στα τροπικά πλάτη είναι μεάλη. Η διαταραχή στην πορεία της ημερήσιας μεταβολής της ατμοσφαιρικής πίεσης αποτελεί ια τους ναυτικούς τη πρώτη ένδειξη προσέισης τροπικού κυκλώνα. Η «ημερήσια μεταβολή» της ατμοσφαιρικής πίεσης παρακολουθείται από το διάραμμα του αυτοραφικού βαρόμετρου Βαροράφου. Το φαινόμενο της «ημερήσιας μεταβολής» της ατμοσφαιρικής πίεσης ονομάζεται βαρομετρική παλίρροια Στην πράξη χρησιμοποιείται περισσότερο, αντί του όρου ατμοσφαιρική πίεση, ο όρος βαρομετρική ως επίθετο επειδή περιέχει την έννοια της πίεσης.

30 6. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης Το υρό του σωλήνα, ή δοχείου, ανέρχεται μέσα στο σωλήνα του πιεζόμετρου έως ότου αποκατασταθεί ισορροπία. Η ένταση της πίεσης δίνεται από την εξίσωση: Α α +. h (απόλυτη πίεση στο Α) ή Α - α. h (σχετική πίεση στο Α) όπου h (Α - α )/ το ύψος της στήλης του υρού μεταξύ του μηνίσκου και του οριζόντιου επίπεδου που περνά από το σημείο Α. Είναι προφανές ότι αυτός ο τύπος πιεζόμετρου χρησιμοποιείται μόνο ια τη μέτρηση θετικών πιέσεων, δηλαδή πιέσεων μεαλύτερων της ατμοσφαιρικής. Επίσης ο τύπος αυτός του πιεζόμετρου είναι πρακτικά ακατάλληλος α τη μέτρηση υψηλών πιέσεων στο σημείο Α διότι απαιτεί μεάλα ύψη κατακόρυφων σωλήνων. Για τη μέτρηση μικρών αρνητικών ή θετικών σχετικών πιέσεων στα υρά, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο τύπος του διπλού ανοικτού μανόμετρου. Στην περίπτωση αρνητικής πίεσης στο σημείο Α, ο μηνίσκος του μανόμετρου βρίσκεται κάτω από το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το Α. Η πίεση στο σημείο Α δίνεται από την εξίσωση: Α +.h α (απόλυτη πίεση στο Α) ή Α - α - h (σχετική πίεση στο Α) Για μεαλύτερες αρνητικές ή θετικές σχετικές πέσεις χρησιμοποιείται ο τύπος του απλού ανοιχτού μανομέτρου, με βαρύτερο υρό. Το υρό που χρησιμοποιείται μέσα στο λυισμένο σωλήνα, έχει μεαλύτερη ειδική πυκνότητα και δεν πρέπει να αναμεινύεται με το ρευστό του δοχείου, το οποίο μπορεί τώρα να είναι υρό ή αέριο. Εάν η σχετική πυκνότητα του ρευστού στο σημείο Α είναι ρ και η σχετική πυκνότητα του υρού του μανομέτρου είναι ρ, η εξίσωση που δίνει την ένταση της πίεσης στο σημείο Α είναι. Α +.h -.h α (απόλυτη πίεση στο Α) ή ακόμη Α.h -.h (σχετική πίεση στο Α) Διαιρώντας την παραπάνω εξίσωση με το ειδικό βάρος του νερού προκύπτει: hα ρ.h - ρ.h ή hα + ρ.h - ρ.h 0 όπου hα είναι το ύψος πίεσης του σημείου Α σε μέτρα ή εκατοστά στήλης νερού και h, h είναι τα μετρημένα ύψη σε μέτρα ή εκατοστά.

31 Υδροστατική ιαφορικά Μανόμετρα Ένα διαφορικό μονόμετρο προσδιορίζει τη διαφορά των πιέσεων μεταξύ δύο σημείων Α και Β όταν οι πραματικές πιέσεις δεν είναι νωστές. Η εφαρμοή της παραπάνω ενικής πορείας υπολοισμού στα διαφορικά μανόμετρα, θα δίνει τη διαφορά των πιέσεων μεταξύ δύο σημείων Α και Β..4. Επίλυση των προβλημάτων των μανομέτρων Για την επίλυση των προβλημάτων των μανομέτρων μπορεί να χρησιμοποιηθεί η παρακάτω ενική πορεία:. Αρχίζομε από το ένα άκρο, ή οποιονδήποτε μηνίσκο αν το κύκλωμα είναι συνεχές) και ράφομε την ένταση της πίεσης με το κατάλληλο σύστημα μονάδων (π.χ. σε μέτρα νερού ή με ένα κατάλληλο σύμβολο ( Α ή hα ), αν αυτή είναι άνωστη).. Προσθέτουμε σ' αυτήν αλεβρικά τη μεταβολή της έντασης της πίεσης, με το ίδιο σύστημα μονάδων, από τον ένα μηνίσκο στον άλλον με πρόσημο συν ( + ) αν ο επόμενος μηνίσκος είναι χαμηλότερα, και με πρόσημο μείον ( - ) αν είναι ψηλότερα.. Συνεχίζουμε μέχρι να φτάσουμε στο άλλο άκρο του οράνου ( ή στον αρχικό μηνίσκο) και εξισώνουμε την όλη έκφραση με την πίεση σ' αυτό το σημείο, νωστή ή άνωστη. Η εξίσωση θα περιέχει έναν άνωστο ια τα απλά μανόμετρα, ή θα δίνει τη διαφορά των πιέσεων μεταξύ δύο σημείων, ια τα διαφορικά μανόμετρα.

32 8. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης.5 Υδροστατικές πιέσεις σε επιφάνειες.5. Οριζόντιες επίπεδες επιφάνειες Mία επίπεδη επιφάνεια, βυθισμένη οριζόντια μέσα σε υρό σε βάθος h, υπόκειται σε μία σταθερή ένταση πίεσης, δηλαδή h σταθερή. Η ολική δύναμη της σχετικής υδροστατικής πίεσης, η οποία επενερεί πάνω στη μία πλευρά της οριζόντιας επιφάνειας Ε θα είναι: P de hde he E E δηλαδή είναι ίση με το βάρος στήλης του υρού, η οποία έχει βάση τη θεωρούμενη οριζόντια επιφάνεια και ύψος την απόστασή της από την ελεύθερη επιφάνεια του υρού. Η διεύθυνση της δύναμης P είναι κάθετη πάνω στην επιφάνεια και το σημείο εφαρμοής της συμπίπτει με το κέντρο βάρους Κ της επιφάνειας Ε..5. Κεκλιμένες επίπεδες επιφάνειες Έστω ένα κεκλιμένο επίπεδο τοίχωμα ΑBΓΔ, βυθισμένο μέσα σε ένα υρό και ζητείται να προσδιοριστεί η ένταση, η διεύθυνση και το σημείο εφαρμοής της συνισταμένης δύναμης P, που οφείλεται στην υδροστατική πίεση του υρού, πάνω σε ένα τμήμα με επιφάνεια Ε της εσωτερικής παρειάς του τοιχώματος όπως φαίνεται στο σχήμα.. Αν ληφθεί ως επίπεδο σύκρισης η ελεύθερη επιφάνεια του υρού Χ Ο Ψ, η οποία σχηματίζει ωνία φ με το επίπεδο ΧΨ της εσωτερικής παρειάς του τοιχώματος, ο άξονας Ζ έχει τη διεύθυνση της βαρύτητας. Η δύναμη της υδροστατικής πίεσης πάνω σε μία στοιχειώδη λωρίδα dε της επιφάνειας Ε, η οποία διέρχεται από το σημείο Θ και είναι παράλληλη προς τον άξονα Ψ είναι: df de z de x ημφ de Επειδή όλες οι στοιχειώδεις δυνάμεις df είναι παράλληλες μεταξύ τους ως κάθετες πάνω στο ίδιο επίπεδο, είναι δυνατή η ολοκλήρωση της εξίσωσης σε ολόκληρη την επιφάνεια Ε. Έτσι η ολική δύναμη πίεσης πάνω στην επιφάνεια Ε θα είναι: F df ημφ xde ημφm E και επειδή F z k E k E k ψ ημφ x x ημφ z, η εξίσωση ράφεται: k E Σχήμα. Υδροστατική πίεση πάνω σε κεκλιμένη επιφάνεια

33 Υδροστατική Στην παραπάνω εξίσωση χρησιμοποιήθηκε ο νωστός ορισμός της στατικής ροπής, Mψ E x de x ke, της επιφάνειας Ε ως προς τον άξονα Ψ. Επίσης x k και zk είναι οι αποστάσεις του κέντρου βάρους Κ της επιφάνειας Ε από τον άξονα Ψ και την ελεύθερη επιφάνεια, αντίστοιχα. Η τελευταία εξίσωση δείχνει ότι η ένταση της συνισταμένης δύναμης των υδροστατικών πιέσεων πάνω σε μία κεκλιμένη επιφάνεια Ε, ισούται με το ινόμενο του εμβαδού της επιφάνειας επί την υδροστατική πίεση πάνω στο κέντρο βάρους της, ή διαφορετικά, ισούται με το βάρος στήλης του υρού που έχει βάση την επιφάνεια Ε και ύψος την κατακόρυφη απόσταση του κέντρου βάρους της Ε από την ελεύθερη επιφάνεια του υρού..5.. Το κέντρο πίεσης Το σημείο εφαρμοής της συνισταμένης δύναμης των υδροστατικών πιέσεων ονομάζεται κέντρο πίεσης. Το κέντρο πίεσης στην περίπτωση των κεκλιμένων επιπέδων επιφανειών δεν συμπίπτει με το κέντρο βάρους της επιφάνειας, όπως συμβαίνει στην περίπτωση των οριζοντίων επιφανειών. Για τον υπολοισμό των συντεταμένων του κέντρου πίεσης, παίρνονται οι ροπές της συνισταμένης δύναμης πιέσεων F και εξισώνονται με τα αθροίσματα (ολοκληρώματα) των ροπών των συνιστωσών στοιχειωδών δυνάμεων πιέσεων ως προς τους άξονες Ψ και Χ οπότε προκύπτουν: Jy x x de E x E Jxy y xyde E y E όπου J y E k k J x de είναι η ροπή αδρανείας της επιφάνειας Ε ως προς τον άξονα Ψ και J xyde είναι η φυόκεντρη ροπή της επιφάνειας Ε ως προς τους άξονες Χ και Ψ. xy E Επειδή σύμφωνα με το θεώρημα του Steiner είναι: 0 0 J x E και J J x y E προκύπτει ότι : y y + k xy xy Jy Jxy x xk + και y yk + xke yke όπου x, y είναι οι συντεταμένες του κέντρου βάρους. k k k k Για την περίπτωση ορθοωνικής επιφάνειας με βάση b d είναι: 0 bd Jy και E bd Επομένως : x x k k bd + x x bd k d + x k Επειδή στις περισσότερες περιπτώσεις στην πράξη, οι πιεζόμενες επιφάνειες έχουν έναν άξονα συμμετρίας, ο οποίος παίρνεται σαν άξονας x, προκύπτει Jxy 0 και συνεπώς y 0,

34 0. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης δηλαδή το κέντρο πίεσης πέφτει πάνω στον άξονα συμμετρίας και συνεπώς δεν απομένει παρά να προσδιοριστεί το x. Από τις εξισώσεις φαίνεται ότι το κέντρο πίεσης μιας κεκλιμένης επιφάνειας βρίσκεται 0 J y πάντοτε χαμηλότερα από το κέντρο βάρους της κατά την ποσότητα. Όσο βαθύτερα x ke βρίσκεται το κέντρο βάρους της Ε τόσο πιο κοντά του βρίσκεται το κέντρο πίεσης και θεωρητικά ια x k προκύπτει x x k. Όλα τα παραπάνω ισχύουν και ια τις κατακόρυφες επίπεδες επιφάνειες, ια τις οποίες είναι φ 90 ο ημφ και επομένως x z και x k zk..6 Λυμένες ασκήσεις.6. H μανομετρική συσκευή του σχήματος χρησιμοποιείται ια την μέτρηση της διαφοράς πιέσεων μεταξύ δύο δοχείων νερού Α και Β. Ως μανομετρικό υρό χρησιμοποιείται χρωματισμένος τετραχλωριούχος άνθρακας ειδικού βάρους τ,6 gr*/cm. Να εκφραστεί η διαφορά πιέσεων A - Β συναρτήσει των υψών Η και Ζ ΑΒ και των ειδικών βαρών του νερού και τετραχλωριούχου άνθρακα. (Για την αριθμητική εφαρμοή: Ζ ΑΒ 0 και Η 0,60 m.) Λύση Για το νερό του δοχείου Α και τη διαχωριστική επιφάνεια Γ (σύστημα Α - Γ), αν ληφθεί ως επίπεδο αναφοράς το επίπεδο που περνάει από το κέντρο του σφαιρικού δοχείου Α προκύπτει : + H () A Γ 0 υ + υ Για τον τετραχλωριούχο άνθρακα και τις διαχωριστικές επιφάνειες Γ και Γ (σύστημα Γ - Γ ), αν ληφθεί ως επίπεδο αναφοράς το επίπεδο που περνάει από τη διαχωριστική επιφάνεια Γ προκύπτει :

35 Υδροστατική.... τ Γ + 0 H () Γ + τ Τέλος ια το νερό του δοχείου Β και τη διαχωριστική επιφάνεια Γ (σύστημα Γ -- Β), αν ληφθεί ως επίπεδο αναφοράς το επίπεδο που περνάει από τη διαχωριστική επιφάνεια Γ προκύπτει : υ B + 0 (H + H ZAB) () Γ + υ Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι : + H ( ) A Γ υ H ( ) Γ Γ + τ (H + H Z ) ( ) Γ B υ + AB Αν οι εξισώσεις ( ) ( ) και ( ) προστεθούν κατά μέλη προκύπτει : H + H + (H + H Z ) οπότε: A υ τ B υ + AB A B ( τ )H Z υ υ AB Αριθμητική εφαρμοή: gr * gr * gr * (,60 ) 60 cm 6 A B cm cm cm Το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει, αν ακολουθηθεί η ενική πορεία που περιράφεται στα απλά μανόμετρα. Είναι: H H + (H + H + Z ) ( )H Z A υ τ υ AB B A B τ υ υ AB.6. Ένα διαφορικό μανόμετρο προσαρμόζεται σε δύο διατομές Α και Β ενός οριζόντιου σωλήνα στον οποίο ρέει νερό. Η απόκλιση του υδραρύρου στο μανόμετρο είναι 0,60 m με χαμηλότερο το άκρο κοντά στο Α. Υπολοίστε τη διαφορά πίεσης μεταξύ των διατομών σε Pa, bar, Kg*/cm, at, atm, m H O, mhg και si.

36 . Μενέλαος Ε. Θεοχάρης Λύση Είναι : A z H O 0,6 m Ηg + (0,6m + Z)H O B A B z H O + 0,6 m Ηg 0,6m H O zh O 0,6 m (Ηg H Άρα : 0,6 m (,768 kn / m 9,80kN / m ) 74,4 kpa O A B x0 bar 0,744 bar 74,4mbar A B N 7440/9,8kg* kg* A B , m 0 cm cm kg* 0,7558 0,7558 0,7558at atm 0,77atm A B cm, A B 7440 Pa mho 7,558 mho A B 7440 Pa mhg 0,5558 mhg 555,8 mmhg 76, A B 7440Pa si 0,74 si 690, ) 7440 Pa.6. Στο διπλανό σχήμα, να βρεθεί πόσο θα μεταβληθεί η ένδειξη του μανομέτρου h, όταν η στάθμη του νερού ανέβει κατά ΔΗ,6 m. Δίδονται: ρ νερού 000 kg/m, ρ Hg 600 kg/m Λύση hhg Αρχική κατάσταση : H νερο ύ hhg 0 H h ( ) () Νέα κατάσταση : ΔH + H + Δh) (h + Δh) 0 (ΔH + H) Δh ( ) () ( νερού Hg νερού Hg Hg νερού Επομένως η ( ) λόω της ( ) ίνεται : νερού

37 Υδροστατική.... Δh ( ΔH Hg νερού Hg νερού) ΔH νερού + h νερού h νερού Δh () νερού Hg νερού Αριθμητική εφαρμοή:,6 m 000 kg/m 9,8m/s h ( 600 kg/m 000 kg/m ) 9,8m/s Δ 0,0 m.6.4 Ένα διαφορικό μανόμετρο με υρό ειδικού βάρους m, συνδέεται στο αριστερό άκρο του με δοχείο που περιέχει ασυμπίεστο υρό < m υπό πίεση. Το δεξιό άκρο επιμηκύνεται προς τα πάνω και καταλήει σε κυλινδρικό δοχείο διατομής η.σ, αν σ είναι η διατομή του μανομέτρου που περιέχει υρό ειδικού βάρους < με ελεύθερη επιφάνεια. Σε αύξηση Δ της πίεσης στο δοχείο η διαφορά στάθμης του μανομέτρου, που αρχικά ήτο δ 0, ίνεται δ. Ζητείται η τιμή της Δ, αν το μανομετρικό υρό είναι υδράρυρος, το υρό στο δοχείο είναι τετραχλωράνθρακας, το υρό στο δοχείο είναι νερό, η αρχική διαφορά στάθμης του μανομέτρου είναι δ ο 0 cm, η τελική διαφορά στάθμης του μανομέτρου είναι δ 40 cm και η 00. Λύση Αρχική κατάσταση : + h δ h h 0 () P 0 m Δ Νέα κατάσταση : + (h + h ) δ (h h ) (h + h ) 0 () P m Δ Δ δ δ0 Είναι : h h, δ δ0 h + h h h h δ δ0 δ δ0 Επίσης : h ΔEΔ h Eσωλ. h Δησ h σ h Δ η Επομένως η ( ) ίνεται:

38 4. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης δ δ0 δ δ0 δ δ0 + (h + ) δm (h ) (hδ + η ) 0 () P Αφαιρώντας κατά μέλη τις ( ) και ( ) έχομε : δ δ0 δ δ0 δ δ0 P P ΔP h δ0m h h + δm + h η δ δ δ δ0 ΔP (m ) ΔP (m η η ) η 0 Αριθμητική εφαρμοή : 0,40m 0,0m ΔP ( 600 kg/m 9,8 m/s 600 kg/m 9,8 m/s kg/m 9,8 m/s ) 97 Pa 0,97 bar 0,8atm 0, at, mho Κυλινδρικό δοχείο ύψους Η 6,00 m εμίζεται με τρία υρά που δεν ανακατεύονται μεταξύ τους, με το ίδιο βάρος από το καθένα υρό. Αν είναι νωστά τα σχετικά ειδικά βάρη των υρών σχ., 00, σχ., 60 σχ., 60, να δοθεί το διάραμμα διανομής της υδροστατικής πίεσης. Λύση Είναι : E δh Eδh Eδh h h h () Επίσης : h + h + h H 6,00 m () Επίλυση του συστήματος: h h Από τις σχέσεις () προκύπτει: h και h Από τη σχέση () με αντικατάσταση των h και h προκύπτει: h h h + + H οπότε: H h + + σχ. w σχ. w H h,5 m,00 + +,60,60 H + σχ. w + σχ. w σχ. σχ. H + σχ. + σχ.

39 Υδροστατική Με τον ίδιο τρόπο προκύπτουν: H H 6,00 m h,m, σχ ,60,60 σχ. σχ. σχ. και H H 6,00 m h 0,6 m, σχ ,60,60 σχ. σχ. σχ. Κατασκευή του διαράμματος διανομής της υδροστατικής πίεσης Για την κατασκευή του διαράμματος εφαρμόζεται η θεμελιώδης εξίσωση της υδροστατικής P + z σταθερό και προκύπτουν διαδοχικά: Πίεση στην κορυφή : Ρ0 0 Πίεση στην διαχωριστική επιφάνεια - : P P 0 + h P 0 + σχ. 0 +,00 469,0 Pa 0,5 at 9800 Pa / at Πίεση στην διαχωριστική επιφάνεια - : w h 980 N / m,5 m 469,0 Pa P P + h P + σχ. wh 4,69kPa +, N / m,m 69,7 kpa 0,707 at Πίεση στον πυθμένα : P P + h P + σχ. wh 69,7 kpa +, N / m 0,6 m 04,00 kpa,060 at

40 6. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης.6.6 Το νερό στο σωλήνα, που είναι προσαρμοσμένος στη δεξαμενή ABCD, φτάνει στο υψόμετρο Ε. Αμελώντας το βάρος της δεξαμενής και του σωλήνα, ζητούνται : α. Το μέεθος και το σημείο εφαρμοής της συνισταμένης δύναμης που ασκείται στην επιφάνεια ΑΒ, που έχει πλάτος,50 m. β. Η συνολική δύναμη στον πυθμένα της δεξαμενής.. Να συκριθεί το συνολικό βάρος του νερού με το αποτέλεσμα στο (β) και να εξηηθεί η διαφορά. Λύση α. Το βάθος το κέντρου βάρους της επιφανείας ΑΒ από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού στο ΟΕ είναι: (AB),00 m y Κ (AB) (OA) +,70m + 4,70 m Έτσι η δύναμη από υδροστατική δύναμη που ασκείται πάνω σε αυτή είναι : P ( AB) y S 9,8 kn/m 4,70 m,00 m,50 m 0,55 kn,50 t Κ(AB) (AB) και εφαρμόζεται σε απόσταση y (AB) από το Ο : y P G y b.d + y / S,50,00 m 4,70 m + 4,70 m,50 m,00 m (AB) Κ(AB) Κ(AB) (AB) 4,77 m β. Η πίεση στον πυθμένα BC είναι ομοιόμορφη, άρα η δύναμη είναι : ( BC) w y S 9,8 kn/m 5,70 m 6,00 m,50 m 88,755 kn 85,50 t (BC) (BC). Το συνολικό βάρος του νερού είναι : 9,8 kn/m (6,00 m,00 m,50 m +,70 m 0,0 m ) 97,9 kn 0,7 t w w Αν το κάτω μέρος της δεξαμενής θεωρηθεί σαν ελεύθερο σώμα κομμένο από το υπόλοιπο λίο πιο πάνω από τη βάση ΒC, τότε στην ΒC ασκούνται οι εξής δυνάμεις: i. Η δύναμη από υδροστατική πίεση η οποία είναι κατακόρυφη προς τα κάτω και ισούται με: P ( BC) 88,755 kn 85,50 t ii. Η κατακόρυφη τάση των τοιχωμάτων της δεξαμενής η οποία οφείλεται στην προς

41 Υδροστατική τα πάνω δύναμη στην οροφή AD της δεξαμενής, που είναι: P ( AD) y S 9,8 kn/m,70 m (6,00 m,50 m - 0,m ) 540,85 kn 55, t (AD) (BD) iii. Η αντίδραση του δαπέδου η οποία πρέπει να είναι ίση με το συνολικό βάρος του νερού, δηλαδή: P ( Δ) 97,9 kn 0,7 t Έτσι εξηείται το φαινομενικό παράδοξο, εφ όσον ια το ελεύθερο σώμα, που θεωρήθηκε, το άθροισμα των κατακόρυφων δυνάμεων είναι: Σ P( BC) P(BC) P(AD) P(Δ ) 85,50 t 7,7 t 55, t 0 συνθήκη ισορροπίας. και επομένως ικανοποιείται η.6.7 Μια ορθοωνική αυτόματη θυρίδα βρίσκεται σε βάθος h από την επιφάνεια του νερού και μπορεί να περιστρέφεται ύρω από τον άξονα D - D κατά τη φορά που φαίνεται στο σχήμα. Οι διαστάσεις της θυρίδας είναι b,00 m και a 4,00 m. Αν η απόσταση GP είναι e 0,0 m, ζητείται: α. Το βάθος, που πρέπει να τοποθετηθεί η θυρίδα, ώστε η συνισταμένη από υδροστατική πίεση δύναμη να περνάει από τον άξονα περιστροφής. β. Το μέτρο της συνισταμένης δύναμης.. Να ίνει διερεύνηση της κίνησης της θυρίδας. Λύση α. Θα πρέπει το κέντρο πιέσεων P να ταυτίζεται με το D δηλαδή y y. n Άρα GP e y n y 0 y y 0 Είναι : y y 0 ba / + y y S 0 y 0 ba / (h + a / )ba

42 8. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης ba / ba / Επομένως e y y 0 h + (h + a / )b a e b a Για a 4,00 m και e 0,0 m προκύπτει: 4,00 m 4,00 m h h 4,667 m 0,0 m β. Το μέτρο της συνισταμένης δύναμης είναι : a a h e α kn 4,00 m P y 0 S (h + )bα P 9,8 (4,667 m + ),00 m 4,00 m 5, kn m. Εάν είναι h > 4,667 m, τότε η απόσταση e < 0,0 m δηλαδή η συνισταμένη περνάει πιο πάνω από τον άξονα περιστροφής D-D. Επομένως η θυρίδα περιστρέφεται δεξιόστροφα περί τον άξονα D-D και παραμένει συνεχώς ανοιχτή. Εάν είναι h < 4,667 m, τότε η απόσταση e > 0,0 m δηλαδή η συνισταμένη περνάει πιο κάτω από τον άξονα περιστροφής D-D. Επομένως η θυρίδα τείνει να περιστραφεί αριστερόστροφα περί τον άξονα D-D. Επειδή αυτό δεν μπορεί να ίνει η θυρίδα παραμένει συνεχώς κλειστή..6.8 Μία ορθοώνια θυρίδα που έχει ύψος m και πλάτος 4 m, κλείνει την είσοδο μίας σήραας με ωνία 60 0 και στηρίζεται πάνω σε ειδική υποδοχή στο σημείο B, όπως φαίνεται στο σχήμα. Εάν το βάθος του νερού ανάντη της θυρίδας είναι 0,0 m να βρεθεί. α) Η ολική υδροστατική πίεση πάνω στη θυρίδα. β) Η θέση του κέντρου πίεσης. ) Η αντίδραση στο σημείο B της στήριξης της θυρίδας. a Λύση Πρώτα υπολοίζεται το z 0,0 m -,50 m ημ60 0,0 m -,50 m 0 k α. Η ολική δύναμη από υδροστατική πίεση υπολοίζεται από την εξίσωση P Z S 9,8 kn/m 9,00 m,00 m 059,48 kn 08,00 t Κ (ΓB) β. Είναι: b.h / h / x x Κ + x Κ + x bh x Κ Κ 9,00 m

43 Υδροστατική και επειδή προκύπτει z k 9,00m ημθ ημ60 9,00m 0,867 x k 0 x,00 m 0,40m + 0,40m 0,40 m 0,47m Άρα x x Κ 0,47m 0,40m 0,07m Επομένως η απόσταση του κέντρου πίεσης από το από το Γ είναι : ΓΡ,50m 0,07m,48m. Παίρνοντας τις ροπές των P και R ως προς το σημείο Γ προκύπτει:,00mr 059,48kN,48m R 504,4kN 5,40t.7 Άλυτες ασκήσεις.7. Ένα κλειστό δοχείο περιέχει αέρα υπό πίεση και υρό με πυκνότητα ρ υρού (900+Ν)kg/m. Ένα υδραρυρικό μανόμετρο τύπου U συνδέεται στο δοχείο όπως φαίνεται στο σχήμα. Για h 0,94m, h 0,5m και h 0,8m, να προσδιορισθεί η ένδειξη στο πιεσόμετρο. (Απάντηση ια Ν 0 : A 0940,0 Ρa).7. Στο παρακάτω σχήμα, τα εμβαδά των κυλίνδρων Α και Β είναι αντίστοιχα 0,004 και 0,4 m και το βάρος του Β είναι Β (40 +Ν) kn. Το περιεχόμενο υρό είναι λάδι σχετικής πυκνότητας 0,75. Τι δύναμη F απαιτείται να εφαρμοστεί επάνω στο Α ια να υπάρξει ισορροπία, ανοώντας το βάρος του Α? (Απάντηση ια Ν 0 : PΑ 0,5 kν)

44 40. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης.7. Στο μανόμετρο του σχήματος να υπολοιστεί η διαφορά πιέσεων - σε kpa, σε bar σε at, σε atm και σε mh O. Δίδονται : H (,00+0,N) cm, ρ νερού 000 kg/m και ρ μαν. υρ 800 kg/m (Απάντηση ια Ν0 : -,544 kρa 0,05 bar 0,04 at 0,0 atm 0,40 mho).7.4 Ορθοωνική θυρίδα ΑΒ χρησιμεύει ια να ρυθμίζει τη στάθμη του νερού ανάντη στη διώρυα πλάτους b. Η θυρίδα στηρίζεται στα σημεία Α και Β και έχει άρθρωση στο Γ ύρω από την οποία μπορεί να περιστραφεί. Ζητούνται να υπολοιστούν : α. Η θέση της άρθρωσης Γ, αν η στάθμη του νερού σε κάποια στιμή είναι ύψους Η. β. Η δύναμη που δέχεται η θυρίδα από υδροστατική πίεση. Δίδονται : b (,00 +0,0N)m, H,00 m και ρ νερού 000 kg / m ( Απάντηση ια Ν 0 : ΑΓ 0,94 m, P 55,494 kn)

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ Υ ΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗ.. Αρχές της υδροδυναμικής.. Εισαωή Στην Υδροστατική εξετάστηκαν τα ρευστά σε ισορροπία, όπου η μόνη σημαντική ιδιότητα ήταν το βάρος. Σε αυτό το κεφάλαιο θα περιραφούν και άλλες έννοιες που θα χρειαστούν ια τη μελέτη των ρευστών σε κίνηση. Η ροή των ρευστών είναι πολύπλοκη και δεν υπόκειται πάντα σε ακριβή μαθηματική ανάλυση. Αντίθετα με τα στερεά, τα σωματίδια ενός ρέοντος ρευστού μπορούν να κινηθούν με διαφορετικές ταχύτητες και διαφορετικές επιταχύνσεις. Τρεις σημαντικές αρχές στη ροή των ρευστών είναι οι εξής : α. Η αρχή της διατήρησης της μάζας από την οποία προκύπτει η εξίσωση της συνέχειας. β. Η αρχή της κινητικής ενερείας, από την οποία προκύπτουν ορισμένες εξισώσεις ροής.. Η αρχή της ορμής, πάνω στην οποία θεμελιώνονται οι εξισώσεις με τις οποίες υπολοίζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται από τα κινούμενα ρευστά... Η ροή των ρευστών Η ροή των ρευστών μπορεί να είναι μόνιμη ή μη μόνιμη, ομοιόμορφη ή ανομοιόμορφη, στρωτή ή τυρβώδης, μονοδιάστατη, δισδιάστατη ή τρισδιάστατη και στροβιλή ή αστρόβιλη. Μονοδιάστατη ροή ενός ασυμπίεστου ρευστού πραματοποιείται όταν η διεύθυνση και το μέτρο της ταχύτητας είναι τα ίδια σε όλα τα σημεία. Όμως μονοδιάστατη ανάλυση της ροής είναι αποδεκτή, όταν ως κύρια κατεύθυνση αυτής λαμβάνεται η κατά μήκος της κεντρικής ραμμής ροής και όταν οι ταχύτητες και επιταχύνσεις, που είναι κάθετες στη ραμμή ροής είναι αμελητέες. Σε τέτοιες περιπτώσεις οι μέσες τιμές της ταχύτητας, της πίεσης και του υψομέτρου θέσης θεωρούνται ότι αντιπροσωπεύουν τη ροή στο σύνολό της και δευτερεύουσες μεταβολές αμελούνται. Για παράδειμα η ροή σε καμπύλους σωλήνες αναλύεται με τη βοήθεια των αρχών της μονοδιάστατης ανάλυσης, παρά το εονός ότι η κατασκευή έχει τρεις διαστάσεις και η ταχύτητα ποικίλει κατά πλάτος μιας τυχούσας διατομής κάθετης προς τη ροή. Δισδιάστατη ροή πραματοποιείται όταν τα ρευστά σωματίδια κινούνται σε επίπεδο ή σε παράλληλα επίπεδα και το διάραμμα των ραμμών ροής είναι το ίδιο σε κάθε επίπεδο. Σε ροή ιδεατού ρευστού όπου δεν υπάρχουν διατμητικές τάσεις και συνεπώς δεν υπάρχουν ροπές και δεν μπορεί να υπάρξει και περιστροφική κίνηση των σωματιδίων του ρευστού ύρω από το κέντρο μάζας του. Μία τέτοια ιδεατή ροή, που μπορεί να παρασταθεί με ένα δίκτυο ροής, ονομάζεται αστρόβιλη ροή.

46 Υδροδυναμική Μόνιμη ροη Μόνιμη ροή πραματοποιείται όταν, σε κάθε σημείο, η ταχύτητα διαδοχικών σωματιδίων του ρευστού σε διαδοχικούς χρόνους είναι ίδια. Έτσι, η ταχύτητα είναι σταθερή σε σχέση με το χρόνο δηλαδή ισχύει: V 0, t αλλά μπορεί να μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο ή σε σχέση με την απόσταση. Από αυτό συμπεραίνεται ότι και άλλες μεταβλητές της ροής θα είναι ανεξάρτητες του χρόνου, όπως η πυκνότητα, η πίεση, η παροχή, η θερμοκρασία κ.λπ., δηλαδή: ρ Q T 0, 0, 0, 0 κ.λπ.. t t t t Τα περισσότερα προβλήματα ροής στην πράξη, εμφανίζονται σε συνθήκες μόνιμης ροής. Για παράδειμα, η ροή σε σωλήνες μεταφοράς υρών με σταθερό ενερειακό ύψος και η εκροή από οπές με σταθερά ενερειακά ύψη είναι παραδείματα μόνιμης ροής. Αυτές οι ροές μπορεί να είναι ομοιόμορφες ή ανομοιόμορφες. Η πολυπλοκότητα της μη μόνιμης ροής, ξεφεύει από το σκοπό ενός βιβλίου εισαωικού στη ρευστομηχανική. Η ροή είναι μη μόνιμη, όταν οι συνθήκες ροής σε ένα σημείο μεταβάλλονται σε συνάρτηση με το χρόνο, δηλαδή είναι όταν ισχύει: V 0. t... Ομοιόμορφη ροη Ομοιόμορφη ροή πραματοποιείται όταν το μέτρο και η διεύθυνση της ταχύτητας δεν μεταβάλλονται από σημείο σε σημείο μέσα στο ρευστό δηλαδή ισχύει: V 0 s Από αυτό συμπεραίνεται ότι κι άλλες μεταβλητές της ροής δεν μεταβάλλονται με την απόσταση, δηλαδή: y s ρ Q T 0, 0, 0, 0, 0 s s s s V s 0 κ.λπ.. Η ροή υρών με πίεση μέσα από μακρείς σωλήνες με σταθερή διάμετρο είναι ομοιόμορφη ροή, ανεξάρτητα από το αν η ροή αυτή είναι μόνιμη ή μη μόνιμη. Ανομοιόμορφη ροή πραματοποιείται όταν η ταχύτητα, το βάθος, η πίεση κ.λπ. V μεταβάλλονται από σημείο σε σημείο μέσα στη ροή του ρευστού, ή 0. s.. Οι ραμμές ροής Οι ραμμές ροής, ή ροϊκές ραμμές, είναι ιδεατές καμπύλες σχεδιασμένες μέσα στο ρευστό, που δείχνουν την κατεύθυνση της κίνησης στα διάφορα τμήματα ροής του ρευστού.

47 46. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης Η εφαπτομένη σε ένα σημείο της καμπύλης παριστάνει τη στιμιαία διεύθυνση της ταχύτητας των σωματιδίων του ρευστού σε αυτό το σημείο. Η μέση διεύθυνση της ταχύτητας μπορεί με τον ίδιο τρόπο να παρασταθεί με εφαπτόμενες στις ραμμές ροής. Αφού η συνιστώσα του διανύσματος της ταχύτητας η κάθετη προς τη ραμμή ροής είναι μηδέν, είναι προφανές ότι δεν μπορεί να υπάρξει ροή εκάρσια προς τις ραμμές ροής...4 Οι σωλήνες ροής Σωλήνας ροής, ή ροϊκός σωλήνας ονομάζεται ένα στοιχειώδες τμήμα του ρέοντος ρευστού που περιέχεται μέσα σ' ένα σύνολο ραμμών ροής που περικλείει τη ροή. Αν η διατομή του ροϊκού σωλήνα είναι αρκετά μικρή, τότε τον ονομάζουμε ροϊκό νήμα και η ταχύτητα του κεντρικού σημείου κάθε διατομής θεωρείται σαν μέση ταχύτητα της διατομής στο σύνολό της...5 Τα δίκτυα ροής Τα δίκτυα ροής σχεδιάζονται ια να καθορίσουν το διάραμμα ροής σε περιπτώσεις δισδιάστατης ροής ή ακόμη και σε περιπτώσεις τρισδιάστατης ροής. Το δίκτυο ροής αποτελείται από : α. Ένα σύστημα ραμμών ροής, επιλεμένων έτσι ώστε η παροχή να είναι η ίδια μεταξύ κάθε διαδοχικού ζεύους ραμμών και β. Ένα άλλο σύστημα ραμμών κάθετων στις ραμμές ροής επιλεμένο έτσι ώστε η απόσταση μεταξύ των καθέτων ραμμών να ισούται με την απόσταση μεταξύ των ειτονικών ραμμών ροής. Ένας άπειρος αριθμός ραμμών ροής απαιτείται ια την πλήρη περιραφή της ροής ια δεδομένες οριακές συνθήκες. Ωστόσο, στην πράξη χρησιμοποιούμε ένα μικρό αριθμό τέτοιων ραμμών ροής εφόσον βέβαια εξασφαλίζουμε αποδεκτή ακρίβεια.. Η εξίσωση συνεχείας Η εξίσωση συνέχειας προκύπτει από την αρχή διατήρησης της μάζας. Για μόνιμη ροή, η μάζα που περνάει απ' όλες τις διατομές ενός ρεύματος ρευστού στη μονάδα του χρόνου είναι η ίδια ια όλες τις διατομές και διατυπώνεται ως εξής : ρ EV ρ E V σταθερή ή g EV ρ g E V ρ ( σε μονάδες βάρους) Για ασυμπίεστα ρευστά όπου ρ ρ ια κάθε πρακτικό σκοπό, η εξίσωση ίνεται: Q E σταθερή (σε m /s ) V E V όπου E και V, είναι η διατομή σε m και η μέση ταχύτητα ροής σε m/s στη διατομή, και E και V, είναι η διατομή σε m και η μέση ταχύτητα ροής σε m/s στη διατομή. Οι μονάδες παροχής που χρησιμοποιούνται συνηθέστερα είναι τα m /s και τα l/s.. Η εξίσωση ενερείας Η εξίσωση ενέρειας προκύπτει από την εφαρμοή της αρχής διατήρησης ενέρειας σε ροή ρευστού. Η ενέρεια που υπάρχει σε ένα ρέον ρευστό απαρτίζεται από την εσωτερική ενέρεια και τις ενέρειες που οφείλονται στην πίεση, στην ταχύτητα και στη θέση. mv m H ολ. H δυν. + H πιεσ. + H κιν. mgz + + mgz + + ρ mv

48 Υδροδυναμική Aν τα δύο μέλη στην παραπάνω εξίσωση διαιρεθούν με mg προκύπτει η ολική ενέρεια ανά μονάδα βάρους ρέοντος ρευστού από τη σχέση: V h z + + g Στη διεύθυνση της ροής η αρχή διατήρησης της ενερείας συνοψίζεται σε μία ενική εξίσωση ως εξής: (ενέρεια στη διατομή ) + (ενέρεια που προστίθεται ) - (ενέρεια που χάνεται ) - (ενέρεια που αφαιρείται ) (ενέρεια στη διατομή ) Αυτή η εξίσωση, ια μόνιμη ροή ασυμπίεστου ρευστού, όπου η μεταβολή εσωτερικής ενερείας είναι αμελητέα, παίρνει τη συκεκριμένη μορφή : P V P V + + z H A H L H E z ρg g ρg g Αυτή είναι η εξίσωση του Bernoulli, ή λέμε ότι εκφράζει το θεώρημα του Bernoulli. Πρακτικά, σε όλα τα προβλήματα που σχετίζονται με τη ροή υρών χρησιμοποιείται η εξίσωση αυτή σαν βάση... Το ύψος κινητικής ενερείας Το ύψος κινητικής ενερείας, ή ύψος ταχύτητας, παριστάνει την κινητική ενέρεια ανά μονάδα βάρους ρέοντος ρευστού που υπάρχει σε ένα συκεκριμένο σημείο. Αν η ταχύτητα σε μια διατομή ήταν ομοιόμορφη, τότε το ύψος ταχύτητας υπολοισμένο με αυτή την ομοιόμορφη ή μέση ταχύτητα θα ήταν η πραματική κινητική ενέρεια ανά μονάδα βάρους του ρευστού. Αλλά ενικά η κατανομή της ταχύτητας είναι ανομοιόμορφη. Η πραματική κινητική ενέρεια βρίσκεται με ολοκλήρωση του διαφορικού της κινητικής ενερείας από ραμμή ροής σε ραμμή ροής. Για την απλούστευση των υπολοισμών, στην εξίσωση ενερείας και συκεκριμένα στον παράοντα της κινητικής ενερείας, εφαρμόζεται συντελεστής, α, ο οποίος ονομάζεται συντελεστής συνορθώσεως της κινητικής ενερείας και επομένως η κινητική ενέρεια δίνεται από τη σχέση : αvμεση h κιν. g Μελέτες έχουν δείξει ότι: ια ομοιόμορφη κατανομή της ταχύτητας είναι α 0, ια τυρβώδη ροή είναι α,0 έως,5 και ια στρωτή ροή είναι α,00. Στους περισσότερους υπολοισμούς στη μηχανική των ρευστών, ο συντελεστής συνορθώσεως της κινητικής ενερείας α λαμβάνεται ίσος με,0 χωρίς αυτό να προκαλεί σοβαρό λάθος στο αποτέλεσμα, εφόσον το ύψος κινητικής ενερείας είναι ενικά ένα μικρό ποσοστό του ολικού ύψους ενερείας.

49 48. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης.. Εφαρμοή της εξίσωσης ενερείας Η εφαρμοή της εξίσωσης ενερείας, ια την επίλυση των διαφόρων προβλημάτων ροής, θα πρέπει να είναι ορθολοική και συστηματική. Η διαδικασία, που είναι σκόπιμο να ακολουθείται είναι η εξής:. Σχεδιάζεται το σύστημα με εκλοή και ονομασία όλων 5των εξεταζομένων διατομών της ροής.. Εφαρμόζεται η εξίσωση ενερείας κατά τη διεύθυνση της ροής. Εκλέεται ένα επίπεδο αναφοράς ια κάθε εξίσωση που ράφεται. Είναι σκόπιμο το επίπεδο αναφοράς να είναι αρκετά χαμηλό ια να μην προκύπτουν αρνητικά πρόσημα και έτσι να αποφεύονται τα λάθη.. Υπολοίζεται η ενέρεια στη διατομή. Η ενέρεια εκφράζεται σε μέτρα ρευστού, ή σε j/n. (ενέρεια ανά μονάδα βάρους ρέοντος ρευστού ). Όπως και στην εξίσωση συνέχειας, το V θεωρείται ότι είναι η μέση ταχύτητα της διατομής με αποδεκτή ακρίβεια. 4. Προστίθεται (σε μέτρα ρευστού) κάθε ενέρεια που προσφέρεται από μηχανές. 5. Αφαιρείται (σε μέτρα ρευστού) κάθε απώλεια ενερείας της ροής. 6. Αφαιρείται (σε μέτρα ρευστού) κάθε ενέρεια, που απορροφάται από μηχανές ( όπως οι υδροστρόβιλοι ). 7. Εξισώνεται αυτό το άθροισμα των ενερειών με το άθροισμα του ύψους πίεσης, του ύψους κινητικής ενερείας και του υψόμετρου θέσης στη διατομή. 8. Αν τα δύο ύψη κινητικής ενερείας είναι άνωστα, τα συσχετίζονται μεταξύ τους με τη βοήθεια της εξίσωσης συνέχειας... Η ραμμή ενερείας Η ραμμή ενερείας είναι μια ραφική απεικόνιση της ενερείας σε κάθε διατομή κατά μήκος της ροής. Σε σχέση με ένα δεδομένο επίπεδο αναφοράς, η συνολική ενέρεια (εκφραζόμενη σε μέτρα) μπορεί να σχεδιαστεί σε κάθε αντιπροσωπευτική διατομή και η ραμμή που προκύπτει με αυτό τον τρόπο είναι πολύ χρήσιμη σε πολλά προβλήματα ροής. Η ραμμή ενερείας θα κλίνει (πέφτει) στην κατεύθυνση της ροής με εξαίρεση τα σημεία όπου προσθέτεται ενέρεια από μηχανές...4 Η πιεζομετρική ραμμή Η πιεζομετρική ραμμή βρίσκεται κάτω από τη ραμμή ενερείας κατά μια ποσότητα ίση με το ύψος της κινητικής ενερείας στη διατομή. Οι δύο ραμμές είναι παράλληλες ια όλες τις διατομές ίσου εμβαδού. Η τεταμένη μεταξύ του άξονα της ροής και της πιεζομετρικής ραμμής είναι το ύψος πίεσης στη διατομή..4 Η εξίσωση ποσότητας κινήσεως Η μαθηματική διατύπωση του νόμου της διατηρήσεως της ποσότητα κινήσεως, που βασίζεται στο δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, είναι νωστή στη μηχανική των ρευστών σαν ''εξίσωση της ποσότητας κινήσεως". Η εξίσωση αυτή, μαζί με τις εξισώσεις συνέχειας και ενερείας, χρησιμοποιείται ια την επίλυση των προβλημάτων της Εφαρμοσμένης Υδραυλικής που δεν ήταν δυνατό να επιλυθούν μόνον με τις εξισώσεις συνεχείας και ενερείας.

50 Υδροδυναμική Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα μπορεί να διατυπωθεί ενικότερα ως εξής : dm Σ F dt δηλαδή, το διανυσματικό άθροισμα ΣF, όλων των εξωτερικών δυνάμεων που ενερούν σε μια μάζα ρευστού ισούται με την τιμή της χρονικής μεταβολής του διανύσματος της ραμμικής ποσότητας κινήσεως, Μ, της μάζας του ρευστού. Οι εξωτερικές δυνάμεις αποτελούνται από τους παρακάτω δύο τύπους : (α) Από τις επιφανειακές δυνάμεις, που περιλαμβάνουν: i) Τις κάθετες προς τα όρια της επιφάνειας δυνάμεις πιέσεως και ii) Τις παράλληλες προς τα όρια της επιφάνειας δυνάμεις τριβής, Fτ, λόω της συνεκτικότητας. (β) Από τις σωματικές ή δυνάμεις δυναμικού, Fg, όπως είναι οι δυνάμεις βαρύτητας, ηλεκτρομανητικού πεδίου κ.λπ. Το διάνυσμα της ποσότητας κινήσεως, Μ, ισούται με τη μάζα του ρευστού επί το διάνυσμα της ταχύτητας δηλαδή Μ m.v d M d(mv) Επομένως Σ F ρqdv dt dt Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταμένων, ια σταθερή ασυμπίεστη ροή παραπάνω εξίσωση παίρνει την αναλυτική μορφή : ΣFx Fx + Fτx + Fgx β ρ Q (Vx Vx) ΣFy Fy + Fτy + Fgy β ρ Q (Vy Vy ) ΣFz Fx + Fτz + Fgz β ρ Q (Vz Vz ) Για μονοδιάστατη ροή είναι: ΣF F + Fτ + Fg β ρ Q (V V ) Ο συντελεστής β ονομάζεται συντελεστής συνορθώσεως της ποσότητας κινήσεως ο οποίος οφείλεται στην ανομοιόμορφη κατανομή της ταχύτητας και ο οποίος είναι πάντοτε μεαλύτερος από τη μονάδα. Για στρωτή ροή είναι β,, ενώ ια τυρβώδη ροή είναι β,0.στην πράξη παίρνεται β..5 Χρησιμοποίηση των εξισώσεων ποσότητας κινήσεως Γενικά, οι εξισώσεις της ποσότητας κινήσεως χρησιμοποιούνται ια την επίλυση των παρακάτω δύο τύπων προβλημάτων:. Για τον προσδιορισμό των συνισταμένων δυνάμεων που εξασκούνται τα όρια ενός αωού από τη ροή ενός ρευστού, εξαιτίας της μεταβολής της ταχύτητας κατά τη διεύθυνση ή και κατά την ένταση. Τέτοια προβλήματα συναντώνται στις ωνίες σωληνωτών αωών, στους συνδέσμους βαθμιαίας μεταβολής της διαμέτρου σωληνωτού αωού, στις προσκρούσεις του νερού σε στερεά αντικείμενα όπως είναι οι πλάκες, τα πτερύια κ.λπ..

51 50. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης. Για τον προσδιορισμό των χαρακτηριστικών των ανομοιόμορφων ροών όταν λαμβάνουν χώρα απότομες μεταβολές των διατομών ροής. Τέτοια προβλήματα συναντώνται στις απότομες διαπλατύνσεις των κλειστών και ανοικτών αωών, στα υδραυλικά άλματα των ανοικτών αωών κ.λπ.. Στις περιπτώσεις αυτές που παρατηρείται απώλεια σημαντικού ποσού ενερείας χρησιμοποιείται πρώτα η εξίσωση της ποσότητας κινήσεως ια τον καθορισμό των χαρακτηριστικών της ροής και έπειτα χρησιμοποιείται η εξίσωση ενερείας ια τον υπολοισμό του ποσού της απώλειας της ενερείας κατά τη διαδικασία της ροής..6 Η ισχύς της αντλίας Η ισχύς υπολοίζεται με πολλαπλασιασμό του αριθμού των N του ρευστού ανά s (ρ.g.q), επί την ενέρεια H σε j/n. Η εξίσωση της ισχύος ράφεται: P ρ g Q H N [ m m s j j N s w].7 Λυμένες ασκήσεις υδροδυναμικής.7. Όταν 800 lit ανά λεπτό ρέουν σε ένα σωλήνα διαμέτρου 0,0 m, ο οποίος κατάντη στενεύει σε σωλήνα 0,5 m, να υπολοιστούν οι μέσες ταχύτητες στους δύο σωλήνες. Λύση Είναι : Άρα: V 0 Q (m / s) lit/s ,4 m/s και V5,68 m/s.π.0,0.π.0, m / s.7. Λάδι σχετικής πυκνότητας 0,750 ρέει σε ένα σωλήνα διαμέτρου 50 mm με πίεση,05 bar. Αν η συνολική ενέρεια σε σχέση με ένα δεδομένο επίπεδο αναφοράς,50 m κάτω από το κέντρο του σωλήνα είναι 8 m, βρείτε την παροχή του λαδιού σε m /s. Λύση Η ενέρεια ανά Ν λαδιού είναι : Η ( δυναμική ενέρεια ) + ( ενέρεια πίεσης ) + ( ύψος κινητικής ενέρειας ) Άρα :

52 Υδροδυναμική m,50 m +, , Pa N/m V + 9,8 m/s V,50 m +, , N/m N/m 8 m. 9,8 m/s 5,00 m /s V 5,00 m/s Οπότε π. 0,5 Q E.V 4 m.5 m/s 0,088 m / s.7. Η ισχύς ενός στροβίλου εκτιμάται σε 450 KW όταν η παροχή νερού είναι 0,60 m /s. Υποθέτοντας απόδοση n 87 %, ποίο είναι το ύψος της ενέρειας που εφαρμόζεται στο στρόβιλο : Λύση Αν ανάντη του στροβίλου επιβάλλεται ισχύς Pαν., η αποδιδόμενη από το στρόβιλο ισχύς θα είναι P. n ρ.g. H. n σε W (Watts ) P στρ. αν. Άρα : J/s (000. 9,8) N/m.0,60 m /s. H. 0,87 H 88 J /N 88 m.7.4 Ένας σωλήνας, που μεταφέρει πετρέλαιο σχετικής πυκνότητας 0,877, αλλάζει σε μέεθος από 50 mm στη διατομή Ε σε 450 mm στη διατομή R. Η διατομή Ε είναι 4 m χαμηλότερα από την R και οι πιέσεις είναι 0,9 bar και 0,6 bar αντίστοιχα. Αν η παροχή είναι 0,5 m / sec, να υπολοιστεί η απώλεια ενέρειας κατά την κατεύθυνση της ροής. Λύση Από την εφαρμοή της εξίσωσης συνέχειας στις διατομές Ε και R και προκύπτει : 0,5 8,50 m/s και 0,5 VR 0,94 m/s 0,5.,4 0,45.,4 4 4 VE Από την εφαρμοή της εξίσωσης ενέρειας μεταξύ των διατομών Ε και R και προκύπτει : H H ΔH h E E ΔΗ + Ε-R E R E R VE + (h.g R + 4,0 J/N,00 J/N,0 m R 5 5 VR 8,50 0,90.0 0,94 0, ) g.9,8 0, ,8 0,

53 5. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης.7.5 Ροή ασυμπίεστου ρευστού πυκνότητας ρ, πραματοποιείται δια μέσου του μετρητή Venturi που φαίνεται στο σχήμα, και έχει διαμέτρους D 00 mm και D 50 mm στις διατομές και αντίστοιχα. Υποθέτοντας ομοιόμορφη ροή στις διατομές και και αμελώντας τις απώλειες ενέρειας μεταξύ των διατομών και, να βρεθεί η διαφορά πίεσης -, όταν η παροχή είναι 500 lit/s. Αριθμητική εφαρμοή ια την περίπτωση ροής νερού. Λύση Από την εξίσωση συνέχειας μεταξύ των διατομών και και προκύπτει: πd πd 4Q Q Q Q V V Q V και V 4 4 Για να υπολοιστεί, στη συνέχεια η διαφορά πιέσεων μεταξύ των διατομών και, εφαρμόζεται η εξίσωση ενερείας με οριζόντιο επίπεδο αναφοράς το επίπεδο που περνάει από τον άξονα του μετρητή Venturi, αμελώντας τις απώλειες ενέρειας μεταξύ των διατομών και. Επομένως : V h h z + + z + +.g πd V g 4Q πd και επειδή z z είναι και V V + + οπότε :.g g V V (V V ) ρ g Τελικά με αντικατάσταση των ταχυτήτων από την εξίσωση συνεχείας προκύπτει: 8.ρ.Q π. ( D Αριθμητική εφαρμοή : 4,57 atm ,50,4 D ). ( 4 0,5 4 m H 4 O 0,00 4 ) 4570 N/m 0,457 MPa

54 Υδροδυναμική Νερό ρέει με φορά προς τα πάνω σε έναν κατακόρυφο μετρητή Venturi 00 mm x 50 mm. Το διαφορικό μανόμετρο έχει απόκλιση,8 m υρού σχετικής πυκνότητας,5 όπως φαίνεται στο σχήμα. Ζητείται η παροχή σε m /s Λύση Από την εξίσωση ενερείας με οριζόντιο επίπεδο αναφοράς το επίπεδο που περνάει από το σημείο Α του μετρητή Venturi, αμελώντας τις απώλειες ενέρειας μεταξύ των διατομών Α και Β προκύπτει: ΗΑ ΗΒ A VA B z A + + z B + +.g VB g και επειδή zα 0 και zβ 0,457 m VA.g 0,457+ A B + VB g + () V B A B. ( ) ρ ρ. E B ( ) E A Από την εξίσωση συνέχειας μεταξύ των διατομών Α και Β και προκύπτει: VB.E B VB.E B Q QΑ QΒ V A VA () E E Από την εξίσωση () λόω της () προκύπτει: A A V B. A B ( ) -.g.0,457 ρ ρ EB ( ) E A και επομένως: Q A B. ( ) -.g.0,457 ρ ρ E B. () E B ( ) E A Από την εξίσωση των μανομέτρων προκύπτει:

55 54. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης A + (n +,8). νερ.,8. υρ. m. νερ. B A B,8. υρ. + m. νερ. (n +,8). νερ. A B,8. υρ. + ( m - n,8). νερ.,8. υρ. 0,7. νερ. (4) οπότε τελικά : Q E B..,8. ( υρ. ρ 0,7. νερ. ( E E B A νερ. ) ) -.g.0,457 Για τα δεδομένα του προβλήματος : ΕΒ 0,5.,4 4 0,077 m ΕΑ 0,0.,4 4 0,070 m και υρ.,5.νερ. Q 0,077..,8.,5. ( ρ νερ. ρ g 0,7. ρ νερ. - 0,77 ( 0,070 ) νερ. g ) -.g.0,457 Q 0, ,8. (,8.,5-0,7 0,077 - ( ) 0,070-0,457) 0,044 m /s 44 lit/s.7.7 Οριζόντιος κυκλικός αωός διαμέτρου D 50 mm, καταλήει σε ακροφύσιο διαμέτρου d 5 mm, όπως φαίνεται στο σχήμα δια μέσου του οποίου η υρή φλέβα νερού εκρέει στην ατμόσφαιρα. Η πίεση στη διατομή είναι 5 m. Ζητούνται : α. Η παροχή που εκρέει από τη φλέβα. β. Ποία είναι η δύναμη που ασκείται στα μπουλόνια.

56 Υδροδυναμική Λύση α. Εκλέουμε το σταθερό πεπερασμένο όκο αναφοράς που ορίζεται από τα στερεά όρια του ακροφυσίου και τις διατομές και κάθετες προς τις ραμμές ροής σε περιοχές ομοιόμορφης ροής, και εφαρμόζουμε τις εξισώσεις συνεχείας και ενερείας στις διατομές αυτές. Εφαρμόζουμε την εξίσωση συνέχειας μεταξύ των διατομών και και βρίσκουμε: Q Q Q V.D.d V V V. d 4.Q V 4 4 D π.d και V 4.Q. π. π π.d Στη συνέχεια εφαρμόζουμε την εξίσωση ενερείας μεταξύ των διατομών και με οριζόντιο επίπεδο αναφοράς το επίπεδο που περνάει από τον άξονα του αωού, αμελώντας τις απώλειες ενέρειας μεταξύ των διατομών και. Έχομε επομένως : h h z z z 0 καθώς επίσης και atm 0 V.g V g V.g z V V + V g () + και επειδή ρ () Λόω της () η () ράφεται: 6.Q και επειδή V π.d προκύπτει η σχέση : 6.Q 6.Q + 4 π.d ρ π.d η οποία αν επιλυθεί ως προς Q δίνει : 6.Q π.d ρ V + 4 Q π. 8.ρ.ρ 4 d D 4 ) 4 π..d D 4 8.ρ. ( ) d π D. D 8.ρ. ( ) d 4 m /sec,4. 0, ( ) 0,05 4 0, m /sec 0,097 lit /sec 0,9 m /h

57 56. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης β. Για τον υπολοισμό της δύναμης, που ασκείται στα μπουλόνια, εφαρμόζουμε την εξίσωση ποσότητας κινήσεως ια το σταθερό πεπερασμένο όκο αναφοράς που ορίζεται από τα στερεά όρια του ακροφυσίου και τις διατομές και, και επειδή η ροή είναι μονοδιάστατη έχουμε : ΣF F + Fτ + Fg + N β ρ Q (V V ) όπου ΣF είναι το διανυσματικό άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων, που ενερούν στην μάζα του ρευστού και Ν είναι η ολική δύναμη, που ασκείται από το νερό στο ακροφύσιο. Επομένως η αντίδραση, που ασκείται από το ακροφύσιο στο νερό, είναι - Ν. Επειδή αμελούνται οι απώλειες ενέρειας είναι Fτ 0 και επειδή ο αωός είναι οριζόντιος είναι Fg 0 Επομένως ΣF F - Ν β.ρ. Q. ( V - V ) Είναι : F E - E E, ιατί atm 0 Επίσης είναι β 4.Q 4.Q Άρα Ν F - ρ. Q. (V - V) και αφού V και V π.d π.d προκύπτει : 4.Q 4.Q 4.ρ.ρ N E - ρ. Q. ( - ) ρ.g.h. E - π.d π.d π,4. 0, , ,8 5 4,4 4,7-0,4 4,48 N 8. ( ) d D ( - 0,05 0,5 ).7.8 Δοχείο αδειάζει με τη βοήθεια του σίφωνα ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν η στάθμη του νερού στο δοχείο είναι +00,00 m και τα υψόμετρα του σίφωνα στις θέσεις Β, Γ και Δ είναι αντίστοιχα +00,00 m, +0,00 m και +96,00 m, να υπολοιστεί η ταχύτητα ροής στα διάφορα σημεία του σωλήνα. Αν το νερό είναι θερμοκρασίας 00 (υ,4 kn/ m ), να βρεθεί το μεαλύτερο δυνατό υψόμετρο της θέσης Γ ια το οποίο δεν υπάρχει κίνδυνος σπηλαίωσης. Οι απώλειες ενέρειας να αμεληθούν.

58 Υδροδυναμική Λύση Εφαρμόζουμε την εξίσωση ενερείας μεταξύ της ελεύθερης επιφάνειας Ε και της διατομής στη θέση Δ με οριζόντιο επίπεδο αναφοράς το επίπεδο που περνάει από το Δ, αμελώντας τις απώλειες ενέρειας μεταξύ των διατομών Ε και Δ. ' Ε VE Δ VΔ Έχομε επομένως : hε hδ z E + + zδ + + g g και επειδή zε 00 m, zδ 96,00 m, Ε Δ atm 0 και VΕ 0 VΔ προκύπτει VΔ 8,86m/s g Από την εξίσωση συνεχείας και επειδή η διατομή του σωλήνα είναι σταθερή, προκύπτει ότι: VB VΓ VΔ V 8,86 m /s. Ο κίνδυνος σπηλαίωσης εμφανίζεται στο σημείο Γ όπου ο σωλήνας έχει το μεαλύτερο υψόμετρο θέσης, άρα τη μικρότερη πίεση. Εφαρμόζεται η εξίσωση ενερείας μεταξύ της ελεύθερης επιφάνειας Ε και της διατομής στη θέση Γ, αμελώντας τις απώλειες ενέρειας και προκύπτει: ΗΕ ΗΓ επειδή h ' Ε + V ' Ε +.g h + Γ ' E Γ + zε 00 m zγ ( 00 + Η ) m, Ε atm 0, VΕ 0 και VΓ 8,86 m /s θα είναι: (00 + Η ) + VΓ + g VΓ g Γ Γ VΓ - ( Η + ) g Επειδή Γ Γαπόλ. - atm είναι: Γαπολ. ατμ. VΓ ( Η + ).g Για να μην υπάρχει κίνδυνος σπηλαίωσης πρέπει ια τη δοσμένη θερμοκρασία, η απόλυτη πίεση στο σημείο Γ, να μην είναι μικρότερη από την τάση των ατμών, πρέπει δηλαδή να ισχύει Γαπόλ. υ,4 kn / m V Γ ατμ.. ( Η + ) ή Η.g Στην τελευταία σχέση αν αντικατασταθούν: Γαπολ. ατμ. ρ.g υ VΓ.g VΓ 8,86 m/sec, g 9,8 m /s, υ,4 kn/ m, ατμ. 0,0 kn / m και ρ 000 kg/ m, προκύπτει:

59 58. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης Η 0,0,4 8, ,8.9,8 6,08 m.7.9 Το φορτίο που καταναλώνει ο στρόβιλος C - R είναι ΔhC R (60 + N) m, ενώ στο T η πίεση είναι 5 bar. Αν οι απώλειες φορτίου από το R στο W είναι VRW VTC Δh R W και από το T στο C είναι Δh T C ζητούνται : g g α. η παροχή Q β. Να σχεδιαστούν και η ραμμή ενέρειας και η πιεζομετρικη ραμμή. Λύση α) Από την εξίσωση ενερείας μεταξύ των σημείων T και W προκύπτει: V V V V T TC TC RW + + w w z Δh z + + () T στρ. w g g g g w w Επειδή στο W είναι ελεύθερη επιφάνεια, είναι w 0 και V w 0 Επομένως η () μετά την εκτέλεση των πράξεων ίνεται: z T V V T TC RW + Δh ( z ) στρ. w g g w V V T TC RW z z Δh + 0 T w στρ. () g g w Από την εξίσωση συνεχείας προκύπτει: Q S V S V οπότε TC TC TC RW TC RW Q 4Q V () TC S πd

60 Υδροδυναμική και Q 4Q V RW S πd RW RW (4) () Επομένως η σχέση () ίνεται: z T 6 Q 6 Q z Δh + w στρ. 4 g π D g π D 4 w TC T RW 0 Q z T z w + D 4 TC T w Δh + 4 D RW στρ. g π 6 Q π 4 D TC D RW z T T z + Δh w w D + D 4 TC 4 RW στρ. g / Με αντικατάσταση των δεδομένων προκύπτει: Q π 0, x0 75,00 45, ,00 9, , ,0 + 0,60 Από τις σχέσεις () και (4) υπολοίζονται οι ταχύτητες ροής: / 0,984 4Q 4 0,984,94 m / s () πd,4 0,0 V TC TC και 4Q 4 0,984,79 m / s (4) πd,4 0,60 V RW RW β) Γραμμή ενερείας και πιεζομετρική ραμμή. Σημείο Τ. Ύψος Ενέρειας: 5 V T TC 5x0,94 h z + 75, , ,97 + 9,87 5,84 m T T g 980 9,8 w m / s

61 60. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης Πιεζομετρικό φορτίο V T TC z + h 75, ,97 5,84 9,87 5,97 m T T g w Σημείο C Ύψος Ενέρειας: VTC,94 h h Δh 5,84 5,84 5,84 9,60 06,4 m C T T C g 9,8 Πιεζομετρικό φορτίο V C TC z + h 06,4 9,87 96,7 m C C g w Σημείο R Ύψος Ενέρειας: h. h Δh 06,4 60,00 46,4 m R C στρ Πιεζομετρικό φορτίο V R RW,79 z + h 46,4 46,4 0,58 45,66 m R R g 9,8 w Σημείο W Ύψος Ενέρειας:,79 h h Δh 46,4 46,4,6 45,08 m W R RW 9,8 Πιεζομετρικό φορτίο V R RW,79 z + h 46,4 46,4,6 45,08 m R R g 9,8 w

62 Υδροδυναμική Άλυτες ασκήσεις.8. Αν η ταχύτητα σε ένα σωλήνα διαμέτρου D ( +Ν) mm είναι V 0,50 m/s, ποία είναι η ταχύτητα V σε μια φλέβα ρευστού διαμέτρου d mm που εκρέει από ακροφύσιο προσαρμοσμένο στο σωλήνα. (Απάντηση ια N 0: V 8m/s).8. Στο μετρητή Venturi του σχήματος, η απόκλιση του υδράρυρου στο διαφορικό μανόμετρο είναι (0,6 +0,Ν) m. Να υπολοιστεί η παροχή του νερού μέσα στο μετρητή, αν δεν υπάρχουν απώλειες ενέρειας μεταξύ Α και Β. (Απάντηση ια N 0: Q 0,7 m /sec).8. Ο στρόβιλος του σχήματος έχει ισχύ N 4900 k m/s και η διαφορά πιέσεως στα σημεία Α και Β είναι A B (0,00 + N) m. Να υπολοιστεί η παροχή w w που διέρχεται από τον υδροστρόβιλο όταν είναι D 0,0 m, D 0,60 m και Δz 0,90 m και ο βαθμός αποδόσεως του στροβίλου είναι n 87 % (Απάντηση ια N 0: Q 0, 5 m /sec) Υποδείξεις ια τη λύση Από την εξίσωση ενερείας προκύπτει: z V V V V + () + h z + + (z z ) + ( ) + h στρ. στρ. g g g w w w w Από την εξίσωση συνεχείας προκύπτει: 4Q V () και πd 4Q V () πd Από τον τύπο υπολοισμού της ισχύος του στροβίλου προκύπτει: N N ρ g Q h n h (4) στρ. στρ. ρ gnq

63 . Μενέλαος Ε. Θεοχάρης 6 Από το συνδυασμό των () και () προκύπτει: 4 4 D D π 6Q πd 4Q πd 4Q V V (5) Από το συνδυασμό των (), (4) και (5) προκύπτει: + + ρ gn Q N D D gπ 6Q ) ( ) z (z 4 4 w w 0 ρ gn N D D gπ 6Q Q ) ( ) z (z 4 4 w w + + (7) Η εξίσωση (7) είναι τρίτου βαθμού ως προς Q και επιλύεται με διαδοχικές δοκιμές.

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΕΚΡΟΕΣ ΑΠΟ ΟΠΕΣ ΥΠΕΡΧΕΙΛΙΣΤΕΣ ΚΑΙ ΘΥΡΟΦΡΑΓΜΑΤΑ 4. Εισαωή Τα προβλήματα εκροής από οπές, ροής πάνω από υπερχειλιστές λεπτής στέψης, καθώς και ροής κάτω από θυροφράματα, αναλύονται ια τις περιπτώσεις που πληρούνται οι παρακάτω προϋποθέσεις : α. Οι απώλειες ενέρειας να είναι αμελητέες. Η συνθήκη αυτή ικανοποιείται όταν κατά την κατεύθυνση της ροής, και σε μικρό μήκος, παρατηρούνται σημαντικές μεταβολές των ταχυτήτων, οπότε και οι πιέσεις μεταβάλλονται σημαντικά. Το κύριο χαρακτηριστικό στις περιπτώσεις αυτές είναι η μεταλλαή των μορφών μηχανικής ενέρειας χωρίς σημαντικές απώλειες μηχανικής ενέρειας σε θερμότητα. β. Δεν πρέπει να υπάρχει κίνδυνος σπηλαίωσης. Σπηλαίωση συμβαίνει όταν η απόλυτη πίεση ίνει μικρότερη από την τάση των ατμών υ. Το φαινόμενο της σπηλαίωσης είναι δυνατό να επιτευχθεί είτε όταν αυξάνεται η ταχύτητα V, είτε όταν αυξάνεται το υψόμετρο θέσης h. Η αποφυή του φαινομένου είναι δυνατό να επιτευχθεί με μείωση της ταχύτητας V, ή με μείωση του υψομέτρου θέσης h, ή με τροποποίηση της καμπυλότητας των στερεών ορίων της ροής ώστε να αποφεύονται οι μεάλες τοπικές ταχύτητες.. Δεν πρέπει να υπάρχει κίνδυνος αποκόλλησης της ροής. Κίνδυνος αποκόλλησης (διαχωρισμού) της ροής, από τα στερεά όρια, υπάρχει σε περιπτώσεις επιβραδυνόμενης κίνησης αποκλίνουσας ροής. 4. Εκροή από οπή δοχείου υπό την επίδραση πίεσης - ακροφύσια Οι ραμμές ροής που ξεκινούν από τις ακμές της οπής συκλίνουν ρήορα και ίνονται παράλληλες σε μικρή απόσταση από την οπή στη θέση που ονομάζεται διατομή πλήρους συστολής. Σχήμα 4. Εκροή από οπή ορθοωνικής διατομής Σχήμα 4. Εκροή από οπή κυκλικής διατομής

65 64. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης Ο λόος της διατομής πλήρους συστολής, Εc,της υρής φλέβας προς το εμβαδόν της οπής, Ε, ονομάζεται συντελεστής πλήρους συστολής, c, δίνεται από τη σχέση: E c c E Για τον υπολοισμό της παροχής εκροής εφαρμόζονται οι εξισώσεις συνεχείας και ενερείας μεταξύ των διατομών και, όπου η ροή θεωρείται ότι είναι ομοιόμορφη, και προκύπτει : ( q μb ρ ) / όπου : q είναι η παροχή ανά μονάδα πλάτους είναι η πίεση στη διατομή είναι η πίεση στη διατομή ρ είναι η πυκνότητα του νερού μ είναι ο συντελεστής παροχής που δίνεται από τη σχέση : μ c c b B / Στην περίπτωση που η οπή είναι κυκλική διαμέτρου d, η παροχή υπολοίζεται από τη σχέση: / πd ( ) Q μ 4 ρ όπου μ είναι ο συντελεστής παροχής που δίνεται από τη σχέση : c μ 4 / d c D Στο επόμενο νομοράφημα δίνεται η μεταβολή του συντελεστή συστολής, c, και του συντελεστή παροχής, μ, σαν συνάρτηση των εωμετρικών χαρακτηριστικών ια ωνία θ 90 0.

66 Εκροές Εκροή από οπή δοχείου υπό την επίδραση της βαρύτητας. 4.. Περίπτωση οπής μικρών διαστάσεων στον πυθμένα του δοχείου. Έστω η δεξαμενή του σχήματος με ελεύθερη επιφάνεια, διατομής Ε, που είναι σταθερή στη στάθμη ΑΒ. Στον πυθμένα της δεξαμενής υπάρχει οπή ΓΔ διατομής ε. Κατά την εκροή του νερού από την οπή, παρατηρείται σχηματισμός της διατομής πλήρους συστολής ΕΖ, σε μικρή απόσταση από τον πυθμένα της δεξαμενής. Η παροχή υπολοίζεται από τη σχέση : Q με [ gh] / όπου : μ ο συντελεστής παροχής που δίδονται από τη σχέση: μ c c ε E / 4.. Περίπτωση οπής μεάλων διαστάσεων στην πλευρά του δοχείου και ελεύθερη εκροή. Όταν έχομε ορθοωνική οπή πλάτους b και ύψους α η παροχή υπολοίζεται από τη σχέση: Q μbα[ gh] / όπου : μ είναι ο συντελεστής παροχής που δίδεται από τη σχέση: μ c α h / V 0 + gα h α + / V 0 + gα h α /

67 66. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης Ο συντελεστής παροχής και ο συντελεστής συστολής προσδιορίζονται πειραματικά. Οι τιμές που παίρνει ο συντελεστής παροχής κυμαίνονται από 0,59 μέχρι 0,6 και σαν μέσος όρος μπορεί να παρθεί η τιμή μ 0, Περίπτωση οπής μεάλων διαστάσεων στην πλευρά του δοχείου και εκροή κάτω από το νερό ( βυθισμένη ). Στην περίπτωση αυτή η παροχή υπολοίζεται από τη σχέση : Q μ bα [ gh] / και ια την περίπτωση μεάλης ταχύτητας προσπέλασης V0 από τη σχέση: / V 0 Q μ bα g H + g όπου: Η η υψομετρική των δύο σταθμών. Ο συντελεστής μ' μεταβάλλεται από 0,50 : 0,67 ανάλοα με το λόο Η/α Περίπτωση οπής μεάλων διαστάσεων στην πλευρά του δοχείου και μικτή εκροή (μερικώς βυθισμένη ). Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η οπή χωρίζεται σε δύο τμήματα από την κατάντη στάθμη. Στο πάνω τμήμα έχομε ελεύθερη εκροή ενώ στο κάτω βυθισμένη. Η συνολική παροχή υπολοίζεται από τη σχέση : Q μ b(α α / α α ) g h + + μ bα ) [ g(h + α α ] /

68 Εκροές Ο συντελεστής μ' παίρνεται κατά προσέιση ίσος με μ. Όταν το άνοιμα της οπής είναι μεάλων διαστάσεων η παροχή δίνεται από τη σχέση: Q μ b g [ ( h + α α ) ] / h / + μ bα [ g(h + α α ] / ) 4.4 Ροη πάνω από υπερχειλιστή λεπτής στέψης χωρίς πλευρική συστολή (καθολικός υπερχειλιστής) Οι υπερχειλιστές λεπτής στέψης χρησιμοποιούνται σε εραστηριακές έρευνες ια την ακριβή μέτρηση των παροχών νερού. Η ανά μέτρο πλάτους παροχή υπερχείλισης δίνεται από τη σχέση: / / V 0 / V 0 q c (g) h g g όπου : c συντελεστής συστολής που παίρνεται από πίνακες. Η παραπάνω σχέση μπορεί να ραφεί ως εξής : / q μ (g) h / όπου μ είναι συντελεστής παροχής με τιμή: V 0 μ c + gh / V 0 g / Επίσης ο συντελεστής παροχής δίνεται από τις παρακάτω εμπειρικές αναλυτικές εκφράσεις των Bazin και Rehbock : Τύπος του Bazin : 0,0045 h μ 0, ,55 h h + w Τύπος του Rehbock : h μ 0, ,08 + w 0,00 h

69 68. Μενέλαος Ε. Θεοχάρης 4.5 Ροη κάτω από θυρόφραμα λεπτής ακμής Στην περίπτωση ροής κάτω από θυρόφραμα λεπτής ακμής, η πίεση στις περιοχές ομοιόμορφης ροής πριν από το θυρόφραμα (ανάντη του θυροφράματος, και μετά το θυρόφραμα ( κατάντη του θυροφράματος ) κατανέμεται υδροστατικά. Η παροχή ανά μονάδα πλάτους δίνεται από τη σχέση : c / q b (gh) / b + c h και αν τεθεί 0,5 b μ c + c h η σχέση αυτή ράφεται: / q μ b(gh) Οι τιμές του συντελεστή συστολής c, δίνονται από τον Pajer σαν συνάρτηση του λόου b/h, στον πίνακα που ακολουθεί: b/h 0 0, 0, 0,4 0,5 c 0,60 0,6046 0,606 0,604 0, Χρόνος εκκένωσης δεξαμενής. Στην πράξη συναντάται πολλές φορές το πρόβλημα της εύρεσης του χρόνου εκκένωσης δεξαμενής ή δοχείου ή ο χρόνος που η στάθμη του νερού κατεβαίνει μέσα στη δεξαμενή κατά ένα ορισμένο μέεθος. Το πρόβλημα αυτό αποτελεί πρόβλημα μη μόνιμης ροής.

70 Εκροές Όταν το σχήμα της δεξαμενής ή του δοχείου είναι πρισματικό ή κυλινδρικό, τότε ο χρόνος που η στάθμη του νερού κατεβαίνει από τη στάθμη h στη στάθμη h, δίνεται από τη σχέση: E(h h ) T / / μe gh + gh 0 [( ) ( ) ] Όταν το σχήμα της δεξαμενής, ή του δοχείου, είναι τριωνικό, τότε ο χρόνος που η στάθμη του νερού κατεβαίνει από τη στάθμη h στη στάθμη h, δίνεται από τη σχέση: T 5 E 5 ( g) / μe h (h h 5 ) Τέλος ο χρόνος εκροής, ια την περίπτωση βυθισμένης οπής δίνεται από την σχέση: T μe 0 E ( g) / E (E + E (h ) / h / ) 4.7 Λυμένες ασκήσεις 4.7. Το νερό που εκρέει από την οπή ενός δοχείου διαμέτρου 0 mm υπό φορτίο 0,70 m, συλλέεται σε μία ορθοώνια δεξαμενή διαστάσεων,00 x,80 m. Να υπολοισθεί πόσο θα ανυψωθεί η στάθμη του νερού στο δοχείο σε χρόνο 500 sec, αν ο συντελεστής εκροής είναι μ 0,6. Λύση Ο όκος του νερού, που συλλέχτηκε στη δεξαμενή στο χρονικό διάστημα των 500 sec είναι : W,00 m.,80 m. d,80. d m.