2. KAMATNI RAČUN 2.1. POJAM KAMATE I KAMATNE STOPE

Transcript

1 1 2. KAMATNI RAČUN 2.1. POJAM KAMATE I KAMATNE STOPE Pod pojmom kamata podrazumijeva se naknada koju dužnik plaća za posuđenu glavnicu. Pri tom se pod glavnicom najčešće podrazumijeva određena svota novca, iako glavnica šire shvaćeno može biti i nešto drugo. Kamate se uvijek obračunavaju za neki osnovni vremenski interval koji nazivamo razdoblje ukamaćivanja ili razdoblje kapitalizacije, što se propisuje zakonom ili definira u ugovoru. Razdoblje kapitalizacije najčešće je jedna godina, ali to može biti i mjesec, kvartal ili bilo koji drugi vremenski interval. Kamatna stopa ili kamatnjak je iznos koji se plaća za novčanih jedinica za neki osnovni vremenski interval. U skladu s tim je i najčešća oznaka za kamatnu stopu - p (percent) DEKURZIVNI I ANTIIPATIVNI KAMATNI RAČUN Kamate se mogu obračunavati na početku ili na kraju razdoblja kapitalizacije. Ako se kamate obračunavaju na kraju razdoblja od vrijednosti glavnice s početka tog razdoblja govori se o dekurzivnom obračunu kamata. Ako se kamate obračunavaju na početku razdoblja od vrijednosti glavnice s kraja tog razdoblja govori se o anticipativnom obračunu kamata. Dakle: dekurzivno obračunati kamate znači izračunati kamate na posuđeni iznos i isplatiti ih ili pribrojiti početnom iznosu na kraju vremenskog razdoblja;

2 2 anticipativno obračunati kamate znači obračunati ih unaprijed za neko vremensko razdoblje, pri čemu se kamate obračunavaju na konačnu vrijednost zadanog iznosa. Dekurzivna kamatna stopa najčešće se označava slovom p, a anticipativna slovom q. Primjer 1. Ivo je posudio 8. kn na godinu dana, uz 1% kamata godišnje. Pogledajmo razliku između dekurzivnog i anticipativnog ukamaćivanja: a) dekurzivno ukamaćivanje: Ivo će odmah dobiti 8. kn i na kraju godine vratiti 8. kn + kamate. Kamate ćemo označiti slovom K (u literaturi ćete često naići i na oznaku I). K kn. Dakle, Ivo će na kraju godine vratiti 8.8 kn. b) anticipativno ukamaćivanje: Ivi će se odmah odbiti kamata na ukupni iznos, tako da će Ivo odmah dobiti 7.2 kn (8-8), a na kraju godine će vratiti 8. kn. Primjer 2. Izračunajte na koju vrijednost naraste glavnica od 5. kn nakon jedne godine uz 8% kamata godišnje. Zadatak riješite primjenom: a) dekurzivnog b) anticipativnog ukamaćivanja.

3 3 5. kn p 8 (q 8) n 1 1? a) dekurzivna kapitalizacija p K K kn b) anticipativna kapitalizacija 1 q K 1 - K 5 1 q ,8 1 5, / :, ,78 kn Uočite da je u slučaju anticipativnog ukamaćivanja kamata veća nego kod dekurzivnog ukamaćivanja.

4 JEDNOSTAVNI I SLOŽENI KAMATNI RAČUN U prethodnom primjeru obračunavali smo kamate samo za jedno vremensko razdoblje. Naravno da broj razdoblja može biti i veći. Tada se obračun kamata može provoditi na dva načina, jednostavan i složen. U slučaju jednostavnog ukamaćivanja kamate se računaju uvijek na početnu vrijednost glavnice ( ), dok se kod složenog ukamaćivanja kamate u svakom sljedećem razdoblju računaju na prethodnu vrijednost uvećanu za kamate, tj. računaju se i kamate na kamate. Primjer 1. Odredite konačnu vrijednost i ukupno obračunate kamate za glavnicu od 1. kn tri godine nakon ulaganja. Kapitalizacija je godišnja i dekurzivna, uz godišnji kamatnjak p 6. Usporedite rezultate u slučaju jednostavnog i složenog ukamaćivanja. a) jednostavni kamatni račun 1. kn n 3 godine p 6 3, K? p K 1 K 2 K 3 p p K K K kn Budući da su kamate u svakom razdoblju jednake (K 1 K 2 K 3 K n ) mogli smo konačnu vrijednost izračunati i kao:

5 5 n + n K n K n kn K kn b) složeni kamatni račun Za prvo razdoblje obračun je potpuno isti kao i za jednostavni kamatni račun, tj.: 1 + p Međutim, sljedeće kamate računaju se na početnu glavnicu uvećanu za kamate, tj. na 1, pa je: odnosno: i analogno: K p K K 2 p , K , ,16 kn Ukupne kamate su očito veće, tj. K , ,16 kn.

6 PRIMJENA JEDNOSTAVNOG DEKURZIVNOG KAMATNOG RAČUNA Jednostavni dekurzivni obračun kamata podrazumijeva: 1. Kamate se obračunavaju na početni iznos i isplaćuju se ili pribrajaju početnom iznosu na kraju vremenskog razdoblja. 2. Kamate se za svako vremensko razdoblje izračunavaju na početnu vrijednost glavnice Godišnji obračun kamata Uvedimo oznake: () početni iznos (glavnica); p (p(g)) godišnja dekurzivna kamatna stopa; n vrijeme izraženo u godinama; K ukupne kamate nakon n godina; n konačni iznos (početni iznos + kamate) nakon n godina. Vrijede relacije: K p n p K n K p n

7 7 n K p p n n + K + p n n (1+ ) Primjer 1. Koliko iznose ukupne kamate na glavnicu od 15. kn nakon 5 godina uz godišnju kamatnu stopu od 6%? Obračun kamata je godišnji, jednostavan i dekurzivan. 15. kn n 5 godina p 6% K? K p n Ukupne kamate iznose 4.5 kn. 45

8 8 Primjer 2. Nakon 3 godine dužnik je platio 12. kn duga i 2.52 kn kamata. Koliko je iznosila godišnja kamatna stopa, ako je obračun kamata bio godišnji, jednostavan i dekurzivan? n 3 godine 12. kn K 2.52 kn p? p K n % Godišnja kamatna stopa iznosila je 7%. Primjer 3. Nakon 4 godine plaćene su kamate u iznosu od 4.8 kn. Koliko je iznosio ukupni dug, ako je obračun kamata bio jednostavan i dekurzivan uz godišnju kamatnu stopu od 6%? n 4 godine K 4.8 kn p 6%? K p n Ukupni dug iznosio je 2. kn.

9 9 Primjer 4. Za koliko godina iznos od 3. kn uz godišnji kamatnjak od 8% donese 24. kn kamata. Obračun kamata je jednostavan, dekurzivan i godišnji. 3. kn p 8% K 24. kn n? K n p Za 1 godina Primjer 5. Mica je uložila u banku 5. kn. S kolikim iznosom će raspolagati nakon 5 godina, ako je obračun kamata jednostavan i dekurzivan uz godišnju kamatnu stopu od 6,5%? 5. kn n 5 godina p 6,5% n? n p n 6,5 5 (1+ ) 5(1+ ) Mica će nakon 5 godina imati kn. 6625

10 Obračun kamata za kraća vremenska razdoblja U prethodnim primjerima smo za obračun kamata koristili godinu kao osnovno vremensko razdoblje. U praksi je ponekad potrebno obračunavati kamate i za kraća vremenska razdoblja, tj. mjesece ili dane. MJESEČNI OBRAČUN KAMATA Označimo sa m broj mjeseci u kojemu se obračunavaju kamate. U tom slučaju relacija za izračunavanje jednostavnih dekurzivnih kamata glasi: K p 12 m Relacije za ostale vrijednosti lako se izvedu iz prethodne. Primjer 6. Koliko jednostavnih dekurzivnih kamata donese glavnica od 5. kn za 7 mjeseci uz godišnju kamatnu stopu od 4,5%? 5. kn m 7 p 4,5% K? p m 5 4,5 7 K 131, 25kn 12 12

11 11 DNEVNI OBRAČUN KAMATA Kod dnevnog obračuna kamata, ovisno o određivanju broja dana u mjesecu i godini razlikujemo 3 metode: 1. Njemačka metoda računa se da godina ima 36, a svaki mjesec 3 dana. 2. Francuska metoda računa se da godina ima 36 dana, a dani u mjesecu određuju se prema kalendaru. Za obje ove metode jednostavne kamate izračunavaju se iz relacije (broj dana označavamo sa d): K p 36 d 3. Engleska metoda broj dana u godini i svakom mjesecu izračunava se prema kalendaru. Ova metoda je najpreciznija i kod nas se u praksi najčešće koristi. Jednostavne kamate uz ovu metodu izračunavaju se iz relacije: K p 365 d Napomena 1. Kod engleske metode se u nazivnik gornje relacije upisuje 366 u slučaju prestupne godine. Ukoliko se ne zna o kojoj godini se radi, koristi se vrijednost 365. Napomena 2. U sve 3 metode se prilikom obračunavanja broja dana 1. dan u promatranom razdoblju ne broji, ali se broji posljednji.

12 12 Primjer 7. Poduzeće X je podiglo kratkoročni kredit u iznosu od 3., kn uz 9% godišnjih kamata za vrijeme od do godine. Koliko iznose jednostavne kamate prema: a) njemačkoj metodi, b) francuskoj metodi, c) engleskoj metodi? 3., kn p 9% K? Radi preglednosti ćemo prvo u tablici obračunati ukupan broj dana za svaku od metoda: metoda - broj dana mjesec njemačka francuska engleska svibanj lipanj srpanj kolovoz rujan listopad studeni Σ a) njemačka metoda p d K 13.2, kn b) francuska metoda p d K 13.5, kn 36 36

13 13 c) engleska metoda p d K , 7kn Primjer 8. Mica je na kunskoj knjižici u 24. godini imala sljedeće podatke: DATUM UPLATA ISPLATA STANJE , 8., , 2.5, , 1.5, , 16.5, Koliko će Mica dobiti jednostavnih dekurzivnih kamata na kraju 24. godine, ako je godišnja kamatna stopa 3% i koristi se engleska metoda? Obračunajmo prvo broj dana za svako od zatečenih stanja: 1 8. kn d kn d kn d kn d K , 74kn ili ( ) 3 K 35, 74kn 366

14 14 Zadaci za vježbu: 1. Za koje vrijeme (u godinama, mjesecima i danima) se iznos od 6. kn, uz jednostavnu godišnju kamatnu stopu 7, poveća na 1. kn? 6. kn p 7% n 1. kn n? K n n K p godina, 6 mjeseci, 9 dana 9, Za koje vrijeme (u godinama, mjesecima i danima) se uz jednostavnu kamatnu stopu 5,5 neki iznos poveća za %? p 5,5% K n? n K p 5,5 5,5 18, godina, 2 mjeseca, 5 dana

15 15 3. Uz koju jednostavnu godišnju kamatnu stopu se neki iznos za 9 godina poveća za 6%? n 9 godina K,6 p? p K n,6 9 6,67% 4. Lujo je podigao kratkoročni kredit u iznosu od., kn uz 12% godišnjih kamata za vrijeme od 7.3. do godine. Koliko iznose jednostavne kamate prema: d) njemačkoj metodi, e) francuskoj metodi, f) engleskoj metodi? metoda - broj dana mjesec njemačka francuska engleska ožujak travanj svibanj lipanj srpanj kolovoz rujan Σ kn p 12% K?

16 16 a) njemačka metoda p d K 6.266, 67kn b) francuska metoda p d K 6.4, kn c) engleska metoda p d K 6.295, 8kn Mara je na kunskoj knjižici u 23. godini imala sljedeće podatke: DATUM UPLATA ISPLATA STANJE , 6., , 21., , 9., , 4., Koliko će Mara dobiti jednostavnih dekurzivnih kamata na kraju 23. godine, ako je godišnja kamatna stopa 4% i koristi se engleska metoda? 1 6. kn d kn d kn d kn d ( ) 4 K 364, 38kn 365

17 17 6. Koliko jednostavnih dekurzivnih kamata donese glavnica od 8. kn za 7 godina uz godišnju kamatnu stopu od 4,5%? (R: K 2.52 kn) 7. Za koje vrijeme (u godinama, mjesecima i danima) se iznos od 5. kn, uz jednostavnu godišnju kamatnu stopu od 6,5%, poveća na 8. kn? (R: 9 god., 2 mj., 23 dana ) 8. Za koje vrijeme (u godinama, mjesecima i danima) se uz jednostavnu godišnju kamatnu stopu 4,5 neki iznos poveća za 8%? (R: 17 god., 9 mj., 1 dana) 9. Poduzeće X podiglo je kratkoročni kredit za obrtna sredstva u iznosu od 1.. kn uz 8% godišnjih kamata za vrijeme od do godine. Obračuna kamata je dekurzivan i jednostavan. Koliko iznose kamate prema: a) njemačkoj, b) francuskoj, c) engleskoj metodi? (R: a) 54., kn; b) ,67 kn; c) ,8 kn) 1. Mica je na kunskoj knjižici u 24. godini imala sljedeće podatke: DATUM UPLATA ISPLATA STANJE , 6., , , , Koliko će Mica dobiti jednostavnih dekurzivnih kamata na kraju 24. godine, ako je godišnja kamatna stopa 4% i koristi se engleska metoda? (Rj.: K 43,83 kn)