Složeno periodično i neprekidno ukamaćivanje

Transcript

1 Matematičke financije 1 Složeno periodično i neprekidno ukamaćivanje Zadatak 1: Guverner kolonije Nova Nizozemska, Peter Minuit, kupio je godine od Indijanaca otok Manhattan plativši im u robi čija je tadašnja vrijednost bila 24$. Odredite sadašnju vrijednost ove investicije uz pretpostavku da je nominalna godišnja kamatna stopa od 5% obračunavana a periodično na godišnjoj razini, b neprekidno. Rješenje: a V383 = $, b V 383 = $. Zadatak 2: a Kolika će nakon godinu dana biti razlika u vrijednostima inicijalne uplate od 100$ ako se nominalna godišnja kamatnu stopa od 10% obračunava periodično na mjesečnoj razini, neprekidno. b Koliko često bi kamate trebale biti obračunavane periodično da bi se vrijednost ove inicijalne uplate nakon godinu dana razlikovala za manje od 0.01$ od vrijednosti dobivene neprekidnim ukamaćivanjem? Rješenje: a Razlika u vrijednostima iznosi 0.05 $, b m > Zadatak 3: Odredite efektivnu godišnju kamatnu stopu r za oba načina ukamaćivanja iz zadatka 2. a. Rješenje: a r = 10.47%, b r = 10.52%. Zadatak 4: Ako osoba na račun uloži određeni iznos novca uz nominalnu godišnju kamatnu stopu r koja se obračunava periodično na godišnjoj razini, koliko godina treba proći da bi se uložena glavnica udvostručila? Rješenje: Treba proći n = ln 2 ln 1 + r godina.

2 Matematičke financije 2 Analiza sadašnje vrijednosti budućih uplata Zadatak 5: Pretpostavimo da će osoba na kraju svake od 5 godina na račun primiti uplatu mjerenu u tisućama kuna. Ako znamo da se godišnja nominalna kamatna stopa a r 1 = 10%, b r 2 = 20%, c r 3 = 30%, obračunava periodično na godišnjoj razini, koja od sljedećih isplatnih strategija toj osobi najviše odgovara: 1. uplata 2. uplata 3. uplata 4. uplata 5. uplata Strategija A Strategija B Strategija C Rješenje: a najpovoljnija je strategija A, b najpovoljnija je strategija B, c najpovoljnija je strategija C. Zadatak 6: Osoba koja planira otići u mirovinu za 20 godina odlučila je na početku svakog od sljedećih 240 mjeseci na račun uplatiti iznos od A kuna. Time si u budućnosti želi osigurati iznos koji će joj omogućiti da, nakon što ode u mirovinu, na početku svakog od sljedećih 360 mjeseci s tog računa podigne po 1000 kuna nakon čega joj na računu neće ostati ništa. Ako se godišnja nominalna kamatna stopa od 6% obračunava mjesečno, koliki mora biti ulog A da bi osigurao financijsku sigurnost ove osobe nakon umirovljenja? Rješenje: A = kn.

3 Matematičke financije 3 Relativni povrat i log-povrat Zadatak 7: a Vrijednost obveznice u trenutku t = 0 je A 0 = 100$. Vrijednost iste obveznice u trenutku t = 1 je A 1 = 110$. Odredite relativni povrat K A. b Vrijednost dionice u trenutku t = 0 je S 0 = 50$. Vrijednost iste dionice u trenutku t = 1 opisana je slučajnom varijablom čija je distribucija zadana sljedećom tablicom: S 1 = Odredite distribuciju slučajne varijable K S koja opisuje relativni povrat Rješenje: a K A = 0.01, b K S = Zadatak 8: Pretpostavimo da su vrijednosti neke dionice i neke obveznice u trenucima t = 0 i t = 1 zadane u prethodnom zadatku. Ako osoba u trenutku t = 0 posjeduje 20 dionica i 10 obveznica, kolika je ukupna vrijednost V 0 njezine imovine u tom trenutku? Odredite distribuciju slučajne varijable koja opisuje a vrijednost imovine u trenutku t = 1, tj. distribuciju slučajne varijable V 1, b relativni povrat u trenutku t = 1, tj. distribuciju slučajne varijable K V Rješenje: a V 1 =, p 0, 1, b K V = Zadatak 9: Pretpostavimo da u trenutku t = 0 osoba posjeduje 10 dionica od kojih svaka vrijedi S 0 = 25$ i 15 obveznica od kojih svaka vrijedi A 0 = 90$. Poznato je da je u trenutku t = 1 vrijednost obveznice A 1 = 100$, dok je vrijednost dionice opisana slučajnom varijablom sa distribucijom Odredite S 1 = a V 0, tj. vrijednost imovine u trenutku t = 0, b distribuciju slučajne varijable V 1 koja opisuje vrijednost imovine u trenutku t = 1, c distribuciju slučajne varijable K V koja opisuje relativni povrat u trenutku t = 1, Rješenje: a V 0 = 1600$, b V 1 =, p 0, 1, c K V =

4 Matematičke financije 4 Zadatak 10: Neka su u trenucima t = 0 i t = 1 vrijednosti dionice i obveznice jednake kao u prethodnom zadatku. Poznato je da je ukupna vrijednost imovine nekog pojedinca koji posjeduje x takvih dionica i y takvih obveznica u trenutku t = 1 opisana slučajnom varijablom V 1 = Odredite strukturu promatrane imovine. Rješenje: x = 12, y = 8. Zadatak 11: Osoba je na račun uložila iznos od c kuna uz nominalnu kamatnu stopu r. Poznato je da je log-povrat dva mjeseca nakon uplate novca na račun 3%. Odredite kamatnu stopu r u slučajevima da se radi o a nominalnoj mjesečnoj kamatnoj stopi, b nominalnoj godišnjoj kamatnoj stopi. Rješenje: a r m = 1.5%, b r g = 18%.

5 Matematičke financije 5 Arbitražna strategija i izvedene vrijednosnice Zadatak 12: Pretpostavimo da dealer A u Londonu prodaje britanske funte po d A = 1.6$ po funti te da dealer B u New Yorku nudi mogućnost sklapanja ugovora kojim se obvezuje da će godinu dana od danas, tj. u trenutku t = 1, kupiti britanske funte po cijeni d B = 1.58$ za funtu. Nadalje pretpostavimo da dolare možemo posuditi od banke uz godišnju e. k. s. r D = 4%, a britanske funte uložiti u banku uz godišnju e. k. s. r F = 6%. Odredite moguću arbitražnu strategiju za nekog investitora. Zadatak 13: Pretpostavimo da je godišnja e. k. s. r, sadašnja vrijednost neke dionice S0 1 = 100$ te da će nakon godinu dana cijena iste dionice biti ili S1 1 = 200$ ili S1 1 = 50$. Nadalje pretpostavimo da u trenutku t = 0 investitor može učiniti sljedeće: - može kupiti y opcija ukupne cijene cy$, y R, koje mu omogućuju da u trenutku t = 1 kupi spomenute dionice po cijeni od 150$ za dionicu, - može kupiti x dionica, x R, po jediničnoj cijeni S 1 0 i to platiti ukupno 100x$. Odredite jediničnu cijenu C 0 opcije u trenutku t = 0 koja u trenutku t = 1 ne omogućuje arbitražu tj. odredite nearbitražnu cijenu opcije. Rješenje: c = 1 3 [ r 1 ]. Zadatak 14: Pretpostavimo da je sadašnja vrijednost neke obveznice S0 0 = 100$, vrijednost iste obveznice u trenutku t = 1 je S1 0 = 110$, sadašnja vrijednost neke dionice je S0 1 = 80$ te da je cijena iste dionice u trenutku t = 1 opisana slučajnom varijablom S = Nadalje pretpostavimo da u trenutku t = 0 investitor na raspolaganju ima 10000$ koje investira na jedan od sljedeća tri načina: a samo u dionice, b samo u obveznice, c u 50 dionica, a ostatak u obveznice. Za sva tri slučaja odredite očekivani relativni povrat E[K V ] te rizik investicije σ Kv. Rješenje: a E[K V ] = 0.15, b σ KV = 0.02, b E[K V ] = 0.10, b σ KV = 0, c E[K V ] = 0.12, b σ KV = 0.08.

6 Matematičke financije 6 Zadatak 15: Pretpostavimo da je godišnja e. k. s. r = 10% te da je sadašnja vrijednost neke dionice S 1 0 = 50$. Pokažite da je F = 55$ jedina nearbitražna forward cijena dionice. Zadatak 16: Pretpostavimo da je godišnja e. k. s. r = 12% te da je sadašnja vrijednost neke dionice S 1 0 = 34$. Je li moguće naći arbitražnu mogućnost ako je u trenutku t = 1 forward cijena dionice F = 38.6$. Rješenje: Arbitražna strategija postoji. Zadatak 17: Pretpostavimo da je sadašnja vrijednost neke dionice S0 1 = 100$ te da je cijena iste dionice u trenutku t = 1 opisana slučajnom varijablom s distribucijom S = a Odredite vrijednost europske call opcije s cijenom izvršenja K = 105$ u trenutku dospijeća t = 1. b Odredite vrijednost europske put opcije s cijenom izvršenja K = 130$ u trenutku dospijeća t = 1. Rješenje: a C1 call 0 15 =, p 0, 1, b C put =

7 Matematičke financije 7 Jednoperiodni binarni model financijskog tržišta Zadatak 18: Pretpostavimo da se u trenutku t = 0 na financijskom tržištu može trgovati obveznicama jedinične vrijednosti S0 0 = 100$ i dionicama jedinične vrijednosti S0 1 = 100$. Poznato je da je vrijednost iste obveznice u trenutku t = 1 je S1 0 = 110$, dok je cijena iste dionice u trenutku t = 1 opisana slučajnom varijablom s distribucijom S = Također pretpostavimo da tržište dopušta izdavanja europske call opcije s cijenom izvršenja K = 100$ i vremenom dospijeća t = 1. a Odredite strukturu portfelja koji replicira ovu europsku call opciju te izračunajte njenu nearbitražnu cijenu u trenutku t = 0. b Pokažite da je to jedinstvena nearbitražna cijena ove opcije. c Odredite aritificijelnu vjerojatnost P i iskoristite ju za izračunavanje nearbitražne cijene europske call opcije u trenutku t = 0. Pokažite da je vjerojatnost P ekvivalentna vjerojatnosti P i neutralna na rizik. Rješenje: a ϕ 0 = 4 11, ϕ1 = 1 2, C 0 = $, c p 0.2 = 1 4, p 0.2 = 3 4, C 0 = $. Zadatak 19: Neka su cijene dionica u trenucima t = 0 i t = 1 tj. S 1 0 i S 1 1, redom, cijena obveznice u trenutku t = 0 tj. cijena S 0 0 te cijena izvršenja europske call opcije s vremenom dospijeća t = 1 jednake kao u zadatku 18. a Neka je cijena obveznice u trenutku t = 1 S 0 1 = 105$. Odredite artificijelnu vjerojatnost P i strukturu portfelja koji replicira ovu europsku call opciju te izračunajte njenu nearbitražnu cijenu u trenutku t = 0. Pokažite da je vjerojatnost P ekvivalentna vjerojatnosti P i neutralna na rizik. b Neka je cijena obveznice u trenutku t = 1 S 0 1 = 115$. Odredite artificijelnu vjerojatnost P i strukturu portfelja koji replicira ovu europsku call opciju te izračunajte njenu nearbitražnu cijenu u trenutku t = 0. Pokažite da je vjerojatnost P ekvivalentna vjerojatnosti P i neutralna na rizik. Rješenje: a ϕ 0 = 8 21, ϕ1 = 1 2, p 0.2 = 3 8, p 0.2 = 5 8, C 0 = 11.91$, b ϕ 0 = 8 23, ϕ1 = 1 2, p 0.2 = 1 8, p 0.2 = 7 8, C 0 = 15.22$. Zadatak 20: Neka su cijene dionica S 1 0 i S 1 1 te cijene obveznica S 0 0 i S 0 1 u trenucima t = 0 i t = 1 jednake kao u zadatku 18. Nadalje, neka je na tržištu dostupna europska call opcija s vremenom dospijeća t = 1 i cijenom izvršenja

8 Matematičke financije 8 a K = 90$, b K = 110$. Odredite artificijelnu vjerojatnost P i strukturu portfelja koji replicira ovu europsku call opciju te izračunajte njenu nearbitražnu cijenu u trenutku t = 0. Pokažite da je vjerojatnost P ekvivalentna vjerojatnosti P i neutralna na rizik. Rješenje: a ϕ 0 = 6 11, ϕ1 = 3 4, p 0.2 = 1 4, p 0.2 = 3 4, C 0 = 20.45$, Zadatak 21: b ϕ 0 = 2 11, ϕ1 = 1 4, p 0.2 = 1 4, p 0.2 = 3 4, C 0 = 6.82$. Neka su cijene dionica S 1 0 i S 1 1 te cijene obveznica S 0 0 i S 0 1 u trenucima t = 0 i t = 1 jednake kao u zadatku 18 te neka je na tržištu dostupna europska put opcija s vremenom dospijeća t = 1 i cijenom izvršenja K = 100$. Odredite artificijelnu vjerojatnost P i strukturu portfelja koji replicira ovu europsku put opciju te izračunajte njenu nearbitražnu cijenu u trenutku t = 0. Pokažite da je vjerojatnost P ekvivalentna vjerojatnosti P i neutralna na rizik. Rješenje: a ϕ 0 = 6 11, ϕ1 = 1 2, p 0.2 = 1 4, p 0.2 = 3 4, C 0 = 4.55$ Zadatak 22: Izvedite formulu za računanje vrijednosti europske call opcije ako je godišnja efektivna kamatna stopa r = 0, a S 1 0 = K = 1$. Izračunajte vrijednost ove europske call opcije u t = 0 za sljedeće slučajeve: a a = 0.05, b = 0.05, b a = 0.19, b = Što zaključujete o odnosu između varijance relativnog povrata ostvarenog na temelju trgovanja dionicama i vrijednosti europske call opcije u t = 0? Obrazložite svoj zaključak. Rješenje: C0 = ab b a, a C 0 = $, Var R = 0.01p1 p, b C 0 = $, Var R = 0.04p1 p. Zadatak 23: Pretpostavimo da je S 1 0 = K = 100$, S 0 0 = 1$, S 0 1 = 1.05$ tj. r = 0.05, te da je relativan povrat na dioničku imovinu a = 0.1 ili b = 0.1. Odredite strukturu portfelja koji replicira europsku call opciju s cijenom izvršenja K ako je poznato da je trošak prodaje dionice c = 2% tj. osoba koja prodaje dionicu prima 98% njezine vrijednosti. Usporedite vrijednost ove europske call opcije u trenutku t = 0 u opisanim uvjetima s njezinom vrijednošću u slučaju u kojem se pri prodaji dionica ne obračunava naknada tj. c = 0. Rješenje: a ϕ 0 = , ϕ 1 = , p 0.1 = 1 4, p 0.1 = 3 4, C 0 = 8.16$ b p 0.1 = 1 4, p 0.1 = 3 4, C 0 = 7.14$.

9 Matematičke financije 9 Zadatak 24: Pretpostavimo da se u trenutku t = 0 na financijskom tržištu može trgovati obveznicama jedinične vrijednosti S0 0 = 30$ i dionicama jedinične vrijednosti S0 1 = 20$. Poznato je da je vrijednost iste obveznice u trenutku t = 1 je S1 0 = 36$, dok je cijena iste dionice u trenutku t = 1 opisana slučajnom varijablom s distribucijom S = Također pretpostavimo da tržište dopušta izdavanje opcije s cijenom izvršenja K = 22$ i vremenom dospijeća t = 1. Vrijednost promatrane opcije u trenutku t = 1 modelirana je slučajnom varijablom a C 1 = S 1 1 K 3, b C 1 = S 1 1 K, c C 1 = S 1 1 K +, d C 1 = S 1 1 K Odredite artificijelnu vjerojatnost P i strukture portfelja koji repliciraju ove opcije. Izračunajte nearbitražne cijene ovih opcija u trenutku t = 0. Pokažite da je vjerojatnost P ekvivalentna vjerojatnosti P i neutralna na rizik. Rješenje: a ϕ 0 = 22.69, ϕ 1 = 31.6, p 0.25 = 1 10, p 0.25 = 9 10, C 0 = 48.84$, b ϕ 0 = , ϕ 1 =, p 0.25 = , p 0.25 = , C 0 = $, c ϕ 0 = 24, ϕ1 = 10, p 0.25 = 1 10, p 0.25 = 9 10, C 0 = $, 3 d ϕ 0 = 8, ϕ1 = , p 0.25 = 1 10, p 0.25 = 9 10, C 0 = $. Zadatak 25: Riješite prethodni zadatak ako su vrijednosti S 0 0, S 1 0, S 0 1, S 1 1 i K jednake vrijednostima iz zadatka 18. Rješenje: a ϕ 0 = 80 11, ϕ1 = 0, p 0.2 = 1 4, p 0.2 = 3 4, C 0 = $. Zadatak 26: Pretpostavimo da su u trenutku t = 0 na tržištu dostupne obveznice jedinične cijene S0 0 = 100$ i dionice jedinične cijene S0 1 = 90$. Poznato je da je u trenutku t = 1 jedinična cijena obveznice S1 0 = 110$, dok je cijena dionice opisana slučajnom varijablom s distribucijom a S 1 1 = , p 0, 1, b S 1 1 = q q, q 0, 1. Za oba slučaja odredite artificijelnu vjerojatnost P te pokažite da je ta vjerojatnost ekvivalentna vjerojatnosti P i neutralna na rizik. Rješenje: a p 1 = , p = , b p 1 = , p =

10 Matematičke financije 10 Zadatak 27: Pretpostavimo da su u trenutku t = 0 na tržištu dostupne obveznice jedinične cijene S0 0 = 50$ i dionice jedinične cijene S0 1 = 20$. Poznato je da je u trenutku t = 1 jedinična cijena obveznice S1 0 = 60$, dok je cijena dionice opisana slučajnom varijablom s distribucijom S 1 1 = Pretpostavimo da se na tržištu može trgovati izvedenicom s vremenom dospijeća t = 1 i cijenom izvršenja K = 25$ čija je vrijednost u t = 1 modelirana slučajnom varijablom 1. C 1 = S 1 1 K +, 2. C 1 = K S 1 1 +, 3. C 1 = S 1 1 K 3, 4. C 1 = max K S 1 1, 10, 5. C 1 = max K S 1 1, 2. Odredite artificijelnu vjerojatnost P i strukture portfelja koji repliciraju ove izvedenice. Izračunajte nearbitražne cijene ovih izvedenica u trenutku t = 0. Pokažite da je vjerojatnost P ekvivalentna vjerojatnosti P i neutralna na rizik. a Odredite artificijelnu vjerojatnost P i strukturu portfelja koji replicira danu izvedenicu. Izračunajte nearbitražnu cijenu dane izvedenice u trenutku t = 0. Pokažite da je vjerojatnost P ekvivalentna vjerojatnosti P i neutralna na rizik. b Je li dana izvedenica dostižna na primatranom financijskom tržištu? c Je li ovaj jednoperiodni model financijskog tržišta potpun? Rješenje: a 3. ϕ 0 = , ϕ1 = 25, p 0 = 3 5, p 0.5 = 2 5, C 0 = $, 4. ϕ 0 = 1 6, ϕ1 = 0, p 0 = 3 5, p 0.5 = 2 5, C 0 = 25 3 $, 5. ϕ 0 = 11 60, ϕ1 = 3 10, p 0 = 3 5, p 0.5 = 2 5, C 0 = 19 6 $, b Kako u svakom od promatranih slučajeva postoji portfelj koji replicira danu izvedenicu, zaključujemo da je svaka od promatranih izvedenica dostižna na ovom financijskom tržištu. c a = 0, b = 0.5, r = 0.2 a < r < b ovaj model financijskog tržišta je potpun i ne dopušta arbitražu.

11 Matematičke financije 11 Praktikum Zadatak 28: Pretpostavimo da su u jednoperiodnom modelu financijskog tržišta dostupne jedna obveznica sa poznatom cijenom u t = 0 i t = 1, jedna dionica sa poznatom cijenom u trenutku t = 0 i poznatim distribucijom cijene u t = 1 te jedna izvedenica sa cijenom dospijeća K u t = 1. Napravite program u statističkom programskom jeziku R koji a izračunava broj obveznica i dionica u portfelju koji replicira izvedenicu, b izračunava artificijelnu vjerojatnost P neutralnu na rizik, c izračunava nearbitražnu cijenu izvedenice u t = 0. Zadatak 29: Pretpostavimo da je početna cijena neke financijske imovine P 0 = 10$. Pretpostavimo da su dnevni log-povrati dakle, vrijeme mjerimo u danima modelirani nezavisnim jednako distribuiranim normalnim slučajnim varijablama. Poznato je da log-povrati na 1. dnevnoj 2. godišnjoj razini imaju očekivanje µ = 0.1 i standardnu devijaciju σ = 0.2. a Simulirajte trajektoriju log-povrata za n = 100 dana za oba navedena slučaja. Grafički prikažite trajektorije log-povrata, log-cijene i cijene te uz svaki od grafičkih prikaza nacrtajte krivulju očekivanja. b Nacrtajte Q-Q plot za simulirane log-povrate za oba navedena slučaja. Svoj zaključak temeljen na Q-Q plot-u potvrdite provođenjem Lilleforsove inačice Kolmogorov-Smirnovljevog testa i Shapiro- Wilksovog testa za normalnost. Zadatak 30: Izvršite gornju simulaciju još 5 puta i prikažite samo slike cijena i krivulju očekivanja. Usporedite dobivene grafove. Zadatak 31: Podaci sadržani u dokumentu cijene.txt organizirani su u dvije varijable - RB redni broj i Price cijena neke financijske imovine nakon niza jediničnih vremenskih perioda. a Učitajte dane podatke u R te podatke iz varijable Price spremite u novi vektor cijena. b Grafički prikažite cijene, log-cijene, povrate i log povrate za podatke iz vektora cijena. c Nacrtajte Q-Q plot i provedite Shapiro-Wilksov test za normalnost za vektor log-povrata.