מכניקה קוונטית 2 תרגול

Transcript

1 מכניקה קוונטית תרגול מתרגל: עמרי בהט 6 ביוני 009 מחברת זו נכתבה משמיעה בהרצאות של עמרי בהט. המחברת עלולה להכיל חוסרים וטעויות. אין הטכניון או מי מטעמו ובפרט, הפקולטה לפיזיקה, על מרציה ומתרגליה, אחראים לתוכנו של מסמך זה. הערות והארות, אתם מוזמנים לשלוח ל onen@tx.tehcnion.ac.il תוכן עניינים טרנספורם פורייה תרגיל. 3 עוד שאלה התמרת פורייה דו מימדית.3 3 התפתחון בזמן במרחב חופשי) תרגול שני חסר תרגול שלישי 3 4 מטריצות צפיפות במערת שני גופים תרגיל תמונת הייזנברג אוסצילטור הרמוני תרגול תיקון טעות. התרגול המקורי חסר) ניסוי שני סדקים הפיצול העל דק 5 9 החישוב המדויק אפקט זימן 6 אפקט זימן הנורמלי אפקט זימן האנומלי קירוב שדה חזק) בשדה חלש חלקיק קוונטי בשדה מגנטי 7 6 תורת ההפרעות תלויה הזמן מלכודת אופטית לאטומים קרים 8. 8 סיפור נחמד כללי ברירה למעברים אטומיים תורת הפיזור קירוב בורן תרגיל 0. טרנספורם פורייה אופרטור התנע i pˆ. = מצבים עצמיים של אופרטור התנע, בסימון דיראק x ˆp ψ p = p ψ p x ψ p = ψ p x) i x ψ P x) = pψ p x)

2 זוהי משוואה דיפרנציאלית שהפתרון שלה הוא ψ p x) = e i px אלו הם המצבים העצמיים של H בפוטנציאל חופשי. ואלו הפונקציות העצמיות של אופרטור התנע בהצגת המקום. fp) = F [fx)] dxe ipx/k fx) כלומר, סכום על היטלים של f על כל הגלים המישוריים. יש מצבים שבהם אפשר להחליף את האינטגרל בסכום דיסקרטי. מה המשמעות של fp)? נבנה את הפונקציה fp) על ידי סכום של גלים מישוריים. בבניה מחדש או שחזור) של fx) על ידי גלים מישוריים, fx) = dpe ipx/ fp) כאשר fp) הם המקדמים של כל גל מישורי. אם הגלים המישוריים היו יכולים לקבל תנעים רק מתוך קבוצה מסויימת, ניתן היה לרשום = j e ipjx/ a j ) כדי לבנות פונקציה ספציפית, צריך לבחור קומבינציה לינארית של a, j שיוצרת את f. משוואה ) היא טרנספורם פורייה דיסקרטי.. תרגיל חלקיק מתואר על ידי פונקצית הגל.ψx) מה ההסתברות למדוד את החלקיק ב x? 0 אחרי המדידה, צריכים להמצא במצב עצמי של אופרטור המקום. ההסתברות תינתן על ידי הטלה של המצב ההתחלתי על המצב העצמי שערכו העצמי x 0 P = final ψ המצב final הוא מצב עצמי של האופרטור אותו מודדים מודדים גודל פיזיקלי שאותו האופרטור מתאר). במקרה שלנו, נרצה מצב עצמי של אופרטור המקום סביב x. 0 זה הפתרון של משוואת הערכים העצמיים ψ final x 0 ) = δ x x 0 ) ˆx ψ x0 = x 0 ψ x0 ψ final ψ = δx x 0 )ψ x dx כלומר, = ψx 0 ) P x = x 0 ) = ψx 0 ) הדברים הגרועים בתשובה: לא בהכרח

3 , ולהסתברות אין יחידות היחידות בשתי האגפים אין התאמה של יחידות לפונקציה גל יש יחידות של x לא מתאימות אין משמעות למדוד חלקיק בנקודה מסויימת התייחסנו למצב העצמי של אופרטור המקום כאילו הוא פונקצית גל והוא לא, ) 0 δ x) x לא שייכת למרחב של פונקציות הגל הכשרות האינטגרביליות בריבוע. ) L) הערה. גם המצבים העצמיים של אופרטור התנע, לא שייכים ל L. הערה. הפיזיקה נמצאת רק בגלים ב L. בדרך משתמשים בגלים מישוריים, דלתאות, וגלים לא פיזיקליים אחרים. עוד שאלה מה ההתסברות למדוד תנע ששיך לקטע δ]?σ = [p 0 δ, p 0 + ψp) = ψx)e ipx/k dx כאשר ψx) הם המקדמים של הגלים המישוריים שמרכיבים את.ψx) P p σ) = p0+δ p 0 δ dp π e ipx/ ψx)dx.3 התמרת פורייה דו מימדית ˆ p = i e i p / p = p x, p y ) = x, y) F fx, y)) = e ipxx+pyy) fx, y)dxdy.4 התפתחון בזמן במרחב חופשי) ψx, 0) ψx, t) אנחנו יודעים לקדם בזמן רק מצבים עצמיים של ההמילטוניאן H n = E n n nt) = e iht/ n = e iωnt n0) גלים מישוריים הם מצבים עצמיים של ההמילטוניאן נרשום את 0 ψx, כסכום של גלים מישוריים טרנספום פוריה 3

4 ψx, 0) = ψx, t) = dp e ipx/ π }{{} ψp) eigentstates of H dp π e ipx/ ψp) e iω pt ψx, t) = dp π ip ipx/ ψp)e m t = p ω. הביטוי הכללי ל p כאשר m זהו הקידום בזמן של כל פונקצית גל שנרצה. תרגול שני חסר תרגול שלישי 3 3. מטריצות צפיפות במערת שני גופים Sz S z = Sz) S z = I I נקח מצב טהור ψ ψ = α ++ + β + + γ + + δ אופרטור הצפיפות. במצב טהור, הוא שווה זהותית לאופרטור ההטלה ˆρ = ψ ψ = α αβ אם נרצה לכתוב הצגה מטריצית, בבסיס, +,+,++) אזי ρ = ++ ˆρ ++ = α ρ = + + ˆρ + = αβ = αβ ) α αβ αγ αδ ρ = β βγ βδ γ γδ δ ולכן מטריצת הצפיפות תהיה 4

5 Sz = tace ρ S ) z α = tace β γ δ נחשב α β + γ δ ) = α Sz = tace β γ δ α + β γ δ ) = 3. תרגיל נקח מערכת של שני חלקיקים. מסיבה כלשהי, נתעלם לחלוטין מאחת מדרגות החופש מאחד מהחלקיקים). נבנה מטריצת צפיפות אפקטיבית שמתארת רק את המצב של החלקיק השני, ולמרות שהתחלנו ממצב טהור, נסיים עם מצב שהוא לא טהור עבור אחד מהחלקיקים. נראה זאת על ידי דוגמה. יש מערכת של שני חלקיקים הנמצאת במצב טהור. נבנה מטריצת צפיפות אפקטיבית, שמתארת רק את המצב של החלקיק הראשון, על ידי,הוצאה מהמשחק של חלקיק מספר. Tac-Out) התוצאה: מטריצת הצפיפות האפקטיבית היא של מצב מעורב. המצב ההתחלתי ψ = α ++ + β ˆρ 4 = α αβ ++ + α β ++ + β נבנה מטריצת צפיפות אפקטיבית, שתתאר חלקיק מספר אחד מטריצה ממימד ): ρ ) eff) = P : +)?) + P : )?) אלו שני המצבים האפשריים היחידים. כאשר כל אחד מה?) הוא מטריצת צפיפות של חלקיק. = j j ˆρ 4 j = tace λ ˆρ 4 ) כאשר הסכימה על על כל המצבים האפשריים של חלקיק, והעקבה היא חלקית רק בתת המרחב של חלקיק. במקרה שלנו המצבים האפשריים הם + : או :. ρ ) eff = : + ρ 4 : + + : ρ 4 : ρ 4, = α : + : + : + : + : + ) : + = α : + : + נסתכל על האיבר של יש לנו מכפלות שנותנות לנו 5

6 ρ ) eff = α β ρ ) eff = α β [ ] ρ ) ) eff ρ eff ) ולכן נשים לב ש כלומר זהו מצב מעורב. למה זה שימושי? כאשר יודעים מצב התחלתי של מערכת מורכבת עם הרבה דרגות חופש הם הרבה פעמים לא רלוונטים. אם נרצה לפתור מצב עם הרבה חלקיקים והרבה דרגות חופש שרק חלקם רלוונטים, נעשה Taced, out ונשאר עם החלקיקים הרלוונטים. את החלקיקים הללו לא נוכל ליצג בתור מצב טהור, ונצרך לייצג אותם בתור מטריצת צפיפות. 3.3 תמונת הייזנברג i da H dt = [A, H] כאשר ל A אין תלות מפורשת בזמן, כלומר H S t = אוסצילטור הרמוני i ẋ = [x, H] = [x, P ] = i p m m ẋ = p m זה ביטוי הדומה למהירות במכניקה ניוטונית. אפשר להסתכל על זה בתור הכללה של משפט ארנפסט שהיה עבור ערכי תצפית בלבד). אפשר לחשב את השינוי של : p i ṗ = [P, H] = [P, ] mω x = i mω x וקיבלנו את המשוואה הניוטונית עבור תנועה הרמונית. הפתרון עבור ṗ = mω k xt) = ˆx cos ωt + ˆp sin ωt mω ψ = 0 = ) נניח והמערכת במצב 6

7 מצב עצמי של אוסצילטור הרמוני. x t) = מקוונטית ). נפתור את זה בצורה אחרת: mω cos ωt x t) = cos ωt ψ 0 ˆx ψ = sin ωt mω ψ 0 p ψ 0,a. a מחשבים באמצעות x בכל מצב קשור כל מצה שמוגבל לסביבה במרחב), ואת p = 0 = cos ωt mω 4 תרגול תיקון טעות. התרגול המקורי חסר) 4. ניסוי שני סדקים מקור בנקודה A. נקודה B נמצאת על מסך. כיצד תראה צפיפות ההסתברות על המסך? עניין שגוי מהותי: בתרגול נאמר שצפיפות ההסתברות ρ היא G, כאשר G הפרופגטור. משמעות הפרופגטור: G פונקצית גרין. מתעניינים בהתפתחות בזמן ψ x, 0) ψ x, t) הפרופגטור, G, היא הפונקציה המתקבלת לאחר התפתחות בזמן כאשר המצב ההתחלתי הוא מצב עצמי של xˆ, כלומר, ψ x, 0) = δ x x 0 ) כאשר δ, / L היא אינה ניתנת לנירמול). G יכולה לספר לנו משהו על פיזיקה של בעיה. לפי פיינמן, כמו שיריב הוכיח בהרצאה, חלקיק בנקודה x a מתפשט לנקודה x. b לפי פיינמן, האמפלידטודה ל x b בזמן t b נתונה על ידי ψ x b, t b ) = G x b, t b ; x, t) ψ x, t) dx כלומר, בהנתן הפרופגטור, ומיקום החלקיק בזמן מסויים, ניתן למצוא את האמפליטודה למיקום החלקיק בכל מקום ובכל זמן. בגלל שהמרחק של שני הסדקים מהמקור שווים, בזמן מסויים האמפליטודה של החלקיק תהיה להמצא סביב אחד הסדקים. נקבע את הזמן שבו החלקיק עובר דרך אחד הסדקים כ 0 = t. האמפליטודה שאנחנו מדברים עליה כרגע היא פונקצית הגל. ψ מתאר את התהליך מחריץ אחד לנקודה B ו ψ מתאר את את התהליך מהחריץ השני לנקודה B. אזי אזי, האמפליטודה באזור החריצים היא: ψ tot = ψ + ψ ψ a e x xa ) /σ ψ a e x xa ) /σ הבחירה בגאוסיאן היא שרירותית. ניתן לבחור כל פונקציה אחרת שמרוכזת סביב הנקודות) נניח הנחה, שאינה נכונה ואינה פיזיקאלית, אבל את האפקט החשוב אפקט של התאבכות, נקבל. החישוב בגאוסיאינים הוא מסובך. נחליף את הגאוסיאנים בפונקצית דלתא: ψ a = δ x x a ) ψ a = δ x x a ) x b x A x b x a אפשר להכליל את כל הסיפור לעוד מימדים מבחינת נוטציה,,x = x) 7

8 imxb x) m G = πi t b t a ) e b ta) נכתוב את הפרופגטור עבור חלקיק חופשי 0 = V) אזי, נסצן,x b x a = L ו l ההפרש בית x b x a ל x b x a [ ] m ψ = πi t b t a ) exp im x b x) δ x x a ) dx a b t a ) [ ] m = πi t b t a ) exp im x b x a ) b t a ) [ ] m = πi t b t a ) exp im L) T ) ψ = iml +L l) e T ו אזי ρ = ψ tot = ψ + ψ + Re ψ ψ) = + [ ml cos T m L + L l ) ] T = )] [ ml l + cos t חישוב קטן בצד = p, ml ומחולק ב h זהו אורך גל דה ברולי) T ) == cos π l λ כמה הערות התאבכות בונה עוצמה מקסימלית): כאשר l הוא כפולה שלמה של λ. l = nλ n Z. l = d sin θ dx L קיבלנו ש בזוויות קטנות, ρ cos # x) עבור # מקדם כלשהו). ביטוי זה אינו ניתן לנירמול: ρdx זה לא מפתיע: כי התחלנו עם פונקצית דלתא שאינה ניתנת לנירמול. הפרופגציה היא אוניטרית, ולכן היא אינה משנה את הנורמה. אם היינו עושים את החשבון עם גאוסיאנים, לא היתה לנו את הבעיה הזו. למרות שהשתמשנו בפעולה לא חוקית, קיבלנו את האפקט המרכזי שחיפשנו. מכיל את התלות בזמן. את הביטוי הזה שכחנו בשבוע שעבר. m הביטוי ) πi T 8

9 5 הפיצול העל דק Hype fine splitting בצורה קלאסית, גוף טעון עם תנע זוויתי, יוצר שדה מגנטי. לפרוטון באטום מימן, יש ספין ומטען. לכן, הגרעין באטום המימן משפיע על אלקרונים גם באמצעות שדה מגנטי שהוא יוצר. נסתכל על הגרעין כעל לולאת זרם עם מומנט מגנטי µ. P על האלקטרון ניתן לחשוב גם כן כעל לולאת זרם, עם מומנט מגנטי M e. לכן, תהיה אינטראקציה מגנטית בין האלקטרון לפרוטון. עבור שדה מגנטי B על האלקטרון, אנרגית האינטראקציה הקלאסית תהיה, U = M e B מומנט הדיפול של לולאת זרם קלאסית עם זרם I בשטח,A אז. µ = I A ˆn נגדיר את ההמילטוניאן של האינטראקציה, H int == γ ) S I עבור מקדם כלשהו γ, כאשר I הוא אופרטור הספין של הפרוטון. השאלה: איך H int משנה את הספקטרום? נבצע את החישוב רק על מצבי S, כלומר, = 0 l ונקבל E ) n,0,0 = ψ H int ψ µ p = g pe m p c Î 5. החישוב המדויק המומנט המגנטי של הפרוטון כאשר g p הוא הפקטור הגירומגנטי, שנמצא מתוך ניסוי. עבור אלקטרון, והפרוטון, כשנכתבה משוואת דיראק, חישבו את =.0 מתאימה, ועבור הפרוטון, ממש לא. g. diac עבור האלקטרון, המשוואה p g e =.00 g p = 5.56,g diac ועבור פרוטון, =.0 e כשכתבו את משוואת דיראק, הניחו שגם האלקטרון וגם הפרוטון הם חלקיקים נקודתיים. ההנחה הזו מתאימה עבור אלקטרון אבל לא מתאימה עבור פרוטון. זו היתה האינדיקציה הראשונה לכך שהאלקטרון אינו חלקיק יסודי. נחשב את השדה המגנטי שיוצר הפרוטון ) הפוטנציאל המגנטי של דיפול: A ) = µ = 4π3 4π µ נחליף את הסדר של המכפלה, ונקבל מינוס. את ההחלפה ניתן לעשות כי µ אינו תלוי בקוארדינטה, כי למומנט המגנטי של חלקיק שנובע מספין, אין תלות מרחבית. הספין אינו חי במרחב האמיתי, ולכן אין תלות כזו. = ) µ 4π אסף נוי שאל את השאלה שהובילה לתשובה הזו 9

10 B = A = 4π µ) = = [ gad div µ) µ ] 4π = gad div µ) µ ) 4π }{{} 4πδ ).A i = CB i מכפלה הערה 5. נציג סימון: במקום A = C B נוכת לכתוב A x = CB x או =,, 3 i סקאלרית בנוטציה הזו נרשום A B = i A ib i. B i = [ 4πδ ) µ i + i j µ j ) ] 4π H int = M B = M i B i = 4π {}}{ = δ ) כאשר על ) j ) j µ יש סכימה לפי הסכם הסכימה של אינשטין. אזי [ 4πδ ) µ i M i + i j µ j M i M µ M i µ i 4π M iµ i ) i j ] נחשב אלמנט מטריצה של מצב היסוד כאשר לוקחים בחשבון את הספינים של האלקטרון. עבור מצב היסוד, = n,l = 0, m = 0, המצב המרחבי space pat poton electon {}}{{}}{{}}{ g =, 0, 0 i, m I s, m s כאשר ) + i i הוע ע ע של I ו m I הוא ערך עצמי של.I z ראשית, נוציא מהמשחק את דרגות החופש המרחביות, ואז נטפל בדרגות החופש הספיניות. [ ]) n, 0, 0 H int n, 0, 0 = d 3 φ n00 ) δ ) M i µ i ) + d 3 φ n00 M i µ j i j האינטגרל הראשון הוא פשוט אינטגרל על פונקצית δ. השני יתר בעייתי... d 3 φ ) i j, אבל ל i j אין סימטריה ספרית. אינטגרל על אופרטור כאשר ל ) φ יש סימטריה ספרית, כמו גם ל אי זוגי, כפול פונקציה זוגית על תחום סימטרי, מתאפס. d x = 0 והאינטגרל שלנו הוא בדיוק אותו דבר, בעוד מימד.. ולכן האינטגרל שלנו מתאפס. יש מקרים שבהם הוא אינו מתאפס, והם המקרים האלכסוניים i = j ולכן, d 3 φ ) i j δ ij 0

11 . xx = 3. בגלל שכל הכיוונים שווים, = xx + yy + zz. i j = j d 3 φ ) i j = δ ij φ 3 4 }{{} 4πδ כאשר,i = j אז כלומר, n, 0, 0 H int n, 0, 0 = M i µ i φ δ ) d 3 + M i µ j δ ij 3 φ δ ) = M i µ i φ n00 0) + ) = 3 3 ולכן, כדי לקבל את E n,0,0 3 φ 0) i, m i s, m s I S s, m s i, m i כאשר את אלמנט המטריצה הזה יריב חישב ההרצאה וחישבנו גם בשיעורי הבית). נגדיר תנע זוויתו כולל F = I + S F = I + S + S I = S I = f I S ) אזי F I S = f f + ) i i + ) s s + ) אזי הערכים האפשריים ל I S הם, כדי למצוא את ההפרשים באנרגיה, לא באמת צריכים לעבור בסיס. העצמיים האפשריים של i, s, f כאשר = 0, f ולכן הם הסכומים האפשריים של הערכים SI = { 4 f = 3 4 f = 0 6 אפקט זימן איך משתנה הספקטרום בגלל שדה מגנטי חיצוני? 6. אפקט זימן הנורמלי ללא התיחסות לספין) H 0 = p m e המצבים העצמיים ש לההמילטוניאן: n, l, m

12 ו E n,l,m = E 0 n יש ניוון גדול: רמות האנרגיה לא תלויות ב m,l. זו תוצעה של סימטריה גבוהה של ההמילטוניאן H. 0 l מצבים. כאשר נוסיף שדה מגנטי, חלק מהניוון יוסר. עבור כל n, ניוו של + l) המילטוניאן האינטראקציה של המימן עם שדה מגנטי: H int = γ B L = γb }{{} 0 ˆLz ω L עבור, B = B 0 ẑ נחשב את המילטוניאן האינטראקציה באמצעות תורת ההפרעות המנוונת: צריך לכתוב את H int בכל תת מרחב מנוון של, H 0 עבור n נתון, וללכסן. כך נקבל את התיקונים לאנרגיה. בבסיס הזה, L z הוא מלוכסן, n, l, m H int n, l, m δ l,l δ m,m m n, l, m n, l, m כלומר, בגלל שההפרעה שלנו אלכסונית, לא צריך ללכסן. מספיק לחשב את אלמנטי המטריצה האלכסונית. אפשר להשתמש בתורה לא מנוונת. [H int, H 0 ] = 0 E n,l,m = ω L m 6. אפקט זימן האנומלי קירוב שדה חזק נסתכל על הרמה = n. המצב הזה מנוון הרבה פעמים: עם שדה מגנטי 0 B, יהיו לנו שלושה מצבים: l =, m = ±, 0 l = 0, m = 0 m =, m = ופעמיים, = 0 m. בלי השדה המגנטי היה לנו מעבר אחד ל = n) אבל בשדה, נראה פוטונים בשלושה תדירויות שונות, שעוברים מ = n ל = n. באפקט זימן האנומלי, לוקחים בחשבון ספין: H 0 = p m e + A L S + Bp 4 כאשר A הוא מקדם קבוע לצימוד, התיקון L S הוא תיקון הנובע מצימוד ספין מסלול, והתיקון של, Bp 4 הוא תיקון יחסותי, הוא מאותו סדר גודל, ולכן צריך לקחת גם אותו בחשבון. זה שדה של הכח החזק, או שדה בעוצמה גבוהה של הכח האלקטרומגנטי?

13 H int = γ B המצבים שלנו, שבהם H 0 מלכוסן, הם j. n, l, s, j, m L + }{{} g e כאשר g e מגיע ממשוואות דיראק. תהיה אנרגיה אופינית E, LS ואנרגיה נוספת שתהיה קשורה לשדה E. B אם נניח שדה מגנטי חזר, נקבל ש E. B E LS לכן, בשדה חזק, אפשר להזניח את L S ואת p. לכן, נקבל S H 0 = p m e [ ] ו 0 = int H0, H, לכן החישוב של אלמנטי המטריצה הוא פשוט למדי. n, l, s, m l, m s L z + S z n, l, s, m l, m s = m l + m s E = ω ml + m s ) אז התקיקון הוא 6.3 בשדה חלש.E L S E B אזי נכניס את E LS ל,H 0 ו E B יהיה ההפרעה. [H 0, H int ] 0 [ ] מאחר ו 0 Z L S, Jz + S. לכן, חייבים לעבוד בתורה מנוונת. H int = ω L J z + S z ) L z + gs z נזניח את הפקטור הג ירומגנטי) ההפרעה היא אם =,g. L z + S z = J z אבל עבור =,g. L z + S z = J z + S Z n, l, s, j, m j J z + S z n, l, s, j, m j = m j + j, m j s z j, m j נראה ש j j, m j s Z j, m j δ mjm תרגיל בית) בגלל שההפרעה אלכסונית בתת המרחב המנוון, אפשר בכל זאת להשתמש בתורה לא מנוונת. : j = 3, m j = נדגים על מצב מסויים: 3, S 3 z, 3, = 3, 3 S z, 0, + 3,, 3, = ) E n, 3, = ω ) = 6 3 ω נעבור בסיס: אז אלמנטי המטריצה יהיו לכן, 3

14 B = { B 0 < a 0 > 0 7 חלקיק קוונטי בשדה מגנטי בשדה מגנטי במרחק גדול מהשדה,, R a מסתובב חלקיק שמאולץ לנוע על טבעת. מסת החלקיק m. נראה שהשתף המגנטי דרך הסליל שבמרכז המערכת a ) < בכל זאת משפיע על גדלים פיזיקליים, למרות שהחלקיק בעצמו אינו מרגיש שדה מגנטי. B = A = 0 = A = Λ נמצא את A יש לנו חופש כיול בבחירה של A. נעבוד בכיול קולון כיול קרינה) A = 0 Λ = 0 מהמשוואות הללו, נקבל כי במקום לפתור משוואה וקטורית, אנחנו פותרים משוואה סקאלרית מסדר שני. נרשום את המשוואה בקוארדינטות גליליות: Λ ) + ) Λ z θ + Λ הפתרון = 0 z Λ = c θ A = Λ = C θ θ) ˆθ = cˆθ נרצה להביע את הקבוע באמצעות הפרמטר הפיזיקלי השטף דרך A d l = A ) d s = Φ פותר את המשוואה. אזי, אנחנו נדרשים לקבוע את הקבוע C: הטבעת/דרך הסליל. נשים לב שהמשוואה = 0 A B = נכונה רק עבור, a לעומת זאת, באינטגרל המסלולי שלנו, מדובר על כל התחום בתוך הטבעת, ולכן האינטגרל הכולל אינו אפס, כי אם השתף, Φ. נחשב את האינטרגל על Adl, על המסלול הטבעתי ברדיוס R. Φ = Adl = d l = R dθˆθ π 0 c R ˆθ) Rdθˆθ = πc אז האינטגרל, ולכן, C = Φ π A = Φ π ˆθ בסופו שלדבר, מצאנו ש 4

15 איך Φ משפיע על?L z בגלל שהטבעת במישור,L y = L x = 0,x y הם אינם גדלים רלוונטים לבעיה. ממכניקה אנליטית, נזכר שבנוכחות שדה מגנטי, p p q c A }{{} p mec L = p mec = p q c A L z = p) }{{ z q } c ˆ Φ π ˆθ }{{} i θ qφ πc כאשר p מקיים [p, x] = i ואילו. p mec = mv אי, נחשב את רכיב ẑ של התנע הזוויתי: מצאנו את האופרטור החדש של התנע הזוויתי, ועכשיו.. נמצא את הערכים העצמיים של L z נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית L z ψ = λψ i θ qφ ) ψ θ) = λψ θ) πc ψ θ) = e imθ שפתרונה, בגלל שהפונקציה צריכה לקיים תנאי שפה מחזוריים, m הוא שלם. אזי הפונקציות העצמיות אינן משתנות. נציב את הפונקציות העצמיות לתוך המשוואה, ונמצא את הערכים העצמיים: λ = m qφ πc = m qφ ) hc.magnetic flux quanta גודל המכונה,φ 0 = hc e H = L z I עבור אלקטרון, q, = e ואז מגדירים איך ישתנו רמות האנרגיה? R, עבור חלקיק נקודתי ברדיוס z. היא האנרגיה קינטית של גוף מסתובב, ולעניינו, רק בכיוון L I כאשר I = mr לכן [ E m = m qφ )] ) m hc I = mr ΦΦ0,m). קיימת פרבולה שהמינימה שלה הוא ב 0, m לכן, לכל E, n Φ.m = מצב היסוד מתאים ל 0, Φ Φ 0 עבור = 0 Φ, מצב יסדור מתאים ל = m והאנרגיה שלו אינה אפס) Φ 0 עבור = 3 4 m, =,0 m = יושבים על נקודת החיתוך בין שתי פרבולות. אז יש שני מצבים,? Φ Φ 0 = מה קורה עבור ולכן, לכאורה, יש ניוון של האנרגיה. הערה 7. למשפט 7.5) מקוונטית : ללא נוכחות שדה מגנטי, כל המצבים הקשורים יכולים לבהחר כפונקציה ממשית. 5

16 I = q T, T = πr v זרם בנוכחות שדה מגנטי ולכן, במצב היסוד, עבור I = q v πr L z = m v R = I = q L z πmr I = q Φ πmr Φ 0 n = 0) Φ Φ 0 < כלומר, במצב היסוד, יש זרם קבוע בזמן, שמושפע מהשדה המגנטי! מקרה אמיתי יותר אנחנו תיארנו את האלקטרונים בתוך הטבעת כחלקיקים חופשיים. דה פקטו, אלקטרון בתוך מתכת לא זז כל כך חלק. נסתכל על השפעת פוטנציאל מפריע על הספקטרום.. Φ Φ 0 יש שני מצבים מנוונים: = נסתכל על איזור החיתוך בין הפרבולה של = n ל 0 = n, באזור 0 = π = π e iθ H in = 0 V 0 ) 0 V V 0 V אזי מטריצת ההפרעה תהיה איננו יודעים דבר על הפוטנציאל V, אז אנחנו לא יודעים לחשב א תכל אלמנטי המטריצה אבל 0 V = V ) A C H int = A C כי המצבים שונים רק עד כדי פאזה. אזי ולכן λ ± = A ± C האנרגיה של מצב אחד עלתה, ושל השני ירדה. המערכת. לכן, יהיו טווחי אנרגיה בהם, ללא תלות בשתף, לא תמצא 8 תורת ההפרעות תלויה הזמן בזמן = 0 t, המערכת נמצאת במצב i של המילטוניאן H. 0 נשאל שתי שאלות:. מהי ההסתברת למצוא את המערכת במצב f בזמן t כלשהו, מאוחר יותר. 6

17 . מהי ההסתברות שהמערכת ביצעה מעבר למצב f עד לזמן t? היום נתעסק בשאלה השניה. לפני שתחיל לפתור בעיה קונקרטית נרשום ביטוי לאמפליטודה למצוא את המערכת במצב f, עד זמן t: c f t) = t f V i dte ie f E i)t / i ) U p at E αe αi 8. מלכודת אופטית לאטומים קרים הקיטוב של אטום הוא p at = α E. באופן קלאסי, כאשר I היא עוצת האור, וה E הוא של האור. כאשר פותרים בעיה קוונטית, מדברים על המילטוניאן אינטראקציה, h int αi x, y, z) עבור לייזר משתנה במרחב). בגלל הצורה המרחבית של הליזר, זה ישמש כמו בור פוטנציאל. העוצה של הלייזר במישור הניצב לכיוון ההתקדמות היא גאוסיאן סביב מרכז האלומה, לכן הפוטנציאל, x) V יהיה גאוסיאן הפוך בור פוטנציאל) כי V = αi ניתן לקרב את הפוטנציאל, שנראה כמו גאוסיאן, לאוסצילטור הרמוני. הקרוב הזה טוב עבור רמות האנרגיה הנמוכות. נשנה את הרוחב, σ, של הלייזר. אז מקבלים v mω t) x ω t) = ω 0 + δω t) = ω 0 + δω cos Ωt נרשום את כאשר δω ω 0 שאלה: מה הסתברות המעבר מרמת היסוד לרמות גבוהות יותר? ראשית, נרשום את המילטוניאן ההפרעה: v q t) = ρ E t) = 0 v at t) mω t) x m ω 0 + ω 0 δω cos Ωt ) x H 0 = p m + mω 0 v t) = mω 0 δω cos Ωt מאחר ואטומים הם נייטרלים. אזי הפוטנציאל שלנו יהיה לאחר הזנחת ערכים מסדר גודל של δω אזי אם המצב ההתחלתי הוא מצב היסוד, אז נחשב את אלמנט המטריצה עבור ) f v t) i f x 0 cos ωt 7

18 עבור > f, נקבל שאלמנט המטריצה מתאפס, ו 0 x 0 גם לא ממש מעניין. אזי = 0 x ו mω0 E n = ω n + ) בדו מימד, צריך להיות ) + y. E n = ω n x + n נותר לנו לחשב את האינטגרל ב ) c f= t) = δω t dt e iω0t cos ωt dt i 0 [ = δω e iω0 Ω )t sin t ) ] ω 0 Ω + Ω Ω) i ω 0 Ω/ קיבלנו אמפליטודה שתלויה בזמן. היא תלויה בפרמטר Ω, זהו הקצב בו משנים את רחוב העדשה) נחשב את ההסתברות: t) P, =f נקבל שלושה איברים. האיבר הראשון, יהיה δω sin [ t )] ω 0 Ω ) 8 ω0 Ω כפונקציה של Ω, האיבר נראה כמו sinc סביב ω. 0 כאשר, Ω = ω 0 הסתברות המעבר תהיה מקסימלית. לכן, האיבר הראשון תורם בעיקר כאשר. Ω ω 0 יהיה לנו איבר זהה לגמרי, עד כדי Ω, שמרוכז סביב Ω = ω 0 ואיבר שלישי, שיראה כמו ) ] t cos Ωt sin [ ) ] [ ω 0 Ω t sin ω0 + Ω ) ) ω0 Ω ω0 + Ω יש לנו מכפלה שי איבר שמרוכז סביב ω 0 באיבר שמרוכז סביב ω 0. לכן, האיבר הזה לא ממש תורם בסביבות ה פיקים. לסיכום, אם עובדים סביב, Ω ω 0 רק האיבר הראשון תורם באופן משמעותי. 8. סיפור נחמד בעיית פיזור במימד אחד: מדרגת פוטנציאל אינסופית, עם חלקיק שמגיע מ. מדרגת הפוטנציאל היא בגובה E. ולחלקיק יהיה אנרגיה V 0 כאשר, E < V 0 הסתברות החזרה תהיה. לדוגמה, אלקטרונים, אז המשוואה שמתארת אם חוזרים על אותו תרגיל עם חלקיקים יחסותיים עם ספין את הדינמיקה של החלקיקים אינה משוואת שרדינגר, כי אם משוואת דיראק. ברגע שחוזרים על אותו תרגיל בדיוק אפילו עבור = 0 V) מקבלים שהסתברות ההחזרה שונה מ והסתברות המעבר שונה מ 0. תוצאה שהיא עוד יותר מפתיעה, מתקבלת כאשר החלקיקים חסרי מסה: עבור פרמיונים חסרי מסה, נקבל שהסתברות המעבר שווה ל. זוהי בעיית.Klein tunneling אותו קליין עם הבקבוק) 9 כללי ברירה למעברים אטומיים לתוך מיכל עם גז דליל למשל, מימן) מכניסים אור לבן. האור נפלט לכל הכיוונים, משום שלפיזור של האור מתוך הגז אין כיוון מועדף. את האור העבירו דרך מנסרה, וכל אורך גל יצא מזווית אחרת. על מסח שמעבר למנסרה, ניתן לראות שכל אורך גל נקלט בנקודה אחרת על המסך. כשעושים את הניסוי יש רצף דיסקרטי של קווי פליטה. העוצמה של כל אחד מהקווים הספקטרליים היתה שונה. ננסה להסביר מדוע קווים ספקרליים מסויימים חזקים יותר מאחרים. 8

19 T i f = π f ˆV t) i ρ E) קצב המעברים, נתעניין מתי אלמנט המטריצה f i V מתאפס. כיוון שאז קצב המעברים עוצמת הקו הספקטרלי) קטן מאוד). שולחים גל עם וקטור.λ µ.ˆk = π λ ŷ גל מישורי שמתקדם בכיוון, y הקיטוב הכיוון של השדה החשמלי) ניצב לכיוון ההתקדמות, כלומר, על מישוור. x y H = A = Ae iky ωt) B = A k A E = A t iω A על ידי בחירת כיול, = 0 φ, נקבל נכתוב את ההמילטוניאן ונראה איזה איבר בהפרעה שלנו הכי חשוב. p qa ) a + V ) }{{} +γs B Columb potential = p m + V ) p m A + A p + q A ) + γs B האיבר q A הוא מאוד מאוד קטן ומאוד מאוד קשה לראות אותו ניסונית. A = A ) אבל הסקלה שעליו A משתנה היא λ, µ והסקלת האורך האטומית היא a 0 ו λ. a 0 לכן, הנגזרות של a לפי הקוארדינטה מאוד מאוד קטנות, ו A,p מתחלפים. H 0 = p m + V ) H = H 0 + W pa + W SB נשאל את עצמנו איזה איבר הוא הגורם הדומיננטי למעברים בין הרמות? נבצע הערכה כללית של האנרגיה שאופיינית לשני האופרטורים הללו. W SB W pa q m ka 0 q = a 0 m a 0 A 0 λ a 0 שיקול אפשרי הוא אי ודאות. סדר הגודל של תנע בתוך אטום הוא לכן, האיבר הדומיננטי שישרה מעברים אטומיים הוא W. pa נסתכל מתי האיבר הזה לא משרה מעברים: לכן אמרנו שהמעברים החלשים לא יהיו לגמרי אפס, כי האיבר הנוסף יכול ליצור תיקונים מסדרים גבוהים יותר. ψ n,l,m, θ, ϕ) = R nl x) Y l,m θ, ϕ) spin {}}{ ξ nlm p A nlm?= 0 אז אנחנו מתעניינים ב 9

20 הערה 9. יריב הראה לנו בהרצאה שהאופרטורים p A ו E, שקולים עד כדי טרנספורמציית כיול עד כדי קבועים). האופרטור p A לא אינוורינטי לכיול, ואילו, E כן. אם נחשב את אלמנטי המטריצה בלי לעשות טרנספורמצית כיול מתאימה לפונקצית הגל, כדי לבטל את התלות של האופרטור. אם נחשב את אלמנטי המטריצה עם. E לכן, תמיד כדאי להשתמש באופרטור הזה. E ) E 0 e iky = E0 + iky +...) נקח רק את הסדר המוביל של האופרטור,, E והקירוב נקרא קירוב הדיפול החשמלי. אזי E 0 = E x sin θ cos ϕ +E }{{} y sin θ sin ϕ +E }{{} z cos θ }{{} ˆx ŷ ẑ נשים לב שביטוי הזה הוא, עד כדי קבועים, קומבינציה לינארית של Yים, lm ולכן = [E x ie y ) Y, + E x + ie y ) y + y 0 E z ] E x, E y = 0 נחשב את אלמנטי המטריצה: נתחיל עם גל מקוטב ב ẑ : E = RnlR n l 3 d dωy l m y 0y lm החלק הרדיאלי לא מאפס את האינטגרל אף פעם. 0 = y E, x, E ולכן לא צריך את הצירופים בינהם..) יש נוסחא כללית לחשב ביטוי כזה, ומתקבל [Aδ l,l+ + Bδ l,l ] δ m,m מ m,,δ m לכן = 0 m.m m = נסתכל על שתי הדלתאות אחרות: = ± l כלומר, אלקטרון שנמצא ב 0 = m, n =, l = 0, לא יכול לרדת, לרמת היסוד 0, 0, כי 0. l למעשה, המעבר היחיד שמותר מ = n ל = n הוא מ 0,!, dωy l m y, y, ) y lm [Aδ l,l+ + Bδ l,l ] δ m,m± גל מקוטב ב X לכן, = ± m ו ± = l. הקיטוב קובע איזה מעברים מותרים ואיזה אסורים. המעברים הללו אסורים אך ורק בקירוב דיפול! 0 תורת הפיזור קירוב בורן חתך הפעולה הדיפרנצילי, ϕ σ,,θ) אפשר לסמן גם ב ϕ dσ,θ) חתך הפעולה הכולל הוא פשוט σ) ϕ σ,θ) הוא מספר החלקיקים שהתפזרו לזווית dω ליחידת זמן, חלקי שטף החלקיקים הנכנס. חתך הפעולה הכולל, σ tot = σ θ, ϕ) dω אם יש לנו פוטנציאל מפזר, אנחנו מתעניינים בפונקציית הגל רחוק מהמטרה. אם לפוטנציאל יש אורך אופייני a, אנחנו מתעניינים ב a. כלומר, בצורה האסימפטוטית של פונקציית הגל. 0

21 ψ x) = e i p + f θ, ϕ) eik כאשר ϕ f,θ) היא אמפליטודת הפיזור. σ θ, ϕ) = f θ, ϕ) אפשר לקבל משוואה אינטגרלית שנותנת ממש את הביטוי ל ψ, ומשם אפשר לחשב את f. ψ ) = e i k + A e ik V ) ψ ) d 3 }{{} geen function fo fee schedinge eq כלומר, עוברים על כל הנקודות של הפוטנציאל המפז, וכופל את כל הנקודות בפונקציית הגרין ובפוטנציאל. זהו ביטוי לפונקצית הגל. המשוואה הזו לא ממש עוברת. זוהי משוואה סתומה לא כל כך פתירה.. נבצע את קירוב בורן. אנחנו יודעים ש, כי a ו חסום על ידי a. זה יפשט את הביטוי אבל עדין ישאיר את ψ בשני האגפים: במונה נצרך להיות יותר עדינים, כי שינויים בפאזה הם רגישים יותר, ולכן, = ˆ ψ ) = e i k + A eik e i q ˆ V ) ψ ) d 3 לכן, נקבל, כאשר q = k i k f ˆ. קירוב בורן: נניח שעיקר החלקיקים לא מתפזרים: הם מתפזרים במסלול המקורי: הגל המישורי שמכניסים למערכת. לכן, פונקציית הגל מסדר אפס היא ψ 0 = e i k פונקציית הגל המתוקנת, מסדר ראשון, תהיה ψ ) = e i k + e i q V ) e i k {}}{ ψ 0 ) n) ψ היא הפונקציה המתוקנת מסדר, n ולא רק ה תיקון ) אחר כך, מציבים איטרטיבית. לכן, f θ, ϕ) = m π e i q V ) d 3 זו בסך הכל התמרת פורייה תלת מימדית של הפוטנציאל! דרך אחרת להסתכל עליו: אלמנט המטריצה f k. i V k

22 0. תרגיל גוף המורכב מ 3 כדורים בניצב לציר. z שלושת מרכזי הפיזור מופרדים במרחק D אחד מהשני. הפוטנציאל המתאים לכל אחד ממרכזי הפיזור הוא u ) = g e α זה דומה למולקולה עם שלושה אטומים זהים. נרצה לראות איך נראה חתך הפעולה. נראה שאמפליטודת הפיזור ניתנת לכתיבה כאמפליטודה של מפזר יחיד כפול איבר התאבכות f θ, ϕ) = F V )) = F F [ u D ) + u ) + u + D )] u D )) = e i q D F [u )] האמפלטודה, נשתמש ב f θ, ϕ) = e i q D + + e i q D ) F [u )] לכן, הוא איבר ההתאבכות. e i q D + + e i q D ) = ) e i q D + + e i q D הוא מפזר יחיד ו F [u )] ו sin sin 3 q D ) q D ) נחשב את אמפליטודת הפיזור של מפזר יחיד, [) F u] f θ, ϕ) e α e i q d 3 = π 0 dϕ 0 e α d π 0 נשים לב ש q. q = q cos θ, q iq cos θ sin θdθ e נחליף משתנים: cos θ = x ו dx sin θdθ = ולכן, מהאינטגרציה הזוויתית, נקבל sin q iq והאינטגרל הכולל יהיה ) sin q) = e α d 0 iq ). במקום, V d sin q iq נשים לב שהפיתוח עד כה נכון לכל פוטנציאל רדיאלי. תמיד, האינטגרל יהיה ) e α sin q) d α 0 נגזור את e α לפי α.

23 ולהוסיף פקטור. = iq e הפונקציה היא פונקציה זוגית, ולכן ניתן להחליף את האינטגרציה ל q) i, cos q i sin נוכל להחליף את הקוסינום ב, e iq בגלל שהאינטגרל על ה cos יתאפס, ולכן, α ) e α e iq, i q ונקבל, נחזור על הטריק ונחליף את ה הבודד ב ) i ) e α iq d α q π q והאינטגרל הוא התמרת פורייה חד מימדית של גאוסיאן, שהולכת כמו e 4α ולאחר שגוזרים ומכניסים את הקבועים, מקבלים, = 3gm ) π α 5 α q 6α. q = 4 p sin נקבל θ, p i = p f עבור פיזור אלסטי,,θ, ϕ ולכן הוא כולל את הזוויות q = p i p f ) עבור זוויות מסויימות, הביטוי יתאפס. כאשר. σ θ) = 0, q = 6α זה דבר מאוד בולט בפלט פיזור: נראה שבזוויות מסויימות, לא נקבל חלקיקים כלל. כשמסתכלים על חתף פעולה כללית, יש אפסים שנובעים בגלל אמפלטודה של מפזה יחיד ואפסים שנובעים מאיבר ההתאבכות. מהו התנאי לאפסים בגלל איבר ההתאבכות? D) sin 3 q מתאפס, והמכנה לא. כלומר, כאשר sin q D) [ ] 3 q D = nπ q D = nπ כאשר המונה של הביטוי כאשר המכנה מתאפס, גם המונה מתאפס, ולכן הגבול שלהם הוא סופי. כאשר המכנה מתאפס, נקבל מקסימה של חתך העולה. המקסימות יתקבלו כאשר q D = nπ cos θ ) נקבל מספר חסום של מקסימות, בגלל ש 3