תורת הקוונטים I

Transcript

1 תורת הקוונטים I אור דגמי, or@digmi.org 19 במרץ 2012

2 אתר אינטרנט: סיכום הרצאות של פרופ שמואל אליצור בשנת לימודים

3 תוכן עניינים 1 מבוא היסטוריה מכניקה סטטיסטית על קצה המזלג עקרון החלוקה השווה סיכום ביניים האפקט הפוטואלקטרי ספקטרום בדיד ניסוי פרנק הרץ,Franck-Hertz).( ניסוי קמפטון Compton) ( התפתחות מעניינת? קוונטים? 14 2

4 פרק 1 מבוא 1.1 היסטוריה בשנת 1900 אנשים ראו שמשהו בתכונה הקלאסית אינו מספיק ויש לשנות את הקונספציה, אך לא היה מושג מה צריך לעשות. היו הרבה ויכוחים בנושא, ותורה הנ ל התפתחה בסביבות 1920 ע י שרדינגר, אייזנברג ושות. עד היום הזה, אין הסכמה כללית של הפיסיקאים לגבי האינטרפטציה של תורת הקוונטים, יש פורמליזם כללי שעובד אבל איך בעצם צריך להבין אותה, עדיין מתקשים. אז איך כל זה התחיל? הפיסיקה הקלאסית הייתה בנויה משני חלקים,הראשון חלקיקים ותנועתם בהשפעת כוחות. החל מניוטון, וכל ההתפתחות של המכניקה הקלאסית כגון מכניקה אנליטית וכו. בנוסף, במאה ה 19 נוסף החלק השני המוכר בפיסיקה הקלאסית,השדות האלקטרו מגנטיים (משוואות מקסוול המתארות שדות אלקטרומגנטיים). בשני המקרים הנ ל, תוכנה בולטת היא הדטרמינזם. אם אנו יודעים מספיק על המערכת בזמן ההתחלתי אז אנו יכולים לפתור את המשוואות ונקבל את מצב המערכת בכל רגע נתון (בעתיד ובעבר). כלומר, ההווה קובע את העתיד באופן חד ערכי. הערה בנוסף במאה ה 19 התפתח ענף של תורת החום התרמודינמיקה ומכניקה סטטיסטית קרינת גוף שחור בשנת 1900 פלנק עסק בקרינת גוף שחור. כולנו מכירים את התופעה, אם נקח מוט ברזל, בהתחלה הוא יהיה שחור, אם נחמם אותו הוא יהפוך לאדמדם ועם נחמם אותו עוד יותר הוא יאיר אור לבן. למה הגוף פולט קרינה אלקטרו מגנטית? כיוון שבגוף יש חלקיקים טעונים, וככל שהוא מתחמם הם מאיצים ולכן הם פולטים קרינה אלקטרו מגנטית. לכן יש יחס בין הטמפרטורה לקרינה הנפלטת. ככל שהוא חם יותר כך הם פולטים קרינה בתדר גבוה יותר. מבחינה קלאסית לא אמור להיות משמעות לאיזה חומר מדובר כל עוד הוא שחור. (מה זה גוף שחור? גוף הבולע את כל הקרינה הפוגעת בו). אבל משיקולים תרמודינמיים לא ייתכן כי הקרינה שנפלטת משני גופים שונים,A B הנמצאים בשיווי משקל תרמי תהיה שונה. אם A פולט יותר קרינה מB אז ניתן לבנות מכונה בניהם שתעשה עבודה מכנית ותפלוט את יתר האנרגיה לB. במקביל אם נקח מסנן ונסנן את הקרינה לאורכי גל ספציפיים נקבל את אותה הסתירה. לכן נקבל כי לא רק שהקרינה הכללית שנפלטת צריכה להיות שווה אלא גם הספקטרום צריך להיות זהה. כלומר הגרף של הספקטרום צריך להחות לא תלוי בתכונות של הגוף. אחת הדרכים לבנות גוף שחור הוא לקחת מתכת שכן מחזירה, ולבנות ממנה קופסה ולמלא אותה בגלים אלקטרומגנטיים. הדפנות של הקופסה מחזירות את הקרינה אך לא בצורה מושלמת. אם נחכה מספיק זמן, הגלים האלקטרומגנטיים בתוך הקופסה יהיו בשיווי משקל תרמי עם הדפנות של הקופסה. במידה וניצור סדק בקופסה, היא תפלוט דרכו את הקרינה מבפנים, ותבלע כל קרינה אשר מגיעה מבחוץ. כלומר זהו קירוב טוב לגוף שחור. למעשה אנחנו מצפים לקבל גרף B(ν,T) (תדר וטמפרטורה, עקומות שנראות כמו גאוסיאנים). עבור כל גוף שחור שהוא, לא משנה בתכונות שלו כגון חומר וצורה. בהינתן מערכת עם n דרגות חופש q, 1 q,..., n מצב המערכת נפתר בהינתן הq וp של כל נקודה, ובעזרת משוואות המילטון: נוכל לפתור את הבעיה. q = H p ṗ = H q 3

5 פרק 1. מבוא 1.2. מכניקה סטטיסטית על קצה המזלג 1.2 מכניקה סטטיסטית על קצה המזלג ובמידה ש N גדול מאוד, בעזרת המכניקה הסטטיסטית נוכל לחשב את ההסתברות למצוא את המערכת במצב מסויים. נניח מערכת מאוד גדולה (אמבט חום),ויש לנו מערכת קטנה בעלת אינטרקציה עם המערכת הקטנה. האנרגיה של המערכת הגדולה הוא E ואילו הקטנה היא ε. במכניקה סטטיסטית נראה כי: P (q,p) e ε(q,p) T כלומר ההסתברות למצב מסויים תלויה באנרגיה של המערכת הקטנה. הערה נראה שחסר קבוע בולצמן במכנה. אבל אין זה כך, אנחנו פשוט מודדים טמפרטורה בארגיה כאן ולא במעלות מאיפה זה נובע? נתבונן במערכת עם N חלקיקים. האנרגיה הקינטית של המערכת נתונה ע י,E = 3N i=1 p 2 i 2m i=1 3N. נבחין כי מדובר במשוואה של כדור במרחב של 3N מימדים (סכום הקואורדינטות כלומר: p 2 i = 2mE בנורמה אוקלידית שווה לאיזשהו קבוע) במקרה של גז אידיאלי נקבל: Ω(E) = C(N)(2mE) 3N 1 לכן, אם המערכת הקטנה לוקחת יותר אנרגיה מהמערכת הגדולה, היא מכריחה את המערכת הגדולה לנוע ב כדור יותר קטן. לכן הסיכוי של המערכת להיות במצב מסויים גדל. לרוב לא נוח להתייחס לקשר מעריכי, לכן נרצה לעבור להתבונן בלוג של Ω כלומר: זוהי האנטרופיה. ומתקיים: S(E) = lnω(e) = (3N 1)ln(2mE) 1 T = S E כפי שראינו בתרמודינמיקה. אם נתחפש את היחס בין שתי הסתברויות במצברים שונים, כלומר ) 1 P q) 1 p, ו ) 2 P q) 2 p, נקבל כי: P (q 1,p 1 ) P (q 2,p 2 ) = ε(p 1,q 1 ) ε(q 2,p 2 ) e T וזהו כבר שיוויון ממש (הרי זו המשמעות של פרופורציוני ל...). וכדי למצוא את ההסתברות עצמה, יש לנרמל את הפונקציה כך שסכום כל ההסתברויות יהיה 1 כלומר: P (q,p) = e ε(q,p) T ε(q,p ) e T ε(q,p) T נסמן β, = 1 T נחשב את האנרגיה הממוצעת: e d n q d n p Z(T) ε = e βε(q,p) d n qd n p = Z(T) e βε(q,p) d n qd n p = d n q d n p Z e ε(q,p ) T β Z = β lnz.e = p 2 i 2m דוגמה לדוגמה, נבחן מערכת שיש בה מיכל גדול המכיל גז, האנרגיה הקינטית של הגז היא: ומערכת קטנה בנפח V המכילה מולקולה אחת: ˆ p2 β Z = V e 2m d 3 p 4

6 1.2. מכניקה סטטיסטית על קצה המזלג פרק 1. מבוא (האנרגיה לא תלויה בq, אבל זהו הנפח של המערכת הקטנה. נחשב את האינטגרל ונמצא את Z: ε = β lnz ( π2m Z = V β )3/2...p 2 = p 2 x +p2 y +p2 z זהו סתם אינטגרל גאוסי. הערה ε = β lnz = ( 32 ) β lnβ = 3 2β = 3 2 T דוגמה אוסילטור הרמוני הנמצא בשיווי משקל תרמי עם אמבט חום: E = p 2 2m kq2 k = ω אז גם ניתן לרשום: אבל m ˆ Z = E = p 2 2m mω2 q 2 2π ω 2 β ( e β p 2 2m +1 2 mω2 q 2) π2m dpdq = β ε = β ln 4π 2 β 2 ω 2 = ( 12 ) β lnβ2 = 1 β = T עקרון החלוקה השווה עקרון החלוקה השווה אומר כי האנרגיה מתחלקת באופן שווה לכל דרגות החופש. במקרה הראשון היו לנו 3 דרגותחופשלכן האנרגיה 3 2T,ואילובמקרהשלהאוסילטורעם 2 דרגותחופש p,q קיבלנוכי האנרגיההממוצעת היא T. אם נחזור למקרה של הגוף שחור, עם הקוביה אשר בתוכה יש גלים אלקטרומגנטיים בשיווי משקל תרמי עם הדפנות של הקופסה, נרצה לשאול מה דרגות החופש של הגלים בקופסה (נקח קוביה) עם דופן באורך L. מה הם תנאי השפה שלנו? נדרוש כי על הדפנות השדה החשמלי מתאפס כלומר: E x (x {0,L},y,z) = 0 E y (x,y {0,L},z) = 0 E z (x,y,z {0,L}) = 0 הערה נבחין כי בדוגמאות קודמות הנחנו כי האנרגיה של כל חלקיק היא הקינטית בלבד, זאת בגלל שהנחנו שאינטרקציה בין החלקיקים היא זניחה. באופן דומה אם אנו מניחים החזרה מלאה של הגלים מהדפנות (כלומר שהדפנות במוליכות גבוהה מאוד) ושלא נבלעת אנרגיה בדפנות ולא נפלטת ממנה אז היא לא תגיע לשיווי משקל תרמי. אך נניח שהפליטה והבליעה זניחות ביחס להחזרה. 5

7 פרק 1. מבוא 1.2. מכניקה סטטיסטית על קצה המזלג נשים לב שאין מטענים במערכת לכן = 0 E לכן תנאי השפה נוספים הם: x E x(x {0,L},y,z) = 0 y E y(x,y {0,L},z) = 0 z E z(x,y,z {0,L}) = 0 נעבור לעבוד עם פוטנציאל מגנטי. נבחין כי כעת תנאי השפה שלנו יהיו: E = ϕ+ A B = A A = 0 x Ȧ x (x = 0) = Ay,z (x = 0,y,z) = 0 2 t A c 2 2 A = 0 משוואת הגלים מתקיימת עבור A: הערה למה A מקיימת את משוואת הגלים? בגלל משוואות מקסוול מתקיים (יש לא ה טעויות אבל... זה מה יש): Ė c B = 0 c B + E = 0 A x = A y = A y = n 1,n 2,n 3 A 1 (n 1,n 2,n 3 )cos ( πn1 ) A 2 (n 1,n 2,n 3 )sin L x n 1,n 2,n 3 A 3 (n 1,n 2,n 3 )sin n 1,n 2,n 3 ( πn1 ) ( L x πn2 ) ( sin L y πn3 ) sin L z cos(ωt) ( πn1 L x ) sin ( πn2 cos ω 2 = c 2π2 ( n 2 L 2 1 +n 2 2 +n 2 ) 3 3 n i A i (n 1,n 2,n 3 ) = 0 i=1 ) L y ( πn2 ) L y cos ( πn3 sin הפתרון עבור x הוא: ועבר יתר הקואורדינטות: ) L z cos(ωt) ( πn3 ) L z cos(ωt) ומתקיים: בנוסף אם נוסיף את התנאי של כיול קולון נקבל: E x = ωa 1 (n 1,n 2,n 3 )cos(k 1 x)sin(k 2 y)sin(k 3 z)sin(ωt) 6 ולכן

8 1.2. מכניקה סטטיסטית על קצה המזלג פרק 1. מבוא B x = B y = B z = ובאופן דומה ל E. y E, z וגם: (k 2 A 3 (n 1,n 2,n 3 ) K 3 A 2 (n 1,n 2,n 3 ))sin(k 1 x)cos(k 2 y)cos(k 3 z)cos(ωt) n 1,n 2,n 3 (k 3 A 1 (n 1,n 2,n 3 ) K 1 A 3 (n 1,n 2,n 3 ))cos(k 1 x)sin(k 2 y)cos(k 3 z)cos(ωt) n 1,n 2,n 3 (k 1 A 2 (n 1,n 2,n 3 ) K 2 A 1 (n 1,n 2,n 3 ))cos(k 1 x)cos(k 2 y)sin(k 3 z)cos(ωt) n 1,n 2,n 3 נחשב את האנרגיה: ˆ (E 2 +c 2 B 2) E = 1 2 נסמן )cos(ωt) A( n,t)a(n 1,n 2,n 3 אם ננסה לקיים את עקרון החלוקה השווה, לכל דרגת חופש צריך להיות אנרגיה זהה לפי הטמפרטורה. אבל מכיוון שגם באצבעות הכי קטן יכולים להכנס אינסוף גלים, כלומר יש לנו אינסוף דרגות חופש. ולכן אנרגיה אינסופית. זוהי הקטסטרופה של האולטרה סגול. וזוהי סתירה. (ν = ω 2π פלאנק אמר כדי לפתור את הסתירה (פלאנק במקום להשתמש בתדירות הזוויתית ω הוא השתמש ב שהאנרגיה יכולה להיות שווה רק לכפולה שלמה (כלומר n): N E = nhν כלומר, רמות האנרגיה הן בדידות ופרופורציוניות לתדר. כאשר h (קבוע פלאנק) הוא קבוע חדש של הטבע שערכו: h = Joul sec = erg sec = ev sec כלומר,האנרגיות שגל אלקטרו מגנטית מגיעה במנות קצובות. באופן קלאסי היינו אומרים שהוא יכול להתנודד באיזה אמפליטודה שנרצה. פלאנק אומר: לא. האמפליטודה חייבת להיות בדידה. באורך גל גדול אנו לא נרגיש את זה כי: hν יהיה קטן מאוד. הרבה פעמים נעדיף להשתמש בω במקום ב ν ואז נכתוב: hν = h 2π ω ואת הגודל h נהוג לסמן (על מנת לקצר כתיבה ולכן נקבל: 2π = ω = Joul sec = ev sec ערכו הוא כמובן: עקרונית זו הייתה המטרה של כל התהליך במסגרת הקורס, אבל נסגור את הנושא של גוף שחור. אם נקבל את ההנחה של פלאנק, ההסתברות שניהיה ברמת אנרגיה n (כאשר n) N היא פרופורציונית ל e. nν T/ על מנת לקבל שיוויון ננרמל ונקבל: P (n) = e nhν/t e mhν /T m=0 = e nhν/t Z 7

9 פרק 1. מבוא 1.2. מכניקה סטטיסטית על קצה המזלג ν 2( k ) הערה זוהי ההסתברות למוד אחד ספציפי k כאשר: k = π L (n 1,n 2,n 3 ) = c2 π 2 ( n 2 4π 2 L 2 1 +n 2 ) 2 +n3 3 ומתקיים: E k = P k (n)nhν n נרצה לחשב את האנרגיה הממוצעת: P (n) = e nhνβ ונקבל: Z = e βnhν nhν = e βmhν β lnz m=0 נסמן β = 1 T כפי שעשינו מקודם, כלומר: דומה למה שראינו באופן הקלאסי, רק במקום שZ יהיה אינטגרל הוא סכום בדיד. Z k = e mβhν 1 = 1 e βhν m=0 ולכן, על מנת למצוא את האנרגיה הממוצעת נקבל: E k = β ln 1 hνe βhν = 1 e βhν 1 e βhν = hν e βhν 1 כלומר, אין לנו את עקרון החלוקה השווה, אנו מקבלים כי כל אופן תנודה מקבל אנרגיה שונה בהתאם לתדר. אם נבחן את האנרגיה הממוצעת עבור תדר נמוך, כלומר: hν T נקבל: ( (hν e hν /T 1+ hν ) ) 2 T +O T E k T כלומר נקבל כי: E k hνe hν T עבור תדירויות מאוד גדולות, כלומר: hν T נקבל: המודל שתיארנו הוא מודל טוב לגוף שחור כל עוד λ L וגם מגודל הסדק (על מנת למנוע אפקטים של ν c L עקיפה והתאבכות) כלומר: אם נתבונן בשריג תלת מימדי שאת התדירויות האפשריות (כלומר מערכת הצירים שלנו היא n, 1 n, 2 n, 3 ונקודות בערכים האפשריים של המודים האפשריים). π. L נבנה כדור גדול סביב הראשית ונתבונן ברצועה מ 2L c ν בגודל dν נקבל כי המרחק בין כל 2 נקודות יהיה האנרגיה שיש בתדירות ν היא: מספר אופני התנודה בעלי תדירות +dν) u(ν) = #(ν,ν ( ) 2 2Lν }{{} 2 π 2 c לכל מוד יש שני קיטובים hν e βhν 1 = hν 4πL3 d n = e hν /T 1 c 3 ν 2 8 hν e hν /T 1 dν = 8πL 3 c 3 ν 2 hν 8π 1 dν = e hν /T 1 c 3 hν3 e hν /T 1

10 1.3. סיכום ביניים פרק 1. מבוא נרצה לענות על שאלה, מה היא כמות האנרגיה שיוצאת ליחידת שטח של הגוף השחור (של הסדק במקרה שלנו) ליחידת זמן? נבחן כמות האנרגיה שיוצאת בזווית θ ליחידת זמן ושטח. כמות האנרגיה שתצא היא: cu(ν) 4π dωcosθ כמות האנרגיה הכללית שיוצאת ליחידת שטח ליחידת זמן בגוף שחור היא: ˆ c I(ν) = אבל מה זה?dΩ בקואורדינטות כדוריות: 4π u(ν)cosθdω ולכן: dω = sinθdθdϕ = c 4π u(ν) π ˆ2 0 ˆ 2π 0 sinθcosθdϕdθ = 8π c 3 hν3 1 e hν /T 1 I(ν,T)dν = 2π c 2 hν3 1 e hν /T 1 dν ולכן: I(T) = ˆ 0 אם נרצה לחשב את סה כ האנרגיה נקבל: I(ν,T)dν = 2π ˆ ( ) ν 3 1 c 2 ht4 T e hν /T 1 dν T = 2π ˆ c 2 h y 3 1 e hy 1 dy T 4 0 כלומר קיבלנו כי האנרגיה הכללית פרופורציונאלית ל T 4 זה היה ידוע עוד לפני משיקולים תרמו דינאמים (חוק סטפן בולצמן האומר.I(T) = σt 4 פלאנק ידע לחשב את σ בניגוד לסטפן בולצמן.) 1.3 סיכום ביניים את כל המבוא הנ ל פתחנו על מנת להגיע למסקנה שהאנרגיה היא מקוונטטת ככפולות שלמות של hν כלומר:.E = nhν זוהי התובנה החשובה של פיסיקת הקוונטים. פלאנקעצמוהיהמאודזהיר בהתייחסותשלו לזה,הוא ניסח אתזה באופןשאומרשהאנרגיה שהדפנותיכולות לתת הן ברמות האנרגיה הנ ל. הוא לא אמר שזו ההגבלה לגל אלקטרומגנטי. איינשטיין היה זה שהסיק מהנוסחאות של פלאנק שגל אלקטרומגנטי למעשה מורכב מרמות שלמות של אנרגיה מהצורה הזו, ורמת האנרגיה הנ ל נקראה פוטון. הגל מתקדם בכיוון מסויים, אנו יכולים לחשב לו לא רק )אנרגיה אלא גם תנע. תורת מקסוול אומרת שצפיפות האנרגיה: (2 ε = 1 2 E 2 c+ 2 B וכמו כן, היא אומרת שצפיפות התנע נתונה ע י p = E B (וקטור פויינטינג).. p = hν c = h λ והתנע של פוטון הוא:. p = ε אם אנו מדברים על גל מישורי אזי:.c B = E ולכן: c. p = h 2πk =. ואז התנע של פוטון יהיה k כוון k כוון התקדמות הגל, ו k = 2π λ הערה בגלים ראינו כי וקטור פוינטינג הוא שטף האנרגיה, מה הקשר לצפיפות תנע? נלמד בחשנ ל. אם נקח איזשהו מכשיר שהוא גלאי פוטונים, ואנו נקלוט פוטונים שמגיעים אליו, בתורה הקלאסית אנו נאסוף את האנרגיה בצורה רציפה לחלוטין, אבל בעקבות העבודה שהוא לא רציף אלא אוסף של פוטונים הנושאים אנרגיה, אנו יודעים כי במשך שניה אחת אנו צריכים לקלוט כמות מסויימת של אנרגיה (שטף האנרגיה לשניה) אבל מכיוון שהיא במנות דיסקרטיות נשאלת השאלה מתי בדיוק נתפוס אותה? אנו יודעים כי במשך שניה אנחנו צריכים לקלוט שני פוטונים, אך איננו יודעים מתי, אלא רק את ההסתברות. כלומר אנו מכניסים אמנט לא דטרמיניסטי. 9

11 פרק 1. מבוא 1.4. האפקט הפוטואלקטרי 1.4 האפקט הפוטואלקטרי ניסוי נוסף שתמך בתיאוריה של פלאנק הוא האפקט הפוטואלקטרי. אנו יודעים כי החומר מכיל אלקטרונים, ושבמתכת הם חופשיים לנוע. אם מאירים על מתכת באור אז היא יכולה לתלוש אותם מהמתכת. איך רואים את זה בניסוי? לוקחים שורפרת ריק, עם אנודה וקתודה ונחבר אותם לסוללה כאשר הקתודה מחוברת אל המינוס. על הקתודה נאיר אור, כתוצאה מכך הם מתנתקים מהקתודה ונמשכים אל האנודה, וככתוצאה מכך יהיה זרם במעגל. עוצמת הזרם במעגל תיהיה פרופורציונית לעוצמת האור, ככל ש נזרוק יותר אור על הקתודה יזרמו יותר אלקטרונים, הדבר אינו מפתיע אף אחד. אנויכולים לנתק אתהסוללהמהמעגל (כךשהיא לאתמשוך את האלקטורנים)ועדייןיהיה זרם במעגל. באותו אופן ניתן להפוך את הסוללה, ואז האלקטרון יצטרך להתגבר על מחסום פוטנציאל V של הסוללה. נשאלת השאלה האם האנרגיה הזאת יותר גדולה או יותר קטנה? הניסיון אומר שככל שנגדיל את המתח לאט לאט הזרם יחלש עד שהוא יעצר ב V. 0 כל עוד V < 1 2 mv2 אז הזרם יהיה שונה מ 0. אחרת לא יזרום זרם. ככל שעוצמת האור יותר גדולה הזרם יותר גדול. אבל בואו לא נשנה את העוצמה, אלא את התדירויות, מה שמתגלה הוא אישור ניסיוני לאפקט של פלאנק, עוצמת המתח העוצר לא תשתנה אם נשנה את עוצמת האור כיוון שכל האלקטורנים יוצאים פחות או יותר עם אותה אנרגיה קינטית ועדיין יצטרכו לעבור את אותו מחסום פוטנציאל, אבל אם נשנה את התדר, האנרגיה של הפוטון תהא גדולה יותר, ולכן תעניק לאלקטרון אנרגיה גדולה יותר כיוון שהאנרגיה של האלקטרון תהא שווה לאנרגיה של הפוטון שהוא בלע: 1 2 mv2 = hν ϕ כאשר ϕ היא פונקציית העבודה על מנת להוציא אותם מהמתכת (כלומר צריך לתת לאלקטרון אנרגיה ϕ כדי להוציא אותו מהמתכת). התפצית של איינשטיין הייתה כי: ev = hν ϕ כלומר המתח העוצר V כפונקציה של התדירות ν הוא גרף לינארי (אשר לא עובר בראשית, אלא חותך את ציר המתח בe!). ϕ בזמנו אפילו פלאנק לא האמין לאיינשטיין, אך בשנות ה 20 של אותה מאה וגילו כי זו אכן התוצאה. דרך אחרתלמדודאת המתחהעוצרהואלבטל את המעגלכולות לקחתרק את השפורפרתולמדוד אתהמתח בין האנודה וקתודה. אם אנו נאיר על הקתודה אלקטרונים יעברו לאנדוה וההליך ימשך עד שיצטברו מספיק אלקטרונים על האנודה על מנת ליצור פוטנציאל עוצר לאלקטרונים. 1.5 ספקטרום בדיד אם נקח גז ונעניק לו אנרגיה (לדוגמה, נחמם אותו) נראה שהוא פולט אור בתדירויות בדידות. לכל אטום יש חתימה ספקטרלית משלו. אבל למה לאטומים יש סדרה של תדירויות שהם משדרים ואילו באחרים לא? המודלים הראשונים שעלו על הדעת היא לחשוב איךו גופים אנו יודעים שיש להם תדירויות סגולויות שלהם. הדבר הראשון שעולה על הדעת הוא מיתר או משטח של תוף. הספקטרום של מיתר של כינור לדוגמה נקבע על ידי תכונות של המיתר. המודל הראשון שאנשים חשבו עליו הוא שהאטום עשוי מחומר אלסטי כלשהו והתדירויות שלו קשורות לתדירויות של הספקטרום שהוא פולט. אבל אז רטרפורד הוכיח את מודל האדום בעזרת הניסוי שלו של פיזור, ואז הוא גילה שיש גרעין עם ריכוז המסה וסביבו ריק שבו חגים אלקטרונים. כלומר לא מדובר בגוף אלסטי שמתנדנד, אלא משהו שיותר דומה למערכת שמש כאשר האלקטרונים נעים בהשפעת חוק קולון. אז מאיפה מגיעים הקווים הספקטרלים? כמו כן, מדוע האטום יציב? אם בתוך כל אטום יש אלקטרון שמואץ כל הזמן, מדוע הוא לא פולט כל הזמן גלים אלקטרומגנטים, מאבד אנרגיה וקורס בסופו של דבר לגרעין? מדוע האטומים דומים? ההנחה היא שיש רמות אנרגיה בדידות אשר בהן האלקטרון יכול להיות, זה עונה על כלל השאלות, מכיוון שהוא לא יכול לרדת מתחת לרמה הנמכונה, מדוע הם דומים? כיוון שהם כולם נמצאים ברמה הנמוכה ביותר. מאיפה מגיעים הקווים הספקטרלים? ההפרשים בין רמות האנרגיה של האלקטרון. כאשר אלקטרון עובר בין רמת.ν = E1 E2 h אנרגיה E 1 ל E 2 הוא פולט פוטון אשר האנרגיה שלו חייבת לקיים hν = E 1 E 2 או: בור ניסה להתבונן באטום המימן ומהספקטרום שלו הוא ניסה להבין איזה רמות אנרגיה קיימות בו. באלמר מדד את הספקטרום והוא מצא כי התדירויות הן: ( 1 ν n = R 4 1 ) n 2 10

12 פרק 1. מבוא 1.5. ספקטרום בדיד כאשר > 2 n. וR הוא קבוע כלשהו עם יחידות של תדירות. הסיבה שבאלמר מצא דווקא את התדירויות האלה היא מכיוון שהן בתחום הספקטרום הנראה. אם נבחן את כלל הספקטרום נגלה כי הוא מצא רק סדרה אחת מכלל הספקטרום ולמעשה: ( 1 ν n,m = R m 2 1 ) n 2 כאשר n, > m באלמר מצא למעשה את המקרה בו = 2 m. בוהר אמר ב 1913 : נניח כי רק מסלולים מעגליים מותרים עבורם התנע הזוויתי = n האלקטרון נע ברדיוס r n ומהירות v n נמצא את האנרגיה שלו:.l = nh כלומר, אם 2π E n = 1 2 mv2 n e2 r n נזכור כי אנו מדברים על אטום המימן לכן מטען הגרעין הוא e. במקביל ניתן לדבר על הליום או ליטיום ולתלוש מהם אלקטרון אחד או שניים בהתאמה ואז הגרעין יהיה טעון 2e ו 3e בהתאמה. לכן נוסיף פרמטר של מטען הגרעין. נקבל כי: כאשר Z הוא מספר הפרוטונים בגרעין. התנע הזוויתי k = mvr ולכן: E n = 1 2 mv2 n Ze2 r n mv n r n = n וקיבלנו משוואה אחת כמו כן, בגלל ההנחה של תנועה מעגלית אנו יודעים כי צריך להתקיים: mv 2 n r n = Ze2 r 2 n (כוח ביחס לרדיוס סיבוב). כלומר, קיבלנו שתי משוואות עם שתי נעלמים. נקבל כי: נציב במשוואה השניה ונקבל כי: ולכן: v n = n mr n r n = 2 mze 2n2 v n = Ze2 n ולמעשה קיבלנו איזה מסלולים מעגליים האלקטרון יכול לנוע בהם. אם נציב במשוואה = 1 n נקבל כי: עבור = 1 Z (כלומר אטום מימן) נקבל: r 1 = 2 mze 2 r 1 = 2 me 2 = cm 11

13 פרק 1. מבוא.1.6 ניסוי פרנק הרץ,Franck-Hertz) (1914 וזה הרדיוס של אטום המימן בגודל הטבעי שלו ונקרא רדיוס בוהר, חצי אנגסטרם (קנה המידה האטומי). נחשב את האנרגיה של אלקטרון: E n = 1 2 mv2 n Ze2 r n = mz2 e n 2 mz2 e 4 2 n 2 = mz2 e n 2 ולכן התדירויות של הפוטון שיפלט בין רמות אנרגיה תהא: ν n,k = mz2 e 4 ( 1 4π 3 k 2 1 ) n 2 ולכן: R = mz2 e 4 4π 2 מכיוון שהערכים הנ ל היו כבר ידועים, היתן היה לאמר את התיאויה ע י מדידות. נרצה לחשב את התדירות בה האלקטרון יצטרך להסתובב סביב הגרעין בכדי לפלוט את הפוטון בתדירות שחישבנו. f n = 1 ν n = mz2 e 4 1 2π r n 2π 3 n 3 = 2R R n 3 n 2 = R (n+1) 2 הקירוב הוא כאשר n הולך לאינסוף ואנו מסתכלים על מעבר בין שתי רמות אנרגיות קרובות. 1.6 ניסוי פרנק הרץ,Franck-Hertz) (1914 פרנק והרץ עשו ניסוי של לירות אלקטרונים בגז כספית בעזרת שפורפרת מלאה בגז כספית עם שריג אשר נותן להם לעבור, כאשר הם הגיעו למתח של 4.9 V הייתה ירידה משמעותית בזרם מכיוון שהאנרגיה מהאלקטרונים עברה לאטום. ושוב ב 9.8V. וחוזר חלילה. איור 1.1: המערכת של פרנק הרץ 1.7 ניסוי קמפטון Compton) 1924) 1.8 התפתחות מעניינת? כזכור, דיברנו על רמות האנרגיה של אטום המימן, ראינו כי האטומים פולטים קרינה בתדירויות דיסקרטיות. הניחו כי האטום הוא גוף אלסטי אשר יש לו תדירויות עצמיות כנ ל (כאמור הנסיונות להוכיח זאת לא צלחו, 12

14 1.8. התפתחות מעניינת? פרק 1. מבוא איור 1.2: תוצאות הניסוי של פרנק הרץ במיוחד כאשר רטרפורד גילה את הגרעין של האטום ושהאלקטרון הוא למעשה חלקיק נקודתי הנע בריק). ובוהר הסיק שיש רק רמות אנרגיה ספציפיות מותרות. בשנת 1924 באBorglie De ואמר שהוא לא מתרשם מכך שהאלקטרון הוא נקודתי. מכיווןשהוא אמר שאם האור הוא מצד אחד חלקיק ומצד שני גם גל, למה שהאלקטרון לא יהיה זהה? הוא הניח כי הקשר בין האלקטרון לגל שלו הוא אותו קשר אשר פלנק הניח לאור. כלומר הוא הניח כי.p = h λ התדירות של הגל מקיימת: E. = hν וכי התנע של האלקטרון כחלקיק היא:.p = nh אם 2πr דה ברויי בחן שוב את הקשר של בוהר. נזכור שעל מנת לקיים מסלול מעגלי חייב להקיים: נאמץ את העובדה שלאלקטרון הוא גל, נציב את p ונקבל: h λ = nh 2πr λ = 2πr n כלומר, אורך הגל של האלקטרון חייב להיות מחלק שלם של ההקף של המסלול. כלומר, אם הוא נע במסלול מעגלי, האורך של המסלול הוא.2πr ולכן המסלולים המותרים הם אלה שהמספר שיוצרים גל עומד. וזה מסביר מה הם המסלולים המותרים ולמההם נקבעים. כי אם נקבל מסלול אחר, אזי תווצר התאבכות הורסת וזה לא יהיה מסלול מותר. 13

15 פרק 2 קוונטים? 14