( a) ( a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( μ μ E E = + θ kr. cos. θ = θ אופטיקה = = c t c V = = = c 3. k i. k r = 90 משוואות מקסוול. n sin.

Transcript

1 o ( ω דף נוסחאות אופטיקה 4 מורן אסיף אביב תשס"ח משוואות מקסוול D 4π H J B D ε D 4πρ B B μh משוואות הגלים με με B B π λ, גל זה נקרא מישורי מפני ש- הוא פתרונן יהיה: ולכן עבור ליניארית שניתן לכתיבה היטל של וקטור המקום על זהו גל מישורי מקוטב ω וקטורים שונים נקבל את אותו ההיטל גם כ: ונקבל מישור: ( ω כאשר B B ומתקיים: B, B B με ω וקטור פוינטינג: ועוצמת האור היא: Svuu ε B ε S vε S v ε B I מהירות פאזה: ω V με שבירה והחזרה גלים אלקטרומגנטיים בתווך הומוגני איזוטרופי עבור המעבר ω נרצה לדעת כמה מהקרן עבר את התווך וכמה חזר, נחלק את הבעיה ω ω בתווך: למספר אפשרויות. האפשרות הראשונה היא שהשדה החשמלי מאונך למישור הגל. (זהו מישור הדף נגדיר את בתור מקדם ההחזרה כאשר: o λ o μ μ λ o o μ μ כמו כן נגדיר את מקדם ההעברה: o μ o o μ μ o o o במקרה השני השדה μ μ μ החשמלי מקביל o o למישור הגל ואז נקבל: o o μ μ μ μ לשבירה:( ( ( חוק ההחזרה: חוק סנל במעבר בתווך, D, B H רציפים כאשר ברוסטר זווית נרצה למצוא את הזווית שעבורה אין החזרה של האור, כאשר החומר לא מגנטי ( μ ( ונקבל: o o μ μ o o μ μ B כמו כן מתקיים: 9 כדאי לציין שאין קשר בין החלקים המקבילים והניצבים של חלק זה לחלקים של שבירה והחזרה. כמו כן, הנחנו שהשדה המקביל חוזר בכיוון הפוך לכיוון ממנו הוא בא o o T o o אם נרצה לדעת כמה מהאנרגיה עברה או הוחזרה מהתווך נשתמש ב: B החזרה פנימית מלאה > ניתן לקבל לפי חוק סנל שסינוס זווית ההעברה גדול מ- עבור זוויות כניסה שגדולות מזווית קריטית. זווית זו נתונה על ידי אם זווית הכניסה 9 כאשר. l עבור זוויות שגדולות מהזווית הקריטית, הגל העובר איננו גל מישורי אלא "גל נעלם" מהצורה היא בדיוק הזווית הקריטית נקבל β ω β, ניתן לראות שזהו גל מישורי רגיל שדועך בציר כאשר SD.. β I מערכה ההתחלתי, הגדרה זו נכונה גם לחומרים שבהם יש דעיכה כלומר מוגדר בתור המרחק שבו עוצמת הגל יורדת ל- S ph {} ( ( ( ( ( ( b b ( ( b ( b ( b b( ( b ( b b b b וקטוריות זהויות b b b טורי טיילור o......

2 ( obj ( בתור כלל אצבע ניתן לומר שאם העדשה הכי עבה במרכזה אז היא נקראת "עדשה מרכזת" ו- >, אם כלל זה לא מתקיים העדשה נקראת "עדשה מפזרת" ו- <. עדשות דקות נרצה למצוא את היחס בין ל-. לשם כך נפצל את העדשה לשני חלקים, החצי הקמור והחצי הקעור. נאמר שמי שנמצא בתוך העדשה חושב שהקרן באה מ-. v העדשה עשויה מחומר בעל מקדם. עבור המעבר בתווך הראשון נקבל: כאשר הוא הרדיוס של המשטח. עבור v שבירה המשטח השני נקבל: כאשר הרדיוס של המשטח יהיה חיובי אם הוא מהצורה ' ( ' ושלילי אם הוא מהצורה ' '. נשלב את שתי המשוואות ונקבל את משוואת העדשה הדקה": כאשר שמים שתי עדשות, אחת צמודה לשנייה: עדשה מפזרת: התמונה שרואה מי שנמצא מימין לעדשה לא אמיתית (וירטואלית, בגלל שאם נשים מסך בנקודה שבה הקרניים לכאורה מתרכזות, לא תמונה נראה q v עדשה מרכזת: התמונה אמיתית, כלמור אפשר לשים אותה על מסך. מסומנת סכמטית כ- מעבר קרניים בעדשה: כל הקרניים המקבילות בצד אחד של העדשה הולכות לאותה נקודה במישור המוקד (זהו המישור שמרחקו מהעדשה הוא. כמו כן, הקרן שעוברת דרך מרכז העדשה ממשיכה בקו ישר, לכן גם אפשר לדעת שקרניים מקבילות שמגיעות במאונך לעדשה יתכנסו לנקודת המוקד, וגם להפך כל הקרניים שעוברות דרך נקודת המוקד בצד אחד של העדשה ימשיכו במקביל לציר בצד השני. זכוכית מגדלת טלסקופ ε ε ε התמונה היא וירטואלית נקבל: כלומר כאשר מסתכלים על גוף קטן שנמצא במרחק קטן מאוד מהמוקד, אפשר נאמר שזווית הכניסה היא α וזווית היציאה היא, β > α נקבל ש-, β כלומר הכוכב שנראה כאילו נמצא באינסוף יראה גדול יותר. אפקט זה מושג באמצעות שתי עדשות דקות כך שמתקיים >. β מתקבלת הגדלה זוויתית: MP. בגלל ש- < MP (שתי α העדשות מרכזות נקבל תמונה הפוכה. אם נרצה זווית צפייה מקסימאלית נשים את העין בנקודה בה העדשה השנייה מראה את תמונת העדשה ( הראשונה, כלומר ב: להגדיל את התמונה לאינסוף. ההגדלה היא: M. ניתן לראות שאנו מקבלים > M כלומר התמונה נראית כלפי מעלה. אם < M נקבל תמונה הפוכה. קטנות פורמליזם מטריצי של זוויות מטריצת שבירה של משטח כדורי: מטריצת מעבר: מטריצת עדשה: בעדשה דקה ונקבל : M ( ( משוואת ניוטון: ( M ( H p A נדמה את b ( H p H מבטאים F H F H H F ו- היא M p F H M p M T כדי להשתמש במטריצות אלה נסתכל על מערכת כללית (שנמצאת בין לבין ( שמכילה עדשות, שבירות ומעברים בתור קופסא שחורה. פעולת המערכת (המתוארת על ידי המטריצה A לפעולה של עדשה דקה, כאשר H ו- את ההתחלה והסוף של העדשה. לאחר פתרון של הבעיה נקבל את המשוואות שמשמאל. שתי המשוואות הראשונות הן של "נקודות עיקריות", השתיים הנוספות הן "נקודות פוקוס" ההגדלה.

3 ˆ ˆ ( ω ( ω ממשיים אז גם קיטוב לינארי: אם ו- מקוטב לינארית. קיטוב זה נקרא לינארי כי השדה גדל וקטן לאורך ציר אחד קבוע. ± π מעגלי: אם מתקיים וגם אז התקדמות גלים בתווך לא איזטרופי בניגוד לחומר איזטרופי, נאמר שבכל כיוון בחומר יש מקדם דיאלקטרי שונה ולכן נקבל ש:, לאחר פתרון משוואות מקסוול בתנאים של חוסר D ε D ε D ε מטען וזרם נקבל D, D H, H, H משטח רבע גל: השדה מקוטב לינארית והוא מגיע למשטח כשהוא יוצר זווית. בכל ציר יש מקדם שונה ולכן נקבל : 45 של עם שני הצירים ( ω ( ˆ ˆ π ( נקבל ביציאה מהמשטח לכן אם נבחר גל מקוטב מעגלית. משטח חצי גל: אם השדה מגיע בזווית כללית הגל המתקבל הוא ( ω ˆ ˆ ( o ואם נבחר π, o ˆ נקבל ביציאה מהמשטח גל מקוטב לינארית בכיוון ˆ בזווית של. ניתן להשתמש בלוח כדי לסובב את הקיטוב בכל זווית על ידי מיקום ציר של ( ω ( ˆ± ˆ o( ω o [] מקוטב מעגלית : [] או: זהו והוא קיטוב בסיבוב ימני. זהו והוא קיטוב בסיבוב שמאלי. כדי לדעת לאן מתקדם הגל, נגדיל את ונראה איך צריך לשנות את כך שהאקספוננט יישאר קבוע. בדוגמא הנ"ל, אם מגדילים את צריך גם להגדיל את ולכן הגל מתקדם "אל מחוץ לדף". הגל הימני מסתובב נגד כיוון השעון בזמן (כי קטן, אבל מסתובב עם כיוון השעון בציר (כי גדל. חיבור של שני גלים מקוטבים מעגלית יכול לתת גל מקוטב לינארית אם הכיוונים מתאימים, לדוגמא אם ניקח ו המשטח באמצע הזווית בין כיוון הקיטוב הנכנס לכיוון הקיטוב הרצוי. אותו משטח יכול לתפקד גם כמשטח חצי גל וגם כרבע גל, כתלות באורך הגל. ומהירות חבורה פעימות כלומר קיטוב הגל סובב אם ניקח שני גלים מישוריים באותו כיוון עם פאזות שונות ו- ונחבר ביניהם, נקבל: ( ( ω ω ( ( ω ω oˆo o נוכל לכתוב זאת גם כך: [ ω ] oˆo ΔΔ o ω low qu hh qu Δω v היא מהירות החבורה והיא המהירות של התדר הנמוך, מהירות זו מוגדרת כ- Δ ω v היא מהירות הפאזה והיא המהירות של התדר הגבוה, מהירות זו מוגדרת כ- ω ω v כאשר שתי הפאזות המקוריות מאוד קרובות זו לזו נקבל v, ˆ ˆ - ˆ ˆ אז מקוטב לינארית פוטונים הם ביטוי של אור מקוטב מעגלית אליפטי: מתקבל כאשר הפאזה היא מעגלית אבל הגודל של שני השדות שונה: ω ( ˆ ˆ ± b פיתוח פורייה ניתן לבטא כל פונקציה מחזורית (יפה מספיק עם אורך גל בתור סכום של סינוסים וקוסינוסים בעלי אורך גל של כאשר λ הוא מספר שלם בצורה הבאה: A Ao B ניתן לכתוב זאת גם בתור: ( F נשווה בין שני הפיתוחים אם F, נקבל: A B F A B נניח שהפונקציה היא ממשית, מכך נובע שגם המקדמים. F כלומר מספיק לדעת רק ממשיים, לכן מקבלים ש- F I F B, F חצי מהם. נשאר ש- A גלים בתווך לא הומוגני. בתווך כזה נזניח אפקטים של קיטוב ונתחשב רק תווך לא הומוגני הוא תווך שבו ברכיב אחד של השדה החשמלי (קירוב של גלים סקלאריים. בניית הויגנס: כל נקודה בחזית הגל מפיקה גלים כדוריים שיוצרים חזית גל חדשה. הרדיוסים של הגלים v הכדוריים פרופורציוניים ל- ( כלומר, במקומות שבהם מקדם השבירה קטן יותר האור ינוע מהר יותר והרדיוס גדול יותר. B A OP λ { } { } F F A F F F F F B F F F פונקציה זוגית: פונקציה זוגית ממשית: עקרון פרמה: האור ינוע בדרך האופטית המינימאלית או המקסימאלית. הדרך האופטית מוגדרת בתור: עקיפה כדי לקבל את תבנית העקיפה נשתמש בבניית הוייגנס ונקבל (לאחר שימוש במשוואות מקסוול: גל מישורי עם אמפליטודה A ומספר גל A A A π λ λ λ F פונקציה אי זוגית: פונקציה אי זוגית ממשית: את המקדמים מוצאים לפי: מסכה מסך כאשר הנחנו שהגל הנכנס והגל הפוגע הם מישוריים. עוצמת הגל נתונה על אם הגל הנכנס הוא כדורי נקבל: ידי: I כאשר הוא המרחק בין המוקד למסכה (.

4 התמרת פורייה עבור פונקציה לא מחזורית, נשכפל אותה על ציר ואז ניקח את אורך המחזור לאינסוף ונקבל: F ( ( תכונות: ( ( הזזת המקור במקום: F לסיבוב תגרום בתדר F( F( פונקציה זוגית: פונקציה זוגית ממשית: עקיפת פראונהופר (תקפה כאשר מתקיים ( זהו מקרה פרטי של עקיפה שבו המרחק בין המסכה למסך גדול מאוד. לאחר הקירובים המתאימים: A ( p (, (, π, p p ואם נגדיר את הזוויות, אז ונקבל :, (, (, p ממשית ( ( מדומה F( π G π פונקציה אי זוגית: פונקציה אי זוגית ממשית: התמרה הפוכה: ניתן לראות שלמעשה, ולכל נקודה על המסך מתאימה זווית מסוימת. תמונת העקיפה המתקבלת היא התמרת פורייה של פוקנציית המסכה. דוגמאות לעקיפה b b חור מלבני: b : (, ( ( < J ( : (, חור עגול: p π F > : (, δ ( סריג עם N חריצים: N π N (, δ N λ λ כאשר הוא סדר העקיפה. בסדר ראשון נקבל נקודות מקסימום מקומיות ב-...,, עבור קונבולוציה: h( ( ( H( F( G( (, (, התמרה דו מימדית: (, אז ניתן לכתוב אם (, ( ( (, גאוסיאן σ לגאוסיאן עובר במקום בתדר: J פונקציית בסל J ( ל-.לפונקצה לפונקציה ל דומה πσ σ דוגמאות להתמרות h חלון בגובה H ורוחב : h פונקציית דלתא: δ עוברת ל Hh δ ( 4 π δ רכבת הלמים במקום: עוברת כלומר, גאוסיאן רחב במקום עובר לגאוסיאן צר בתדר. זו מספר אפסים שהראשון שבהם הוא ב-.8 צורה זו נקראת תבנית איירי עקיפה מאוביקט עם מגוון פאזות (, ( (, : לרכבת סכום דלתות: הלמים בתדר: כלומר חומר עם מקדם שבירה ועובי גורם לעיכוב פאזה של Δ φ OP o( עובר ל ( δ ( δ ( עובר ל ( δ ( δ ( הפרש דלתות: רזולוציה כוכב משלימים מסכים (, (, ( ( ( עוצמת האור זהה בשני המקרים פרט לנקודה, ( π δ δ לאחר חישוב נקבל α.8 λ α > π אם מסתכלים על כוכב דרך חור עגול, היא הזווית הקטנה ביותר שאפשר לראות לפי עיקרון ריילי הקובע את ההפרש המינימאלי בין שתי פונקציות איירי כדי שנוכל להבחין.8 ביניהן. הוא רדיוס העדשה.8 λ או רדיוס אישון העין π לכן, כדי שנוכל לראות את הכוכב הוא צריך להיות גדול מספיק, כלומר A ( A π (תקפה כאשר ( עקיפת פרנל למסכות קטנות נאמר ש- ונקבל :.אם למסכה יש סימטריה רדיאלית נגדיר ו: ( ( וקיבלנו ש- היא התמרת פורייה של המסכה (עד כדי גבולות אינטגרציה ( כאשר

5 איזורי פרנל הקרניים לא עוברות את אותה הדרך ולכן איזורים של ואיזורים של לא מגיעים באותה פאזה. p בנקודה P נקבל עוצמה חזקה או חלשה בהתאם ליחס בין איזורי ה לאיזורי ה- (מספר שווה יביא להתאבכות הורסת, יתרון לאחד הצדדים יביא לעוצמה מסוימת כתלות ביתרון. יש לשים לב שאין כאן מסכה, זהו חור רגיל. כמו כן, העיתון "לאישה" מופיע בשיר "ישנן בנות". איזורי פרנל מסכות כאשר יוצרים מסכה, איזורים בהם המסכה מעבירה אור יקבלו את הערך ואיזורים אטומים את הערך. לרוב משתמשים בפונקציה ( שמייצגת פונקציית חלון ברוחב כולל סביב הראשית. ניתן גם לבצע קונבולוציות עם פונקציות דלתא מוזזות מהצורה ( δ ( כדי לקבל בכיוון בחיובי שלצר ציר. הזזה של הפונקציה בשיעור כאשר חלק גורם לעיכוב פאזה, β מכפילים את האיבר שמייצג אותו ב- β. האיזורים,, נקראים ומתקיים: λ אם נבחר מסכה מהצורה שמשמאל, נוכל למשל להסתיר את איזורי כך ולקבל מסכה שלמעשה מתפקדת בתור עדשה ממקדת. לשם ה ה נבחר ואת הרדיוסים של המסכה בתור עקיפת פרנל ממערכת לינארית הנוסחה של עקיפת פרנל נכונה עבור נקודה על הציר האופטי. אם נרצה לחשב את העקיפה עבור נקודה שאינה נזיז את הציר האופטי אליה ואז נבצע האופטי,נז הציר על את האינטגרל ביחס לציר החדש. עבור חריץ אינסופי בכיוון וסופי < < (, בכיוון נקבל את הפונקציה: l כאשר גבולות החריץ נקבעים לפי הציר האופטי החדש. לכן u u u u. נמצא את פתרון u 4 λ λ אם נבחר נצטרך לבחור כאשר עבור זוגי נקבל עוצמה ועבור אי זוגי נקבל מיקוד. פרנל לעומת פראונהופר כאשר ביצענו את ההחלפה האינטגרל נומרית: ציר הוא החלק הממשי של פונקציית העקיפה u וציר הוא החלק המדומה שלה. המשתנה u לאורך המסילה, גודל רץ פונקציית העקיפה הוא למעשה המרחק של הנקודה u על הגרף ממרחק הנקודה u עליו. הגרף מתכנס לשתי נקודות שהמרחק ביניהן בריבוע פרופורציונאלי לעוצמת האור אם לא היה חריץ. לכן, אם נסתכל על שני חריצים ונרצה לדעת מי מהם נותן עבור איזה חריץ המרחק אור חזקה יותר, נבדוק עוצמת בין שתי הנקודות המתאימות על הגרף גדול יותר. ניתן לראות בגרף שמשמאל את עוצמת האור שמתקבלת על מרכז מסך כפונקציה של מרחק המסך מהמסיכה. כאשר המסך קרוב למסיכה נמצאים בתחום של עקיפת פרנל, ניתן לראות בתחום זה שיש אוסצילציות בין כלומר, אם עוצמה נמוכה לגבוהה. נרחיק את המסך בהדרגה מהמסכה נוכל לראות את האור במרכז מתחזק ונחלש לסירוגין. לאחר שנרחיק את המסך מספיק נעבור לתחום של עקיפת פראונהופר, שם אין אוסצילציות. זהויות טריגונומטריות טיפים לנבחן כאשר עובדים עם ורוצים לדעת איפה מקבלים דמות, מוציאים שתי קרניים: אחת במאונך לדמות המקורית ואחת למרכז העדשה הקרובה, בכל דמות. הללו ייפגשו, נקבל מקום בו הקרניים כאשר יש מסכה במישור המוקד של עדשה והיא מוארת על ידי גל מישורי, התמרת פורייה של המסכה תתקבל במישור המוקד מצדה השני של העדשה. פונקציית ההעברה (עבור עקיפות של עוצמת גל נתונה היא שורש העוצמה. כאשר מחשבים אינטגרלים של עקיפה ומקבלים, ניתן להגיד שזה אפס, לפי חוק המסכים המשלימים. הצץ אל נפלת על מבחן ממש קשה ולא הולך לך, אם הנבחן שמימינך, אם שמו בישראל איננו יונתן רוזמרין, גם הוא לא מצליח משהו α β α β α oα α β o ± α β α β α oα α β o o ± α β α β oα o β oo ( α α oα α β α β oα o β o( α o α α α β o o o α β α β α oα o β o o α β α β α α o β ( ( 4 α β α β α α α ( α β α o β oα β o( α 4 o α oα ( α β α o β oα β o( α β oα o β α β o α β oα o β α β