Numerička analiza 2. predavanje
|
|
|
- Κύρα Γούσιος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 1/44 Numerička analiza 2. predavanje Autor: Saša Singer Predavač: Nela Bosner web.math.hr/~nela/nad.html PMF Matematički odjel, Zagreb
2 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 2/44 Sadržaj predavanja Numerička matematika: Problemi numeričke matematike (zašto ona postoji). Uvodna priča o greškama: Pojam greške, apsolutna i relativna greška. Izvori grešaka model, ulazni podaci (mjerenje), metoda, zaokruživanje. Ilustracija grešaka na modelnim primjerima. Prikaz brojeva u računalu i greške zaokruživanja: Prikaz cijelih brojeva i tipične greške. Prikaz realnih brojeva. IEEE standard. Jedinična greška zaokruživanja. Greške zaokruživanja osnovnih aritmetičkih operacija.
3 Numerička matematika NumAnal 2011, 2. predavanje p. 3/44
4 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 4/44 Problemi numeričke matematike U matematici postoji niz problema koje ne znamo ili ne možemo egzaktno riješiti, tj. prisiljeni smo tražiti približno rješenje. Neki klasični zadaci u numeričkom računanju su: rješavanje sustava linearnih i nelinearnih jednadžbi, računanje integrala, računanje aproksimacije neke zadane funkcije (zamjena podataka nekom funkcijom), minimizacija (maksimizacija) zadane funkcije, uz eventualna ograničenja (obično, u domeni), rješavanje diferencijalnih i integralnih jednadžbi...
5 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 5/44 Problemi numeričke matematike (nastavak) Neke probleme čak znamo egzaktno riješiti (bar u principu), poput sustava linearnih jednadžbi (ponoviti LA1), no to predugo traje, pa koristimo računala. Medutim, tada imamo dodatni problem, jer računala ne računaju egzaktno, već približno! Oprez, tada ni osnovne aritmetičke operacije nisu egzaktne. Dakle, ključni pojam u numerici je približna vrijednost, odnosno, greška.
6 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 6/44 Ciljevi numeričke matematike U skladu s tim, osnovni zadatak numeričke matematike je naći (dati) odgovore na sljedeća pitanja: kako riješiti neki problem metoda, koliko je dobro izračunato rješenje točnost, ocjena greške. Malo preciznije, za svaku od navedenih klasa problema, treba proučiti sljedeće teme potprobleme: 1. Uvjetovanost problema osjetljivost problema na greške, prvenstveno u početnim podacima (tzv. teorija pertubacije ili smetnje vezana uz sam problem). 2. Konstrukcija standardnih numeričkih metoda za rješavanje danog problema.
7 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 7/44 Ciljevi numeričke matematike (nastavak) Kad jednom stignemo do numeričkih metoda, treba još proučiti sljedeće teme potprobleme: 3. Stabilnost numeričkih metoda njihova osjetljivost na smetnje problema. 4. Efikasnost pojedine numeričke metode orijentirano prema implementaciji na računalu: broj računskih operacija i potreban memorijski prostor za rješavanje problema (= Složenost). optimizacija komunikacije izmedu različitih nivoa memorijske hijerarhije 5. Točnost numeričkih metoda, u smislu neke garancije točnosti izračunatog rješenja.
8 Greške NumAnal 2011, 2. predavanje p. 8/44
9 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 9/44 Greške Pri numeričkom rješavanju nekog problema javljaju se različiti tipovi grešaka: greške modela svodenje realnog problema na neki matematički problem, greške u ulaznim podacima (mjerenja i sl.), greške numeričkih metoda za rješavanje matematičkog problema, greške približnog računanja obično su to greške zaokruživanja u aritmetici računala. Greške modela su izvan dosega numeričke matematike. Spadaju u fiziku, kemiju, biologiju, tehniku, ekonomiju,...
10 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 10/44 Mjere za grešku Oznake: prava vrijednost x, izračunata ili približna vrijednost ˆx. Standardni naziv: ˆx je aproksimacija za x. Trenutno, nije bitno odakle (iz kojeg skupa) su x i ˆx. Zamislite da su to obični realni brojevi x,ˆx R.
11 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 11/44 Mjere za grešku (nastavak) Apsolutna greška: mjeri udaljenost izračunate vrijednosti ˆx obzirom na pravu vrijednost x. Ako imamo vektorski prostor i normu, onda je udaljenost = norma razlike. Dakle, apsolutna greška je definirana ovako: E abs (x,ˆx) := ˆx x. Često se koristi i oznaka x = ˆx x (na pr. u analizi), pa je E abs (x,ˆx) = x.
12 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 12/44 Mjere za grešku (nastavak) Primjer. Dojam o veličini greške: ako smo umjesto 1 izračunali 2, to nam se čini lošije nego ako smo umjesto 100 izračunali 101. Relativna greška: mjeri relativnu točnost aproksimacije ˆx obzirom na veličinu broja x, na pr. koliko se vodećih znamenki brojeva x i ˆx podudara. Relativna greška definirana je za x 0, E rel (x,ˆx) := ˆx x. x Često se koristi i oznaka δ x. Katkad se u nazivniku javlja ˆx.
13 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 13/44 Mjere za grešku (nastavak) Ideja relativne greške: ako ˆx napišemo kao ˆx = x(1+ρ), onda je njegova relativna greška Dakle, relativna greška mjeri E rel (x,ˆx) := ρ. koliko se faktor (1+ρ) apsolutno razlikuje od 1. Sad možemo detaljnije opisati one četiri vrste grešaka: greške modela, greške u ulaznim podacima (mjerenjima), greške metoda za rješavanje modela, greške aritmetike računala.
14 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 14/44 Greške modela Greške modela mogu nastati: zbog zanemarivanja utjecaja nekih sila, na primjer, zanemarivanje utjecaja otpora zraka ili trenja (v. primjer), zbog zamjene kompliciranog modela jednostavnijim, na primjer, sustavi nelinearnih običnih ili parcijalnih diferencijalnih jednadžbi se lineariziraju, da bi se dobilo barem približno rješenje, zbog upotrebe modela u graničnim slučajevima, na primjer, kod matematičkog njihala se sin x aproksimira s x, što vrijedi samo za male kutove.
15 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 15/44 Modelni primjer Problem gadanja Primjer. Imamo top (ili haubicu) u nekoj točki recimo, ishodištu. Treba pogoditi cilj koji se nalazi u nekoj drugoj točki. Najjednostavniji model za ovaj problem je poznati kosi hitac. Projektil ispaljujemo prema cilju, nekom početnom brzinom v 0 (vektor), pod nekim kutem α, obzirom na horizontalnu ravninu. Cijela stvar se odvija pod utjecajem gravitacije (prema dolje). Ako zanemarimo otpor zraka, dobijemo obični kosi hitac.
16 Modelni primjer Slika NumAnal 2011, 2. predavanje p. 16/44
17 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 17/44 Modelni primjer Jednadžba Osnovna jednadžba je F = ma, gdje je m masa projektila (neće nam trebati na početku), a a je akceleracija vektor u okomitoj (x, y)-ravnini, F je sila gravitacije, prema dolje, tj. F x = 0 i F y = mg. Gornja jednadžba je diferencijalna jednadžba drugog reda u vremenu. Ako je (x(t), y(t)) položaj projektila u danom trenutku, jednadžba ima oblik po komponentama: m d2 x dt 2 = F x, m d2 y dt 2 = F y. Akceleracija je druga derivacija položaja.
18 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 18/44 Modelni primjer Rješenje jednadžbe Neka je projektil ispaljen u trenutku t 0 = 0. Nakon integracije, za brzinu v = prva derivacija položaja, imamo jednadžbu mv = F t+mv 0, ili, po komponentama (masa se skrati) v x = dx dt = v 0cosα, v y = dy dt = v 0sinα gt. Još jednom integriramo (početni položaj je x 0 = 0, y 0 = 0). Za položaj projektila u trenutku t dobivamo: x(t) = v 0 tcosα, y(t) = v 0 tsinα 1 2 gt2. Reklo bi se znamo sve!
19 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 19/44 Modelni primjer Još neke relacije Jednadžba putanje projektila u (x, y)-ravnini je y = xtgα g 2v 2 0cos 2 α x2. To je parabola, s otvorom nadolje, koja prolazi kroz ishodište. Najveća visina projektila je y max = (v 0sinα) 2 2g a maksimalni domet na horizontalnoj x-osi je x max = v2 0sin2α g.,
20 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 20/44 Modelni primjer Stvarnost Nažalost, s ovim modelom nećemo ništa pogoditi. Praksa: Fali otpor zraka, tlak pada s visinom, vjetrovi i sl. Koeficijent za otpor ovisi o obliku projektilu mjeri se. Izračunate tablice se eksperimentalno upucavaju i korigiraju. Primjena u praksi ide obratno znam daljinu, tražim kut.
21 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 21/44 Greške modela (nastavak) Primjer. Medu prvim primjenama jednog od prvih brzih paralelnih računala na svijetu (ASCI Blue Pacific) bilo je odredivanje trodimenzionalne strukture i elektronskog stanja ugljik-36 fulerena. Primjena spoja je višestruka: supravodljivost na visokim temperaturama, precizno doziranje lijekova u stanice raka.
22 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 22/44 Greške modela (nastavak) Prijašnja istraživanja kvantnih kemičara dala su dvije moguće strukture tog spoja. Te dvije strukture imaju različita kemijska svojstva.
23 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 23/44 Greške modela (nastavak) Stanje stvari: eksperimentalna mjerenja pokazivala su da je struktura (a) stabilnija, teoretičari su tvrdili da je stabilnija struktura (b). Prijašnja računanja, zbog pojednostavljivanja i interpolacije, kao odgovor davala su prednost teoretskoj strukturi. Definitivan odgovor, proveden računanjem bez pojednostavljivanja, pokazao je da je struktura (a) stabilnija.
24 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 24/44 Greške u ulaznim podacima Greške u ulaznim podacima javljaju se zbog nemogućnosti ili besmislenosti točnog mjerenja (Heisenbergove relacije neodredenosti). Primjer, tjelesna temperatura se obično mjeri na desetinku stupnja Celziusa točno. Pacijent je podjednako loše ako ima tjelesnu temperaturu 39.5 ili Bitno praktično pitanje: Mogu li male greške u ulaznim podacima bitno povećati grešku rezultata? Nažalost MOGU! Takvi problemi zovu se loše uvjetovani problemi.
25 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 25/44 Greške u ulaznim podacima (nastavak) Primjer. Zadana su dva sustava linearnih jednadžbi recimo, umjesto ispravnih (prvih) koeficijanata, izmjerili smo druge: i 2x + 6y = 8 2x y = , 2x + 6y = 8 2x y = Perturbacije koeficijenata: reda veličine Je li se rezultat takoder promijenio za red veličine 10 4?
26 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 26/44 Greške u ulaznim podacima (nastavak) Rješenje prvog problema: x = 1, y = 1. Rješenje drugog problema: x = 10, y = 2. Grafovi presjecišta dva pravca za prvi i drugi sustav: y y x x
27 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 27/44 Greške metoda za rješavanje problema Najčešće nastaju kad se nešto beskonačno zamjenjuje nečim konačnim. Razlikujemo dvije kategorije: greške diskretizacije koje nastaju zamjenom kontinuuma konačnim diskretnim skupom točaka, ili beskonačno malu veličinu h ili ε 0 zamijenjujemo nekim konačno malim brojem; greške odbacivanja koje nastaju rezanjem beskonačnog niza ili reda na konačni niz ili sumu, tj. odbacujemo ostatak niza ili reda.
28 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 28/44 Greške metoda za rješavanje problema (nast.) Tipični primjeri greške diskretizacije: aproksimacija funkcije f na [a, b], vrijednostima te funkcije na konačnom skupu točaka (tzv. mreži) {x 1,...,x n } [a,b], aproksimacija derivacije funkcije f u nekoj točki x. Po definiciji je f f(x+h) f(x) (x) = lim, h 0 h a za približnu vrijednost uzmemo dovoljno mali h 0 i f (x) f x = f(x+h) f(x). h
29 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 29/44 Greške metoda za rješavanje problema (nast.) Tipični primjeri greške odbacivanja: zaustavljanje iterativnih procesa nakon dovoljno velikog broja n iteracija (recimo kod računanja nultočaka funkcije); zamjena beskonačne sume konačnom kad je greška dovoljno mala (recimo kod sumiranja Taylorovih redova).
30 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 30/44 Taylorov red, Taylorov polinom,... Za dovoljno glatku funkciju f, Taylorov red oko točke x 0 f(x) = k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k možemo aproksimirati Taylorovim polinomom p f(x) = p(x)+r n+1 (x), p(x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, k! pri čemu je R n+1 (x) = f(n+1) (ξ) (n+1)! (x x 0) n+1 greška odbacivanja, a ξ neki broj izmedu x 0 i x. R n+1 (x) obično ocjenjujemo po apsolutnoj vrijednosti.
31 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 31/44 Taylorov red, Taylorov polinom,... (nastavak) Primjer. Funkcije e x i sinx imaju Taylorove redove oko točke 0 koji konvergiraju za proizvoljan x R. Zbrajanjem dovoljno mnogo članova tih redova, možemo, barem u principu, dobro aproksimirati vrijednosti funkcija e x i sinx. Traženi Taylorovi polinomi s istim brojem članova (ali ne istog stupnja) su e x n k=0 x k k!, sinx n k=0 ( 1) k x 2k+1 (2k +1)!.
32 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 32/44 Taylorov red, Taylorov polinom,... (nastavak) Za grešku odbacivanja trebaju nam derivacije: ( (e x ) (n) = e x, (sinx) (n) = sin x+ nπ 2 ), pa su pripadne greške odbacivanja R n+1 (x) = eξ x n+1 (n+1)!, R 2n+3(x) = 2n+3 sin(ξ + π)x 2n+3 2, (2n+3)! Pretpostavimo sada da je x > 0. Iz ξ x dobivamo R n+1 (x) ex x n+1 (n+1)!, R 2n+3(x) x2n+3 (2n+3)!.
33 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 33/44 Taylorov red, Taylorov polinom,... (nastavak) Zbrojimo li članove reda sve dok apsolutna vrijednost prvog odbačenog člana ne padne ispod zadane točnosti ε > 0, napravili smo grešku odbacivanja manju ili jednaku { e x ε, za e x, ε, za sinx. U prvom slučaju očekujemo malu relativnu grešku, a u drugom slučaju očekujemo malu apsolutnu grešku. Provjerimo to eksperimentalno u aritmetici računala!
34 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 34/44 Izvori i vrste grešaka (ponavljanje) Pri numeričkom rješavanju nekog problema javljaju se četiri vrste grešaka: greške modela, greške u ulaznim podacima (mjerenjima), greške metoda za rješavanje modela, greške aritmetike računala. Sada, pogledajmo detaljnije zadnju vrstu grešaka koja nastaje zbog približnog računanja. To su greške zaokruživanja u prikazu brojeva u računalu i aritmetici računala.
35 Prikaz brojeva u računalu NumAnal 2011, 2. predavanje p. 35/44
36 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 36/44 Tipovi brojeva u računalu U računalu postoje dva bitno različita tipa brojeva: cijeli brojevi realni brojevi. Oba skupa su konačni podskupovi odgovarajućih skupova Z i R u matematici. Kao baza za prikaz oba tipa koristi se baza 2.
37 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 37/44 Cijeli brojevi Cijeli se brojevi prikazaju korištenjem n bitova binarnih znamenki, od kojih jedna služi za predznak, a ostalih n 1 za znamenke broja. Matematički gledano, aritmetika cijelih brojeva u računalu je modularna aritmetika u prstenu ostataka modulo 2 n, samo je sustav ostataka simetričan oko 0, tj. 2 n 1,..., 1,0,1,...,2 n 1 1. Računalo ne zna izravno operirati s brojevima izvan tog raspona.
38 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 38/44 Realni brojevi Realni brojevi r prikazuju se korištenjem mantise m (ili češće, signifikanda) i eksponenta e u obliku r = ±m 2 e, pri čemu je e cijeli broj u odredenom rasponu, a m racionalni broj za koji vrijedi 1 m < 2 (to je normalizirani oblik mantise koji započinje s 1...). Vodeća jedinica se često ne pamti, pa je mantisa dulja za 1 bit tzv. skriveni bit (engl. hidden bit). Eksponent se prikazuje kao s-bitni cijeli broj, a za mantisu pamti se prvih t znamenki iza binarne točke. Po standardu, eksponentu se dodaje pomak (engl. bias), da bi eksponent bio nenegativan. Ovo je nebitno za ponašanje aritmetike.
39 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 39/44 Realni brojevi Skup svih realnih brojeva prikazivih u računalu je omeden, a parametriziramo ga duljinom mantise i eksponenta i označavamo s R(t, s). mantisa eksponent ± m 1 m 2 m t e s 1 e s 2 e 1 e 0 Ne može se svaki realni broj egzaktno spremiti u računalo. Ako je broj x R unutar prikazivog raspona i ( x = ± 1+ k=1 b k 2 k ) 2 e i mantisa broja ima više od t znamenki iza binarne točke,...
40 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 40/44 Realni brojevi... bit će spremljena aproksimacija tog broja fl(x) R(t,s) koja se može prikazati kao ( fl(x) = ± 1+ t b k )2 2 k e. k=1 Slično kao kod decimalne aritmetike ako je prva odbačena znamenka 1, broj zaokružujemo nagore, a ako je 0, nadolje. Time smo napravili apsolutnu grešku manju ili jednaku od pola zadnjeg prikazivog bita, tj t+e = 2 t 1+e.
41 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 41/44 Relativna greška zaokruživanja Gledajući relativno, greška je manja ili jednaka x fl(x) x 2 t 1+e = 2 t 1, 2 e tj. imamo vrlo malu relativnu grešku. Veličinu 2 t 1 zovemo jedinična greška zaokruživanja (engl. unit roundoff) i uobičajeno označavamo s u. Za x R unutar prikazivog raspona, umjesto x sprema se zaokruženi broj fl(x) R(t,s) i vrijedi fl(x) = (1+ε)x, ε u, gdje je ε relativna greška napravljena tim zaokruživanjem.
42 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 42/44 IEEE standard za prikaz brojeva Prikaz realnih brojeva u računalu zove se prikaz s pomičnim zarezom/točkom (engl. floating point representation), a aritmetika je aritmetika pomičnog zareza/točke (engl. floating point arithmetic). Veličine s i t prema novom IEEE standardu: format 32-bitni 64-bitni 128-bitni duljina mantise 23 bita 52 bita 112 bita duljina eksponenta 8 bitova 11 bitova 15 bitova jedinična gr. zaokr u raspon brojeva 10 ±38 10 ± ±4932
43 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 43/44 IEEE standard za prikaz brojeva (nastavak) Većina PC računala (procesora) još ne podržava 128-bitni prikaz i aritmetiku. Umjesto toga, FPU (Floating point unit) stvarno koristi tzv. tip extended iz starog IEEE standarda. Dio primjera koje ćete vidjeti napravljen je baš u tom tipu! format duljina mantise 80-bitni 64 bita duljina eksponenta 15 bitova jedinična gr. zaokr. u raspon brojeva 10 ±4932
44 NumAnal 2011, 2. predavanje p. 44/44 IEEE standard za aritmetiku računala IEEE standard propisuje i svojstva aritmetike. Pretpostavka standarda za osnovne aritmetičke operacije ( označava +,,, /) nad x,y R(t,s) vrijedi fl(x y) = (1+ε)(x y), ε u, za sve x,y R(t,s) za koje je x y u dozvoljenom rasponu. Dobiveni rezultat je tada prikaziv, tj. vrijedi fl(x y) R(t,s). Postoje rezervirani eksponenti koji označavaju posebno stanje : overflow, underflow, dijeljenje s 0, nedozvoljenu operaciju kao što su 0/0, 1.
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Numerička analiza 3. predavanje
Numerička analiza 3. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009, 3. predavanje p.1/96 Sadržaj predavanja Prikaz realnih brojeva floating point
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Numerička matematika 1. predavanje
Numerička matematika 1. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2017, 1. predavanje p. 1/129 Dobar dan, dobro došli NumMat 2017, 1. predavanje
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Mladen Rogina, Sanja Singer i Saša Singer. Numerička analiza. Predavanja i vježbe. Zagreb, 2003.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PMF MATEMATIČKI ODJEL Mladen Rogina, Sanja Singer i Saša Singer Numerička analiza Predavanja i vježbe Zagreb, 2003. Sadržaj 1. Mogućnosti današnjih računala.................... 1
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler
Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Programiranje 1 4. predavanje
Programiranje 1 4. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2016, 4. predavanje p. 1/68 Sadržaj predavanja Prikaz realnih brojeva u računalu
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Numerička analiza 4. predavanje
NumAnal 2011, 4. predavanje p. 1/87 Numerička analiza 4. predavanje Autori: Saša Singer i Nela Bosner Predavač: Nela Bosner nela@math.hr web.math.hr/~nela/nad.html PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Numerička matematika 2. predavanje
Numerička matematika 2. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2017, 2. predavanje p. 1/141 Sadržaj predavanja Uvodna priča o greškama
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi
1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi Rješavanje nelinearnih jednadžbi sastoji se od dva bitna koraka: nalaženja intervala u kojem se nalazi nultočka (analizom toka), što je teži dio posla, nalaženja nultočke
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
5. Aproksimacija i interpolacija
APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 56 5. Aproksimacija i interpolacija 5.. Opći problem aproksimacije Što je problem aproksimacije? Ako su poznate neke informacije o funkciji f, definiranoj na nekom skupu X
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove