Numerička matematika 2. predavanje
|
|
|
- Προκόπιος Αυγερινός
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Numerička matematika 2. predavanje Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2017, 2. predavanje p. 1/141
2 Sadržaj predavanja Uvodna priča o greškama (nastavak): Analiza pojedinih vrsta grešaka: Greške metode teorija aproksimacija. Greške u podacima teorija perturbacija. Uvjetovanost problema. Mjerenje grešaka razne norme. Uvjetovanost višedimenzionalnog problema. Primjeri: Uvjetovanost problema. Izbjegavanje kraćenja. Približno računanje i perturbacije podataka. Greške zaokruživanja direktna i obratna analiza. Stabilni i nestabilni algoritmi. Primjeri. NumMat 2017, 2. predavanje p. 2/141
3 Sadržaj predavanja (nastavak) Rješavanje linearnih sustava: Uvod i ponavljanje teorije o linearnim sustavima. Gaussove eliminacije. Zamjene jednadžbi (redaka) parcijalno pivotiranje. Zamjene redaka i stupaca potpuno pivotiranje. NumMat 2017, 2. predavanje p. 3/141
4 Informacije Konzultacije (službeno): samo za NM: utorak u 15 sati (iza predavanja), petak, sati, ili po dogovoru. Ne zaboravite, žive su i domaće zadaće na adresi ili, izravno Dodatni bodovi čekaju na vas. NumMat 2017, 2. predavanje p. 4/141
5 Informacije Moja web stranica za Numeričku matematiku je Tamo su kompletna predavanja iz prošlih godina, a stizat će i nova (kako nastaju). Kopija je na adresi Skraćena verzija skripte 1. dio (prvih 7 tjedana): Skraćena verzija skripte 2. dio (drugih 6 tjedana): NumMat 2017, 2. predavanje p. 5/141
6 Informacije demonstratori(ce) Za kolegij Numerička matematika predložena su dva demonstratora (demonstratorice): Florijan Iljazović Zorana Lubina Kroz neko vrijeme, kad se raspored ustabili, njihove adrese i termine nadete na službenoj web-stranici kolegija, pod nastava. Ako trebate demose, (na)javite im se mailom koji dan ranije, da ne dežuraju bez veze, a nikog nema. Osim toga, možda vam mailom sve objasne! NumMat 2017, 2. predavanje p. 6/141
7 Informacije kolokviji Numerička matematika je u kolokvijskom razredu A2. Službeni termini svih kolokvija su: Prvi kolokvij: ponedjeljak, , u 12 sati. Drugi kolokvij: ponedjeljak, , u 12 sati. Popravni kolokvij: petak, , u 12 sati. Uputa: izbjegnite popravni obavite to ranije! NumMat 2017, 2. predavanje p. 7/141
8 Greške i uvjetovanost NumMat 2017, 2. predavanje p. 8/141
9 Greške ponavljanje Pri numeričkom rješavanju nekog problema javljaju se različiti tipovi grešaka: greške modela svodenje realnog problema na neki matematički problem, greške u ulaznim podacima (mjerenja i sl.), greške numeričkih metoda za rješavanje matematičkog problema, greške približnog računanja obično su to greške zaokruživanja u aritmetici računala. Greške modela su izvan dosega numeričke matematike. Spadaju u fiziku, kemiju, biologiju, tehniku, ekonomiju,... NumMat 2017, 2. predavanje p. 9/141
10 Greške (nastavak) Sljedeće tri kategorije (podaci, metoda, računanje) su vezane za matematički problem, i spadaju u domenu numeričke matematike! O njima nešto moramo reći. Skica numeričkog rješavanja nekog problema sliči algoritmu: ULAZ ALGORITAM IZLAZ Posebno, ako dozvolimo da, umjesto riječi algoritam, piše i riječ metoda. Zamislite da pojam algoritam uključuje metodu i stvarno računanje rezultata! NumMat 2017, 2. predavanje p. 10/141
11 Greške (nastavak) ULAZ ALGORITAM IZLAZ Sve tri vrste grešaka podaci, metoda, računanje, rezultiraju nekom greškom u konačnom rezultatu! Ta greška nas zanima. Uočite da greške u ulaznim podacima možemo gledati neovisno o metodi ili algoritmu za rješenje problema, i tako dolazimo do pojma uvjetovanosti problema. Za razliku od toga, greške metode i računanja, naravno, ovise o metodi, odnosno, algoritmu za rješenje problema. NumMat 2017, 2. predavanje p. 11/141
12 Analiza grešaka NumMat 2017, 2. predavanje p. 12/141
13 Greška metode Gruba podjela numeričkih metoda prema greškama: Egzaktne metode Primjer: daju egzaktno rješenje u konačnom broju koraka, odnosno, računskih operacija. Gaussove eliminacije ili LR faktorizacija za linearne sustave. Greška takvih metoda je nula, uz egzaktno računanje. Približne ili neegzaktne metode daju približno rješenje problema, u konačnom broju koraka (računskih operacija). NumMat 2017, 2. predavanje p. 13/141
14 Greška metode približne metode Mogu biti egzaktne na nekom limesu! Primjeri: zamjena kompliciranog modela jednostavnijim, greške diskretizacije (numerička integracija), greške odbacivanja/rezanja, konačne iteracije (rješavanje nelinearnih jednadžbi) Analiza ovih grešaka spada u teoriju aproksimacija. Pošteno, to je standardni predmet proučavanja numeričke matematike, u širem smislu, numerička analiza, funkcionalna analiza, itd. Time se bavimo veći dio kolegija! NumMat 2017, 2. predavanje p. 14/141
15 Greške u podacima Ključno svojstvo problema je ovisnost rješenja o greškama ili pertubacijama ulaznih podataka. To spada u teoriju perturbacije. Da bi problem uopće imao smisla, očekujemo neku vrstu neprekidnosti rješenja, ili barem ograničenu osjetljivost rješenja na perturbacije. Inače imamo loše postavljen (engl. ill-posed ) problem! Osjetljivost se obično mjeri tzv. brojem uvjetovanosti problema (engl. condition number ). Može ih biti i više. NumMat 2017, 2. predavanje p. 15/141
16 Uvjetovanost problema Neformalno rečeno, uvjetovanost problema mjeri osjetljivost problema na greške u podacima. Osnovno svojstvo uvjetovanosti: Ne ovisi o konkretnoj numeričkoj metodi za rješenje problema, već samo o problemu. Svrha uvjetovanosti = daje odgovor na pitanje: Koju točnost rezultata možemo očekivati pri točnom računanju, bez grešaka zaokruživanja, s (malo) pomaknutim netočnim podacima? Velika uvjetovanost nestabilan problem. NumMat 2017, 2. predavanje p. 16/141
17 Model problema Matematički model problema, zovimo ga P: za zadani ulaz podatak x X, dobivamo izlaz rezultat y Y. Slikica modela je x P y Problem P interpretiramo kao računanje vrijednosti funkcije f : X Y, gdje su X i Y odgovarajući matematički objekti. Na primjer, vektorski prostori, a vrlo često su i normirani prostori (treba nam mjera za grešku). Najčešće, X = R m, Y = R n. NumMat 2017, 2. predavanje p. 17/141
18 Uvjetovanost problema (nastavak) Ideja uvjetovanosti: greška u rezultatu uvjetovanost greška u podacima Ovisi o obje vrijednosti: točnoj x i približnoj ˆx. Za m > 1 ili n > 1, ovisi i o tome kako mjerimo greške. Napomene: Obično nas uvjetovanost posebno zanima za male perturbacije (greške, smetnje) podataka. Ako je f dovoljno glatka funkcija, možemo koristiti Taylorov razvoj u okolini točnog ulaznog podatka x i dobiti procjenu uvjetovanosti preko derivacija! Više detalja malo kasnije, kad sredimo mjerenje grešaka! NumMat 2017, 2. predavanje p. 18/141
19 Uvjetovanost prigušivač i pojačalo grešaka Mala uvjetovanost funkcija f je prigušivač grešaka: f x y Velika uvjetovanost funkcija f je pojačalo grešaka: f x y NumMat 2017, 2. predavanje p. 19/141
20 Norme i uvjetovanost NumMat 2017, 2. predavanje p. 20/141
21 Kako mjeriti grešku? Kad x i y = f(x) nisu brojevi, nego vektori ili matrice, grešku možemo mjeriti na više načina. Po svakoj od komponenata vektora/matrica, što je vrlo precizno, medutim, to je malo previše brojeva. Kao neku ukupnu ili najveću grešku, što je samo jedan broj pa se lakše nalazi, iako može biti neprecizno (sažeta informacija). Ovo se radi korištenjem vektorskih i/ili matričnih normi. Prisjetite se: vektorski prostor na kojem je definirana norma zove se normirani prostor. NumMat 2017, 2. predavanje p. 21/141
22 Vektorske norme Vektorska norma na vektorskom prostoru V (nad poljem F, gdje je F = R ili F = C) je svaka funkcija : V R koja zadovoljava sljedeća svojstva: 1. x 0, x V, a jednakost vrijedi ako i samo ako je x = 0, 2. αx = α x, α F, x V, 3. x+y x + y, x,y V (nejednakost poznata pod imenom nejednakost trokuta). NumMat 2017, 2. predavanje p. 22/141
23 Najpoznatije vektorske norme Kad je vektorski prostor konačnodimenzionalan, V = R n ili V = C n, najčešće se koriste sljedeće tri norme: n 1-norma ili l 1 norma x 1 = x i, i=1 2-norma ili l 2 norma ili euklidska norma x 2 = (x x) 1/2 = n x i 2, i=1 -norma ili l norma x = max i=1,...,n x i. Samo je 2-norma izvedena iz skalarnog produkta. NumMat 2017, 2. predavanje p. 23/141
24 Norme na prostoru funkcija Vektorski prostor V ne mora biti konačnodimenzionalan. Na primjer, norme definirane na vektorskom prostoru C[a, b] neprekidnih funkcija f na segmentu [a, b], definiraju se slično normama na R n (suma integral): L 1 norma f 1 = b f(t) dt, L 2 norma f 2 = a ( b a f(t) 2 dt) 1/2, L norma f = max{ f(x) x [a,b]}. NumMat 2017, 2. predavanje p. 24/141
25 Ekvivalentnost normi Može se pokazati da vrijedi sljedeći teorem. Teorem. Na svakom konačnodimenzionalnom vektorskom prostoru V sve su norme ekvivalentne, tj. za svake dvije norme a i b, postoje konstante c i C, takve da za sve v V vrijedi c v a v b C v a. Na primjer, x x 2 n x, za sve x R n. Razlika izmedu teorije i prakse kad je n ogroman. NumMat 2017, 2. predavanje p. 25/141
26 Matrične norme Zamijenimo li u definiciji vektorske norme, čisto formalno, vektor x matricom A, dobivamo matričnu normu. Matrična norma je svaka funkcija : C m n R koja zadovoljava sljedeća svojstva: 1. A 0, A C m n, a jednakost vrijedi ako i samo ako je A = 0, 2. αa = α A, α C, A C m n, 3. A+B A + B, A,B C m n. Tome se često dodaje i zahtjev konzistentnosti 4. AB A B, kad god je produkt AB definiran. NumMat 2017, 2. predavanje p. 26/141
27 Matrične norme (nastavak) Matrične norme nastaju na dva načina. Matricu A promatramo kao vektor s m n elemenata i za taj vektor koristimo odgovarajuću vektorsku normu. Najpoznatija takva norma odgovara vektorskoj 2-normi i zove se euklidska, Frobeniusova, Hilbert Schmidtova, ili Schurova norma m n A F = (tr(a A)) 1/2 = a ij 2. i=1 j=1 Operatorske norme: A = max x 0 Ax x ili A = max Ax. x =1 NumMat 2017, 2. predavanje p. 27/141
28 Najpoznatije operatorske matrične norme Uvrštavanjem odgovarajućih vektorskih normi, dobivamo matrična 1-norma, maksimalna stupčana norma m A 1 = max a ij, j=1,...,n i=1 matrična 2-norma, spektralna norma A 2 = (ρ(a A)) 1/2 = σ max (A), ρ je spektralni radijus, a σ singularna vrijednost matrice, matrična -norma, maksimalna retčana norma n A = max a ij. i=1,...,m j=1 NumMat 2017, 2. predavanje p. 28/141
29 Matrične norme (nastavak) Svojstva: Za matrične norme, takoder, vrijedi ekvivalentnost. Matrična 2-norma se teško računa u praksi uobičajeno se procjenjuje korištenjem ostalih normi. Za svaku operatorsku normu vrijedi Ay A y, za svaki vektor y. To se često koristi kod ocjena. Ova formula direktno izlazi iz definicije operatorske norme. Unitarna invarijantnost spektralne i Frobeniusove norme: za bilo koje unitarne matrice U (reda m) i V (reda n) vrijedi UAV 2 = A 2, UAV F = A F. NumMat 2017, 2. predavanje p. 29/141
30 Uvjetovanost NumMat 2017, 2. predavanje p. 30/141
31 Vrste uvjetovanosti kratki pregled Prema vrsti (tipu) greške koju gledamo: Apsolutna, relativna po x, odnosno, po y = f(x). Prema načinu mjerenja greške (u više dimenzija): Po pojedinim komponentama ili po normi cijelog vektora. Po dozvoljenoj varijaciji argumenata x i ˆx: U fiksnim točkama tj. x i ˆx su zadani. Nema puno smisla kao informacija o funkciji f, jer su točke fiksne. Lokalno oko x ˆx varira u nekoj zadanoj okolini oko x. Lokalno u točki x, za male perturbacije na limesu kad ˆx x, tj. x 0, ako limes postoji. Ovisi samo o x. Globalno po x (obično) kao najgori slučaj po svim x iz nekog skupa ili cijelog prostora. Ovisi samo o f. NumMat 2017, 2. predavanje p. 31/141
32 Apsolutna greška i apsolutna uvjetovanost Apsolutna, odnosno, relativna uvjetovanost problema mjeri koliko je problem osjetljiv na odgovarajuće promjene polaznih podataka. Apsolutna greška: x, y, (svaka norma u svom prostoru), gdje je x = ˆx x, y = ŷ y. Apsolutna uvjetovanost: κ abs (x) := y x. Za male greške x, veza s derivacijom f (x) je očita! NumMat 2017, 2. predavanje p. 32/141
33 Relativna greška i relativna uvjetovanost U praksi se češće koristi relativna mjera za grešku (na primjer, zbog aritmetike računala). Relativna greška (po normi): δ x := x x, δ y := y y. Relativna uvjetovanost (po normi): κ rel (x) := δ y δ x. Problem je dobro uvjetovan u relativnom smislu ako je κ rel što je moguće manji, (barem) za δ x 0. NumMat 2017, 2. predavanje p. 33/141
34 Landauov simbol red veličine Za zapis reda veličine vrijednosti neke funkcije u okolini neke točke koristimo tzv. Landauov simbol. Definicija. Neka su g,h : R m R n funkcije, R m i R n norme i neka je x 0 R m. Ako postoje konstante δ > 0 i C > 0, takve da za sve x vrijedi x x 0 R m δ = g(x) R n C h(x) R n, onda kažemo da je funkcija g reda veličine O od h, kad x teži prema x 0 i to pišemo ovako g(x) = O(h(x)) (x x 0 ). NumMat 2017, 2. predavanje p. 34/141
35 Landauov simbol (nastavak) Napomena. Umjesto znaka =, korektno bi bilo pisati, tj. g(x) O(h(x)) (x x 0 ). Takoder, često se piše veliko O, umjesto pisanog O. Primjer. Za m = n = 1 vrijedi: sinx = O(x), sinx = x+o(x 3 ) (x 0), x 2 +3x = O(x) (x 0), x 2 x 6 = O(x 3), (x 3). Zadnje dvije relacije opisuju ponašanje polinoma u okolini jednostruke nultočke, a izlaze iz zapisa x 2 +3x = x(x+3), x 2 x 6 = (x 3)(x+2). NumMat 2017, 2. predavanje p. 35/141
36 Uvjetovanost i Taylorov teorem Istražimo uvjetovanost problema računanja vrijednosti funkcije f : R R u nekoj točki x. Promatramo ponašanje funkcije f za male perturbacije x u okolini točke x. Neka je y pripadna perturbacija funkcijske vrijednosti y = f(x), tj. f(x+ x) = y + y. Neka je f još dva puta neprekidno derivabilna oko x. Korištenjem Taylorovog polinoma stupnja 1 dobivamo da je y = f(x+ x) f(x) = f (x) x+ f (x+ϑ x) 2! ( x) 2, ϑ (0,1). NumMat 2017, 2. predavanje p. 36/141
37 Apsolutna uvjetovanost i Taylorov teorem Za male perturbacije x, apsolutni oblik ove relacije je y = f (x) x+o(( x) 2 ). Odvade slijedi da je apsolutna uvjetovanost funkcije f jednaka f (x) ili f (x), za male perturbacije x, κ abs (x) = f (x). NumMat 2017, 2. predavanje p. 37/141
38 Relativna uvjetovanost i Taylorov teorem Ako je x 0 i y 0, dijeljenjem s y izlazi relativna forma y y = xf (x) f(x) x ( ( x ) ) 2 x +O. x Ovdje koristimo da su 1/x i 1/y ograničene, pa za sve dovoljno male relativne pertubacije x/x vrijedi ( x) 2 ( = x2 x ) ( 2 ( x ) ) 2 = O. y y x x Onda relativnu uvjetovanost funkcije f možemo definirati kao κ rel (x) = (condf)(x) := xf (x) f(x). NumMat 2017, 2. predavanje p. 38/141
39 Uvjetovanost posebni slučajevi oko nule Ako je x = 0 i y 0, onda relativna greška u x nema smisla (nije ograničena). Zato gledamo apsolutnu grešku u x i relativnu u y. Pripadni tzv. miješani broj uvjetovanosti je (condf)(x) := f (x) f(x) Analogno, za x 0 i y = 0, pripadni broj uvjetovanosti je. (condf)(x) := xf (x). Ako je x = y = 0, onda gledamo samo apsolutne greške, pa je (condf)(x) := f (x). NumMat 2017, 2. predavanje p. 39/141
40 Uvjetovanost primjer Primjer. Relativna uvjetovanost funkcije jednaka je (condf)(x) = f(x) = lnx xf (x) f(x) što je veliko za x 1, kada je lnx 0. Pitanje: Apsolutna uvjetovanost? = 1 lnx, NumMat 2017, 2. predavanje p. 40/141
41 Uvjetovanost višedimenzionalnog problema NumMat 2017, 2. predavanje p. 41/141
42 Što u više dimenzija? Kad je f : R m R n, problem postaje složeniji. Uz oznake x = (x 1,x 2,...,x m ) T R m, y = (y 1,y 2,...,y n ) T R n, preslikavanje f možemo komponentno zapisati kao y k = f k (x 1,x 2,...,x m ), k = 1,2,...,n. Ponovno, pretpostavljamo da svaka funkcija f k ima neprekidne parcijalne derivacije po svim komponentnim varijablama x l u točki x, do barem drugog reda. Najdetaljniju analizu dobivamo gledajući promjene svake komponentne funkcije f k po svakoj varijabli x l. NumMat 2017, 2. predavanje p. 42/141
43 Finija analiza svaki izlaz po svakom ulazu Promjena koju uzrokuje mala relativna perturbacija varijable x l u funkciji f k ista je kao za funkciju jedne varijable. Relativna uvjetovanost tog problema je γ kl (x) := (cond kl f)(x) := x l f k (x) f k x l. Ako to napravimo za sve varijable x l i za svaku funkciju f k, dobivamo matricu brojeva uvjetovanosti Γ(x) = [γ kl (x)] R n m +. Da bismo iz matrice Γ(x) dobili jedan broj, koristimo neku normu i definiramo (condf)(x) := Γ(x). NumMat 2017, 2. predavanje p. 43/141
44 Primjer uvjetovanost aritmetičkih operacija Zadatak. Osnovne aritmetičke operacije = +,,, /, na realnim brojevima gledamo kao računanje vrijednosti funkcije f : R 2 R, gdje je f (x 1,x 2 ) = x 1 x 2. Izračunajte pripadne matrice Γ (x 1,x 2 ) za svaku operaciju i nadite pripadnu relativnu uvjetovanost u normi. Rješenje. Γ ± (x 1,x 2 ) = x 1 + x 2 x 1 ±x 2, Γ (x 1,x 2 ) = Γ / (x 1,x 2 ) = 2. To odgovara ranijim rezultatima za (vrlo) male relativne greške u polaznim podacima, tj. na limesu kad ε 0! NumMat 2017, 2. predavanje p. 44/141
45 Grublja analiza po normi Grublju analizu s manje parametara, dobivamo po ugledu na jednodimenzionalnu, promatranjem apsolutnih i relativnih perturbacija vektora u smislu norme, pri čemu je bilo koja vektorska norma. Relativnu perturbaciju vektora x R m po normi definiramo kao x x, x = ( x 1, x 2,..., x m ) T, Pretpostavljamo da su komponente x l vektora perturbacije x male u odnosu na pripadne komponente x l vektora x. Tada je i x / x malo (obrat ne vrijedi). Isto napravimo i za vektor y R n, tj. gledamo y / y. NumMat 2017, 2. predavanje p. 45/141
46 Taylorov razvoj komponentnih funkcija Sada možemo pokušati povezati relativnu perturbaciju od y s relativnom perturbacijom od x. Za male perturbacije x, iz početka Taylorovog razvoja funkcije f k dobivamo m f k y k = f k (x+ x) f k (x) x l. x l Ovu relaciju možemo zapisati u vektorsko-matričnom obliku y f x x, gdje je f x = J f(x) Jacobijeva matrica funkcije f u točki x. l=1 NumMat 2017, 2. predavanje p. 46/141
47 Jacobijeva matrica preslikavanja Jacobijeva matrica J f (x) sadrži parcijalne derivacije svih komponentnih funkcija po svim varijablama: ili [J f (x)] kl = f k x l, k = 1,...,n, l = 1,...,m, J f (x) = f x = f 1 x 1 f 1 x 2 f 1 x m f 2 f 2 f 2 x 1 x 2 x m f n x 1 f n x 2 f n x m R n m. NumMat 2017, 2. predavanje p. 47/141
48 Apsolutne perturbacije po normi Iz približne jednakosti za male perturbacije y f x x, uzimanjem bilo koje operatorske ili konzistentne norme izlazi y f x x f x x. Za operatorske norme, prethodna nejednakost oštra, tj. postoji perturbacija x za koju se ona dostiže. Odavde vidimo da normu Jacobijeve matrice možemo uzeti kao apsolutnu uvjetovanost po normi. Uočite: Za m = n = 1 dobivamo isto kao i ranije! NumMat 2017, 2. predavanje p. 48/141
49 Relativne perturbacije po normi Kao i ranije, ako je x 0 i y 0, dijeljenjem s y dobivamo da za relativne perturbacije po normi vrijedi y x y f(x) f x x x. To opravdava definiciju relativne uvjetovanosti po normi u obliku (condf)(x) := x f(x) f x. Ova uvjetovanost je mnogo grublja nego Γ(x), jer norma pokušava uništiti detalje o komponentama vektora. Ako su komponente bitno različitih redova veličina, samo najveće po apsolutnoj vrijednosti igraju neku ulogu. NumMat 2017, 2. predavanje p. 49/141
50 Primjer uvjetovanosti problema NumMat 2017, 2. predavanje p. 50/141
51 Problem računanje integrala (Gautschi) Ispitajmo uvjetovanost problema računanja integrala I n = 1 0 t n t+5 dt, za zadani nenegativni cijeli broj n N {0} = N 0. U ovom obliku, problem je napisan kao preslikavanje iz N 0 u R i ne paše ranijem pojmu problema. Domena ovdje nije R, nego N 0 (diskretan skup), pa nema smisla govoriti o neprekidnosti, derivabilnosti i sl. Zato prvo transformiramo problem. NumMat 2017, 2. predavanje p. 51/141
52 Rekurzija za integral Nadimo vezu izmedu I k i I k 1, s tim da I 0 znamo izračunati I 0 = t+5 Za početak, očito vrijedi da je dt = ln(t+5) t t+5 = 1 5 t+5. Množenjem obje strane s t k 1 dobivamo t k t+5 = tk 1 5 tk 1 t = ln 6 5. NumMat 2017, 2. predavanje p. 52/141
53 Rekurzija za integral (nastavak) Na kraju, integracijom na segmentu [0, 1] izlazi I k = 1 0 t k 1 dt 5I k 1 = 1 k 5I k 1, k = 1,2,...,n. Dakle, I k je rješenje (linearne, nehomogene) diferencijske jednadžbe prvog reda uz početni uvjet y 0 = I 0. y k = 5y k k, k = 1,2,..., Ovo gore je dvočlana rekurzivna relacija za y k (pogledajte priču o rekurzivnim relacijama u Diskretnoj matematici). NumMat 2017, 2. predavanje p. 53/141
54 Rekurzija unaprijed zapis funkcijama Varijacija početnog uvjeta definira niz funkcija f k, y k = f k (y 0 ). Zanima nas relativna uvjetovanost funkcije f n u točki y 0 = I 0, u ovisnosti o n N 0. Razlog: I 0 nije egzaktno prikaziv u računalu, umjesto I 0, spremi se aproksimacija Î0, konačni rezultat neka aproksimacija În = f n (Î0). Indukcijom ili supstitucijom unatrag lako se dokaže da vrijedi n y n = f n (y 0 ) = ( 5) n ( 5) n k y 0 +p n, p n =, k gdje je p n ovisi samo o nehomogenim članovima rekurzije, ali ne i o početnom uvjetu y 0. k=1 NumMat 2017, 2. predavanje p. 54/141
55 Rekurzija unaprijed relativna uvjetovanost Relativna uvjetovanost funkcije f n u točki y 0 je (condf n )(y 0 ) = y 0 f n(y 0 ) y n = y 0 ( 5) n y n. Iz definicije integrala slijedi: I n monotono padaju po n, čak lim I n = 0. n Zbrajanjima dobivamo sve manje i manje brojeve! U y 0 = I 0 je (condf n )(I 0 ) = I 0 5 n I n > I 0 5 n I 0 = 5 n. Zaključak: f n je vrlo loše uvjetovana u y 0 = I 0, i to tim gore kad n raste. NumMat 2017, 2. predavanje p. 55/141
56 Rekurzija unaprijed rezultati Pitanje: Kako se loša uvjetovanost vidi, kad stvarno računamo f n (I 0 ) u aritmetici računala? Algoritam unaprijed, za zadani n (pseudokôd): k = 0; y = ln( 6.0 / 5.0 ); // y_0 ispisi k, y; za k = 1 do n radi { y = -5.0 * y / k; ispisi k, y; } // y_k Slikice! Pokaži program i rezultate! NumMat 2017, 2. predavanje p. 56/141
57 Točne vrijednosti integrala I n I n n egzaktne/točne vrijednosti integrala I n NumMat 2017, 2. predavanje p. 57/141
58 Rekurzija unaprijed numerički rezultati Izračunate vrijednosti u tipu extended (u ). Crvene znamenke su pogrešne! n Î n I n rel. greška E E 1 2.2E E E 2 2.0E E E E E E 3 1.1E E E 3 5.9E E E 3 3.1E E E 3 1.6E E E 3 1.5E E E 3 7.8E+10 NumMat 2017, 2. predavanje p. 58/141
59 Rekurzija unaprijed za I n relativne greške log(rel err) (log 10 ) relativne greške izračunate vrijednosti integrala I n rekurzijom unaprijed n NumMat 2017, 2. predavanje p. 59/141
60 Rekurzija unaprijed komentar rezultata Izračunata vrijednost Î0 ima vrlo malu relativnu grešku samo nekoliko u. Medutim, ta mala greška eksplodira vrlo brzo, jer se pojačava s faktorom 5 u svakoj iteraciji. Isto vrijedi i za sve greške zaokruživanja iza toga, samo je ukupni faktor pojačanja malo manji (kasnije su nastale). Stvarni problem i bitna razlika od primjera sin 24π : Ovdje nema velikih omjera brojeva u algoritmu. Brojevi I n relativno sporo padaju omjer I 0 /I 40 je ispod 50. Po tome, očekivali bismo gubitak točnosti od oko 2 decimale, a stvarno imamo užasno i još nevidljivo kraćenje. NumMat 2017, 2. predavanje p. 60/141
61 Rekurzija unatrag zapis funkcijama Može li se loša uvjetovanost izbjeći? Može okretanjem rekurzije, unaprijed unatrag! Treba uzeti neki ν > n i silazno računati y k 1 = 1 ( ) 1 5 k y k, k = ν,ν 1,...,n+1. Ovo, u principu, smijemo koristiti i za n = 0, tj. računati y 0. Problem: Kako izračunati početnu vrijednost y ν? Nova rekurzija definira niz funkcija g n,ν, koje vežu y n i y ν, uz ν > n, tj. y n = g n,ν (y ν ). NumMat 2017, 2. predavanje p. 61/141
62 Rekurzija unatrag relativna uvjetovanost Relativna uvjetovanost za g n,ν je (condg n,ν )(y ν ) = y ν ( 1/5) ν n, ν > n. Za y ν = I ν dobivamo da je y n = I n, a iz monotonosti I n slijedi y n (condg n,ν )(I ν ) = I ν I n ( ) ν n 1 < 5 ( ) ν n 1, ν > n, 5 što je ispod 1, tj. relativne greške se prigušuju. Prigušenje grešaka ide s faktorom 1/5 po svakoj iteraciji! To vrijedi i za greške zaokruživanja napravljene u ranijim iteracijama (u aritmetici računala). NumMat 2017, 2. predavanje p. 62/141
63 Rekurzija unatrag početna vrijednost Ako je Îν neka aproksimacija za I ν, onda za relativne perturbacije vrijedi Î n I n I n = (condg Î ν I ( ) ν n ν 1 n,ν)(i ν ) I ν < Î ν I ν 5 I ν. Zbog linearnosti funkcije g n,ν, ova relacija vrijedi za bilo kakve perturbacije, a ne samo za male. Početna vrijednost Îν uopće ne mora biti blizu prave I ν. Možemo uzeti Îν = 0, čime smo napravili relativnu grešku od 100% (tj. 1) u početnoj vrijednosti... NumMat 2017, 2. predavanje p. 63/141
64 Rekurzija unatrag točnost i start ν... a još uvijek dobivamo În s relativnom greškom Î n I ( ) ν n n 1 I n <, ν > n. 5 Povoljnim izborom ν, ocjenu na desnoj strani možemo napraviti po volji malom ispod tražene točnosti ε. Dovoljno je uzeti Îν = 0 i ν n+ log(1/ε) log5, a zatim računamo vrijednosti Î k 1 = 1 ( ) 1 5 k Îk, k = ν,ν 1,...,n+1. NumMat 2017, 2. predavanje p. 64/141
65 Rekurzija unatrag rezultati Pitanje: Kako se dobra uvjetovanost vidi, kad stvarno računamo g n,ν (I ν ) u aritmetici računala? Pokaži program i rezultate za ε = 10 19! Početna vrijednost je Îν = 0. Za ovaj ε dobijemo ν n+ log(1/ε) log5 n+28. Dakle, silazno računamo 28 vrijednosti. Usput, to su vrijednosti za I n iz ranije tablice i sve prikazane znamenke su točne (ima ih 18). Dakle, ništa se ne vidi. Greška je samo nekoliko u, jer je ε 2u i imamo 3 operacije. NumMat 2017, 2. predavanje p. 65/141
66 Rekurzija unatrag za I 40 ovisno o startu ν log(rel err) ν (log 10 ) relativne greške izračunate vrijednosti integrala I 40 obratnom rekurzijom za I 40+ν = 0 NumMat 2017, 2. predavanje p. 66/141
67 Rekurzivno računanje završne napomene Rekurzije prvog i (posebno) drugog reda se vrlo često koriste u praksi ne samo za računanje vrijednosti integrala, već za računanje raznih specijalnih funkcija (poput Besselovih) i ortogonalnih polinoma (v. kasnije). Zato oprez... treba znati nešto o stabilnosti rekurzije, prije računanja! Trik okretanja rekurzije poznat je kao Millerov algoritam. Prvi puta je iskorišten baš za računanje Besselovih funkcija. NumMat 2017, 2. predavanje p. 67/141
68 Primjeri izbjegavanja kraćenja NumMat 2017, 2. predavanje p. 68/141
69 Primjer: Kvadratna jednadžba NumMat 2017, 2. predavanje p. 69/141
70 Kvadratna jednadžba Uzmimo da treba riješiti (realnu) kvadratnu jednadžbu ax 2 +bx+c = 0, gdje su a, b i c zadani, i vrijedi a 0. Matematički gledano, problem je lagan: imamo 2 rješenja x 1,2 = b± b 2 4ac 2a Numerički gledano, problem je mnogo izazovniji: ni uspješno računanje po ovoj formuli, ni točnost izračunatih korijena, ne možemo uzeti zdravo za gotovo.. NumMat 2017, 2. predavanje p. 70/141
71 Kvadratna jednadžba standardni oblik Za početak, jer znamo da je a 0, onda jednadžbu možemo podijeliti s a, tako da dobijemo tzv. normalizirani oblik x 2 +px+q = 0, p = b a, q = c a. Po standardnim formulama, rješenja ove jednadžbe su x 1,2 = p± p 2 4q. 2 Medutim, u praksi, stvarno računanje se radi po formuli x 1,2 = p 2 ± (p 2) 2 q, s tim da na početku izračunamo i zapamtimo p/2 ili p/2. Ovim postupkom štedimo jedno množenje (ono s 4). NumMat 2017, 2. predavanje p. 71/141
72 Kvadratna jednadžba problem Primjer. Rješavamo kvadratnu jednadžbu x 2 56x+1 = 0. U dekadskoj aritmetici s p = 5 značajnih znamenki dobijemo Točna rješenja su x 1 = = = , x 2 = = = x 1 = i x 2 = Apsolutno manji od ova dva korijena x 1, ima samo dvije točne znamenke (kraćenje), relativna greška je ! Apsolutno veći korijen x 2 je savršeno točan. NumMat 2017, 2. predavanje p. 72/141
73 Kvadratna jednadžba popravak Prvo izračunamo većeg po apsolutnoj vrijednosti, po formuli x 2 = (b+sign(b) b 2 4ac) 2a = p 2 sign(p) (p 2) 2 q, a manjeg po apsolutnoj vrijednosti, izračunamo iz x 1 x 2 = c a = q (Vièteova formula), tj. formula za x 1 je x 1 = c x 2 a = q x 2. Opasnog kraćenja za x 1 više nema! NumMat 2017, 2. predavanje p. 73/141
74 Kvadratna jednadžba (nastavak) Ovo je bila samo jedna, od (barem) tri opasne točke za računanje. Preostale dvije su: kvadriranje pod korijenom mogućnost za overflow. Rješenje skaliranjem. oduzimanje u diskriminanti s velikim kraćenjem nema jednostavnog rješenja. Naime, krivac nije aritmetika. To je samo odraz tzv. nestabilnosti problema. Tad imamo dva bliska korijena, koji su vrlo osjetljivi na male promjene (perturbacije) koeficijenata jednadžbe. Na primjer, pomak c = pomak grafa gore dolje. Mali pomak rezultira velikom promjenom korijena! NumMat 2017, 2. predavanje p. 74/141
75 Neki primjeri izbjegavanja kraćenja Primjer. Treba izračunati y = x+δ x, gdje su x i δ zadani ulazni podaci, s tim da je x > 0, a δ vrlo mali broj. U ovoj formuli, očito, dolazi do velike greške zbog kraćenja zaokruživanje korijena prije oduzimanja. Ako formulu deracionaliziramo u oblik problema više nema! y = δ x+δ + x, NumMat 2017, 2. predavanje p. 75/141
76 Neki primjeri izbjegavanja kraćenja Primjer. Treba izračunati y = cos(x+δ) cosx, gdje su x i δ zadani ulazni podaci, s tim da je cosx razumno velik, a δ vrlo mali broj. Opet, dolazi do velike greške zbog kraćenja. Ako formulu napišmo u produktnom obliku y = 2 sin δ ( 2 sin x+ δ ), 2 problema više nema! NumMat 2017, 2. predavanje p. 76/141
77 Primjer za nultočke polinoma NumMat 2017, 2. predavanje p. 77/141
78 Svojstvene vrijednosti i nultočke polinoma U linearnoj algebri, svojstvene vrijednosti zadane matrice A se računaju na ruke kao nultočke karakterističnog polinoma te matrice k A (λ) = det(λi A) = 0. Prvo, računanjem determinante, nademo standardni oblik karakterističnog polinoma, preko koeficijenata k A (λ) = λ n +c n 1 λ n 1 + +c 1 λ+c 0, a onda tražimo nultočke λ 1,...,λ n tog polinoma. Oprez: Nultočke polinoma mogu biti vrlo osjetljive na male perturbacije u koeficijentima polinoma. NumMat 2017, 2. predavanje p. 78/141
79 Primjer Wilkinsonov polinom Primjer. Uzmimo tzv. Wilkinsonov polinom stupnja n = 20, P 20 (λ) = (λ 1) (λ 2) (λ 19) (λ 20). Iz ovog multiplikativnog oblika odmah čitamo da su nultočke tog polinoma, redom, prirodni brojevi λ i = i, i = 1,...,20. Ovaj oblik polinoma kao produkt linearnih faktora, je idealno stabilan na male perturbacije polaznih podataka, jer su ti podaci upravo nultočke polinoma! NumMat 2017, 2. predavanje p. 79/141
80 Wilkinsonov polinom razvijen po potencijama Kad polinom P 20 razvijemo po potencijama od λ, tj. zapišemo preko koeficijenata c j, dobivamo s koeficijentima: P 20 (λ) = λ 20 +c 19 λ c 1 λ+c 0, c 19 = ( ) = 210,. c 0 = ( 1) ( 2) ( 19) ( 20) = 20! Baš to je oblik kojeg bismo, na primjer, izračunali iz pripadne matrice. Poanta: Ovdje se nultočke baš i ne vide odmah... Treba ih izračunati! NumMat 2017, 2. predavanje p. 80/141
81 Egzaktni koeficijenti Wilkinsonovog polinoma Točne vrijednosti koeficijenata c j su c 0 = c 10 = c 1 = c 11 = c 2 = c 12 = c 3 = c 13 = c 4 = c 14 = c 5 = c 15 = c 6 = c 16 = c 7 = c 17 = c 8 = c 18 = c 9 = c 19 = 210 Koeficijenti su jedva prikazivi u tipu extended, a sigurno nisu egzaktno prikazivi u manjim tipovima, poput double. NumMat 2017, 2. predavanje p. 81/141
82 Mala perturbacija koeficijenta c 19 U polinomu P 20 napravimo jednu jedinu perturbaciju veličine 2 23 u koeficijentu c 19, tako da dobijemo polinom P 20 (λ) = P 20 (λ) 2 23 λ 19. Pripadna relativna perturbacija koeficijenta c 19 je reda veličine 2 30, odnosno, ispod Reklo bi se zaista mala perturbacija! Kako izgledaju nultočke tog perturbiranog polinoma P 20, tj. jesu li se i nultočke malo promijenile? Nažalost, ne! NumMat 2017, 2. predavanje p. 82/141
83 Nestabilnost nultočaka Wilkinsonovog polinoma Egzaktne nultočke polinoma P 20, na 9 decimala, su ± i ± i ± i ± i ± i Od 20 realnih nultočaka polinoma P 20, dobili smo samo 10 realnih prvih 9 i zadnja, i 5 parova konjugirano kompleksnih, s vrlo nezanemarivim imaginarnim dijelovima. Ni govora o maloj perturbaciji! NumMat 2017, 2. predavanje p. 83/141
84 Svojstvene vrijednosti matrica pouka Zato se, u praksi, svojstvene vrijednosti matrice A nikad (ili gotovo nikad) ne računaju kao nultočke karakterističnog polinoma k A. Za taj problem postoji gomila raznih numeričkih metoda, ovisno o vrsti matrice i raznim drugim stvarima. NumMat 2017, 2. predavanje p. 84/141
85 Približno računanje i perturbacije podataka NumMat 2017, 2. predavanje p. 85/141
86 Interpretacija grešaka zaokruživanja Kod približnog računanja na pr. u aritmetici računala, imamo greške zaokruživanja. One nastaju spremanjem ulaznih podataka u algoritam, kao rezultat svake pojedine aritmetičke operacije. Ključna stvar za analizu tih grešaka je svodenje na teoriju perturbacija, u smislu egzaktnog računanja s perturbiranim polaznim podacima! Kako to ide? Ilustracija na IEEE standardu. NumMat 2017, 2. predavanje p. 86/141
87 Greške prikaza i aritmetike Ako je ulazni podatak x R unutar raspona brojeva prikazivih u računalu, onda se, umjesto x, sprema zaokruženi prikazivi broj fl(x), tako da vrijedi gdje je fl(x) = (1+ε)x, ε u, ε relativna greška napravljena tim zaokruživanjem, a u je jedinična greška zaokruživanja. Imamo malu relativnu grešku, a računalo dalje računa s perturbiranim polaznim podatkom fl(x). Slična stvar vrijedi i za aritmetičke operacije. NumMat 2017, 2. predavanje p. 87/141
88 Zaokruživanje u aritmetici Osnovna pretpostavka za realnu aritmetiku u računalu: za sve četiri osnovne aritmetičke operacije vrijedi ista ocjena greške zaokruživanja kao i za prikaz brojeva. Isto vrijedi i za neke matematičke funkcije, poput, ali ne mora vrijediti za sve funkcije (na pr. za sin oko 0, ili ln oko 1). Preciznije: Neka označava bilo koju operaciju +,,, /. Za prikazive brojeve u dozvoljenom rasponu x,y F, takve da je i egzaktni rezultat x y u dozvoljenom rasponu (tj. u F), vrijedi ocjena relativne greške fl(x y) = (1+ε)(x y), ε u. Broj ε ovisi o x, y, operaciji i aritmetici računala. NumMat 2017, 2. predavanje p. 88/141
89 Širenje grešaka zaokruživanja Kad imamo puno operacija nastaje problem: greške se šire i treba procijeniti grešku u rezultatu. Kako to napraviti? Ponovimo, za aritmetiku računala ne vrijedi: asocijativnost zbrajanja i množenja, distributivnost množenja prema zbrajanju. Posljedica: poredak izvršavanja operacija je bitan! Jedino što vrijedi je: komutativnost za zbrajanje i množenje. NumMat 2017, 2. predavanje p. 89/141
90 Širenje grešaka zaokruživanja (nastavak) Za analizu grešaka zaokruživanja ne možemo koristiti nikakva normalna pravila za aritmetičke operacije u računalu, jer ti zakoni naprosto ne vrijede. Stvarna algebarska struktura je izrazito komplicirana i postoje debele knjige na tu temu. Vrijede neka zamjenska pravila, ali su neupotrebljiva za analizu iole većih proračuna. Medutim, analiza pojedinih operacija postaje bitno lakša, ako uočimo da: greške zaokruživanja u aritmetici računala možemo interpretirati i kao egzaktne operacije, ali na malo pogrešnim podacima! NumMat 2017, 2. predavanje p. 90/141
91 Širenje grešaka zaokruživanja (nastavak) Kako? Dovoljno je faktor (1+ε) u ocjeni greške fl(x y) = (1+ε)(x y), ε u, zalijepiti na x i/ili y. To je isto kao da operand(i) ima(ju) neku relativnu grešku na ulazu u operaciju, a operacija je egzaktna. Dakle, izračunati (ili zaokruženi ) rezultat jednak je egzaktnom rezultatu, ali za malo promijenjene (tj. perturbirane) podatke (u relativnom smislu). Što dobivamo ovom interpretacijom? Onda možemo koristiti normalna pravila egzaktne aritmetike za analizu grešaka. NumMat 2017, 2. predavanje p. 91/141
92 Širenje grešaka zaokruživanja (nastavak) Ne zaboravimo još da ε ovdje ovisi o x, y, i operaciji. Kad takvih operacija ima više, pripadne greške obično označavamo nekim indeksom u ε. Na primjer, ako je zbrajanje (+), onda je fl(x+y) = (1+ε x+y )(x+y) = [(1+ε x+y )x]+[(1+ε x+y )y], uz ε x+y u, ako su x, y i x+y u prikazivom rasponu. Potpuno ista stvar vrijedi i za oduzimanje. Kod množenja i dijeljenja možemo birati kojem ulaznom podatku ćemo zalijepiti faktor (1 + ε). NumMat 2017, 2. predavanje p. 92/141
93 Širenje grešaka zaokruživanja (nastavak) Za množenje možemo pisati a za dijeljenje fl(x y) = (1+ε x y )(x y) = [(1+ε x y )x] y = x [(1+ε x y )y], fl(x/y) = (1+ε x/y )(x/y) = [(1+ε x/y )x]/y = x/[y/(1+ε x/y )]. Postoje i druge varijante. Na primjer, da svakom operandu zalijepimo 1+ε (odnosno 1/ 1+ε), ali to nije naročito važno. Bitno je samo da je izračunati rezultat egzaktan za malo perturbirane podatke. NumMat 2017, 2. predavanje p. 93/141
94 Širenje grešaka (bilo kojih) Zasad nije vidljivo koja je točno korist od ove interpretacije. Stvar se bolje vidi tek kad imamo više operacija zaredom. Medutim, ova ideja s malo pogrešnim podacima je baš ono što nam treba za analizu širenja grešaka, i to bez obzira na uzrok grešaka, čim se sjetimo da rezultati ranijih operacija s nekom greškom ulaze u nove operacije. Naime, uzroka grešaka može biti mnogo, ovisno o tome što računamo. Od grešaka modela i metode, preko grešaka mjerenja (u ulaznim podacima), do grešaka zaokruživanja. NumMat 2017, 2. predavanje p. 94/141
95 Širenje grešaka u aritmetici računala Dosad smo gledali širenje grešaka u egzaktnoj aritmetici. U aritmetici računala postupamo na potpuno isti način. Samo treba zgodno iskoristiti onu raniju interpretaciju da je izračunati (ili zaokruženi ) rezultat jednak egzaktnom, ali za malo perturbirane podatke (u relativnom smislu). A širenje grešaka u egzaktnoj aritmetici znamo. Ukratko, bez dokaza: Svaka pojedina aritmetička operacija u računalu samo povećava perturbaciju svojih ulaznih podataka za jedan faktor oblika (1+ε), uz ocjenu ε u, ovisno o tome kojim operandima zalijepimo taj faktor. NumMat 2017, 2. predavanje p. 95/141
96 Natuknice o analizi grešaka Bilo koji algoritam gledamo kao preslikavanje: Naravno, zanima nas ulaz (domena) izlaz (kodomena). greška u izračunatom rezultatu u kodomeni, uz približno računanje aritmetikom računala. Ova greška zove se greška unaprijed (engl. forward error). Nažalost, postupak direktne analize grešaka je težak, relativno rijetko ide i često daje loše ocjene greške. Primjer. Obična norma vektora u R 2 (i još dodaj scaling ). (v. Z. Drmač, članak u MFL-u). NumMat 2017, 2. predavanje p. 96/141
97 Natuknice o analizi grešaka (nastavak) U praksi se puno češće koristi tzv. obratna analiza grešaka. Osnovna ideja je ista kao i za pojedine operacije: izračunati rezultati algoritma mogu se dobiti egzaktnim računanjem, ali na perturbiranim ulaznim podacima u domeni. Ova greška u domeni zove se greška unatrag ili obratna greška (engl. backward error). Prednost: ocjena tih perturbacija u domeni je bitno lakša, jer se akumulacija onih faktora oblika (1 + ε) prirodno radi unatrag od rezultata prema polaznim podacima. U protivnom, moramo znati grešku za operande, a to je greška unaprijed za prethodni dio algoritma. NumMat 2017, 2. predavanje p. 97/141
98 Natuknice o analizi grešaka (nastavak) Postupak unatrag za nalaženje grešaka u izračunatim rezultatima ide u dva koraka. Prvo se obratnom analizom naprave ocjene perturbacija polaznih podataka u domeni, a zatim se koristi matematička teorija perturbacije, koja daje ocjene grešaka rezultata u kodomeni. Ovaj izvod ide za egzaktni račun, pa vrijede sva normalna pravila. Tako stižemo do pojmova: stabilno i nestabilno računanje ili algoritam = prigušivač ili pojačalo grešaka. Slikice (skripta NA, Higham) su na sljedećoj stranici. Primjeri nestabilnosti uklonjivi i NEuklonjivi. NumMat 2017, 2. predavanje p. 98/141
99 Greška unaprijed i obratna greška Uzmimo da algoritam rješava problem P. x P y Ako problem P intepretiramo kao računanje funkcije f, onda grešku unaprijed i obratnu grešku možemo prikazati ovako: obratna greška x y = f(x) x+ x greška unaprijed ŷ = f(x+ x) NumMat 2017, 2. predavanje p. 99/141
100 Zbrajanje brojeva NumMat 2017, 2. predavanje p. 100/141
101 Primjer: računanje sume u aritmetici računala Primjer. Računamo sumu (zbroj) s n = x 1 +x 2 + +x n, uz pretpostavku da su svi brojevi x i prikazivi u računalu, tj. vrijedi x i = fl(x i ), za i = 1,...,n. Algoritam. Zbrajamo unaprijed redom po indeksima: s = x_1; za i = 2 do n radi s = s + x_i; Oznake. Razlikujemo egzaktne i izračunate parcijalne sume: Egzaktne parcijalne sume su s i = s i 1 +x i = x 1 + +x i, Izračunate parcijalne sume su ŝ i = fl(ŝ i 1 +x i ), za i = 2,...,n. Za početnu sumu vrijedi s 1 = ŝ 1 = x 1. NumMat 2017, 2. predavanje p. 101/141
102 Greške zaokruživanja u aritmetici računala Prema IEEE standardu, za svaki izračunati rezultat vrijedi ŝ i = fl(ŝ i 1 +x i ) = (1+ε i 1 )(ŝ i 1 +x i ), i = 2,...,n, s tim da je ε i 1 u, uz pretpostavku da su svi ŝ i unutar prikazivog raspona (nadalje smatramo da je tako). Jedino razumno je izraziti završni rezultat ŝ n u terminima polaznih vrijednosti x 1,...,x n. Kad to napravimo i sredimo po x i, dobivamo ŝ n = (1+ε 1 ) (1+ε n 1 )x 1 +(1+ε 1 ) (1+ε n 1 )x 2 +(1+ε 2 ) (1+ε n 1 )x 3 + +(1+ε n 2 )(1+ε n 1 )x n 1 +(1+ε n 1 )x n. NumMat 2017, 2. predavanje p. 102/141
103 Zapis izračunate sume Izračunatu sumu ŝ n možemo napisati u obliku gdje je ŝ n = (1+η 1 )x 1 +(1+η 2 )x 2 + +(1+η n )x n, η 1 = η 2 = (1+ε 1 ) (1+ε n 1 ) 1 η 3 = (1+ε 2 ) (1+ε n 1 ) 1. η n 1 = (1+ε n 2 )(1+ε n 1 ) 1 η n = (1+ε n 1 ) 1 = ε n 1. Iz ε i u dobivamo ocjene (v. velika skripta, str ) η i (1+u) n+1 i 1 γ n+1 i := (n+1 i)u 1 (n+1 i)u, za i = 2,...,n, i η 1 = η 2 γ n 1 (uz uvjet (n 1)u < 1). NumMat 2017, 2. predavanje p. 103/141
104 Što ćemo s tim interpretacija unatrag Pogled unatrag u domenu obratna greška, stabilnost unatrag (engl. backward error, backward stability), iz relacije ŝ n = (1+η 1 )x 1 +(1+η 2 )x 2 + +(1+η n )x n. Izračunati rezultat ŝ n je egzaktna suma malo perturbiranih polaznih podataka x 1,...,x n, s obratnim ili polaznim relativnim greškama η 1,...,η n. To kaže da je algoritam zbrajanja stabilan unatrag. Pogled unaprijed = teorija perturbacije za greške η 1,...,η n. Prava greška izračunate sume je ŝ n s n = η 1 x 1 +η 2 x 2 + +η n x n. NumMat 2017, 2. predavanje p. 104/141
105 Ocjena relativne greške unaprijed Odavde slijedi ŝ n s n ( x x n ) max i=1,...,n η i ( x x n ) γ n 1. Za relativnu grešku izračunate sume dobivamo ocjenu gdje je ŝ n s n s n x x n x 1 + +x n γ n 1 = cond(s n ) γ n 1, cond(s n ) = x x n x 1 + +x n. Zbrajanje brojeva istog predznaka = cond(s n ) = 1. NumMat 2017, 2. predavanje p. 105/141
106 Poredak zbrajanja za iste predznake Zbog prijelaza η i max i=1,...,n η i, prethodna ocjena vrijedi za bilo koji algoritam neovisno o poretku sumanada! Prave obratne greške η i, naravno, ne znamo. Medutim, znamo da za ocjene tih grešaka vrijedi: η 1 = η 2 γ n 1, η i γ n+1 i, i = 2,...,n, tj. najveća je ocjena za prva dva sumanda x 1,x 2, i ocjena pada kako indeksi rastu (sumandi kasnije ulaze u zbrajanja). Kad zbrajamo brojeve istog predznaka (tj. nema kraćenja), najmanju ocjenu greške dobivamo tako da sumande x i poredamo uzlazno po apsolutnoj vrijednosti! Razlog: veće (ocjene) greške idu na manje sumande. Pogledati primjer za parcijalne sume harmonijskog reda. NumMat 2017, 2. predavanje p. 106/141
107 Rješavanje linearnih sustava NumMat 2017, 2. predavanje p. 107/141
108 Općenito o linearnim sustavima teorija Neka je F = R polje realnih brojeva (može i F = C). Zadani su: (pravokutna) matrica A F m n i vektor b F m. Tražimo rješenje linearnog sustava Ax = b. Teorem Kronecker Capelli kaže da linearni sustav Ax = b ima rješenje x F n ako i samo ako je rang matrice A, u oznaci r, jednak rangu proširene matrice  = [A b], rješenje sustava je jedinstveno ako je r = n. Znamo čak i malo više! NumMat 2017, 2. predavanje p. 108/141
109 Linearni sustavi teorija (nastavak) Opće rješenje sustava Ax = b (ako postoji) ima oblik gdje je x = x p +N(A), x p jedno partikularno rješenje polaznog sustava Ax = b, N(A) je nul-potprostor od A, ili opće rješenje pripadnog homogenog sustava Ax = 0. Iz teorema o rangu i defektu za matricu A r +dimn(a) = n, slijedi tvrdnja o jedinstvenosti rješenja: dimn(a) = 0 r = n. NumMat 2017, 2. predavanje p. 109/141
110 Linearni sustavi od teorije prema praksi U praksi se najčešće rješavaju linearni sustavi Ax = b kod kojih je matrica A kvadratna i regularna. A kvadratna znači da je m = n (A je reda n). A regularna znači, na primjer, deta 0. Iz teorema Kronecker Capelli onda izlazi da rješenje x takvog sustava postoji i jedinstveno je. = ima smisla promatrati algoritme za računanje rješenja. Nema smisla računati nešto što (možda) i ne postoji, ili nije jedinstveno (koje od mnogo rješenja računamo). Oprez: To što unaprijed znamo da je A regularna ne znači da to vrijedi i numerički! NumMat 2017, 2. predavanje p. 110/141
111 Kako naći rješenje? Inverz matrice Teorija (1). Možemo naći inverz matrice A, tj. matricu A 1 i slijeva pomnožiti sustav Ax = b matricom A 1. Dobivamo x = A 1 b. Samo je pitanje: kako ćemo izračunati inverz A 1? Zaključak: Lakši problem sveli smo na teži u prijevodu, pali smo s konja na magarca. Zašto? Jednostavno, zato što je j-ti stupac inverza, upravo, rješenje sustava Ax = e j. Dakle, za n stupaca od A 1 treba riješiti n linearnih sustava. A krenuli smo od jednog (sustava)! Ne tako! NumMat 2017, 2. predavanje p. 111/141
112 Kako naći rješenje? Cramerovo pravilo Teorija (2). Iz linearne algebre znate za Cramerovo pravilo: j-ta komponenta rješenja sustava je x j = deta j deta, j = 1,...,n, pri čemu je matrica A j jednaka matrici A, osim što je j-ti stupac u A j zamijenjen desnom stranom b. Treba još samo izračunati determinante i to n+1 njih. A kako ćemo to? Klasični odgovor: pa... recimo, Laplaceovim razvojem. Jao, jao... Bilo kako, samo ne tako! NumMat 2017, 2. predavanje p. 112/141
113 Kako naći rješenje? Zaboravite Cramera Zašto? Laplaceovim razvojem dobijemo (kao u definiciji det) samo n! pribrojnika u svakoj determinanti, a svaki pribrojnik je produkt od n faktora. Prava sitnica. I tako to, još n+1 puta... Zaključak: Ako determinante računamo na ovaj način, složenost Cramerovog pravila za rješavanje linearnog sustava je eksponencijalna u n (dokažite to!) i nikad se ne koristi kao metoda numeričkog rješavanja. NumMat 2017, 2. predavanje p. 113/141
114 Zaboravite determinante i Cramera finale Komentar: Determinante možemo računati i puuuno brže, tako da matricu svedemo na trokutasti oblik, postupkom sličnim Gaussovim eliminacijama. Naime, determinanta trokutaste matrice (gornje ili donje) je produkt dijagonalnih elemenata, pa se lako računa! No, isti postupak eliminacija koristimo i za rješavanje cijelog linearnog sustava Ax = b, i to samo jednom, a ne n+1 puta. Dakle, Cramerovo pravilo se ne isplati ni kad ovako računamo determinante. NumMat 2017, 2. predavanje p. 114/141
115 Kako naći rješenje? Gaussove eliminacije! Najjednostavnija metoda za rješavanje linearnih sustava su Gaussove eliminacije, odnosno, slične metode svodenja na trokutastu formu. Ideja: Sustav Ax = b se ekvivalentnim transformacijama svodi na sustav oblika gdje je Rx = y, R trokutasta matrica (recimo, gornja), iz kojeg se lako, tzv. povratnom supstitucijom, nalazi rješenje. Oznaka R right (desna) = gornja trokutasta matrica. NumMat 2017, 2. predavanje p. 115/141
116 Ekvivalentne transformacije sustava Ekvivalentne transformacije sustava su one koje ne mijenjaju rješenje sustava. Standardne ekvivalentne transformacije su (v. LA): zamjena poretka jednadžbi (nužno!), množenje jednadžbe brojem različitim od nule, ova transformacija skaliranja se obično ne koristi, ili se vrlo pažljivo koristi za povećanje stabilnosti, množenje jedne jednadžbe nekim brojem i dodavanje drugoj jednadžbi (ključno!), = dodavanje linearne kombinacije preostalih jednadžbi, s tim da uzmemo samo jednu preostalu jednadžbu. NumMat 2017, 2. predavanje p. 116/141
117 Gaussove eliminacije NumMat 2017, 2. predavanje p. 117/141
118 Gaussove eliminacije algoritam Označimo A (1) := A, b (1) := b na početku prvog koraka. U skraćenoj notaciji, bez pisanja nepoznanica x i, linearni sustav Ax = b možemo zapisati proširenom matricom, kao a (1) 11 a (1) 12 a (1) 1n b (1) 1 a (1) 21 a (1) 22 a (1) 2n b (1) a (1) n1 a (1) n2 a (1) nn b (1) n Svodenje na trokutastu formu radimo u n 1 koraka. NumMat 2017, 2. predavanje p. 118/141
119 Gaussove eliminacije algoritam (nastavak) 1. korak. U prvom stupcu matrice A (1) poništimo sve elemente, osim prvog. Kako se to radi? Ako je element a (1) 11 0, onda redom, možemo od i-te jednadžbe oduzeti prvu jednadžbu pomnoženu s m i1 = a(1) i1, i = 2,...,n. a (1) 11 Pritom se prva jednadžba se ne mijenja. NumMat 2017, 2. predavanje p. 119/141
120 Gaussove eliminacije algoritam (nastavak) Prva jednadžba kao redak proširene matrice [A (1) b (1) ], je a (1) 11 a (1) 12 a (1) 1n b (1) 1. Polazna i-ta jednadžba pisana na isti način, za i = 2,...,n a (1) i1 a (1) i2 a (1) in b (1) i. Nova i-ta jednadžba pisana na isti način, za i = 2,...,n Relacije za nove elemente su a (2) i1 a (2) i2 a (2) in b (2) i. a (2) ij = a (1) ij m i1 a (1) 1j, b(2) i = b (1) i m i1 b (1) 1, za j = 1,...,n, i = 2,...,n. Prvi redak (i = 1) ostaje isti. NumMat 2017, 2. predavanje p. 120/141
121 Gaussove eliminacije algoritam (nastavak) Iz ovih relacija za nove elemente (prepisane još jednom) a (2) ij = a (1) ij m i1 a (1) 1j, b(2) i = b (1) i m i1 b (1) 1, vidimo da su multiplikatori m i1 = a(1) i1, i = 2,...,n. a (1) 11 odabrani upravo tako da je a (2) i1 = 0, za i = 2,...,n. Dakle, nakon prvog koraka dobivamo proširenu matricu [A (2) b (2) ] u kojoj prvi stupac ima nule (strogo) ispod dijagonale, tj. gornju trokutastu formu. NumMat 2017, 2. predavanje p. 121/141
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Numerička analiza 4. predavanje
NumAnal 2011, 4. predavanje p. 1/87 Numerička analiza 4. predavanje Autori: Saša Singer i Nela Bosner Predavač: Nela Bosner nela@math.hr web.math.hr/~nela/nad.html PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Numerička analiza 3. predavanje
Numerička analiza 3. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009, 3. predavanje p.1/96 Sadržaj predavanja Prikaz realnih brojeva floating point
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima
KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz
MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Numerička analiza 26. predavanje
Numerička analiza 26. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 26. predavanje p.1/21 Sadržaj predavanja Varijacijske karakterizacije svojstvenih
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Prikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Numerička analiza 2. predavanje
NumAnal 2011, 2. predavanje p. 1/44 Numerička analiza 2. predavanje Autor: Saša Singer Predavač: Nela Bosner nela@math.hr web.math.hr/~nela/nad.html PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2011, 2. predavanje
LINEARNI PROSTORI
7 4 Pokažite da je matrica cos α e iβ sin α e iβ sin α cos α unitarna za sve α, β R Ispitajte ima li linearni sistem samo trivijalno rješenje 3 5 3 4 x x x 3 = 3 Nadite opće rješenje problema y = Ay, gdjejea
Riješeni zadaci: Linearna algebra
Riješeni zadaci: Linearna algebra Matrice Definicija Familiju A od m n realnih (kompleksnih) brojeva a ij, i 1,, m, j 1,, n zapisanih u obliku pravokutne tablice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a
1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna
Numerička matematika 4. predavanje
Numerička matematika 4. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2011, 4. predavanje p.1/95 Sadržaj predavanja Rješavanje linearnih sustava: Hilbertove
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
NM Pred. 07/08 1. Numerička matematika. Integralni tekst predloška za predavanja 07/
NM Pred. 07/08 1 Numerička matematika Integralni tekst predloška za predavanja 07/08 Luka Grubišić 05.03.2008 NM Pred. 07/08 2 1 Uvodno predavanje 1.1 Pravila ocjenjivanja Numerička matematika (31427)
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 13 Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda U ovoj lekciji vježbamo rješavanje jedne klase običnih
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi
1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi Rješavanje nelinearnih jednadžbi sastoji se od dva bitna koraka: nalaženja intervala u kojem se nalazi nultočka (analizom toka), što je teži dio posla, nalaženja nultočke
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1
LEKCIJE IZ MATEMATIKE Ivica Gusić Lekcija 6 Linearni sustavi i njihovo rješavanje Lekcije iz Matematike. 6. Linearni sustavi i njihovo rješavanje I. Naslov i objašnjenje naslova U lekciji se obradjuje
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler
Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler
Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +
4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)