ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ: «ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ-ΚΩ ΙΚΕΣ» ρ. ΒΑΡΖΑΚΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΛΑΜΙΑ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 6

2 . Στοιχεία Θεωρίας Πληροφορίας. Ποσότητα πληροφορίας ενός γεγονότος ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Μέση πληροφορία κατά σύµβολο ενός αλφαβήτου (Εντροπία πηγής). Χωρητικότητα καναλιού..χωρητικότητα καναλιού συνεχών µηνυµάτων λευκού προσθετικού θορύβου κατανοµής Gauss 3. Εντροπία πηγής µε µνήµη 4. Κωδικοποίηση πηγής 4. Κωδικοποίηση πηγής Huffman 4. Κωδικοποίηση πηγής Shannon-Fano 4.3 Τετραδική Κωδικοποίηση πηγής Huffman 4.4 Μέσο µήκος κωδικής λέξης 5. Απλοί Κώδικες Επανάληψης 6. Γραµµικοί κώδικες Μπλοκ 6. Κώδικες Hamming 7. Κυκλικοί κώδικες 8. BCH Κώδικες 9. Κώδικες Reed-Solomon. Ταξινόµηση κωδίκων. Συγκεραστικοί κώδικες. Κώδικες διόρθωσης καταιγισµού σφαλµάτων 3. Εφαρµογές των κωδίκων 4. Βιβλιογραφία

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι συµπληρωµατικές σηµειώσεις που ακολουθούν έχουν γραφτεί για να συµπληρώσουν τις ανάγκες του Μαθήµατος Θεωρία Πληροφορίας-Κώδικες του Ε εξαµήνου του προγράµµατος σπουδών του Τµήµατος Ηλεκτρονικής του Τ.Ε.Ι. Λαµίας. Η συγγραφή αυτών των συµπληρωµατικών διδακτικών σηµειώσεων κρίθηκε απαραίτητη διότι σε αυτές παρουσιάζονται επιπλέον στοιχεία θεωρίας, ασκήσεις, παραδείγµατα, ασκήσεις µε απαντήσεις και εφαρµογές συµπληρώνοντας έτσι το βασικό σύγγραµµα του µαθήµατος. Θα πρέπει να σηµειωθεί από το συγγραφέα, ότι η επέκταση, τυχόν διορθώσεις και υποδείξεις στις παρούσες σηµειώσεις είναι πάντα ευπρόσδεκτες από τους συναδέλφους και τους φοιτητές του Τµήµατος. ρ. Βαρζάκας Παναγιώτης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα Ηλεκτρονικής Τ.Ε.Ι Λαµίας

4 .Στοιχεία Θεωρίας Πληροφορίας. Ποσότητα πληροφορίας ενός γεγονότος Είναι γνωστό ότι η πιθανότητα εµφάνισης ενός γεγονότος είναι άµεσα συνδεδεµένη µε την ποσότητα πληροφορίας που µεταφέρει το γεγονός αυτό, []. Αν θεωρήσουµε ότι P είναι η πιθανότητα εµφάνισης του γεγονότος τότε η ποσότητα πληροφορίας που µεταφέρει το γεγονός αυτό I είναι αντιστρόφως ανάλογη µε την πιθανότητα εµφάνισης του γεγονότος P δηλαδή ισχύει: I (.) P Συνεπώς, από την προηγούµενη σχέση, συµπεραίνουµε ότι όσο µικρότερη είναι η πιθανότητα να συµβεί ένα γεγονός τόσο µεγαλύτερη είναι η ποσότητα πληροφορίας που µεταφέρει το γεγονός αυτό. Η σχέση (.) έχει την πιο συγκεκριµένη παρακάτω µορφή, [,3,]: I = log b P = logb (.) P Στη σχέση (.), η βάση του λογαρίθµου b µπορεί να λάβει τις παρακάτω τρεις τιµές οδηγώντας σε αντίστοιχες τιµές για τη µονάδα µέτρησης της ποσότητας πληροφορίας: b=: µονάδα µέτρησης ποσότητας πληροφορίας το bit (binary unit) b=: µονάδα µέτρησης ποσότητας πληροφορίας το Hartley b=e: µονάδα µέτρησης ποσότητας πληροφορίας το nats.. Μέση πληροφορία κατά σύµβολο ενός αλφαβήτου (Εντροπία πηγής) Αν θεωρήσουµε ένα αλφάβητο µε q ισοπίθανα σύµβολα, τότε εφαρµόζοντας τη σχέση (.) υπολογίζουµε τη ποσότητα πληροφορίας (σε µονάδες bit) που παρουσιάζει µία φράση η οποία αποτελείται από n οποιαδήποτε σύµβολα της προηγούµενης πηγής: I n = n log P = n log = n log ( q) (.3) q δεδοµένου ότι κάθε ένα από τα q σύµβολα της πηγής έχει πιθανότητα εµφάνισης ίση µε. Για παράδειγµα, αν θεωρήσουµε τα 5 γράµµατα της ελληνικής αλφαβήτου (µαζί µε q το χαρακτήρα του κενού) τότε αν όλα τα γράµµατα ήταν ισοπίθανα τότε µία έκφραση από n γράµµατα θα µετέφερε πληροφορία ίση µε: I = n log 5 (.4) 3

5 και αντίστοιχα κάθε γράµµα θα είχα πληροφορία ίση µε: ισοπίθανα. Αν I = log 5 = 4. 64bit (.5) Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι στην πράξη τα σύµβολα µιας γλώσσας δεν είναι γενικά Pi είναι η πιθανότητα εµφάνισης του i-οστού συµβόλου του αλφαβήτου µιας γλώσσας (πηγής πληροφορίας) µε q διακριτά σύµβολα (δηλαδή της ίδιας της πηγής των συµβόλων) αποδεικνύεται ότι η µέση κατά σύµβολο πληροφορία (σε bits ανά σύµβολο του αλφαβήτου) του συγκεκριµένου αλφαβήτου (συµβολίζεται συνήθως µε H) είναι ίση µε, [,]: q H = I = log = i ( ) P i P i (.6) Η προηγούµενη σχέση ισχύει µε την προϋπόθεση ότι η πηγή πληροφορίας, δηλαδή το αλφάβητο, είναι µία στατική πηγή δηλαδή οι πιθανότητες εµφάνισης όλων των συµβόλων είναι ανεξάρτητες του χρόνου. Επίσης, η σχέση (.6) ισχύει όταν η πιθανότητα εµφάνισης ενός συµβόλου δεν εξαρτάται από την εµφάνιση κανενός άλλου συµβόλου της πηγής δηλαδή η πηγή πληροφορίας δεν παρουσιάζει µνήµη (πηγή χωρίς µνήµη). Η σχέση (.6) µας δίνει την εντροπία Η µιας πηγής πληροφορίας χωρίς µνήµη η οποία µας εκφράζει τη µέση ποσότητα πληροφορίας που µεταφέρει ένα σύµβολο της συγκεκριµένης πηγής. Στην περίπτωση που µία πηγή πληροφορίας χωρίς µνήµη, είναι δυνατό να έχει όλα τα σύµβολά της ισοπίθανα τότε η πηγή παρουσιάζει µέγιστη τιµή της εντροπίας Η max η οποία δίνεται από τη σχέση: H max = I max = log (.7) εφαρµόζοντας τη σχέση (.6), για P i =, για i =,,... q (ισοπίθανα σύµβολα πηγής). Η q ελάχιστη τιµή της εντροπίας µιας πηγής πληροφορίας Η min είναι προφανές ότι παρουσιάζεται όταν για κάποιο από τα i=,, q σύµβολα της πηγής η πιθανότητα εµφάνισης είναι ίση µε (δηλαδή η βεβαιότητα) διότι τότε ο αντίστοιχος όρος στη σχέση (.6) µηδενίζεται και η εντροπία έτσι αποκτά ελάχιστη τιµή δηλαδή: ( q) H όταν Pn =, για κάποιο από τα i,,...q (.8) min = Ο πλεονασµός µιας πηγής πληροφορίας π µας εκφράζει το ποσό της άχρηστης πληροφορίας που µεταφέρει η έξοδος µιας πηγής πληροφορίας και ουσιαστικά µας δίνει τη διαφορά της τρέχουσας κατάστασης από την ιδανική περίπτωση στην οποία τα σύµβολα της πηγής χρησιµοποιούνται ισοπίθανα (περίπτωση της µέγιστης εντροπίας). Ο πλεονασµός π ορίζεται ως: Η H H max π = = (.9) H max H max και δίνεται συνήθως σε ποσοστό %. Ο πλεονασµός µιας πηγής πληροφορίας οφείλεται στους παρακάτω δύο λόγους: 4

6 i) στο γεγονός ότι τα σύµβολα της πηγής είναι µη ισοπίθανα και ii) στην πιθανότητα η πηγή πληροφορίας να παρουσιάζει µνήµη. ηλαδή η ελάττωση της εντροπίας µιας πηγής σε σχέση µε τη µέγιστη τιµή οφείλεται στο ότι τα σύµβολά της είµαι µη ισοπίθανα και στο ότι κατά την εκποµπή των συµβόλων παρουσιάζεται προτίµηση στην εκποµπή ορισµένων συνδυασµών συµβόλων της πηγής. Αν µία πηγή πληροφορίας εκπέµπει σύµβολα µε ρυθµό συµβόλων r (σε σύµβολα/sec) και η πηγή παρουσιάζει εντροπία H (σε bits/σύµβολο) τότε ο ρυθµός παροχής πληροφορίας από την πηγή R (σε bits/sec) βρίσκεται άµεσα από τη σχέση: R = r H (.) Παράλληλα αν το i-οστό σύµβολο της πηγής έχει διάρκεια t i τότε η µέση διάρκεια τ (σε sec/σύµβολο) των συµβόλων της πηγής πληροφορίας είναι, µε τη βοήθεια της θεωρίας των πιθανοτήτων, ίση µε: q = i = τ P t (.) i i Συνεπώς, ο ρυθµός συµβόλων r της πηγής είναι ίσος µε: r = (.a) τ Τέλος, θα πρέπει να ειπωθεί ότι ισχύει η παρακάτω µαθηµατική σχέση για την εύρεση των λογαρίθµων: log x log x = = 3.3 log x (.b) log Ασκήσεις. Πηγή πληροφορίας παράγει 5 σύµβολα µε πιθανότητες εµφάνισης /, /4, /8, /6 και /6. Να υπολογίσετε την εντροπία της συγκεκριµένης πηγής πληροφορίας.. Να βρεθεί η µέση ποσότητα πληροφορίας στην Αγγλική γλώσσα αν θεωρήσουµε ότι καθένας από τους 6 χαρακτήρες της εµφανίζεται µε την ίδια πιθανότητα. 3.α) Θεωρώντας την αγγλική γλώσσα ως πηγή χωρίς µνήµη βρείτε την εντροπία της και τον πλεονασµό της β) Συµβιβάζεται το αποτέλεσµα µε την εντύπωση που υπάρχει ότι ακόµα και η αγγλική γλώσσα έχει πλεονασµό περίπου 5%-που οφείλεται η διαφορά; Σας δίνονται οι πιθανότητες εµφάνισης των γραµµάτων της αγγλικής γλώσσας. 4. Μία διακριτή πηγή χωρίς µνήµη έχει 4 σύµβολα x, x, x 3, x 4 µε πιθανότητες εµφάνισης αντίστοιχα: P ( x ) =.4, P( x ) =.4, P( x3 ) =.4, P( x4 ) =. 4. Nα βρείτε την εντροπία της πηγής αυτής και την ποσότητα πληροφορίας που περιέχεται στα επόµενα µηνύµατα: ( x xxx3 ) και ( x4x3x3x ) 5

7 5. Εικόνα αποτελείται από (5x6) στοιχεία (εικονοστοιχεία) κάθε ένα από τα οποία λαµβάνει 8 διακριτούς τόνους φωτεινότητας. Έστω ότι έχω µείωση της εντροπίας της πηγής αυτής πληροφορίας λόγω της µη ισοπίθανης εµφάνισης των τόνων και των πλεονασµών κατά 8%. Αν για µια ικανοποιητική παρακολούθηση µιας εικόνας πρέπει να έχω ρυθµό 3 εικόνες/sec, να βρεθεί ο ρυθµός της οπτικής πληροφορίας που λαµβάνεται από τον εγκέφαλο ενός τηλεοπτικού θεατή. 6. Ασπρόµαυρη εικόνα τηλεόρασης υψηλής ευκρίνειας αποτελείται από (x 6 ) εικονοστοιχεία και 6 διαφορετικές στάθµες φωτεινότητας. Οι εικόνες λαµβάνονται µε ρυθµό 3 ανά δευτερόλεπτο. Όλα τα εικονοστοιχεία θεωρούνται ανεξάρτητα και όλες οι στάθµες έχουν ίσες πιθανότητες εµφάνισης. Να βρεθεί ο µέσος ρυθµός πληροφοριών που µεταδίδονται από αυτή την πηγή εικόνων τηλεόρασης. 7. Έστω πηγή πληροφορίας µε 3 σύµβολα Α, Β, Γ µε αντίστοιχες πιθανότητες εµφάνισης: P ( A ) =.5, P( B) =.4, P( Γ) =.. Ποια είναι η ποσότητα πληροφορίας όταν λαµβάνουµε το µήνυµα (ΑΑΒ); Ποια είναι η µέση πληροφορία που εκπέµπεται από τη προηγούµενη πηγή πληροφορίας;. Χωρητικότητα καναλιού Ας θεωρήσουµε ένα διακριτό κανάλι στο οποίο εκπέµπονται Μ διακριτά σύµβολα από µία πηγή πληροφορίας. Τότε µπορούµε να ορίσουµε την εντροπία της εισόδου Χ στο κανάλι επικοινωνίας H ( X ) (µέση κατά σύµβολο ποσότητα πληροφορίας στην είσοδο του καναλιού) ως εξής, []: M t t ( X ) P i log ( P ) H = i= i (.) όπου P t i είναι η πιθανότητα να εκπεµφθεί το i-οστό σύµβολο στο κανάλι. Η εντροπία H ( X ) µας δίνει τη µέση κατά σύµβολο πληροφορία στην είσοδο του καναλιού. Αν δεν υπάρχει κωδικοποιητής πηγής τότε η H ( X ) είναι ίση µε την εντροπία της πηγής πληροφορίας. Αν r s είναι ο ρυθµός εκποµπής συµβόλων στο κανάλι (σε σύµβολα/sec) τότε ο µέσος ρυθµός πληροφορίας στην είσοδο του καναλιού D in (σε bits/sec) είναι ίσος µε: D in ( X ) rs = H (.) Σε αντιστοιχία µε την είσοδο του καναλιού, µπορούµε να ορίσουµε την εντροπία της εξόδου Υ του καναλιού H ( Y )(µέση κατά σύµβολο ποσότητα πληροφορίας στην έξοδο του καναλιού) όπως ακολουθεί, []: M r r ( Y ) P i log ( P ) H = = i i (.3) 6

8 r όπου P i είναι η πιθανότητα να ληφθεί στην έξοδο του καναλιού το i-οστό σύµβολο. Η εντροπία εξόδου του καναλιού µας δίνει το πλήθος των bits που απαιτούνται ανά σύµβολο για την κωδικοποίηση της εξόδου του καναλιού. Η αβεβαιότητα για την τιµή της εισόδου Χ του καναλιού όταν γνωρίζουµε την τιµή της εξόδου Y του καναλιού περιγράφεται από την εντροπία υπό συνθήκη H ( X / Y )(περιγράφει την αµφιβολία αντιστοιχίας των συµβόλων από την έξοδο του καναλιού προς την είσοδο του καναλιού),[,]: H M M / = i= j= ( X Y ) P( X = i, Y = j) log P( X = i / Y = j) (.4) Εκτός από την εντροπία υπό συνθήκη µπορεί να δοθεί και η συνδυασµένη εντροπία H X, Y, [,]: ( ) H M M, = i= j= ( X Y ) P( X = i, Y = j) log P( X = i, Y = j) (.5) η οποία όπως παρατηρούµε από τη σχέση (.5) σχετίζεται µε την πιθανότητα εµφάνισης των ζευγών ( X, Y ) εισόδου-εξόδου του καναλιού. Ο µέσος ρυθµός εκποµπής D t διαµέσου του καναλιού δίνεται από την επόµενη σχέση: D t [ H ( X ) H ( X Y )] rs = / (.6) Η χωρητικότητα του καναλιού C ορίζεται ως η µέγιστη δυνατή τιµή του D t για όλα τα σύνολα πιθανοτήτων εµφάνισης της εισόδου του καναλιού Χ δηλαδή: C max p ( x ) { D } = (.7) t..χωρητικότητα καναλιού συνεχών µηνυµάτων λευκού προσθετικού θορύβου κατανοµής Gauss Συνεχές κανάλι επικοινωνίας είναι εκείνο στο οποίο το µήνυµα το οποίο εκπέµπεται σε αυτό είναι συνεχές δηλαδή µπορεί να αναπαρασταθεί µε µία συνεχή κυµατοµορφή σα συνάρτηση του χρόνου. Σε µία τέτοια περίπτωση, οι χαρακτηριστικές παράµετροι του καναλιού είναι: α) το εύρος ζώνης συχνοτήτων του καναλιού επικοινωνίας Β και β) ο λόγος σήµα προς θόρυβο (Signal-to Noise Ratio, SNR ή N S ) στην έξοδο του καναλιού. Αν το κανάλι παρουσιάζει λευκό, προσθετικό θόρυβο κατανοµής Gauss (Additive White Gaussian Noise, AWGN) τότε αποδεικνύεται ότι η χωρητικότητα C του συγκεκριµένου καναλιού δίνεται από τη σχέση, [,5-7]: S C = B log + (σε bits/sec) (.8) N 7

9 Η προηγούµενη σχέση είναι ο περίφηµος Νόµος των Shannon-Hartley για τη χωρητικότητα ενός καναλιού περιορισµένου εύρους ζώνης συχνοτήτων το οποίο παρουσιάζει AWGN θόρυβο. Η σχέση (.8), µας δίνει ποσοτικά το µέγιστο δυνατό ρυθµό εκποµπής πληροφορίας (πάνω όριο) στο κανάλι πετυχαίνοντας µία πιθανότητα σφάλµατος η οποία είναι δυνατό να τείνει σε µηδενική τιµή. Η χωρητικότητα του καναλιού δηλαδή ο ρυθµός αυτός εκποµπής πληροφορίας στο κανάλι, µπορεί να επιτευχθεί αν χρησιµοποιηθεί πολύπλοκη κωδικοποίηση κατά την εκποµπή αλλά χωρίς να τεθούν χρονικοί περιορισµοί στη εκποµπή των σηµάτων στο κανάλι. Στην πράξη, ο ρυθµός R της εκπεµπόµενης πληροφορίας στο κανάλι θα πρέπει να ικανοποιεί την επόµενη ανισότητα: S R C = B log + (.9) N και γίνεται προσπάθεια να προσεγγίσουµε την ισότητα βελτιώνοντας την κωδικοποίηση, [3]. Στην πραγµατικότητα αυτό που γίνεται είναι ότι το κανάλι δεν είναι ιδανικό και η χρησιµοποιούµενη κωδικοποίηση δεν είναι άριστη µε αποτέλεσµα να εµφανίζεται πάντα µία µικρή πιθανότητα σφάλµατος κατά την λήψη και την αποκωδικοποίηση. Από τη σχέση (.8) µπορεί να έχουµε τα ακόλουθα συµπεράσµατα: i) αύξηση της χωρητικότητας C µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε αύξηση του εύρους ζώνης συχνοτήτων του καναλιού Β ii) αύξηση της χωρητικότητας C µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε αύξηση του λόγου SNR. Στη σχέση (.8), ο λόγος SNR πρέπει να δοθεί σε καθαρό αριθµό, το εύρος ζώνης συχνοτήτων σε Hz και τότε η χωρητικότητα C υπολογίζεται τότε σε (bits/sec). Συνήθως σε πρακτικά συστήµατα, ο λόγος SNR δίνεται σε db γι αυτό θα πρέπει να κάνουµε την επόµενη µετατροπή, []: S N S N ( db) = log ( καθαρός αριθµός) (.) SNR( db) ή αντίστοιχα: ( ) S N καθαρός αριθµός = (.) Αποδεικνύεται ότι µπορούµε να εκπέµψουµε διατηρώντας το SNR σε τιµή µικρότερη της µονάδας αρκεί ταυτόχρονα να έχουµε φροντίσει το εύρος ζώνης συχνοτήτων Β του καναλιού επικοινωνίας (και συνεπώς και του εκπεµπόµενου σήµατος) να είναι αρκετά µεγάλο. Η περίπτωση αυτή εκποµπής αντιστοιχεί στα συστήµατα διευρυµένου φάσµατος ή διάχυτου φάσµατος (Spread Spectrum Systems) τα οποία βρίσκουν εφαρµογές στις στρατιωτικές επικοινωνίες, στις δορυφορικές επικοινωνίες όπως και στα συστήµατα κινητών επικοινωνιών τρίτης γενιάς. Στο σηµείο αυτό είναι χρήσιµο να πούµε ότι η στο άπειρο αύξηση του εύρους ζώνης συχνοτήτων Β του καναλιού επικοινωνίας, δεν οδηγεί σε αντίστοιχη αύξηση προς το άπειρο της χωρητικότητας C του καναλιού επικοινωνίας αλλά αυτή οδηγείται σε συγκεκριµένο πάνω όριο. Αποδεικνύεται ότι, [3,,]: lim C B =.44 S N (.) 8

10 όπου Ν (σε Watt/Hz) είναι η φασµατική πυκνότητα του AWGN θορύβου του καναλιού η οποία µας δίνει την ισχύ του θορύβου του καναλιού ανά Hz του εύρους ζώνης του καναλιού επικοινωνίας. Η φασµατική πυκνότητα έχει τόσο µεγαλύτερη τιµή όσο ο θόρυβος του καναλιού επικοινωνίας είναι ισχυρότερος. Θα πρέπει να ειπωθεί ότι AWGN θόρυβος είναι ο θόρυβος ο οποίος παρουσιάζει τα επόµενα χαρακτηριστικά: i) η ισχύς του θρύβου κατανέµεται µε τον ίδιο τρόπο σε όλες τις συχνότητες του ηλεκτροµαγνητικού φάσµατος σε αντιστοιχία µε την περίπτωση του λευκού φωτός το οποίο περιέχει όλα τα χρώµατα (µήκη κύµατος) µε την ίδια συνεισφορά ισχύος στο τελικό αποτέλεσµα ii) το στιγµιαίο πλάτος του θορύβου προστίθεται στο στιγµιαίο πλάτος του εκπεµπόµενου σήµατος (προσθετικός θόρυβος) iii) το στιγµιαίο πλάτος του θορύβου ακολουθεί την κανονική κατανοµή (κατανοµή Gauss) Πρακτικά, τα περισσότερα κανάλια επικοινωνίας που συναντούµε σε συστήµατα µετάδοσης παρουσιάζουν AWGN θόρυβο (φυσικός θόρυβος καναλιού επικοινωνίας). Ασκήσεις. Ένας τεχνικός επικοινωνίας ισχυρίζεται ότι σχεδίασε σύστηµα διασύνδεσης της εξόδου ενός µικροεπεξεργαστή µε έναν εκτυπωτή που έχει ταχύτητα 5γραµµές/λεπτό και χαρακτήρες ανά γραµµή επιτυγχάνοντας τη σύνδεση αυτή µε ένα κοινό τηλεφωνικό καλώδιο εύρους ζώνης 3.4KHz και µε τέτοια ισχύ παροχής που το σήµα να φτάνει στον εκτυπωτή µε ποιότητα (S/N)=dB. Ο κώδικας που χρησιµοποιείται είναι ASCII (8 bits/χαρακτήρα). Tον πιστεύετε στα παραπάνω λεγόµενά του;. Η έξοδος µιας πηγής πληροφορίας που θεωρείται χωρίς µνήµη αποτελείται από 8 σύµβολα. Τα 6 από αυτά εµφανίζονται µε πιθανότητα /3 και το καθένα από αυτά έχει διάρκεια msec. Τα υπόλοιπα σύµβολα είναι ισοπίθανα και το κάθε ένα έχει διάρκεια msec. Τα σύµβολα είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους και η πηγή εκπέµπει χωρίς κενό µεταξύ των συµβόλων. α) Να υπολογίσετε την εντροπία Η της πηγής και το ρυθµό παραγωγής πληροφορίας R. β) Πόση θα πρέπει να είναι η ελάχιστη θεωρητικά τιµή του (S/N) στην έξοδο του αναλογικού καναλιού που έχει εύρος 3MHz έτσι ώστε να είναι θεωρητικά δυνατή η διαβίβαση της παραγόµενης από την πηγή πληροφορίας; γ) Πόση θα πρέπει να είναι πρακτικά η τιµή αυτή αν δεχθούµε ότι το πραγµατικό σύστηµα που διαθέτουµε επιτρέπει διακίνηση πληροφορίας µε ρυθµό πέντε φορές µικρότερο από την χωρητικότητα C; δ) Πόση θα ήταν τέλος η τιµή του λόγου (S/N) αν χρησιµοποιηθεί συµπίεση που απο- µακρύνει το 4% του πλεονασµού λόγω µνήµης; 3. Έστω έξοδος µιας πηγής πληροφορίας χωρίς µνήµη που αποτελείται από 8 σύµβολα. Τα 6 από τα σύµβολα αυτά εµφανίζονται µε πιθανότητα /3 και κάθε ένα έχει διάρκεια msec. Τα υπόλοιπα σύµβολα έχουν την ίδια πιθανότητα και το καθένα έχει διάρκεια 4msec. Τα σύµβολα είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους και η πηγή εκπέµπει τα σύµβολα χωρίς κενό µεταξύ των συµβόλων. Βρείτε ποια είναι η ελάχιστη τιµή του λόγου (S/N) στην έξοδο ενός αναλογικού καναλιού µε εύρος ζώνης συχνοτήτων 4KHz, ώστε να είναι δυνατή πρακτικά η µετάδοση της πληροφορίας που παράγει η πηγή αυτή από το παραπάνω κανάλι. 9

11 Ασκήσεις µε απαντήσεις. Έστω κανάλι προσθετικού λευκού θορύβου Gauss (AWGN κανάλι) µε εύρος ζώνης 4KHz και φασµατική πυκνότητα θορύβου - W/Hz. Η ισχύς του σήµατος που χρειάζεται στο δέκτη είναι ίση µε.mw. Να υπολογιστεί η χωρητικότητα του συγκεκριµένου καναλιού (Απάντηση: bit/sec). Λαµβάνονται δείγµατα αναλογικού σήµατος µε εύρος ζώνης 4KHz µε ρυθµό.5 φορές τον ρυθµό Nyquist και κάθε δείγµα κβαντοποιείται σε µία από τις 56 ισοπίθανες τιµές. Υποθέτουµε ότι τα διαδοχικά δείγµατα είναι ισοπίθανα. α)ποιος είναι ο ρυθµός πληροφορίας της πηγής αυτής; (Απάντηση: 8Kbit/sec) β) Μπορεί η έξοδος της πηγής αυτής να µεταδοθεί χωρίς σφάλµα µέσα από κανάλι AWGN µε εύρος ζώνης συχνοτήτων KHz και λόγο SNR db; (Απάντηση:δεν είναι δυνατή) γ)nα βρεθεί ο λόγος SNR που χρειάζεται για µετάδοση χωρίς σφάλµατα στο συγκεκριµένο κανάλι. (Απάντηση: SNR 4. dβ) δ) Να βρεθεί το εύρος ζώνης συχνοτήτων που χρειάζεται σε κανάλι AWGN για µετάδοση της εξόδου αυτής της πηγής χωρίς σφάλµατα αν ο λόγος SNR είναι db. (Απάντηση: B KHz). 3. Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα καναλιού AWGN µε εύρος ζώνης συχνοτήτων MHz και λόγο SNR=4dB (Απάντηση:3.9Μbit/sec) 3. Εντροπία πηγής µε µνήµη Μία πηγή πληροφορίας έχει µνήµη όταν τα σύµβολα που εκπέµπονται από την πηγή δεν είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους δηλαδή η πιθανότητα εµφάνισης (εκποµπής) ενός συµβόλου εξαρτάται από την εκποµπή ή όχι προηγούµενων συµβόλων. Μία πηγή µε µνήµη ονοµάζεται πηγή m-τάξης αν η πιθανότητα εκποµπής ενός συµβόλου εξαρτάται από τα m προηγούµενα σύµβολα που έχουν εκπεµφθεί. Συνήθως η εκποµπή ενός συµβόλου από µία τέτοια πηγή πληροφορίας θεωρείται ως η µετάβαση της πηγής από µία κατάσταση σε µία άλλη. Έτσι οι εκποµπές των συµβόλων από µία πηγή µε µνήµη, αναπαρασταίνονται µε το λεγόµενο διάγραµµα καταστάσεων της πηγής. Οι µεταπτώσεις σε ένα τέτοιο διάγραµµα δηλώνονται µε βέλη δίπλα στα οποία υπάρχει η αντίστοιχη πιθανότητα καθώς και το εκπεµπόµενο σύµβολο. Συνήθως το εκπεµπόµενο σύµβολο τοποθετείται σε ένα κύκλο δηλώνοντας και την αντίστοιχη κατάσταση της πηγής πληροφορίας. Για µία πηγή πληροφορίας µε µνήµη ης τάξης (δηλαδή πηγή στην οποία η εκποµπή ενός συµβόλου εξαρτάται από το προηγούµενο σύµβολο που εκπέµφθηκε) αποδεικνύεται, [,, ], ότι δίνεται από τη σχέση: όπου P ( j i) = Pij = ( ) ( ) H πηγ ή µε µνήµη ης τάξης Pi P j / i log P j / i (3.) i j / είναι η πιθανότητα να εκπεµφθεί το j σύµβολο της πηγής δεδοµένου ότι έχει σταλεί ήδη το i σύµβολο της πηγής (µνήµη ενός συµβόλου, m=) δηλαδή η υπό συνθήκη πιθανότητα. Σε αναλογία µε την πηγή πληροφορίας χωρίς µνήµη, ο ρυθµός εκποµπής πληροφορίας στο κανάλι για µία πηγή µε µνήµη θα δίνεται από τη σχέση:

12 R = r (3.) H πηγή µε µνήµη ης τάξης όπου στη σχέση (3.), r είναι ο ρυθµός εκποµπής των συµβόλων της πηγής (σε σύµβολα/sec) µε µνήµη. Αν µετά από ένα µετά από ένα αριθµό µεταπτώσεων µιας πηγής πληροφορίας είναι δυνατό να έχουµε µετάπτωση σε οποιαδήποτε άλλη κατάσταση µε µη µηδενική πιθανότητα, δηλαδή η πηγή δεν µπλοκάρεται σε ένα εκπεµπόµενο σύµβολο (δηλαδή σε απορροφητικό βρόχο) τότε η πηγή ονοµάζεται εργοδική πηγή. Για πηγή πληροφορίας µε µνήµη, οι µεταπτώσεις της µπορούν να περιγραφούν µε τη µήτρα πιθανοτήτων της µετάπτωσης δηλαδή τη µήτρα των P ( j / i) = Pij. Έτσι µία πηγή µε q σύµβολα µπορεί να περιγραφτεί µε την επόµενη µήτρα P τα στοιχεία της οποίας είναι τιµές πιθανοτήτων µετάπτωσης: P= p p, p, q, p p, p, q,... p... p,q... p,q q,q (3.3) Για παράδειγµα, έστω ότι µας δίνεται η επόµενη µήτρα µεταπτώσεων για µία πηγή πληροφορίας µε µνήµη: P= A B Γ A 3/4 /4 Β /3 /3 Γ /4 3/4 (3.4) Η προηγούµενη µήτρα ερµηνεύεται ως εξής: π.χ. η πιθανότητα 3/4 της πρώτης γραµµής και πρώτης στήλης είναι η πιθανότητα να σταλεί το σύµβολο Α δεδοµένου ότι έχει ήδη σταλεί το σύµβολο Α, η πιθανότητα /3 της τρίτης γραµµής και δεύτερης στήλης ερµηνεύεται ως η πιθανότητα να σταλεί το σύµβολο Γ δεδοµένου ότι έχει σταλεί το σύµβολο Β. ηλαδή οι µεταπτώσεις των συµβόλων της πηγής έχουν κατεύθυνση όπως δείχνει το βέλος. Το τέλος του βέλους δείχνει το εκπεµπόµενο σύµβολο και η αρχή του βέλους το σύµβολο που έχει προηγηθεί. Η προηγούµενη µήτρα µεταπτώσεων ισοδυναµεί µε το επόµενο διάγραµµα καταστάσεων της πηγής πληροφορίας:

13 /4 /3 3/4 Α Β /4 /3 Γ Με δεδοµένο το διάγραµµα καταστάσεων ή τη µήτρα µεταπτώσεων µιας πηγής πληροφορίας µπορούµε να υπολογίσουµε τις πιθανότητες εµφάνισης των συµβόλων της πηγής. Π.χ. για τη προηγούµενη πηγή µε εκπεµπόµενα σύµβολα τα Α, Β και Γ µπορεί να γραφτεί, µε τη βοήθεια της θεωρίας πιθανοτήτων, ότι: 3/4 P P P A Β Γ = P = P = P A/ A Β/ A Γ / A P A P A P A + P + P + P A/ B Β / B Γ / B P B P B P B + P + P + P A/ Γ Β/ Γ Γ / Γ P Γ P Γ P Γ (3.5) Οι εξισώσεις (3.5) αποτελούν σύστηµα 3 εξισώσεων µε 3 αγνώστους και µε αγνώστους τα P A, P Β, και P Γ (σύστηµα εξισώσεων 3x3). Το σύστηµα µπορεί να λυθεί είτε µε τη µέθοδο της αντικατάστασης είτε µε τη µέθοδο των οριζουσών. Έτσι γνωρίζοντας τις τιµές των P A, P Β, και P Γ µπορούµε για τη συγκεκριµένη πηγή µε µνήµη να υπολογίσουµε την τιµή της εντροπίας της χρησιµοποιώντας τη σχέση (3.) στην οποία όλες οι πιθανότητες που εµφανίζονται είναι τώρα γνωστές. Ασκήσεις. Ας θεωρήσουµε ότι η πηγή το παρακάτω σχήµατος είναι εργοδική πρώτης τάξης και ότι όλες οι µεταπτώσεις της διαρκούν ίσο χρόνο µsec.? Α /4 Β /3 /4 /3 Γ 3/4

14 α) Ποια είναι η θεωρητικά ελάχιστη χωρητικότητα καναλιού για τη µεταβίβαση των δεδοµένων της πηγής αυτής; β) Πόση θα ήταν η αναγκαία χωρητικότητα του καναλιού αν δεν λαµβάναµε υπόψη την ύπαρξη µνήµης; γ) Ποιο είναι το ελάχιστο εύρος ζώνης συχνοτήτων στις δύο αυτές περιπτώσεις αν επιδιώκουµε λόγο στην έξοδο του καναλιού ίσο µε 7dB;.Όλες οι µεταπτώσεις της πηγής του παρακάτω σχήµατος που θεωρείται εργοδική διαρκούν µsec. / /? Α /? Β /4? Γ α) Ποια είναι η θεωρητικά ελάχιστη χωρητικότητα ενός ιδανικού καναλιού για τη διαβίβαση των δεδοµένων της πηγής αυτής; β)υπό ποιο εύρος ζώνης συχνοτήτων θα έπρεπε να αποστέλλεται τότε η πληροφορία αν θέλαµε η ποιότητα του σήµατος στη λήψη να είναι SNR=5dB; γ) Κατά πόσο της εκατό θα ήταν µεγαλύτερο το εύρος ζώνης αν θεωρούσαµε την πηγή χωρίς µνήµη; 4. Κωδικοποίηση πηγής Γενικά, στη θεωρία της κωδικοποίησης δεδοµένων αλλά και στην πράξη συναντούµε δύο διαφορετικούς τύπους κωδικοποίησης δεδοµένων: α) την κωδικοποίηση πηγής (source coding) και β) την κωδικοποίηση καναλιού (channel coding). Η κωδικοποίηση πηγής είναι η διαδικασία που ακολουθεί αµέσως µετά την έξοδο µιας πηγής πληροφορίας. Σκοπός της κωδικοποίησης της πηγής είναι η ελαχιστοποίηση του απαιτούµενου µήκους της κωδικής λέξης που απαιτείται για να αναπαρασταθούν κατά µέσο όρο τα σύµβολα που παράγει η πηγή της πληροφορίας. ηλαδή αν γνωρίζουµε την εντροπία µιας πηγής πληροφορίας (σε bits/σύµβολο) γνωρίζουµε και το µέσο πλήθος των bits που απαιτούνται για να αναπαρασταθούν κατά µέσο όρο τα σύµβολα της πηγής. Έτσι στόχος της κωδικοποίησης της πηγής είναι να µειωθεί αυτό ακριβώς το πλήθος των ψηφίων του κώδικα που απαιτείται για να αναπαρασταθούν τα σύµβολα της πηγής. Αντίστοιχα, η κωδικοποίηση καναλιού έχει σκοπό την όσο το δυνατό αξιόπιστη µετάδοση των δεδοµένων σε ένα κανάλι µε θόρυβο (ενθόρυβο κανάλι). ηλαδή έχει σκοπό τη µείωση της επίδρασης του θορύβου του καναλιού στα εκπεµπόµενα δεδοµένα µε την ανίχνευση ή και την διόρθωση των λαθών (πιθανότητα λάθους) που οφείλονται στο θόρυβο του καναλιού επικοινωνίας. Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να ειπωθεί ότι αν το ποσοστό των λαθών σε ένα σύστηµα µετάδοσης είναι υψηλό τότε χρειάζονται πιο πολύπλοκες συσκευές για να µειωθεί η πιθανότητα λάθους και µάλιστα είναι δυνατό να 3

15 βελτιώσουµε το σύστηµα δηλαδή να ελαττώνουµε την πιθανότητα λάθους χρησιµοποιώντας όλο και πιο πολύπλοκες συσκευές αν ο ρυθµός εκποµπής πληροφορίας R είναι µικρότερος από τη χωρητικότητα του καναλιού επικοινωνίας C. 4. Κωδικοποίηση πηγής Huffman Στη δυαδική κωδικοποίηση πηγής Huffman, [,3,], για να παράγουµε τις κωδικές λέξεις που αντιστοιχούν στα σύµβολα της πηγής πληροφορίας, ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα: τοποθετούµε σε κατακόρυφη διάταξη τα εκπεµπόµενα σύµβολα της πηγής µε σειρά φθίνουσας πιθανότητας εµφάνισης των συµβόλων (το άθροισµα των πιθανοτήτων των εκπεµπόµενων συµβόλων θα πρέπει να είναι πάντα ίσο µε ) ξεκινώντας από τη µικρότερη πιθανότητα συµβόλου και την αµέσως µικρότερη από αυτή, τις προσθέτουµε και η νέα τιµή πιθανότητα που προκύπτει την τοποθετούµε στη σωστή θέση στην κατακόρυφη διάταξη φθίνουσας πιθανότητας εµφάνισης συµβόλων παράγοντας έτσι δίπλα στη προηγούµενη µία νέα κατακόρυφη διάταξη η διαδικασία αυτή συνεχίζεται έως να έχουµε µόνο δύο τιµές πιθανοτήτων στην κατακόρυφη διάταξη ακολουθούµε αντίστροφη διαδικασία τοποθετώντας δίπλα από τις δύο τελευταίες τιµές πιθανότητας το και το τα ψηφία ή (που έχουµε τοποθετήσει δίπλα στις δύο τελευταίες τιµές πιθανοτήτων) οδηγούνται µε αντίστροφη πορεία και σηµειώνονται δίπλα στις τιµές των πιθανοτήτων από τις οποίες οδηγηθήκαµε σε αυτά δίπλα στα ψηφία ή που έχουµε µεταφέρει, τοποθετούµε το και το ο συνδυασµός των και που έχει τώρα εµφανιστεί επαναλαµβάνεται µε την ίδια διαδικασία όπως και πριν έγινε για το και το τα προηγούµενα βήµατα επαναλαµβάνονται µέχρι να καταλήξουµε στην αρχική διάταξη φθίνουσας πιθανότητας εµφάνισης των συµβόλων οι κωδικές λέξεις που αντιστοιχούν στην κωδικοποίηση είναι αυτές που έχουν αποµείνει από τους προηγούµενους συνδυασµούς, χωρίς να έχουν µεταφερθεί προς τα πίσω (προς τα αριστερά), µε τη διαδικασία που περιγράφηκε στα προηγούµενα βήµατα. Παράδειγµα Έστω πηγή 6 συµβόλων τα οποία παρουσιάζουν τις επόµενες πιθανότητες εµφάνισης:: α :.4, α :.3, α 3 :., α 4 :., α 5 :.6, α 6 :.4. Τα σύµβολα αυτά κωδικοποιούνται µε δυαδική κωδικοποίηση Huffman όπως παρουσιάζεται στο επόµενο σχήµα: 4

16 σύµβολο P i (πιθανότητα εµφάνισης) α α α α 4... α 5.6. α 6.4 Παρατηρώντας τη διαδικασία του προηγουµένου σχήµατος, βλέπουµε ότι οι συνδυασµοί που έχουν αποµείνει χωρίς να έχουν µεταφερθεί αριστερά (αυτοί οι οποίοι στο προηγούµενο σχήµα δεν προέρχονται από ένα άθροισµα πιθανοτήτων δηλαδή δεν καταλήγουµε σε αυτούς µε την πορεία ενός βέλους) και οι οποίοι τελικά είναι οι κωδικές λέξεις που αντιστοιχούν στα σύµβολα της πηγής είναι οι επόµενοι: α α α 3 α 4 α 5 α 6 4. Κωδικοποίηση πηγής Shannon-Fano Στη µέθοδο αυτή κωδικοποίησης της πηγής πληροφορίας, ακολουθούµε τα επόµενα βήµατα: καταγράφουµε τα σύµβολα της πηγής κατά σειρά µειούµενης πιθανότητας χωρίζουµε το σύνολο σε οµάδες που να είναι όσο το δυνατό πλησιέστερα σε ίσες πιθανότητες (δηλαδή το άθροισµα σε κάθε µία οµάδα) και θέτουµε στην ανώτερη οµάδα και στην κατώτ6ερη οµάδα συνεχίζουµε χωρίζοντας κάθε φορά τις οµάδες µε όσο το δυνατό ίσες πιθανότητες µέχρι να µην είναι δυνατός ο περαιτέρω διαχωρισµός τους. Το µειονέκτηµα της συγκεκριµένη µεθόδου κωδικοποίησης πηγής είναι η αβεβαιότητα που υπάρχει στο µοίρασµα των οµάδων µε ίσες πιθανότητες. Παράδειγµα Έστω πηγή 6 συµβόλων τα οποία παρουσιάζουν τις επόµενες πιθανότητες εµφάνισης:: x :.3, x :.5, x 3 :., x 4 :., x 5 :.8, x 6 :.5. Τα σύµβολα αυτά κωδικοποιούνται µε δυαδική κωδικοποίηση Shannon-Fano όπως παρουσιάζεται στο επόµενο σχήµα: 5

17 σύµβολο P i Βήµα ο Βήµα ο Βήµα 3 ο Βήµα 4 ο Βήµα 5 ο (πιθανότητα εµφάνισης) x.3 x.5 x 3. x 4. x 5.8 x 6.5 Τελικά, οι κωδικές λέξεις που προκύπτουν παρουσιάζονται στον επόµενο πίνακα: x x x 3 x 4 x 5 x 6 Ασκήσεις µε απαντήσεις. Μία πηγή έχει τέσσερα σύµβολα x, x, x 3, x 4, µε αντίστοιχες πιθανότητες εµφάνισης /,/4,/8,/8. (Απάντηση: x :, x :, x 3 :, x 4 :). Μία πηγή πληροφορίας έχει 5 ισοπίθανα σύµβολα. 3. α) Να κατασκευαστεί κώδικας Shannon-Fano και να υπολογίσετε την απόδοσή του (Απάντηση: x :, x :, x 3 :, x 4 :, x 5 :) 4. β) Να κατασκευαστεί ένας άλλος κώδικας Shannon-Fano και να συγκριθεί η απόδοση µε τον προηγούµενο κώδικα (Απάντηση: x :, x :, x 3 :, x 4 :, x 5 :) γ) Να κωδικοποιήσετε την πηγή µε κωδικοποίηση Huffman και να συγκριθούν τα αποτελέσµατα (Απάντηση: x :, x :, x 3 :, x 4 :, x 5 :) 4.3 Τετραδική Κωδικοποίηση πηγής Huffman Είναι δυνατό η κωδικοποίηση πηγής Huffman να πραγµατοποιηθεί και το τετραδικό σύστηµα το οποίο έχει ως σύµβολα τα:,,,3 (τέσσερα σύµβολα). Η διαδικασία που εφαρµόζεται είναι η ίδια όπως και στο δυαδικό σύστηµα αλλά εδώ οι πιθανότητες αθροίζονται στη κατακόρυφη διάταξη ανά τέσσερις. Στη συνέχεια δίνεται ένα παράδειγµα και η κωδικοποίηση σε τετραδικό σύστηµα. 6

18 σύµβολο P i (πιθανότητα εµφάνισης) a.5.5 a.5.5 a a a a a Τελικά, οι κωδικές λέξεις που προκύπτουν στο τετραδικό σύστηµα παρουσιάζονται στον επόµενο πίνακα: a a a 3 a 4 a 5 a 6 a Μέσο µήκος κωδικής λέξης Μετά την κωδικοποίηση πηγής που εφαρµόζουµε κάθε φορά προκύπτουν οι κωδικές λέξεις που αντιστοιχούν στα σύµβολα της πηγής πληροφορίας. Για να υπολογίσουµε το µέσο µήκος L της κωδικής λέξης του κώδικα που παράχθηκε εφαρµόζουµε την επόµενη σχέση: i q L = = P i l i (4.) όπου l i είναι το µήκος (σε bits) της i-οστής κωδικής λέξης του κώδικα, η οποία παρουσιάζει αντίστοιχα πιθανότητα εµφάνισης P i (θεωρούµε ότι έχουµε q εκπεµπόµενα σύµβολα πηγής). Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να ειπωθεί ότι στα συστήµατα εκποµπής µία συνηθισµένη µέθοδος κωδικοποίησης είναι η διαµόρφωση-κωδικοποίηση P.C.M (Pulse Coded Modulation). Αν η πηγή πληροφορίας εκπέµπει q σύµβολα, τότε στο σύστηµα PCM απαιτούνται ανά εκπεµπόµενο σύµβολο k bits, για τα οποία πρέπει να ισχύει η επόµενη σχέση: k q (4.) 7

19 και βέβαια επιλέγουµε την ισότητα στην σχέση (4.) αν αυτή είναι δυνατή, διαφορετικά τη µικρότερη τιµή τoυ k για την οποία ισχύει η (4.). Ασκήσεις. Μία γλώσσα 7 συµβόλων χωρίς µνήµη παρουσιάζει τις πιο κάτω πιθανότητες εµφάνισης των συµβόλων: α :.5, α :.5, α 3 :.5, α 4 :.5, α 5 :.3, α 6 :.5, α 7 :.5. α) Βρείτε την εντροπία της και τον πλεονασµό της πηγής β) Κωδικοποιήστε την πηγή αυτή σε δυαδικό σύστηµα µε κώδικα Huffman γ) Βρείτε το µέσο µήκος κωδικής λέξης του κώδικα που δηµιουργήσατε καθώς και το πλεονασµό που προσθέτει ο κώδικας δ) Πόσο πλεονασµό θα εισήγαγε η κωδικοποίηση της πηγής σε σύστηµα PCM; 5. Απλοί Κώδικες Επανάληψης Η µετάδοση δεδοµένων µέσω ενός καναλιού επικοινωνίας το οποίο παρουσιάζει θόρυβο έχει ως χαρακτηριστικό την εµφάνιση λαθών κατά τη λήψη των εκπεµπόµενων συµβόλων (bit). Θα πρέπει να ειπωθεί ότι στην πράξη δεν υπάρχει κανάλι επικοινωνίας που να µην παρουσιάζει θόρυβο (δηλαδή αθόρυβο κανάλι). Το προηγούµενο πρόβληµα είναι δυνατό να λυθεί µερικά µε την πρόσθεση επιπλέον bits αλλά µε την συνεπακόλουθη µείωση του ρυθµού εκποµπής δεδοµένων. Η πρόσθεση επιπλέον bits µε σκοπό τη µείωση του ρυθµού λαθών στην αποκωδικοποίηση ονοµάζεται κωδικοποίηση. Η κωδικοποίηση χωρίζεται γενικά σε δύο κατηγορίες: τη γραµµική, µπλοκ κωδικοποίηση και τη συγκεραστική κωδικοποίηση, [,3,]. Στη µπλοκ κωδικοποίηση, οι ακολουθίες της εξόδου της πηγής πληροφορίας (µήνυµα πληροφορίας), µε µήκος k απεικονίζονται σε δυαδικές ακολουθίες (κωδικές λέξεις) µε µήκος n έτσι ώστε ο ρυθµός ή απόδοση του παραγοµένου κώδικα να είναι ίσος µε n k ανά εκποµπή, []. Ένας τέτοιος κώδικας ονοµάζεται κώδικας (n,k) και αποτελείται από k (πλήθος κωδικών λέξεων) κωδικές λέξεις µε µήκος n, οι οποίες πολλές φορές συµβολίζονται µε c, c,... c k. Στους κώδικες µπλοκ, η απεικόνιση των διαφόρων ακολουθιών εξόδου της πηγής πληροφορίας στις κωδικές λέξεις πραγµατοποιείται ανεξάρτητα και η έξοδος του κωδικοποιητή εξαρτάται µόνο από την τρέχουσα ακολουθία εξόδου της πηγής (ακολουθία εισόδου στον κωδικοποιητή) µήκους k και σε καµία περίπτωση από τις προηγούµενες ακολουθίες εισόδου στον αποκωδικοποιητή. Μία πολύ απλή περίπτωση µπλοκ κωδικοποίησης είναι ο απλός κώδικας επανάληψης. Σε έναν απλό κώδικα επανάληψης µε τον οποίο επιθυµούµε να εκπέµψουµε τα δυαδικά σύµβολα και σε ένα δυαδικό συµµετρικό κανάλι (BSC), αντί να εκπέµψουµε τα και, εκπέµπουµε αντίστοιχα µία ακολουθία από και στη θέση αντίστοιχα του και του. Το µήκος των δύο αυτών ακολουθιών επιλέγεται να είναι ένας περιττός αριθµός n. Έτσι, ένας απλός κώδικας επανάληψης µπορεί να παρασταθεί µε την παρακάτω αντιστοιχία: 8

20 n περιττός n περιττός (5.) Η διαδικασία της αποκωδικοποίησης (βασίζεται σε µία πλειοψηφική απόφαση: αν η πλειοψηφία (σε πλήθος) των λαµβανοµένων συµβόλων, είναι τα τότε αποφασίζεται ότι το εκπεµπόµενο bit είναι το. Αν αντίθετα, η πλειοψηφία των λαµβανοµένων συµβόλων είναι οι τότε αποφασίζεται ότι το εκπεµπόµενο bit είναι το. Στη διαδικασία της αποκωδικοποίησης, λάθος παρατηρείται όταν τουλάχιστον (n+)/ από τα εκπεµπόµενα bit έχουν ληφθεί λάθος. Αν το κανάλι επικοινωνίας είναι ένα BSC κανάλι, το οποίο εµφανίζει πιθανότητα λάθους στο εκπεµπόµενο bit ίση µε ε, τότε η πιθανότητα λάθους αποκωδικοποίησης για έναν απλό κώδικα επανάληψης (n,k) αποδεικνύεται ότι δίνεται από την παρακάτω σχέση: p e n = ε k ε k= ( n+ ) / n k ( ) n k (5.) Για παράδειγµα, σε έναν απλό κώδικα επανάληψης µε n=5 και ε=.= -3, η πιθανότητα λάθους είναι ίση µε: = k k p e. (.999) = 9.99 (5.3) k k= 3 5 Ασκήσεις. α) Στην περίπτωση που ένα κανάλι δηµιουργεί απλά σφάλµατα µε πιθανότητα ε= -3 / βρείτε την πιθανότητα εσφαλµένης διόρθωσης P ε και την πιθανότητα P ε αδυναµίας αναγνώρισης σφάλµατος για κωδικοποίηση επαναληπτική τριών φορών. / β) Αν γνωρίζουµε ότι το P ε είναι µικρότερο ή ίσο από - ποια είναι η χείριστη (χειρότερη) πιθανότητα ε που δεχόµαστε στο συγκεκριµένο κανάλι; 6. Γραµµικοί κώδικες Μπλοκ Οι γραµµικοί µπλοκ κώδικες είναι γενικά οι πιο ευρέως χρησιµοποιούµενοι κώδικες. Ένας κώδικας µπλοκ είναι γραµµικός αν ένας οποιαδήποτε γραµµικός συνδυασµός δύο κωδικών λέξεων του κώδικα αποτελεί, πάλι κωδική λέξη του συγκεκριµένου κώδικα, [,4,8]. Γενικά, οι γραµµικοί κώδικες µπλοκ περιγράφονται από τον πίνακα γεννήτορά τους G, ο οποίος είναι ένας ( k n ) δυαδικός πίνακας έτσι ώστε κάθε κωδική λέξη c του κώδικα να προκύπτει από τη σχέση: c = ug (6.) 9

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ-ΚΩ ΙΚΕΣ

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ-ΚΩ ΙΚΕΣ ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ-ΚΩ ΙΚΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ) T.E.I. ΛΑΜΙΑΣ ΛΑΜΙΑ 27 P i : πιθανότητα εµφάνισης του i γεγονότος ποσότητα πληροφορίας που µεταφέρει το γεγονός I: I P I = log b P = log b P Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 9 : Κανάλι-Σύστημα Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Χωρητικότητα Χ ό καναλιού Το Gaussian κανάλι επικοινωνίας Τα διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Nέες Τεχνολογίες. στις Επικοινωνίες

Nέες Τεχνολογίες. στις Επικοινωνίες Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Nέες Τεχνολογίες στις Επικοινωνίες Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Κώδικες Διόρθωσης Λαθών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 10 : Κωδικοποίηση καναλιού Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Απόσταση και βάρος Hamming Τεχνικές και κώδικες ανίχνευσης &

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ 5. Εισαγωγή Ο σκοπός κάθε συστήματος τηλεπικοινωνιών είναι η μεταφορά πληροφορίας από ένα σημείο (πηγή) σ ένα άλλο (δέκτης). Συνεπώς, κάθε μελέτη ενός τέτοιου συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Πληροφορίας: Χωρητικότητα Καναλιού Χωρητικότητα Καναλιού Η θεωρία πληροφορίας περιλαμβάνει μεταξύ άλλων: κωδικοποίηση πηγής κωδικοποίηση καναλιού Κωδικοποίηση πηγής: πόση

Διαβάστε περισσότερα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα 1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα Δεκαδικοί Αριθµοί Βάση : 10 Ψηφία : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Αριθµοί: Συντελεστές Χ δυνάµεις του 10 7392.25 = 7x10 3 + 3x10 2 + 9x10 1 + 2x10 0 + 2x10-1 + 5x10-2

Διαβάστε περισσότερα

Καναλιού. Καναλιού. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Κατηγορίες Κωδικών Καναλιού. Τι πετυχαίνει η Κωδ. Καναλιού. Κωδικοποίηση Καναλιού.

Καναλιού. Καναλιού. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Κατηγορίες Κωδικών Καναλιού. Τι πετυχαίνει η Κωδ. Καναλιού. Κωδικοποίηση Καναλιού. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Πηγή Δεδομένων Κωδικοποίηση Καναλιού Κώδικας Πηγής Κώδικας Καναλιού Διαμόρφωση Κανάλι Δέκτης Δεδομένων Αποκωδ/ση Πηγής Αποκωδ/ση Καναλιού Αποδιαμόρφωση Κωδικοποίηση Καναλιού

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στο µάθηµα «Επισκόπηση των Τηλεπικοινωνιών»

Ασκήσεις στο µάθηµα «Επισκόπηση των Τηλεπικοινωνιών» Ασκήσεις στο µάθηµα «Επισκόπηση των Τηλεπικοινωνιών» Άσκηση 1 Πρόκειται να µεταδώσουµε δυαδικά δεδοµένα σε RF κανάλι µε. Αν ο θόρυβος του καναλιού είναι Gaussian - λευκός µε φασµατική πυκνότητα W, να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΩΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΔΡΟΜΟΥ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗΣ BCC (1) (Υπολογισμός Συνδρόμου)

ΚΥΚΛΩΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΔΡΟΜΟΥ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗΣ BCC (1) (Υπολογισμός Συνδρόμου) ΚΥΚΛΩΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΔΡΟΜΟΥ... Πύλη Ανασύζευξη πριν την ολίσθηση g g g -k- + s o + s +... + S -k- Πύλη Διάνυσμα λήψης R(x) Κύκλωμα ανάλογο με αυτό του κωδικοποιητή Βήματα:. iitializatio s i = πύλη off,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς

ιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς ιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς Για πηγές διακριτού χρόνου µε συνεχές αλφάβητο, των οποίων οι έξοδοι είναι πραγµατικοί αριθµοί, ορίζεται µια άλλη ποσότητα που µοιάζει µε την εντροπία και καλείται

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων Τα σύγχρονα συστήµατα επικοινωνίας σε πολύ µεγάλο ποσοστό διαχειρίζονται σήµατα ψηφιακής µορφής, δηλαδή, σήµατα που δηµιουργούνται από ακολουθίες δυαδικών ψηφίων. Τα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΚΑΙ ΙΟΡΘΩΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΚΑΙ ΙΟΡΘΩΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Θεωρία-Εισαγωγή ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΚΑΙ ΙΟΡΘΩΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Τα σφάλµατα µετάδοσης στις τηλεπικοινωνιακές γραµµές προκαλούνται από µία ποικιλία φυσικών φαινοµένων. Ένα φαινόµενο το οποίο είναι πάντοτε παρόν είναι ο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ: «ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ-ΚΩ ΙΚΕΣ» ρ. ΒΑΡΖΑΚΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 : Πηγές Πληροφορίας Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Διακριτές Πηγές Πληροφορίας χωρίς μνήμη Ποσότητα πληροφορίας της πηγής Κωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΥΡΟΣ ΖΩΝΗΣ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΙΑΚΡΙΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Η ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΕΥΡΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου ακαδηµαϊκού έτους 29-2 Τρίτη, 3 Αυγούστου 2 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία πληροφοριών. Τεχνολογία Πολυµέσων 07-1

Θεωρία πληροφοριών. Τεχνολογία Πολυµέσων 07-1 Θεωρία πληροφοριών Εισαγωγή Αµοιβαία πληροφορία Εσωτερική πληροφορία Υπό συνθήκη πληροφορία Παραδείγµατα πληροφορίας Μέση πληροφορία και εντροπία Παραδείγµατα εντροπίας Εφαρµογές Τεχνολογία Πολυµέσων 07-

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

Κωδικοποίηση Πηγής. Η λειτουργία ενός συστήματος επικοινωνίας (γενικό διάγραμμα):

Κωδικοποίηση Πηγής. Η λειτουργία ενός συστήματος επικοινωνίας (γενικό διάγραμμα): Κωδικοποίηση Πηγής Η λειτουργία ενός συστήματος επικοινωνίας (γενικό διάγραμμα): Coder Decoder Μεταξύ πομπού-καναλιού παρεμβάλλεται ο κωδικοποιητής (coder). Έργο του: η αντικατάσταση των συμβόλων πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 : Θόρυβος Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Είδη θορύβου Περιγραφή θορύβου Θεώρημα Shannon Hartley Απόδοση ισχύος και εύρους

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακοί Υπολογιστές

Ψηφιακοί Υπολογιστές 1 η Θεµατική Ενότητα : υαδικά Συστήµατα Ψηφιακοί Υπολογιστές Παλαιότερα οι υπολογιστές χρησιµοποιούνταν για αριθµητικούς υπολογισµούς Ψηφίο (digit) Ψηφιακοί Υπολογιστές Σήµατα (signals) : διακριτά στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Σ ή. : υαδικά. Ε ό. ή Ενότητα

Σ ή. : υαδικά. Ε ό. ή Ενότητα 1η Θεµατική Θ ή Ενότητα Ε ό : υαδικά δ ά Συστήµατα Σ ή Μονάδα Ελέγχου Ψηφιακοί Υπολογιστές Αριθµητική Μονάδα Κρυφή Μνήµη Μονάδα Μνήµης ιαχείριση Μονάδων Ι/Ο ίσκοι Οθόνες ικτυακές Μονάδες Πληκτρολόγιο,

Διαβάστε περισσότερα

Παλμοκωδική Διαμόρφωση. Pulse Code Modulation (PCM)

Παλμοκωδική Διαμόρφωση. Pulse Code Modulation (PCM) Παλμοκωδική Διαμόρφωση Pulse Code Modulation (PCM) Pulse-code modulation (PCM) Η PCM είναι ένας στοιχειώδης τρόπος διαμόρφωσης που δεν χρησιμοποιεί φέρον! Το μεταδιδόμενο (διαμορφωμένο) σήμα PCM είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΣΕ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΔΙΚΤΥΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΣΕ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΣΕ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ: Κυκλικός Έλεγχος Πλεονασμού CRC codes Cyclic Redundancy Check codes Ο μηχανισμός ανίχνευσης σφαλμάτων στις επικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Εισαγωγή στα Συστήματα Τηλεπικοινωνιών Συστήματα Παλμοκωδικής Διαμόρφωσης

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Εισαγωγή στα Συστήματα Τηλεπικοινωνιών Συστήματα Παλμοκωδικής Διαμόρφωσης Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Εισαγωγή στα Συστήματα Τηλεπικοινωνιών Συστήματα Παλμοκωδικής Διαμόρφωσης Καθηγητής Ι. Τίγκελης itigelis@phys.uoa.gr ΚΒΑΝΤΙΣΗ Διαδικασία με την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 4: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Θεωρητικές Ασκήσεις (# ): ειγµατοληψία, κβαντοποίηση και συµπίεση σηµάτων. Στην τηλεφωνία θεωρείται ότι το ουσιαστικό περιεχόµενο της

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Πολυµέσων Ενδιάµεση Εξέταση: Οκτώβριος 2004

Συστήµατα Πολυµέσων Ενδιάµεση Εξέταση: Οκτώβριος 2004 Ενδιάµεση Εξέταση: Οκτώβριος 4 ΜΕΡΟΣ Β: ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση (25 µονάδες): Μια εικόνα αποχρώσεων του γκρι και διαστάσεων 25 x pixel έχει κωδικοποιηθεί κατά PCM µε βάθος χρώµατος 3 bits /pixel. Οι τιµές φωτεινότητας

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα

Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα Ένα συνδυαστικό λογικό κύκλωμα συντίθεται από λογικές πύλες, δέχεται εισόδους και παράγει μία ή περισσότερες εξόδους. Στα συνδυαστικά λογικά κυκλώματα οι έξοδοι σε κάθε χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Επισκόπηση των Τηλεπικοινωνιών

Μάθημα Επισκόπηση των Τηλεπικοινωνιών Μάθημα Επισκόπηση των Τηλεπικοινωνιών Κωδικοποίηση Πηγής & Καναλιού Μάθημα 8 ο 9 ο ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τομέας Επικοινωνιών και Επεξεργασίας Σήματος Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Παλμοκωδική Διαμόρφωση. Pulse Code Modulation (PCM)

Παλμοκωδική Διαμόρφωση. Pulse Code Modulation (PCM) Παλμοκωδική Διαμόρφωση Pulse Code Modulation (PCM) Pulse-code modulation (PCM) Η PCM είναι ένας στοιχειώδης τρόπος διαμόρφωσης που δεν χρησιμοποιεί φέρον! Το μεταδιδόμενο (διαμορφωμένο) σήμα PCM είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Κωδικοποίηση Αναλογικής Πηγής: Κβάντιση Εισαγωγή Αναλογική πηγή: μετά από δειγματοληψία γίνεται διακριτού χρόνου άπειρος αριθμός bits/έξοδο για τέλεια αναπαράσταση Θεωρία Ρυθμού-Παραμόρφωσης

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές διόρθωσης και ανίχνευσης σφαλµάτων

Τεχνικές διόρθωσης και ανίχνευσης σφαλµάτων Τεχνικές διόρθωσης και ανίχνευσης σφαλµάτων Εντοπισµός σφαλµάτων Εντοπισµός ιόρθωση Προστίθενται bit πλεονασµού Αν µπορεί διορθώνει, (forward error correction) αλλιώς ζητά επανεκποµπή (backward error correction)

Διαβάστε περισσότερα

Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης

Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Ακαδημαϊκό Έτος 009-010 Ψ Η Φ Ι Α Κ Ε Σ Τ Η Λ Ε Π Ι Κ Ο Ι Ν Ω Ν Ι ΕΣ η Εργαστηριακή Άσκηση: Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης Στην άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Ασκηση 2- Κυκλικοί Κώδικες

Εργαστηριακή Ασκηση 2- Κυκλικοί Κώδικες Εργαστηριακή άσκηση 2 Θεωρία ΚΩ ΙΚΕΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Οι κώδικες διόρθωσης σφαλµάτων χρησιµοποιούνται µερικές φορές για µετάδοση δεδοµένων, για παράδειγµα, όταν το κανάλι είναι µονόδροµο (simplex)

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 1. 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9

Πρόλογος 1. 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9 Πρόλογος 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 7 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9 1.1 Η αριθµητική υπολοίπων.............. 10 1.2 Η πολυωνυµική αριθµητική............ 14 1.3 Θεωρία πεπερασµένων οµάδων και σωµάτων.... 17 1.4 Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Πληροφορίας: Κωδικοποίηση Πηγής Ψηφιακή Μετάδοση Υπάρχουν ιδιαίτερα εξελιγμένες τεχνικές αναλογικής μετάδοσης (που ακόμη χρησιμοποιούνται σε ορισμένες εφαρμογές) Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική αναπαράσταση ενός ψηφιακού σήµατος

Γραφική αναπαράσταση ενός ψηφιακού σήµατος γ) Ψηφιακάτα x (n) 3 2 1 1 2 3 n Γραφική αναπαράσταση ενός ψηφιακού σήµατος Αφού δειγµατοληπτηθεί και κβαντιστεί η έξοδος µιας αναλογικής πηγής πληροφορίας, δηµιουργείταιµιαακολουθίααπόκβαντισµένεςτιµές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα ιοικητικής Επιστήµης & Τεχνολογίας ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο 2 Αριθµητικά Συστήµατα και Αριθµητική Υπολογιστών Γιώργος Γιαγλής Περίληψη Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση Σύνδεση με τα Προηγούμενα Σχεδιάστηκε ο βέλτιστος δέκτης για κανάλι AWGN Επειδή πάντοτε υπάρχει ο θόρυβος, ακόμη κι ο βέλτιστος δέκτης

Διαβάστε περισσότερα

Συμπίεση Δεδομένων

Συμπίεση Δεδομένων Συμπίεση Δεδομένων 2014-2015 Κβάντιση Δρ. Ν. Π. Σγούρος 2 Αναλογικά Ψηφιακά Σήματα Αναλογικό Σήμα x t, t [t min, t max ], x [x min, x max ] Δειγματοληψία t n, x t x n, n = 1,, N Κβάντιση x n x(n) 3 Αλφάβητο

Διαβάστε περισσότερα

5. ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΕ ΘΟΡΥΒΟ

5. ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΕ ΘΟΡΥΒΟ 5. ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΕ ΘΟΡΥΒΟ Κατά τη µετάδοση πληροφορίας σε ένα σύστηµα επικοινωνίας συνήθως υπάρχει θόρυβος, δηλαδή κάποια µορφή αλλοίωσης του σήµατος. Στο δυαδικό κανάλι για παράδειγµα, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ (2)

ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ (2) ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ () P e συνάρτηση των S/N και r b (B) Συμβάσεις κανονισμοί για τα S, B Φασματική πυκνότητα θορύβου καθορισμένη Πολυπλοκότητα και κόστος συστήματος ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΝΑΛΙΟΥ Καλά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ22 (2012-13) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #5 Στόχος Βασικό στόχο της 5 ης εργασίας αποτελεί η εξοικείωση με τις έννοιες και τα μέτρα επικοινωνιακών καναλιών (Κεφάλαιο 3), καθώς και με έννοιες και τεχνικές της

Διαβάστε περισσότερα

Κώδικες µεταβλητού µήκους

Κώδικες µεταβλητού µήκους 6 Κώδικες µεταβλητού µήκους Στο κεφάλαιο αυτό µελετώνται οι κώδικες µεταβλητού µήκους, στους οποίους όλες οι λέξεις δεν έχουν το ίδιο µήκος και δίνονται οι µέ- ϑοδοι Fano-Shannon και Huffman για την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

( ) log 2 = E. Σεραφείµ Καραµπογιάς

( ) log 2 = E. Σεραφείµ Καραµπογιάς Παρατηρούµε ότι ο ορισµός της Η βασίζεται στη χρονική µέση τιµή. Για να ισχύει ο ορισµός αυτός και για µέση τιµή συνόλου πρέπει η πηγή να είναι εργοδική, δηλαδή H ( X) ( ) = E log 2 p k Η εντροπία µιας

Διαβάστε περισσότερα

Σταθερή περιβάλλουσα (Constant Envelope)

Σταθερή περιβάλλουσα (Constant Envelope) Διαμόρφωση ολίσθησης φάσης (Phase Shift Keying-PSK) Σταθερή περιβάλλουσα (Constant Envelope) Ίση Ενέργεια συμβόλων 1 Binary Phase Shift keying (BPSK) BPSK 2 Quaternary Phase Shift Keying (QPSK) 3 Αστερισμός-Διαγράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Δίαυλος Πληροφορίας. Δρ. Α. Πολίτης

Δίαυλος Πληροφορίας. Δρ. Α. Πολίτης Δίαυλος Πληροφορίας Η λειτουργία του διαύλου πληροφορίας περιγράφεται από: Τον πίνακα διαύλου μαθηματική περιγραφή. Το διάγραμμα διάυλου παραστατικός τρόπος περιγραφής. Πίνακας Διαύλου Κατασκευάζεται με

Διαβάστε περισσότερα

Τετάρτη 5-12/11/2014. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ

Τετάρτη 5-12/11/2014. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ Τετάρτη 5-12/11/2014 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΣ: ΤΡΟΧΙΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 1. Παράσταση και οργάνωση δεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Εργαστήριο 8 ο. Αποδιαμόρφωση PAM-PPM με προσαρμοσμένα φίλτρα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Εργαστήριο 8 ο. Αποδιαμόρφωση PAM-PPM με προσαρμοσμένα φίλτρα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Εργαστήριο 8 ο Αποδιαμόρφωση PAM-PPM με προσαρμοσμένα φίλτρα Βασική Θεωρία Σε ένα σύστημα μετάδοσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 4η διάλεξη (4η έκδοση, 11/3/2013)

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 4η διάλεξη (4η έκδοση, 11/3/2013) ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 4η διάλεξη (4η έκδοση, 11/3/2013) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 5 Μαρτίου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης Θεωρία Ρυθμού-Παραμόρφωσης Θεώρημα Κωδικοποίησης Πηγής: αν έχω αρκετά μεγάλο μπλοκ δεδομένων, μπορώ να φτάσω κοντά στην εντροπία Πιθανά Προβλήματα: >

Διαβάστε περισσότερα

Συμπίεση Δεδομένων

Συμπίεση Δεδομένων Συμπίεση Δεδομένων 2014-2015 Ρυθμός κωδικοποίησης Ένας κώδικας που απαιτεί L bits για την κωδικοποίηση μίας συμβολοσειράς N συμβόλων που εκπέμπει μία πηγή έχει ρυθμό κωδικοποίησης (μέσο μήκος λέξης) L

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Επιδόσεις της σύνδεσης για κάλυψη µε κεραία πολλαπλής δέσµης σε σχέση µε κάλυψη µε κεραία απλής δέσµης

Επιδόσεις της σύνδεσης για κάλυψη µε κεραία πολλαπλής δέσµης σε σχέση µε κάλυψη µε κεραία απλής δέσµης Επιδόσεις της σύνδεσης για κάλυψη µε κεραία πολλαπλής δέσµης σε σχέση µε κάλυψη µε κεραία απλής δέσµης Η συνολική ποιότητα της σύνδεσης µέσω ραδιοσυχνοτήτων εξαρτάται από την 9000 απολαβή της κεραίας του

Διαβάστε περισσότερα

Σεραφείµ Καραµπογιάς. Πηγές Πληροφορίας και Κωδικοποίηση Πηγής 6.3-1

Σεραφείµ Καραµπογιάς. Πηγές Πληροφορίας και Κωδικοποίηση Πηγής 6.3-1 Ο αλγόριθµος Lempel-iv Ο αλγόριθµος Lempel-iv ανήκει στην κατηγορία των καθολικών universal αλγορίθµων κωδικοποίησης πηγής δηλαδή αλγορίθµων που είναι ανεξάρτητοι από τη στατιστική της πηγής. Ο αλγόριθµος

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης Κωδικοποίηση Πηγής Coder Decoder Μεταξύ πομπού και καναλιού παρεμβάλλεται ο κωδικοποιητής (coder). Έργο του: η αντικατάσταση των συμβόλων πληροφορίας της πηγής με εναλλακτικά σύμβολα ή λέξεις. Κωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 3 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst15

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-2 ΕΙΣΑΓ. ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΦΡΟΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-2 ΕΙΣΑΓ. ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Πρόβλημα 24 a. Να υπολογίσετε το δείκτη d 2 min/eb για ένα 16-QAM. b. Να υπολογίσετε το [(d 2 min/eb)16qam/(d 2 min/eb)qpsk]db. c. Αν θεωρήσουμε ότι το μέγεθος των αστερισμών του Ερωτήματος b) έχουν επιλεγεί

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερη Σειρά Ασκήσεων

Δεύτερη Σειρά Ασκήσεων Δεύτερη Σειρά Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Από ένα αθόρυβο κανάλι 4 khz παίρνουμε δείγματα κάθε 1 msec. - Ποιος είναι ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης δεδομένων; - Πώς μεταβάλλεται ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης δεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

Ευρυζωνικά δίκτυα (2) Αγγελική Αλεξίου

Ευρυζωνικά δίκτυα (2) Αγγελική Αλεξίου Ευρυζωνικά δίκτυα (2) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1 Σήματα και πληροφορία Βασικές έννοιες 2 Αναλογικά και Ψηφιακά Σήματα Στις τηλεπικοινωνίες συνήθως χρησιμοποιούμε περιοδικά αναλογικά σήματα και

Διαβάστε περισσότερα

Θα λύσετε ένα από τα έξι πακέτα ασκήσεων που ακολουθούν, τα οποία είναι αριθµηµένα από 0 έως5. Ο κάθε φοιτητής βρίσκει το πακέτο που του αντιστοιχεί

Θα λύσετε ένα από τα έξι πακέτα ασκήσεων που ακολουθούν, τα οποία είναι αριθµηµένα από 0 έως5. Ο κάθε φοιτητής βρίσκει το πακέτο που του αντιστοιχεί Θα λύσετε ένα από τα έξι πακέτα ασκήσεων που ακολουθούν, τα οποία είναι αριθµηµένα από 0 έως5. Ο κάθε φοιτητής βρίσκει το πακέτο που του αντιστοιχεί από τον αριθµό µητρώου του. Συγκεκριµένα υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 5: Χαρακτηριστικά της Κ.Μ.Ε.

Μάθημα 5: Χαρακτηριστικά της Κ.Μ.Ε. Μάθημα 5: Χαρακτηριστικά της Κ.Μ.Ε. 5.1 Το ρολόι Κάθε μία από αυτές τις λειτουργίες της Κ.Μ.Ε. διαρκεί ένα μικρό χρονικό διάστημα. Για το συγχρονισμό των λειτουργιών αυτών, είναι απαραίτητο κάποιο ρολόι.

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση πληροφορίας - Διαμόρφωση

Μετάδοση πληροφορίας - Διαμόρφωση ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ. Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μετάδοση πληροφορίας - Διαμόρφωση MYE006-ΠΛΕ065: ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΑ Ευάγγελος Παπαπέτρου Διάρθρωση μαθήματος Βασικές έννοιες μετάδοσης Διαμόρφωση ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις

Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Περιεχόμενα 1 Δυαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 8 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst15

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στα Συστήµατα Ηλεκτρονικών Επικοινωνιών Κεφάλαιο 3 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ και ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ

Ασκήσεις στα Συστήµατα Ηλεκτρονικών Επικοινωνιών Κεφάλαιο 3 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ και ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Κεφάλαιο 3 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ και ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 1. Ποµπός ΑΜ εκπέµπει σε φέρουσα συχνότητα 1152 ΚΗz, µε ισχύ φέροντος 10KW. Η σύνθετη αντίσταση της κεραίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Συστημάτων Πολυμέσων

Θέματα Συστημάτων Πολυμέσων Θέματα Συστημάτων Πολυμέσων Ενότητα # 6: Στοιχεία Θεωρίας Πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος K. Πολύζος Τμήμα: Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Επιστήμη των Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η διάλεξη

ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η διάλεξη ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 15 Μαρτίου 2010 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. / 2. Οι όροι Eb. και Ec

1 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. / 2. Οι όροι Eb. και Ec Τµήµα Μηχανικών Υπολογιστών, Τηλεπικοινωνιών και ικτύων ΗΥ 44: Ασύρµατες Επικοινωνίες Εαρινό Εξάµηνο -3 ιδάσκων: Λέανδρος Τασιούλας η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Θεωρήστε ένα κυψελωτό σύστηµα, στο οποίο ισχύει το

Διαβάστε περισσότερα

Δίαυλος Πληροφορίας. Η λειτουργία του περιγράφεται από:

Δίαυλος Πληροφορίας. Η λειτουργία του περιγράφεται από: Δίαυλος Πληροφορίας Η λειτουργία του περιγράφεται από: Πίνακας Διαύλου (μαθηματική περιγραφή) Διάγραμμα Διαύλου (παραστατικός τρόπος περιγραφής της λειτουργίας) Πίνακας Διαύλου Χρησιμοποιούμε τις υπό συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση πληροφορίας - Διαμόρφωση

Μετάδοση πληροφορίας - Διαμόρφωση Μετάδοση πληροφορίας - Διαμόρφωση MYE006: ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΑ Ευάγγελος Παπαπέτρου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ. Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Διάρθρωση μαθήματος Μετάδοση Βασικές έννοιες Διαμόρφωση ορισμός είδη

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο Επικοινωνίας Δεδομένων. Επικοινωνίες Δεδομένων Μάθημα 6 ο

Μοντέλο Επικοινωνίας Δεδομένων. Επικοινωνίες Δεδομένων Μάθημα 6 ο Μοντέλο Επικοινωνίας Δεδομένων Επικοινωνίες Δεδομένων Μάθημα 6 ο Εισαγωγή Με τη βοήθεια επικοινωνιακού σήματος, κάθε μορφή πληροφορίας (κείμενο, μορφή, εικόνα) είναι δυνατόν να μεταδοθεί σε απόσταση. Ανάλογα

Διαβάστε περισσότερα

//009 Βασικές εργασίες του επιπέδου ζεύξης ηµιουργία πλαισίων Έλεγχος σφαλµάτων Έλεγχος ροής Σχέση µεταξύ πακέτων (επιπέδου δικτύου) και πλαισίων (επι

//009 Βασικές εργασίες του επιπέδου ζεύξης ηµιουργία πλαισίων Έλεγχος σφαλµάτων Έλεγχος ροής Σχέση µεταξύ πακέτων (επιπέδου δικτύου) και πλαισίων (επι //009 Επίπεδο ζεύξης δεδοµένων Εφαρµογών Παρουσίασης Συνόδου ιακίνησης ικτύου Ζεύξης Ζεύξης Φυσικό Τι κάνει το επίπεδο ζεύξης Χρησιµοποιεί τις υπηρεσίες του φυσικού επιπέδου, ήτοι την (ανασφαλή) µεταφορά

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 1: Αρχές Κινητών Επικοινωνιών

Εργαστήριο 1: Αρχές Κινητών Επικοινωνιών 1.1 Βασικές μετατροπές Εργαστήριο 1: Αρχές Κινητών Επικοινωνιών Όταν μας ενδιαφέρει ο υπολογισμός μεγεθών σχετικών με στάθμες ισχύος εκπεμπόμενων σημάτων, γίνεται χρήση και της λογαριθμικής κλίμακας με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Διάλεξη 6 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst215

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 7: Θεωρία πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 7: Θεωρία πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 7: Θεωρία πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡ/ΚΗΣ & ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ. Γ. ΓΑΡΔΙΚΗΣ. Δορυφορική ψηφιακή τηλεόραση

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡ/ΚΗΣ & ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ. Γ. ΓΑΡΔΙΚΗΣ. Δορυφορική ψηφιακή τηλεόραση ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡ/ΚΗΣ & ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ. Γ. ΓΑΡΔΙΚΗΣ 4 Δορυφορική ψηφιακή τηλεόραση Δορυφορική τηλεόραση: Η εκπομπή και λήψη του τηλεοπτικού σήματος από επίγειους σταθμούς μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 14 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: hp://ecla.uop.gr/coure/s15 e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρώτο Κεφάλαιο. Εισαγωγή στα Ψηφιακά Συστήματα. Δεύτερο Κεφάλαιο. Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες

Περιεχόμενα. Πρώτο Κεφάλαιο. Εισαγωγή στα Ψηφιακά Συστήματα. Δεύτερο Κεφάλαιο. Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες Πρώτο Κεφάλαιο Εισαγωγή στα Ψηφιακά Συστήματα 1.1 Αναλογικά και Ψηφιακά Σήματα και Συστήματα... 1 1.2 Βασικά Ψηφιακά Κυκλώματα... 3 1.3 Ολοκληρωμένα κυκλώματα... 4 1.4 Τυπωμένα κυκλώματα... 7 1.5 Εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. Επικοινωνίες εδοµένων: Τρόποι Μετάδοσης και Πρωτόκολλα. Εισαγωγή

Περιεχόµενα. Επικοινωνίες εδοµένων: Τρόποι Μετάδοσης και Πρωτόκολλα. Εισαγωγή Επικοινωνίες εδοµένων: Τρόποι Μετάδοσης και Πρωτόκολλα Περιεχόµενα Εισαγωγή Επικοινωνία εδοµένων Αναλογική vs. Ψηφιακή Μετάδοση ιαµόρφωση σήµατος Κανάλια επικοινωνίας Κατεύθυνση και ρυθµοί µετάδοσης Ασύγχρονη

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ και ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σκοπός: Η κατανόηση της σχέσης µιας λογικής συνάρτησης µε το αντίστοιχο κύκλωµα. Η απλοποίηση λογικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 5: Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 5: Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 5: Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο πραγματικός κόσμος είναι ένας αναλογικός κόσμος. Όλα τα μεγέθη παίρνουν τιμές με άπειρη ακρίβεια. Π.χ. το ηλεκτρικό σήμα τάσης όπου κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 17 Μαΐου 2011 (2η έκδοση, 21/5/2011) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος

Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός aplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος A R B i( ) i

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 2 Ιουνίου 2015 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχ. Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα κωδικοποίησης πηγής

Θεώρημα κωδικοποίησης πηγής Κωδικοποίηση Kωδικοποίηση πηγής Θεώρημα κωδικοποίησης πηγής Καθορίζει ένα θεμελιώδες όριο στον ρυθμό με τον οποίο η έξοδος μιας πηγής πληροφορίας μπορεί να συμπιεσθεί χωρίς να προκληθεί μεγάλη πιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα