ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ (2)

Transcript

1 ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ () P e συνάρτηση των S/N και r b (B) Συμβάσεις κανονισμοί για τα S, B Φασματική πυκνότητα θορύβου καθορισμένη Πολυπλοκότητα και κόστος συστήματος ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΝΑΛΙΟΥ Καλά υπολογισμένη χρήση πλεονασμού ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ () Μήνυμα {b } r b D ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗΣ ΚΑΝΑΛΙΟΥ w { } r r b n/ ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΗΣ P e { bˆ b } ε Κωδικές λέξεις των n bts μηνύματος n- ελέγχου ΕΝΘΟΡΥΒΟ ΚΑΝΑΛΙ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ Blos των bts Κ.Λ. των n bts ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗΣ ΚΑΝΑΛΙΟΥ { bˆ ˆ } }, r b {, r ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΤΗΣ r < P e < q

2 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ () -Τηλεφωνική ζεύξη Εύρος ζώνης ΒHz Μέγιστο S/N εξόδου: B r b bts/se r,4,6 bts/se q (r ) -4,4-4,8-4 Να σχεδιαστεί σύστημα κωδικοποίησης ελέγχου σφάλματος που να οδηγήσει σε ολική πιθανότητα σφάλματος P e < -4 Λύση: S Blog + () N S S log B N B N S, () N ()+() bts/se, αφού r b < μπορούμε να μεταδώσουμε δεδομένα με πιθανότητα όσο μικρή θέλουμε (Shannon) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ () Έστω κωδικ/ση που στέλνει αντί για b και b, τις τριάδες και (κωδ.λέξεις) Ρυθμός δεδομένων από κωδικ/τή r 6 bts/se πιθανότητα σφάλματος του moem (καναλιού) q 8-4 Αποκωδικοπίηση Πλειοψηφικής Λογικής Λαμβανόμενη Τριάδα bt bˆ μήνυμα εξόδου Αν δεν κάναμε κωδικοποίηση P e -4 Κωδικοποίηση Λάθοςστηνέξοδομόνοναντα ήκαιτα bts της τριάδας είναι λάθος λόγω θορύβου: () Τότε: P ( ή περισσότερα bts της τριάδας εσφαλμένα) e { bˆ b } Όμως αν q : πιθανότητα να βρεθεί ένα bt εσφαλμένο - q : πιθανότητα να βρεθεί ένα bt σωστό

3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ () Σε μια n-άδα bts - Πιθανότητα να βρεθούν bts εσφαλμένα: q - Πιθανότητα να βρεθούν τα n- bts σωστά: ( ) n q Η συνολική πιθανότητα για να βρεθούν εσφαλμάνα και n- σωστά σε μια n n-άδα είναι: q q ( ) Οι δυνατοί συνδυασμοί των n bts με εσφαλμένα δίνονται από τις διατάξεις των: n n!!(n )! n Pe q q Διωνυμική κατανομή: ( ) n ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ (4) Pe q q και η (): ( ) με q Pe.99 < -4 Συμπεράσματα:. Δυνατή η ανίχνευση ή διόρθωση λαθών. Δεν είναι δυνατή η διόρθωση όλων των σφαλμάτων. Περιορίζεται ο πραγματικός ρυθμός μετάδοσης δεδομένων μέσα από το κανάλι Απόδοση ρυθμού μετάδοσης r r b + q (r 6 bts/se ) (εδώ) q q

4 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Μέθοδοι ελέγχου σφάλματος Διόρθωση με πρόσθια δράση (forwar-atng error orreton) P e P δ > eα Ανίχνευση Σφάλματος (error eteton) Στο προηγούμενο παράδειγμα με ανίχνευση σφάλματος ο αποκωδικοποιητής αποδέχεται μόνον τις τριάδες και και ζητά την επαναποστολή των άλλων τριάδων ( q ) 5 5, Pea Pe ενώ P eδ -6 Μειονεκτήματα(!) της ανίχνευσης σφάλματος a. Ύπαρξη καναλιού επιστροφής b. Επιβράδυνση του ενεργού ρυθμού διαβίβασης ΤΥΠΟΙ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΚΩΔΙΚΩΝ Θόρυβος καναλιού Κώδικες Gaussan (Λευκός) (θερμικός, βολής-shot, rao) Κρουστικός (mulse) (ήρεμα διαστήματα+καταιγισμοί θορύβου) Φυσικά+τεχνητά αίτια Τυχαίων σφαλμάτων Σφαλμάτων καταιγισμού Τύποι κωδικών Μπλοκ (blo oes) Συγκεραστικούς (onvolutonal) (παρεμβολή bts ελέγχου στα bts πληροφορίας) 4

5 ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ ΜΠΛΟΚ () Μπλοκ Μηνύματος D ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗΣ ΚΑΝΑΛΙΟΥ Μπλοκ Κώδικα w Μήνυμα bts Μήνυμα bts ελέγχου r n + r Συστηματικός, γραμμικός κώδικας μπλοκ α) Τα bts μηνύματος προηγούνται στην w β) Κάθε w ( ) εκφράζεται σαν γραμμικός συνδυασμός ανεξάρτητων κωδικών διανυσμάτων. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥΣ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ () Στάδια Κωδικ/σης Κατάτμηση πληροφορίας σε μπλοκ μηνύματος n- bts ελέγχου: γραμμικός συνδυασμός των bts μηνύματος Μπλοκ μηνύματος : μία -άδα D(,,... ) Κωδική λέξη : μία n-άδα (,,... n ) Μετασχηματισμός των bts blo σε n bts blo (n, ) κώδικας Το σύνολο των κωδικών Λέξεων Απόδοση ρυθμού n ήαπόδοση κώδικα (effeny) 5

6 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥΣ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ () Τα bts της κωδικής λέξης M + + n,n,,, + + +,n ,n j ή ή ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥΣ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ () [ ] [ ],, K, n,, K, M...,n,n,n D G G [ I P x ( n )] xn,n n Όταν καθοριστεί ο P καθορίζεται πλήρως και ο (n,) κώδικας Κατάλληλη επιλογή του P ώστε ο G να έχει ιδιότητες όπως: Εύκολη πραγματοποίηση Ικανότητα διόρθωσης Υψηλή απόδοση ρυθμού (ή απόδοση κώδικα) 6

7 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ ΜΠΛΟΚ Δίνεται ο γεννήτορας πίνακας G για ένα (6,) κώδικα μπλοκ. Βρείτε τα κωδικά διανύσματα του κώδικα. G l b l 6 Μήκος blo 8 δυνατά μπλοκ μηνύματος: (), (), (), (), (), (), (), () Για D() ποιο το w ; () G D D ή ( ) ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗ Λειτουργία κωδικοποιητή Έχει αποθηκεύσει τον G(ή τουλάχιστον τον P) και εκτελώντας δυαδικές πράξεις παράγει τα n- bts ελέγxου. Αύξηση του n και του n- αύξηση της πολυπλοκότητας

8 ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗΣ () (n,)κώδικας πίνακας H ελέγχου της ισοτιμίας (arty he matrx) H M M,n,n,n H [P I ] n- (n )xn Ο Η επαληθεύει αν μια κωδική λέξη έχει γεννηθεί από τον γεννήτορα πίνακα G αν κωδική λέξη H H P I G [I P] xn n nx(n ) ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗΣ () Διάνυσμα λήψης: R+ Σύνδρομο σφάλματος: S R H S [ + ] H H S H Αν S R: έγκυρο διάνυσμα του κώδικα Αν S χρήση του S για ανίχνευση και διόρθωση σφαλμάτων + H 8

9 9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ BOK (7,4) ΠΙΝΑΚΑΣ ΓΕΝΝΗΤΟΡΑΣ 4x7 G Ι 4 P ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΣΟΤΙΜΙΑΣ x7 H P Ι ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ BOK (7,4) ΚΩΔΙΚΕΣ ΛΕΞΕΙΣ W Για D() D G( ) (*) mn Διορθώνει λάθος Ανιχνεύει λάθη *

10 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (συνέχεια) Έστω R το ληφθέν μήνυμα στο δέκτη R [,,] [,,,,,,] H R S () S, άρα το R είναι έγκυρο κωδικο διάνυσμα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (συνέχεια) () R? [,,] H [,,] [,,,,,,] S Τιμές για Ε: Ε Η Τ [,,] # ) ) ) κ.λ.π #

11 ΙΚΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ.Κ.Μ. ΓΙΑ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΡΘΩΣΗ Βάρος W (ή Hammng Weght) κωδικού διανύσματος Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι W Το πλήθος των μη μηδενικών συνιστωσών του. Απόσταση (Hammng stane) μεταξύ & j Ο αριθμός συνιστωσών που διαφέρουν μεταξύ τους. j j (s, s ) (, ) W(s s ) j j j πρόσθεση moulo Ελάχιστη απόσταση mn : η μικρότερη των ΘΕΩΡΗΜΑ ο H mn ισούται με το ελάχιστο W των μη μηδενικών λέξεων του κώδικα ΙΚΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ.Κ.Μ. ΓΙΑ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑ ο Ένας Γ.Κ.Μ. με ελάχιστη Απόσταση mn μπορεί:. Να διορθώνει μέχρι ( mn )/ σφάλματα (ε ). Να ανιχνεύει μέχρι mn σφάλματα σε κάθε κωδική Λέξη (ε) ε +, Ανίχνευση mn ε +, Διόρθωση Συμπέρασμα : στη σχεδίαση ενός (n, ) κώδικα επιδιώκεται ένα mn όσο γίνεται μεγαλύτερο Κανόνας Αποκωδικοποίησης : Διάλεξε σαν σωστή εκείνη την κωδική λέξη, που έχει την ελάχιστη απόσταση Hammng από την υπό κρίση κωδική λέξη που πήρες. (Παράδειγμα σελ. 8 Σημ.)

12 ΚΩΔΙΚΕΣ HAMMING () Διόρθωση απλών σφαλμάτων mn,4 Μέθοδος διόρθωσης: Σφάλμα στο -οστό bt της o S ισούται με την -οστή γραμμή του Η Τ S RH Επομένως: επιλογή των γραμμών του Η Τ ώστε να είναι διακριτές μεταξύ τους όλα τα σύνδρομα θα είναι διαφορετικά μεταξύ τους εντοπισμό και διόρθωση απλών λαθών. ΚΩΔΙΚΕΣ HAMMING () Περιορισμοί στην επιλογή του Η Τ ( G). Όχι γραμμή με όλο μηδενικά. Οι τελευταίες n- γραμμές να αποτελούν μοναδιαίο πίνακα I.. Όλες οι γραμμές n του H να είναι διακριτές μεταξύ τους. Πλήθος διάκριτων δυνατών γραμμών του Η Τ : n- - O Η Τ έχει: n γραμμές n- στήλες n n n + log (n+)

13 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΩΔΙΚΑ HAMMING 4 7 n ) (n log n mn + + Κώδικας (7,4) I P H 4x [ ] P I G 7 4x 4x 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΩΔΙΚΑ HAMMING Έστω μήνυμα Κωδική λέξη Κατά τη διαβίβαση λάθος Ε R SR H [,,] 5 η γραμμή του H Αποκωδικοποίηση: Σύγκριση του R με την πλησιέστερη Στη γενική περίπτωση(όχι Hammng), χρειάζεται αποθήκευση στον αποκωδικοποιητή όλων των κωδικών λέξεων μήκους n Μνήμη n Υπερβολικό μέγεθος για μεγάλους κώδιεκς π.χ. (,75)

14 4 ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΠΙΝΑΚΑ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗΣ ΤΥΠΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ (n,) κώδικας με κωδικές λέξεις,,, Το R είναι μια από τις n n-άδες Έργο του αποκωδικποιητή: να αντιστοιχίσει το R σε μια από τις n-άδες που είναι έγκυρες κωδικές λέξεις. ΤΥΠΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ (Stanar Array) Διαμέριση των n n-άδων σε υποσύνολα ξένα μεταξύ τους (ομάδες): Τ, Τ,, Τ Κάθε ομάδα Τ, περιέχει n- n-άδες και ένα μόνο κωδικό διάνυσμα, Αποκωδικοποίηση: αν R Τ R ΤΥΠΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ (συνέχεια) n n n n M ΟΜΑΔΕΣ Συνομάδες Οδηγός συνομάδας Είναι:.. : οποιαδήποτε από τις n - n-άδες. : οποιαδήποτε από τις μη χρησιμοποιημένες n-άδες

15 ΤΥΠΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ (συνέχεια) Ιδιότητες: Κάθε στοιχείο διακριτό Τα στοιχεία της ίδιας συνομάδας έχουν το ίδιο σύνδρομο S Αν το ίχνος σφάλματος συμπίπτει με τον οδηγό της συνομάδας σωστή αποκωδικοποίηση Εκλέγουμε τους n- συνδυασμούς έτσι ώστε να είναι τα ίχνη σφάλματος με την μεγαλύτερη πιθανότητα να εμφανισθούν στο κανάλι. Αν w <w j P >P j (, j ) ΤΥΠΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ (συνέχεια) Επιλογή οδηγών: να έχουν το ελάχιστο βάρος από τα διανύσματα που απομένουν διαθέσιμα Όλες οι n-άδες μιας συνομάδας έχουν το ίδιο S Διαφορετικές συνομάδες σύνδρομα Απαιτούμενη μνήμη στον αποκωδικοποιητή?. Σύνδρομα: n- μήκους n- bts. Οδηγοί: n- μήκους n bts Κώδικες μεγάλης απόδοσης: n- n Mem n n- bts Στη γενική περίπτωση Mem n bts Παράδειγμα: κώδικας (,75) n- (n-) Mem<<Mem 5

16 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΥΠΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΚΩΔΙΚΑΣ (6,) G Ποια η τυπική διάταξη; w : (), (), (), (),... ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΥΠΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ Τυπική διάταξη (Stanar Array) (Κώδικας 6,) σύνδρομο οδηγός συνομάδας Τ Τ Τ 4 Τ 5 Τ 6 Τ 7 Τ 8 ( ) 6

17 ΤΥΠΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ (συνέχεια) ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕ ΠΙΝΑΚΑ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗΣ ( able loo u eoer ). Υπολογισμός συνδρόμου S r H. Εύρεση οδηγού συνομάδας με το ίδιο σύνδρομο SS. r r+ Απαιτήσεις σε μνήμη και χρόνο? ΔΥΑΔΙΚΟΙ ΚΥΚΛΙΚΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ Bnary yl oes B.. Πλεονεκτήματα Διαπραγμάτευση:. Εύκολη υλοποίηση Απλοί ολισθητές καταχωρητές + Συνδέσεις ανατροφοδότησης. Καλή Μαθηματική Δομή Χρήσιμες Διορθωτικές Ικανότητες Γ.Κ.Μ. : Διανυσματική Λογική Χρήση Πινάκων B... : Πολυωνυμική Αναπαράσταση Ορισμός : Αν μία n-άδα V(v, v, v,..., v n- ) είναι κωδικό διάνυσμα του κώδικα και με κυκλική εναλλαγή προς τα δεξιά προκύπτει πάλι κωδικό διάνυσμα V () (v n-, v, v,..., v n- ) Οκώδικας λέγεται B... Ηγενική μορφή κωδικού διανύσματος B είναι: V(x) v + v x+ v x v n- x n- 7

18 ΔΥΑΔΙΚΟΙ ΚΥΚΛΙΚΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ Bnary yl oes B.. Αν g(x) πολυώνυμο n- βαθμού + Διαιρέτης του x n + o g(x) παράγει κυκλικό κώδικα (n, ) ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ: ος Τρόπος : V(x) D(x) g(x) ος Τρόπος : V(x) r (x) + x n- D(x) όπου: x n- D(x) q(x) g(x) + r(x) r(x) r + r x + r x r n-- x n-- Πολυώνυμο ελέγχου της ισοτιμίας Συστηματική μορφή: V( r, r, r,..., r n--,,...., - ) bts ελέγχου bts μηνύματος ΔΥΑΔΙΚΟΙ ΚΥΚΛΙΚΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ Bnary yl oes B.. Απόδειξη: Έστω τα κ πολυώνυμα g(x), xg(x), x g(x),..., x - g(x),βαθμού <n- Γραμ. Συνδιασμός είναι V(x) g(x)+ xg(x) x - g(x) D(x) g(x) πολυώνυμο βαθμού n Διανύσματα Δεδομένων Πολυώνυμα (n, ) Γρ. Κώδικας Ερώτημα: Ο κώδικας αυτός είναι κυκλικός; 8

19 ΔΥΑΔΙΚΟΙ ΚΥΚΛΙΚΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ Bnary yl oes B.. Απόδειξη: (συνέχεια) Έστω το πολυώνυμο του κώδικα : V(x) v + v x v n- x n- x V(x) v x + v x v n- x n v n- (x n +) + (v n- + v x v n- x n- ) v n- (x n +) + V () (x) Τα x V(x) και x n + είναι διαιρετά με g(x) V () (x) διαιρείται με g(x) άρα το V () (x) είναι κωδικό πολυώνυμο V () (x) [D (x) ή D (x)] g(x) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ Έστω g(x) +x + x διαιρέτης του x 7 + Μπορεί να κατασκευαστεί (7,4) κυκλικός κώδικας. Ποιες είναι οι κωδικές Λέξεις; ος ΤΡΟΠΟΣ V(x) D(x) g(x) # D (,,, ) (,,, ) D(x) + x V(x) ( + x ) ( +x + x ) + x + x + x + x + x 5 + x + x + x 5 V 9

20 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ ος ΤΡΟΠΟΣ Συστηματική μορφή: V(x) r(x) + x n- D(x) x n- D(x) q(x) g(x) + r (x) D (,,, ) (,,, ) D(x) + x x D(x) x + x 5 x 5 + x 4 + x x + x + x 5 + x 4 + x + x x x r r (x) x r D ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ MHNYMAA ος V(x)D(x) g(x) π + - ~ ος ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΟΣ - π g(x) +x + x Κυκλικοί κώδικες (7,4)

21 Κωδικοποιητής (n-) βαθμίδων για δυαδικό (n, ) κυκλικό κώδικα που παράγεται από το πολυώνυμο g(x) + g x + g x g n-- x n-- + x n- Σειριακό Πηλίκο (εγκαταλείπεται)... AND Πύλη g g g g n-- Ανατροφοδότηση πριν τη μετάδοση r + r + r... + r n-- + Υπόλοιπο Μήνυμα εισόδου D(x) (,,... - ) Κωδική λέξη εξόδου V(x) Πράξεις Κωδικοποίησης Διαίρεση του x n- D(x) με πολ. Γεν. g(x) Κυκλώματα Διαίρεσης Ολισθητής καταχωρητής με ανατροφοδότηση n- Fl-Flos r(x) Το πολύ n- OR πύλες πύλη AND απαριθμητής ολισθήσεων Πολύ πιο απλός από έναν Γρ. Κ. Μ. σε μορφή πίνακα (αποθήκευση G, Η)

22 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗ B.. () Κώδικας (7,4) g(x) +x + x επαλήθευση για D ( ) x x r + r r + r r r r r r lo Μήνυμα εισόδου D(x) Υπολογισμός υπολοίπου σε 4 χρόνους F-F, OR πύλες V(x) Έξοδος Κωδικής Λέξης Ψηφιακό Κανάλι ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗ B.. () Γιαδιάνυσμαμηνύματος D ( ) - r r r r r r r + r : r r + + r r r r V (,,,,,, ) r D

23 ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ B.. () Υπολογισμός Συνδρόμου Έλεγχος αν R έγκυρο. Αν S R(x) διαιρείται με g(x) R. Αν S Σφάλμα Ε R(x) P(x) g(x) + S(x) R(x) V(x) + (x) ίχνος σφάλματος από το κανάλι V(x) D(x) g(x) (x) [P(x) + D(x)] g(x) + S(x) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του ίχνους σφάλματος με g(x) ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ B.. () S(x) Mo (R(x), g(x)) S(x) Mo ((x), g(x)) Το S(x) περιέχει πληροφορία για το (x) Ανίχνευση Σφάλματος πολύ εύκολη: Διαίρεση πολυωνύμων κυκλώματα Διαίρεσης: ολισθητές καταχωρητές... Διόρθωση Σφάλματος Μηχανισμός πιο πολύπλοκος