Seznam domačih nalog - Matematična fizika 1

Transcript

1 Seznam domačih nalog - Matematična fizika /2017 V {zavitih oklepajih} so številke nalog, ki so relevantne za rezervacijo. dopolnjeval, ko bo to potrebno. Seznam nalog se bo Spletna stran za rezervacije: http: // fiz. fmf. uni-lj. si/ ~ ravnik/ mafidn/ naslov za oddajo: predmet.mafi1@fmf.uni-lj.si Pozor, potrebno je hkrati oddati tudi tiskano verzijo v škatlico v študentski sobi. 1 Naloge za 1. kolokvij {123} Matematična fizika I 11. marec pismena naloga Oklopni kabel ima bakreno žilo debeline 1 mm in 2 mm debel plašč iz platične snovi. Na 1 m dolg kos kabla, ki tehta 50 g, obesimo težko utež in zavrtimo okrog prvega konca s frekvenco 5 obratov/s. Žila v plašču prosto drsi, le na obeh koncih sta trdo speta. Za koliko se kabel raztegne? Elastični modul bakra je 10 5 N/mm 2, za sam plašč pa vemo le iz poskusa, da se 1 m dolg kos raztegne za 1 cm pri sili 200 N. {124} Matematična fizika I 1. marec pismena naloga Na 0.5 cm debelo svinčeno ploščo vpada v vakuumu širok snop žarkov γ (gostota energijskega toka je 30 W/cm 2 ). Drugo stran plošče hladi voda s temperaturo 20 C. Kolikšna je temperatura na površini plošče? (µ P b = 1.2cm 1, λ P b = 30W/mK) {125} Matematična fizika I 1. marec pismena naloga Dodatna naloga: Kroglast radioaktivni izvor s premerom 1 cm je obdan z debelo plastjo svinca. Gostota energijskega toka žarkov γ na površini izvora je 10 W/cm 2, temperatura na površini plašča je 20 C. Kolikšna je temperatura na površini izvora. Absorpcijo žarkov v izvoru lahko zanemarite. (Potrebne podatke pridobi iz zgornje naloge.) {126} Matematična fizika I 2002/ kolokvij Enakomerno navito 1 m dolgo vijačno vzmet z maso 1 kg in koeficientom 100 N/m nataknemo na enako dolgo valjasto vodilo in jo na obeh straneh pritrdimo nanj. Vzmet se vodilu prilega, vendar po njem prosto drsi. Vodilo z vzmetjo postavimo pokonci: za koliko se premakne srednja točka vzmeti? Ne pozabi, da velja koeficient vzmeti samo za celo vzmet! {127} Matematična fizika I 2005/ kolokvij V projektu Auger gradijo velik detektor za mione v ultraenergijskih kozmičnih pljuskih. Detektor ima v načrtu obliko na tleh sedeče polkrogle z radijem 20 m in je sestavljen iz izmeničnih slojev aluminijeve pločevine z debelino 4 mm in aerogela z debelino 6 mm. Gostota aluminija je kg/m 3, aerogela pa 100 kg/m 3. Aluminijeve plošče so praktično toge, aerogel pa se zaradi velike poroznosti zlahka elastično deformira, njegov elastični modul je N/m 2. Za koliko je prava 1

2 višina detektorja manjša od načrtovane? Namig: aluminijeve plošče so tako toge, da je tlak v detektorju odvisen samo od višine in nič od prečnih koordinat. {128} Matematična fizika I 2009/ kolokvij 1 m dolgemu, 1 cm širokemu in 1 mm debelemu gumijastemu traku odrežemo polovico širine na polovici dolžine. Trak obesimo čez majhen lahek škripec, prosta konca pa spodaj spnemo in na sponko obesimo utež 0.1 kg. Kje se ustali meja med široko in ozko polovico traku, če se je prvotni, nepoškodovani trak s težo te uteži raztegnil za 10 cm? (Neenakomerno porazeditev tlaka v bližini stika obeh polovic lahko zanemarimo.) Za koliko se spremeni rezltat, če vračunamo tudi učinek lastne teže traku? Gostota gume je 2 g/cm 3. {129} Matematična fizika I 2010/ kolokvij Iz 5 mm debele gume izrežemo 1 m dolg in 12 mm širok trak. Ko ga obesimo za en konec, se raztegne za 15 mm. Potem ga, še vedno obešenega, od spodaj navzgor razrežemo s premim, a poševnim rezom, tako da dobimo en trak, ki je zgoraj širok 4 mm, spodaj pa 8 mm, drugi pa ima ravno obratne mere. Za koliko se razikujeta višini spodnjih koncev? {130} Matematična fizika I kolokvij Pred dolgim ravnim belim zidom stoji laser, vrtljiv okoli navpične osi. Laser je poravnan vzporedno z zidom, nato pa ga s stalno kotno hitrostjo zavrtimo za kot π, tako da svetla pega njegovega žarka preteče zid po vsej dolžini. Ta zasuk laserja traja toliko časa, kolikor porabi svetloba za pot do zidu in nazaj po najkrajši poti. Zid siplje svetlobo enakomerno v vse smeri. Opazovalec pri laserju spremlja pot svetlobne pike s hitro kamero. Kdaj najprej opazi svetlo piko in iz katere smeri? Kolikšna je zanj (navidezna) hitrost pike po zidu pri kotu π/4 proti pravokotnici? Dodatno vprašanje: Kolikšna je pri kotu π/4 navidezna velikost svetle pege na zidu, kot jo izmeri opazovalec na hipnem posnetku (to je z zelo kratko ekspozicijo), če je zid oddaljen 300 m in je divergenca laserskega curka 1 kotna minuta? {131} Matematična fizika I kolokvij Prstan z maso 150g visi prosto obešen na lahki verižici dolžine 18cm. Konca verižice pripnemo na elipsoiden obešalnik je oblike zgornjega dela elipse-, in sicer tako da konca verižice lahko prosto drsita po obešalniku. Določi, kolikšen kot v ravnovesju verižica oklepa z navpičnico. Velika polos eliptičnega obešalnika je enaka a=10cm, mala polos pa b=15cm. Za koliko pa se a spremeni, če veliko polos a raztegnemo za 0.1cm? {132} Matematična fizika I kolokvij Gradimo pasivno hišo, ki mora zadostovati nekaterim predpisom in željam, obenem pa želimo optimizirati njeno obliko, tako da bo imela hiša najmanjše toplotne izgube zaradi prevajanja skozi stene in streho (tla so dobro izolirana, zato lahko izgube skoznja zanemarimo). Hiša je enokapnica s predpisano višino slemena H=3.5m, dolžino b=10m in površino obeh enakih (frontnih) sten A=20m 2. Ob takih predpisih in željah je optimalna širina hiše (ko so toplotne izgube najmanjše) a=6.10m. Ob sami gradnji pa se izkaže, da so mojstri nenatančni in sicer postavijo sleme za 10cm nižje od predvidenega. Da hiša ostane toplotno optimalne oblike, lahko korigiramo samo s spremembo širine hiše, saj mora površina fasade obeh frontnih sten A ostati enaka. Za koliko moramo spremeniti širino hiše? V računu predpostavi, da je toplotna prestopnost strehe in zidov enaka. 2

3 {133} Matematična fizika I izpit 1. naloga Okrogel balon z radijem 10cm in maso m=100g potopimo pod vodo. S kolikšno hitrostjo se balon izstreli iz vode (torej koliko je hitrost v trenutku, ko je ves balon iz vode), če ga mirujočega izpustimo, ko je središče balona 0.3m pod vodo? Upor balona v vodi in zraku zanemari. {134} Matematična fizika I izpit 2. naloga Nabito kroglico z nabojem 1 mc, pritrjeno na elastično vrvico, držimo tik nad pozitivno elektrodo znotraj velikega ploščatega kondenzatorja. Čez koliko časa bo kroglica dosegla najvišjo točko, ko jo izpustimo? Masa kroglice je enaka 50g, vrvica je dolžine 5cm, razmik med ploščama kondenzatorja 10 cm, napetost na kondenzatorju 100 kv in elastična konstanta vrvice 10 N/m. {135} Matematična fizika I kolokvij Na ravni cesti začne proti nam enakomerno pospeševati policijski avtomobil z vključeno sireno. Avtomobil je na začetku miroval na razdalji 100 m vzdolž ceste od nas, mi pa stojimo 10m stran od ceste. Izračunaj, kje je avtomobil oddal zvok, ki ga slišimo z najvišjo frekvenco? Kje pa je oddal zvok, ki ga slišimo z najnižjo frekvenco? {136} Matematična fizika I kolokvij Elastično telo v obliki prirezanega stožca (na sliki) je prilepljeno med dve ravni plošči na straneh A in B. Za kolikšen kot se zasuka stran A, ko stran A obremenimo z navorom T, stran B pa je fiksna? Radij r in višino stožca L poznamo, prav tako tudi strižni modul G. {137} Matematična fizika I izpit 1. naloga Alpinist z maso 70kg se spušča hkrati privezan na dve različni vrvi, ki visita navpično preko roba previsne police. Za koliko sta vrvi raztegnjeni, ko je alpinist 10m pod previsom, če je dolžina vsake neraztegnjene vrvi 200m. Debelina vsake vrvi (premer) je 0.8cm, masa na dolžinsko enoto je 0.05kg/m, elastični modul prve vrvi je E 1 =10GPa, druge pa elastični modul prve vrvi je E 2 =3GPa. {138} Med togi vzporedni steni damo enako debeli ploščici iz različnih kovin tako, da se stikata na osnovnih ploskvah in se tesno prilegata reži. Kolikokrat je v takem sistemu navidezni temperaturni razteznostni koeficient leve ploščice manjši od normalnega? Leva ploščica je iz kovine, ki ima dvakrat večji elastični modul kot desna ploščica, temperaturni razteznostni koeficient pa je dve tretjini koeficienta desne ploščice. 3

4 {139} V mirnem morju plava v stalni legi črna boja iz bakrene pločevine, debeline 5 mm. Polmer boje je 30 cm in je v morje potopljena do polovice. Opoldne padajo sončni žarki navpično (gostota svetlobnega toka je 1 kw/m 2 ). Za koliko je tedaj temperatura na vrhu boje višja od temperature morja (toplotna prevodnost bakra je 380 W/mK)? {140} Nariši funkcije: a) y = x x, b) y = x, e x 1 c) y = x + x. e x 1 2 Postopek opiši. Zbirka nalog iz Matematične fizike I, Borut Paul Kerševan Računanje z diferenciali {141} Nihalo za precizno uro iz XIX. stoletja je v idealizirani obliki sestavljeno iz 1 m dolge železne palice z maso 0.5 kg, ki je vstavljena v nekoliko širšo bakreno cev in nanjo privarjena na spodnjem koncu. Masa cevi je enaka masi palice. Razteznostna koeficienta za Fe in Cu sta po vrsti 12 in 17 milijonink na stopinjo C. Kolikšen je nihajni čas tega nihala in kolikšen je njegov temperaturni koeficient, če gre os skozi zgornji konec palice in je cev enako dolga kot palica? Ali je mogoče izbrati dolžino cevi tako, da je nihajni čas neobčutljiv na majhne spremembe temperature? {142} Po razsežni planparalelni 5 cm debeli plasti iz neke snovi teče električni tok z gostoto 90 A/cm 2 vzdolž njene dolge osi. Plast z obeh strani oblivamo z ledeno vodo s temperaturo 0 C. Nekje znotraj plasti se zgodi fazni prehod, v katerem se toplotna prevodnost spremeni od 30 W/mK pri nižji temperaturi na 10 W/mK pri višji, v tabelah pa lahko najdemo podatek, da je temperatura faznega prehoda snovi enaka 70 C. Kolikšen delež snovi doživi fazni prehod? Kolikšna je temperatura na sredini plasti? Specifična upornost snovi je 10 Ωmm 2 /m in se ob faznem prehodu ne spremeni. {143} Tanka plastična folija, dopirana z jodom, šibko prevaja električni tok. Upor kvadratnega centimetra folije, merjen med vzporednima robovoma, je 100 ohmov. Kolikšen je upor balona s premerom 1 m, iz iste folije, če ga merimo med kovinskima elektrodama v obliki diskov s premerom 4 cm, pritisnjenih ob nasprotnih polih balona? Kako se spremeni upor, če balon dodatno napihnemo in s tem povečamo premer za 1%? Privzemi, da se pri raztegovanju gostota plastike ne spremeni (kolikor se raztegne, se tudi stanjša) in da se enako ne spremeni specifična upornost. {144} V gravitacijskem detektorju položimo testno maso 10 t na štiri stebričke, ki so postavljeni v ogliščih kvadrata. Stebrički so visoki 25 cm in imajo presek 3 cm 2, po dva sta iz bakra in dva iz jekla, postavljeni so navzkriž. Njihove vrhnje ploskve so brušene na natanko enako višino, enako natančno 4

5 je brušena ravna spodnja ploskev testne mase. Za koliko se posedejo stebrički, ko previdno položimo maso nanje, tako da je njeno težišče ravno nad središčem kvadrata? Kako je višina stebričkov odvisna od temperature? Za koliko se mora spremeniti temperatura, da nosita težo samo dva stebrička? Prožnostna modula jekla in bakra sta N/m 2 in N/m 2, koeficienta linearne rateznosti pa znašata K 1 in K 1. 2 Naloge za 2. kolokvij {145} Matematična fizika I pismena vaja Vzdolž vodnika (dela cevi s tankimi stenami in v prerezu oblike krožnega loka) teče tok I. Izračunajte jakost magnetnega polja v točkah (a) in (b)! (glej sliko) (a) α (b) {146} Matematična fizika I pismena vaja Dve enako dolgi ravni nitki iz izolatorja sta napeti vodoravno v pravokotnih ravninah, tako da je med njima najmanjša razdalja 2 cm. Spodnja nitka je enakomerno naelektrena z linearno gostoto naboja As/m. Zgornja nitka pa je nenabita, vendar se polarizira sorazmerno električnemu polju (p = k E), pri čemer dobi v polju 10 4 V/m linearno gostoto Asm/m dipolnega momenta. Kolikšen je vektor sile? Dodatno vprašanje: Kolikšna pa je sila, če je zgornja nitka iz feroelektrične snovi s stalno gostoto dipolnega momenta Asm/m? {147} Matematična fizika I pismena vaja Iz dolge cevi z radijem R in s tankimi stenami izrežemo tri vodnike (gl. skico), po katerih teče trofazni izmenični tok. Določi velikost in časovno odvisnost gostote magnetnega polja v osi cevi. 5

6 60 {148} Matematična fizika I 2008/ kolokvij Dve razsežni tanki dielektrični plošči v obliki kvadrata postavimo vzporedno drugo nad drugo v razmiku 1 cm. Plošči nosita enakomerno porazdeljen naboj (nasprotnih znakov) s ploskovno gostoto ± 10 9 As/m 2. Kolikšno je električno polje v točki, ki je na sredini med istoležnima vogaloma? Dodatno vprašanje: Koliko dela opravimo, ko prenesemo en elektron z vogala pozitivne plošče na vogal negativne plošče? {149} Matematična fizika I 2010/ kolokvij Dolg raven trak iz dielektrika, širok 2a, je enakomerno posut z električnim nabojem, ploskovna gostota je ρ S. Nad njegovo sredino v višini z je vzporedno s trakom napeta enakomerno naelektrena dielektrična nitka, linearna gostota je ρ l. Kolikšna je sila na dolžinsko enoto med obema dielektrikoma? Dodatno vprašanje: Kolikšna je sila na drug, enak trak, ki ga napnemo nad prvim v vzporedni ravnini? {150} Matematična fizika I kolokvij Dve dolgi ravni žici sta pravokotno prekrižani na vodoravni mizi. V stičišču prispajkamo konec tretje, navpične žice in po njej pošljemo električni tok I, ki se v spoju enakomerno razdeli v štiri vodoravne krake. Določi jakost in smer magnetnega polja v točki na simetrali med navpično žico in enim krakom, v razdalji a od obeh. V kateri točki na isti višini in v enaki razdalji od navpične žice je polje najmočnejše? Dodatno vprašanje: Kje pa je točka najmočnejšega polja v simetrični legi pod vodoravno ravnino (v razdalji a od premice navpične žice in v razdalji a pod navpično ravnino)? {151} Matematična fizika I kolokvij Izračunaj topološki naboj defekta, ki se nahaja v koordinatnem izhodišču vektorskega polja # n = (ax, by, cz)/r, kjer so x, y, z kartezične koordinate, r je radij vektor, a, b, c pa so parametri polja, ki imajo lahko vrednost 1 ali -1. Topološki naboj q se izračuna kot integral po zaključeni površini, ki zaobjame defekt: q = 1 4π σ ( # # n n ) # n du 1 du 2, u 1 u 2 kjer sta u 1 in u 2 posplošeni koordinati, ki opišeta zaključeno površino s. Kolikšen je topološki naboj, za različne kombinacije vrednosti parametrov a, b in c? 6

7 Namig: Za u 1 in u 2 izberi znana sferična kota q in j. {152} Matematična fizika I kolokvij Navpična žica je prispajkana na vodoravno razsežno prevodno homogeno ploščo. Izračunaj, kolikšna je jakost magnetnega polja in njena smer na višini h=5cm od plošče in 3cm od žice, ko po navpični žici pošljemo tok 5A. V morebitno pomoč: a + b sin 2 x c + d sin 2 x dx = bx d ( bc + ad) arctan[tan(x) (c + d)/c] + d c(c + d) {153} Matematična fizika I kolokvij Po dolžini enakomerno nabito žico dolžine l zvijemo v logaritemsko spiralo, ki je v cilindričnih koordinatah (r, f, z) parametrično opisana kot: ρ = ae kφ, φ 0 kjer sta a in k konstanti (k = ctg a, kjer je tipično a<p/2). Glej sliko primera take spirale spodaj (za a = 1 in a = 0.3p). Celoten naboj na žici naj bo enak e 0. Kolikšen je električni potencial v središču spirale za poljuben a in k? Kolikšno pa je električno polje v središču spirale? {154} Matematična fizika I kolokvij Izračunaj jakost električnega polja ter njegovo divergenco in rotor, če je električni potencial podan z: U( # r ) = A ( # r ˆn)( # r ˆm)( # r ˆl) r 7, 7

8 kjer je A konstanta in so ˆn, ˆm in ˆl paroma pravokotni enotski vektorji. porazdeljen naboj tega električnega polja? Določi tudi, kako je {155} Matematična fizika I izpit Po ravnem, tankem in dolgem kovinskem traku teče tok 10 A. Tok je po vsej širini (a = 10 cm) enakomerno porazdeljen. Nad robom traku je v razdalji a fiksiran vrtljiv magnetni dipol (p = 10 1 Am 2 ). Izračunaj silo na dipol, če je njegova smer pravokotna na smer toka in a) pravokotna na ravnino traku, b) [dodatno] v ravnini traku! {156} Matematična fizika I Popravna vaja 2. naloga Prostor med dvema razsežnima vzporednima ploščama z razmikom 3 mm je napolnjen z živim srebrom. Določi tlak v sredi med ploščama, če teče po živem srebru vzporedno s ploščama tok z gostoto 10 A/mm 2! {157} Matematična fizika I popravna pismena vaja Nad razsežno superprevodno ploščo teče vzporedno v razdalji a po ravnem vodniku tok I. Zunanje magnetno polje ne prodre v notranjost superprevodnika, ker ga kompenzirajo tokovi, ki brez upora tečejo po tanki površinski plasti. Določi linearno gostoto toka, ki teče po površini plošče! Kolikšna je sila na šibak točkast magnetni dipol, ki se nahaja na sredini zveznice med žico in ploščo? Namig: Magnetno polje v polprostoru na strani žice lahko simuliramo tako, da žico ustrezno prezrcalimo. {158} Matematična fizika I popravna pismena vaja Po dveh enako dolgih 5 cm širokih 1 cm razmaknjenih pločevinastih trakovih teče tok 1 A. Kolikšna je sila med njima na dolžinsko enoto? Kolikšna je sila na točkast magnetni dipol (p m =10 Am 2 ), ki leži na simetrali med trakovoma (glej skico)? {159} Matematična fizika I Izpit 2. naloga Dva enaka asteroida približno paličaste oblike z dolžino 100 m in maso 5000 t letita vzporedno po vesolju, tako kot dve vzporedni stranici kvadrata. Kolikšna sila deluje med njima, če lahko računamo, da sta razmeroma tanka in da je masa porazdeljena enakomerno po dolžini? {160} Matematična fizika I Izpit 2. naloga Iz bakrene žice napravimo kvadratno zanko s stranico 10 cm, nato pa jo prepognemo za pravi kot okoli diagonale. Kolikšno je magnetno polje v (prvotnem) središču kvadrata, ko poženemo po zanki tok 10 A? 8

9 {161} Matematična fizika I Izpit 2. naloga Mnogožilni kabel za elektronske naprave je 2 cm širok plastični trak, v katerega je zalitih (vzporedno v enakih razmikih) 20 tankih bakrenih žil. Kolikšno je magnetno polje 1 cm nad sredino dolgega ravnega kosa kabla, po katerem tečejo po 19 žilah tokovi 10 ma v eno smer, po dvajseti (robni) žili pa skupni tok v nasprotno smer? Izmerimo še polje v razdalji 1 m od kabla: v kateri smeri je polje najmočnejše? {162} Matematična fizika I izpit 2. naloga Na dolgo napeto dielektrično nitko nanesemo električni naboj z gostoto 10 3 As/m, do polovice pozitiven naboj, na drugo polovico negativen. Po simetrijski ravnini napnemo drugo enako nabito nitko v razdalji 5 cm od prve, tako da sta najbližji točki ravno delišči naboja. Določi vektor sile med nitkama! {163} Matematična fizika I izpit 2. naloga Žična zanka, po kateri teče tok I, ima obliko kvadrata s stranico a. Na osi zanke visi majhna magnetna igla z magnetnim momentom pm. Smer momenta je vzporedna z diagonalo kvadrata. Na kateri višini nad ravnino zanke je sila na iglo največja? Na kateri višini je navor največji? {164} Matematična fizika I izpit 1. naloga Štiri prevodne žice so prispajkane na obroč z radijem R iz enake prevodne žice, po njih pa teče električni tok kot kaže slika. Določi, kje na osi z je gostota magnetnega polja največja. {165} Matematična fizika I izpit 3. naloga V ogliščih ploščate škatle velikosti a a b se nahajajo enaki naboji e. Izračunaj, kje vzdolž navpične simetrale, ki prebada škatlo, je največja sila na električni dipol p e, ki kaže vzdolž simetrale. V računu predpostavi, da je b a. Nato izračunaj, za koliko se ta maksimalna sila spremeni, če električni dipol nagnemo za kot 20 C v smeri enega od oglišč. {166} Matematična fizika I izpit 2. naloga Prevodna žica je zakopana v zemljo in zaradi prevajanja v okolico tok po žici pada z razdaljo. Izračunaj, kakšno je magnetno polje okrog ravne žice dolžine l, po kateri tok linearno pade z I 0 na začetku na I 1 na koncu žice. 9

10 Zbirka nalog iz Matematične fizike I, Borut Paul Kerševan Vektorski in tenzorski račun {167} Izračunaj jakost magnetnega polja na osi polkrožne zanke z radijem R, po kateri teče tok I, kot to prikazuje skica! {168} V ploščatem napajalnem kablu za posebne namene je v izolacijo zalit 1 cm širok trak iz slabše prevodne snovi, ob robu katere teče (izolirana) tanka dobro prevodna bakrena žica. Dolg raven kos kabla kratko sklenemo z dobro prevodno prečko. Izračunaj magnetno polje 1 cm nad sredino prečke - jakost in smer! Predpostavljamo, da je tok enakomerno porazdeljen po vsej širini traku. {169} Vesoljski lovci na kovine so našli asteroid v obliki polovice krogle s polmerom 40 km in z gostoto 12 ton na kubični meter. Kolikšen je težni pospešek na tem asteroidu na polu in koliko v središču ravne ploskve? Ko lovci vrtajo po asteroidu iščoč žepe posebno dragocenih kovin, v kateri točki asteroida je težni pospešek enak nič? 10

11 {170} Dve dolgi dielektrični nitki napnemo v pravokotnih smereh, tako da je med njima najmanjša razdalja a (kot v znani nalogi v knjigi). Na nitki nanesemo električni naboj z enakomerno linearno gostoto σ, vendar na vsaki samo do polovice, to je (iz neskončnosti) do točke, v kateri sta si nitki najbliže. Kolikšna je sila med nitkama in kakšno smer ima? {171} Vodnik je sestavljen iz treh vzporednih žic, zloženih v enakostranični trikotnik. Razdalja med središči posameznih žic je 6 R, pri čemer je R radij posamezne žice. Kolikšna je jakost magnetnega polja v točkah na površini žic, ki so najbolj oddaljene druga od druge? Kolikšna sila deluje na vsako žico? (Tok je seveda enakomerno porazdeljen po preseku vsake žice.) 3 Naloge za 3. kolokvij {172} Matematična fizika I pismena vaja Določite gostoto električnega naboja, ki je izvor potenciala ( ) # r # i + r U = U 0 ln, a kjer sta U 0 in a konstanti in je # i enotni vektor! {173} Matematična fizika I 2001/ kolokvij Pokaži (s pomočjo gradienta in divergence), da je skalarno polje U( # r ) = A ln[a 2 r 2 ( # a # r ) 2 ], kjer je # a konstantni, # r pa krajevni vektor, potencial električnega polja v (skoraj) praznem prostoru. Kako so razmeščeni naboji, iz katerih izvira to polje? Dodatno vprašanje: Ali lahko še katera funkcija argumenta w = a 2 r 2 ( # a # r ) 2 razen ln(w) ustvari polje, ki ustreza tem pogojem? {174} Matematična fizika I (VSS) 2002/ kolokvij Potencial med neskončno nabito žico in kovinskim valjem je podan z izrazom: ( ) # r # a U( # r ) = A ln # r ( ) R 2 # a a v dveh dimenzijah, kjer vektor # a podaja lego nabite žice in R radij prevodnega valja (glej skico). 11

12 a R 1. Pokaži, da ta potencial za # r R res ne izvira iz prostorsko porazdeljenih nabojev! 2. Pokaži, da je potencial na površini kovinskega valja ( # r = R) konstanten, kot bi pričakoval za smiselno stacionarno stanje. Namig: V dveh dimenzijah je # # r = 2, drugače pa se pravila ne spremenijo. Uporaben je tudi zapis: # v ( # r ) = # v ( # r ) # v ( # r ) = ( # v ( # r )) 2 {175} Matematična fizika I 2005/ kolokvij Magnetno polje je podano z vektorskim potencialom: # A = Cê ln ê # r, kjer sta C konstanta in je ê normiran konstanten vektor. Izračunaj jakost magnetnega polja in nato tako rotor kot tudi divergenco tega polja brez uporabe specifičnih koordinat. Kakšen je izvor tega polja? {176} Matematična fizika I 2007/ kolokvij Skalarnemu polju U( # r ) = [( # p # r ) # r ] # p r m+2, kjer je # p poljuben konstanten vektor, dodaj toliko polja V ( # r ) = p2 r m, da bo divergenca gradienta njune vsote (skoraj) povsod enaka nič. Za katere vrednosti parametra m je to mogoče? Dodatno vprašanje: Kje so izviri vektorskega polja, ki je gradient kombinacije polj U in V? {177} Matematična fizika I kolokvij Vektorsko polje v prostoru ima obliko 12

13 # A( # r ) = [ # n( # r # n) αn 2 # r ]r p, kjer je # n konstantni vektor. Kakšni vrednosti naj imata konstanti α in p, da je polje brezvrtinčno in brezizvirno? Kako se v tem primeru zapiše skalarni potencial polja? {178} Matematična fizika I kolokvij Družina vektorskih polj po prostoru ima obliko: { # # a, za n = 0 B n ( # r ) = # r B # n 1, za n = 1, 2, 3,... (1) kjer je # a konstantni vektro. Izračunaj div( # B n ) in rot( # B n ) za vsak n. {179} Matematična fizika I kolokvij V kapljici nematskega tekočega kristala z radijem R ustvarimo molekularno ureditveno polje, ki ima ali radialno obliko # n( # r ) = (x, y, z)/r ali pa hiperbolično obliko # n( # r ) = (x, y, z)/r. Določi prosto energijo molekularnega polja F za obe obliki polja, ki jo izračunaš kot: F = fe F O dv, kjer integral teče po celotnem volumnu kaplice, fe F O pa je oblike: f F O E = 1 2 K 1( # n) K 2[ # n ( # n)] K 3[ # n ( # n)] 2. K 1, K 2, K 3 so pahljačasta, zvojna in upogibna elastična konstanta nematika. V katerem režimu konstant ima hiperbolno polje nižjo prosto energijo? {180} Matematična fizika I kolokvij Magnetni vektorski potencial podaja izraz: # A = µ ( 0 m # # n 2( ) m # # r )( # r # n), 2π r 2 r 4 kjer je # r krajevni vektor, r njegova velikost, # m in # n pa sta konstantna enotska vektorja. (i) Izračunaj magnetno polje # B = # A. (ii) Izračunaj divergenco vektorskega polja # A? (iii) Določi silo na magnetni dipolni moment, ki se nahaja na mestu # R. {181} Matematična fizika I Popravna pismena vaja 2. naloga Med projekti za vojno zvezd, ki je tolikanj pri srcu predsedniku Reaganu, je tudi tako imenovana ionska bazuka. Gre za ionski pospeševalnik, ki zbere in pospeši ione ene vrste v močan curek, preostali naboj pa pospeši v drugem curku z enako hitrostjo v nasprotni smeri. Kot prispevek k razorožitvi določi električno in magnetno polje v okolici curkov. {182} Matematična fizika I Izpit 2. naloga Dve enaki krožni zanki iz bakrene žice (radij R) sta v razmiku 2R na skupni osi. Po njiju poženemo enak električni tok v nasprotnih smereh. S pomočjo Maxwellovih enačb oceni jakost magnetnega polja v točki, ki je od simetrijskega središča odmaknjena 0.01 R po osi in 0.01 R pravokotno na os. 13

14 {183} Matematična fizika I pismena vaja 2. naloga Električni potencial naj ima obliko 3( # r # t ) 2 r 2 U( # r ) = U 0, a 2 kjer sta U 0 in a konstanti in je # t enotski vektor. Določite in skicirajte ustrezno električno polje! Določite električni naboj, ki povzroča to polje! {184} Matematična fizika I izpit 2. naloga Polje molekulskega ureditvenega polja okrog koloidnega delca v nematskem tekočem kristalu se v približku multipolnega razvoja zapiše kot # # 3( e n( # r ) = e # z # r ) # r r 2 e # z z + A, r 5 kjer je e # # z enotski vektor v izbrani (z) simetrijski smeri, A je konstanta, r pa je oddaljenost od središča delca. Izračunajte t.i. pahljačasto deformacijo tega polja # n in t.i. upogibno deformacijo polja # n. {185} Matematična fizika I izpit 1. naloga Izračunaj ravnovesno odvisnost kota enotskega molekulskega polja # n = (cos φ(z), sin φ(z), 0) v TN tekočekristalnem zaslonu vzdolž osi z, ki prebada zaslon. Zaslon leži v xy ravnini in je debeline d. Ravnovesni profil kota f znotraj tekočekristalne plasti v zaslonu ustreza minimumu gostote Frankove elastične proste energije f = 1 2 K ( ) 2 ni, x j d dx j i,j=x,y,z kjer je K elastična konstanta, ni so komponente molekulskega ureditvenega polja, xj pa so kartezične koordinate. Minimum se določi z uporabo Euler-Lagrangevega formalizma za iskanje minimuma, f f q ( q/ x j = 0, za vsak j, kjer je q količina, po kateri se minimizira. V TN zaslonu sta ) smeri ureditvenega polja # n na obeh omejujočih površinah tekočekristalne plasti točno pravokotne. Skiciraj tudi tako polje. {186} Matematična fizika I izpit 1. naloga Vrtinčni tok tekočine okrog navpičnega dolgega cilindra se lahko opiše v cilindričnih koordinatah s potencialom tokovnega polja oblike: ) ψ = V r sin θ (1 R2 + Γ ln r, r 2 2π kjer je R radij cilindra, G je vrtinčnost, r pa je oddaljenost od osi cilindra. Izračunaj hitrostno polje ter določi silo na cilinder v smeri toka in pravokotno na tok. Zbirka nalog iz Matematične fizike I, Borut Paul Kerševan Vektorski in tenzorski račun {187} Elektrostatski potencial v delu prostora # r > a/2 ima obliko U( # r ) = e ( ) 1 4πɛ 0 # r # a 1 2 # r # a /2 14

15 Pokaži, da je potencial konstanten na sferi, ki omejuje prostor. Določi ploskovno gostoto naboja na tej sferi. {188} Posebna konfiguracija izvirov da elektrostatično polje s skalarnim potencialom # a # r r # U( # r ) = qarsh r2 ( # a # r ) = q ln a # r 2 r + # a # r, kjer je q jakost izvirov in # a enotni vektor. Določi jakost električnega polja in pokaži, da to polje nima v prostoru zvezno porazdeljenih izvirov. Dodatno vprašanje: Kje pa so izviri tega polja? {189} Vektorsko polje ima obliko: # v = Ae ( # a # r ) 2 ( # b # r ), # kjer je A konstanta, a in # b pa poljubna konstantna vektorja. Kakšna morata biti # a in # b, da gornji izraz opiše fizikalno veljavno magnetno polje? Kakšna je prostorska porazdelitev tokov, ki ustvarjajo to polje? Dodatno vprašanje: Kakšna sila deluje v tem polju na majhen magnetni dipol, ki stoji v točki # r 0, podani z # a # r 0 = 1, in ki ima smer vektorja # a ( # a # r )? {190} Električni potencial v bližini izhodišča ima obliko A ln(s), kjer je s = # a ( # a # r ), pri čemer je # a poljuben enotski vektor in # r radij vektor. Pokaži, da to polje nima zvezno porazdeljenih izvirov! Od kod torej izvira? 4 Naloge za 4. kolokvij {191} Matematična fizika I pismena vaja Neka posebna vrsta eksotičnega lesa je izotropna pri temperaturah pod lediščem vode. Za temperature nad lediščem ostane toplotna prevodnost v obeh smereh povprek na vlakna enaka kot v izotropni fazi, toplotna prevodnost vzdlož vlaken pa narašča linearno s temperaturo, tako da pri temperaturi vrelišča vode doseže že dvakratno vrednost pri ledišču in pod njim. Iz tega lesa izdelamo razsežno homogeno ravno ploščo, ki je rezana tako, da oklepa smer vzdolž vlaken kot 30 z normalo na ploščo. Eno plast plošče hladimo z mešanico vode in ledu (0 C), drugo pa grejemo z mokro paro (100 C). Koliko znaša temperatura v središču plošče, potem ko se temperaturna slika ustali? Dodatno vprašanje: Koliko bi znašala temperatura v sredimi plošče, če bi površino greli na + 50 C, drugo pa hladili na - 50 C? {192} Matematična fizika I pismena vaja Četrt metra dolga palica s presekom 0.5 cm 2 je iz enoosne snovi, rezane tako, da os palice sovpada z glavno smerjo z µ 1 = , v prečni smeri pa sta lastni vrednosti µ 2 = Palico ukrivimo v 15

16 krožni lok s središčnim kotom 50 in jo postavimo v dolgo tuljavo tako, da je os tuljave tangenta na palico v enem izmed krajišč. V tuljavi je homogeno magnetno polje z gostoto 0.1 T. Določi navor na palico! Dodatno vprašanje: Določi silo in navor na palico, če izvira magnetno polje od dolgega ravnega tokonika, ki pravokotno prebada ravnino palice v središču njene krivine. Tok v vodniku je 20 A. {193} Matematična fizika I pismena vaja Izračunaj tenzor vztrajnostnega momenta modela molekule CH 4 (H + ioni se nahajajo v ogljiščih tetraedra s stranico a, ion C 4 je 12-krat težji od H, ima 4-kratni nasprotni naboj in se nahaja težišču tetraedra)! Določite vrtilno količino molekule, če se vrti okoli osi C H oziroma okoli H H s kotno hitrostjo ω 0? Kolikšna je sila med tako molekulo in točkastim nabojem v veliki oddaljenosti od molekule, če upoštevamo samo prve odvode elektročnega polja ( E α / r β, α, β = x, y, z)? {194} Matematična fizika I Po dolgem traku enakomernega preseka (širina je cm in debelina 1 cm) teče električni tok 5 ma. Prevodnik je anizotropen in ima različne lastne vrednosti specifične prevodnosti (σ 1 = m 1 Ω 1, σ 11 = σ 111 = 10 6 m 1 Ω 1 ). Lastna smer z najvećjo prevodnostjo leži v ravnini širše ploskve in tvori kot 60 s smerjo toka. a) Premislite, kakšno smer imajo tokovnice električnega toka! b) Kolikšna je razlika napetosti med točkami, ki ležijo na nasprotnih stranicah? c) Popišite polje napetosti v preseku žice! {195} Matematična fizika I pismena vaja Kolikšen tok bi tekel skozi neidealen ploščati kondenzator pri napetosti 10 V, če je narejen in kristala z izotropno dielektrično konstanto in z enoosno anizotropno specifično upornostjo (glavna os oklepa z normalo na plošči kot 30, ζ = Ωm, ζ = 10 5 Ωm, S = 2 cm 2, d = 0.5 mm)? {196} Matematična fizika I pismena vaja Iz lesta, katerega toplotna prevodnost vzdolž vlaken meri 0.35 W/mK, poprek pa 0.14 W/mK, izstružimo cev premera 10 cm s 5 mm debelo steno, tako da je os cevi pravokotna na vlakna. Kolikšen toplotni tok na dolžinsko enoto teče skozi plašč cevi, po kateri pihamo vroč zrak s temperaturo 100 C, zunaj pa jo hladimo z zrakom pri 0 C? Kolikšen je toplotni tok, če hladimo cev, pri kateri meri kot med osjo cevi in vlakni 30? {197} Matematična fizika I pismena vaja Tri centimetre debela razsežna deska iz svežega lesa je rezana tako, da oklepajo vlakna kot 20 s površino. Na desko pritisnemo z obeh strani debeli bakreni elektrodi, ki ju priključimo na napetostno razliko 10 V. a) Kolikšno moč na ploskovno enoto elektrod troši deska? Upornost v smeri vlaken znaša 300 Ωcm, v prečni smeri pa 500 Ωcm. b) Kolikšen je v stacionarnem stanju temperaturni gradient v lesu tik pod elektrodama, ki sta na stalni temperaturi. Toplotna prevodnost lesa vzdolž vlaken je 4 W/mK, poprek nanje pa 2 W/mK. {198} Matematična fizika I pismena vaja Razsežno plast slabega električnega prevodnika damo med dve kovinski plošči, med katerima je napetost 10 mv. Razdalja med ploščama je 1 mm. Prevodnik je enoosno anizotropen z lastnimi 16

17 vrednostmi za upornost: ζ = 1Ωcm, ζ = 1Ωcm in osjo nagnjeno za ϑ = 30 glede na normalo na plošči. Tak kondenzator postavimo v magnetno polje B = 1 T, ki je v ravnini plošč in pravokotno na os prevodnika. Izračunaj razliko med gostoto tokov, ki tečejo med loščama brez prisotnosti magnetnega polja (efekt magnetostrikcije). Gostota elektronov v prevodniku je n = m 3. Fizikalni napotek: V splošnem primeru Ohmov zakon pomeni sorazmernost električnega toka in celotne sile na nosilce naboja (elektrone). {199} Matematična fizika I pismena vaja Novoodkrit mineral kristalizira v dolgih paličastih kristalih in je dielektrično precej anizotropen. Zlahka ugotovimo, da poteka ena os vzdolž kristalne paličice in ji izmerimo ɛ = 4.2. Preostalih dveh osi iz oblike kristala ne moremo določiti, zato iz njega izbrusimo tri tanke ploščice. Vse tri vsebujejo vzdolžno os, prvi dve sta med seboj pravokotni, tretja pa leži na simetrali med njima. Na njih izmerimo po vrsti efektivne dielektričnosti 3.8, 3.2 in 3.6. Kako zapišemo tenzor dielektričnosti v koordinatnem sistemu, ki ga določata vzdolžna os in prva ploščica (vzdolžna naj bo os z, normala na ploščico pa os y)? Kako je lastni sistem tenzorja zasukan proti izbranemu sistemu? Kakšne so lastne vrednosti dielektričnosti? {200} Matematična fizika I Izpit 2. naloga Tanek obroč (kot hulahup) je sklopljen iz dveh enakih delov. Na enem stiku ju razklopimo in okoli drugega stičišča zavrtimo, tako da je med njunima ravninama kot π/2 (nekakšen zlomljen S). Izračunaj vztrajnostni tenzor tega telesa okoli težišča. Ali je os, ki gre skozi težišči obeh polkrožnih delov, lastna os? 17

18 {201} Matematična fizika I kolokvij Južnoameriški trdi les quebracho ima v smeri vlaken toplotno prevodnost 14 W/mK, v smeri pravokotno na letnice 10 W/mK in v tretji smeri, vzporedno z letnicami, 11 W/mK. Iz lesa izstružimo 10 cm dolgo paličico s premerom 8 mm z osjo v smeri, ki oklepa enake kote z vsemi tremi lastnimi osmi. Paličico po plašču toplotno izoliramo, na konca pa pritisnemo dva razsežna kosa bakra, katerih temperatura se razlikuje za 10 K. Kolikšen toplotni tok teče po paličici, ko se ustali? Za kakšen kot so proti osi paličice nagnjene izotermne ploskve v sredini paličice? {202} Matematična fizika I kolokvij Iz dolgega lesenega hloda simetrično glede na sredino hloda izrežemo tram, s presekom 0.5m 0.5m, nato pa tram naprej nažagamo v enake tanke deske. Izračunaj topolotno prestopnost desk v smeri prečno na deske (tj. vzdolž daljše stranice preseka deske), kjer upoštevaj, da je toplotna prevodnost lesa pravokotno na letnice enaka λ 10 W/mK, vzdolž letnic pa λ 10.5 W/mK. Pri izračunu prestopnosti lahko upoštevaš, da sta λ in λ podobni. V opomin: Toplotna prestopnost je skalarna količina, ki je definirana z zvezo: P/S = Λ T, kjer je P jakost toplotnega toka skozi površino preseka S in je T padec temperature preko materiala s prestopnostjo L. {203} Matematična fizika I kolokvij Razsežen ploščat kondenzator s površino plošč S in debelino d je napolnjen z enoosnim anizotropnim dielektrikom, kateremu se dve lastni smeri dielektričnega tenzorja vrtita vzdolž smeri x za kot φ = kx (glej skico spodaj). Izračunaj kapacitivnost takega kondenzatorja. 18

19 {204} Matematična fizika I kolokvij Obravnavamo prevajanje toplote skozi razsežno toplotno anizotropno plast debeline d, ki jo postavimo med dva velika toplotna rezervoarja z razliko temperatur DT. Anizotropna plast je sestavljena iz dveh medsebojno dobro zmešanih komponent A in B z masnima deležema w A in w B, ki sta toplotno anizotropni, in sicer z različnima enoosnima tenzorjema toplotne prevodnosti. Izredna lastna os prve komponente oklepa kot q 1 z normalo na plast, izredna lastna os druge komponente kot q 2, eno od dveh rednih lastnih osi pa imata obe komponenti vzporedno. Izračunajte gostoto toplotnega toka, ki teče v smeri pravokotno na plast. Določi tudi, kakšna bi morala biti sestava snovi (relativni kot med izrednima lastnima smerema obeh komponent in masna deleža snovi), da bi bila taka snov efektivno izotropna. {205} Matematična fizika I Izpit 1. naloga Tri homogene palice z maso 0.2 kg in dolžino 50 cm zvarimo v paličje: najprej povežemo dve palici s koncema pod pravim kotom, nato pa privarimo tretjo s sredino na konec druge palice, spet pod pravima kotoma na obe prejšnji palici. Določi vzrajnostni tenzor paličja za vrtenje okrog težiščne osi. Kolikšen kot oklepata kotna hitrost in vrtilna količina pri vrtenju okoli osi druge palice? {206} Matematična fizika I izpit 3. naloga Tristrano prizmo z maso 0.1kg, višino 4.17cm in osnovno ploskvijo, ki je pravokotni trikotnik s katetama a=2cm in b=5cm, vpni v težišču. Zapiši tenzor vztrajnostnega momenta prizme v kartezičnem sistemu, v katerem je x os vzporedna s stranico a in y os vzporedna s stranico b. Nato določi rotacijsko os, pri vrtenju okrog katere je deviacijski moment največji. {207} Matematična fizika I izpit 2. naloga V toplotno anizotropnem enoosnem materialu, ki ima dve t.i. redni lastni vrednosti tenzorja toplotne prevodnosti enaki I o, ena t.i. izredna pa je enaka I e, se lastni vektor, ki ustreza izredni # topolotni prevodnosti spreminja vzdolž osi z kot: n = (cos φ sin θ 0, sin φ sin θ 0, cos θ 0 ), kjer je θ 0 je konstanten azimutalni kot, φ pa je polarni kot, ki se spreminja vzdolž osi z kot φ = 2πz/d. Tanko plast takega materiala z debelino prav d stisnemo med dve razsežni ravni plošči z različnima temperaturama (T 1 in T 2 ) in opazujemo toplotni tok. Določi, kako se v stacionarnem stanju spreminja gostota toplotnega toka v opisani plasti anizotropnega materiala? (Opisan problem ustreza približnemu izračunu prevodnosti LCD 90TN tekočekristalnega zaslona.) {208} Matematična fizika I izpit 3. naloga Na gumo se v zunanji obod na razdalji x od roba zarije oster kamenček z maso m, zato se na os vrtenja kolesa pojavi dodaten neželen navor. Kam na rob notranjega oboda gume naj namestimo dve protiuteži m 1 in m 2, da bomo kompenzirali prisotnost kamenčka. Kolikšni naj bosta ti dve masi? Za gumo predpostavi da je v obliki valjastega kolobarja z notranjim radijem a, zunanjim radijem b ter širino gume d. Namig: Razmisli o legi težišča in o deviacijskem momentu. {209} Matematična fizika I izpit 3. naloga Obravnavamo stik med dvema anizotropnima toplotnima prevodnikoma A (l A1 l A2 = I A3 ) in B (l B1 l B2 = I B3 ), ki imata lastne osi tenzorja topolotne prevodnosti kot kaže slika spodaj. Izračunaj, kolikšna je in kam kaže gostota toplotnega toka v prevodniku B, če je v sredstvu A gradient temperature enak (DTx,DTy,0). Glej sliko. 19

20 {210} Matematična fizika I izpit 2. naloga Iz dveh različnih magnetno anizotropnih enoosnih kristalov izrežemo kocki velikosti 2a 2a 2a. V prvi kocki se izredna os magnetne susceptibilnosti spreminja kot # n = (x, y, z)/r, v drugi pa kot # n = (x, y, z)/r, kjer je # r = (x, y, z) radij vektor iz središča posamezne kocke. Izračunajte navor na vsako od kock, če jih postavimo v homogeno magnetno polje B, ki je nagnjeno za kot θ v smeri ene od stranic kock # B = B(sin θ, 0, cos θ). Namig: Prostorsko odvisen tenzor magnetne suspetibilnosti se lahko zapiše kot χ = k # n # n, kjer je k konstanta magneten anizotropije, # n pa je izredna lastna os. Zbirka nalog iz Matematične fizike I, Borut Paul Kerševan Vektorski in tenzorski račun {211} Anizotropni dielektrik ima lastne vrednosti enake ɛ 1 = 4, ɛ 2 = 3 in ɛ 3 = 3. Iz velikega bloka te snovi izrežemo dve razsežni plošči debeline 2 cm in površine 2 m 2, pri čemer je kot med normalo na ploščo in lastnim vektorjem, ki pripada prvi lastni vrednosti, pri prvi plošči enak 45 in pri drugi 60. Obe plošči tesno staknemo in na zunanji površini naparimo plast kovine. Kolikšna je kapaciteta tako dobljenega kondenzatorja? {212} Kroglica z radijem 5 mm iz dielektrične snovi z lastnimi vrednostmi dielektričnosti 2, 2.5 in 3.5 je v električnem polju z gostoto 1000 V/m. Smer polja oklepa enake kote z osmi dielektričnega tenzorja. Kolikšen navor deluje na kroglico in kako je usmerjen? Kakšna sila deluje na kroglico, če polje izvira iz točkastega naboja v razdalji 50 cm? {213} Iz lesa z gostoto 800 kg/m 3 izstružimo stožec z radijem osnovne ploskve 10 cm in višino 10 cm ter ga prežagamo skozi os v dve skladni polovici. Za nastali polstožec določi tenzor vztrajnostnega momenta za vrtenje okrog težoščnih osi. S kolikšnim navorom deluje to telo na ležaje, če ga vrtimo s kotno hitrostjo 10 π s 1 okoli osi, ki je vzporedna geometrijski osi stožca in gre skozi težošče telesa? Kolikšen je kot med kotno hitrostjo in vrtilno količino? Dodatno vprasanje: Določi lastne vrednosti tenzorja. Kako so usmerjene lastne osi? Namig: Račun se najlažje izteče v cilindričnih koordinatah. Ne pozabi na težišče! 20

21 {214} Na tanek obroč z maso 200 g in radijem 30 cm namestimo tri majhne uteži z maso 25 g. Prva je 2 cm nad ravnino obroča, druga 2 cm pod njo, tretja pa v ravnini obroča. Vse tri so na radiju 25 cm, pritrdišča pa so razmaknjena po obroču za 120, tako da težišče sistema ostane v središču obroča. Določi vztrajnostni tenzor sistema. Za kolikšen kot se nagne os največje lastne vrednosti? {215} Enoosni anizotropni toplotni prevodnik ima eksotično lastnost, da je smer osi, v kateri material anizotropno prevaja (s koeficientom λ = 200 W/mK, v ostalih prečnih smereh pa λ = 40 W/mK) funkcija položaja. Iz tega materiala izrežemo razsežno plast debeline 1 cm tako, da je smer anizotropne osi odvisna samo od globine plasti in se enakomerno zasuče od kota 0 (vzporedno z normalo na plast) na eni strani plasti do kota 90 na drugi strani plasti. To plast položimo med toplotna rezervoarja s temperaturno razliko 10 K. Kolikšna je gostota prepuščenega toplotnega toka? {216} Določena vrsta lesa ima toplotno prevodnost vzdolž vlaken 12 W/mK, povprek nanje pa 8 W/mK. Iz tega lesa izrežemo dve plasti z debelino 5 mm. V eni je kot med vlakni in normalo na ploskvi 30, v drugi pa 60. Obe plasti zlepimo s tankim slojem dobro prevodnega lepila v nekakšno furnirno ploščo. Kolikšno gostoto toplotnega toka prepušča ta plošča pri temperaturni razliki 10 K? {217} Tanko okroglo ploščo z maso 1 kg in radijem 20 cm prepognemo okoli premera za pravi kot. Določi vztrajnostni tenzor telesa. Kolikšen kot oklepa vrtilna količina s kotno hitrostjo, če se telo vrti okoli težiščne osi, ki oklepa enake kote z osmi pravokotnega sistema, položenimi po vrsti v smeri pregiba in obeh smeri, ki razpolavljata polkroga? 5 Naloge za 5. kolokvij {218} Matematična fizika I pismena vaja Neraztegnjeno vijačno vzmet na koncu togo vpnemo, na tretjini dolžine od vsakega konca pa pritrdimi dve enaki masi. Sistemu vsiljujemo nihanje tako, da sinusno premikamo eno krajišče vzmeti z amplitudo, ki je enaka šestini dolžine in s frekvenco, ki je dvakrat večja od frekvence, s katero bi nihala prva masa, če bi drugo fiksirali. S kolikšnima amplitudama nihata masi po dolgem času? Opišite gibanje sistema po tem, ko iz mirovanja (hitro) stisnemo vzmet na enem krajišču za šestino njene dolžine! {219} Matematična fizika I pismena vaja 10 kg težka in 2 m dolga deska je na obeh koncih podprta z dvema vijačnima vzmetema s koeficientoma 10 N/cm in 20 N/cm, ki sta pritrjeni tako, da je v ravnovesju deska vodoravna. Vzmeti sta naviti okoli navpičnih vodil, ki dovoljujeta premike samo v navpični smeri. Določite lastna nihajna načina deske za majhna nihanja! Za kolikšen kot se deska največ nagne v teku nihanja, ki ga zaženemo tako, da celi desko vzporedno premaknemo navzdol za 1 cm, in potem spustimo? 21

22 {220} Matematična fizika I pismena vaja Milni mehurček napihnemo do prostornine 1 L skozi 10 cm dolgo slamico z notranjim premerom 1 mm. Nato pustimo, da se skoznjo prazni. V kolikšnem času se mu radij zmanjša za 1%? V kolikšnem času pa se popolnoma izprazni? (Površinska napetost milnice je N/m, viskoznost zraka pa Ns/m 2.) {221} Matematična fizika I pismena vaja Dve enaki kroglici z maso m sta povezani z vzmetjo. V začetku mirujeta v viskozni tekočini. Ena od kroglic je nabita z nabojem e. V nekem trenutku vključimo električno polje vzporedno z zveznico med kroglicama. Opišite gibanje kroglic, če je upor zaradi viskoznosti tekočine: a) zanemarljiv, b) končen, vendar je dušenje nadkritično! {222} Matematična fizika I pismena vaja Z dvema vzmetema s koeficientom k pripnemo klado z maso m na čoln, ki plava v viskozni tekočini (glej. skico). Masa čolna je zanemarljivo majhna v primerjavi z maso klade. Sila upora tekočini na čoln je sorazmerna s hitrostjo čolna, F = γv. Klada drsi po čolnu brez trenja. a) S kolikšno frekvenco zaniha klada, če je vzdolž vzmeti izmaknemo iz mirovne lege? b) Določi vrednost γ = γ 0, pri kateri je nihanje kritično dušeno! c) Določi časovni potek lege klade in čolna za primer, ko klado izmaknemo iz mirovne lege za x 0 in je γ = 2γ 0! {223} Matematična fizika I pismena vaja (popravna) Telo z maso m = 10 g je s štirimi neraztegnjenimi vzmetmi s k = 1 N/m in dolžino 5 cm pripeta na vodoravni gladki podlagi (glej skico). a) Določi lastne frekvence za majhna nihanja! b) Zapiši časovni potek gibanja telesa po tem, ko ga izmaknemo iz mirovne lege v smeri ene od vzmeti za 0.5 cm in izpustimo! c) Dodatno vprašanje: Pod kolikšnim kotom naj bodo vzmeti, da bodo možni zaključeni tiri telesa - Lissajousove krivulje? 22

23 {224} Matematična fizika I pismena vaja Lahka vzmet, ki ima na spodnjem koncu obešeno utež, je na zgornjem koncu pripeta na navpično os, okrog katere jo vrtimo s konstantno kotno hitrostjo. V ravnovesju oklepa z osjo kot 45 in je 2-krat daljša kot v neobremenjenem stanju. Določi frekvenci in smeri majhnih lastnih nihanj! Učinek Coriolisove sile zanemari! Dodatno vprašanje: Kako se spremeni rezultat, če upoštevamo še Coriolisovo silo? {225} Matematična fizika I pismena vaja V valjasti cevi dolžine l in notranjega polmera R tiči malo ožja in enako dolga tanka cev z maso m, med njima pa je tanka plast olja debeline d R z viskoznostjo η. Cevi položimo prečno na smer gravitacijskega polja g, zunanjo cev pa vrtimo s konstantno kotno hitrostjo ω. Na notranjem plašču ožje cevi privarimo majhno a težko kroglico enake mase m. Poišči zastojne točke (ravnovesne lege) sistema za ne prevelike kotne hitrosti ω! S kolikšno frekvenco zaniha kroglica, če jo malo izmaknemo iz ravnovesne lege? Kolikšna mora biti viskoznost η, da dobimo kritično dušenje? Kako se pri podkritični viskoznosti giblje kroglica, ki je bila v začetku v ravnovesju, če spremenimo kotno hitrost zunanje cevi za 1%? Dodatna vprašanje: Razišči obnašanje zastojnih točk v odvisnosti od kotne hitrosti zunanje cevi ω. Če obstaja, izračunaj kritično kotno hitrost ω C nad katero (ω > ω C ) sistem ne bo imel več zastojnih točk. Kako se tedaj giblje kroglica po dolgem času? Opiši gibanje v bližini (zadnje) zastojne točke pri ω = ω C. 23

24 {226} Matematična fizika I pismena vaja Na vrtljivi plošči je s štirimi neraztegnjenimi vzmeti pritrjena utež z maso m (vzmeti vzdolž radialne smeri imata koeficienta k 1, vzmeti v tangentni smeri pa k 2 ). V nekem trnutku začnemo ploščo vrteti s konstantno hitrostjo ω. Opišite gibanje uteži, kadar (a) je k 1 k 2 (utež se lahko giblje le radialno); (b) sta k 1 in k 2 poljubna! Predpostavimo lahko, da so odmiki uteži majhni v primerjavi z dolžino vzmeti, in da je trenje med ploščo in utežjo zanemarljivo. {227} Matematična fizika I naloga Vzmetno nihalo sestavimo iz lahke vijačne vzmeti s koeficientom k, na katero obesimo maso m. Nihalo zanihamo v navpični smeri in ko doseže najvišjo točko, a = cm nad mirovno lego, obesimo nanj nalahko, brez dodatnega sunka, še eno enako maso. Kako globoko pod mirovno lego zaniha nihalo in v kolikšnem času prvič doseže to točko? Kako se spremenita gornji vrednosti, če je nihalo dušeno? Prvotnemu nihalu se zmanjša amplituda z vsakim nihajem za faktor 0.9, sila dušenja pa se z dodatno maso ne spremeni. {228} Matematična fizika I 209/ kolokvij Dve enaki vzmetni nihali, sestavljeni iz lahke vijačne vzmeti s koeficientom 5 N/cm in uteži 50 g, obesimo na konca 20 cm dolge homogene toge prečke z maso 0 g, vrtljive okrog težišča. Masi sta prevrtani in nataknjeni na vodili, ki omejujeta njuno gibanje na navpično smer. Kakšna so lastna nihanja sistema za majhne nagibe prečke? Določi lastne frekvence in (kvalitativno) oceni smeri gibanj teles. Dodatno vprašanje: Kako se giblje sistem iz mirovanja, ko eno od uteži od spodaj frcnemo navzgor s hitrostjo 2 cm/s? {229} Matematična fizika I 2010/ kolokvij VSS Plošči ploščatega kondenzatorja s površino 1 dm 2 in maso 1 g povežemo s plastično vzmetjo s koeficientom 10 3 N/m, ki je neraztegnjena dolga 5 cm. Kondenzator je priklopljen na konstantno napetost 100 V. Kolikšna je ravnovesna razdalja med ploščama in s kolikšno frekvenco zanihata plošči, ko ju malo izmaknemo iz ravnovesne lege? {230} Matematična fizika I kolokvij Dve enaki, 0.5 m dolgi lahki vijačni vzmeti s koeficientom 5 N/cm spnemo s koncema in ju vpnemo med dva toga zidova, ki sta 0.5 m vsaksebi. Na stičišče vzmeti obesimo utež. Kako je frekvenca majhnih nihanj uteži (v navpični smeri) odvisna od povesa v ravnovesni legi? Zapiši (v približku 24