3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z.

Transcript

1 3. VAJA IZ TRDNOSTI (tenzor deformacij) (pomiki togega telesa, Lagrangev in Eulerjev opis, tenzor velikih deformacij, tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Gumijasti kvader dimenzij a b c v začetni nedeformirani legi se deformira kot prikazuje slika. Določi pomik v referenčnem in prostorskem opisu. Zapiši materialne bazne vektorje e x, e y in e z za ta primer. Pokaži, da vektor e y leži na tangenti na materialno os in ni nujno enotski. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e b 2 x + f b ye y. Pomik v prostorskem opisu: u = ey e (b+ f ) 2 x + f y f +b e y. ( ) Bazni vektorji: e x = e x,e y = 2y e b 2 x f b e y,e z = e z. NALOGA 2: Deformiranje telesa je podano s poljem pomikov v materialnem koordinatnem sistemu u = 10 3 ((xy 3)e x + (2x 2 + z)e y + z 2 e z ) [cm]. Telo v nedeformiranem stanju zaseda trirazsežno območje (x,y,z) [0,1] [0, ] [0, ]. Analiziraj deformiranje telesa v ravnini x = 0. Določi spremembo razdalje med delcema D 1 in D 2, ki sta se pred deformiranjem nahajala v točkah r 1 = 4e y + 1e z [cm] in r 1 = e y + e z [cm]. Določi tudi specifično spremembo dolžin vlaken v smeri T 1 T 2. Rešitev: Specifična sprememba dožine daljice T 1 T 2 je D T T = ε T T = T 1 T 2 = T 1 T 2 Količina D T T predstavlja povprečno normalno deformacijo ε T T vlaken v smeri T 1 T 2 med točkama T 1 in T 2. T Normalna komponenta deformacije ε T T v smeri e T = 1 T 2 v točki T T 1 T 1 je ε T T (T 1 ) =

2 Normalna komponenta deformacije ε T T v smeri e T v točki T 3, ki se nahaja na sredini med točkama T 1 in T 2 je ε T T (T 3 ) = NALOGA 3: Pomik tanke stene stranico b = 1m debeline d = 1cm je podan z vektorjema (a) (b) u(x,y,z) = u x e x + u y e y = ay e x + ax e y = u x = ay, u y = ax, u(x,y,z) = u x e x + u y e y = ay e x + ax e y = u x = ay, u y = ax. Določi: Komponente tenzorja majhnih deformacij ε i j, komponente tenzorja rotacij ω i j v kartezičnem koordinatnem sistemu in vektor zasuka ω. Specifične spremembe dolžin daljic AB, AC, AD in BC in spremembi pravih kotov CAB in CED. Glavne normalne deformacije in pripadajoče smeri. Podatki: a = 10 4, A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(1,1,0) in E(0.,0.,0). Vse razdalje so v metrih. Rešitev: Glej prosojnice. NALOGA 4: Obravnavamo ploščo trikotne oblike s stranicami a = 3m, b = 4m in c = m. Plošča se zaradi delovanja zunanje obtežbe deformira. Spremembe dolžin stranic trikotnika so a = 0.012m, b = 0.01m in c = m. Določi spremembo pravega kota med stranicama a in b. Rešitev: Točno: γ = γ γ = = = rad. Približno: Iz ε xx, ε yy, ε ηη izračunamo ε xy. γ 2ε xy = rad. NALOGA : Predpostavi, da so deformacije po pravokotni plošči konstantne po prostornini plošče. Deformacijski tenzor je [ε i j ] = Privzemi, da sta pomik in zasuk v točki A enaka nič. Določi spremembo dolžine diagonale pravokotne plošče na dva načina: (1) izračunaj pomik v točki C in določi deformirano dolžino diagonale.

3 (2) določi deformacijo ε ξ ξ v smeri diagonale in iz nje izračunaj spremembo dolžine diagonale. Rešitev: Pri izračunu pomika lahko uporabimo rezultat naloge 7. Dobimo u C = 10 2 ( e x e y ) [cm]. Od tu izračunamo d = d d 0 = = cm, kjer smo z d označili dolžino diagonale v deformirani legi z d 0 pa dolžino diagonale v začetni nedeformirani legi. Upoštevamo enačbi ε ξ ξ = ε xx e 2 ξ x +ε yy e 2 ξ y +2ε xy e ξ x e ξ y = in ε ξ ξ = d d 0 in dobimo d = cm. NALOGA 6: Deformiranje telesa je opisano z vektorskim poljem pomikov V točki T (x,4,2), ki leži v ravnini Γ določi: u = 10 4 ((x 2 6z) e x + 2y 2 z e y + (x 2 3y 2 z) e z ). a) specifično spremembo dolžine normale na ravnino Γ, b) specifično spremembo pravega kota γ, c) rezultirajoči vektor zasuka ω, vrednosti ω n in ω t tenzorja zasukov ter povprečni zasuk ω n okrog smeri normale na ravnino Γ, d) ugotovi ali v kakšni točki na črti AB vlada izohrono defomacijsko stanje (to pomeni, da je specifična sprememba prostornine v kakšni točki enaka 0). Rešitev:

4 a) specifična sprememba dolžine normale na ravnino Γ je D nn ε nn = , b) specifična sprememba pravega kota γ je γ = D yt 2ε yt = , c) rezultirajoči vektor zasuka ω = 10 4 ( 40 e x 6 e y ), ω n = ω e n = 10 4 ( 6 e x + 40 e y + 12 e z ), ω t = ω e t = 10 4 ( 12 e x + 80 e y 6 e z ), povprečni zasuk ω n okrog smeri normale na ravnino Γ je ω n = , d) v točki T ( 40 11,4, 8 11) na črti AB vlada izohrono defomacijsko stanje. NALOGA 7: Polje pomikov je podano z enačbo u = 10 4 ((x z) 2 e x + (y + z) 2 e y xy e z ). V točki P(0,2, 1) določi: a) tenzor majhnih deformacij, b) tenzor majhnih zasukov, c) vektor zasuka ω. d) specifično spremembo dolžine v smeri e ξ = 1 9 (8 e x e y + 4 e z ) e) spremembo pravega kota med vektorjema e ξ in e η = 1 9 (4 e x + 4 e y 7 e z ). Rešitev: a) tenzor majhnih deformacij b) tenzor majhnih zasukov [ε i j ] = , [ω i j ] = , c) vektor zasuka ω = 10 4 e x. d) specifična sprememba dolžine v smeri e ξ = 1 9 (8 e x e y + 4 e z ) je D ξ ξ ε ξ ξ = e) sprememba pravega kota med vektorjema e ξ in e η = 1 9 (4 e x +4 e y 7 e z ) znaša D ξ η 2ε ξ η = NALOGA 8: Polje pomikov je v kartezijskem telesnem koordinatnem sistemu z bazo e x, e y, e z in koordinatami x, y, z podano z vektorjem u = 10 4 ((4x y + 3z) e x + (x + 7y) e y + ( 3x + 4y + 4z) e z ). Določi:

5 a) specifično spremembo volumna, b) tenzor majhnih deformacij, c) glavne normalne deformacije in pripadajoče smeri, d) ekstremne strižne deformacije in pripadajoče smeri, e) deviatorični del tenzorja majhnih deformacij, f) Rezultate prikaži z Mohrovimi krogi. Rešitev: a) specifična sprememba volumna ε V = 10 4 ( ), b) tenzor majhnih deformacij [ε i j ] = , c) glavne normalne deformacije in pripadajoče smeri so ε 11 = , ε 22 = , ε 33 = , e 1 = 1 (2 e y + e z ), e 2 = e x, e 3 = 1 ( e y 2 e z ). d) ekstremna strižna deformacija in pripadajoče smeri so γ 2 = 1 2 (ε 33 ε 11 ) = , e II = ± 2 2 ( e 3 ± e 1 ). e) deviatorični del tenzorja majhnih deformacij [e i j ] = , NALOGA 9: Polje pomikov je v kartezijskem telesnem koordinatnem sistemu z bazo e x, e y, e z in koordinatami x, y, z podano z vektorjem kjer so a, b in c zelo majhne konstante. u = ( cy + bz) e x + (cx az) e y + ( bx + ay) e z, Pokaži, da vektor pomikov opisuje rotacijo telesa. Poišči tudi vektor rotacije ω 0. Rešitev: Vektor rotacije ω 0 = a e x + b e y + c e z NALOGA 10: Polje pomikov je v kartezijskem telesnem koordinatnem sistemu z bazo e x, e y, e z in koordinatami x, y, z podano z vektorjem u = y 3 e z. Poišči normalo ravnine, v kateri ni normalnih deformacij. Rešitev: Normali ravnin, v kateri ni normalnih deformacij sta e n = α e x + β e y,α 2 + β 2 = 1 in e n = α e x + β e z,α 2 + β 2 = 1.

6 NALOGA 11: V kartezijskem koordinatnem sistemu z bazo e x, e y, e z in koordinatami x, y, z je podan kvader z oglišči A(0,0,0), B(a,0,0), C(0,b,0), D(a,b,0), E(0,0,c), G(a,0,c), F(0,b,c), H(a, b, c). Velja a : b : c = 2 : 3 :. Pri deformaciji ostanejo dolžine stranic AB AC in AE nespremenjene, pravi kot BAC se poveča na , pravi kot CAE se zmanjša na , pravi kot EAB pa preide na Določi specifično spremembo dolžine diagonale AH. Rešitev: Specifična sprememba dolžine diagonale ε ξ ξ =