Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog

Transcript

1 Barbara Rovšek Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog z rešitvami 1 Nihanje 11 Kinematika (nedušenega) nihanja 1 Nihalo niha z nihajnim časom 4 s V nekem trenutku je njegov odmik od mirovne lege 2 cm, hitrost pa -3,0 cm/s Kolikšen je odmik nihala čez 1 s in kolikšna je tedaj njegova hitrost? (-1,91 cm; -3,14 cm/s) 2 Desetinko sekunde zatem, ko gre nihalo skozi ravnovesno lego, je njegov odmik od ravnovesne lege 0,5 cm Ko preteče še ena desetinka sekunde, je odmik nihala od ravnovesne lege 0,7 cm Kolikšen je najdaljši možen nihajni čas nihala in kolikšna je amplituda nihanja v tem primeru? (0,79 s; 0,7 cm) 3 Na sliki je prikazano, kako se odmik sinusno nihajoče točke spreminja s časom Kolikšni so amplituda, frekvenca, krožna frekvenca, nihajni čas in fazni premik za to nihanje, če ga opišemo s funkcijo Kaj pa, če odmik opišemo s funkcijo y(t) = y 0 sin(ωt δ a )? y(t) = y 0 cos(ωt + δ b )? 2 1 y [cm] t [s] 2 25 t [s] (y 0 = 1, 5 cm; ν = 0, 5 s 1 ; ω = π s 1 ; t 0 = 2 s; δ a = 7π/4; δ b = π/4)

2 2 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog 4 Nihalo niha nedušeno in harmonično V trenutku t 1 = 1,2 s je odmik nihala iz ravnovesne lege nič, pol sekunde kasneje pa je njegov odmik -2 cm in je nič njegova hitrost Kolikšen je (najdaljši možen) nihajni čas nihala? S kolikšno amplitudo niha nihalo? Zapiši, kako se odmik in hitrost nihala spreminjata s časom Kolikšna sta odmik in hitrost nihala ob času t 2 = 5, 45 s? (2 s; 2 cm; x(t) = x 0 sin(ωt + δ); ) 5 Utež pritrdimo na prosti konec lahke vijačne vzmeti, ki je obešena pod strop Ko utež počasi spuščamo (jo podpiramo z roko), se vzmet v celoti raztegne za 5 cm Koliko se raztegne vzmet, če utež spustimo v hipu? Ko utež spustimo v hipu, je trenutek, v katerem je vzmet najbolj raztegnjena, 0,6 s zatem, ko smo utež spustili Zapiši, kako se lega uteži spreminja s časom Naj bo pomen količin, s katerimi opišeš lego uteži, natančno opredeljen (10 cm; x(t) = x 0 cos(ωt); ob t = 0 utež spustimo; x 0 = 5 cm; ω = 5,24 s 1 ) 6 Utež z maso 100 g visi na vzmeti s koeficientom 0,5 N/cm Utež potegnemo 2 cm pod ravnovesno lego in jo ob času t = 0 spustimo, da zaniha Zapiši funkcijo, ki opiše, kako se odmik uteži od ravnovesne lege spreminja s časom, z vsemi parametri, ki jih lahko določiš Kolikšna sta hitrost (velikost in smer) in pospešek (velikost in smer) uteži, ko je ta 1 cm pod ravnovesno lego in se ravnovesni legi približuje? Kje bo utež in kolikšna bosta njena hitrost in pospešek pol nihajnega časa kasneje? Dušenje zanemari (x(t) = x 0 cos(ωt); x 0 = 2 cm; ω = 22,4 s 1 ; (+)0,39 m/s navzgor; (+)5 m/s 2 navzgor; 1 cm; (-)0,39 m/s navzdol; (-)5 m/s 2 navzdol) 7 Gibanje točkastega telesa v ravnini opišemo z x(t) = x 0 cos(ωt), y(t) = 2x 0 sin( 3 2 ωt), kjer sta x 0 = 2 cm in ω = 6, 28 s 1 Nariši tir, po katerem se telo giblje (Nasvet: nariši najprej, kako se vsaka koordinata posebej spreminja s časom, in potem oboje združi v eno sliko tira v ravnini) 12 Nihajni čas 1 Dve enaki kroglici z masama 100 g povežemo z lahko, 40 cm dolgo palico Kolikšen je nihajni čas tega sistema okoli osi, ki prebada palico 10 cm stran od njene sredine? Predpostavi, da sta kroglici točkasti

3 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog 3 (1,42 s) 2 Smiselno oceni nihajni čas iztegnjene noge odraslega človeka, ki ima maso 80 kg in je visok 1,85 m Noga niha okoli osi, ki gre skozi kolčni sklep (1,5 s ± 0,1 s) 3 Dve metrski palici sestavimo tako, da sta spojeni na enem koncu in tam oklepata pravi kot (variacija: 60 ) Kolikšen je nihajni čas tako spojenih palic okoli osi v pravokotnem oglišču? Obravnavaj nihanje v ravnini palic (1,95 s; variacija: 1,76 s) 4 Tri enake ozke palice, dolge 0,5 m, zvarimo na koncih, da dobimo enakostranični trikotnik Obesimo ga na žebelj na steni in zanihamo v ravnini trikotnika Kolikšen je nihajni čas za nihanja z majhnimi odmiki? Težišče enakostraničnega trikotnika je na tretjini višine na stranico (1,32 s) 5 V vsaki roki držimo na isti višini en konec 30 cm dolge lahke verižice Na sredini verižice visi majhen obesek Verižico zanihamo v smeri, ki je pravokotna na ravnino, v kateri visi Kako je nihajni čas, s katerim zaniha, odvisen od tega, kako narazen držimo oba konca verižice? Prikaži odvisnost na grafu (t 0 = 2π 2g 4 l 2 0 x 2 ; l 0 = 30 cm; x je razdalja med koncema verižice) 6 Diskasta plošča s polmerom 0,6 m niha v ravnini plošče okoli osi, ki je pravokotna na ploščo in je 40 cm odmaknjena od njenega središča S kolikšnim nihajnim časom niha? 7 (1,83 s) Železen obroč s premerom 1 m ima maso 2 kg S kolikšnim nihajnim časom zaniha, ko ga obesimo na žebelj na steni? Kolikšen pa je nihajni čas, če na obroč prilepimo kepo plastelina z maso 0,3 kg? Os nihanja je vzporedna žeblju, plastelin pa je v mirovni legi točno pod osjo (1,97 s; 1,97 s) 8 Micka ima zlata uhana: vsak uhan je iz dveh enako debelih obročev, večji ima polmer 2 cm, manjši pa 1,5 cm Obroča sta skupaj togo povezana in pritrjena v eni

4 4 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog točki na obodu (na Mickinem uhlju), visita v isti ravnini Kolikšen je nihajni čas enega Mickinega uhana v ravnini uhana okoli osi, ki gre skozi točko, kjer se obroča stikata (in sta pripeta na uhelj)? (0,38 s) 9 Nad vhodom v krčmo visi na dveh lahkih, vzporednih, 20 cm dolgih vrvicah pravokotna tabla z napisom Pri pečeni goski (glej sliko) Daljši rob table je dolg 70 cm, krajši pa 40 cm Tabla je narejena iz enakomerno debelega kosa lesa in ima maso 6,1 kg Kolikšen je njen nihajni čas za nihanje z majhno amplitudo? Tablo zaniha sunek vetra v smeri, pravokotni na sliko Pri pečeni goski (1,28 s) 10 V ptičji kletki visi gugalnica, na gugalnici pa čepi papagaj Čarli in se guga Kolikšen je nihajni čas prazne gugalnice in kolikšen gugalnice s Čarlijem? Gugalnica je vodoravna, valjasta, lesena prečka s premerom 1 cm in dolga 8 cm, obešena pod strop kletke z dvema vzporednima, ravnima, kovinskima paličicama Kovinski paličici sta dolgi 10 cm in sta pripeti na oba konca vodoravne prečke v njeni osi Lesena prečka ima maso 5 g, vsaka od kovinskih paličic ima maso 6 g, Čarlijeva masa pa je 45 g Papagaja aproksimiraj s kroglo s premerom 6 cm, njeno težišče pa je 3 cm nad osjo prečke (0,574 s; 0,556 s) 11 Iz plutovinastega zamaška, treh lahkih lesenih paličic in dveh kepic plastelina sestavimo nihalo, ki je narisano na sliki Nihalo zaniha z majhnimi odmiki v ravnini nihala okoli dotikališča podporne paličice s podlago Kje je težišče nihala in koliko je oddaljeno od osi? Kolikšen je vztrajnostni moment nihala za to nihanje? Kolikšen je nihajni čas? Masa ene kepice plastelina je 100 g, dolžina paličice, ki kepo plastelina drži, je 15 cm, kot med obema paličicama s kepicama plastelina je 90, dolžina podporne paličice pa je enaka četrtini diagonale kvadrata s stranico 15 cm Kepici plastelina obravnavaj kot točkasti (Na sredini zveznice med utežema; 5,3 cm; 0,0028 kg m 2 ; 1,03 s)

5 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog 5 12 Prazen kvadraten lesen okvir za sliko obesimo na žebelj na steni v enem od pravokotnih oglišč Stranica okvirja je dolga 60 cm, masa celega ovirja pa je 3,6 kg S kolikšnim nihajnim časom niha okoli ravnovesne lege? (1,69 s) 13 Med dve steni je z dvema vzmetema s konstantama 4 N/cm in 6 N/cm pritrjena utež z maso 0,24 kg S kolikšnim nihajnim časom zaniha utež, če jo izmaknemo iz ravnovesne lege v smeri vzmeti? Kolikšna je energija nihanja tega sistema, če utež niha z amplitudo 2 cm? (0,097 s; 0,2 J) 14 Nihalo sestavljata 1 m dolga palica z maso 0,5 kg ter na njenem koncu obešena utež z maso 2 kg Kolikšen je nihajni čas za majhna nihanja takega nihala okoli osi, ki je vodoravna in gre skozi drug konec palice? Utež obravnavaj kot točkasto (1,95 s) 15 En meter dolga palica ima maso 1,2 kg Na zgornjem koncu je vrtljivo vpeta Na palici je premična majhna utež z maso 1,0 kg Kako daleč od osi moramo namestiti utež, da bo nihajni čas palice z utežjo za nihanje z majhno amplitudo 10% daljši od nihajnega časa iste palice brez uteži? (0,90 m) 16 Na oba konca 1 m dolge lahke palice namestimo enaki majhni uteži Štiri dodatne enake majhne uteži namestimo še vmes na palico na taka mesta, da je vseh šest uteži enakomerno razmaknjenih Palica je na enem koncu (kjer je ena od uteži) vrtljivo vpeta Kolikšen je nihajni čas tega nihala za nihanje z majhno amplitudo? (1,72 s) 17 Na koncu 80 cm dolge kovinske palice z maso 0,68 kg je lesena krogla z maso 2 kg in premerom 2r = 16 cm Na nasprotnem koncu je palica vrtljivo obešena na stojalo Kolikšen je nihajni čas nihala za nihanje z majhno amplitudo (upoštevaj, da je utež razsežna krogla)? Kolikšna je maksimalna kinetična energija nihala med nihanjem, če palico na začetku odmaknemo od navpičnice za 3? Vztrajnostni moment krogle z maso m in polmerom r za vrtenje okoli osi, ki gre skozi njeno težišče, je 2 5 mr2 (1,83 s; 27,3 mj) 18 Metrska palica, vrtljivo vpeta na enem koncu, niha s frekvenco 0,62 s 1 Kolikšna bi bila frekvenca nihanja, če bi spodnjo tretjino palice odžagali? (0,76 s 1 ) 19 Kako dolga naj bo palica, vrtljivo vpeta v osi, ki gre skozi njen konec, da bo njen nihajni čas enak kot nihajni čas matematičnega nihala na 0,66 m dolgi vrvici? (1 m) 20 Homogena, enakomerno debela in gosta palica je vrtljivo vpeta v osi, ki gre skozi njeno krajišče Kam na palico lahko pritrdimo dodatno utež, da to nič ne vpliva na nihajni čas? (V oddaljenosti 2/3 njene dolžine od osi)

6 6 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog 21 Izračunaj nihajni čas nihala na sliki! Masa uteži je 200 g, koeficient zgornje vzmeti je 8 N/cm in koeficient spodnje vzmeti je 5 N/cm (Pozor! Raztezek posamezne vzmeti ni enak odmiku uteži od mirovne lege!) (0,16 s) 22 Kolo z maso 1,4 kg in polmerom R = 40 cm se lahko prosto vrti okoli svoje vodoravne simetrijske osi Potem zvežemo eno od (zelo lahkih) špic kolesa na razdalji r = 30 cm od osi z vzmetjo, ki je na drugem koncu pripeta na steno Koeficient vzmeti je 12 N/m, vzmet pa v ravnovesni legi (narisana) ni raztegnjena Poišči frekvenco nihanja za ta sistem, če ga nekoliko izmaknemo iz ravnovesne lege! r R (0,35 s 1 ) 23 Točno na sredino zveznice med kilogramskima kroglama s polmerom 3 cm, ki sta med seboj oddaljeni 20 cm, postavimo majhen delec S kolikšno frekvenco zaniha, če ga nekoliko izmaknemo iz ravnovesne lege v smeri pravokotno na zveznico? Kaj bi se zgodilo, če bi ga izmaknili v poljubni smeri (s komponento premika vzdolž zveznice)? Gravitacijska sila med masama m 1 in m 2 je κ m 1m 2, gravitacijska konstanta r 2 je 6, N m 2 /kg 2 (5, s 1 ; potegnilo bi ga k bližji krogli) 24 Nihalo stare stenske ure je sestavljeno iz 1,5 m dolge lesene palice z maso 100 g in polkilogramske uteži, ki jo lahko prestavljamo vzdolž palice Palica je vrtljivo vpeta v osi na enem koncu Kako daleč od osi moramo pritrditi utež, če želimo, da nihalo niha z nihajnim časom 2 s? (1,015 m) 25 Leseno palico z maso 2,2 kg in dolgo 1,5 m vpnemo vrtljivo v osi, ki je 10 cm pod zgornjim koncem palice Palico zmaknemo iz ravnovesne lege in spustimo S kolikšnim nihajnim časom zaniha? Kje bi jo morali vpeti, da bi nihala najhitreje? (1,9 s; 32 cm od konca palice)

7 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog 7 26 Kako moramo obesiti palico, da niha z največjo frekvenco? (V osi, ki je od težišča palice oddaljena l/ 12) 27 Kolikšen je najkrajši možen nihajni čas 1 m dolge palice? Nariši dva grafa, ki kažeta, kako sta frekvenca, s katero palica niha, in nihajni čas odvisna od razdalje x med težiščem palice in osjo, ki palico prebada (1,52 s) 28 Na obeh koncih lahke, 15 cm dolge lesene prečke sta enaki majhni uteži Kako moramo obesiti ročko (kje naj os, okoli katere ročka niha, prebada prečko), da je nihajni čas najkrajši? Nariši to situacijo! (Na enem od koncev skozi eno od uteži Nasvet: izračunaj, kako je nihajni čas odvisen od oddaljenosti osi od konca palice) 29 Okrogla plošča s polmerom 20 cm niha okoli osi, ki je vodoravna, pravokotna na ravnino plošče in 5 cm oddaljena od njene geometrijske osi Kolikšen je nihajni čas? Kolikšna bi morala biti oddaljenost nihajne osi od geometrijske, da bi plošča nihala najhitreje? S kolikšnim nihajnim časom bi nihala? (1,33 s; 14,1 cm; 1,06 s) 30 Okrogla, enakomerno debela lesena plošča ima polmer 0,5 m Kje moramo vanjo izvrtati luknjo, skozi katero jo obesimo na žebelj, da okoli njega zaniha (v ravnini plošče) z najkrajšim nihajnim časom? Nariši graf, ki kaže, kako je ω 2 odvisen od razdalje luknje od težišča plošče (0,353 m od središča plošče) 31 Enakomerno debelo krožno leseno ploščo s polmerom R = 0,8 m in maso 32 kg razžagamo na štiri enake krožne izseke V vrhu enega izseka zvrtamo luknjo in

8 8 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog ploščo (ki je zdaj četrtina kroga) obesimo na žebelj Zanihamo jo v ravnini plošče Kolikšen je nihajni čas? Težišče izseka je od vrha izseka oddaljeno R π/8 (3,60 s) 32 Enakomerno debela krožna lesena plošča ima polmer R = 0,8 m in maso 32 kg Luknjo vanjo zvrtamo 10 cm od roba in jo tam obesimo na žebelj Kolikšen je nihajni čas plošče za nihanja z majhno amplitudo okoli žeblja v ravnini plošče? Potem na ploščo prilepimo še eno krožno ploščo, z enakim polmerom in iz istega lesa, a pol tanjšo Kolikšen je zdaj nihajni čas? (2,16 s; 2,16 s) 33 Lastni nihajni čas praznega cekarja je 1 s Ko v cekar naložimo 2 kg krompirja, se lastni nihajni čas podaljša na 1,2 s Težišče krompirja je 40 cm od osi, okoli katere cekar niha Kolikšen je vztrajnostni moment praznega cekarja, če zanemariš razsežnost krompirja? (0,077 kg m 2 ) 34 Kolikšen je nihajni čas polovice valja, ki leži na vodoravnih tleh, kot je narisano na sliki, in ga malo izmaknemo iz ravnovesne lege? Polmer valja je R =20 cm, razdalja med težiščem pol-valja in središčnico pol-valja pa x = 4R 3π 0101 x (1,11 s) Na vzmet z razteznostnim koeficientom 3,2 N/m pripnemo valj z maso 2 kg, ki se po podlagi kotali brez spodrsavanja Valj nekoliko izmaknemo iz ravnovesne lege in ga spustimo S kolikšnim nihajnim časom zaniha? (6,08 s) 36 Lesena deska z maso 12 kg leži na dveh enakih lesenih valjih s polmerom 20 cm in maso 18 kg Deska je z vzmetjo s koeficientom 15 N/cm povezana s steno S kolikšnim nihajnim časom zaniha deska potem, ko jo nekoliko izmaknemo iz ravnovesne lege? Valji se kotalijo, deska ne spodrsava (Namig: računaj z energijo!) (0,82 s)

9 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog 9 37 Lesena deska z maso 15 kg leži na treh enakih lesenih valjih s polmerom 18 cm in maso 20 kg Deska je z vzmetjo s koeficientom 15 N/cm povezana s steno S kolikšnim nihajnim časom zaniha deska potem, ko jo nekoliko izmaknemo iz ravnovesne lege? Valji se kotalijo, deska ne spodrsava (Namig: računaj z energijo!) (0,993 s) 38 V žlebu s paraboličnim profilom y = kx 2 izmaknemo kroglico s polmerom 4 mm in z maso 2 g iz ravnovesne lege, tako da je ob steni žleba, 0,3 cm nad dnom Parameter k = 0, 2 m 1 Ko jo spustimo, se zakotali po žlebu, zaniha Kolikšen je nihajni čas? Vztrajnostni moment krogle za vrtenje okoli osi, ki gre skozi njeno težišče, je 2 5 mr2 (Nasvet: računaj z energijo in upoštevaj, da je komponenta hitrosti v y smeri mnogo manjša od komponente hitrosti v x smeri) y 3 cm x (3,72 s) 39 Na vzmeti s koeficientom 90 N/m visi utež z maso 2,5 kg Na začetku vzmet ni niti raztegnjena niti skrčena, utež pa podpiramo z roko Ob času t = 0 utež spustimo Kako se zatem s časom spreminja lega uteži? (x = x 0 cos ωt; x 0 = 0, 28 m; ω = 6 s 1 ) 40 Na vzmeti visi utež z maso 2,4 kg Pod to utež obesimo z vrvico še dodatno utež z maso 0,5 kg, vzmet se pri tem raztegne za dodatnih 1,2 cm Ko vrvico prerežemo, spodnja utež pade na tla, večja utež na vzmeti pa zaniha S kolikšno frekvenco in amplitudo zaniha? Zapiši, kako se njena lega spreminja s časom (x = x 0 cos ωt; x 0 = 1, 2 cm; ω = 13,2 s 1 ) 41 Utež z maso 0,5 kg visi na vzmeti s koeficientom 2 N/cm Utež na začetku držimo tako, da vzmet ni raztegnjena Ob času t = 0 utež spustimo S kolikšno amplitudo zaniha? Kdaj gre skozi mirovno lego? Zapiši, kako se lega uteži spreminja s časom! (2,5 cm; 0,078 s; x = x 0 cos ωt; ω = 20 s 1 ) 42 Na ravni gladki podlagi miruje klada z maso 0,6 kg, ki je z 20 cm dolgo vzmetjo s koeficientom 5 N/cm povezana z navpično steno (slika!) Na nasprotno steno je pritrjena druga vzmet s koeficientom 6 N/cm, ki je neraztegnjena dolga 25 cm Klado pridržimo na mestu in pritrdimo nanjo še prosti konec druge vzmeti, ki jo moramo zato raztegniti za 4 cm Potem klado spustimo (v trenutku, ko t = 0) Zapiši, kako se zatem klada giblje, z vsemi parametri vred! Po podlagi klada drsi brez trenja

10 10 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog (x = x 0 cos ωt; x 0 = 2,18 cm; ω = 42, 8 s 1 ) 43 Klada z maso 1 kg miruje na gladkem klancu Zdrs ji preprečuje vzmet, s katero je pripeta ob steno, kot kaže slika Na drugem koncu klado vleče navzdol vrvica s silo 10 N V nekem trenutku se vrvica strga Zapiši, kako se giblje klada zatem! Vse parametre izračunaj! Koeficient vzmeti je 4 N/cm, naklon klanca pa 30 (x = x 0 cos ωt; x 0 = 2, 5 cm; ω = 20 s 1 ) 44 Na ravni podlagi leži velika klada z maso 2 kg, ki je z vzmetjo s koeficientom 200 N/m povezana s steno Na veliki kladi leži majhna klada z maso 500 g Koeficient lepenja med kladama je 0,45 S kolikšno amplitudo največ lahko zaniha ta sistem, ne da bi majhna klada začela spodrsavati? Trenja med veliko klado in podlago ni (5,6 cm) 45 Tone skoči skozi okno v mrežo, ki jo 15 m nižje držijo napeto gasilci Ko pristane v mreži, se ta raztegne za 1,2 m Predpostavite, da se mreža vede kot preprosto vzmetno nihalo S kolikšnim nihajnim časom in amplitudo zaniha Tone? Koliko je mreža raztegnjena, če bi Tone v njej mirno ležal? Njegova masa je 75 kg (0,42 s; 1,16 m; 4,4 cm) 46 Vzmet s koeficientom 4 N/cm je na spodnjem koncu pritrjena na tla, na zgornjem pa drži zanemarljivo lahko mizico Na mizico z višine h 0 = 20 cm prosto pade kepa plastelina z maso 0,3 kg S kolikšno frekvenco in amplitudo mizica s plastelinom zaniha? Koliko časa zatem, ko plastelin pade na mizico, gre nihalo prvič skozi ravnovesno lego?

11 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog 11 h 0 (5,8 s 1 ; 0,752 cm; 0,041 s) 13 Dušeno nihanje 1 Nihalu, ki niha dušeno, se v 1 minuti amplituda nihanja zmanjša na tretjino V tem času zaniha točno 12-kratKolikšen je koeficient dušenja? Kolikšna je lastna frekvenca nihala? Zapiši, kako se s časom spreminja odmik, če gre ob trenutku t = 0 nihalo skozi mirovno lego! (1, s 1 ; ω 0 = 1,257 s 1 ; x = x 0 e βt sin ωt; ω = 0, 4π s 1 ) 2 Dušeno harmonično nihalo izgubi pri vsakem nihaju 5% energije Za kolikšen del se pri vsakem nihaju zmanjša amplituda nihanja? Kolikšno je razmerje med njegovo lastno krožno frekvenco ω 0 in krožno frekvenco, s katero niha? (2,53 %; 1 + 8, ) 3 Dušeno harmonično nihalo izgubi pri desetih nihajih 20% energije Kolikšen del energije izgubi pri vsakem nihaju? Za kolikšen del se pri vsakem nihaju zmanjša amplituda nihanja? V koliko nihajih se zmanjša amplituda nihanja pod polovico začetne vrednosti? (2,2%; 1,1%; 63) 4 Dušenemu nihalu se amplituda nihanja v 5 nihaju zmanjša za 0,40 cm, v 10 nihaju pa za 0,31 cm Kolikšna je bila amplituda na začetku (1 nihaja)? (9,9 cm) 5 Dedkova stenska ura ima nihalo, ki je sestavljeno iz 1 m dolge lahke palice in uteži z maso 1,2 kg, ki je pritrjena na koncu palice Če bi nihalo nihalo prepuščeno samemu sebi, bi se amplituda nihanja prepolovila v 13 minutah Kolikšen je koeficient dušenja? Ura kaže prav, obešena na steni v dedkovi sobi Za koliko bi zgrešila točen čas, prehitela ali zaostala v enem dnevu, če bi jo postavili v vakuum? Trenje je zanemarljivo (8, s 1 ; ura bi prehitevala za 4 ms/dan)

12 12 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog 6 Idealno nedušeno nihalo bi nihalo z nihajnim časom, ki je točno 1 s Zares pa niha dušeno: amplituda se mu v 1 uri zmanjša za 10% Kolikšen del odstotka se zaradi dušenja poveča nihajni čas? Če s tem nihalom merimo čas, koliko zaostanka si naberemo v enem dnevu? (x << 1 1 ± x 1 ± x/2 in 1/(1 ± x) 1 x) (1, %; 0,94 µs) 7 Dušeno vzmetno nihalo, ki ima nihajni čas 1 s, izmaknemo iz ravnovesne lege za 5 cm in spustimo Po enem nihaju je odmik le še 2,5 cm Kdaj gre nihalo prvič skozi ravnovesno lego in kolikšna je tedaj njegova hitrost? Zapiši izraz, ki ti pove, s kolikšnimi hitrostmi gre nihalo 1, 2,, n-tič skozi ravnovesno lego (t 1 = 0,267 s; 26,26 cm/s; v(t n ) = ( 1) n x 0 ω ( e βt 1) n; x0 = 5,03 cm; ω = 2π s 1 ; β = 0,693 s 1 ) 8 Slika kaže, kako se odmik dušenega vzmetnega nihala spreminja s časom Kolikšen je koeficient dušenja? Zapiši funkcijo, ki pove, kako se odmik spreminja s časom, določi vse parametre Kolikšna je hitrost nihala, ko gre ob času t = 0 skozi ravnovesno lego? (0,64 s 1 ; y(t) = y 0 e βt sin(ωt + δ); y 0 = 2,00 cm; ω = 2π s 1 ; δ = 0; 12,6 cm/s) 9 Kovinsko kroglico z maso 100 g in premerom 2,7 cm obesimo na vzmet, ki se pri sili 1 N raztegne za 8,3 cm Kroglico potopimo v viskozno tekočino in zanihamo Po petih nihajih je največji odmik kroglice od ravnovesne lege le še osmina odmika na začetku Kolikšen je koeficient dušenja β in kolikšen je nihajni čas nihala? Kolikšna je viskoznost tekočine η? Sila upora na kroglico v viskozni tekočini je sorazmerna hitrosti kroglice, ki se skozi tekočino giblje, in je podana z enačbo F u = 6πRηv, kjer so R polmer kroglice, η je viskoznost tekočine in v hitrost kroglice (0,725 s 1 ; 0,573 s; 0,57 kg/(m s))

13 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog Vsiljeno nihanje 1 Nihalu z lastno frekvenco 3 s 1 in koeficientom dušenja 0,4 s 1 vsiljujemo nihanje z amplitudo vsiljevanja 1 cm S kolikšno največjo amplitudo lahko niha nihalo? Kolikšna je tedaj frekvenca vsiljevanja? (23,6 cm; 2,999 s 1 ) 2 Ko je frekvenca vsiljevanja enaka polovici lastne frekvence, nihalo niha z amplitudo A 1 Ko je frekvenca vsiljevanja enaka dvakratni lastni frekvenci, pa nihalo niha z amplitudo A 2 Kolikšno je razmerje A 1 /A 2? (4) 3 Nihalu z lastno frekvenco 2 s 1 in koeficientom dušenja 0,2 s 1 vsiljujemo tako nihanje, da je amplituda odziva enaka polovici amplitude vsiljevanja S kolikšno frekvenco vsiljujemo nihanje? Kolikšna povprečna moč se izgublja zaradi dušenja? Če bi vsiljevali nihanje z enako amplitudo vsiljevanja, a z lastno frekvenco nihala, bi dovajali povprečno moč 0,5 W (3,46 s 1 ; 0,38 mw) 4 Nihalu z lastno frekvenco 2 s 1 in koeficientom dušenja 0,2 s 1 vsiljujemo nihanje s frekvenco večjo od resonančne tako, da je amplituda odziva enaka amplitudi vsiljevanja S kolikšno frekvenco vsiljujemo nihanje? Kolikšno povprečno moč dovajamo nihalu? Če bi vsiljevali nihanje z enako amplitudo vsiljevanja, a z lastno frekvenco nihala, bi dovajali povprečno moč 0,5 W (2,83 s 1 ; 1,01 mw) 5 Vzmetnemu nihalu z lastno krožno frekvenco 1 s 1 in koeficientom dušenja 0,2 s 1 vsiljujemo nihanje tako, da pri dani amplitudi vsiljevanja delujemo na nihalo z največjo močjo Za kolikšen del je pri takem nihanju amplituda odziva (amplituda, s katero nihalo niha) manjša od amplitude v resonanci v odmikih? (2,0%) 6 Vzmetnemu nihalu z maso uteži 0,2 kg in lastno krožno frekvenco 2 s 1 in koeficientom dušenja 0,4 s 1 vsiljujemo nihanje tako, da so odmiki največji Amplituda, s katero nihalo tedaj niha, je 12 cm Kolikšni sta frekvenca in amplituda vsiljevanja? S kolikšno povprečno močjo delujemo na nihalo? (0,31 s 1 ; 4,6 cm; 4,05 mw) 7 Dušenemu nihalu vsiljujemo nihanje s frekvenco 10 s 1 Amplituda, s katero pri tem niha, je štirikrat večja od amplitude vsiljevanja Koeficient dušenja je 1,2 s 1 Kolikšna je lastna frekvenca tega nihala? Komentiraj rezultat! (Dve rešitvi: 8,96 s 1, 11,5 s 1 ) 8 Vzmetnemu nihalu z lastno krožno frekvenco ω 0 = 1 s 1 in koeficientom dušenja 0,3 s 1 vsiljujemo nihanje s konstantno amplitudo vsiljevanja pri frekvenci, kjer je amplituda nihanja največja Za kolikšen del je povprečna moč, s katero vsiljujemo nihanje, manjša od moči v resonanci po moči? (1,9 %)

14 14 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog 9 Dušenemu nihalu vsiljujemo nihanje Z največjo povprečno močjo delujemo, ko vsiljujemo nihanje s krožno frekvenco 2 s 1 Ko istemu nihalu vsiljujemo nihanje s tako frekvenco, da je odziv nihala največji, je amplituda nihanja enaka dvojni amplitudi vsiljevanja Kolikšni sta lastna frekvenca in koeficient dušenja za to nihalo? (2 s 1 ; 0,52 s 1 ) 10 Dušenemu nihalu vsiljujemo nihanje Koeficient dušenja je 0,5 s 1 Resonanco v odzivu (odmiku) ima to nihalo pri frekvenci, ki je polovica tiste frekvence, v kateri je nihalo v resonanci po moči Kolikšna je lastna frekvenca tega nihala? Kolikšen bi moral biti koeficient dušenja, da resonance v odmikih sploh ne bi bilo več? (ω 0 = 0, 82 s 1 ; 0,58 s 1 ) 11 Nihalu z lastno frekvenco ν 0 = 4 s 1 in koeficientom dušenja 0,3 s 1 vsiljujemo nihanje s tako frekvenco, da je amplituda nihanja enaka tretjini amplitude vsiljevanja Kolikšna je frekvenca vsiljevanja? S kolikšno največjo amplitudo lahko niha to nihalo, če je amplituda vsiljevanja 3 cm? (8 s 1 ; 126 cm) 15 Sklopljeno nihanje 1 Dve enaki, 1 m dolgi palici z masama po 0,6 kg, sta vrtljivo vpeti v razmiku 20 cm pod strop Vsaka od palic je na spodnjem koncu z vzmetjo s koeficientom 10 N/cm povezana z bližnjo steno Med seboj sta palici na sredini povezani z vzmetjo s koeficientom 1 N/cm Kolikšni sta lastni frekvenci tega sklopljenega nihala za nihanje z majhnimi odmiki? Kolikšna je frekvenca utripanja? (12,35 s 1, 12,65 s 1 ; 0,30 s 1 ) 2 Med nasprotni steni sta s tremi neraztegnjenimi vzmetmi pripeti kilogramski uteži, kot je narisano Koeficient srednje vzmeti je enak 2 N/m, koeficienta vzmeti ob stenah pa sta enaka 4 N/m Levo utež izmaknemo za 5 cm na levo od ravnovesne lege, desno pa pridržimo v ravnovesni legi Obe uteži nato hkrati spustimo Kolikšna sta odmika vsake od uteži 1 s kasneje? Uteži drsita po podlagi brez trenja (x leva = -3,42 cm; x desna = 1,34 cm)

15 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog 15 3 Dve enaki palici vrtljivo obesimo za njuna konca tako, da ju v oddaljenosti 0,4 m od osi povezuje vzmet s koeficientom 0,5 N/cm Ko palici mirujeta v ravnovesni legi, ni vzmet niti skrčena, niti raztegnjena Desno palico odklonimo iz ravnovesne lege v desno stran za 10, levo pa v levo stran za 5 Palici hkrati spustimo Kolikšni sta amplitudi obeh lastnih nihanj? Kolikšna je energija nihanja? Kolikšen del te energije je v posameznem načinu nihanja? Ena palica je dolga 1 m in ima maso 2 kg () 4 Dve enaki fizični nihali, ki ju sestavljata 1 m dolga palica z maso 0,3 kg in utež z maso 0,5 kg, ki je pritrjena na koncu palice, povežemo med seboj z vzmetjo s koeficientom 0,5 N/cm Ko nihali mirujeta, je vzmet vodoravna in ni niti raztegnjena niti skrčena Kolikšen je čas utripanja, če vzmet pritrdimo na sredini palic? (Nariši, kako so čas utripanja in lastni frekvenci odvisni od tega, kam na palicah pritrdimo vzmet - v odvisnosti od x; enak za obe palici) x (1,59 s) 5 Enaki nihali na sliki sta 0,5 m pod osema nihanja povezani z vzmetjo s koeficientom 2 N/cm Vsaka palica je dolga 1,2 m in ima maso 0,25 kg, masa uteži na koncu palice pa je 0,5 kg V mirovni legi vzmet ni niti raztegnjena niti skrčena Nihali izmaknemo v nasprotnih smereh za enak kot 10 in spustimo, da zanihata S kolikšno frekvenco zanihata? Ali vidimo utripanje? Kolikšna je energija nihanja v vsakem od lastnih nihanj tega sistema nihal, če ga zanihamo, kot smo opisali?

16 16 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog (1,8 s 1 ; ne; W 1 = 0; W 2 = 3, 27 J) 6 Dve lahki metrski palici obesimo pol metra narazen pod strop Na spodnja konca palic pritrdimo kilogramski uteži Palici med seboj povežemo z dvema enakima vzmetema: prva vzmet je pol metra pod obesiščem palic, druga pa 75 cm pod obesiščem palic Koeficienta obeh vzmeti sta 0,2 N/m Ko palici mirujeta v mirovnih legah, vzmeti nista niti raztegnjeni niti skrčeni Kolikšni sta frekvenci obeh lastnih nihanj? Palici zanihamo; v prvem primeru spodnja konca palic izmaknemo 5 cm od ravnovesne lege v nasprotnih smereh in drugič v isti smeri, ter ju hkrati spustimo Koliko energije je v vsakem od lastnih nihanj v obeh primerih? () 7 Dve enaki vzmetni nihali, ki ležita na gladki vodoravni površini, sklopimo z lahko vzmetjo Prva lastna frekvenca tako sklopljenih nihal je 2,34 s, druga pa 2,42 s Nihali zanihamo tako, da obe nihali odmaknemo v levo desno nihalo za 4 cm, levo za 2 cm, in spustimo Koliko časa preteče, da sta odmika nihal in njuni hitrosti spet taka kot na začetku? Kolikokrat je medtem zanihalo vsako od nihal? Kolikšno je razmerje med energijama, ki sta pri tako začetem nihanju naloženi v prvo in drugo lastno nihanje? (12,5 s; 30-krat; ) 8 Dve enaki nihali, kjer vsako nihalo sestavlja 0,81 m dolga lahka palica in na njenem koncu pritrjena majhna utež z maso 426 g, povežemo z lahko vzmetjo s koeficientom 0,0087 N/cm Želimo opazovati utripanje z utripalnim časom 50 s V kolikšni oddaljenosti od obesišča palic ju moramo povezati z vzmetjo? Kolikšni sta lastni frekvenci? Zanihamo ju tako, da obe uteži izmaknemo iz ravnovesne lege za 5 eno proti drugi, in spustimo Kolikšni sta v tem primeru energiji obeh lastnih nihanj? (37,8 cm; 0,554 s 1 ; 0,574 s 1 ; W 1 = 0; W 2 = 0,0277 J)

17 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog 17 2 Valovanje 21 Kinematika valovanja 1 Longitudinalno potujoče valovanje na vzmeti opišemo z izrazom A = B sin(ax + bt + c), kjer označujeta x in t mesto na vzmeti ter čas, merjena v osnovnih enotah Določi enote koeficientov a, b in c! Velikosti teh koeficientov so (po vrsti) 2, 3 in 1 Kolikšni so frekvenca, krožna frekvenca, valovni vektor, valovna dolžina in hitrost širjenja tega valovanja? V katero smer potuje? (0,48 s 1 ; 3 s 1 ; 2 m 1 ; π m; 1,5 m/s: potuje v smeri negativne osi x) 2 Po dolgi struni potujeta dve transverzalni valovanji z enako amplitudo 0,5 cm, enako valovno dolžino 60 cm in enako frekvenco 40 Hz Prvo valovanje opišemo z drugo pa potuje z enako amplitudo (a) v nasprotni smeri kot prvo in (b) v isti smeri kot prvo y 1 (x, t) = y 0 sin(kx ωt), Odmiki y 2 (x, t) kasnijo za odmiki y 1 (x, t) pri x = 0 v obeh primerih za četrt nihajnega časa Kako zapišemo celotno valovanje na struni v obeh primerih? Opiši skupno valovanje v obeh primerih: kolikšna je valovna dolžina, frekvenca, amplituda, ali je potujoče (v kateri smeri?) ali stoječe (kje so vozli?) (1 y(x, t) = 2y 0 sin(kx + π/4) cos(ωt + π/4); stoječe; amplituda je 2y 0 ; val dolžina in frekvenca enaki kot pri osnovnih dveh valovanjih; 2 y(x, t) = 2y 0 sin(kx ωt + π/4); potujoče, v isti smeri kot osnovni dve valovanji, amplituda = 2y 0 ; val dolžina in frekvenca enaki kot pri osnovnih dveh valovanjih) 3 Na odprtem morju je amplituda cunamija ponavadi manjša od 30 cm, njegova valovna dolžina pa večja od 80 km Predpostavi, da je hitrost takega vala 704 km/h Kolikšni sta največji navpična hitrost ladje in navpični pospešek ladje na valu, ko gre ta mimo (pod njo)? (Ali mornarji na odprtem morju opazijo cunami?) (4,6 mm/s; 7, m/s 2 ) 4 Na star gramofon postavimo veliko ploščo s premerom 30 cm in jo zavrtimo s 33 obrati na minuto Zvočni zapis na plošči je v spiralnem žlebu, ki se začne 14,5 cm daleč od osi in konča 3 cm od osi Ko igla bere zapis v žlebu, slišimo zvok s frekvenco 800 Hz Kako daleč narazen so v žlebu grbine, čez katere se vozi igla, ko je 10 cm od osi? Katero frekvenco zvoka slišimo, če povečamo število obratov na 45 na minuto? Nariši, kako je razdalja med sosednjima grbinama v žlebu odvisna od oddaljenosti igle od osi, pri konstantni frekvenci zvoka 800 Hz (0,432 mm; 1091 Hz; d = ν ob ν 2πr)

18 18 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog 5 Po vrvi potuje transverzalni val z amplitudo 10 cm in valovno dolžino 2 m Kolikšno je razmerje med največjo hitrostjo, s katero se v prečni smeri giblje posamezen del vrvi, in hitrostjo vala? Če na dveh različnih vrveh vzbujamo potujoči transverzalni val z enakima frekvencama in amplitudama, ali sta razmerji med obema hitrostima enaki za obe vrvi? Zakaj? (Izpelji zvezo: v 0 c = k s 0 = π ; ne, ker sta valovna vektorja različna) 10 6 Nekje na sredini dolge strune vzbujamo valovanje s frekvenco 1 Hz in amplitudo 2 cm Valovanje od mesta vzbujanja potuje vzdolž strune v obe smeri s hitrostjo 5 m/s Ob trenutku t = 0 je na struni 10 m stran od mesta vzbujanja vrh vala Zapiši obe valovanji, ki potujeta od mesta vzbujanja v obe smeri Struna je napeta vzdolž osi y, valovanje pa je transverzalno z odmiki vzdolž osi x (x 1 = s 0 cos(ky ωt); x 2 = s 0 cos(ky + ωt); s 0 = 2 cm; k = 1,26 m 1 ; ω = 2π s 1 ) 7 Dolga elastična vrvica z dolžinsko gostoto mase 62,5 g/m je napeta s silo 16 N vzdolž x osi Pri x = 0 (ki je nekje na sredini vrvice) vzbujamo valovanje s frekvenco 4 Hz in amplitudo 1 cm tako, da je ob t = 0 pri x = 1, 00 m vrvica maksimalno odmaknjena od ravnovesne lege Kolikšen je odmik vrvice 10 m od mesta vzbujanja 5 sekund potem, ko smo vključili štoparico? Valovanje je transverzalno z odmiki vzdolž osi y (0) 8 Na vrvi, ki je napeta vzdolž y osi, potuje v smeri y s hitrostjo 8 m/s transverzalni val z amplitudo 6 cm in valovno dolžino 1,5 m Odmiki delov vrvi so v smeri, ki jo opiše vektor s 0 = (s x, s y, s z ) = (s 0, 0, 2s 0 ) Ob času t = 1 s je odmik pri y = 2 m enak 0 (del vrvi na tem mestu gre v tem trenutku skozi mirovno lego) Kolikšni so valovni vektor, frekvenca, krožna frekvenca, nihajni čas in s 0 za to valovanje? Zapiši funkcijo, ki ti pove, kolikšen in v kateri smeri je odmik posameznega dela vrvi ob določenem času (k = (0, 4,19 m 1, 0); 5,33 s 1 ; 33,5 s 1 ; 0,19 s; 2,68 cm; s = s 0 sin(k y y + ωt + δ); δ = 2, 1 ± N π = 120 ± N π) 9 Na struni, ki je napeta vzdolž z osi, potuje v smeri z s hitrostjo 3 m/s transverzalni val z amplitudo 2 cm in valovno dolžino 0,6 m Odmiki delov vrvi so v smeri, ki jo opiše vektor s 0 = (s x, s y, s z ) = (s 0, s 0, 0) Ob času t = 0,5 s je odmik pri z = 2 m enak 0 (del vrvi na tem mestu gre v tem trenutku skozi mirovno lego) Kolikšni so valovni vektor, frekvenca, krožna frekvenca, nihajni čas in s 0 za to valovanje? Zapiši funkcijo, ki ti pove, kolikšen in v kateri smeri je odmik posameznega dela vrvi ob določenem času (k = (0, 0, 10,5 m 1 ); 5 s 1 ; 10 π s 1 ; 0,2 s; 1,41 cm; s(z, t) = (s 0, s 0, 0) sin(k z z + ωt + δ); δ = 0, 67π ± N π) 10 Transverzalno valovanje na vrvi potuje v smeri negativne osi y s hitrostjo 12 m/s Valovna dolžina valovanja je 5 m, amplituda pa 10 cm Kolikšna je frekvenca valovanja? Zapiši, kako se odmik delov vrvi spreminja s časom in krajem, z vsemi potrebnimi parametri Vrh vala je ob času t = 1 s v izhodišču koordinatnega sistema Kolikšna je hitrost vrvi ob času t = 2 s pri y = 2 m?

19 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog 19 (2,4 s 1 ; s(y, t) = s 0 cos(ωt + ky + δ); ω = 4,8 π s 1 ; k =1,26 m 1 ; s 0 = 10 cm; δ = 1, 2π ± N2π; 0) 22 Hitrost potovanja motnje 1 Transverzalno valovanje s frekvenco 30 Hz ima na vrvi, ki je dolga 5 m in ima maso 0,16 kg, valovno dolžino 0,6 m Kolikšna je napetost v vrvi? (10,4 N) 2 Pod strop telovadnice obesimo dolgo, enakomerno debelo vrv Dolga je 5 m in ima maso 6 kg Koliko časa potuje transverzalna motnja od spodnjega, prostega konca vrvi, do zgornjega, pritrjenega? (1,41 s) 3 Krožna zanka iz vrvi se vrti okoli osi, ki je pravokotna na zanko in gre skozi središče krožnice zanke Obodna hitrost je v 0 Kolikšna je hitrost transverzalnega valovanja, ki potuje po zanki? (Izračunajte najprej silo, s katero je zanka napeta!) (v 0 ) 4 Kolikšna je hitrost valovanja na krožni zanki (lasu, ki ga vihti kavboj) s polmerom 30 cm, ki se vrti s frekvenco 3 Hz? (5,65 m/s) 5 Ravni valovi na oceanu potujejo s hitrostjo 16 m/s Vrh drugega vala gre skozi točko, kjer je v nekem trenutku vrh prvega vala, 10 sekund za vrhom prvega vala Navpična razdalja med dnom in vrhom vala je 1,2 m Koordinatni sistem postavimo tako, da je gladina oceana v brezvetrju in kadar je nevzvalovana v ravnini xy, valovi pa potujejo vzdolž osi y Zapiši valovanje (krajevno in časovno odvisnost) z vsemi parametri, ki jih lahko določiš (frekvenco, krožno frekvenco, valovno dolžino, valovnim vektorjem, amplitudo) Na gladini plava boja, ki je sicer zasidrana Kolikšna je največja hitrost, s katero se giblje boja v navpični smeri, ko potujejo pod njo valovi? (s = s 0 sin(ky ωt); s 0 = 0,6 m; k = 0,04 m 1 ; ω =0,63 s 1 ; 0,38 m/s) 23 Stoječe valovanje 1 Po dolgi vzmeti potujeta longitudinalni valovanji s 1 = s 0 sin(kx ωt + π/3) in s 2 = s 0 cos(kx + ωt π/3) Amplituda posameznega valovanja je 0,5 cm, valovna dolžina je 30 cm, frekvenca pa 1 s 1 Kje so vozli stoječega valovanja in ob katerih časih so odmiki delov vzmeti od njihovih ravnovesnih leg največji? (Vozli: pri x = λ 4 (n 1 4 ); n = 1, 0, 1, 2, ; največji odmiki ob časih t m, velja ωt m π 12 = mπ)

20 20 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog 2 Ko zatiskamo vse luknjice na piščali, ta igra svoj osnovni (najnižji) ton, srednji C (262 Hz) Kako daleč od konca piščali je luknjica, ki je odprta, ko piščal igra ton D (294 Hz) nad srednjim C? (7,1 cm) 3 Vodoravno, 10 cm dolgo žico na enem krajišču pritrdimo, drugo pa speljemo preko lahkega škripca in nanj pritrdimo utež z maso 2 kg Osnovna lastna frekvenca žice je tedaj 71 Hz Kolikšna je masa 1 m dolgega kosa take žice? (99,2 g) 4 Strune na violini so vse napete z istimi silami Osnovni frekvenci strun G in A sta 196 Hz in 440 Hz Dolžinska gostota mase strune G je 3,0 g/m Kolikšna je dolžinska gostota mase strune A? Kolikšni sta valovni dolžini zvoka, ki ga oddajata nihajoči struni G in A? (0,60 g/m; 1,73 m, 0,77 m) 5 Pravilno uglašena C 1 struna klavirja ima frekvenco osnovnega lastnega nihanja 261,1 Hz Uglaševalec klavirja ugotovi, da je frekvenca te strune, ki je napeta s silo 900 N, za 15 Hz prenizka Za koliko naj spremeni napetost strune, da bo zvenela pri željeni frekvenci? (Sila naj bo 1013 N) 6 Kitarist uglašuje kitaro s pomočjo glasbenih vilic, ki oddajajo ton D s frekvenco 294 Hz Ko hkrati zvenijo glasbene vilice in struna na kitari, kitarist sliši utripanje s frekvenco 4 Hz Za kolikšen delež naj spremeni napetost strune, da bo zvenela s pravim tonom? Ali lahko iz navedenih podatkov ugotovite, ali mora napetost strune povečati ali zmanjšati? (2,72 %; ne) 7 Dve enaki klavirski struni, ki ju napenjata enaki sili, zvenita v osnovnem tonu s frekvenco 196 Hz Potem povečamo napetost druge strune toliko, da slišimo 2,5 utripa na sekundo, ko zvenita obe struni hkrati Za koliko odstotkov je sila, ki napenja drugo struno, večja od sile, ki napenja prvo struno? (2,55 %) 8 Pravilno uglašeni C 1 struni klavirja imata frekvenco osnovnega lastnega nihanja 261,1 Hz Uglaševalec klavirja ugotovi, da sta nekoliko razglašeni ob sočasnem udarcu kladivca na obe struni sliši utripanje s frekvenco 2 s 1 Če ena od obeh strun zveni s pravo frekvenco, s katero frekvenco zveni druga? Pravilno uglašeno struno napenja sila 900 N Kolišna sila napenja razglašeno struno? (Dve rešitvi; ν 2 =261,1 Hz ± 2 Hz; F 2 = 900 N 14 N) 9 Klavirski struni s presekom 2 mm 2, gostoto 7,8 g/cm 3 in dolžino 1 m sta bili napeti s silama 100 N Pri prevozu klavirja je ena struna malo popustila S kolikšno silo je napeta po prevozu, če pri udarcu na tipko zaslišimo utripanje s frekvenco 2 s 1? (90 N)

21 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog Violinist uglašuje svojo violino Ko mu pianist zaigra ton A s frekvenco 440 Hz, zaigra tudi violinist na stuno A svoje violine, ki bi morala zveneti z isto frekvenco Violinist sliši utripanje s frekvenco 2 Hz, zato najprej nekoliko zmanjša napetost strune Zdaj sliši utripanje s frekvenco 3 Hz, struna je napeta s silo 82 N Kolikšna sila je napenjala struno prej? Kolikšna sila napenja pravilno uglašeno struno? Vse strune na viloini so dolge 32,5 cm Kolikšna je dolžinska gostota mase strune A? (82,4 N; 83,13 N; 1,02 g/m) 11 Violina ima štiri strune, ki so uglašene tako, da je osnovna frekvenca določene strune enaka 1 1 osnovne frekvence sosednje strune (od najnižje proti višjim) Osnovna 2 frekvenca najvišje strune pravilno uglašene violine ima frekvenco 660 Hz, kar ustreza tonu E Kolikšne so osnovne frekvence ostalih treh strun? Ali lahko na to violino zaigramo ton, ki je dve oktavi nižji od E? Pojasni odgovor! (440 Hz, 294 Hz, 196 Hz; ne, najnižji ton, ki ga lahko zaigramo na violino, ima frekvenco 196 Hz) 12 Struna na violini je dolga 32,5 cm Koliko celih oktav lahko zaigra violinist na eno struno, če je najkrajša dolžina strune, pri kateri omenjeni violinist še zna izvabiti lep zvok, 7 cm? Frekvenca tona, ki je eno oktavo nad prvim tonom, je dvakrat tolikšna kot frekvenca prvega tona (2) 13 Strune na mandolini so dolge 34 cm Ena od strun mandoline zveni v osnovnem načinu s frekvenco tona D Njena masa je 1,8 g Kolikšna sila napenja to struno? Višje frekvence lahko zaigramo, če struno s prstom pritisnemo na ubiralko in jo s tem skrajšamo do sosednje kovinske prečke S prvo skrajšavo dobimo ton Dis, z drugo skrajšavo ton E, s tretjo ton F, Izračunajte, kolikšen je pravilni razmik med kovinskimi prečkami od prve (ki da ton D) do sedme (ki da ton Gis) ton, nota frekvenca [Hz] C 261,7 Cis 277,2 D 293,7 Dis 311,2 E 329,7 F 349,2 Fis 370,0 G 392,0 Gis 415,3 (211 N; 1,9 cm, 1,8 cm, 1,7 cm, 1,6 cm, 1,5 cm, 1,5 cm) 14 En meter dolga struna z dolžinsko gostoto mase 6, kg/m je napeta s silo 200 N Struna niha hkrati v osnovnem in drugem vzbujenem stanju z amplitudama 6 mm (osnovno) in 4 mm (2 vzbujeno) Kolikšen je odmik dela strune četrt metra od pritrdišča po četrtini osnovnega nihajnega časa? Odmiki delov strune so ob t = 0 nič za osnovno stanje in maksimalni za 2 vzbujeno stanje Kolikšna je skupna energija valovanja?

22 22 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog (4,24 mm; 0,089 J) 15 Struno z maso 100 g, dolžino 1,2 m in presekom 0,03 cm 2 napenja sila 100 N Struna niha v osnovnem in prvem vzbujenem lastnem nihanju tako, da sta energiji, ki sta naloženi v posamezno nihanje, enaki Skupna energija nihanja je 0,04 J Kolikšni sta amplitudi vzbujenih nihanj? (9,86 mm, 4,93 mm) 16 Kitara ima šest strun, ki so vse napete z istimi silami, iz iste kovine in vse enako dolge Zvenijo z osnovnimi frekvencami 82,4 Hz, 110,0 Hz, 146,8 Hz, 196,0 Hz, 246,9 Hz in 329,6 Hz Najdebelejša struna ima premer 1,5 mm Kolikšni so premeri ostalih strun? 17 V 40 cm dolgi odprti piščali s presekom 2 cm 2 vzbudimo 1 vzbujeno lastno nihanje, pri čemer je največja amplituda tlaka 0,510 3 Nm 2 Kolikšna je energija tega nihanja? Kolikšno je časovno povprečje gostote kinetične energije na mestu, ki je za šestino dolžine piščali oddaljeno od konca piščali? Gostota zraka je 1,2 kgm 3, koeficient κ = 1, 4 in tlak 1 bar (3, J; 1, J?m 3 ) 18 Struna je dolga 0,75 m in ima maso 3 g Na struno zabrenkamo in posnamemo spekter zvoka V tabeli so frekvence tonov, ki so v spektru, in njihove relativne jakosti lastno nihanje frekvenca [Hz] relativna jakost osnovno vzbujeno 160 1,2 2 vzbujeno 240 0,05 3 vzbujeno 320 1,1 4 vzbujeno 400 0,9 5 vzbujeno 480 0,1 6 vzbujeno 560 0,7 7 vzbujeno 640 0,6 Na katerem delu strune smo najverjetneje zabrenkali? S kolikšno silo je napeta struna? S kolikšno silo moramo napeti struno, da bo 4 vzbujeno stanje strune zvenelo s frekvenco tona A 1 (440 Hz)? (Na tretjini strune; 57,6 N; 69,7 N) 19 Iz votlih, na eni strani odrtih in na drugi zaprtih cevk, ki so ravno pravih dolžin, naredimo Panove piščali V tabeli so zapisane frekvence prvih štirih tonov C-durove lestvice, ki jih izvabimo iz štirih cevk piščali Kako dolge so te štiri cevke? Za vsako cevko določi še prvo in drugo višjo harmonsko frekvenco (ki nastopata v spektru zvena piščali) ton, nota frekvenca [Hz] C 261,7 D 293,7 E 329,7 F 349,2

23 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog 23 Rešitve: ton, nota dolžina [cm] ν 1 [Hz] ν 2 [Hz] C 32,5 785, D 28,9 881, E 25,8 989, F 24, S frekvenčnim generatorjem, ki mu lahko spreminjamo frekvenco med 300 Hz in 1200 Hz, napajamo majhen zvočnik Zvočnik je vgrajen v zaprt prvi konec 63 cm dolge cevi, na drugem koncu je cev odprta Po cevi lahko premikamo droben mikrofon, z njim iščemo mesta, kjer dobimo najmočnejši signal Pri neki frekvenci dobimo z mikrofona, ki je od odprtega konca cevi oddaljen 27 cm, najmočnejši signal Kolikšna je ta frekvenca? Koliko je pri isti frekvenci različnih leg mikrofona v cevi, pri katerih dobimo najmočnejši signal? Nariši shematično sliko, ki bo ilustrirala tvoj razmislek Pri zvočniku je vozel v odmikih, mikrofon je občutljiv na spremembe tlaka (944 Hz; lega pri zvočniku) 24 Interferenca 1 V ogliščih enakostraničnega trikotnika so trije viri valovanja, ki oddajajo valovanja z isto frekvenco, amplitudo in fazo izotropno v prostor Valovna dolžina valovanja je 1 m Kolikšna je najmanjša dolžina stranice trikotnika, da bo v smeri katerekoli zveznice med dvema ogliščema trikotnika daleč stran valovanje najbolj ojačeno? Kolikokrat manjšo gostoto energijskega toka dobimo v istih smereh, če stranico trikotnika za pol skrajšamo? (2 m; 9 krat) 2 Valovanje na vodni gladini vzbujamo na dveh mestih z isto frekvenco 5 Hz in sočasno (v fazi) V smeri zveznice med mestoma vzbujanja je druga oslabitev (nariši si!) Kolikšna je razdalja med izvoroma valovanj? Pri katerem kotu glede na pravokotnico na zveznico med izvoroma je prva oslabitev? Kaj je s tretjo oslabitvijo? Pri katerih kotih pa so ojačitve in koliko jih je? Valovanje na vodni površini se širi s hitrostjo c, ki je podana z enačbo c 2 = (gλ)/(2π) (9,5 cm; 19,5 ; je ni; 0, 41,8 ) 3 Na vodni gladini vzbujamo valovanje z isto frekvenco na treh mestih, ki so razvrščena na isti premici in enakomerno razmaknjena Valovanji, ki se širita od levega in desnega izvora, sta fazno zamaknjeni glede na valovanje, ki se širi od srednjega izvora Levi izvor zaostaja za srednjim za fazo ϕ = π/3, desni izvor pa srednjega za isto fazo prehiteva Pri katerih kotih θ je valovanje ojačeno daleč stran od izvorov? Razmik med sosednjima izvoroma je 5 cm in valovna dolžina valovanja 2 cm (-60,1 ; -27,8 ; -3,8 ; 19,5 ; 47,2 )

24 24 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog 4 Dva zvočnika oddajata enakomerno v prostor in sočasno zvočni valovanji s frekvencama 500 Hz in 1000 Hz Zvočnika stojita 3 m narazen Pri katerih kotih (glede na simetralo med njima) slišimo samo eno frekvenco od obeh? Katero? Poišči vse take kote (6,5 ; 19,9 ; 34,5 ; 52,5 ) 5 Na isti premici stoji pet virov, ki oddajajo valovanje z isto frekvenco enakomerno v prostor Razdalja med sosednjima viroma je 1 m, valovna dolžina valovanja je 0,5 m Sosednja vira oddajata valovanji v protifazi (s faznim zamikom π) V katerih smereh so glavne ojačitve? V katerih smereh so popolne oslabitve? () 6 Dva vira oddajata sočasno valovanji z enakima frekvencama enakomerno v prostor Če je valovna dolžina valovanja 15 cm, dobimo pri določenem kotu θ 1 glede na simetralo zveznice med viroma ojačitev, če pa je valovna dolžina 20 cm, je pri istem kotu oslabitev Kolikšen je θ 1? Vira sta 0,5 m narazen (36,9 ) 7 Zvočnik oddaja zvok s frekvenco 1000 Hz enakomerno v vse smeri Stoji 2 m od ravnega zidu, od katerega se zvočno valovanje odbija brez izgub Na sliki označite, odkod navidezno izhajajo odbiti zvočni valovi (lego navideznega zvočnika) V katerih smereh (glede na simetralo zveznice med zvočnikom in navideznim zvočnikom) valovanje, ki gre naravnost od zvočnika, destruktivno interferira z odbitim valovanjem? Rešitev: θ (θ = 2,44, 7,33, 12,3, 17,3, 22,5, ) 8 Zvočnika sta razmaknjena 1 m in ju napaja isti frekvenčni generator Zvok oddajata enakomerno v prostor in sočasno (v fazi) V smeri pod kotom 30 glede na simetralo zveznice med zvočnikoma je ojačitev Razdaljo med zvočnikoma počasi povečujemo in opazimo, da se v isti smeri ponovno pojavi ojačitev, ko je razdalja med zvočnikoma 1,2 m Katera ojačitev po vrsti je to? Kolikšni sta valovna dolžina in frekvenca

25 B Rovšek: Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog 25 zvoka? Kolikšna naj bo vsaj/največ razdalja med zvočnikoma, da bo poleg centralne ojačitve vsaj še ojačitev prvega reda, in v kateri smeri je tedaj ojačitev prvega reda? (N = 5; 10 cm; 3400 Hz; vsaj 10 cm; vzdolž zveznice med zvočnikoma) 9 Dva zvočnika, ki ju napaja isti frekvenčni generator, oddajata v fazi zvok s frekvenco 1200 Hz enakomerno v vse smeri Poslušalec stoji v oddaljenosti 10 m od zvočnikov na simetrali zveznice med zvočnikoma Potem se začne od simetrale oddaljevati (hodi v pravokotni smeri), dokler se ne znajde na mestu, kjer zvoka ne sliši Prehodil je 1 m dolgo pot Kolikšna je razdalja med zvočnikoma? Pot nadaljuje v isti smeri koliko prehodi do naslednjega mesta, kjer zvoka ne sliši? Koliko je smeri, v katerih so ojačitve, med koti 0 in 90 glede na simetralo zveznice? (1,42 m; še 2,13 m; 5) 10 Dva zvočnika, ki sta 6 m narazen, oddajata zvočni valovanji v protifazi enakomerno v prostor Frekvenca obeh valovanj je 250 Hz V katerih smereh glede na simetralo zveznice so ojačitve? Kolikšna je v oddaljenosti 50 m od zvočnikov v eni od teh smeri gostota energijskega toka? Kako daleč od zvočnikov v smereh ojačitev zvok še sliši človek z normalnim sluhom? Kolikšna je v isti smeri in pri enaki oddaljenosti od zvočnikov gostota energijskega toka, če se en zvočnik pokvari in ne oddaja več? Vsak zvočnik oddaja zvok z močjo 30 W (±6, 5, ±19, 9, ±34, 5, ±52, 5 ; 3, W/m 2 ; 3,09 km; 9, W/m 2 ) 25 Dopplerjev pojav 1 Sirena rešilnega avta oddaja zvok s frekvenco 1602 Hz Rešilec prehiti kolesarja, ki se vozi v isto smer s hitrostjo 2,63 m/s Kolesar potem sliši zvok s frekvenco 1590 Hz Kolikšna je hitrost rešilca? (18,8 km/h) 2 Rešilec na nujni vožnji vozi s hitrostjo 110 km/h in pri tem trobi s hupo(ker se je sirena ravnokar pokvarila) Frekvenca zvoka, ki ga oddaja hupa, je 400 Hz S kolikšno hitrostjo vozi avtomobil v isti smeri kot rešilec, če se mu rešilec približuje in sliši voznik v avtomobilu zvok s frekvenco 410 Hz? Hitrost širjenja zvoka v zraku je 340 m/s (82 km/h) 3 Rešilni avto z vključeno sireno, ki oddaja zvok s frekvenco 1600 Hz, prehiti kolesarja, ki se vozi v isti smeri Preden rešilni avto kolesarja prehiti, ta sliši zvok sirene s frekvenco 1762 Hz, potem, ko ga prehiti, pa s frekvenco 1467 Hz S kolikšnima hitrostima vozita rešilec in kolesar? (120 km/h; 8,6 km/h) 4 Sirena rešilnega avta oddaja zvok s frekvenco 1602 Hz Rešilec prehiti kolesarja, ki se vozi v isto smer s hitrostjo 10 km/h Kolesar po prehitevanju sliši zvok s frekvenco 1590 Hz Kolikšna je hitrost rešilca? (?cudni podatki)