I čas O MATLAB-u
|
|
- Ευάγγελος Αλεξανδρίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 I čas Predavanja 2 časa Vežbe 1 čas Početak rada u MATLAB-u. Radno okruženje. Komandni prozor. Skalarne promenjljive. Operacije sa skalarima. Formatiranje rezultata. Elementarne matematičke funkcije. Primeri primene MatLab-a. Rad na računaru: osnovni zadaci rada sa skalarima O MATLAB-u MATLAB je jezik koji nudi velike mogućnosti kada su u pitanju tehnička proračunavanja. MATLAB integriše proračunavanja sa vizuelizacijom i programiranjem kroz jedno okruženje koje je lako za korišćenje i u kome se i problemi i rešenja izražavaju pomoću uobičajene matematičke notacije. Karakteristične oblasti koje su obuhvaćene MATLAB-om su: Matematika i proračunavanja Razvoj algoritama Prikupljanje podataka Modeliranje, simulacija i izrada prototipova Analiza, istraživanje i vizuelizacija podataka Naučna i inženjerska grafika Razvoj aplikacija, uključujući izgradnju grafičkog korisničkog interfejsa MATLAB je interaktivni sistem u kome osnovni element podataka predstavlja niska koja ne zahteva dimenzionisanje. Time je omogućeno rešavanje mnogih problema vezanih za tehnička proračunavanja, posebno onih koji su formulisani pomoću matrica ili vektora, i to za samo mali deo vremena od onog koje bi inače bilo potrebno da se napiše odgovarajući program u skalarnom neinteraktivnom jeziku kao što je C ili Fortran. Naziv MATLAB je skraćenica od matrična laboratorija (matrix laboratory). MATLAB je izvorno napisan da bi se omogućio lakši pristup matričnom softveru razvijenom u okviru projekata LINPACK i EISPACK. Danas, MATLAB mašina u sebi sadrži LAPACK i BLAS biblioteke, i obuhvata najsavremeniji softver za matrične proračune. MATLAB se razvijao tokom godina na osnovu doprinosa koji su davali mnogi korisnici. Postao je standardno nastavno sredstvo na univerzitetima, i to kako na uvodnim tako i na naprednim kursevima iz matematike i različitih inženjerskih i naučnih disciplina. U industrijskom okruženju, MATLAB predstavlja alatku izbora u oblasti Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.1
2 istraživanja, razvoja i analize. MATLAB obuhvata familiju dodatnih rešenja vezanih za specifične primene, predstavljenih u vidu panela sa alatima. Od velikog značaja za većinu korisnika MATLAB-a, paneli sa alatima pružaju mogućnost da se lako savlada primena neke specijalizovane tehnologije. Paneli sa alatima su sveobuhvatni skupovi MATLAB funkcija (M-datoteka) kojima se proširuje MATLAB okruženje u cilju rešavanja određenih klasa problema. Oblasti za koje postoje paneli sa alatima obuhvataju obradu signala, kontrolne sisteme, neuronske mreže, fazi logiku, talasiće (wavelets), simulaciju i mnoge druge. MATLAB sistem se sastoji od pet glavnih delova: Desktop alati i razvojno okruženje Ovo je skup alatki i funkcionalnosti koje olakšavaju korišćenje MATLAB funkcija i datoteka. Mnogi od ovih alata predstavljaju grafičke korisničke interfejse. Ovim skupom su obuhvaćeni MATLAB desktop i komandni prozor, prozor s prethodnim komandama, editor i debager, analizator koda i ostali izveštaji, pretraživač za pregledanje sistema za pomoć (help), radni prostor, datoteke i putanja za pretraživanje. MATLAB biblioteka matematičkih funkcija Ovo je veoma širok skup algoritama za proračunavanje, počev od elementarnih funkcija, kao što su zbir, sinus, kosinus kao i operacije sa kompleksnim brojevima, pa do složenijih funkcija kao što su invertovanje matrice, izračunavanje sopstvenih vrednosti matrice, Beselove funkcije i brze Furijeove transformacije. MATLAB jezik Ovo je jezik matrica/niski visokog nivoa sa naredbama za kontrolu toka, funkcijama, strukturama podataka, ulazom/izlazom i karakteristikama objektno orijentisanog programiranja. On omogućava kako "programiranje na malo" odnosno brzo kreiranje programa za jednokratnu upotrebu tako i "programiranje na veliko" odnosno kreiranje velikih i složenih aplikativnih programa. Grafika MATLAB poseduje značajne mogućnosti za prikazivanje vektora i matrica u obliku grafova, kao i za označavanje i štampanje ovih grafova. Obuhvata funkcije visokog nivoa za vizuelizaciju dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih podataka, obradu slike, animaciju i prezentaciju grafike. Takođe sadrži funkcije niskog nivoa koje omogućavaju potpuno podešavanje izgleda grafike kao i izgradnju kompletnog Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.2
3 grafičkog korisničkog interfejsa za razvijenu MATLAB aplikaciju. Spoljni MATLAB interfejsi/api Ovo je bilbioteka koja omogućava pisanje C i Fortran programa koji se povezuju sa MATLAB-om. Obuhvaćene su funkcionalnosti za poziv rutina iz MATLAB-a (dinamičko povezivanje), pozivanje MATLAB-a kao mašine za proračunavanje, i za čitanje i ispisivanje MAT-datoteka POKRETANJE MATLAB-A I NJEGOVI PROZORI Kada se program pokrene, prikazuje se prozor (slika 1.1) koji sadrži tri manja prozora - komandni prozor (Command Window), prozor tekućeg direktorijuma (Current Directory) i prozor s prethodnim komandama (Command History). To je standardan izgled MATLAB-a, u kome, sem navedenih, postoji još pet prozora. U tabeli 1.1 navodeni su svi MATLAB-ove prozori i njihove namene. MATLAB-ovim alatkama i svojstvima se pristupa pomoću dugmeta Start u donjem levom uglu velikog prozora. U ovom odeljku su dati kratki opisi četiri prozora: komandnog prozora (Command Window), grafičkog prozora (Figure), prozora za pisanje programa (Editor) i prozora sistema za pomoć (Help), a detaljniji opisi su dati kasnije kroz konkretne primere korišćenja. Komandni prozor Glavni MATLAB-ov prozor, koji se automatski otvara kada se MATLAB pokrene je komandni prozor. Za rad je najpogodnije da samo komandni prozor bude vidljiv, a da se ostali prozori pojedinačno zatvore. To se postiže i kada se u meniju Desktop izabere Desktop Layout, a u podmeniju koji se otvara stavka Command Window Only. Slika 1.1. Standardni izgled MATLAB-ove radne površine Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.3
4 Tabela 1.1. MATLAB-ovi prozori Prozor Komandni prozor (Command Window) Grafički prozor (Figure) Prozor za pisanje programa (Editor) Prozor sistema za pomoć (Help) Prozor za pokretanje (Launch Pad Window) Prozor s prethodnim komandama (Command History) Prozor radnog prostora (Workspace Window) Prozor tekućeg direktorijuma (Current Directory) Namena Glavni prozor za unošenje promenljivih i izvršavanje programa. Sadrži rezultate grafičkih komandi. Za pisanje skript datoteka i funkcijskih datoteka, te za otkrivanje i otklanjanje grešaka u njima. Sadrži pomoćne informacije. Omogućava pristupanje alatkama, demonstracijama i dokumentaciji. Sadrži komande unesene u komandnom prozoru. Sadrži podatke o svim upotrebljenim promenljivama. Prikazuje datoteke u tekućem direktorijumu. Grafički prozor Grafički prozor se automatski otvara kada se izvršavaju grafičke komande; sadrži grafiku koju su te komande izgenerisale. Na slici 1.2 dat je primer grafičkog prozora. Slika 1.2: Primer grafičkog prozora. Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.4
5 Prozor za pisanje programa: U prozoru za pisanje programa se pišu i uređuju programi. Prozor se otvara iz menija File u komandnom prozoru. Primer je dat na slici 1.3. Ovaj prozor se koristi za pisanje skript datoteka i za pisanje funkcijskih datoteka. Slika 1.3: Primer prozora za pisanje programa. Prozor sistema za pomoć Prozor sistema za pomoć (Help) sadrži ugrađenu pomoć, a može se otvoriti iz menija Help na traci menija svakog MATLAB-ovog prozora. Interaktivan je i služi za dobijanje pomoćnih informacija o bilo kojoj komponenti ili svojstvu MATLAB-a. Na slici 1.4 prikazan je otvoren prozor sistema za pomoć. Kada se prvi put pokrene MATLAB, njegov prozor izgleda kao na slici 1.1. Prozorima se upravlja iz menija Desktop, preko stavke Desktop Layout. Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.5
6 Slika 1.4: Prozor sistema za pomoć 1.3. RAD U KOMANDNOM PROZORU Komandni prozor je glavni MATLAB-ov prozor i služi za izvršavanje komandi, otvaranje prozora, pokretanje programa koje je napisao korisnik i upravljanje MATLABom. Primer komandnog prozora, sa nekoliko jednostavnih komandi dat je na slici 1.5. Kursor smešten iza komandnog odziva (>>) znači da korisnik može da upiše komandu Slika 1.5: Komandni prozor Napomene o radu u komandnom prozoru: Da bi se upisala komanda, kursor mora biti neposredno iza komandnog odziva (»). Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.6
7 Upisana komanda biće izvršena kada se pritisne <Enter>. Međutim, izvršava se samo poslednja upisana komanda. Sve prethodno izvršene komande ostaju nepromenjene. U isti red se može upisati više komandi ako se razdvoje zarezom. Kada se pritisne <Enter>, komande će biti izvršene redom, sleva nadesno. Ne može se vratiti u prethodni red komandnog prozora, izmeniti nešto i zatim ponovo izvršiti tako izmenjena komanda. Ako se pritisne taster sa strelicom nagore, iza komandnog odzivnika (»), prikazaće se prethodna komanda. Tako napisana komanda se može izmeniti (ako treba) i izvršiti. Strelicom nadole redom se prikazuju sve prethodno upisane komande. Ako je komanda preduga da bi stala u jedan red, upišu se tri tačke (...) i pritisnite <Enter>. Nastavak komande se piše u sledećem redu. Komanda se može protezati na više redova i sadržati do 4096 znakova. Tačka-zarez (;) Komanda se izvršava kada se upiše u komandni prozor i pritisne <Enter>. I rezultat komande se prikazuje u komandnom prozoru. Ukoliko se na kraju komande unese tačka-zarez (;), njen rezultat se neće prikazati. To je podesno kada je rezultat očigledan ili poznat, ili kada je veoma veliki. Ukoliko se u isti red upiše više komandi, njihovi rezultati se neće prikazati ako se razdvoje znakovima tačka-zarez umesto zarezima. Znak procenta (%) Kada se na početak reda upiše znak procenta (%), red se označava kao komentar. Tako označeni redovi se ne izvršavaju. Ukoliko se znak % i odgovarajući tekst (komentar) upišu iza komande (u istom redu), to neće uticati na izvršavanje komande. Obično nema potrebe da se u komandnom prozoru pišu komentari, ali se opisi i objašnjenja u vidu komentara često dodaju programima. Komanda clc Komanda clc (clc<enter>) briše sadržaj komandnog prozora. Posle dužeg rada u komandnom prozoru, njegov sadržaj može postati predugačak. Komanda clc briše sadržaj komandnog prozora i nema nikakvih drugih efekata. Na primer, sve prethodno definisane promenljive i dalje postoje i mogu se upotrebljavati. Prethodno upisane komande i dalje se mogu prikazati strelicom nagore. Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.7
8 1.4 ARITMETIČKE OPERACIJE SA SKALARIMA U ovom odeljku biće razmotrene samo aritmetičke operacije sa skalarima, dakle s pojedinačnim brojevima. Kao što će biti objašnjeno u nastavku poglavlja, brojevi se u aritmetičkim proračunima mogu upotrebljavati direktno (kao na kalkulatoru) ili se mogu pridružiti promenljivama, koje se potom koriste za izračunavanja. Simboli aritmetičkih operacija su: Operacija Simbol Primer Sabiranje Oduzimanje Množenje * 5*3 Deljenje zdesna / 5/3 Deljenje sleva \ 5 \3 = 3/5 Stepenovanje ^ 5^3 (znači 5 3 = 125) Svi simboli (sem deljenja sleva) su isti kao na većini kalkulatora. Za skalare je deljenje sleva operacija inverzna deljenju zdesna. Međutim, deljenje sleva se uglavnom upotrebljava za operacije sa nizovima Prioritet izvršavanja MATLAB izvršava operacije prema sledećem redosledu prioriteta, koji je isti kao na većini kalkulatora: Prioritet Najviši Drugi po redu Treći po redu Četvrti po redu Matematička operacija Zagrade. Kada su zagrade ugneždene, prvo se izračunava unutrašnja zagrada Stepenovanje Množenje, deljenje (jednak prioritet) Sabiranje i oduzimanje U izrazu koji sadrži više operacija, operacije višeg prioriteta izvršavaju se pre operacija nižeg prioriteta. Ako dve ili više operacija imaju isti prioritet, izraz se izračunava sleva udesno. Redosled izračunavanja se može promeniti zagradama. Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.8
9 1.4.2 Korišćenje MATLAB-a kao kalkulatora MATLAB je najjednostavnije koristiti kao kalkulator, kada se u komandni prozor upiše matematički izraz i pritisne <Enter>. MATLAB će izračunati izraz, napisati i prikazati numerički rezultat u sledećem redu. To je pokazano u vežbi 1.1. Vežba 1.1. Obratiti pažnju na redosled izvršavanja Tri tačke (...) se upisuju da bi se izraz nastavio u sledećem redu Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.9
10 1.5. FORMATI PRIKAZA REZULTATA Korisnik može da izabere format u kojem MATLAB prikazuje rezultat na ekranu. U vežbi 1.1, za ispisivanje rezultata korišćen je fiksan zarez i 4 decimale; to je kratki (short) format koji je podrazumevani format za numeričke vrednosti. Izlazni format se zadaje komandom format, nakon čega se svi rezultati prikazuju u to formatu. U tabeli 1.2 navedeno je i opisano nekoliko dostupnih formata. MATLAB ima više formata za prikazivanje brojeva. Pojedinosti o tim formatima se mogu dobiti ako se u komandni prozor upiše help format. Format prikaza na ekranu ne utiče na preciznost kojom MATLAB izračunava i pamti brojeve. 1 Tabela 1.2. Formati prikaza Komanda Opis Primer format short format long Fiksni zarez sa četiri decimale za decimalne brojeve u opsegu: <broj< Izvan ovog opsega primenjuje se format short e. Fiksni zarez sa 14 decimala za decimalne brojeve u opsegu: <=broj<= 100. Izvan ovog opsega primenjuje se format long e. >> 290/ >> 290/ format short e Naučna notacija sa četiri decimale. >> 290/ e+001 format long e Naučna notacija sa 15 decimala. >> 290/ e+001 format short g Pet cifara s fiksnim ili pokretnim zarezom. >> 290/ format long g Petnaest cifara s fiksnim ili pokretnim zarezom. format bank Dve decimale. >> 290/ format compact format loose >> 290/ Uklanja prazne redove da bi više redova sa sadržajem stalo na ekran. Dodaje prazne redove (obrnuto od compact). 1 U svim primerima MATLAB koda i zadacima, umesto decimalnog zareza koristi se decimalna tačka Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.10
11 1.6. UGRAĐENE ELEMENTARNE MATEMATIČKE FUNKCIJE Sem osnovnih aritmetičkih operacija, izrazi u MATLAB-u mogu sadržati i funkcije. MATLAB ima veoma veliku biblioteku ugrađenih funkcija, a korisnik može definisati i svoje funkcije. Funkcija se poziva imenom i argumentom u zagradama. Na primer, funkcija sqrt (x) izračunava kvadratni koren (engl. square root) broja. Ime joj je sqrt, a argument je x. Argument funkcije može biti broj, promenljiva kojoj je pridružena numerička vrednost, ili izraz koji sadrži brojeve i/ili promenljive. I argumenti i izrazi mogu sadržati funkcije. Vežba 1.2 pokazuje primere korišćenja funkcije sqrt (x) kada se MATLAB upotrebljava kao kalkulator sa skalarima. Vežba 1.2: Korišćenje ugrađene funkcije sqrt U tabelama od 1.3 do 1.5 navedene su najčešće korišćene elementarne matematičke funkcije ugrađene u MATLAB. Celokupan spisak funkcija razvrstanih po kategorijama se može prikazati u prozoru sistema za pomoć (Help). Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.11
12 Tabela 1.3. Elementarne matematičke funkcije Funkcija Opis Primer sqrt(x) Kvadratni koren >> sqrt(81) ans= 9 exp(x) Eksponencijalna funkcija (e x ) >> exp(5) ans= abs(x) Apsolutna vrednost >> abs(24) 24 log(x) Prirodni logaritam - logaritam sa osnovom e (ln) >> log(1000) 6.907S log10(x) Logaritam sa osnovom 10 >> log10(1000) factorial(x) Faktorijel od x (x!) gde x mora biti pozitivan ceo broj >> factorial(5) 120 Tabela 1.4: Trigonometrijske funkcije Funkcija Opis Primer sin(x) Sinus ugla x (u radijanima) >> sin(pi/6) cos(x) Kosinus ugla x (u radijanima) >> cos(pi/6) ans= tan(x) Tangens ugla x (u radijanima) >>tan(pi/6) ans= cot(x) Kotangens ugla x (u radijanima) >> cot(pi/6) Inverzne trigonometrijske funkcije su asin(x), acos(x), atan(x) i acot(x). Hiperboličke trigonometrijske funkcije su sinh(x), cosh(x), tanh(x) i coth(x). U primerima iz prethodne tabele kao oznaka za π korišćeno je pi. Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.12
13 Tabela 1.5: Funkcije za zaokruživanje Funkcija Opis Primer round(x) Zaokruživanje na najbliži ceo broj >> round(17/5) ans= 3 fix(x) Zaokruživanje naniže >> fix(13/5) ans= 2 ceil(x) Zaokruživanje naviše >> ceil(11/5) ans= 3 floor(x) Zaokruživanje na najbliži manji ceo broj >> floor(-9/4) ans= -3 rem (x,y) Vraća ostatak deljenja x sa y >> rem(13,5) 3 sign(x) Funkcija signum: vraća 1 kada je x > 0, -1 kada je x < 0, i 0 kada je x = 0 >> sign(5) DEFINISANJE SKALARNIH PROMENLJIVIH Promenljiva je ime koje sadrži najmanje jedno slovo a može biti i proizvoljna kombinacija slova i cifara (s tim da mora započinjati slovom) kojem je pridružena numerička vrednost. Promenljiva kojoj je pridružena numerička vrednost može se upotrebljavati u matematičkim izrazima, funkcijama i svim MATLAB-ovim iskazima i komandama. Promenljiva je zapravo ime određene lokacije u memoriji. Kada se definiše nova promenljiva MATLAB joj dodeljuje odgovarajuću lokaciju u memoriji gde se čuva njoj pridružena vrednost. Svaki put kada se upotrebi ime promenljive, MATLAB koristi njoj dodeljenu vrednost. Ako se promenljivoj dodeli nova vrednost, menja se sadržaj odgovarajuće lokacije u memoriji Operator dodele U MATLAB-u se znak = naziva operatorom dodele (assignment operator). Ovaj operator dodeljuje vrednost promenljivoj. Ime_promenljive = numerička vrednost ili izraz Levo od operatora dodele može biti samo jedno ime promenljive. Desno može biti broj ili izraz koji sadrži brojeve i/ili promenljive kojima su pret- Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.13
14 hodno dodeljene numeričke vrednosti. Kada se pritisne taster Enter, numerička vrednost s desne strane dodeljuje se promenljivoj, a MATLAB u sledeća dva reda prikazuje promenljivu i njoj dodeljenu vrednost. Kako radi operator dodele? Poslednji iskaz (x=3x-12) ilustruje razliku između operatora dodele i znaka jednakosti. Kada bi u tom iskazu znak = označavao jednakost, vrednost x bi bila 6 (kada se reši jednačina po x). Sledi primer upotrebe prethodno definisane promenljive u definisanju nove promenljive. Ako se na kraj reda upiše tačka-zarez pa zatim pritisne <Enter>, MATLAB neće Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.14
15 prikazati promenljivu i njoj dodeljenu vrednost, ali će joj vrednost ipak dodeliti i smestiti je u memoriju. Kada se upiše ime postojeće promenljive i pritisne <Enter>, u sledeća dva reda prikazaće se ime i vrednost te promenljive. Primer sa tačkazarezom U isti red se može upisati nekoliko dodeljenih vrednosti. Razdvajaju se zarezima (posle zareza se može otkucati više razmaka). Kada se pritisne <Enter>, vrednosti se dodeljuju sleva udesno, a promenljive i njima dodeljene vrednosti prikazuju se u sledećim redovima. Ukoliko se umesto zareza otkuca tačka-zarez, vrednost promenljive neće biti prikazana. Na primer, promenljivama a, b i c vrednosti se mogu dodeliti u istom redu Postojećoj promenljivoj može se dodeliti novu vrednost. Na primer: V Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.15
16 Već definisana promenljiva može se upotrebiti kao argument funkcije. Na primer: Pravila za imena promenljivih Imena promenljivih u MATLAB-u mogu imati do 63 znaka, mogu sadržati slova, cifre i podvlake, i moraju počinjati slovom. MATLAB pravi razliku između velikih i malih slova, na primer, AA, Aa, aa i aa su imena četiri različite promenljive. Treba izbegavati korišćenje imena rezervisanih reči, tj. nazive ugrađenih funkcija za promenljive (cos, sin, exp, sqrt itd.). Funkcija čije je ime upotrebljeno za definisanje promenljive, više se ne može koristiti Unapred definisane promenljive Pojedine često korišćene promenljive automatski su definisane čim se MATLAB pokrene. Među njima su: ans pi eps inf i Promenljiva kojoj se dodeljuje vrednost poslednjeg izraza koji nije dodeljen nekoj drugoj promenljivoj (vežba 1.1). Ako korisnik ne dodeli vrednost izraza nekoj promenljivoj, MATLAB ga automatski dodeljuje promenljivoj ans. Broj π Najmanja razlika izmedu dva broja koju MATLAB još uvek može da prepozna. Jednaka je 2A(-52), što je približno e-016. Označava beskonačno veliku vrednost. Definisano kao imaginarna jedinica, što je: i. j Isto što i promenljiva i. NaN Skraćeno od Not-a-Number (nije broj). Upotrebljava se kada MATLAB ne može da izračuna numeričku vrednost. Na primer, rezultat operacije 0/0. Vrednost unapred definisanih promenljivih može biti proizvoljno redefinisana. Promenljive pi, eps i inf obično se ne redefinišu. Ostale unapred definisane promenljive (i i j), katkada se redefinišu (obično unutar petlji za indeksne promenljive - brojače), ukoliko se u datom slučaju ne koriste kompleksni brojevi. Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.16
17 1.8. KOMANDE ZA RAD S PROMENLJIVAMA Sledeće komande se koriste za uklanjanje promenljivih odnosno dobijanje podataka o svim postojećim promenljivama. Kada se neka od njih upiše u komandni prozor i pritisne Enter, prikazaće se podaci ili izvršiti jedan od dole navedenih postupaka. Komanda Ishod Clear Uklanja sve promenljive iz memorije. clear x y z Uklanja iz memorije promenljive x, y i z. Who Prikazuje imena promenljivih koje postoje u memoriji. Whos Prikazuje imena promenljivih koje postoje u memoriji, njihovu veličinu, klasu i veličinu u bajtovima PRIMERI PRIMENE MATLAB-A Vežba: Trigonometrijska formula x tan x + sin x Trigonometrijska formula data je jednačinom: cos 2 =. Proveriti da 2 2 tan x li je formula ispravna izračunavanjem vrednost obe strane jednačine, uz zamenu π x =. 5 Vežba: Geometrija i trigonometrija Četiri kružnice su smeštene kao na slici. U svakoj tački dodira kružnice su tangentne jedna na drugu. Odrediti rastojanje između centara C 2 i C 4. Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.17
18 Poluprečnici kružnica su: R 1 = 16 mm, R 2 = 6.5 mm, R 3 = 12 mm i R 4 = 9.5 mm Linije koje povezuju centre kružnica čine četiri trougla. Poznate su dužine svih stranica dva takva trougla, C 1 C 2 C 3 i C 1 C 3 C 4. Taj podatak se koristi za izračunavanje uglova γ 1 i γ 2 tih trouglova pomoću kosinusne teoreme. Na primer, γ 1 se izračunava iz jednačine: (C 2 C 3 ) 2 = (C 1 C 2 ) 2 + (C 1 C 3 ) 2-2(C 1 C 2 )(C 1 C 3 )cosγ 1 Zatim se izračuna dužina stranice C 2 C 4 pomoću trougla C 1 C 2 C 4. I tu pomaže kosinusna teorema (poznate su dužine C 1 C 2 i C 1 C 3, a ugao γ 3 je zbir uglova γ 1 iγ 2 Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.18
19 Vežba: Provođenje toplote Telo početne temperature T 0 smešteno je u trenutku t=0 u prostor konstantne temperature Ts. Temperatura tela će se menjati prema jednačini: T=T S + (T 0 -T S ) e -kt gde je T temperatura tela u trenutku t, a k je konstanta. Konzerva piva temperature 120 F stavljena je u frižider unutrašnje temperature 38 F. Izračunati temperaturu konzerve posle tri sata (zaokruženo na najbliži stepen). Pretpostaviti da je k = Najpre se definišu sve promenljive, a potom se izračuna temperatura jednom MATLAB-ovom komandom. Vežba: Složeno obračunavanje kamate Stanje B na računu posle t godina štednje, ako je glavnica P uložena uz godišnju kamatnu stopu r, a kamata se pripisuje n puta godišnje, iznosi: nt r B = P 1 + (1) n Ako se kamata pripisuje jednom godišnje, stanje na računu iznosi: Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.19
20 t ( r B = P 1 + ) (2) Na prvi račun je uloženo na 17 godina uz godišnje pripisivanje kamate. Na drugi račun uložen je isti iznos, ali uz mesečno pripisivanje kamate. Kamatna stopa za oba računa je 8.5%. Koliko godina i meseci štednje na drugom računu treba da prođe da bi njegovo stanje dostiglo stanje prvog računa nakon 17 godina štednje. Rešenje: 1. Na osnovu jednačine (2) izračunati B za uloženih na 17 godina uz godišnje pripisivanje kamate 2. Izračunati t za B izračunato u prethodnom koraku, pomoću formule (1) za mesečno pripisivanje kamate 3. Pretvoriti t u odgovarajući broj godina i meseci >> P=5000;r=0.085;ta=17;n=12; >> B=P*(1+r)^ta >> t=log(b/p)/(n*log(1+r/n)) >> godina=fix(t) >> meseci=ceil((t-godina)*12) Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.20
21 Vežbe za samostalan rad U pravouglom trouglu sa stranicama čije su katete 11 cm i 21 cm izračunati hipotenuzu i uglove (u stepenima). (acos) Rastojanje d od tačke (x 0,y 0 ) od linije Ax+By+Cz=0 dato je formulom: Ax0 + By0 + C d =. Izračunati rastojanje tačke (2,3) od linije 3x+5y-6= A + B Prvo definisati promenljive A,B,C, x 0, y 0, pa potom izračunati d. (abs,sqrt) Izračunati: π tan( ln8) 5π 7π cos 2 ( )sin( ) Prof.dr Ivan Obradović, dipl.mat, Mr. Ranka Stanković, dipl.mat 1.21
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραKonstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati:
Staša Vujičić Konstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati: pseudo jezikom prirodnim jezikom dijagramom toka. 2
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραINFORMATIKA II MATLAB 2. deo. Rudarsko-geološki fakultet Rudarski odsek
INFORMATIKA II MATLAB 2. deo Rudarsko-geološki fakultet Rudarski odsek Nizovi Niz (array) je osnovni oblik u kojem MATLAB čuva podatke i radi s njima Niz je skup brojeva poređanih u vrste (redove) i/ili
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu Građevinsko-arhitektonski fakultet. Konstante, promenljive, identifikatori, operatori Biblioteka funkcija Milica Ćirić
Univerzitet u Nišu Građevinsko-arhitektonski fakultet Informatika 2 Mathematica Konstante, promenljive, identifikatori, operatori Biblioteka funkcija Milica Ćirić Mathematica Programski paket Mathematica
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραEksponencijalna i logaritamska funkcija
16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραProgram za tablično računanje Microsoft Excel
Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραPrvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραPrimena Matlab-a u inženjerskim proračunima
ATC SERBIA AUTOMOTIVE TRANING CENTER OF CENTRAL SERBIA Primena Matlab-a u inženjerskim proračunima Dragan Pršić MAŠINSKI FAKULTET KRALJEVO KRALJEVO, 2011 1. Računarski alati Računari se danas koriste u
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi zadaci za kontrolni
Algoritmi zadaci za kontrolni 1. Nacrtati algoritam za sabiranje ulaznih brojeva a i b Strana 1 . Nacrtati algoritam za izračunavanje sledeće funkcije: x y x 1 1 x x ako ako je : je : x x 1 x x 1 Strana
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με Εφαρμογές στη Βιοϊατρική Εργαστήριο Γραμμικής Άλγεβρας Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις 2016-2017 Εισαγωγή στη Matlab Matlab
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα