ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ"

Αλάστωρ Δασκαλοπούλου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε τις ασύμτωτες της συνάρτησης +, e () = >, Το εδίο ορισμού της είναι το D =. Εξετάζουμε τη συνέχεια της στο =. + lim e = = και Εειδή. + + lim = άρα η δεν είναι συνεχής στο =. lim () + = άρα η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της C Πλάγια-οριζόντια ασύμτωτη στο. + ( ) () e + + lim lim lim lim e = = = = + = + e γιατί: + lim = lim = και lim e = +. Άρα δεν έχουμε λάγια-οριζόντια ασύμτωτη στο Πλάγια-οριζόντια ασύμτωτη στο + () λ= lim = lim = lim = lim =

2 β= lim = lim = άρα η ευθεία y = είναι λάγια ασύμτωτη στο Σημείωση: Στο σχήμα αεικονίζεται η γραφική αράσταση της C και οι ασύμτωτες της.

3 Άσκηση. Αν για την συνάρτηση : (, + ) ισχύουν i. () = ii. lim e = e και iii. + lim =. A. Να βρείτε τον τύο της συνάρτησης. B. Να κάνετε τη γραφική της αράσταση της συνάρτησης. A. = = = + = + () ( ()) () c () ( ln c ) () = ln+ c+ c lim() = e lne+ ce+ c = e + ce+ c = e () e () ln+ c + c ln c lim = lim = lim + c + = c = + ln + αφού lim = lim = Αό την () για c = έχουμε: e+ c = e c = και εομένως: () = ln. B. Το εδίο ορισμού της είναι D = (, + ) Έχουμε = = και η εξίσωση = έχει ρίζα τον αριθμό =. = <. Έχουμε

4 ln = = = + = lim lim ( ln ) lim lim () lim( ln ) = =, άρα η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμτωτη. λ= lim = και + β = lim () ( ) = lim ln + = lim ln = +, άρα η C δεν έχει λάγια ασύμτωτη. Ο ίνακας μεταβολών της και η γραφική αράσταση της είναι 4

5 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. +, () για κάθε {} να δείξετε ότι η γραφική της αράσταση έχει κατακόρυφη ασύμτωτη. Αν για τη συνάρτηση ισχύει η σχέση 5 () Θεωρούμε ότι (, ) (,) οότε: + 5> + 5> > + 5 Έχουμε: () >. + 5 και εειδή ( ) lim = + 5 αίρνουμε: lim = (κριτήριο αρεμβολής). () Άρα lim lim = + = + και εομένως η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της C. 5

6 Άσκηση. Να βρείτε το όριο lim () + με = ( εφ ) ηµ. Η ορίζεται στο A= { : εϕ > } Είναι: + ηµ και εειδή +, θεωρούμε ότι, lim εφ = (αροσδιόριστη μορφή), οότε γράφουμε ηµ ηµ ln( εϕ) () = εφ = e και βρίσκουμε το όριο: ( ) ( ) ( ln ) ln εφ εφ + εφ εφ ( ηµ ) lim ηµ ln εφ = lim = lim = lim = ηµ ηµ ηµ συν ηµ lim = lim = lim = = εφ συν ηµ συν συν συν συν ηµ ηµ Άρα: + + ηµ ηµ ln εφ lim εφ = lim e = e =. 6

7 Άσκηση. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης = ln. Το εδίο ορισμού της ( ) είναι το D (, ) = +. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο εδίο ορισμού της. Η = ( ln + ) έχει ρίζα τον αριθμό e =. ln ln lim = lim = lim = lim = lim =, και lim = lim ln = +. Είσης ( ) Ο ίνακας μεταβολών της είναι ο αρακάτω ίνακας Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το (D ) =, + e. 7

8 Άσκηση 4. Δίνεται η συνάρτηση () = ln ln + i. Να δείξετε ότι η εξίσωση () = έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (, e ). ii. Να μελετήσετε το ρόσημο της συνάρτησης (). iii. Να κάνετε κατά ροσέγγιση τη γραφική αράσταση της. άσκησης 9 i. Το εδίο ορισμού της είναι D (, ) ln = ln = Έχουμε: = + και η είναι αραγωγίσιμη στο (, + ) με Η είναι συνεχής σαν ηλίκο συνεχών συναρτήσεων στο [, e ]. = ln = >, e = <. e Άρα ισχύουν οι υοθέσεις του Θ. Bolzano για την στο [, e ] και εομένως η εξίσωση () = έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (, e ). Εξάλλου: (), +. = < για κάθε (, ) γνησίως φθίνουσα στο Άρα η εξίσωση () + οότε η συνάρτηση είναι = έχει μοναδική ρίζα τον αριθμό (, e). ii. Εειδή: () < στο (, + ) η είναι γνησίως φθίνουσα (, + ). = και εομένως Είναι όμως, ( ), (, e) Για Για < < έχουμε > >. > έχουμε < <. iii. Το εδίο ορισμού της είναι D (, ) = +. 8

9 ln Η είναι συνεχής και η () = όως είδαμε στο (ii) ερώτημα μηδενίζεται στο D. Είσης < για >. lim = lim ln + = lim ln + = ( )( + ) + =. ( ) lim lim( ln ln ) ( ) = + = + = γιατί: ln (ln ) lim ln = lim = lim = lim = lim =. Άρα η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμτωτη. Φτιάχνουμε τον ίνακα μεταβολών για τη συνάρτηση (). Στο σημείο η αρουσιάζει μέγιστο. Η γραφική αράσταση της είναι: 9

10 Άσκηση 5. Να μελετήσετε και να κάνετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης () = + +. Είναι: α= > και = < οότε D =. Η είναι συνεχής στο D =. + () =, η οοία έχει ρίζα τον αριθμό =. + + () = >. 4( + + ) + + Συμεριφορά στα άκρα + + >, Άρα το εδίο ορισμού της είναι = + + = + + = + + = + ( + + ) = + lim () lim lim lim ± ± ± ± Ασύμτωτες () + + λ= lim = lim = lim = lim = lim + + = και + β= lim ( () ) = lim ( + + ) = lim ( ) = lim lim lim = = =

11 lim + + = Άρα η ευθεία y= + είναι λάγια ασύμτωτη της () στο +. Ομοίως η ευθεία y= είναι λάγια ασύμτωτη της () στο. Ο ίνακας μεταβολών της είναι και η γραφική αράσταση της είναι

12 ΘΕΜΑ Δ Άσκηση. Αν η ευθεία y = 5 4 είναι ασύμτωτη της γραφικής αράστασης C της συνάρτησης () () να βρείτε τα όρια lim, lim ( () 5 ) και στη συνέχεια να βρείτε τον αριθμό α + + α + 6 έτσι ώστε lim = Εειδή η ευθεία y = 5 4 είναι ασύμτωτη της γραφικής αράστασης C της () συνάρτησης () θα έχουμε ότι λ= 5 = lim και lim (() λ ) =β ή + + lim (() 5) = 4. + Για >, έχουμε: α () + 6 α () + 6 lim = lim = + + () () α + 6 α 5+ 6 lim = = + () () 5 7 α=

13 Άσκηση. Δίνεται η δύο φορές αραγωγίσιμη συνάρτηση : με ( ) = ( ) =. Αν ισχύει ( + ) + ( ) h h lim h h = (), να βρείτε τον τύο της συνάρτησης (). Η συνάρτηση είναι δύο φορές αραγωγίσιμη, οότε + h () lim = () () h h Θέτουμε: h = u, οότε u όταν h και εομένως: u () ( u) () lim = () lim = () u u u u Αό την υόθεση έχουμε ή ( ) h () lim = () () h h ( + ) + ( ) ( ( + h) + ( h) ) h h lim = () lim = () h h l'ηospital h ( + h)( + h) + h h lim = () h h (Η μεταβλητή ως ρος την οοία αραγωγίζουμε είναι η h ) ( h ) ( + h) ( h) + h h lim = () lim = () h h h h ( + ) ( ) ( h h ) lim = () ( ( )) = () h h h () = () () = () () = ce, c () Για =, αό την () έχουμε: () = c c = και εομένως: () () e () (e ) () e c, c = = = + (4) Για =, αό την (4) έχουμε: () = + c = + c c = και εομένως: (4) e, () =.

14 Άσκηση. Να βρείτε τους ραγματικούς αριθμούς αβ, αν η συνάρτηση αραγωγίσιμη στο =. + ασυν, () = β + ηµ, > είναι Εειδή η συνάρτηση ( ) είναι αραγωγίσιμη, θα είναι και συνεχής στο lim β+ηµ = lim ( +ασυν ) = + β+ηµ = +ασυν β+ = +α β= α+ () 6 Εειδή η συνάρτηση () είναι αραγωγίσιμη στο lim = lim + + = έχουμε: β+ηµ +ασυν +ασυν +ασυν () lim = lim = οότε: α+ +ηµ +α +ασυν +α lim = lim + ηµ α συν ηµ α συν lim = lim lim = lim + + 4

15 συν α( ηµ ) lim = lim = α α = 4 + Τέλος, αό την () για α= αίρνουμε: β=. 4 Ημερομηνία τροοοίησης: /9/ 5

Σχετικά έγγραφα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)