Ali Karimpour Associate Professor Ferdowsi University of Mashhad. Reference: Chi-Tsong Chen, Linear System Theory and Design, 1999.

Transcript

1 DVNCED CONTROL l Karmpour ssoca Prossor Frdows Uvrsy o Mashhad Rrc: Ch-Tsog Ch, Lar Sysm Thory ad Dsg, 999.

2 Lcur lcur Basc Ida o Lar lgbra-par II Topcs o b covrd clud: Fucos o Squar Marx. Lyapuov Equao. Som Usul Formula. Quadrac Form ad Posv Dss. Sgular Valu Dcomposo. Norm o Marcs Dr. l Karmpour pr

3 آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید lcur Calculao o Fuco o Squar Marx محاسبه توابع ماتریس مربعی چند جمله اي مینیمال و معادله مشخصه Mmal Polyomals ad Characrsc Polyomals قضیه کیلی همیلتون Cayly-Hamlo Thorm چند جمله اي هاي معادل بر روي طیف ماتریس Equal Polyomals o h Spcrum o Lyapuov Equao ad s Soluo معادله لیاپانوف و حل آن ماتریس متقارن و فرم مربعی و ماتریس متعامد Symmrc Marx ad Quadrac Form ad Orhogoal Marx ماتریس مثبت/منفی معین Marx ad PD/ND Marx Sgular Valu Dcomposo تجزیه مقادیر تکین محاسبه فضاي رنج و پوچ از تجزیه مقادیر تکین Null Spac ad Rag Spac From SVD نرم ماتریسی Norm o Marcs Dr. l Karmpour pr

4 Fuco o Squar Marx lcur 6 6I چند جمله اي از ماتریس هاي مربعی ماتریس هاي بلوکی k k k فرم جردن QQ ˆ, ˆ Q Q k ˆ ˆ ˆ ˆk QQ QQ QQ Q Q و در حالت کلی Q ˆ Q, ˆ Q Q Dr. l Karmpour pr

5 lcur Dr. l Karmpour pr 5 :- لاثم سیرتام يرطق مرف و سیرتام.تسا هدش هداد هطوبرم لیدبت و Fuco o Squar Marx Q ˆ Q Q :تسبولطم ˆ ˆ ˆ Q Q :میناد یم ˆ ˆ ˆ

6 Fuco o Squar Marx lcur چند جمله اي مونیک: چند جمله اي که ضریب بزرگترین درجه آن برابر یک باشد چندجمله مونیک اي نامیده می شود. مثلا 6 5 چند جمله اي مینیمال: ماتریس چند جمله اي مونیک با کمترین درجه که آن را برابر ماتریس صفر کند چند جمله اي مینیمال ماتریس نامیده می شود. چند جمله اي مشخصه: چند جمله اي مشخصه ماتریس با ابعاد عبارتست از: I 6 Dr. l Karmpour pr

7 Fuco o Squar Marx lcur چند جمله اي مشخصه ماتریس با ابعاد عبارتست از: محاسبه چند جمله اي مینیمال: چند جمله اي مونیک با کمترین درجه که ماتریس آن را برابر صفر کند چند جمله اي مینیمال ماتریس I نامیده می شود.با توجه به خاصیت نیل پوتنت ماتریس قضیه کیلی همیلتون: در معادله مشخصه خود صادق است. قضیه - اثبات: h h. h 7 Dr. l Karmpour pr

8 lcur Dr. l Karmpour pr 8 Fuco o Squar Marx يا هلمج دنچ هبساحم :لامینیم هصخشم يا هلمج دنچ سیرتام داعبا اب :زا تسترابع I :- لاثم يا هلمج دنچ و هصخشم يا هلمج دنچ تسبولطم لامینیم ياهسیرتام ریز I I II I

9 lcur Dr. l Karmpour pr 9 Fuco o Squar Marx يا هلمج دنچ هبساحم :لامینیم هصخشم يا هلمج دنچ سیرتام داعبا اب :زا تسترابع I :همادا- لاثم يا هلمج دنچ و هصخشم يا هلمج دنچ تسبولطم لامینیم ياهسیرتام ریز III I IV I

10 lcur Dr. l Karmpour pr Fuco o Squar Marx يا هلمج دنچ هبساحم :لامینیم هصخشم يا هلمج دنچ سیرتام داعبا اب :زا تسترابع I V I :همادا- لاثم يا هلمج دنچ و هصخشم يا هلمج دنچ تسبولطم لامینیم ياهسیرتام ریز

11 Fuco o Squar Marx lcur چند جمله اي دلخواه λ ماتریس و با ابعاد را در نظر بگیرید. می توان λ را به صورت مقابل بیان نمود. q h حال براي محاسبه داریم: q h حال با توجه به قضیه کیلی همیلتون: q. h h h نکته: درجه h λ نکته مهم: چند جمله اي h معادل بر روي طیف نامیده میشود نکته: محاسبه h Dr. l Karmpour pr

12 Fuco o Squar Marx lcur محاسبه h براي حالتی که ماتریس داراي مقادیر ویژه غیر تکراري است. q h q... با قرار دادن مقادیر ویژه در رابطه فوق داریم: q q q پس از حل معادله مجهول داریم:,...,,, Dr. l Karmpour pr

13 Fuco o Squar Marx lcur محاسبه h براي حالتی که ماتریس داراي مقادیر ویژه تکراري است. معادله λ ماتریس و با ابعاد با معادله مشخصه زیر را در نظر بگیرید. قضیه -: m h whr... m چند جمله اي h از درجه - و معادل λ بر روي طیف بصورت زیر تعریف میشود. پس از حل معادله مجهول زیر ضرایب مجهول h محاسبه می شود. l l h or l,,..., ad,,..., m d d l l l, h l l d h l d که در این رابطه: h و نهایتا: Dr. l Karmpour pr

14 Fuco o Squar Marx lcur مطلوبست. مثال -: محاسبه فرض کنید.λ=λ محاسبه شود. I حال باید مقادیر ویژه حال باید h بصورت را زیر در نظر بگیریم: h h 99 h 99 h حال h عبارتست از: Dr. l Karmpour pr

15 Fuco o Squar Marx lcur I, h مثال -: مطلوبست محاسبه فرض کنید.λ= λ حال باید مقادیر ویژه محاسبه شود. حال باید h را بصورت زیر در نظر بگیریم: I h h... h حال عبارتست از: 5 Dr. l Karmpour pr

16 Fuco o Squar Marx lcur I, h مثال 5-: مطلوبست محاسبه فرض کنید.λ= λ حال باید مقادیر ویژه محاسبه شود. حال باید h را بصورت زیر در نظر بگیریم: I h h... h حال عبارتست از: مقایسه با مثال قبل! 6 Dr. l Karmpour pr

17 lcur Dr. l Karmpour pr 7 ˆ Fuco o Squar Marx دینک ضرف.λ= λ هژیو ریداقم :زا تسترابع دیاب لاح h ار تروصب :میریگب رظن رد ریز h h /!! / /! /!! / /! ˆ :6- لاثم تسبولطم هبساحم ˆ h h 6 h! / /!! / ˆ

18 lcur Dr. l Karmpour pr 8 Fuco o Squar Marx :میراد لبق لاثم هب هجوت اب لاح :7- لاثم تسبولطم هبساحم - si- و! / s s s s s s s s s si

19 Fuco o Squar Marx lcur I I!!...!......! d d... I سري نمایی: با قرار دادن در رابطه فوق داریم: خواص مهم تمرین -: با کمک رابطه I مطلوبست اثبات چهار خاصیت فوق B B و خاصیت خیلی مهم: ولی در حالت خاص:... 9 Dr. l Karmpour pr

20 Fuco o Squar Marx lcur I!! L......!! k L s k! k s I s s... s... سري نمایی: با قرار دادن در رابطه فوق داریم: می دانیم: پس: با قدري ساده سازي داریم: L si L si Dr. l Karmpour pr

21 Lyapuov Equao lcur MMBC m mm m معادله معادله مقابل را در نظر بگیرید. این معادله معادله لیاپانوف نام دارد و در واقع داراي m و m مجهول درایه هاي ماتریس M می باشد. x y m MMBC m mm m m M یادآوري: معادله لیاپانوف نیز بصورت زیر قابل نمایش است: lyap, B, حل معادله لیاپانوف: C Dr. l Karmpour pr

22 Lyapuov Equao lcur x y معادله خطی جبري: مقدار ویژه نام دارد اگر بردار غیر صفر v یافت شود که اسکالر MMB C m mm m معادله لیاپانوف: Dr. l Karmpour pr

23 Som Usul Formula lcur فرض کنید و B ماتریسهاي مربعی هستند در این صورت B m, B C D فرض کنید C و D ماتریسهاي مربعی دلخواه غیر منفرد هستند Im N I d I m ماتریس B و m فرض کنید است در این صورت m B d I Im Q B I B Im P B I براي اثبات فرض کنید : d I m d B P d NP d QP d PI B Dr. l Karmpour pr

24 Quadrac Form ad Orhogoal Marx lcur ماتریسهاي متقارن و فرم مجذوري ماتریس و مربعی متعامد یکانی نامیده می شود اگر ترانهاده آن x T Mx فرم مجذوري مربعی نامیده تعریف - کی: ماتریس ماتریس با خودش برابر باشد. یعنی: متقارن symmrc M M T M R تعریف -: براي یک ماتریس متقارن M و هر بردار x عبارت می شود. تعریف - کی: ماتریس M R متعامد orhogoal نامیده می شود اگر تمام ستونهاي آن متعامد یکه باشند. در این ماتریسها: T M M I, M T M Dr. l Karmpour pr

25 Quadrac Form ad Posv Dss lcur متعامد Q براي هر ماتریس حقیقی متقارن M یک ماتریس وجود دارد اي که: بگونه قضیه -: M QDQ T T or D Q MQ ماتریس D یک ماتریس قطري است که بر روي قطر D مقادیر ویژه M که حقیقی است قرار دارد و بردارهاي هم ویژه M می باشد. ستونهاي Q ماتریس M اثبات: واضح است که ماتریس D تبدیل همانندي نشان دهیم که است پس براي اثبات قضیه کافی است -ماتریس Q -مقادیر ویژه M حقیقی است -بردار ویژه توسعه یافته نداریم و است متعامد Mv v فرض کنید 5 Dr. l Karmpour pr مقادیر ویژه M است پس v * Mv v * * * v v Mv v v حقیقی حقیقی است تمرین -: نشان دهید براي یک ماتریس مربعی متقارن بردار ویژه توسعه یافته نداریم و به فرم قطري می تواند متعامد باشد. ماتریس تبدیل

26 Quadrac Form ad Posv Dss lcur ماتریسهاي معین posv d کی: اگر براي هر ماتریس متقارن داشته باشیم مثبت معین نامیده می شود x T M xr gav d M R x x R R {} {} کی: اگر براي هر ماتریس متقارن داشته باشیم منفی معین نامیده می شود x T M xr M R تعریف - M> تعریف 5- M< posv sm d x T M xr gav sm d x T M xr کی: تعریف 6- ماتریس متقارن نامیده می شود M اگر براي هر مثبت نیمه معین داشته باشیم M R x R کی: تعریف 7- نامیده می شود M ماتریس متقارن اگر براي هر منفی نیمه معین داشته باشیم M R x R 6 Dr. l Karmpour pr

27 Quadrac Form ad Posv Dss lcur ماتریس حقیقی متقارن M مثبت معین مثبت نیمه معین است اگر و فقط اگر هر کدام از قضیه -: شرایط زیر برقرار باشد. تمام مقادیر ویژه ماتریس M مثبت مثبت یا صفر باشد. - ماینورهاي یا کهادها تمام اصلی مقدم ماتریس M مثبت مثبت یا صفر باشد. - غیر منفرد N با ابعاد - ماتریس غیر منفرد N با ابعاد وجود داشته باشد که M=N T N ماتریس M=N T N وجود داشته باشد که m< با m با ابعاد N و یا ماتریس 7 Dr. l Karmpour pr

28 Quadrac Form ad Posv Dss lcur ماتریس H T H داراي رتبه است اگر و فقط اگر که بعد و فرض m قضیه 5-: - ماتریس H با ابعاد m dh T بوده یا H دارد داراي رتبه ماتریس HH T ماتریس H با ابعاد m و فرض m داراي رتبه m است اگر و فقط اگر که بعد - dhh T بوده یا m دارد داراي رتبه mm اثبات: قسمت اول را اثبات می کنیم و قسمت دوم بصورت مشابه اثبات می شود. واضح است که باید دو طرف قضیه اثبات شود یعنی نشان دهیم: T I H H H T II H H H فرض کنیم رتبه H مساوي نباشد پس بردار غیر صفر v وجود دارد به قسمی که: تناقض Hv H T Hv فرض کنیم رتبه H T H مساوي نباشد پس بردار غیر صفر v وجود دارد به قسمی که: H T T T Hv v H Hv Hv T Hv Hv Hv تناقض 8 Dr. l Karmpour pr

29 Sgular Valu Dcomposo SVD lcur YC ll فرض کنید که MC lm در اینصورت و ماتریسهاي که یکانی ماتریس R lm قضیه 6-: M YU H و که UC mm وجود دارد به قسمی که: S S r... r Y [ y, y,..., yl ], U [ u, u,..., u m ] که در رابطه فوق ها عبارت است از... ستونهاي ماتریس Y... ستونهاي ماتریس U... 9 Dr. l Karmpour pr

30 Sgular Valu Dcomposo SVD lcur M M مثال 8-: مطلوبست تجزیه مقادیر تکین ماتریس مقابل H Mu y u Mu y. u u Has o ac o h oupu or Mu فضاي رنج ماتریس M عبارتست از... فضاي پوچ ماتریس M عبارتست از... Dr. l Karmpour pr

31 Norm o vcors lcur p-orm s: x p a p p p For p= w hav -orm or sum orm x a For p= w hav -orm or uclda orm x / a For p= w hav -orm or max orm x max a Dr. l Karmpour pr

32 Norm o marcs lcur نرم برداري را می توان به ماتریسها هم گسترش داد. Sum marx orm xso o -orm o vcors s: a sum j, j Frobus orm xso o -orm o vcors s: a F j, j Max lm orm xso o max orm o vcors s: max max, j a j Dr. l Karmpour pr

33 Iducd marx orm lcur یک نرم براي ماتریسها نرم ماتریسی نامیده می شود اگر داراي خاصیت زیر باشد: B. B القایی نرم بصورت زیر تعریف می شود: p max x x p p هر نرم نرم القایی ماتریسی است. Dr. l Karmpour pr

34 Marx orm or marcs p max x x p lcur p با فرض =p در رابطه نرم داریم: القایی max x x max j a j Maxmum colum sum با فرض p= در رابطه نرم داریم: القایی max x x max j a j Maxmum row sum با فرض =p در رابطه نرم القایی داریم: max x x max x x x max Dr. l Karmpour pr

35 lcur Exrcss تمرینها I!...!... d d تمرین -: با کمک رابطه روابط زیر را اثبات کنید. تمرین -: نشان دهید براي یک ماتریس مربعی متقارن بردار ویژه توسعه یافته نداریم و ماتریس تبدیل به فرم قطري می تواند متعامد باشد. راهنمایی: اثبات با برهان خلف متناظر تمرین -: نشان دهید اگر λ مقدار ویژه ماتریس بوده و x بردار ویژه آن باشد در اینصورت λ مقدار ویژه ماتریس بوده و x بردار ویژه متناظر آن است. 5 Dr. l Karmpour pr

36 Exrcss تمرینها lcur C C نشان دهید توابع یک ماتریس خاصیت جابجایی دارد یعنی: g=g تمرین 5-: تمرین 6-: فرض کنید مطلوبست تعیین B بگونه اي که. B C= نشان دهید که اگر = λ باشد آنگاه B وجود ندارد. حال فرض کنید مطلوبست تعیین B بگونه اي که. B C= آیا درست است که براي هر C غیر منفرد ماتریس B وجود دارد که B C= متقارن باشد رابطه بین مقادیر ویژه و = T مقادیر تکین چیست راهنمایی: در تمرین 7-: اگرماتریس ماتریسهاي متقارن داریم: تمرین 8-: 6 Dr. l Karmpour pr

37 Exrcss تمرینها lcur تمرین 9-: تمرین -: تکرار 9- براي ماتریسهاي زیر تمرین -: 7 Dr. l Karmpour pr

38 Exrcss تمرینها lcur تمرین -: تمرین 5-: نشان دهید که: پاسخ تمرین 6-: پاسخ تمرین -: پاسخ تمرین -: 8 Dr. l Karmpour pr