ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Απόδειξη σελ

Transcript

1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Ο Α. Απόδειξη σελ. 6 6 Β. Ορισμός σελ. Γ. Σωστό β Σωστό γ Λάθος δ Λάθος ε Σωστό ΘΕΜΑ Ο. D () ln { R : > } (, + ) Η πργωγίζετι στο (, + ) ως γινόμενο βσικών πργωγίσιμων. () ln ( ln ) ( ) ln + ( ln ) ln + () (ln + ) ln + ln ln ln + (ln + ) > ln - -

2 + ' () + () () < στο, άρ η είνι γνησίως φθίνουσ στο,. () > άρ η στο είνι,, +, γνησίως β. () (ln + ) συνεχής στο, συνεχής ύξουσ στο στο,, +,, +. Η ' () πργωγίζετι στο (, + ) ως γινόμενο πργωγίσιμων με : () ln ln [ (ln + ) ] ln + + () (ln + ) + (ln + ) () ln + ln ln ln + ln + + ln + ln X + () + () - -

3 συνεχής στο,, () < στο, άρ η κοίλη στο, συνεχής στο, + >, () στο άρ η κυρτή στο, + Επειδή η είνι δύο φορές πργωγίσιμη Προυσιάζει κμπή στο, + κι το σημείο κμπής της είνι το A,, φού ln γ. γνησίως φθίνουσ στο,, τότε το σύνολο τιμών της είνι το Βρίσκω το: () ln ( ) ln (), () (, ln ) () - -

4 +, ln, ln πργωγίσιμες κοντά στο κοντά στο οπότε εφρμόζω κνόν d l Hospital, άρ (ln ) () () ( ) ά ρ (), γνησίως ύξουσ στο,+, τότε το σύνολο τιμών της είνι το (), + () (4) () ln ( φού +, ln + ) + + (),(5) (4), + Τελικά το σύνολο τιμών της ln + είνι το + (5),, +,

5 ΘΕΜΑ Ο. Έστω g() () Η g είνι γινόμενο πργωγίσιμων στο R συνρτήσεων άρ πργωγίσιμη στο R. Οπότε κι συνεχής στο R συνάρτηση. Θεωρώ το διάστημ, κι την συνάρτηση g που είνι συνεχής στο, Πργωγίσιμη στο, g( ) () g( ) g g Ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Roll γι την g() οπότε υπάρχει έν τουλάχιστον ξ, τέτοιο ώστε g (ξ). g + Όμως g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () + ( ) ( ( ) + ( ) ) ξ () ξ ( () ξ + () ξ ) κι () ξ + () ξ () ξ -() ξ έχω φού ξ β. Αφού () - κι g() () έχω g() ( -) ( ) g()d ( - ) d ( ) ( - ) Ι [ ( - ) ] - ( - ) d d - 5 -

6 [ ( - ) ] ( 4 - ) d ( - ) - ( - ) ( ) ( 4 - ) d - - ( - ) - [ ( 4 - ) ] ( 4 - ) d ( - ) - [ ( 4 - ) ] + 4d - ( - ) - [ ( 4 - ) - ( 4 - ) ] γ. κι όμως ( - ) - ( ) + 4[ ] ( - ) ( ( + 7 7) + 7 I() Βρίσκω το : ( ) d ( ) [ ( + 7 7) ] ( + 7 7) +. Άρ : [ ( + 7 7) ] ()

7 u , u ( + 7 7) + πργωγίσιμες στο ( ) στο εφρμόζω κνόν d l Hospital, άρ : () ( + 7 7) ( ) ( 4 + 7) + κι ( ) Οι συνρτήσεις 4 + 7, είνι πργωγίσιμες, άρ () εφρμόζω κνόν d l Hospital, οπότε : () ηλδή Τότε: Ι() ( 4 + 7) ( ) ( ) ( ) ( ) + () 7 ΘΕΜΑ 4 Ο. Έστω g() συνεχής στο R, (t) dt Οπότε g() (t)dt (t) dt + ( ) R, άρ : (t)dt + ( ) - 7 -

8 () συνεχής στο R συνάρτηση, οπότε έχει πράγουσ (ρχική) την F () (t)dt, πργωγίσιμη στο R. Τότε (t)dt F( ) πργωγίσιμη στο R ως σύνθεση πργωγίσιμων στο R συνρτήσεων. Επειδή + R κι ( ) πργωγίσιμη στο R, άρ + ( ) πργωγίσιμη στο R. Τελικά η g είνι πργωγίσιμη στο R ως διφορά πργωγίσιμων στο R συνρτήσεων. g () (t)dt + ( ) + (t)dt ( ) (t)dt Άρ g () ( )( ) + ( ) + ( ) ( ) + + β. Πρτηρώ ότι : - 8 -

9 g () (t)dt + ( ) οπότε η δοσμένη νίσωση g() γράφετι g() g() γι κάθε R, δηλδή η g προυσιάζει στο ελάχιστο. Η g είνι πργωγίσιμη στο R, άρ πργωγίσιμη κι στο, εσωτερικό σημείο του R κι η g προυσιάζει κρόττο στο, οπότε ισχύει Θεώρημ Frmat, άρ g'() (). g () ( ) g () () + g () + (),() + + () ( φού () ) + έχω γ. + R Από (β) ισχύει: ( ) + R( ) δ. Από το (γ) ερώτημ έχω ( ) R

10 Όμως άρ R ( ) ( + βi) β Τελικά β ( β)( + β) όμως > β β >. β + βi ( β)( β) + + β < β < < β > φού > Θεωρώ τη συνάρτηση κι το [, ]. Η είνι συνεχής στο R,άρ κι στο [, ] κι ()() β < (φού >, β < ), άρ ισχύει θεώρημ Bolano, οπότε υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε ( ). - -