opisuje slijed događaja koji su uključeni u evoluciju neke vrste ili taksonomske skupine organizama.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "opisuje slijed događaja koji su uključeni u evoluciju neke vrste ili taksonomske skupine organizama."

Transcript

1 ME 3 RNA svijet i virusi Mehanizmi evolucije Dr. sc. Višnja Bačun-Družina, izv. prof. Evolucija kemijskih molekula Evolucija kemijskih molekula rezultirala je stvaranjem života na Zemlji prije otprilike 3,8 milijarde godina. Evolucija primitivni stanica nastalih u tom procesu postupno su dovele do primitivnim oblika organizama kao što su bakterije, alge, gljivice i protozoe. Ovi organizmi, iznjedrili su razne oblike života koji postoje danas na Zemlji. Nastanak života na Zemlji Slika 1. Nastanak života na Zemlji do danas Evolucija organizama opisuje slijed događaja koji su uključeni u evoluciju neke vrste ili taksonomske skupine organizama. opisuje spor i postupan proces kojim živi organizmi prolaze kroz promjene od najjednostavnijih jednostaničnih oblika života do najsloženijih višestaničnih oblika koji se mogu vidjeti i danas.

2 Evolucija kemijskih molekula i evolucija organizama Slika 2. Shematski prikaz evolucije kemijskih molekula i evolucije organizama Prve genetske molekule života na Zemlji Moguće su prve okosnica za peptidne nukleinske kiseline koje su mogle biti prve genetske molekule života na Zemlji; Peptidne nukleinske kiseline (PNA) su umjetno sintetizirani polimeri slične molekulama RNA ili DNA (1991, Science 254). Naziv je pogrešan jer PNA nije kiselina. ne zna je li se dogodila molekula PNA, međutim molekula N-(2-aminoetil)-glicin (AEG), koja je okosnica PNA, utvrđeno je kao produkt rasta cijanobakterija (PLoS ONE 7:. E49043, 2012).

3 Slika 3. Prikaz peptidne nukleinske kiseline (PNA), umjetno sintetizirani polimeri slične molekulama RNA ili DNA (1991, Science 254). Udio humane kodirajuće i nekodirajuće DNA Slika 4. Udio humane kodirajuće i nekodirajuće molekule DNA Udio nekodirajuće DNA u prokariotima i eukariotima

4 Slika 5. Udio nekodirajuće DNA u prokariotima i eukariotima Svijet molekula RNA Slika 6. Shematski prikaz kodirajuće i nekodirajućih molekula RNA Nekodirajuće RNA (ncrna)

5 Funkcionalne molekule RNA koje se ne prevode u proteine. Sinonimi: non-protein-coding RNA (npcrna), non-messenger RNA (nmrna) i functional RNA (frna). Uloga nekodirajućih RNA Slika 7.Shematski prikaz nekodirajućih RNA Nekodirajuće RNA (ncrna) Vrlo raznolike: trna i rrna, te snorna (mala nukleolarna RNA provodi kemijske modifikacije drugih RNA, uglavnom rrna, trna i malih nuklearnih RNA), snrna (uvijek povezana sa specifičnim proteinima u malim nuklearnim ribonukloproteinima, sazrjevanje pre-mrna, u spajsosomu), mikrorna (djeluje na transkripcijsku i post-transkripcijsku regulaciju ekspresije gena), sirna (najznačajnija u interferenciji RNA), exrna (izvanstanična RNA u tjelesnim tekućinama kao što su venska krv, slina, majčino mlijeko, urin i dr., zadužene za međustaničnu komunikaciju i staničnu regulaciju), pirna (Piwi interakcija RNA, oblik RNAproteinski kompleksa u interakciji je Piwi proteinom, nađen u Drosophila, povezani s stišavanjem epigenetskih i post-transkripcijski gena retrotranspozona i drugih genetskih elementa spolnih stanica) i dr. Djelovanje nekodirajućih RNA

6 Slika 8. shematski prikaz djelovanje nekodirajućih molekula RNA sirna Molekule koje specifično utišavaju ekspresiju gena su snažno istraživačko oruđe, a sirna (eng. small interfering ) molekule su jedne od najnovijih sredstava koji utišavaju gen u specifičnoj sekvenciji (eng. sequence-specific gene-silencing agens ); Danas kada su genomi mnogih modelnih organizama sekvencionirani, pristupi koji uključuju nukleinske kiseline koje djeluju na ekspresiju gena u specifičnoj sekvenciji koriste se za istraživanje funkcije gena i kao potencijalni terapeutici. Klasifikacija animalnih virusa na bazi sastava genoma i nastanka mrna. DNA plava boja; RNA crvena boja. VI retrovirusi.

7 Slika 9. Shematshi prikaz klasifikacije animalnih virusa obzirom na nasljedni materijal Stvaranje prvih molekula RNA Spontanom polimerizacijom ribonukleotida nastala je prva molekula RNA koja se nadalje spontano replicirala. Taj proces je bio uz mnoge pogreške pa su nastajale mnoge različite molekule RNA.

8 Slika 10. Shematski prikaz spontanog nastanka različitih oblika molekula RNA Dvije mogućnosti evolucije prvih kodirajućih molekula RNA Ribozim dvostruka funkcija: katalitička i kodirajuća. Ribozim (enzim) može sintetizirati kodirajuću molekulu. U oba slučaja aminokiseline su povezane s kodirajućim molekulama posredstvom adaptor molekulom RNA, koje su preteče današnjih trna.

9 Slika 11. Shematski prikaz djelovanja različitih molekula RNA Nastajanje prvih molekula DNA Prepisivanje kodirajuće molekule RNA u preteču prvog lanca molekule DNA Slika 12. Shematski prikaz nastanka preteče prvog lanca molekule DNA PORIJEKLO VIRUSA I NJIHOVA ULOGA U EVOLUCIJI PRIJENOSA GENETSKO MATERIJALA Virusi: stari igrači u evoluciji života RNA virusi Retrovirusi ostatak RNA/DNA tranzicije(influenza, HIV..) ostatak RNA svijeta

10 Transformacije staničnog organizma u virusni bile su mnogo lakše u svijetu RNA stanica (jednostavnije) I i II RNA virusi prisutni u bakterija (nepoznati u Archea) Homologija unutar virusa koji napadaju bakterije i eukariote (RNA zavisna RNA polimeraza) Prisutni u vrijeme LUCA ili čak prije njega Razlike u DNA replikacijskim enzimima (T4, Archaea, eukarioti...) Porijeklo virusa Virusi su pobjegli genetički materijal, razvili su se iz pravog organizma 3 HIPOTEZE O PORIJEKLU VIRUSA 1. Hipoteza: Prvo virus 2. Hipoteza bijega 3. Hipoteza redukcije 1. Hipoteza: Prvo virus Virusi su se razvili iz primitivne juhe RNA svijet zajednica slobodnih molekula LUCA nije stanični subjekt Stanične membrane nastale nakon razdvajanja Archaea i bakterija Ali... LUCA bez membrane, a prisutni homologni proteini unutar svih triju domena Moderni virusi sadrže proteine i trebaju stanični okoliš za razmnožavanje 2. Hipoteza bijega virusi se razvili iz fragmenata genoma koji su pobjegli iz stanica koje su postojale prije LUCA. Fragment je mogao postati autonoman u staroj RNA stanici, s obzirom na to da su različiti molekulski mehanizmi koji su djelovali u proto-stanicama su bili puno jednostavniji i manje integrativni od onih koji su danas prisutni u DNA stanicama.

11 3. Hipoteza redukcije Transformacije staničnog organizma u virusni moguć u svijetu RNA stanica (jednostavnije od današnjih s DNA), RNA stanica, koja živi kao parazitski endosimbiont u drugoj RNA stanici, mogla je izgubiti svoju mašineriju za sintezu proteina i proizvodnju energije, koristeći kao zamjenu onu od domaćina; Viralna kapsida mogla je poteći od ovojnice RNA stanica građene od istih proteina, nalik S- layer-u današnjih prokariota. Slika 13. Shematski prikaz 2 hipoteze o nastanku virusa Dvije alternativne hipoteze o porijeklu virusa u drugoj dobi RNA svijeta (nakon izuma sinteze proteina), crni krugovi odgovaraju translacijskoj mašineriji (npr. dalekom pretku ribosoma), a crna linija linearnoj kromosomskoj RNA. Gornja slika predstavlja hipotezu bijega: nejednaka podjela stanice proizvodi ministanice s jednim kromosom (a ili b), ali ne i prijevodnim aparatom (ribosomom). Kromosom a) će biti eliminiran, ali kromosom b) će opstati, jer je povezan s proteinima koji čine kapsidu koja omogućava prijenos svojih RNA u novu stanicu, ona postaje virusom. Donja slika predstavlja hipotezu redukcije: male RNA stanice udružuju se u veliku koja postaje endosimbiont velike RNA stanice. Takve stanice zatim gube svoj prijevodni aparat, ali i dalje se mogu samostalno replicirati i postaju zarazne (slično nekim patogenim bakterijama u eukariotskim stanicama).

12 Porijeklo DNA virusa Samostalno Iz RNA virusa: na strukturnom i mehanističkom nivou između virusne RNA replikacije/transkripcije, reverzne transkripcije i nekih DNA polimeraza ili između virusnih RNA i DNA helikaza-homologije između RNA i DNA virusa, Porijeklo DNA virusa iz RNA virusa postojanjem oblika kao što su retrovirusi (s RNA genom i RNA-DNA-RNA ciklusom) i hepadnavirusi (s DNA genomom i ciklusom DNA-RNA-DNA). Uočena evolucijska povezanost retrovirusa i hepadnavirusa, što snažno podupire ideju da se prijelaz iz RNA u DNA dogodio u virusnom svijetu. Hepadnavirusi genom Obitelj virusa koji mogu izazvati infekciju jetre sisavaca (Hepatitis B virus) DNA genomom i prisutan ciklus DNA-RNA-DNA Genom: - sastoji od dva neujednačena lanca DNA, - djelomično je dupla zavojnica i djelomično cirkularni jednostruki lanac DNA - Jedan lanas DNA je antisens, drugi, kraći, je sens. Replikacija hepadnavirusa Replikacija prvo mrna te pomoću reverzne transkriptaze, koja se kovalentno vezuje na početnicu dužine 3-4 nukleotida), nastaje cdna (J. Virology, 2004,78, ). Većina hepadnavirusa se replicira jedino u specifičnom domaćinu otežava istraživanja. Porijeklo DNA virusa iz RNA virusa Tranzicija biosinteze nukleinskih kiselina je vjerojatna jer specifičnost RNA/DNA polimeraze nije velika,

13 RNA-ovisna RNA polimeraza iz Brome mozaičnog virusa (biljni v.) može koristiti kao kalup lanac RNA, DNA, pa čak i RNA/DNA hibrid. RNA virusi mogli su koristi svoje stanične enzime kako bi transformirali svoj RNA genom u DNA genom. RNA virusi (enzimi) DNA virusi DNA je virusni izum? DNA virusi nastali redukcijom od pradavnih DNA stanica potaknuta otkrićem mimivirusa, divovskog virusa koji napada Entamoebae. genoma ovog virusa iznosi 1.2 Mb i tri je puta veća od genoma najmanje bakterijske stanice, a četiri ili pet puta veća od minimalnog bakterijskog genoma predviđenog za funkcionalnu stanicu. intermedijer između pravih stanica i virusa (nedostaje im samo ribosomalni protein). geni mimivirusa "posuđeni" iz drugih virusa i/ili iz drevnih predaka DNA ili RNA stanica. Acanthamoeba polyphaga mimivirus domaćin ameba Acanthamoeba polyphaga Genom mimivirus je linearan, dvolančane molekule DNA duljine od parova baza; Otprilike 90% genoma je kodirajuće podeučje dok je 10% "junk DNA". Virusi i porijeklo DNA DNA molekula je stabilnija, zahvaljujući tome što nema reaktivni kisik na položaju 2 riboze, modifikacija u genetičkom zapisu koja je proizvedena deaminacijom citozina u uracil (česta spontana kemijska reakcija) može se prepoznati i popraviti u DNA, ali ne i u RNA. zamjena RNA u DNA po prvi put dogodila u virusu, modifikacija svojih RNA genoma u DNA genom mogla je trenutno proizvesti veliku prednost i dobitak za sam virus, virusi mogu zaštitili svoj genom (metilacijom, hidroksimetilacijom ili čak složenijim kemijskim modifikacijama) pa ga nukleaze domaćina kojeg napadnu ne mogu razgraditi, a i kako bi mogao biti što sličniji humanoj DNA. pojava ribonukleotid reduktazne aktivnosti u virusa koja je mogla modificirati RNA genom u DNA genom koji sadrži još uvijek uracil, dakle nastala bi U-DNA. međukorak u RNA-DNA tranziciji je završen sintezom dtmp iz dump modernih stanica (neki bakteriofagi koji i dan danas imaju U-DNA genom), Drugi korak mogao je biti nastanak timidilat sintetazne aktivnosti u nekih U-DNA i DNA koja sadrži timin (T-DNA).

14 Virusi i porijeklo DNA Slika 14.shematski prikaz teorije nastanka DNA.RNR = ribonucleotide-reductase; TdS = thymidylatesynthase, HmcT = hydroxymethylcytosine-transferase, prilagđeno prema P. Forterre (2006 ) Virus Research 117, DNA je virusnog porijekla DNA replikacijski mehanizam: jednolačnani RNA virus s dvolančanim RNA replikacijskim intermedijerom postao jednolančani DNA virus koji je replicirao svoj genom putem DNA/RNA intermedijera. U ovoj fazi je jedan enzim mogao transkribirati DNA u RNA i retrotranskribirati RNA u DNA. prisutnost primaze koja započinje replikaciju na drugom lancu->rna, koji bi tako postao kasneći lanac (eng. lagging strand ). Na kraju ovog evolucijskog procesa bila je moguća brza replikacija vrlo dugačkog genoma s istovremenim izvođenjem replikacije kasnećeg i vodećeg lanca u replikacijskoj viljušci, kao što se to odvija u svim modernim stanicama i u mnogim DNA virusima. VIRUSI I PORIJEKLO TRIJU DOMENA dva seta ne homolognih DNA replikacijskih proteina: onih u Bacteria i drugih u Archaea i Eukarya. potrebno uzeti u obzir i zamisliti najmanje dva neovisna prijenosa (slika A i B). predložio da je moguće da su se dogodila tri takva nezavisna prijenosa DNA iz virusa u RNA stanice, što je zatim dovelo do formiranja triju domena; Archaea, Bacteria i Eukarya (slika C) - >Hipoteza tri virusa - tri domene

15 Slika 15. Shematski prikaz nekoliko modela za mogući prijenos DNA iz virusa u stanice. (A) Jedan prijenos prije LUCA nakon kojega slijedi razvoj jednog drugog DNA replikacijskog mehanizma u bakterijskog grani. U takvom scenariju LUCA ima DNA genom, (B) dva neovisna prijenosa nakon LUCA s RNA genomom, (C) tri nezavisna prijenosa nakon LUCA koja vode do formiranja triju staničnih domena (razlike između Archaea i Eukarya u DNA replikacijskom mehanizmu prikazane su različitim bojama). Hipoteza tri virusa za tri domene Tri DNA virusa, koji su postojali na samome početku razvoja svih ostalih modernih stanica, dijelili su mali set homologne DNA koja je kodirala informaciju za homologne proteine prisutne u sve tri domenama života. hipoteza tri virusa-tri domene može isto tako objasniti zašto članovi različitih domena mogu biti inficirani specifičnim grupama virusa. Da je predak svih prisutnih virusa bio prisutan još za vrijeme LUCA, član neke viralne porodice morao bi moći zaraziti stanice svih triju staničnih domena. nakon početne diversifikacije i razdvajanja viralnih predaka zajedno s razdvajanjem RNA staničnih predaka, samo oni virusi koji su bili u mogućnosti inficirati RNA stanicu u ishodu svake domene te su mogli preživjeti masivu eliminaciju RNA stanica (i RNA/DNA virusi) koja se dogodila nakon pojave triju predaka DNA stanica. To bi moglo selekcionirati iz svake domene subpopulaciju različitih viralnih porodica koje su pre-adaptirane na to da mogu inficirati samo novo nastale DNA stanice.

16 Slika 16. Shematski prikaz nastanka tri domene iz virusa Virusi i porijeklo eukariotske jezgre 1. hipoteza: endosimbioza Archaea i Bakterije U eukariotima specifični proteini koji nemaju svoje homologe niti u Arhaeae niti u Bakterija, spliceosomi, modifikacija mrna kapa, jezgrine pore - Nije moguće zamisliti nastanak jezgrine ovojnice bez toga da su prethodno postojale jezgrine pore HIPOTEZA VIRUSNE EUKARIOGENEZE HIPOTEZA VIRUSNE EUKARIOGENEZE godine dva su autora nezavisno predložila potpuno novu hipotezu koja bi objasnila porijeklo jezgre. To je bila HIPOTEZA VIRUSNE EUKARIOGENEZE, tj. hipoteza nastanka jezgre od virusa. Oni su predložili kako je moguće da se jezgra razvila iz virusa čiji je genom bila velika dvolančana DNA. Moguće je da je takav virus inficirao organizam sličan prokariotskom. Ovaj mehanizam ima veliku prednost jer može objasniti problem jezgrinih pora budući da su virusi razvili veliki broj kompleksnih molekulskih alata kako bi translocirali RNA ili DNA kroz razne tipove membrana, uključujući stanične membrane. hipoteza nastanka jezgre od virusa. jezgra razvila iz virusa čiji je genom bila velika dvolančana DNA. inficirao organizam sličan prokariotskom može objasniti problem jezgrinih pora budući da su virusi razvili veliki broj kompleksnih molekulskih alata kako bi translocirali RNA ili DNA kroz razne tipove membrana, uključujući

17 stanične membrane i nastanak jezgrineih pora i membranskih vezikula endoplazmatskog retikuluma. Uloga virusa u evoluciji mitohondrija i kloroplasta mitohondriji potekli iz slobodno-živuće α proteobakterije problem; RNA i DNA polimeraza i DNA helikaza homologne onima za koje kodira bakteriofag T3/T7 (provirus u genomu nekoliko proteobakterija) α proteobakterija sadržavala je provirus (u srodstvu s T3/T7) te je došlo do zamjene gena RNAp prisutna i u kloroplastima Filogenetičke analize su nedavno otkrile da su RNA polimeraza, DNA helikaza i DNA polimeraza, koje su uključene u DNA replikaciju, isto tako specifično povezane s istom grupom virusa (u srodstvu s T3/T7). homolozi ova tri proteina kodirani od strane nekih kriptičnih provirusa (tihi, bez izraženog fenotipa) u genomu nekoliko proteobakterija. upućuje da je možda alfa-proteobakterija sadržavala kriptični provirus koji je bio u srodstvu s T3/T7 i da su RNA polimeraza, DNA helikaza i DNA polimeraza, za koje je kodirao ovaj provirus, zamijenile originalnu DNA transkripciju i replikaciju proteina koji su bili prisutni u pretku alfa-proteobakterije tijekom transformacije u mitohondrij. predak bakterijskog tipa RNA polimeraze (cijanobakterijskog porijekla) i T3/T7-sličnog tipa RNA polimeraze koriste se u transkripciji genoma unutar kloroplasta. Enzim sličan virusnom u kloroplastu potječe iz duplikacije gena koji kodira mitohondrijska RNA polimeraza. Biljke dakle sadrže dvije RNA polimeraze koje sliče onima iz virusa u mitohondriju i u kloroplastu. veliki selekcijski pritisak koji je potaknuo na zamjenu staničnih enzima s onima od virusa u mitohondrijima i kloroplastima. U oba organela takva zamjena povezana je i s mnogim modifikacijama i promjenama u mehanizmu replikacije DNA i kromosomalne strukture. virusi mogu biti izvor novih staničnih proteina koji nose informaciju za DNA i kao takvi mogli su igrati ključnu ulogu u oblikovanju staničnog genoma.

18 Slika 17. Shematski prikaz nastanka svijeta s molekulom RNA Slika 18. shematski prikaz nastanka različitih RNA virusa

19 Slika 19. Shematski prikaz nastanka stanica s RNA i DNA Od RNA do DNA svijeta Slika 20. Shematski prikaz nastanka svijeta s molekulama DNA, prilagođeno prema C. Zimmer(2006) Science 312, Uloga virusa u evoluciji stanica Virusi su odigrali važnu ulogu u staničnoj evoluciji. Virusi mogu biti izvor novih gena te imati ključnu ulogu u oblikovanju staničnog genoma.

20 Ukoliko su virusi nastali vrlo rano u Zemljinoj prošlosti to omogućuje bolje razumijevanje njihove raznolikosti, te objašnjava zašto većina viralnih genoma nema staničnih homologa. Ukoliko se ovakve hipoteze pokažu točnima, to znači da će istraživanje virusne raznolikosti biti jedan od najvećih izazova biologije u 21. stoljeću (P. Forterre, 2006, Virus Res. 117). Važan prirodni način prijenosa gena između različitih vrsta, čime se potiče evolucija i povećava genetička raznolikost. Virusi čine najveću akumulaciju neistražene genetske raznolikosti na Zemlji (Suttle CA. Marine viruses major players in the global ecosystem. Nature Reviews. Microbiology. 2007;5,10:801 12). Korijen stabla života uronjen u "virusni ocean" Dugo vremena virusi nisu bili uključeni u univerzalno stablo života budući da nemaju ribosomalnu RNA. - ukoliko se viruse vrati natrag u stablo života te ako se sam korijen stabla uroni u virusni ocean (slika), mogu se postaviti nove, vrlo raznolike hipoteze koje bi mogle biti u mogućnosti riješiti probleme pronađene u dešifriranju veza između triju domena života i povijesti DNA. Slika 21. shematski prikaz stabla života uronjenog u ocean virusa.

21 Ideja da su virusi potekli još od prije nastanka LUCA isto tako se predlaže da su moderni virusi naslijedili molekulski mehanizam od starih RNA i DNA stanica koje su nestale u modernim DNA stanicama. Jasan primjer tome bio bi mehanizam započinjanja DNA replikacije. To bi moglo objasniti zašto je molekularna biologija viralnog svijeta za transkripciju i replikaciju mnogo različitija od one prisutne u staničnom svijetu. Mnogi nepoznati molekulski mehanizmi i njihovi proteini još se moraju otkriti u virosferi. Ukoliko su ovakve hipoteze i razmišljanja u skoroj budućnosti pokažu ispravnima, to znači da će istraživanje virusne raznolikosti biti jedna od najvećih izazova biologije u 21 stoljeću!

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Opća biologija. Predavač: Nina Popović, dipl. ing. biologije

Opća biologija. Predavač: Nina Popović, dipl. ing. biologije Opća biologija Predavač: Nina Popović, dipl. ing. biologije Okvirni sadržaj predmeta Osnove bioloških principa Principi znanstvenih metoda u biologiji Značajke života Osnove o stanici Osnove nasljeđivanja

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Funkcionalna genomika i proteomika. Doc. dr. sc. Ivana Novak Nakir

Funkcionalna genomika i proteomika. Doc. dr. sc. Ivana Novak Nakir Funkcionalna genomika i proteomika Doc. dr. sc. Ivana Novak Nakir Što je genomika? Grana genetike proučava genom* nekog organizma Definira cjelokupni DNA sadržaj tj. nasljedni materijal Mapira interakciju

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Testiranje statistiqkih hipoteza

Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a: Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα