Testiranje statistiqkih hipoteza
|
|
|
- É Θεοτόκης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Testiranje statistiqkih hipoteza
2 Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene veze među izuqavanim pojavama, kada se pretpostavlja da posmatrano obeleжje ima određenu raspodelu.
3 Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene veze među izuqavanim pojavama, kada se pretpostavlja da posmatrano obeleжje ima određenu raspodelu. Statistiqka hipoteza Statistiqka hipoteza je svaka pretpostavka koja se odnosi na raspodelu obeleжja.
4 Statistiqka hipoteza moжe biti taqna ili pogrexna.
5 Statistiqka hipoteza moжe biti taqna ili pogrexna. Odluka o prihvatanju ili odbacivanju statistiqke hipoteze donosi se na osnovu uzorka.
6 Statistiqka hipoteza moжe biti taqna ili pogrexna. Odluka o prihvatanju ili odbacivanju statistiqke hipoteze donosi se na osnovu uzorka. Statistiqki test Statistiqki test je postupak verifikovanja statistiqke hipoteze na osnovu uzorka.
7 Statistiqka hipoteza moжe biti taqna ili pogrexna. Odluka o prihvatanju ili odbacivanju statistiqke hipoteze donosi se na osnovu uzorka. Statistiqki test Statistiqki test je postupak verifikovanja statistiqke hipoteze na osnovu uzorka. Test statistika Statistiqki test koristi neku statistiku koja se zove test statistika.
8 Istovremeno se posmatraju dve hipoteze koje su jedna drugoj suprostavljene.
9 Istovremeno se posmatraju dve hipoteze koje su jedna drugoj suprostavljene. Nulta hipoteza Hipoteza koja se lakxe verifikuje se uzima za polaznu ili nultu hipotezu. Oznaqava se sa H 0.
10 Istovremeno se posmatraju dve hipoteze koje su jedna drugoj suprostavljene. Nulta hipoteza Hipoteza koja se lakxe verifikuje se uzima za polaznu ili nultu hipotezu. Oznaqava se sa H 0. Alternativna hipoteza Druga hipoteza se zove alternativna hipoteza. Oznaqava se sa H 1 ili H a.
11 Istovremeno se posmatraju dve hipoteze koje su jedna drugoj suprostavljene. Nulta hipoteza Hipoteza koja se lakxe verifikuje se uzima za polaznu ili nultu hipotezu. Oznaqava se sa H 0. Alternativna hipoteza Druga hipoteza se zove alternativna hipoteza. Oznaqava se sa H 1 ili H a. Hipoteza moжe biti: prosta (u potpunosti određuje raspodelu obeleжja) sloжena.
12 Kritiqna oblast Skup C takav da se hipoteza H 0 odbacuje ako realizovani uzorak (x 1, x 2,..., x n ) pripada skupu C zove se kritiqna oblast.
13 Kritiqna oblast Skup C takav da se hipoteza H 0 odbacuje ako realizovani uzorak (x 1, x 2,..., x n ) pripada skupu C zove se kritiqna oblast. Mogu e je naqiniti dve grexke: grexku prve vrste, grexku druge vrste.
14 Kritiqna oblast Skup C takav da se hipoteza H 0 odbacuje ako realizovani uzorak (x 1, x 2,..., x n ) pripada skupu C zove se kritiqna oblast. Mogu e je naqiniti dve grexke: grexku prve vrste, grexku druge vrste. Grexka prve vrste Grexka prve vrste nastaje u situacijama kada je hipoteza H 0 odbaqena, a bila je faktiqki taqna.
15 Kritiqna oblast Skup C takav da se hipoteza H 0 odbacuje ako realizovani uzorak (x 1, x 2,..., x n ) pripada skupu C zove se kritiqna oblast. Mogu e je naqiniti dve grexke: grexku prve vrste, grexku druge vrste. Grexka prve vrste Grexka prve vrste nastaje u situacijama kada je hipoteza H 0 odbaqena, a bila je faktiqki taqna. Grexka druge vrste Grexka druge vrste qini se kada se nulta hipoteza prihvati, a zapravo nije taqna.
16 Verovatno a da se naqini grexka prve vrste Verovatno a da se uqini grexka prve vrste oznaqava se sa α: α = P H0 {(X 1, X 2,..., X n ) C}.
17 Verovatno a da se naqini grexka prve vrste Verovatno a da se uqini grexka prve vrste oznaqava se sa α: α = P H0 {(X 1, X 2,..., X n ) C}. Verovatno a da se naqini grexka druge vrste Verovatno a da se naqini grexka druge vrste oznaqava se sa β: β = P H1 {(X 1, X 2,..., X n ) C}.
18 Verovatno a da se naqini grexka prve vrste Verovatno a da se uqini grexka prve vrste oznaqava se sa α: α = P H0 {(X 1, X 2,..., X n ) C}. Verovatno a da se naqini grexka druge vrste Verovatno a da se naqini grexka druge vrste oznaqava se sa β: β = P H1 {(X 1, X 2,..., X n ) C}. Prag znaqajnosti Verovatno a α se zove i prag znaqajnosti testa.
19 Verovatno a da se naqini grexka prve vrste Verovatno a da se uqini grexka prve vrste oznaqava se sa α: α = P H0 {(X 1, X 2,..., X n ) C}. Verovatno a da se naqini grexka druge vrste Verovatno a da se naqini grexka druge vrste oznaqava se sa β: β = P H1 {(X 1, X 2,..., X n ) C}. Prag znaqajnosti Verovatno a α se zove i prag znaqajnosti testa. Za prag znaqajnosti se najqex e uzimaju vrednosti 0, 1; 0, 01 i 0, 05.
20 Statistiqki testovi mogu biti: parametarski, neparametarski.
21 Statistiqki testovi mogu biti: parametarski, neparametarski. Parametarski testovi Kod parametarskih testova raspodela test statistike zavisi od raspodele posmatranog obeleжja.
22 Statistiqki testovi mogu biti: parametarski, neparametarski. Parametarski testovi Kod parametarskih testova raspodela test statistike zavisi od raspodele posmatranog obeleжja. Neparametarski testovi Kod neparametarskih testova raspodela test statistike ne zavisi od raspodele posmatranog obeleжja.
23 Testiranje hipoteze o parametru m kada je σ 2 poznato
24 Testiranje hipoteze o parametru m kada je σ 2 poznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu.
25 Testiranje hipoteze o parametru m kada je σ 2 poznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra m promenila.
26 Testiranje hipoteze o parametru m kada je σ 2 poznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra m promenila. Testiramo nultu hipotezu H 0 (m = m 0 ), gde je m 0 konkretan broj, protiv jedne od alternativnih H 1 (m m 0 ), H 1 (m > m 0 ) ili H 1 (m < m 0 ).
27 Testiranje hipoteze o parametru m kada je σ 2 poznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra m promenila. Testiramo nultu hipotezu H 0 (m = m 0 ), gde je m 0 konkretan broj, protiv jedne od alternativnih H 1 (m m 0 ), H 1 (m > m 0 ) ili H 1 (m < m 0 ). Posmatra se test statistika Z 0 = X n m 0 σ sredina posmatranog uzorka. n, gde je X n
28 Testiranje hipoteze o parametru m kada je σ 2 poznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra m promenila. Testiramo nultu hipotezu H 0 (m = m 0 ), gde je m 0 konkretan broj, protiv jedne od alternativnih H 1 (m m 0 ), H 1 (m > m 0 ) ili H 1 (m < m 0 ). Posmatra se test statistika Z 0 = X n m 0 σ n, gde je X n sredina posmatranog uzorka. Ako je hipoteza H 0 taqna, test statistika Z 0 ima standardnu normalnu raspodelu.
29 Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza i prikazane su u tabeli: H 0 H 1 C m = m 0 m m 0 z 0 z 0,5 α 2 m = m 0 m > m 0 z 0 z 0,5 α m = m 0 m < m 0 z 0 z 0,5 α
30 Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza i prikazane su u tabeli: H 0 H 1 C m = m 0 m m 0 z 0 z 0,5 α 2 m = m 0 m > m 0 z 0 z 0,5 α m = m 0 m < m 0 z 0 z 0,5 α Broj z α je rexenje jednaqine Φ(z α ) = α i određuje se iz tablice normalne raspodele.
31 Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza i prikazane su u tabeli: H 0 H 1 C m = m 0 m m 0 z 0 z 0,5 α 2 m = m 0 m > m 0 z 0 z 0,5 α m = m 0 m < m 0 z 0 z 0,5 α Broj z α je rexenje jednaqine Φ(z α ) = α i određuje se iz tablice normalne raspodele. Ako realizovana vrednost z 0 upada u kritiqnu oblast C, tada odbacujemo nultu hipotezu H 0 i prihvatamo alternativnu H 1 da je doxlo do promene vrednosti parametra m.
32 Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza i prikazane su u tabeli: H 0 H 1 C m = m 0 m m 0 z 0 z 0,5 α 2 m = m 0 m > m 0 z 0 z 0,5 α m = m 0 m < m 0 z 0 z 0,5 α Broj z α je rexenje jednaqine Φ(z α ) = α i određuje se iz tablice normalne raspodele. Ako realizovana vrednost z 0 upada u kritiqnu oblast C, tada odbacujemo nultu hipotezu H 0 i prihvatamo alternativnu H 1 da je doxlo do promene vrednosti parametra m. U suprotnom, prihvatamo nultu hipotezu H 0, odnosno moжemo smatrati sa pragom znaqajnosti α da nije doxlo do promene vrednosti parametra m.
33 Testiranje hipoteze o parametru m kada je σ 2 nepoznato
34 Testiranje hipoteze o parametru m kada je σ 2 nepoznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu.
35 Testiranje hipoteze o parametru m kada je σ 2 nepoznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra m promenila.
36 Testiranje hipoteze o parametru m kada je σ 2 nepoznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra m promenila. Testiramo nultu hipotezu H 0 (m = m 0 ), gde je m 0 konkretan broj, protiv jedne od alternativnih H 1 (m m 0 ), H 1 (m > m 0 ) ili H 1 (m < m 0 ).
37 Testiranje hipoteze o parametru m kada je σ 2 nepoznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra m promenila. Testiramo nultu hipotezu H 0 (m = m 0 ), gde je m 0 konkretan broj, protiv jedne od alternativnih H 1 (m m 0 ), H 1 (m > m 0 ) ili H 1 (m < m 0 ). Posmatra se test statistika t n 1 = X n m 0 n 1, gde je S n X n sredina uzorka, a S n standardna devijacija uzorka.
38 Testiranje hipoteze o parametru m kada je σ 2 nepoznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra m promenila. Testiramo nultu hipotezu H 0 (m = m 0 ), gde je m 0 konkretan broj, protiv jedne od alternativnih H 1 (m m 0 ), H 1 (m > m 0 ) ili H 1 (m < m 0 ). Posmatra se test statistika t n 1 = X n m 0 n 1, gde je S n X n sredina uzorka, a S n standardna devijacija uzorka. Ako je hipoteza H 0 taqna, test statistika t n 1 ima Studentovu raspodelu sa n 1 stepeni slobode.
39 Testiranje hipoteze o parametru m kada je σ 2 nepoznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra m promenila. Testiramo nultu hipotezu H 0 (m = m 0 ), gde je m 0 konkretan broj, protiv jedne od alternativnih H 1 (m m 0 ), H 1 (m > m 0 ) ili H 1 (m < m 0 ). Posmatra se test statistika t n 1 = X n m 0 n 1, gde je S n X n sredina uzorka, a S n standardna devijacija uzorka. Ako je hipoteza H 0 taqna, test statistika t n 1 ima Studentovu raspodelu sa n 1 stepeni slobode. Ako je uzorak mali, tada se koristi test statistika t n 1 = X n m 0 n, gde je S n popravljena uzoraqka S n disperzija.
40 Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza i prikazane su u tabeli: H 0 H 1 C m = m 0 m m 0 t n 1 t n 1;0,5 α 2 m = m 0 m > m 0 t n 1 t n 1;0,5 α m = m 0 m < m0 t n 1 t n 1;0,5 α
41 Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza i prikazane su u tabeli: H 0 H 1 C m = m 0 m m 0 t n 1 t n 1;0,5 α 2 m = m 0 m > m 0 t n 1 t n 1;0,5 α m = m 0 m < m0 t n 1 t n 1;0,5 α Broj t n 1;α se određuje iz tablice Studentove raspodele.
42 Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza i prikazane su u tabeli: H 0 H 1 C m = m 0 m m 0 t n 1 t n 1;0,5 α 2 m = m 0 m > m 0 t n 1 t n 1;0,5 α m = m 0 m < m0 t n 1 t n 1;0,5 α Broj t n 1;α se određuje iz tablice Studentove raspodele. Ako realizovana vrednost t n 1 upada u kritiqnu oblast C, tada odbacujemo nultu hipotezu H 0 i prihvatamo alternativnu H 1 da je doxlo do promene vrednosti parametra m.
43 Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza i prikazane su u tabeli: H 0 H 1 C m = m 0 m m 0 t n 1 t n 1;0,5 α 2 m = m 0 m > m 0 t n 1 t n 1;0,5 α m = m 0 m < m0 t n 1 t n 1;0,5 α Broj t n 1;α se određuje iz tablice Studentove raspodele. Ako realizovana vrednost t n 1 upada u kritiqnu oblast C, tada odbacujemo nultu hipotezu H 0 i prihvatamo alternativnu H 1 da je doxlo do promene vrednosti parametra m. U suprotnom, prihvatamo nultu hipotezu H 0, odnosno moжemo smatrati sa pragom znaqajnosti α da nije doxlo do promene vrednosti parametra m.
44 Testiranje hipoteze o parametru σ 2 kada je m nepoznato
45 Testiranje hipoteze o parametru σ 2 kada je m nepoznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu.
46 Testiranje hipoteze o parametru σ 2 kada je m nepoznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra σ 2 promenila.
47 Testiranje hipoteze o parametru σ 2 kada je m nepoznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra σ 2 promenila. Testiramo nultu hipotezu H 0 (σ 2 = σ 2 0 ), gde je σ2 0 konkretan broj, protiv jedne od alternativnih H 0 (σ 2 σ 2 0 ), H 0 (σ 2 > σ 2 0 ) ili H 0(σ 2 < σ 2 0 ).
48 Testiranje hipoteze o parametru σ 2 kada je m nepoznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra σ 2 promenila. Testiramo nultu hipotezu H 0 (σ 2 = σ 2 0 ), gde je σ2 0 konkretan broj, protiv jedne od alternativnih H 0 (σ 2 σ 2 0 ), H 0 (σ 2 > σ 2 0 ) ili H 0(σ 2 < σ 2 0 ). Posmatra se test statistika χ 2 0 = ns2 n, gde je S 2 σ0 2 n disperzija uzorka.
49 Testiranje hipoteze o parametru σ 2 kada je m nepoznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra σ 2 promenila. Testiramo nultu hipotezu H 0 (σ 2 = σ 2 0 ), gde je σ2 0 konkretan broj, protiv jedne od alternativnih H 0 (σ 2 σ 2 0 ), H 0 (σ 2 > σ 2 0 ) ili H 0(σ 2 < σ 2 0 ). Posmatra se test statistika χ 2 0 = ns2 n, gde je S 2 σ0 2 n disperzija uzorka. Ako je hipoteza H 0 taqna, test statistika χ 2 0 ima χ2 raspodelu sa n 1 stepeni slobode.
50 Testiranje hipoteze o parametru σ 2 kada je m nepoznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra σ 2 promenila. Testiramo nultu hipotezu H 0 (σ 2 = σ 2 0 ), gde je σ2 0 konkretan broj, protiv jedne od alternativnih H 0 (σ 2 σ 2 0 ), H 0 (σ 2 > σ 2 0 ) ili H 0(σ 2 < σ 2 0 ). Posmatra se test statistika χ 2 0 = ns2 n, gde je S 2 σ0 2 n disperzija uzorka. Ako je hipoteza H 0 taqna, test statistika χ 2 0 ima χ2 raspodelu sa n 1 stepeni slobode. Ako je uzorak mali, tada se koristi test statistika χ 2 0 = (n 1) S n 2, gde je S 2 σ0 2 n popravljena uzoraqka disperzija.
51 Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza i prikazane su u tabeli: H 0 H 1 C σ 2 = σ0 2 σ 2 σ0 2 χ 2 0 χ n 1; α 2 χ 2 0 χ 2 n 1;1 α 2 σ 2 = σ0 2 σ 2 > σ0 2 χ 2 0 χ2 n 1;1 α σ 2 = σ0 2 σ 2 < σ0 2 χ 2 0 χ2 n 1;α
52 Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza i prikazane su u tabeli: H 0 H 1 C σ 2 = σ0 2 σ 2 σ0 2 χ 2 0 χ n 1; α 2 χ 2 0 χ 2 n 1;1 α 2 σ 2 = σ0 2 σ 2 > σ0 2 χ 2 0 χ2 n 1;1 α σ 2 = σ0 2 σ 2 < σ0 2 χ 2 0 χ2 n 1;α Broj χ 2 n 1;α se određuje iz tablice χ2 raspodele.
53 Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza i prikazane su u tabeli: H 0 H 1 C σ 2 = σ0 2 σ 2 σ0 2 χ 2 0 χ n 1; α 2 χ 2 0 χ 2 n 1;1 α 2 σ 2 = σ0 2 σ 2 > σ0 2 χ 2 0 χ2 n 1;1 α σ 2 = σ0 2 σ 2 < σ0 2 χ 2 0 χ2 n 1;α Broj χ 2 n 1;α se određuje iz tablice χ2 raspodele. Ako realizovana vrednost χ 2 0 upada u kritiqnu oblast C, tada odbacujemo nultu hipotezu H 0 i prihvatamo alternativnu H 1 da je doxlo do promene vrednosti parametra σ 2.
54 Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza i prikazane su u tabeli: H 0 H 1 C σ 2 = σ0 2 σ 2 σ0 2 χ 2 0 χ n 1; α 2 χ 2 0 χ 2 n 1;1 α 2 σ 2 = σ0 2 σ 2 > σ0 2 χ 2 0 χ2 n 1;1 α σ 2 = σ0 2 σ 2 < σ0 2 χ 2 0 χ2 n 1;α Broj χ 2 n 1;α se određuje iz tablice χ2 raspodele. Ako realizovana vrednost χ 2 0 upada u kritiqnu oblast C, tada odbacujemo nultu hipotezu H 0 i prihvatamo alternativnu H 1 da je doxlo do promene vrednosti parametra σ 2. U suprotnom, prihvatamo nultu hipotezu H 0, odnosno moжemo smatrati sa pragom znaqajnosti α da nije doxlo do promene vrednosti parametra σ 2.
55 Testiranje hipoteze o parametru σ 2 kada je m poznato
56 Testiranje hipoteze o parametru σ 2 kada je m poznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu.
57 Testiranje hipoteze o parametru σ 2 kada je m poznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra σ 2 promenila.
58 Testiranje hipoteze o parametru σ 2 kada je m poznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra σ 2 promenila. Testiramo nultu hipotezu H 0 (σ 2 = σ 2 0 ), gde je σ2 0 konkretan broj, protiv jedne od alternativnih H 0 (σ 2 σ 2 0 ), H 0 (σ 2 > σ 2 0 ) ili H 0(σ 2 < σ 2 0 ).
59 Testiranje hipoteze o parametru σ 2 kada je m poznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra σ 2 promenila. Testiramo nultu hipotezu H 0 (σ 2 = σ 2 0 ), gde je σ2 0 konkretan broj, protiv jedne od alternativnih H 0 (σ 2 σ 2 0 ), H 0 (σ 2 > σ 2 0 ) ili H 0(σ 2 < σ 2 0 ). Posmatra se test statistika χ 2 0 = n (X i m) 2 i=1 σ0 2.
60 Testiranje hipoteze o parametru σ 2 kada je m poznato Obeleжje X ima normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra σ 2 promenila. Testiramo nultu hipotezu H 0 (σ 2 = σ 2 0 ), gde je σ2 0 konkretan broj, protiv jedne od alternativnih H 0 (σ 2 σ 2 0 ), H 0 (σ 2 > σ 2 0 ) ili H 0(σ 2 < σ 2 0 ). Posmatra se test statistika χ 2 0 = n (X i m) 2 i=1 σ0 2. Ako je hipoteza H 0 taqna, test statistika χ 2 0 raspodelu sa n stepeni slobode. ima χ2
61 Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza i prikazane su u tabeli: H 0 H 1 C σ 2 = σ0 2 σ 2 σ0 2 χ 2 0 χ2 n; α χ χ 2 n;1 α 2 σ 2 = σ0 2 σ 2 > σ0 2 χ 2 0 χ2 n;1 α σ 2 = σ0 2 σ 2 < σ0 2 χ 2 0 χ2 n;α
62 Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza i prikazane su u tabeli: H 0 H 1 C σ 2 = σ0 2 σ 2 σ0 2 χ 2 0 χ2 n; α χ χ 2 n;1 α 2 σ 2 = σ0 2 σ 2 > σ0 2 χ 2 0 χ2 n;1 α σ 2 = σ0 2 σ 2 < σ0 2 χ 2 0 χ2 n;α Broj χ 2 n;α se određuje iz tablice χ 2 raspodele.
63 Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza i prikazane su u tabeli: H 0 H 1 C σ 2 = σ0 2 σ 2 σ0 2 χ 2 0 χ2 n; α χ χ 2 n;1 α 2 σ 2 = σ0 2 σ 2 > σ0 2 χ 2 0 χ2 n;1 α σ 2 = σ0 2 σ 2 < σ0 2 χ 2 0 χ2 n;α Broj χ 2 n;α se određuje iz tablice χ 2 raspodele. Ako realizovana vrednost χ 2 0 upada u kritiqnu oblast C, tada odbacujemo nultu hipotezu H 0 i prihvatamo alternativnu H 1 da je doxlo do promene vrednosti parametra σ 2.
64 Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza i prikazane su u tabeli: H 0 H 1 C σ 2 = σ0 2 σ 2 σ0 2 χ 2 0 χ2 n; α χ χ 2 n;1 α 2 σ 2 = σ0 2 σ 2 > σ0 2 χ 2 0 χ2 n;1 α σ 2 = σ0 2 σ 2 < σ0 2 χ 2 0 χ2 n;α Broj χ 2 n;α se određuje iz tablice χ 2 raspodele. Ako realizovana vrednost χ 2 0 upada u kritiqnu oblast C, tada odbacujemo nultu hipotezu H 0 i prihvatamo alternativnu H 1 da je doxlo do promene vrednosti parametra σ 2. U suprotnom, prihvatamo nultu hipotezu H 0, odnosno moжemo smatrati sa pragom znaqajnosti α da nije doxlo do promene vrednosti parametra σ 2.
65 Pirsonov χ 2 -test Pirsonov χ 2 test je neparametarski test koji se koristi za ispitivanje:
66 Pirsonov χ 2 -test Pirsonov χ 2 test je neparametarski test koji se koristi za ispitivanje: saglasnosti uzorka sa pretpostavljenom raspodelom,
67 Pirsonov χ 2 -test Pirsonov χ 2 test je neparametarski test koji se koristi za ispitivanje: saglasnosti uzorka sa pretpostavljenom raspodelom, nezavisnosti dva obeleжja.
68 Pirsonov χ 2 -test Pirsonov χ 2 test je neparametarski test koji se koristi za ispitivanje: saglasnosti uzorka sa pretpostavljenom raspodelom, nezavisnosti dva obeleжja. Ispitivanje saglasnosti uzorka sa pretpostavljenom raspodelom
69 Pirsonov χ 2 -test Pirsonov χ 2 test je neparametarski test koji se koristi za ispitivanje: saglasnosti uzorka sa pretpostavljenom raspodelom, nezavisnosti dva obeleжja. Ispitivanje saglasnosti uzorka sa pretpostavljenom raspodelom U zavisnosti od toga da li je obeleжje diskretno ili apsolutno neprekidno, crta se trakasti dijagram ili histogram relativnih uqestanosti.
70 Pirsonov χ 2 -test Pirsonov χ 2 test je neparametarski test koji se koristi za ispitivanje: saglasnosti uzorka sa pretpostavljenom raspodelom, nezavisnosti dva obeleжja. Ispitivanje saglasnosti uzorka sa pretpostavljenom raspodelom U zavisnosti od toga da li je obeleжje diskretno ili apsolutno neprekidno, crta se trakasti dijagram ili histogram relativnih uqestanosti. Testira se nulta hipoteza da posmatrano obeleжje X ima određenu raspodelu protiv alternativne hipoteze da nema tu raspodelu.
71 Ako izabrana raspodela ima nepoznate parametre, tada se oni ocenjuju na osnovu uzorka.
72 Ako izabrana raspodela ima nepoznate parametre, tada se oni ocenjuju na osnovu uzorka. Realna prava se deli na k disjunktnih intervala S 1, S 2,..., S k qija je unija taqno R.
73 Ako izabrana raspodela ima nepoznate parametre, tada se oni ocenjuju na osnovu uzorka. Realna prava se deli na k disjunktnih intervala S 1, S 2,..., S k qija je unija taqno R. Vodi se raquna da svaki interval u sebi sadrжi najmanje 5 elemenata realizovanog uzorka. Ako postoje intervali koji sadrжe manje od 5 elemenata realizovanog uzorka, tada se oni pridruжuju susednim intervalima.
74 Ako izabrana raspodela ima nepoznate parametre, tada se oni ocenjuju na osnovu uzorka. Realna prava se deli na k disjunktnih intervala S 1, S 2,..., S k qija je unija taqno R. Vodi se raquna da svaki interval u sebi sadrжi najmanje 5 elemenata realizovanog uzorka. Ako postoje intervali koji sadrжe manje od 5 elemenata realizovanog uzorka, tada se oni pridruжuju susednim intervalima. Izraqunavaju se teorijske verovatno e p 0i = P H0 {X S i }, i = 1, 2,..., k uz pretpostavku da je nulta hipoteza H 0 taqna.
75 Izraqunavaju se oqekivane apsolutne uqestanosti ˆf i uzorka obima n, u svakom intervalu S i ˆfi = n p 0i.
76 Izraqunavaju se oqekivane apsolutne uqestanosti ˆf i uzorka obima n, u svakom intervalu S i ˆfi = n p 0i. Izraqunava se realizovana vrednost test statistike χ 2 0 = k i=1 (f i ˆf i ) 2 ˆfi, pri qemu je f i ostvarena apsolutna uqestanost u intervalu S i.
77 Izraqunavaju se oqekivane apsolutne uqestanosti ˆf i uzorka obima n, u svakom intervalu S i ˆfi = n p 0i. Izraqunava se realizovana vrednost test statistike χ 2 0 = k i=1 (f i ˆf i ) 2 ˆfi, pri qemu je f i ostvarena apsolutna uqestanost u intervalu S i. Test statistika χ 2 0 ima χ2 raspodelu sa k 1 stepeni slobode.
78 Ako raspodela ima l nepoznatih parametara koje smo ocenili na osnovu uzorka, tada test statistika ima χ 2 raspodelu sa k l 1 stepeni slobode.
79 Ako raspodela ima l nepoznatih parametara koje smo ocenili na osnovu uzorka, tada test statistika ima χ 2 raspodelu sa k l 1 stepeni slobode. Određuje se kritiqna oblast C veliqine α χ 2 0 χ2 k 1;1 α, pri qemu se vrednost χ 2 k 1;1 α raspodele. qita iz tablice χ2
80 Ako raspodela ima l nepoznatih parametara koje smo ocenili na osnovu uzorka, tada test statistika ima χ 2 raspodelu sa k l 1 stepeni slobode. Određuje se kritiqna oblast C veliqine α χ 2 0 χ2 k 1;1 α, pri qemu se vrednost χ 2 k 1;1 α qita iz tablice χ2 raspodele. U sluqaju l nepoznatih parametara raspodele, kritiqna oblast je χ 2 0 χ2 k l 1;1 α.
81 Ako raspodela ima l nepoznatih parametara koje smo ocenili na osnovu uzorka, tada test statistika ima χ 2 raspodelu sa k l 1 stepeni slobode. Određuje se kritiqna oblast C veliqine α χ 2 0 χ2 k 1;1 α, pri qemu se vrednost χ 2 k 1;1 α qita iz tablice χ2 raspodele. U sluqaju l nepoznatih parametara raspodele, kritiqna oblast je χ 2 0 χ2 k l 1;1 α. Donosi se zakljuqak o prihvatanju ili odbacivanju nulte hipoteze na osnovu realizovane vrednosti test statistike χ 2 0 i dobijene kritiqne oblasti.
82 Ispitivanje nezavisnosti dva obeleжja
83 Ispitivanje nezavisnosti dva obeleжja Nulta hipoteza je H 0 (X i Y su nezavisna obeleжja), a alternativna je H 1 (X i Y nisu nezavisna obeleжja).
84 Ispitivanje nezavisnosti dva obeleжja Nulta hipoteza je H 0 (X i Y su nezavisna obeleжja), a alternativna je H 1 (X i Y nisu nezavisna obeleжja). Uzorak obima n je zadat tabelom kontingencije X\Y J 1 J 2... J s I 1 f 11 f f 1s f 1 I 2 f 21 f f 2s f I r f r1 f r2... f rs f r f 1 f 2... f s n gde su I 1,..., I r, J 1,..., J s konkretni brojevi ili intervali, f ij je broj pojavljivanja para (I i, J j ) u realizovanom uzorku, f i = f i1 + f i2 + + f is i f j = f 1j + f 2j + + f rj.
85 Test statistika je oblika χ 2 0 = r s i=1 j=1 (f ij ˆf ij ) 2 ˆfij, gde je ˆf ij oqekivani broj parova (I i, J j ) i izraqunava se po formuli ˆfij = f i f j. n
86 Test statistika je oblika χ 2 0 = r s i=1 j=1 (f ij ˆf ij ) 2 ˆfij, gde je ˆf ij oqekivani broj parova (I i, J j ) i izraqunava se po formuli ˆfij = f i f j. n Statistika χ 2 0 ima χ2 raspodelu sa (r 1)(s 1) stepeni slobode.
87 Test statistika je oblika χ 2 0 = r s i=1 j=1 (f ij ˆf ij ) 2 ˆfij, gde je ˆf ij oqekivani broj parova (I i, J j ) i izraqunava se po formuli ˆfij = f i f j. n Statistika χ 2 0 ima χ2 raspodelu sa (r 1)(s 1) stepeni slobode. Kritiqna oblast je χ 2 0 χ2 (r 1)(s 1);1 α.
88 Test statistika je oblika χ 2 0 = r s i=1 j=1 (f ij ˆf ij ) 2 ˆfij, gde je ˆf ij oqekivani broj parova (I i, J j ) i izraqunava se po formuli ˆfij = f i f j. n Statistika χ 2 0 ima χ2 raspodelu sa (r 1)(s 1) stepeni slobode. Kritiqna oblast je χ 2 0 χ2 (r 1)(s 1);1 α. Na kraju donosimo zakljuqak o odbacivanju ili prihvatanju nulte hipoteze.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
nepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.
Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t
Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka. Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010
Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010 Neparametarski testovi Hipoteze o raspodeli obeležja se nazivaju neparametarske hipoteze, a odgovarajući testovi
Uvod u neparametarske testove
Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:
VEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013.
VEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013. 1. Novqi se baca tri puta. (a) Zapisati skup svih mogu ih ishoda. (b) Oznaqimo sa A k događaj da je u k-tom bacanju palo pismo, k {1, 2, 3}. Koriste
Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće naučnim ili iskustvenim).
Str. 53;76; Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama
Postoji nekoliko statidtičkih testova koji koriste t raspodelu, koji se jednim imenom zovu t-testovi.
Postoji nekoliko statidtičkih testova koji koriste t raspodelu, koji se jednim imenom zovu t-testovi. U SPSS-u su obradjeni: t test razlike između aritmetičke sredine osnovnog skupa i uzorka t test razlike
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Str
Str. Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće
(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
9.1 Testovi hipoteza u statistici
196 9 Testiranje parametarskih hipoteza 9.1 Testovi hipoteza u statistici Popularan metod dokazivanja teorema u matematici je deductio ad absurdum, dovod enje do protivrečnosti ako se pretpostavi suprotno
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Uvod u neparametarske testove
Str. 644;1;148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Hi-kvadrat testovi χ Str. 646;1;149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike
Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 39 Uvod Osnovna zadaća Statistike je na temelju uzorka ocijeniti kakvu razdiobu
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Statistiqki softver 4 Sedmi qas
Statistiqki softver 4 Sedmi qas Marija Radiqevi Matematiqki fakultet, Beograd 2015. Sadrжaj Neparametarski testovi 1 Neparametarski testovi Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka Neparametarski
Testovi simetrije zasnovani na empirijskoj funkciji raspodele
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Nada Boi Testovi simetrije zasnovani na empirijskoj funkciji raspodele master{rad Beograd, 2016. Mentor: dr Marko Obradovi, docent Matematiqkog fakulteta, Univerziteta
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
X. Testiranje hipoteza. Osnovni koncepti testiranja hipoteza TESTIRANJE HIPOTEZA OSNOVNI KONCEPTI I TESTOVI POVEZANOSTI 19/11/15
TESTIRANJE HIPOTEZA OSNOVNI KONCEPTI I TESTOVI POVEZANOSTI X. Testiranje hipoteza Osnovni koncepti testiranja hipoteza Unakrsno tabeliranje i hi-kvadrat Testiranje hipoteza o srednjoj vrednosti i proporcijama
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
POSTAVLJANJE I TESTIRANJE HIPOTEZA
POSTAVLJANJE I TESTIRANJE HIPOTEZA Hipoteza je precizno formulisana verbalna tvrdnja, pretpostavka o karakteristici jednog skupa ili o odnosu vrednosti posmatrane karakteristike u više skupova. U statističkim
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Kristina Veljkovi MONTE KARLO METODE
Kristina Veljkovi MONTE KARLO METODE Uvod Poxto se mnoge statistiqke metode oslanjaju na sluqajne uzorke, statistiqarima je qesto potreban izvor sluqajnih brojeva. Starije statistiqke knjige su sadrжale tablice
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA
Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
4 Testiranje statističkih hipoteza
4 Testiranje statističkih hipoteza 1 4.1. Statistička hipoteza Promatramo statističko obilježje X. Statistička hipoteza je (bilo koja) pretpostavka o (populacijskoj) razdiobi od X. Kažemo da je statistička
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Statističko zaključivanje - testiranje hipoteza. Katedra za medicinsku statistiku i informatiku
Statističko zaključivanje - testiranje hipoteza Statističko zaključivanje Ideja moderne statistike je da na osnovu uzorka (dobijenog uzorkovanjem iz osnovnog skupa) donosimo zaključke o populaciji (statističko
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Prosta linearna regresija (primer)
STATISTIKA Prosta linearna regresija (primer) Doc. Dr Slađana Spasić E-mail: sladjana.spasic@singidunim.ac.rs Ass. Ana Simićević E-mail: asimicevic@singidunim.ac.rs 7. 6. 010. Beograd Predavanje 15 Regresiona
Moguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
TEORIJA I PRAKSA DOBIJANJA UZORAKA NA OSNOVU RASPOLOŽIVIH PODATAKA
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET TEORIJA I PRAKSA DOBIJANJA UZORAKA NA OSNOVU RASPOLOŽIVIH PODATAKA MASTER RAD SUZANA PRICA MENTOR: PROF. DR VESNA JEVREMOVIĆ BEOGRAD, 2014. AUTOR SE ZAHVALJUJE
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Analiza varijanse sa jednim Posmatra se samo jedna promenljiva
ANOVA Analiza varijanse (ANOVA) Analiza varijanse sa jednim faktorom Proširena ANOVA tabela 2 Tehnike za analizu podataka Analiza varijanse sa jednim faktorom Posmatra se samo jedna promenljiva Posmatra
Obrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
I Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE
//0 TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE Z-TEST I T-TEST Beograd, 0 Ass. dr Zora Bukumirić Z-TEST I T-TEST z-testom i Studetovim t-testom testiramo razliku: jede aritmetičke sredie i pretpostavljee vredosti
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
NEPARAMETRIJSKE TEHNIKE
NEPARAMETRIJSKE TEHNIKE Neparametrijske tehnike se koriste za obradu podataka dobijenih na nominalnim i ordinalnim skalama. za testiranje značajnosti distribucije frekvencija po kategorijama jedne nominalne
Studentov t-test. razlike. t = SG X
Studentov t-test Najčešće upotrebljavan parametrijski test značajnosti za testiranje nulte hipoteze je Studentov t-test. Koristi se za testiranje značajnosti razlika između dve aritmetičke sredine. Uslovi
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Počela biostatistike, Poslijediplomski interdisciplinarni doktorski studij Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti
Analiza brojčanih podataka Nora Nikolac Klinički zavod za kemiju KB Sestre milosrdnice Kolegij: Počela biostatistike Statistička hipoteza postupak testiranja 1. postavljanje hipoteze: H 0, H 1 2. odabir
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
STATISTIKA. Miroslav M. Risti 2008/2009. Katedra za Matematiku Prirodno-matematiqki fakultet Univerzitet u Nixu
STATISTIKA Miroslav M. Risti Katedra za Matematiku Prirodno-matematiqki fakultet Univerzitet u Nixu 2008/2009 Literatura Miroslav M. Risti, Biljana Q. Popovi, Miodrag S. orđevi, Statistika za studente geografije,
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
![PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).](/thumbs/74/70316766.jpg "PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).")
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama