4. Programski paket ORIGIN

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. Programski paket ORIGIN"

Transcript

1 4. Programski paket ORIGIN Teorijski zadaci Zadatak. (Osnovna podešavanja grafika) Dodati novu kolonu u trenutnoj radnoj svesci (workbook) i uneti podatke iz tabele. Nacrtati grafik tipa line + symbol kolona B i C (u funkciji kolone A). Srediti ga kao na slici. Podešavanja osa grafika: () Prikazati sve četiri ose na grafiku. (2) Podesiti x osu da bude u rasponu od do sa korakom., a y osu od do 22.5 sa korakom 5. (3) Prikazati grid linije i podesiti im debljinu na.7 i.5 (major i minor) redom. (4) Oznakama na x osi dodati prefiks + i sufiks V. Rotirati ih za stepeni. (5) Oznake na y osi pomnoziti sa. (6) Napraviti legendu. Veličinu svih oznaka (na osama i legendi) povećati jednom (opcija increase font). Podesiti izgled legende kao na slici. Podešavanja simbola i linija: (7) Povećati veličinu simbola na 2, a debljinu linije na.5. Tip linije podesiti na spline. Isključiti opciju da je oko simbola razmak (gap to symbol). (8) Podesiti da se i stil linije (line style) i unutrašnjost simbola (symbol interior) povećavaju inkrementalno za (By One). Eksportovanje: (9) Promeniti ime radnoj svesci u merenje, a grafiku u Grafik merenja. Grafik zapamtiti (eksportovati) kao eps fajl, i kopirati u Word. U I I Struja [ma] 2. Struja I Struja I V +.V+.2V+.3V+.4V+.5V+.6V+.7V+.8V+.9V+.V Napon [V]

2 Zadatak 2. (Automatsko generisanje kolona) U projektu iz prethodnog zadatka, dodati novu radnu svesku (workbook). U prvoj koloni generisati brojeve od do 3 sa korakom.. U naredne tri kolone redom generisati vrednosti funkcija f (x) = sin(xπ/.5), f 2 (x) = sin(xπ/.5 + π/3) kao i f 3 (x) = e f(x) + log(2 + f 2 (x)). Nacrtati grafik i srediti ga kao na slici. () Podesiti ose tako da prolaze kroz koordinatni početak. (2) Razgrupisati serije, a onda prve dve grupisati i podesiti tip line. Poslednju ostaviti da bude line + symbol. (3) Podesiti inkrementalno menjanje stila i boje linije, kao i inkrementalno menjanje boje simbola na poslednjoj seriji. (4) Prikazivati svaki 3. simbol na poslednjoj seriji (propuštati po 2 simbola). (5) Premenovati grafik u Grafik funkcija, radnu svesku u Funkcije i eksportovati radnu svesku u fajl funkcije.dat. (6) Importovati podatke iz fajla funkcije.dat u novu radnu svesku. Nacrtati kombinovani grafik i srediti ga kao na drugoj slici. Y osa 3 2 Grupisani: f (x)=sin(x/.5* ) f 2 (x)=sin(x/.5* + /3) Negrupisani: f 3 (x)=exp(f (x))+log(2+f 2 (x)) X osa Y osa f vs f 2 f 2 vs f 3 f vs f 3 Merenje - 2 X osa 2

3 Zadatak 3. (Fitovanje) () U koloni A radne sveske upisati vrednosti,.2,.4,.6,.8,. Vrednosti kolona B i B izračunati po formuli -5*col(A) i 5*col(A). Kolonu C ispuniti pseudoslučajnim brojevima koji podležu normalnoj raspodeli. Naredne dve kolone D i D formirati po formuli col(b)+.4*col(c) i col(b)+.4*col(c). (2) Nacrtati grafik zavisnosti kolona D i D od A. Tip grafika podesiti na scatter. (3) Izvršiti linearno fitovanje oba grafika, i uočiti vrednosti i greške koeficijenata fitovanja. Grafik srediti kao na slici (debljina linija je.5, a sve oznake su povećanem jednom). Polinomno fitovanje i fitovanje nelinearnih zavisnosti f (x) = ce ax i f 2 (x) = cx α. (4) Otvoriti novu radnu svesku i u kolonu A upisati iste vrednosti,.2,.4,.6,.8,. Generisati vrednosti u kolonama B, B i B2 redom koristeći formule (col(a)-.5)^2, 2*exp(3*col(A)) i 2*col(A)^.3. Dodati kolonu F ispunjenu pseudoslučajnim brojevima koji podležu normalnoj raspodeli i generisati kolone G, G i G2 redom po formulama col(b)+.*col(c), col(b)+.*col(c) i col(b2)+.*col(c). (5) Nacrtati (posebne) grafike zavisnosti kolona G, G i G2 od A. Na drugom i trećem podesiti y osu da bude logaritamska, a na trećem ujedno i x osu. (6) Prvi grafik fitovati kvadratnom a ostale linearnom funkcijom. Izračunati vrednosti parametara fitovanja i njihove greške. (7) Spojiti sva 4 grafika u jedan. Struja [ma] Merenje : Podaci Linearni fit Merenje 2: Podaci Linearni fit Kvadratna zavisnost Kvadratna funkcija G Polynomial Fit G Napon [V] X Log-Log skala G Linear Fit G Lin-Log skala Stepena zavisnost (a x ). G2 Linear Fit G2 Exp. zavisnost... X X Ove dve kolone imaju ulogu rezultata merenja sa (veštački) dodatom greškom 3

4 Primetimo da kolone G i G2 odgovaraju redom zavisnostima f (x) = ce ax i f 2 (x) = cx α gde su (tačne) vrednosti koeficijenata c = 2, a = 3 za prvu i c = 2, α =.3 za drugu zavisnost. Iako su u pitanju nelinearne zavisnosti, nakon odredjenih transformacija možemo ih svesti na linearne i izvršiti fitovanje.. y = ce ax. Ako logaritmujemo obe strane jednakosti dobijamo log y = log c + ax log e Prema tome, Y = log y je linearna funkcija od x oblika Y = Ax + B, A = a log e, B = log c. Sada možemo generisati vrednosti za Y (u novoj koloni), nacrtati zavisnost Y od x, i izvršiti linearno fitovanje da bi dobili koeficijente A i B. Medjutim, isti efekat ćemo postići ukoliko nacrtamo polaznu zavisnost y od x, pa podesimo skalu na y osi da bude logaritamska. Tako ćemo naterati Origin da fituje Y = log y u funkciji od x. Fitovanjem dobijamo sledeće vrednosti 2 : A =.299 B =.33 A =. B =. Koeficijente a i c sada jednostavno računamo a = A log e = 2.99, c = B = 2. Pošto je a jednak proizvodu konstante (log e) i veličine A, to su relativne greške za A i a jednake, odakle dobijamo a a = A A a = a A A =.23 Grešku za c = B dobijamo koristeći pravilo prvog izvoda: c = B ln B = y = cx α. Kao i u prethodnom slučaju, ako logaritmujemo obe strane dobićemo log y = log c + a log x pa je sada Y = log y linearna funkcija od X = log x oblika Y = αx + B, B = log c. Dakle, i sada možemo ili da nacrtamo grafik zavisnosti Y od X (prethodno da generišemo odgovarajuće kolone) i obavimo fitovanje, ili da nacrtamo grafik polaznih zavisnosti (y od x), pri čemu obe ose logaritmujemo (kao što je i uradjeno na slici). Fitovanjem dobijamo 3 α =.67 B =.35 α =.6 B =.6 Vrednost i grešku za c odredjujemo kao u prethodnom slučaju: c = B = 2.23 C = B ln B =.3 Opšti slučaj. Ako imamo neku zavisnost y = f(x) koja zavisi od parametara a, b, c,..., trudimo se da je svedemo na jedan od oblika: Y = AX + B ili g(y) = A + BX + CX gde je Y = g(y) i X = h(x), za neke funkcije g i h. Tada crtamo grafik Y u funkciji od X (osim ako g ili h nisu logaritamske funkcije) i fitovanjem odredjujemo koeficijente A, B, C,..., na osnovu kojih onda računamo a, b, c,.... Pravilo prvog izvoda: Ako je veza izmedju veličina z i t data pomoću z = f(t), i ako je poznata greška t veličine t, onda grešku veličine z možemo proceniti na sledeći način: z = f (t) t. Pravilo prvog izvoda (opšti slučaj): Ako je z = f(t, t 2,..., t n ) onda je z = f t t + f t 2 t f t n t n. 2 Napomena: Ove vrednosti mogu da budu drugačije, u zavisnosti od generisanih pseudoslučajnih brojeva u koloni F, ali ne bi trebalo da značajno odstupaju od vrednosti koje su ovde date. Naravno, to će prouzrokovati male promene svih vrednosti koje dalje računamo. 3 Primetimo da dobijena vrednost za α (.67 ±.6) ne sadrži tačnu vrednost.3. Ovo nas navodi na zaključak da je stepena zavisnost neotporna na greške, tj. da relativno male greške u podacima mogu prilično da utiču na dobijenu vrednost eksponenta. 4

5 Zadatak 4. (Naprednija obrada rezultata merenja) Zavisnost neke fizičke veličine y od druge fizičke veličine x data je sa ) y = c exp ( x2 a x4. b U tablici su prikazani rezultati dve serije merenja zajedno sa procenjenim greškama za x i y. () Grafički predstaviti rezultate merenja i srediti grafik kao na slici. (2) Veličina simbola je 2, debljina linije.5pt, veličina fonta svih oznaka povećana je jednom. (3) Linija koja povezuje tačke je glatka kriva (spline). (4) Izvršiti fitovanje odgovarajućih zavisnosti i odrediti koeficijente c, a i b, kao i greške C, a i b za obe serije merenja. Nacrtati i odgovarajući grafik. (5) Srediti grafik tako da je veličina simbola 2 a debljina linije.5pt. x y y 2 x y Y Prvo merenje Drugo merenje X 5

6 Potrebno je obaviti odredjene transformacije, tako da se dobiju nove dve veličine X i Y (u funkciji od x i y) koje su povezane linearnom ili polinomnom (u ovom slučaju kvadratnom) zavisnošću. Da bi pojednostavili postupak, nećemo uzimati u obzir date greške rezultata merenja (poslednje dve kolone tabele na prethodnoj strani). Logaritmovanjem izraza za y dobijamo ( ) x 2 log y = log c a + x4 log b e. Sada je jasno da je Y = log y kvadratna funkcija od X = x 2, tj. gde je Y = AX 2 + BX + C A = log e, B = log e, C = log b a c. Dakle, generisaćemo još jednu kolonu sa vrednostima X = x 2. Pošto je Y = log y, možemo da nacrtamo y u funkciji od X, pri čemu ćemo skalu na y osi podesiti da bude logaritamska. Tako dobijamo sledeći grafik: Y Prvo merenje: Podaci Linearni fit Drugo merenje: Podaci Linearni fit Fitovanjem dobijamo sledeće vrednosti koeficijenata 4 : A =.467 B =.23, C =.3 A =.4 B =. C =. Dalje je a = log e B = 2.39 b = log e A = c = C =.995 Greške koeficijenata a i b odredjujemo koristeći izraze za relativne greške proizvoda i količnika: a a = B B b b = A A a = a B B =. b = b A A = X 2 Pošto je c = C, grešku ovog koeficijenta računamo primenom pravila prvog izvoda: c = C ln C =.5 4 Analizu radimo samo za prvu seriju merenja, a vi možete da pokušate da odradite i za drugu :). 6

7 2 Razni zadaci Zadatak. Grafički predstaviti strujno-naponske karakteristike linearnih i nelinearnih otpornika. Izmerene zavisnosti struje I od napona U za nelinearne otpornike date su u fajlu zad.txt. Linearni otpornici imaju redom otpornosti. () Uneti podatke iz fajla zad.txt. (2) Generisati vrednosti struje za linearne otpornike po formuli. (3) Nacrtati grafik na kome se prikazuju samo tačke (scatter). (4) Podesiti da su vrednosti na x osi u opsegu od do sa korakom.2 a na y osi od do 35 sa korakom 5. (5) Veličina fonta ovih vrednosti je 24. Podesiti okvir sa svih strana pri čemu samo sa gornje strane crtice idu ka unutra dok sa ostalih strana idu ka spolja. (6) Napisati nazive svake od osa. Veličinu fonta povećati jednom. (7) Napraviti legendu. (8) Veličinu fonta povećati jednom. (9) Ubaciti ovu sliku u Word i dodati joj potpis. Struja kroz otpornik I R [ma] Nelinearni otpornici: D D2 Linearni otpornici: R = R = 2.4 R = Napon na krajevima otpornika U R [V] 7

8 Zadatak 2. Korišćenjem podataka iz predhodnog zadatka nacrtati sledeći grafik. () Umesto tačaka sada imamo linije sa tačkom. Linije su glatke krive koje prolaze kroz sve tačke. (2) Debljina linija je. (3) Alternativno se menjaju i boja i tip linije. (4) Ubaciti sliku u Word i dodati potpis. Struja kroz otpornik I R [ma] Nelinearni otpornici: D D2 Linearni otpornici: R = R = 2.4 R = Napon na krajevima otpornika U R [V] 8

9 Zadatak 3. Na osnovu podataka datih u tabeli nacrtati grafik zavisnosti struje kroz izvor od napona na krajevima izvora. Izvršiti linearno fitovanje obe grupe podataka i odrediti koeficijent pravca i slobodni član provučene prave. Veličinu fonta svih oznaka povećati jednom (za jedan red veličine). Debljine svih linija su.5pt. U[V] I [A] I 2 [A] Struja kroz izvor I [A] Prvi izvor Drugi izvor Lin. aproks. Lin. aproks Napon na krajevima izvora U [V] Zadatak 4. Na osnovu podataka datih u tabeli nacrtati grafik vrednosti funkcija p (x) i p 2 (x) i izvršiti fitovanje vrednosti prve funkcije polinomom prvog i drugog stepena, a zatim fitovanje vrednosti druge funkcije polinomom trećeg stepena. Veličinu fonta svih oznaka povećati jednom (za jedan red veličine). Debljine svih linija su.5pt. x p p 2 x p Vrednosti polinoma - p(x) p (x) p 2 (x) Lin. aproks. p (x) Kvad. aproks. p (x) Kubna aproks. p 2 (x) Vrednost argumenta - x 9

10 Zadatak 5. Nacrtati grafike funkcija x +, x 2, sin(2πx), e x. Vrednosti funkcija generisati u tačaka. Pomeriti x osu. Veličinu fonta svih oznaka povećati jednom (za jedan red veličine). Debljine svih linija su.5pt. Sliku ubaciti u Word i dodati potpis. Vrednost funkcije f(x) 4. Ova dva su grupisana: f(x)=x+ 3.5 f(x)=x 2 3. A ova dva nisu 2.5 f(x)=sin(2*pi*x) f(x)=exp(x) Argument x -. Zadatak 6. Nacrtati grafike zavisnosti otpora NTC otpornika. Izmerene vrednosti su date u tabeli. T[ ] R[Ω] () Uneti vrednosti u radnu svesku i izračunati odgovarajuće temperature u kelvinima. (2) Nacrtati grafik zavisnosti otpora od temperature, pri čemu je temperatura u celzijusima i u obzir se uzimaju samo prva 5 merenja. (3) Podesiti y osu na ovom grafiku da bude logaritamska. (4) Grafik fitovati pravom i odrediti zavisnost otpora od temperature. (5) Nacrtati grafik zavisnosti otpora od temperature, pri čemu je temperatura u kelvinima i u obzir se uzimaju sva merenja. Podesiti y osu da bude logaritamska, a x osu da bude recipročna (/T). (6) Grafik fitovati pravom i odrediti zavisnost otpora od temperature. Merene vrednost Linearni fit Merene vrednost Linearni fit Otpor NTC otpornika, R[ ] Otpor NTC otpornika, R[ ] Temperatura, T[ o ] Temperatura, T[K]

11 Zadatak 7. Izvršiti obradu rezultata merenja perioda oscilovanja matematičkog klatna i naći ubrzanje zemljine teže. Mereno je vreme za koje klatno izvrši N = 5 oscilacija. Mereni rezultati su dati u tabeli. Period oscilovanja klatna izračunava se po formuli l T = 2π g. l[m] T 5 [s] () Ubaciti ove podatke u Origin i izračunati period oscilovanja za svako merenje po formuli T = T 5 /5. (2) Izračunati vrednosti kvadrata perioda T 2. (3) Fitovati ovaj grafik pravom, ali tako da prava prolazi kroz nulu. (4) Nacrtati grafik zavisnosti kvadrata perioda T 2 od dužine l. Grafik srediti kao na slici. Sve oznake na grafiku i brojeve povećati jednom. Debljina fitovane linije je.5 a debljina grid linija je.5. (5) Na osnovu vrednosti koeficijenta pravca i greške izračunati vrednost i grešku merenja ubrzanja zemljine teže. 3.5 Kvadrat perioda T 2 [s 2 ] Izmerene vrednosti Linearni fit Du ina klatna l[m]

12 Zadatak 8. Grafički predstaviti zavisnost brzine kuglice pri slobodnom padu i dejstvu otpora vazduha za različite vrednosti koeficijenta otpora vazduha. Jednačina kretanja kuglice je () Uneti podatke iz fajla zad8.txt. ma = mg k v k 2 v 2. (2) Nacrtati grafik. Sve oznake na grafiku i brojeve povećati jednom. Debljina linija na grafiku je.5. Prva dva grafika su grupisana, pri čemu se inkrementalno menja tip linije i tip simbola. Crta se svaki ti simbol. Druga dva grafika nisu grupisana. (3) Dobijeni grafik zapamtiti kao sliku u png formatu i uneti u Word. (4) Podesiti da tekst ne ide oko slike i dodati potpis ispod slike k 2 = k 2 =. k 2 =.2 k 2 =.3 Brzina, v [m/s] Vreme, t [s] 2

13 Zadatak 9. Nacrtati grafik strujno-naponskih karakteristika dva nelinearna otpornika. () Uneti podatke iz fajla zad9.txt. (2) Nacrtati grafik u linearnoj skali i formatirati ga kao na slici. Sve oznake na grafiku i brojeve povećati jednom. Debljina grafika je.5 a istačkanih linija.5. Linija koja povezuje tačke je glatka i ide iza simbola. (3) Nacrtati grafik u log - log skali. Izvršiti linearno fitovanje. (4) Ukoliko je teorijska zavisnost struje od napona data izrazom I = au b, na osnovu dobijenih parametara fitovanja izračunati koeficijente. (5) Grafike uneti u Word, podesiti da tekst ne ide oko slika i dodati potpis ispod slika R2 2 Struja, I[mA] Napon, U[V] Struja, I [ A] R R2 Fit R Fit R2 Napon, U[V] 3

14 Zadatak. (Lisažuove figure) () U radnoj svesci dodati 3 nove kolone. (2) U prvoj koloni generisati brojeve,, 2, U narednim kolonama generisati vrednosti funkcija: ( πx f (x) = sin 25 f 3 (x) = cos ( 3πx 25 ) ( πx, f 2 (x) = sin ), f 4 (x) = cos 25 + π ), 4 ( πx 5 + π ) 2 (3) Nacrtati prvi grafik, tako da je f na x osi, a f 2 i f 3 na y osi. Veličinu fonta svih oznaka (brojeva, potpisa ispod grafika i legende) povećati jednom. Debljina linije je.5pt. Linije se spajaju dužima (straight). Obe ose se nalaze na poziciji. (4) Nacrtati drugi grafik, tako da je f 3 na x osi, a f 4 na y osi. Veličinu fonta svih oznaka (brojeva, potpisa ispod grafika i legende) povećati jednom. Debljina linije je.5pt. Ubaciti grid linije pri čemu je njihova debljina.5 a boja plava. (5) Grafike uneti u Word. Formatirati ih tako da tekst ne ide oko njih. Ubaciti potpise ispod grafika.. f 2 f f f 3 4

15 Zadatak. Nacrtati grafik zavisnosti dva napona u električnom kolu od vremena. U tabeli su date izmerene vrednosti. t[ms] U [V] U 2 [V] () Nacrtati grafik. Napon U je tipa linija + simbol pri čemu je veličina simbola 2pt. Veličinu fonta svih oznaka (brojeva, potpisa ispod grafika i legende) povećati jednom. Debljina linije je.5pt. (2) Nacrtati drugi grafik. Podesiti y osu na grafiku tako da bude logaritamska. Vrednosti na y osi su u opsegu.v - V. Veličinu fonta svih oznaka (brojeva, potpisa ispod grafika i legende) povećati jednom. (3) Podesiti da se vrsta, boja kao i tip simbola menjaju inkrementalno. (4) Fitovati obe zavisnosti pravom. Debljina linije je.5pt. (5) Ubaciti grafike u Word. (6) Pod predpostavkom da su teorijske zavisnosti ova dva napona u funkciji vremena U (t) = U e t/τ i U 2 (t) = U 2 e t/τ 2 na osnovu rezultata dobijenih fitovanjem odrediti U, U 2, τ i τ 2. Obrazložiti postupak pomoću kog su rezultati dobijeni. 5 U U2 U U2 Fit U Fit U2 Napon, U [V] 5 Napon, U [V] Vreme, t [ms] Vreme, t [ms] 5

16 Zadatak 2. Nacrtati grafik zavisnosti ugla otklona matematičkog klatna od vremena. Iz fajla zad2.txt učitati podatke (ukupno 4 kolone). Nacrtati grafik prema sledećem uputstvu: () Prva dva grafika su grupisana, a treći nije. (2) Prva dva grafika su tipa line + symbol. Svaki jedanaesti simbol se prikazuje. Debljina linije je.5pt. Veličinu fonta svih oznaka (brojeva, potpisa ispod grafika i legende) povećati jednom. (3) Treći grafik je linija. Debljina linije je.5pt. (4) Debljina grid linija je.5pt. (5) Grafik uneti u Word. Formatirati ga tako da tekst ne ide oko njega. Ubaciti potpis ispod grafika. Ugao otklona klatna Ova dva grafika su grupisana Klatno Klatno2 A ovaj nije Klatno Vreme, t[s] 6

17 Zadatak 3. () U radnoj svesci dodati još 3 kolone. (2) U koloni A generisati uniformno brojeve od do 2π sa korakom 2π/. U narednim kolonama generisati vrednosti funkcija: x (t) = 2(cos t.5 cos(2t)), x 2 (t) = 2(cos t.5 cos(4t)), y (t) = 2(sin t.5 sin(2t)) y 2 (t) = 2(sin t.5 sin(4t)) (3) Nacrtati grafik koji se sastoji iz dve krive. Prva kriva se dobija kada je x (t) na x osi, a y (t) na y osi, a druga kada je x 2 (t) na x osi, a y 2 (t) na y osi. Podesiti da se tip linije i boja menjaju inkrementalno. Debljina linije je.5pt. (4) Skalu na x osi podesiti od -4 do 4 a na y osi od -3 do 3. Veličinu fonta svih oznaka povećati jednom. Linija koja povezuje tačke je tipa b-spline. 3 Kardioida Noname kriva

18 Zadatak 4. Zavisnost neke fizičke veličine y od neke fizičke veličine x je y(x) = c exp U tablici su dati rezultati merenja. ( x2 b ). x y y () Grafički predstaviti rezultate merenja. (2) Veličina simbola je 2, debljina linije.5pt, veličina fonta svih oznaka povećana je jednom. (3) Linija koja povezuje tačke je glatka kriva. (4) Skala na x osi je od -. do. a na y osi od do 2.5. (5) Dodati još jednu kolonu u worksheetu i izračunati vrednosti za svako merenje. Nacrtati grafik zavisnosti y od x 2. Podesiti odgovarajuću skalu tako da se linearnim fitovanjem mogu izračunati koeficijenti c i b. (6) Izvršiti linearno fitovanje za obe serije merenja i odrediti koeficijente c i b kao i greške za ove koeficijente. (7) Grafik srediti kao na slici. Veličina simbola je 2, a debljina linija.5pt Prva serija merenja Druga serija merenja Velicina Y Velicina X Y.. Prva serija: Vrednosti Linearni fit Druga serija: Vrednosti Linearni fit X 2 8

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

NUMERIČKI METODI I PROGRAMIRANJE. I Aritmetičke operacije, izrazi i simbolička izračunavanja u Mathematici.

NUMERIČKI METODI I PROGRAMIRANJE. I Aritmetičke operacije, izrazi i simbolička izračunavanja u Mathematici. NUMERIČKI METODI I PROGRAMIRANJE I Aritmetičke operacije, izrazi i simbolička izračunavanja u Mathematici. 1. Izračunati u Mathematici izraze: a) 1 2 + 1 3 + + 1 9 b) 2 40 + 3 50 c) 1+ 2 2 ; e π 163 ;

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Primjer II-1.2 Skiciraj sljedeće grafike u rasponu x [-4,4] : y=x; y=x+2; y=x-3, te nađi njihove gradijente (nagib) i presjecišta s x i y osom.

Primjer II-1.2 Skiciraj sljedeće grafike u rasponu x [-4,4] : y=x; y=x+2; y=x-3, te nađi njihove gradijente (nagib) i presjecišta s x i y osom. Primjer II-. Skiciraj grafik y=+ u opsegu [-,] i nađi vrijenost y za =. i vrijenost za y=-, te nađi graijent (nagib) i presjecišta s i y osom. f( ) f( ) 9 f( ) 9 5 f( ) 5 f (.).8 5 f( ) = y = = Nagib:

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Obrada rezultata merenja

Obrada rezultata merenja Obrada rezultata merenja Rezultati merenja Greške merenja Zaokruživanje Obrada rezultata merenja Direktno i indirektno merene veličine Računanje grešaka Linearizacija funkcija Crtanje grafika Fitovanje

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα