Determinante. Inverzna matrica

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Determinante. Inverzna matrica"

Transcript

1 Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši po svim permutacijama p ν = (j 1, j 2,, j n ) skupa {1, 2,, n}, a j je broj inverzija u permutaciji p ν n = 1 : a 11 = a 11 ; n = 2 : a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 ; a 11 a 12 a 13 n = 3 : a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Kofaktor elementa a ij je + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 A ij = ( 1) i+j D ij, gde je D ij determinanta reda n 1 dobijena iz det A izostavljanjem i te vrste i j te kolone Laplasov razvoj determinante po elementima i te vrste (i = 1, 2,, n): a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in a n1 a n2 a nn 1

2 2 Laplasov razvoj determinante po elementima j te kolone (j = 1, 2,, n): a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj a n1 a n2 a nn Adjungovana matrica matrice A = [a ij ] n n je matrica A 11 A 21 A n1 adj A = [A ji ] n n = [A ij ] T A 12 A 22 A n2 n n =, A 1n A 2n A nn gde je A ij kofaktor elementa a ij (i, j = 1, 2,, n) Inverzna matrica matrice A = [a ij ] n n je matrica A 1 takva da važi Ako je det A 0, tada je A A 1 = A 1 A = I A 1 = 1 adj A det A Matrica A je regularna ako postoji njena inverzna matrica A 1 U protivnom, matrica A je singularna

3 3 Zadaci: Date su matrice A = i B = Izračunati determinantu det(ab) Rešenje: Kako je det(ab) = det A det B i matrice A i B su trougaone matrice, to odmah nalazimo det(ab) = (1 3 6) (( 3) 1 ( 4) ) = = Izračunati determinantu a a a a D = a b b b a b c c a b c d Odrediti pod kojim uslovima za parametre a, b, c, d R važi D 0 Rešenje: Radi lakšeg računanja determinante, dovedimo je na trougaoni oblik Ako se prva vrsta pomnoži sa 1 i doda drugoj, trećoj i četvrtoj redom, dobija se a a a a a a a a D = a b b b a b c c = 0 b a b a b a 0 b a c a c a a b c d 0 b a c a d a Pomnožimo sada drugu vrstu sa 1 i dodajmo trećoj i četvrtoj Tako je a a a a D = 0 b a b a b a 0 0 c b c b 0 0 c b d b Konačno, ako treću vrstu pomnožimo sa 1 i dodamo četvrtoj, determinanta dobija trougaoni oblik

4 4 a a a a D = 0 b a b a b a 0 0 c b c b, d c pa je njena vrednost jednaka proizvodu elemenata na glavnoj dijagonali, tj D = a(b a)(c b)(d c) Očigledno, D 0 ako je a 0, a b, b c i c d 3 Neka je x P (x) = 1 1 x 1 1 x 1 1 x Odrediti sve nule polinoma P (x) i njihovu višestrukost Rešenje: Polinom P (x), dat u obliku determinante, predstavimo u faktorisanom obliku Rezultat dobijamo postupkom koji se sastoji od sledećih koraka: prvoj koloni dodamo zbir ostalih kolona, iz prve kolone izvučemo x + 3 kao zajednički faktor, prvu vrstu pomnožimo sa 1 i dodamo drugoj, trećoj i četvrtoj vrsti redom, razvijemo determinantu po elementima prve kolone, iz svake kolone izvučemo x 1 kao zajednički faktor, razvijemo determinantu po elementima prve kolone Tako je x x x P (x) = 1 1 x 1 1 x 1 1 = x x 1 x + 3 x 1 1 x x x x = (x + 3) 1 1 x 1 1 x 1 1 = (x + 3) 0 0 x 1 1 x 0 x x x 0 x 1 1 x = (x + 3) x x = (x + 3)(x 1) x = (x + 3)(x 1) = (x + 3)(x 1)3

5 Iz faktorisanog oblika zaključujemo da polinom P (x) ima nulu prvog reda x = 3 i nulu trećeg reda x = Rešiti jednačinu po realnoj promenljivoj x 1 a bx 1 b ax = 0, a, b R 1 x ab Rešenje: Primenićemo osobinu da se determinanta ne menja ako se od elemenata jedne vrste oduzmu odgovarajući elementi neke druge vrste Razvićemo determinantu tako što ćemo primeniti sledeće korake: 1 korak: od elemenata druge i treće vrste oduzimamo odgovarajuće elemente prve vrste; 2 korak: iz druge vrste izvlačimo zajednički činilac (b a), a iz treće zajednički činilac (x a); 3 korak: razvijamo determinantu po elementima prve kolone; 4 korak: razvijamo determinantu drugog reda Imamo 1 a bx 1 b ax 1 x ab = 1 a bx 1 a bx 0 b a (a b)x = (b a)(x a) 0 1 x 0 x a (a x)b 0 1 b = (b a)(x a) 1 x 1 b = (b a)(x a)(x b) Tražimo rešenje jednačine u zavisnosti od a, b R Vidimo da za 1 a = b rešenje je svako x R; 2 a b rešenje je x = a ili x = b (b a)(x a)(x b) = 0 5 Da li je polinom deljiv sa (x 1) 2? 1 x x P (x) = x 1 x x x 1

6 6 Rešenje: Važi osobina da se vrednost determinante ne menja ako se elementima jedne kolone (vrste) doda linearna kombinacija odgovarajućih elemenata ostalih kolona (vrsta) Razvijamo determinantu na sledeći način: 1 korak: elementima prve kolone dodajemo elemente druge i treće kolone; 2 korak: iz prve kolone izvlačimo zajednički činilac (2x + 1); 3 korak: oduzimamo od elemenata druge i treće vrste odgovarajuće elemente prve vrste; 4 korak: izračunavamo vrednost dobijene trougaone determinante znajući da je ona jednaka proizvodu dijagonalnih elemenata Imamo 1 x x x 1 x x x 1 = 2x + 1 x x 1 x x 2x x = (2x + 1) 1 1 x 2x + 1 x 1 1 x 1 1 x x = (2x + 1) 0 1 x x = (2x + 1)(1 x)2 = (2x + 1)(x 1) 2 Vidimo da je polinom P (x) = (2x + 1)(x 1) 2 deljiv sa (x 1) 2 6 Predstaviti polinom P (x) = 1 3 x x 2 3 u faktorisanom obliku Rešenje: Uočimo da su u datoj determinanti skoro svi (tri od četiri) odgovarajući elementi prve i druge kolone jednaki i da je ista situacija i sa odgovarajućim elementima treće i četvrte kolone Zato je pogodno koristiti osobinu da se vrednost determinante ne menja ako se od elemenata jedne kolone oduzmu odgovarajući elementi neke druge kolone Postupak za rešavanje date determinante je: od elemenata druge kolone oduzimamo odgovarajuće elemente prve kolone i od elemenata četvrte kolone oduzimamo odgovarajuće elemente treće kolone, razvijamo dobijenu determinantu

7 četvrtog reda po elementima četvrte kolone U sledećem koraku razvijamo dobijenu determinantu trećeg reda po elementima druge kolone i konačno razvijamo determinantu drugog reda: P (x) = 1 3 x = 1 4 x x x 2 9 = (x ) 1 4 x = (x2 9)(4 x 2 ) = 23(x 2 9)(4 x 2 ) = 23(x 3)(x + 3)(x 2)(x + 2) 7 7 Naći sva rešenja jednačine 1 2x 1 2 x x 3x 2 x = 0 Rešenje: Primetimo da je u datoj determinanti zbir elemenata u svakoj vrsti jednak Stoga možemo dodati elementima, na primer, prve kolone odgovarajuće elemente ostalih kolona U prvoj koloni su na taj način dobijeni svi jednaki elementi 2x + 2 i možemo tu vrednost izvući kao činilac ispred determinante 1 2x 1 2 x x 3x 2 x = 2x + 2 2x 1 1 2x 1 2x + 2 x x = (2x + 2) 1 x x 2x x 1 2 x S obzirom da su u prvoj koloni sada svi elementi jednaki, lako ćemo od tih elemenata (osim jednog) napraviti nule tako što oduzmemo elemente prve vrste od odgovarajućih elemenata druge i treće vrste Dobijenu determinantu trećeg reda razvijamo po elementima prve kolone, a zatim računamo determinantu drugog reda: 1 2x 1 1 2x 1 (2x + 2) 1 x x = (2x + 2) 0 x x 1 = (2x + 2) x x x 0 2 2x x 1 2 2x x 1 = (2x + 2) [ x( x 1) (x 1)(2 2x) ] = (2x + 2)(3x 2 3x + 2)

8 8 Rešenja jednačine su x 1 = 1, x 2 = 3 + i 15 6 (2x + 2)(3x 2 3x + 2) = 0 i x 3 = 3 i Naći sve nule polinoma 1 2x 1 P (x) = 2x x Rezultat: Polinom je jednak P (x) = (2x + 2)(2x 1) 2 Nule su x 1 = 1 (prosta nula), x 2 = 1/2 (dvostruka nula) 9 Ispitati da li je polinom deljiv sa (x + 2) 2 x 1 3 P (x) = 1 x x Rezultat: Polinom je jednak P (x) = (x + 2)(x 1 2)(x 1 + 2) i nije deljiv sa (x + 2) 2 10 Izračunati vrednost D n determinante n tog reda (n N): a) D n = ; b) D n = Rešenje: a) Primetimo najpre da je D n determinanta trodijagonalne matrice A = [a ij ] n n, čiji su dijagonalni elementi a ii = 3 (i = 1, 2,, n), elementi iznad glavne dijagonale a i 1,i = 2, elementi ispod glavne dijagonale a i,i 1 = 1

9 (i = 2, 3,, n), a svi ostali elementi jednaki 0 Razvijanjem determinante D n po elementima prve kolone dobija se D n = = Prva od dve dobijene determinante reda n 1 ima isti trodijagonalni oblik kao polazna, pa može da se označi sa D n 1 Drugu razvijamo po elementima prve vrste i dobijamo = 2 = 2D n 2, jer je poslednja determinanta ponovo istog oblika kao polazna, ali je reda n 2 Prema tome, važi D n = 3D n 1 2D n 2, tj članovi niza {D n } zadovoljavaju homogenu linearnu diferencnu jednačinu drugog reda sa konstantnim koeficijentima Njena karakteristična jednačina je D n 3D n 1 + 2D n 2 = 0 λ 2 3λ + 2 = 0, sa rešenjima λ 1 = 1 i λ 2 = 2 Zato je rešenje diferencne jednačine D n = k 1 λ n 1 + k 2 λ n 2 = k 1 + k 2 2 n, pri čemu se konstante k 1 i k 2 odred uju iz početnih uslova: D 1 = 3 = 3, D 2 = = 7 9

10 10 Kako je D 1 = k 1 + k = k 1 + 2k 2, D 2 = k 1 + k = k 1 + 4k 2, rešavanjem sistema jednačina k 1 + 2k 2 = 3, k 1 + 4k 2 = 7, dobija se k 1 = 1, k 2 = 2 Konačno, tražena vrednost determinante je D n = n = 2 n+1 1 b) Postupkom opisanim u delu zadatka pod a) dobija se D n = = = 4D n 1 4 = 4D n 1 4D n 2, što znači da D n zadovoljava diferencnu jednačinu D n 4D n 1 + 4D n 2 = 0 Karakteristična jednačina ove diferencne jednačine je λ 2 4λ + 4 = 0 i ima jedno dvostruko rešenje λ = 2 Zato je D n = k 1 2 n + k 2 n2 n, gde su k 1 i k 2 konstante odred ene iz početnih uslova

11 D 1 = 2k 1 + 2k 2 = 4 = 4, D 2 = 4k 1 + 8k 2 = = Rešavanjem sistema jednačina 2k 1 + 2k 2 = 4, 4k 1 + 8k 2 = 12, dobija se k 1 = k 2 = 1, pa je D n = 2 n (1 + n) 11 Za n N izračunati vrednost determinante n-tog reda: a) D n = ; b) D n = ; c) D n = ; d) D n = Rešenje: a) Razvijamo determinantu D n po elementima prve vrste i dobijamo D n = 5D n 1 3 = 5D n 1 3 2D n 2, n 1 pri čemu smo poslednju determinantu razvili po elementima prve kolone Dobija se diferencna jednačina D n 5D n 1 + 6D n 2 = 0 čija je karakteristična jednačina

12 12 λ 2 5λ + 6 = 0 λ 1 = 2, λ 2 = 3 Rešenje ove diferencne jednačine je oblika D n = K 1 2 n + K 2 3 n, n N Koeficijente K 1 i K 2 odred ujemo iz uslova D 1 = 5 = 5 = 2K 1 + 3K 2, D 2 = = 19 = 4K 1 + 9K 2 Rešenje dobijenog sistema je jednako K 1 = 2, K 2 = 3 D n = 3 n+1 2 n+1 b) Razvijamo determinantu po elementima prve vrste, a zatim, dobijenu determinantu n 1-og reda po elementima prve kolone: D n = 2D n 1 = 2D n 1 D n 2 D n 2D n 1 + D n 2 = Karakteristična jednačina je n 1 U ovom slučaju je oblik rešenja Početni uslovi za D 1 i D 2 daju λ 2 2λ + 1 = 0 λ 1 = λ 2 = 1 D n = K 1 1 n + K 2 n1 n = K 1 + K 2 n D 1 = 2 = 2 = K 1 + K 2, D 2 = = 3 = K 1 + 2K 2 Dobijamo K 1 = K 2 = 1, pa je sada D n = 1 + n c) Razvijanjem determinante po elementima prve vrste u prvom koraku i po elementima prve kolone u drugom koraku, dobijamo

13 D n = D n n 1 Rešavamo karakterističnu jednačinu λ 2 λ 1 = 0 λ 1 = = D n 1 + D n 2 D n D n 1 D n 2 = 0, λ 2 = Rešenje je oblika ( 1 5 ) n ( ) n D n = K 1 + K2 2 2 Iz početnih uslova za D 1 i D 2 imamo D 1 = 1 = 1 = 1 5 K K 2, 2 2 D 2 = 1 1 ( 1 5 ) 2 ( ) 2K2 1 1 = 2 = K Rešavanjem dobijenog sistema jednačina dobijamo K 1 = , K 2 = , odakle je D n = 5 5 ( 1 5 ) n ( ) n d) Razvijanjem determinante po elementima prve vrste, a onda u drugom koraku po elementima prve kolone, dobijamo D n = D n 1 = D n 1 D n 2 D n D n 1 + D n 2 = n 1 Rešavamo karakterističnu jednačinu λ 2 λ + 1 = 0 λ 1 = 1 + i 3 2 Vrednost determinante D n, n N, je oblika = e iπ/3, λ 2 = 1 i 3 2 = e iπ/3

14 14 D n = K 1 cos nπ 3 + K 2 sin nπ 3 Iz početnih uslova za D 1 i D 2 imamo D 1 = 1 = 1 = K K 2, D 2 = = 0 = 1 2 K K 2 Rešavanjem dobijenog sistema jednačina dobijamo K 1 = 1, K 2 = 3 3, odakle je D n = cos nπ sin nπ 3 12 Odrediti vrednost determinante x + α x x x x x + α x x x x x + α x x x x x + α Rešenje: Vrednost determinante se neće promeniti ako oduzmemo prvu vrstu od svih ostalih vrsta: x + α x x x x + α x x x x x + α x x α α 0 0 x x x + α x = α 0 α 0 x x x x + α α 0 0 α U poslednjoj determinanti dodaćemo sve kolone prvoj koloni: nx + α x x x 0 α α 0 = (nx + α)α n α n n n n

15 15 13 Odrediti inverznu matricu matrice A = Rešenje: Kako je det A = 4 0, za matricu A postoji inverzna matrica A 1 Ona se odred uje prema formuli A 1 = 1 adj A, det A gde je adj A matrica čiji su elementi kofaktori elemenata matrice A, a koji se izračunavaju na sledeći način: A 11 = ( 1) = 1, A 12 = ( 1) = 6, A 13 = ( 1) = 3, A 21 = ( 1) = 2, A 22 = ( 1) = 8, A 23 = ( 1) = 6, A 31 = ( 1) = 1, A 32 = ( 1) = 2, A 33 = ( 1) = 1 Tako je A 11 A 12 A 13 adj A = A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 pa je T = A 1 = T = 6 8 2, Rezultat se može i proveriti: A A 1 = = = I Naći A 1 ako je A =

16 16 Rešenje: Ako je det A 0 odredićemo A 1 iz formule A 1 = 1 A 11 A 12 A 13 adj A, adj A = A 21 A 22 A 23 det A A 31 A 32 A 33 gde je A ij kofaktor elementa a ij, i, j = 1,, n, matrice A Imamo det A = = 1 0 Odgovarajući kofaktori su jednaki: A 11 = ( 1) = 1, A 12 = ( 1) = 1, A 13 = ( 1) = 1, A 21 = ( 1) = 0, A 22 = ( 1) = 1, A 23 = ( 1) = 1, A 31 = ( 1) = 0, A 32 = ( 1) = 0, A 33 = ( 1) = 1 Inverzna matrica je jednaka A 1 = det A adj A = T T = Napomenimo da bismo uočili i otklonili eventualne greške, možemo proveriti da li za nad enu matricu A 1 važi AA 1 = I: AA 1 = = , 15 Odrediti inverznu matricu matrice A =

17 17 Rešenje: Matrica A ima inverznu matricu, jer je det A = 1 Prema formuli A 1 = 1 det A adj A dobija se A 1 = T = T = Date su matrice A = [ ] 0 1, B = 1 0 a) Izračunati det X ako je AXB = C b) Izračunati det ( B 1) [ ] 1 1, C = 1 2 [ ] Rešenje: a) Rešavanjem jednačine AXB = C po matrici X dolazimo do izraza S obzirom na osobinu determinanti zaključujemo X = A 1 CB 1 (01) det(p Q) = det P det Q, P, Q M n n, (02) det X = det(a 1 CB 1 ) = det(a 1 ) det C det(b 1 ) Ponovo, na osnovu (02) za regularnu matricu P važi Kako je P P 1 = I det P det(p 1 ) = det I = 1 det(p 1 ) = 1 det P (03)

18 18 to je det A = = 1, det B = det C = = 0, det A = 0 b) Na osnovu (04) i (03) nalazimo det ( B 1) = 1 1 = 1 = 1, (04) 17 Neka su matrice A = [ ] i B = Ispitati da li postoje sledeće matrice Ako postoje, odrediti ih AB, BA, A 1, (AB) 1, 2A, 2A + B Rešenje: Matrica A je dimenzije 2 3, a matrica B dimenzije 3 2 i kako je broj kolona prve matrice jednak broju vrsta druge matrice proizvod AB postoji i jednak je AB = [ ] = 1 1 [ ] Proizvod BA takod e postoji jer je broj kolona matrice B jednak broju vrsta matrice A i jednak je 1 1 [ ] BA = = Matrica A 1 ne postoji jer matrica A nije kvadratna Da bi postojala inverzna matrica kvadratne matrice AB potrebno je da važi det AB 0 Kako je det(ab) = = 2 0,

19 onda je inverzna matrica jednaka (AB) 1 = odredićemo kofaktore Inverzna matrica je jednaka 19 1 adj(ab) Ako je C = AB, det(ab) C 11 = ( 1) = 1, C12 = ( 1) = 0, C 21 = ( 1) = 2, C 22 = ( 1) = 2 C 1 = (AB) 1 = Matrica 2A postoji 1 2 2A = 2 [ ] T 1 0 = [ ] = [ ] 1 2 = 0 2 [ ] [ ] 1/ i njena dimenzija je 2 3 S obzirom da su dimenzije matrica 2A i B različite (matrica 2A je dimenzije 2 3, a matrica B dimenzije 3 2), one se ne mogu sabirati 18 Date su matrice A = Ako postoje, odrediti matrice [ ] , B = AB, B T A T, A + B, A 1, (AB) 1 Rešenje: AB = [ ] B T A T = (AB) T = = 1 2 [ ] [ ] 0 8, 5 8 A+B nije definisano jer nisu matrice istog tipa A 1 ne postoji jer A nije kvadratna matrica Kako je det(ab) = 40 0 to matrica (AB) 1 postoji i iznosi (AB) 1 = 1 det(ab) adj(ab) = 1 40 [ ]

20 20 19 Date su matrice A = [ ] 1 0 1, B = [ ] Ispitati da li postoje sledeće matrice Ako postoje, odrediti ih A + 2B, AB, BA, A 1, B 1, (A T A) 1 Rešenje: Matrica A je dimenzije 2 3, a matrica B (pa i matrica 2B) je dimenzije 2 2, što znači da se A i 2B ne mogu sabirati Proizvod AB matrica dimenzija 2 3 i 2 2 ne postoji (broj kolona prve matrice se razlikuje od broja vrsta druge matrice) Proizvod BA matrica dimenzija 2 2 i 2 3 postoji i jednak je [ ] [ ] [ ] BA = = Inverzna matrica A 1 ne postoji jer A nije kvadratna matrica Za kvadratnu matricu B postoji B 1 jer je det B = = 3 0 Važi B 1 = 1 [ ] T B11 B adj B, adj B = 12 det B B 21 B 22 Kofaktori su B 11 = 2, B 12 = 1, B 21 = 1, B 22 = 1 Imamo B 1 = 1 [ ] T = 1 [ ] = 1 1 [ 2/3 1/3 1/3 1/3 Matrica A T A se može odrediti i jednaka je 1 0 [ ] A T A = = Med utim, determinanta ove matrice je jednaka nuli = = 0, odakle zaključujemo da inverzna matrica (A T A) 1 ne postoji ]

21 21 20 Ako postoje, odrediti (A T B) 1 i (AB T ) 1, gde su [ ] A =, B = [ Rešenje: Označimo A T B = C i AB T = D Tada je 2 1 [ ] C = A T B = = 1 0 2, D = AB T = [ 2 0 ] = [ ] Kako je det C = 0, matrica C nije regularna, tj ne postoji C 1 Matrica D je regularna, jer je det D = 5, pa postoji njena inverzna matrica i ona je jednaka D 1 = 1 [ ] ] 21 Date su matrice A = [ ] , B = Ako postoje, odrediti matrice C 1 i D 1, gde su C = AB i D = BA Rezultat: [ ] 1 2 C =, det C = 5, C 1 = 1 [ ] 1 2, D = 2 1 1, det D = 0, D 1 ne postoji Rešiti matričnu jednačinu AX = B ako je A = 0 2 1, B =

22 22 Rešenje: Matrična jednačina AX = B ima rešenje X = A 1 B ukoliko inverzna matrica A 1 postoji Kako je zaključujemo da postoji Odredimo matricu adj A : adj A = det A = = = 2 0, Razviti determinantu po trećoj vrsti A 1 = 1 adj A det A = Onda je Konačno, A 1 = 1/2 1/2 3/ X = A 1 B = 1/2 1/2 3/2 0 3 = Odrediti matricu X tako da je [ ] X = [ ]

23 Rešenje: Neka je A = [ ] i B = [ ] Ako postoji inverzna matrica A 1, tada je rešenje date matrične jednačine AX = B jednako X = A 1 B (vodimo računa sa koje strane množimo matricu B matricom A 1 jer množenje matrica nije komutativno) Matrica A 1 postoji jer je det A = 4 9 = 5 0 Odredićemo A 1 = 1 det A adj A Kofaktori matrice A su: A 11 = 4, A 12 = 3, A 21 = 3, A 22 = 1 23 Inverzna matrica je jednaka A 1 = 1 5 [ ] T 4 3 = [ ] Rešenje ove jednačine je X = A 1 B = 1 5 [ ] [ ] 3 5 = [ ] 3 7 = 4 6 [ ] 3/5 7/5 4/5 6/5 24 Rešiti matričnu jednačinu AX = B ako su date matrice A = i B = Rešenje: Pod uslovom da postoji inverzna matrica A 1, rešenje date jednačine je X = A 1 B Zbog toga prvo odred ujemo A 1 Računamo determinantu det A = = = i nalazimo kofaktore A 11 = = 8, A 12 = = 1, A 13 = = 2, A 21 = = 4, A 22 = = 1, A 23 = = 2, A 31 = = 4, A 32 = = 1, A 33 = = 2

24 24 Imamo da je matrica A 1 = 1 det A adj A = T = Rešenje jednačine je matrica X = A 1 B = = Rešiti matričnu jednačinu pri čemu je A = AX = B + 2X, [ ] 3 5, B = 1 1 [ Rešenje: I način Transformišemo najpre jednačinu na sledeći način: AX = B + 2X, AX 2X = B, (A 2I)X = B Ako označimo A 2I = C, jednačina postaje CX = B Množenjem jednačine sa C 1 (ako postoji) sleva dobijamo Kako je C = A 2I = [ ] matrica C 1 postoji i jednaka je C 1 CX = C 1 B, [ ] 1 0 = 0 1 C 1 = 1 2 X = C 1 B ] [ ] 1 5, det C = 1 3 [ ] 3 5, = 2,

25 25 pa je X = C 1 B = 1 2 [ ] II način Potražimo matricu X u obliku [ ] a b X = c d [ ] [ = Zamenom odgovarajućih matrica u jednačini, sledi [ ] [ ] [ ] [ 3 5 a b 4 5 a b = c d 8 3 c d [ ] [ 3a 5c 3b 5d 4 + 2a 5 + 2b = a c b d 8 + 2c 3 + 2d [ ] [ ] a 5c 4 b 5d = a 3c + 8 b 3d Rešavanjem sistema jednačina dobijaju se elementi matrice X: 26 Rešiti matričnu jednačinu a 5c 4 = 0, b 5d 5 = 0, a 3c + 8 = 0, b 3d + 3 = 0, a = 26, b = 15, c = 6, d = 4 ABX = 4X + 2C, ], ], ] ako je A = 0 2, B = A T, C = Rešenje: Sred ivanjem jednačine dobijamo ABX = 4X + 2C ABX 4X = 2C (AB 4I)X = 2C Data jednačina može se rešavati na dva načina

26 26 I način: X = 2(AB 4I) 1 C, pod uslovom det(ab 4I) [ ] AB = = 2 4 2, AB 4I = = 2 0 2, Tada je det(ab 4I) = adj(ab 4I) = (AB 4I) 1 = = = = 16, = /4 1/4 1/4 1 adj(ab 4I) = 1/4 7/4 3/4, det(ab 4I) 1/4 3/4 1/4 pa je traženo rešenje X = 2(AB 4I) 1 C = = II način: Jednačinu (AB 4I)X = 2C predstavimo u njenom skalarnom obliku Uvod enjem nepoznatih koordinata X = [x, y, z] T polazna jednačina postaje sistem 2x + 2y + 4z = 2, 2x + 2z = 0, 4x + 2y + 6z = 2 Sred ivanjem matrice i proširene matrice sistema dobija se

27 27 I korak: Podelimo celu matricu sa 2 Zamenimo mesta prvoj i drugoj vrsti Zbir prve i druge vrste oduzmemo od treće II korak: Treću vrstu podelimo sa 2 Prvu vrstu dodamo drugoj, a oduzmemo od treće Transformisani sistem, ekvivalentan polaznom, tada glasi x + z = 0, y + 3z = 1, z = 0, što nas ponovo dovodi do rešenja x = 0, y = 1, z = 0, tj X = [0 1 0] T 27 Date su matrice A = to je jednačinu Rešenje: Kako je i B = AX = B A T X Rešiti matričnu AX = B A T X AX + A T X = B ( A + A T ) X = B, X = ( A + A T ) 1 B, pod uslovom da je A + A T regularna matrica, tj det ( A + A T ) 0 Potražimo ove matrice

28 A + A T = = 3 0 0, det ( A + A T ) = adj ( A + A T ) = = = 36, = ( A + A T ) 1 = 1 det ( A + A T ) adj ( A + A T ) = X = ( A + A T ) 1 B = = /3 0 1/3 2/9 1/3 0 1/3 1/ , 0 1/3 0 1/3 2/9 1/3, 0 1/3 1/ Rešiti matričnu jednačinu AX = B 2X, ako je [ ] 1 3 A =, B = 5 2 [ Rešenje: Preured enjem jednačine AX = B 2X dobija se AX = B 2X AX + 2X = B (A + 2I)X = B X = (A + 2I) 1 B, pod uslovom da (A + 2I) 1 postoji, tj det(a + 2I) 0 Potražimo ove elemente [ ] [ ] [ ] A + 2I = + =, det(a + 2I) = ] = = 3 0

29 29 Zaklučujemo da inverzna matrica postoji Kako je (A + 2I) 1 = 1 adj(a + 2I), det(a + 2I) za odred ivanje inverzne matrice neophodno je poznavanje adjungovane matrice adj(a + 2I) [ ] 4 3 adj(a + 2I) =, 5 3 pa je Konačno, X = 1 3 (A + 2I) 1 = 1 3 [ ] [ ] [ ] = [ ]

30

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Linearni operatori. Stepenovanje matrica

Linearni operatori. Stepenovanje matrica Linearni operatori Stepenovanje matrica Nea su X i Y vetorsi prostori nad istim poljem salara K Presliavanje A : X Y zovemo operator Za operator A ažemo da je linearan ao je istovremeno 1 aditivan: A(u

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone. Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006.

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE JEDNAČINE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr Lidija Stefanović, mr Marjan Matejić, dr Slad ana Marinković DIFERENCIJALNE

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje Hijavata 1 Predgovor Pismeni ispit iz matematike 3 obuhvata

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković MATEMATIKA II VEŽBE Dr Boban Marinković 1 Neodredjeni integral dx = x + C, dx x = ln x + C, dx = arcsin x + C, 1 x 2 a x dx = ax ln a + C, cos x dx = sin x + C, dx x 2 a = 1 2 2a ln x a x + a + C, dx x2

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje:

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje: Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: I dio U okviru prvog dela predavaja predviđeo je da studeti savladaju sledeće programske sadržaje: Pojam matrice i operace s matricama Jediiča matrica raspoovaa

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 4 Algebra matrica. Inverzna matrica. Determinanta Lekcije iz Matematike 1. 4. Algebra matrica. Inverzna matrica. Determinanta I. Naslov i obja²njenje naslova

Διαβάστε περισσότερα

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su Poglavlje 1 Brojevi i brojni sistemi Cvetana Krstev 1.1 O brojevima Prirodni brojevi su brojevi sa kojima se broji, uključujući i nulu: 0, 1, 2, 3,.... Pojam pozitivnih i negativnih brojeva nije definisan

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

3. Matrice Operacije s matricama. Podsjetimo se definicije matrice: Za prirodne brojeve m i n, preslikavanje

3. Matrice Operacije s matricama. Podsjetimo se definicije matrice: Za prirodne brojeve m i n, preslikavanje 3 Matrice 31 Operacije s matricama Podsjetimo se definicije matrice: Za prirodne brojeve m i n, preslikavanje A : {1, 2,, m} {1, 2,, n} F se naziva matrica tipa (m, n) s koeficijentima iz polja F Običaj

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Otvorene mreže. Zadatak 1

Otvorene mreže. Zadatak 1 Otvorene mreže Zadatak Na slici je data otvorena mreža u kojoj je rocesor centralni server. Prosečan intenzitet ulaznog toka rocesa u sistem iznosi X rocesa/sec. Posle rocesorske obrade, roces u % slučajeva

Διαβάστε περισσότερα

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost:

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost: Geometrija 3, drgi kolokvijm Prezime i ime, broj indeksa, grpa Skicirati sledeće površi i ispitati njihov reglarnost: a f, v sh cos v, sh sin v,,, v [ π, π]; b g, v, 3, v,, v R a b Rešenje a Iz oblika

Διαβάστε περισσότερα

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

KONTURNA INTEGRACIJA

KONTURNA INTEGRACIJA KONTURNA INTEGRACIJA Materijal sa sedme radne Ljaškijade - jun 14. Studentska asocijacija Eneter emineter.wordpress.com Ovo je materijal za rešavanje pet tipova integrala koristeći teoreme kompleksne analize

Διαβάστε περισσότερα

Primene kompleksnih brojeva u geometriji

Primene kompleksnih brojeva u geometriji Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradiva za kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputama predmetnog nastavnika

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković Devizno tržište Devizni urs i devizno tržište Devizni urs - cena jedne valute izražena u drugoj valuti Promene deviznog ursa utiču na vrednost ative i pasive oje su izražene u stranoj valuti Devizni urs

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 64 Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA 4 Osnovni pojmovi Činjenica da se mnogi zakoni fizike i drugih nauka iskazuju uz pomoć diferencijalnih jednačina

Διαβάστε περισσότερα

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 1. Prvo predavanje - funkcije i prirodni brojevi Cilj predavanja u prvoj sedmici je podsećanje na skupove brojeva koji su se koristili u prethodnom školovanju,

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela.

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Prve dve dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti, imaju oblik: 1) m & x X, ) m & y = Y. = i i Dok, u drugoj varijanti, njihov

Διαβάστε περισσότερα