je B 1 = B 2. Prvi teorem kojeg ćemo dokazati primjenom Menelajeva teorema je Euklidski slučaj poznatog Desargesova 2 teorema. B 2 Z B 1B 2 B 1 O

Transcript

1 Zoran Topić, Imotski Menelajev teorem i neke primjene U ovom članku ćemo dokazati Menelajev 1 teorem i pokazati neke primjene tog teorema. Menelajevo najvažnije djelo je Sphaerica u kojem dokazuje i Menelajev teorem. Teorem 1 (Menelajev teorem)neka je dan trokut i neka su točke 1, 1 i 1 na pravcima, i.točke 1, 1 i 1 leže na jednom pravcu ako i samo ako vrijedi = 1 (1) Dokaz:Pretpostavimo da su točke 1, 1 i 1 na jednom pravcu,odnosno da su kolinearne.dokažimo da vrijedi (1).Povucimo točkom trokuta paralelu s pravcem i neka ona siječe pravac 1 1 u točki S. 1 S S Slika 1. Slika 2. Primijetimo da vrijedi S i 1 S 1 (K-K-K), pa je 1 1 = 1 S, 1 1 = S 1 pa vrijedi i (1). Neka su sada točke 1, 1 i 1 za koje vrijedi (1). Dokažimo da one leže na jednom pravcu. Možemo pretpostaviti da točka 1 nije na stranici trokuta.povucimo pravac 1 1 i neka on siječe pravac u točki 2.Prema prvom dijelu teorema vrijedi = 1 1 Menelaj leksandrijski( ) je starogrčki matematičar koji je djelovao u leksandriji. 1

2 pa vrijedi i 1 1 = 2 2 = λ. Dokažimo da je 1 = 2 1.slučaj:(slika 2.) Točke 1 i 1 su na stranicama trokuta. Vrijedi = 1 + 1, pa je 1 = 1 1+λ.Slično se vidi da vrijedi 2 = 1 1+λ, pa je 1 = 2. 2.slučaj:(slika 1.) Točke 1 1 i 1 nisu na stranicama trokuta.tada je = 1 1 pa je 1 = 1 1 λ.slično vrijedi 2 = 1 1 λ, pa je 1 = 2. Prvi teorem kojeg ćemo dokazati primjenom Menelajeva teorema je Euklidski slučaj poznatog Desargesova 2 teorema. Teorem 2 (Desarguesov teorem) U ravnini su dani trokuti i takvi da postoje točke X= ,Y= ,Z = , X 1 = ,Y 1 = i Z 1 = Točke X,Y i Z su kolinearne ako i samo ako je X 1 = Y 1 = Z 1 = O. Drugim riječima (ako dani presjeci postoje) pravci 1 2, 1 2 i 1 2 prolaze jednom tokom O ako i samo ako su točke X,Y i Z kolinearne. Dokaz:Pretpostavimo da pravci 1 2, 1 2 i 1 2 prolaze kroz jednu točku O.Dokažimo da su točke X,Y i Z kolinearne.(slika 3.) Primjenimo Menelajev teorem na O 2 2 i kolinearne točke 1, 1 i Z.Vrijedi O Z 2 Z 1 2 = 1. (2) 1 O Primjenimo Menelajev teorem na O 2 2 i kolinearne točke 1, 1 i X.Vrijedi 2 X 2 X O O 1 = 1. (3) 2 1 Primjenimo Menelajev teorem na O 2 2 i kolinearne točke 1, 1 i Y.Vrijedi Iz (2),(3) i (4) vrijedi O Y 2 Y 2 1 = 1. (4) 1 O 2 Z Z 2 2Y 2 Y 2X X 2 = 1. Primjenom Menelajeva teorema na točke X,Y i Z i trokut 2 2 2,slijedi da su točke X,Y i Z kolinearne. Obratno,pretpostavimo da su točke X,Y i Z kolinearne.pokažimo da pravci 1 2, 1 2 i 1 2 prolaze jednom točkom.iz pretpostavki teorema je X 1 = Pokažimo da i pravac 1 2 prolazi kroz X 1.Primjetimo trokute 2 1 Y i 2 1 X. Pravci XY, 1 1 i 2 2 prolaze kroz Z,pa primjenom upravo dokazanog dijela ovog teorema,slijedi da su točke 1, 2 i X 1 kolinearne. 2 Girard Desarges ( ) je francuski matematičar i jedan od osnivača projektivne i nacrtne geometrije. 2

3 Prema tome, pravci 1 2, 1 2 i 1 2 se sijeku u točki X 1 = O, što je trebalo i dokazati. O Y Z X 2 2 Slika 3. 2 Poligoni upisani u kružnicu imaju neka zanimljiva svojstva.jedno od najzanimljivijih svojstava je otkrio lase Pascal 3.Pascal je otkrio sljedeći teorem kad je imao 16 godina. Teorem 3 (Pascalov šesterokut)sjecišta parova nasuprotnih stranica šesterokuta upisanog u kružnicu leže na istom pravcu. Prije dokaza teorema dokažimo sljedeću lemu koju ćemo koristiti u dokazu teorema. Lema 1 Neka je K kružnica i T točka u ravnini.povucimo točkom T bilo koje pravace p 1 i p 2 i neka oni sijeku kručnicu K redom u točkama i i 1 i 1.(slike 4. i 5.)Tada vrijedi T T = T 1 T 2. Dokaz:Primjetimo da vrijedi T 1 = T 1,pa slijedi da je T 1 T 1 (K- T T 1 K-K). Prema tome vrijedi T 1 = T pa vrijedi i tvrdnja leme.. 3 lase Pascal( ) je francuski matematičar,fizičar i filozof. 3

4 1 T T 1 1 Slika 4. 1 Slika 5. Dokaz teorema:neka je L = DE,M = EF,N = D F,X = D,Y = EF D,Z = F E.Trebamo dokazati da su točke L,M i N kolinearne(slika 6.).Dokažimo najprije teorem u slučaju kad postoje točke X,Y i Z. X Z F E Y D L Slika 6. N M Primjenimo Menelajev teorem na XY Z i kolinearne točke, i M pa vrijedi Z X X Y M = 1. (5) Y MZ Primjenimo Menelajev teorem na XY Z i kolinearne točke,f i N pa vrijedi Z X XN NY Y F = 1. (6) F Z Primjenimo Menelajev teorem na XY Z i kolinearne točke D,E i L pa vrijedi ZL XL XD Y E = 1. (7) DY EZ 4

5 Iz (5),(6) i (7) vrijedi ZL XZ XN Y M DY EZ X F Z X Y = Y N ZM XD Y E Z Y F Z X. Primjenom Leme 1 vrijedi ZL XL XN Y M Y N ZM = 1 pa iz Menelajevog teorema slijedi da su točke L,N i M kolinearne. ko jedna od X,Y i Z točaka ne postoji neka je X 1 = DE,Y 1 = DE F i Z 1 = F.Slično kao u prethodnom slučaju primjenimo Menelajev teorem tri puta na trokut X 1 Y 1 Z 1 i kolinearne točke ({L,,},{N,D,} i {M,E,F}). Primjenom leme 1 dobijemo Z 1 N NY 1 Y 1L X 1 L X 1M Z 1 M = 1 pa primjenom Menelajeva teorema slijedi da su točke L,N i M kolinearne. Sljedeći teorem je otkrio starogrčki matematičar Pappus 4.Mnogo kasnije ovaj teorem je postao bitan u izgradnji projektivne geometrije. Teorem 4 (Pappusov teorem)neka su p 1 i p 2 dva pravca u ravnini,te neka su točke 1, 3 i 5 na p 1, a točke 4, 6 i 2 na p 2. Točke K = ,L = i M = su kolinearne.(slika 7.) Dokaz:ez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da su pravci paralelni.naime,ako se ti pravci sijeku onda na pravcu koji je okomit na ravninu odredenu pravcima u točki presjeka uzmeno bilo koju točku i iz nje projiciramo te pravce na ravninu koja je paralelna tom pravcu.točka presjeka se zbog paralelnosi okomice i ravnine(na koju se projicira) ne projicira na tu ravninu pa su projicirani pravci paralelni M K L 4 6 Slika 7. 2 Pri projiciranju se čuva incidencija i kolinearne točke se preslikavaju u kolinearne pa je tvrdnju dovoljno dokazati za paralelne pravce.dokažimo tvrdnju za paralelne 4 ( )jedan od posljednjih velikih starogrčkih matematičara,djelovao je u leksandriji. 5

6 pravce p 1 i p 2.Neka je N = Točkom N povucimo paralelu sa danim pravcima i označimo sa K 1 i L 1 sjecišta te paralele sa pravcima 4 5 i 2 3 (Slika 8.) M K L K 1 N L Slika 8. 2 Primjetimo da u ovim uvjetima vrijedi 1 N 5 N = , 1 M 3 6 M 4, 2 L 6 L 1 LN, 1 K 5 NKK 1, N 2 L 1, K 1 N 5, 2 6 N 1 5 N(K-K-K) pa imamo 1 M M 6 L 6 LN NK 1 K = L 1 N NK = 1 3 L 1 N NK = = N N = 1N 2 N N 5 5 N 2N N 1 = 1 Primjenimo sada Menelajev teorem na 1 6 N i točke K,L i M pa slijedi da su te točke kolinearne. Pokažimo još neke rezultate koji se mogu dokazati pomoću Menelajeva teorema. Primjer 1 (Simsonov teorem)zadan je trokut i točka P u ravnini.neka su X,Y i Z nožišta okomica iz točke P na pravce, i.točke X,Y i Z su kolinearne ako i samo ako točka P na tom trokutu opisanoj kružnici. Dokaz:Dokažimo ako je P na opisanoj kružnici trokuta da su točke X,Y i Z kolinearne.( Slika 10.) udući da je četverokut P tetivni vrijedi P Y = P X pa je P X P Y (K-K-K),i vrijedi X P X Y = P Y.Iz istog razloga je P Z = P X pa je P Z P X(K-K-K),pa vrijedi Z P Z X = P X.Slično se vidi da vrijedi P Z P Y pa je Y Z = P Y P Z.Množeći ove tri jednakosti i primjenjujući Menelajev teorem na trokut i točke X,Y i Z vidimo da točke X,Y i Z leže na jednom pravcu. Obrnuto,neka su točke X,Y i Z kolinearne.dokažimo da je točka P na opisanoj kružnici 6

7 trokuta (Slika 9.).Vrijedi Y Z = XY.Četverokuti PYZ i PXY su tetivni pa je Y Z = P Z i Y X = P X.Dalje je i četverokut PXZ tetivni,pa je kut XP Z=π β pa je i kut P =π β,a to povlači da je četverokut P tetivni,pa mu se može opisati kružnica.. Z Z P P Y Y X O X Slika 9. Slika 10. Pravac kroz točke X,Y i Z zove se Simsonov pravac trokuta pridružen točki P opisane kružnice trokuta. Sljedeći zadatak se pojavio na natjecanju učenika srednjih škola. Primjer 2 Na dijagonalama i E pravilnog šesterokuta DEF izabrane su unutrašnje točke M i N,takve da je M = N E = λ.ko se zna da su točke,m i N na istom pravcu,odrediti λ. (23.IMO 1982.,Madarska,vidi [2] ) Dokaz:Neka je P = E.Primjenimo Menelajev teorem na trokut P E i kolinearne točke,m i N (Slika 11.).Vrijedi, M P N D F Slika 11. E 7

8 Računajući faktore u (8) dobijemo M P MP E EN = 1. (8) N M MP = 1 λ λ 1 2 Uvrstimo (9),(10) i(11) u (8) dobijemo = 2 2λ 2λ 1 ; (9) P E = 1 4 ; (10) EN N = 1 λ λ. (11) 2 2λ 2λ λ = 1 λ,pa je λ = 3 3. Primjenom Menelajeva teorema mogu se riješiti i sljedeći zadaci koje prepuštamo čitatelju. Zadatak 1 Dokazati da tangente povučene u vrhovima trokuta na njemu opisanu kružnicu sijeku nasuprotne stranice trokuta u tri kolinearne točke. Zadatak 2 (Ptolomejev teorem)za četiri točke,, i D u ravnini vrijedi D + D D. Jednakost vrijedi ako i samo ako su,, i D uzastopne točke na nekoj kružnici ili pravcu.(koristite Simsonov teorem.) Zadatak 3 (evin teorem) Neka su točke 1, 1 i 1 na stranicama, i trokuta. Pravci 1, 1 i 1 prolaze jednom točkom ako i samo ako vrijedi = 1. Literatura [1] [2] PVKOVIĆ,VELJN,Elementarna matematika 1. i 2.,Školska knjiga Zagreb,1995. Ž.HNJŠ,Medunarodne matematičke olimpijade,element,zagreb,