Analitička geometrija Zadaci. 13. siječnja 2014.

Transcript

1 Analitička geometrija Zadaci 13. siječnja 2014.

2 2

3 Sadržaj 1 Poglavlje Ponavljanje. Uvod Koordinatizacija Skalarni produkt Vektorski produkt Mješoviti produkt Poglavlje 11 3 Poglavlje Kružnica Elipsa Hiperbola Parabola Opći oblik krivulje drugoga reda 19 5 Plohe 21 3

4 4 SADRŽAJ

5 Poglavlje 1 Vektori 1.1 Ponavljanje. Uvod 1.1 Nacrtajte a + 2 b za dane a i b. 1.2 Uvjerite se da vrijedi: (a) a ( b a) = 1 2 ( a + b), (b) a 1 2 ( a + b) = 1 2 ( a b), 1.3 Neka je ABCDEF pravilni šesterokut te AB = a, AD = b. Izrazite BF, BC i DC pomoću a i b. 1.4 Neka je ABCD paralelogram i neka su AC = a, BD = b. Izrazite vektore AB, BC, CD i DA pomoću vektora a i b. 1.5 Neka je ABC trokut, a A 1, B 1 i C 1 polovišta njegovih stranica. Neka je AB = a, AC = b. Izrazite vektore AA 1, BB 1 i CC 1 pomoću vektora a i b. 1.6 Neka je T težište trokuta ABC. Provjerite da je AT + BT + CT = Θ. 1.7 ABCA B C je trostrana prizma, a točke P, Q, R su redom središta stranica BCC B, ACC A i ABB A. Pomoću AB, AC i AA prikažite vektore B C, AQ i RP. 1.8 Neka je ABCDA B C D kvadar. Pokažite da vektori određeni njegovim dijagonalama AC, B D, CA i D B tvore (prostorni) četverokut. 1.9 Neka točke P, Q i R dijele redom stranice AB, BC i AC trokuta ABC u istom omjeru. Dokažite da se težišta trokuta ABC i P QR podudaraju Neka su K, L, M, N redom polovišta stranica AB, BC, CD i DE peterokuta ABCDE i neka su P i Q polovišta dužina KM i LN. Dokažite da su pravci AE i P Q paralelni i da je P Q = 1 4 AE. 5

6 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su i i j dva nekolinearna vektora i a = 2 i 3 j, b = i + 2 j, c = i j. Pokažite da su oni komplanarni Odredite t R tako da vektori a = t i + j + 4 k, b = i 2t j, c = 3t i 3 j + 4 k budu komplanarni za bilo koje nekomplanarne vektore i, j, k Dan je paralelepiped određen nekomplanarnim vektorima OA, OB i OC (kao na skici danoj na vježbama). Dokažite da polovišta P, Q, R, U, V, W bridova leže u istoj ravnini (v. skicu s vježbi) Dan je paralelogram ABCD i točka T na stranici AB takva da je AT = 1 AB. Neka je P presjek dijagonale AC i dužine T D. U kojem omjeru n točka P dijeli dijagonalu AC? 1.15 Sportski zrakoplov leti svojom vlastitom brzinom 150 km/h od sjevera prema jugu. Tada počne puhati vjetar sjeverozapadnog smjera brzinom 30 km/h. Nacrtajte vektor brzine zrakoplova i izračunajte njegov modul Četiri naboja raspoređena su u vrhovima kvadrata stranice duljine 2.5 cm.: C, C, C i C. Odredite vektor sile i njezin iznos (modul) u svakom od vrhova. (Napomena: sila je Coulombova, a iznos joj se računa po formulu F 1,2 = k q 1q 2 ; + strelice prema van, strelice prema unutra). r Tri jednaka naboja po 10 µc postavljena su u vrhove jednakostraničnoga trokuta. Gdje i koliki naboj treba postaviti da bi sve sile koje djeluju bile u ravnoteži? 1.18 Dani su vektori a = 3 m n, b = m 2 n, c = m + 7 n, p = a + b + c. Ako su m i n linearno nezavisni, odredite linearnu nezavisnost vektora a, b i p Neka je ABCDA B C D paralelepiped. Dokažite da pravac AC siječe trokut BDA u njegovom težištu U trapezu ABCD polovišta osnovica i sjecište krakova leže na istom pravcu. Dokažite! 1.21 Neka je ABCD paralelogram M i N polovišta od AB i CD, P sjecište od BN i CM te T sjecište od AP i BC. Odredite u kojem omjeru točka T dijeli BC Neka je ABC trokut i vektor AP određen linearnom kombinacijom AP = x AB + y AC. Uz koji uvjet na skalare x i y točka P leži na pravcu BC? 1.2 Koordinatizacija 1.23 Neka je ABCD trapez s osnovicama AB i CD takvima da je CD = 2 5 AB. Zapišite vektor CB u bazi { AB, AD}.

7 1.2. KOORDINATIZACIJA Neka je T težište trokuta ABC. Odredite koordinate vektora AB, BC, AC i AT u bazi { T B, T C} Dan je tetraedar OABC. U bazi { OA, OB, OC} odredite koordinate vektora DE i OT pri čemu su D i E redom polovišta bridova OA i BC, a T težište trokuta ABC Za koje vrijednosti parametra m vektori a = (1, 1, 1), b = (1, 4, m) i c = (2, m + 2, 6) čine bazu prostora V 3? 1.27 (a) Jesu li a = (2, 3, 1) i b = ( 1, 3 2, 1 2 ) kolinearni? (b) Jesu li a i b komplanarni? Obrazložite svoj odgovor. (c) Jesu li f = (1, 1, 0), g = (1, 1, 0) i h = (0, 2, 0) komplanarni? 1.28 Dani su vektori p = (t, 1, 4), q = (1, 2t, 0) i r = (3t, 3, 4). Odredite t R tako da r bude linearna kombinacija vektora p i q Prikažite vektor (3, 1 2, 3 ) kao linearnu kombinaciju vektora (1, 1, 1) i ( 2, 3, 1) Odredite a R tako da vektor ( 1, 1, 7) bude moguće prikazati kao linearnu kombinaciju vektora (1, 1, 1) i (a, 1, 2) Jesu li vektori (a) (2, 3), ( 4, 6) (b) (2, 3), ( 4, 6) (c) (2, 0), (0, 1) (d) (2, 3, 1), (4, 6, 2) (e) (2, 3, 0), (4, 0, 2) (f) ( 2, 3, 1), (4, 6, 2) (g) (1, 1, 1), (1, 0, 0) i (1, 1, 0) kolinearni? A linearno nezavisni? 1.32 Prethodni zadatak riješite pomoću determinanti U ovisnosti o parametrima m, n R ispitajte linearnu nezavisnost vektora (a) (1, m, 1), (m, 1, 1), (1, 1, 1) (b) (m, m, 2), (1, 1, 1), (2, 2, 1) (c) (1, m, 1), (n, 1, 1), (1, 1, 1)

8 8 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.3 Skalarni produkt 1.34 Izračunajte ( i j + k) (2 i 3 j k) ako je { i, j, k} ortonormirana baza Odredite skalarni produkt vektora a = 2 m n i b = m 2 n gdje je m = 2, n = 4 i ( m, n) = π Koliki je modul vektora a = p 2 q ako je p = 2, q = 3 i ( p, q) = π Dani su vrhovi A( 3, 2, 0), B(3, 3, 1), C(5, 0, 2) i D(d 1, d 2, d 3 ). Odredite kut među dijagonalama paralelograma Pomoću vektora dokažite jednakost (a) cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β (b) cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β 1.39 Dani su vektori u = (6, 1, 1), v = (0, 3, 1) i w = ( 2, 3, 5). Odredite λ R tako da vektori u + λ v i w budu okomiti Ako za točke A, B, C i D vrijedi AB 2 + CD 2 = AC 2 + BD 2, onda su BC i AD ortogonalni za B C i A B. Dokažite! 1.41 U pravokutnom trokutu duljine stranica a, b i c odnose se kao Dokažite da su dvije težišnice toga trokuta okomite Koji kut zatvaraju vektori a i b ako je a + b 2 a + b i a 2 b a + 3 b? 1.43 Dani su vrhovi trokuta A(1, 1, 1), B(2, 4, 3) i C(1, 0, 4). Koliko je dugačka visina na AB? 1.44 Neka su a, b i c ortogonalni nenul-vektori u V 3. POkažite da su oni linearno nezavisni Dokažite da se visine trokuta sijeku u jednoj točki Dan je trokut OAB takav da je OA = (1, 2, 1) i OB = ( 6, 3, 3). Odredite duljinu OC simetrale kuta pri vrhu O pri čemu je C točka na AB Neka je a = ( 2, 1, 1), b = (1, 5, 0) i c = (4, 4, 2). Odredite ortogonalnu projekciju vektora 3 a 2 b na vektor c Neka je a = (1, 3, 4), b = (3, 4, 2) i c = ( 1, 1, 4). Odredite ortogonalnu projekciju vektora b + c na vektor a Dan je trokut ABC i proizvoljan pravac p koji prolazi težištem trokuta. Ako su A, B i C ortogonalne projekcije vrhova trokuta na pravac p, dokažite da je AA + BB + CC = Za vektor a = (x, y, z) projekcije na koordinatne osi su vektori x i, y j i z k. Kolike kuteve vektor a zatvara s koordinatnim osima tj. vektorima i, j i k?

9 1.4. VEKTORSKI PRODUKT Odredite sve vektore koji s koordinatnim osima x i y zatvara redom kuteve mjere π 3 i 2π 3, a modul mu je 2. Koliki kut taj vektor zatvara s k? 1.52 Ravnina je razapeta vektorima a = (1, 2, 1) i b = (1, 1, 0). Odredite projekciju vektora x = (8, 4, 3) na tu ravninu Dani su vrhovi A(1, 2, 3), B(3, 2, 1) i C(1, 4, 1) trokuta ABC. Pokažite da je taj trokut jednakostraničan tako da pokažete da: (a) ima sve tri stranice jednake duljine, (b) ima dvije stranice jednake duljine i kut među njima je mjere 60, (c) ima dva kuta mjere Dan je trokut OAB takav da je OA = (1, 2, 1) i OB = ( 6, 3, 3). Odredite duljinu težišnice iz vrha O. 1.4 Vektorski produkt 1.55 Za a = (1, 1, 0) i b = ( 1, 2, 0), izračunajte a b, b a i 2 a 3 b Neka je ( i, j, k) standardna ortonormirana baza. Pojednostavnite sljedeće izraze (a) i ( j + k) j ( i + k) + k ( i + j + k), (b) 2 i ( j k) + 3 j ( i k) + 4 k ( i j) Za vektore a i b vrijedi a = 1, b = 2 i ( a, b) = 2π 3. Odredite a b i (2 a + b) ( a + 2 b) Ako su a i b linearno nezavisni, koristeći vektorski produkt odredite za koju će vrijednost parametra k vektori p = k a + 5 b i q = 3 a b biti kolinearni? 1.59 Izračunajte površinu paralelograma kojemu su točke A(1, 1, 0), B(4, 1, 0), C(5, 2, 0) i D(2, 2, 0) vrhovi Izračunajte površinu trokuta razapetog težišnicama danog trokuta (odredite omjer površina novog i danog trokuta) Odredite ortogonalnu projekciju vektora a = (3, 12, 4) na vektor b = (1, 0, 2) (1, 3, 4) Neka je S točka unutar trokuta ABC i neka su P 1, P 2 i P 3 površine trokuta SBC, SCA i SAB redom. Dokažite da je tada P 1 SA + P2 SB + P3 SC = 0.

10 10 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.5 Mješoviti produkt 1.63 Dokažite da plošne dijagonale koje izlaze iz jednog vrha paralelepipeda volumena V razapinju novi paralelepiped volumena 2V Odredite volumen pravilnog tetraedra duljine brida a Dokažite da je (a) ( a b) ( c d) = [( d a) b] c [( a b) c] d, (b) ( a b) ( b c) = [( a b) c] b.

11 Poglavlje 2 Analitička geometrija ravnine i prostora 2.1 Odredite udaljenost točaka (a) A(1, 0) i B(3, 7) (b) A(1, 1, 2) i B(0, 1, 3). 2.2 Odredite točku koja dijeli dužinu AB u omjeru 1 3 B( 2, 2, 2). ako je A(1, 7, 3) i 2.3 Odredite u kojem omjeru točka T dijeli dužinu AB ako je A(3, 5) i B( 9, 1) te (a) T ( 1, 3), (b) T (9, 8), (c) T ( 7, 1). 2.4 Napišite jednadžbu pravca kroz točke (a) A(1, 2, 1) i B(4, 5, 2), (b) A(1, 1, 1) i B(1, 0, 1). 2.5 Napišite jednadžbu ravnine kroz točke A(1, 0, 0), B(1, 1, 1) i C(0, 0, 1). 2.6 Ravnina je zadana parametarski Napišite joj implicitnu jednadžbu. 2.7 Odredite sjecište pravca x Odredite sjecište pravaca x x = 1 + t + s y = t s z = 2 t + 2s = y 0 1. = z = y 1 = z i ravnine x y + 4z 5 = 0. i x 1 = y = z 2 4.

12 12 POGLAVLJE 2. POGLAVLJE 2.9 Odredite D R tako da pravac siječe os z. { x y + z + 1 = 0 2x 3y z + D = Odredite λ R tako da se ravnine π 1... x y + z = 0, π x y z + 2 = 0 i π x y 2z + λ = 0 sijeku po istom pravcu Na pravcu x = y = z 3 odredite sve točke koje s točkama A( 2, 1, 1) 1 i B(0, 7, 4) čine pravokutan trokut Odredite jednadžbu pravca koji prolazi ishodištem i siječe pravce x = y 3 = z i x = y 12 1 = z Napiši kanonski oblik jednadžbe pravca koji je paralelan s ravninom x + 2y + 3z = 8, leži u ravnini 2x y + z = 3 i prolazi točkom (1, 2, 3) Odredite pravac p koji je paralelan s ravninama π x + 12y 3z + 5 = 0, π x 4y + 9z + 7 = 0 i siječe pravce q 1... x = y 3 4 = z + 1 3, q 2... x 3 2 = y + 1 = z Odredite točke jednako udaljene od ravnina π x 12y + 15z 9 = 0 i π x + 9y 20z 19 = Odredite jednadžbu ravnine paralelne s vektorom s = (2, 1, 1) koja os x siječe u točki x = 3, a os y u točki y = Odredite najkraću udaljenost točke T (2, 3, 1) od pravca x = y Odredite udaljenost dva paralelna pravca p 1... x 1 2 = y = z 3 1 = z 4 2. i p 2... x 2 = y 1 2 = z Odredite udaljenost između pravaca p 1... x = y 3 4 = z x 3, p 2 2 = y + 1 = z Odredite zajedničku normalu dvaju pravaca x 1 = y 1 = z 0, x 1 = y 2 = z Dan je pravac p... 3x 2y + 5 = 0 i dvije točke A(1, 4) i B(5, 2). Odredite udaljenost točke B od pravca p, kut koji zatvaraju pravci AB i p te sjecište tih dvaju pravaca.

13 Odredite ortogonalnu projekciju točke T (2, 3, 1) na ravninu π... x+y z 7 = 0. Odredite i točku simetričnu točku T obzirom na ravninu π Nađite ortogonalnu projekciju točke T (2, 3, 1) na pravac p... x = t 2 y = 2t 1 z = 2t Odredite jednadžbu ravnine koja sadrži os x i koja s ravninom y = x zatvara kut od Odredite jednadžbe simetrala kutova koje zatvaraju pravci p... x = y 14 = z , x 3 = y = z Dana je ravnina π... x + y z + 1 = 0 i pravac p... x 1 0 (a) Odredite njihovo sjecište i kut (π, p). = y 2 = z (b) Odredite jednadžbu ravnine koja sadrži pravac p, a okomita je na ravninu π. (c) Odredite jednadžbu projekcije pravca p na ravninu π Odredite ortogonalnu projekciju pravca na ravninu π... 2x + 2y + z = 5. p... { x y + z = 1 x + y + z = 3

14 14 POGLAVLJE 2. POGLAVLJE

15 Poglavlje 3 Krivulje drugog reda 3.1 Kružnica 3.1 Izvedite uvjet dodira pravca y = kx + l i kružnice K(O, r). 3.2 Odredite jednadžbe tangenata povučenih na kružnicu (x 5) 2 + y 2 = 9 iz ishodišta. 3.3 Kut između dviju kružnica je kut kojeg zatvaraju tangente kroz sjecište tih kružnica. Pod kojim se kutem sijeku kružnice x 2 + y 2 4x 60 = 0 i x 2 + y 2 20x + 36 = 0? 3.4 Napišite jednadžbu kružnice koja sadrži ishodište i točke A(2, 1), B( 1, 2). 3.5 Odredite jednadžbu kružnice sa središtem u S(1, 3) koja prolazi kroz M(3, 5). 3.6 Odredite nužne i dovoljne uvjete da kružnica x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 (a) dodiruje os x (b) dodiruje os y (c) dodiruje obje koordinatne osi 3.7 Odredite jednadžbe svih kružnica kojima je središte na osi x, a dodiruju os y. 3.8 Odredite jednadžbu kružnice koja dodiruje pravce y = 2x + 1, y = 2x + 2 i sadrži ishodište. 3.9 Odredite geometrijsko mjesto središta svih kružnica polumjera R koje sijeku kružnicu k s jednadžbom (x p) 2 + (y q) 2 = r 2 pod pravim kutem Zadana je kružnica x 2 + y 2 = 4. Iz točke A( 2, 0) povučena je tetiva AB i produžena do točke M tako da je BM = AB. Odredite geometrijsko mjesto točaka M koje se dobiju kada se B giba po danoj kružnici Dokažite da polare točaka pravca x y = 0 s obzirom na kružnicu x 2 + y 2 6x + 4y + 4 = 0 prolaze istom točkom. Koja je to točka? 15

16 16 POGLAVLJE 3. POGLAVLJE 3.12 Odredite geometrijsko mjesto točaka iz kojih se mogu povući tangente jednakih duljina (tj. jednakih udaljenosti od te točke do dirališta) na kružnice x 2 + y 2 = 20 i (x + 5) 2 + y 2 = Elipsa 3.13 Napišite centralnu jednadžbu elipse koja prolazi točkama A(6, 1) i B( 2, 3) Skicirajte skup točaka u ravnini koje zadovoljavaju uvjete 9x y < 0 3x + 5y 15 < 0 y + 2 > U kojem su odnosu pravac 2x y 3 = 0 i elipsa x y2 9 = 1? 3.16 Za koji k R pravac y = x + k dodiruje elipsu x 2 + 4y 2 = 20? 3.17 Odredite točku na elipsi x 2 + 4y 2 = 20 najbližu pravcu x + y = Odredite međusobnu udaljenost dvaju pravaca paralelnih s pravcem 4x 2y + 13 = 0 koji dodiruju elipsu x y2 24 = Odredite sve točke elipse 9x y 2 = 225 koje su 4 puta više udaljene od lijevog nego od desnog fokusa Gdje se nalaze točke ravnine iz kojih se elipsa b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 vidi pod pravim kutem? 3.21 Odredite sve zajedničke tangente elipse x 2 +4y 2 = 4 i kružnice (x 1) 2 +y 2 = Odredite jednadžbu kružnice koja u točki (2, 3) dodiruje elipsu 2x 2 + y 2 = 17 i dodiruje pravac y = Neka su F 1 i F 2 fokusi, A i B glavna tjemena elipse takva da je F 1 bliži A te P točka na elipsi ( A, B). Nadalje, neka kružnica upisana trokutu F 1 F 2 P dodiruje AB u točki Q. Dokažite da je AQ = F 1 P, BQ = F 2 P Dana je elipsa b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2. Odredite produkt udaljenosti fokusa od tangente i pokažite da je isti za sve tangente Neka je D točka na elipsi x y2 = 1. Tangenta elipse s diralištem u točki 9 D siječe os y u točki T, a normala kroz točku D siječe os y u točki N. Pokažite da kružnica kroz točke T, D i N prolazi i fokusima elipse.

17 3.3. HIPERBOLA Hiperbola 3.26 Odredite fokuse, asimptote, numerički i linearni ekscentricitet hiperbole x 2 4y 2 = Odredite kanonski oblike jednadžbe hiperbole koja prolazi kroz (6, 3) ako njene asimptote zatvaraju kut od Za koje vrijednosti parametra m pravac 5x 2y+2m = 0 siječe/dodiruje/nema zajedničke točke s hiperbolom x2 9 y2 36 = Napišite jednadžbu hiperbole kojoj je pravac x y 8 = 0 tangenta, a pravac 3x 5y = 0 asimptota Površina trokuta kojeg zatvaraju asimptote hiperbole i bilo koja njena tangenta je konstantna th. ne ovisi o odabranoj tangeni. Dokažite! 3.31 Odredite geometrijsko mjesto polovišta svih dužina AB ako su A i B točke u kojima proizvoljan pravac kroz ishodište siječe pravce x + y 1 = 0 i x y + 1 = 0. Koja je to krivulja? 3.4 Parabola 3.32 Odredite duljinu tetive koju na paraboli y 2 = 4x odsijeca pravac paralelan s 2x y + 7 = 0 koji prolazi točkom (5, 2) Odredite tangentu parabole y 2 = 8x koja siječe os x pod kutem od 45. Koja je točka diralište? 3.34 Odredite točku na paraboli y 2 = 9 x u kojoj je normala paralelna s pravcem 2 8x 3y + 10 = Na paraboli y 2 = 3x odredite točku najbližu pravcu 3x 4y + 9 = Odredite jednadžbu kružnice koja u točkama A = (8, 8) i B = (8, 8) siječe parabolu y 2 = 8x pod pravim kutem Odredite kut pod kojim se iz točke ( 6, 2) vidi parabola y 2 = 2x Neka je O tjeme parabole, a OA i OB dvije njene međusobno okomite tetive. Pokažite da sve tetive AB sijeku os x u istoj točki.

18 18 POGLAVLJE 3. POGLAVLJE

19 Poglavlje 4 Opći oblik krivulje drugoga reda 4.1 Za koje vrijednosti od B je x 2 +2Bxy+y 2 = 1 elipsa/hiperbola/unija dvaju pravaca/kružnica? 4.2 Napišite jednadžbu hiperbole kojoj su fokusi u (1, 1), (1, 11), a tjemena (1, 3) i (1, 9). 4.3 Napišite jednadžbu elipse s fokusima ( 2, 7) i ( 2, 1) i sporednim tjemenom na pravcu 3x y = Elipsu x 2 + 2y 2 = 2 zarotirajte oko središta tako da joj glavna os bude na pravcu y = 4 x. Odredite jednadžbu te elipse Elipsu 41x 2 24xy+34y 2 = 50 translatirajte tako da joj središte bude točka ( 1, 2). 19

20 20 POGLAVLJE 4. OPĆI OBLIK KRIVULJE DRUGOGA REDA

21 Poglavlje 5 Plohe 5.1 Što predstavljaju jednadžbe: (a) x 2y + z 1 = 0, (b) x = 3, (c) x 2 + y 2 + z 2 = 4, (d) x 2 + y 2 + z 2 2x + 4y = 0, (e) 2x 2 + y 2 + 3z 2 = 7, (f) 2x 2 + y 2 + 3z 2 = 0, (g) x 2 + 4z 2 = 0, (h) x(y + 2) = 0, (i) x 2 + y 2 = 1, (j) y 2 = 2x. 5.2 Odredite jednadžbu sfere koja dodiruje pravac x 1 3 točki (1, 4, 6), a pravac x 4 2 = y = z 2 6 = y u točki (4, 3, 2). = z Odredite točku na sferi (x 1) 2 + (y + 2) 2 + (z 3) 2 = 25 koja je najbliža ravnini 3x 4z + 59 = 0. Kolika je udaljenost? 5.4 Za koje a R sfera (x 1) 2 + (y 2) 2 + (z 3) 2 = 75 dodiruje ravninu x + 7y + 5z = a? 5.5 Odredite jednadžbu sfere upisane u tetraedar određen ravninama x = 0, y = 0, z = 0, 3x 2y + 6z 18 = Odredite polumjer i središte sfere (a) x 2 + y 2 + z 2 3x + 5y + 4z = 0 (b) x 2 + y 2 + z 2 = 2ay 5.7 Odredite jednadžbu sfere koja prolazi točkama (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 5, 0) i (0, 0, 3). 21 u

22 22 POGLAVLJE 5. PLOHE 5.8 Odredite jednadžbu sfere koja prolazi točkama (3, 1, 3), ( 2, 4, 1) i ( 5, 0, 0), a središte joj leži u ravnini 2x + y z + 3 = Opišite krivulju danu jednadžbama (a) x 5 = 0, z + 2 = 0, (b) x 2 + y 2 + z 2 = 49, y = 0, (c) x 2 + y 2 + z 2 = 20, z = Odredite središte i polumjer kružnice { (x 4)2 + (y 7) 2 + (z + 1) 2 = 36 3x + y z 9 = Pokažite da je { x2 + y 2 + z 2 = 40 x 2 + y 2 + z x 16z = 0 kružnica. Odredite joj središte i polumjer.