Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova
|
|
- Ἄμπελιος Ράγκος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna svojstva zbrajanja ordinalnih brojeva. Sada ćemo definirati množenje i potenciranje ordinalnih brojeva. Nakon toga ćemo definirati kardinalne brojeve. Na samom kraju predavanja ćemo navesti sve aksiome Zermelo-Fraenkelove teorije skupova. U sljedećoj propoziciji ističemo osnovna svojstva zbrajanja ordinalnih brojeva. Sva svojstva se dokazuju primjenom principa transfinitne indukcije i posljednje leme s prošlog predavanja. Propozicija 1 (svojstva zbrajanja) Neka su α, β i γ proizvoljni ordinalni brojevi. Tada vrijedi: (1) 0 + α = α (2) α + (β + γ) = (α + β) + γ (3) Ako je α + β = α + γ tada je β = γ Dokaz. Za ilustraciju dokazujemo tvrdnju (2). Dokaz provodimo transfinitnom indukcijom po γ. Pretpostavimo da je γ ordinalni broj koji ima svojstvo da za sve δ < γ, te sve ordinalne brojeve α i β vrijedi (α+β)+δ = α + (β + δ). Promotrimo prvo slučaj kada je ordinalni broj γ prve vrste, tj. postoji ordinalni broj δ tako da vrijedi γ = δ + 1. Tada imamo: α + (β + γ) = α + (β + (δ + 1)) = = (po def. zbrajanja) = α + ((β + δ) + 1) = (po def. zbrajanja) = (α + (β + δ)) + 1 = (po pret. indukcije) = ((α + β) + δ) + 1 = (po def. zbrajanja) = (α + β) + (δ + 1) = (α + β) + γ Neka je sada γ granični ordinalni broj takav da za sve ordinalne brojeve x < γ, te sve ordinalne brojeve α i β vrijedi tvrdnja. Tada redom imamo: 69
2 α + (β + γ) = α + (β + sup{x : x < γ}) = (po def. zbrajanja) = α + sup{β + x : x < γ} = (po def. zbrajanja) = sup{α + (β + x) : x < γ} = (pret. indukcije) = sup{(α + β) + x : x < γ} = (po def. zbrajanja) = (α + β) + sup{x : x < γ} = (α + β) + γ Napomena 1 Zbrajanje ordinalnih brojeva općenito nije komutativno. Npr. 1+ω = sup{1+n : n ω} = ω, ali ω + 1 ω, jer znamo od prošli puta da vrijedi ω < ω + 1. Općenito iz β + α = γ + α ne mora slijediti β = γ. (npr. 1 + ω = 2 + ω) Teorem 1 (Teorem o oduzimanju) Neka su α i β ordinalni brojevi takvi da je β α. Tada postoji jedinstveni ordinalni broj γ takav da vrijedi α = β + γ. Dokaz. Označimo A = {x : β + x α}. Neka je γ = sup A. Tada je β + γ α (Zašto?). Pretpostavimo da je β + γ < α. Tada iz propozicije s prošlog predavanja slijedi (β + γ) + 1 α, pa imamo α (β + γ) + 1 = β + (γ + 1), iz čega slijedi da je γ + 1 A. No, to je nemoguće (jer bi tada imali γ + 1 sup A = γ). Jedinstvenost slijedi iz propozicije 1 (3). Množenje ordinalnih brojeva Definicija 1 Primjenom teorema rekurzije slijedi da je s jednakostima koje slijede definirana jedinstvena funkcija : On On On: α 0 = 0 α (β + 1) = α β + α α β = sup{α γ : γ < β}, Funkciju nazivamo množenje ordinalnih brojeva. ako je β granični ordinalni broj. Lema 1 Neka su (A, <) i (B, < ) dobro uredeni skupovi. Na Kartezijevom produktu A B definiramo binarnu relaciju na sljedeći način: b 1 < b 2 (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) ili b 1 = b 2 i a 1 < a 2 Lako je provjeriti da je (A B, ) dobro uredeni skup. Tada je o(a B) = α β. 70
3 Propozicija 2 (svojstva množenja) Neka su α, β i γ proizvoljni ordinalni brojevi. Tada vrijedi: (1) α 1 = 1 α = α (2) α (β + γ) = α β + α γ (3) α (β γ) = (α β) γ (4) Ako α β tada α γ β γ Napomena 2 Množenje ordinalnih brojeva općenito nije komutativno. Npr. 2 ω = (iz def.) = sup{2 n : n ω} = ω, a po drugoj strani ω 2 = (iz def.) = ω (1 + 1) = ω + ω ω, jer je očito (!) ω + ω > ω + 1 > ω. Općenito ne vrijedi druga distributivnost, tj. ne mora vrijediti (α + β) γ = α γ + β γ. Npr. ω = 2 ω = (1 + 1) ω ω + ω. Teorem 2 (Teorem o dijeljenju s ostatkom) Neka su α i β ordinalni brojevi, te neka je β > 0. Tada postoje jedinstveni ordinalni brojevi δ ρ takvi da je α = β δ + ρ, i ρ < β. i Dokaz. Ako je α < β tada možemo uzeti δ = 0 i ρ = α. Ako je α = β tada možemo uzeti da je δ = 1 i ρ = 0. Pretpostavimo sada da je α > β. Neka je δ = sup{x : β x α}. Tada je β δ α. Iz teorema o oduzimanju slijedi da postoji ordinalni broj ρ takav da je α = β δ + ρ. Pretpostavimo da vrijedi β ρ. Tada iz teorema o oduzimanju slijedi da postoji ordinalni broj γ takav da je ρ = β + γ. Sada iz toga slijedi α = β δ + ρ = β δ + (β + γ) = β (δ + 1) + γ, pa δ nije supremum skupa {x : β x α}, što je suprotno pretpostavci. To znači da mora vrijediti ρ < β. Preostalo je dokazati jedinstvenost. Neka je α = β δ +ρ, gdje je ρ < β. Pretpostavimo da δ nije supremum skupa {x : β x α}. Tada je očito α > β δ, a onda je α β (δ + 1). Sada imamo: α β (δ + 1) = β δ + β > β δ + ρ = α, što je nemoguće. Time je dokazana jedinstvenost ordinalnog broja δ. Jedinstvenost ordinalnog broja ρ slijedi iz prije dokazane propozicije. Potenciranje ordinalnih brojeva Definicija 2 Primjenom teorema rekurzije slijedi da je sa jednakostima koje slijede definirana jedinstvena funkcija na On On : α 0 = 1 α β+1 = α β α α β = sup{α γ : γ < β}, ako je β granični ordinalni broj. 71
4 U sljedećoj propoziciji ističemo osnovna svojstva potenciranja ordinalnih brojeva. Dokazi se provode transfinitnom indukcijom po krajnjem desnom ordinalnom broju. Propozicija 3 (svojstva potenciranja) Neka su α, β i γ proizvoljni ordinalni brojevi. Tada vrijedi: (1) α β α γ = α β+γ (2) (α β ) γ = α β γ (3) Ako je α > 1 i β < γ tada je α β < α γ Napomena 3 Općenito ne vrijedi α β γ β = (α γ) β. To ilustriramo sljedećim primjerom: (ω 2) ω = sup{(ω 2) n : n ω} = sup{(ω 2)... (ω 2) : n ω} = sup{ω (2 ω)... (2 ω) 2 : n ω} = sup{ω n 2 : n ω} = ω ω ω ω 2 ω = sup{ω ω 2 n : n ω} = ω ω ω = ω ω+1 Teorem 3 (logaritamski algoritam) Neka su α 0 i β > 1 ordinalni brojevi. Tada postoje jedinstveni ordinalni brojevi γ, δ i ρ takvi da je 0 < δ < β i ρ < β γ, te vrijedi α = β γ δ + ρ. Dokaz. Neka je γ = sup{x : β x α}. Primjenom teorema o dijeljenju s ostatkom slijedi da postoje jedinstveni ordinalni broejvi δ i ρ, takvi da je ρ < β γ i α = β γ δ + ρ. Dokažimo da vrijedi 0 < δ < β. Ako bi vrijedilo δ = 0 tada bi imali ρ = α β γ > ρ, što je kontradikcija. Pretpostavimo da je δ β. Tada imamo: što je kontradikcija. α < β γ+1 = β γ β β γ δ β γ δ + ρ = α, Dokažimo sada jedinstvenost. {x : β x α}. Tada imamo: Neka vrijedi α = β γ δ + ρ, i pretpostavimo da γ nije supremum skupa α β γ+1 = β γ β β γ (δ + 1) = β γ δ + β γ > β γ δ + ρ = α, što je kontradikcija. Sada jedinstvenost ordinalnih brojeva δ i ρ slijedi iz teorema o dijeljenju. 72
5 Teorem 4 (teorem o normalnoj formi) Neka su α i β ordinalni brojevi i β > 1. Tada postoji jedinstveni prirodan broj n i konačni nizovi ordinalnih brojeva γ 0,..., γ n i δ 0,..., δ n tako da vrijedi: γ 0 > γ 1 >... > γ n, 0 < δ i < β, za sve i n, α = β γ 0 δ 0 + β γ 1 δ β γn δ n Dokaz. Primjenom teorema o logaritamskom algoritmu slijedi da postoje jedinstveni ordinalni brojevi γ 0, δ 0 i ρ 0 tako da vrijedi 0 < δ 0 < β, ρ < β γ 0 i α = β γ 0 δ 0 + ρ 0. Ako je ρ = 0 tada je teorem dokazan. Ako pak je ρ > 0 tada na njega primjenimo teorem o logaritamskom algoritmu. Važno je primijetiti da taj postupak mora stati u koančno mnogo koraka. Inače bi postojao beskonačan niz ordinalnih brojeva (γ k ) tako da za svaki k vrijedi γ k > γ k+1. To znači da taj niz ne bi imao najmanji element. No, to je nemoguće zbog aksioma dobre utemeljenosti. Jedinstvenost slijedi iz teorema o logaritamskom algoritmu. Napomena 4 Točan naziv prethodnog teorema je teorem o normalnoj formi po bazi β. Ako je β = 2 tada govorimo o diadskoj normalnoj formi, a ako pak je β = ω tada govorimo o Cantorovoj normalnoj formi. Dakle, za svaki ordinalni broj α postoji jedinstveni prirodan broj n i konačni nizovi ordinalnih brojeva γ 0 > γ 1 >... γ n i m 0,..., m n, gdje su svi m i konačni ordinalni brojevi, te vrijedi α = ω γ 0 m 0 + ω γ 1 m ω γ n m n. 73
6 2.5. Kardinalni brojevi Podsjetimo se da smo na samom početku kolegija u naivnoj teorij skupova spominjali pojam kardinalnosti (kao oznaku svojstva), tj. rekli smo da skupovi A i B imaju istu kardinalnost ako su ekvipotentni. No, nismo definirali što je zapravo kardinalni broj. Definicija 3 Kardinalni broj λ je ordinalni broj koji ima svojstvo da niti za jedan α < λ ne postoji bijekcija izmedu λ i α. U sljedećem teoremu navodimo primjere kardinalnih brojeva. Teorem 5 Vrijede sljedeće tvrdnje: a) Svaki konačni ordinalni broj je kardinalni broj; b) Skup ω je kardinalni broj; c) Svaki beskonačni kardinalni broj je granični ordinalni broj. (Svaki granični ordinalni broj nije kardinalni broj. Npr. ω + ω) Neka je A proizvoljan skup. Iz Zermelovog teorema o dobrom uredenju (navest ćemo ga na sljedećem predavanju) slijedi da na skupu A postoji dobar uredaj. Iz teorema enumeracije tada slijedi da postoji ordinalni broj α takav da vrijedi A α. To znači da je skup {β : β On A β} neprazan. Bili smo dokazali da svaki skup ordinalnih brojeva ima najmanji element. Ova razmatranja opravdavaju sljedeću definiciju. Definicija 4 Kardinalni broj proizvoljnog skupa A definiramo kao najmanji ordinalni broj λ za koji vrijedi A λ. Primijetimo da za svaki skup postoji jedinstveni ordinalni broj. Iz tog razloga možemo uvesti oznaku k(a) za kardinalni broj skupa A. Uočite da je za sve skupove A ordinalni broj k(a) zapravo kardinalni broj. Ako je λ kardinalni broj tada je očito k(λ) = λ. Očito je k(ω) = ω, te k(ω + 1) = ω i k(ω ω ) = ω. Iz definicije očito slijedi da ekvipotentni skupovi imaju jednak kardinalni broj. Ta činjenica i sljedeća definicija operacija na kardinalnim brojevima omogućavaju nam da ovdje možemo samo istaknuti svojstva operacija na kardinalnim brojevima bez da ih moramo dokazivati. Dokazi tih svojstava bili bi sasvim isti kao u naivnoj teoriji skupova. 74
7 Definicija 5 Neka su λ i µ kardinalni brojevi. Tada definiramo: a) λ + µ = k(λ {0} µ {1}) b) λ µ = k(λ µ) c) λ µ = k({f f : µ λ}) Važna napomena: Važno je spomenuti da operacije zbrajanja, množenja i potenciranja za ordinalne i kardinalne brojeve isto označavamo. No, to nisu iste operacije. Npr. ako ω i 1 zbrajamo kao ordinalne brojeve tada je to ω +1 (što je različito od ω). No, ako ω i 1 zbrajamo kao kardinalne brojeve tada je to ω (jer je ω {0} 1 {1} ω. Sada samo ističemo svojstva operacija na kardinalnim brojevima. Dokazi tih svojstava, kao što smo već bili napomenuli, su sasvim isti kao u naivnoj teoriji, pa ih ovdje nećemo ponavljati. Teorem 6 Neka su λ, µ i ν kardinalni brojevi. Tada vrijedi: a) λ + (µ + ν) = (λ + µ) + ν b) λ + µ = µ + λ c) λ (µ ν) = (λ µ) ν d) λ µ = µ λ e) λ (µ + ν) = λ µ + λ ν f) λ ν µ ν = (λ µ) ν g) λ µ+ν = λ µ λ ν h) (λ µ ) ν = λ µ ν 75
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Διαβάστε περισσότεραKONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem
Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραTeorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.
Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραREKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Brigita Švec REKURZIVNE FUNKCIJE Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, Rujan, 2014. Ovaj diplomski
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella
Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραSveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odjel. Mladen Vuković PRIMIJENJENA LOGIKA. predavanja poslijediplomskog kolegija. Zagreb, 2011.
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odjel Mladen Vuković PRIMIJENJENA LOGIKA predavanja poslijediplomskog kolegija Zagreb, 2011. Sadržaj 1 Teorija modela 3 1.1 Osnovni pojmovi i oznake.....................
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραSEMANTIKE LOGIKA DOKAZIVOSTI I INTERPRETABILNOSTI predavanja
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Tin Perkov, Mladen Vuković SEMANTIKE LOGIKA DOKAZIVOSTI I INTERPRETABILNOSTI predavanja Zagreb, 2017. Sadržaj 1 Uvod 1 1.1 Potpunost logike sudova.........................
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet
Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih
Διαβάστε περισσότεραMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,
OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE Boris Guljaš predavanja Zagreb, 3.2.2014. ii Posljednji ispravak: utorak, 18. travanj 2017. Sadržaj 1 Skupovi N, Z, Q, R, C, R n 1 1.1 Skupovi N, Z, Q, R........................
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραDimenzija vektorskog prostora
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Marija Delić Dimenzija vektorskog prostora -master rad- Mentor: Akademik Prof. dr Stevan Pilipović Novi Sad,
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότερα1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima
KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz
Διαβάστε περισσότερα10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku
10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo
1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo 1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo U predavanju se osvrćemo na osnovne principe kombinatorike i njihovu primenu na rešavanje elementarnih kombinatornih problema.
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo
FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192
MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj
Διαβάστε περισσότεραNeka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραAksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.
Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότερα1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Διαβάστε περισσότεραKardinalni brojevi i Lebegova mera
Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://wwwpmfniacyu/mii Matematika i informatika 1 (1-2) (2008), 41-50 Kardinalni brojevi i Lebegova mera Dragan S Dor dević U ovom radu prikazujemo
Διαβάστε περισσότεραPredavanje 7. Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine. Dinko Osmanković
Predavanje 7 Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine Dinko Osmanković Kurs: Matematička logika i teorija izračunljivosti Sadržaj predavanja 1 Prirodni
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραProsti brojevi. Uvod
MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότερα1. Skup kompleksnih brojeva
1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani
Διαβάστε περισσότερα1. Skupovi Algebra skupova
1. Skupovi 1.1. Algebra skupova Temeljne definicije i oznake. Pod pojmom skupa razumijevamo bilo koju množinu elemenata. Npr.: (a) skup svih prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,...} ; (b) skup svih cijelih
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST 1. kolokvij studenog 2013.
Zadatak 1 (10 bodova (a (5 bodova Iskažite i dokažite teorem o strukturi vjerojatnosti na partitivnom skupu prebrojivog skupa. Zašto u slučaju prebrojivog skupa možemo promatrati samo vjerojatnosti definirane
Διαβάστε περισσότεραTOPOLOŠKA POTPUNOST LOGIKA DOKAZIVOSTI
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Luka Mikec TOPOLOŠKA POTPUNOST LOGIKA DOKAZIVOSTI Diplomski rad Voditelji rada: izv. prof. dr. sc. Mladen Vuković doc. dr. sc.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα1. Topologija na euklidskom prostoru R n
1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα2. Konvergencija nizova
6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραLinearna uređenja i GO prostori
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Milijana Milovanović Linearna uređenja i GO prostori -Master rad- Mentor: dr Aleksandar Pavlović Novi Sad, 2015.
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραUVOD U MATEMATIKU DIJANA ILIŠEVIĆ I GORAN MUIĆ
UVOD U MATEMATIKU DIJANA ILIŠEVIĆ I GORAN MUIĆ Sadržaj 1. Osnove logike predikata i sudova 2 2. Skupovi 11 3. Relacije 20 4. Funkcije 28 5. Neke elementarne funkcije; jednadžbe i nejednadžbe (prvi dio)
Διαβάστε περισσότεραMODALNA POTPUNOST LOGIKA INTERPRETABILNOSTI
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Sebastijan Horvat MODALNA POTPUNOST LOGIKA INTERPRETABILNOSTI Diplomski rad Voditelji rada: izv. prof. dr. sc. Mladen Vuković
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα