2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =

Transcript

1 Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo tri uzastopna parna roja ovako zapisati: Najveći roj je hipotenuza pravokutnog trokuta: Iz itagorinog poučka slijedi: n n n + a = n = n c = n + a + = c => (n ) + (n) = (n + ) => 4n 8n n = 4n + 8n + 4 => => 4n 6n = / : 4 => n 4n = => n (n 4) = => n = n = 4 Stranice pravokutnog trokuta su: a = 4 = 6 = 4 = 8 c = 4 + = inačica Jednostavnije je iskoristiti činjenicu da parni rojevi rastu za Stavimo da je a = = c = + a + = c => ( ) + = ( + ) => = => => 8 = => ( 8) = => = 8 Stranice pravokutnog trokuta su: a = 8 = 6 = 8 c = 8 + = Vježa Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna prirodna roja Rezultat: 4 5 Zadatak (Goga ekonomska škola) Neka su trokuti i slični Tada je omjer polumjera kružnica upisanih trokutima jednak koeficijentu sličnostih tih trokuta Dokažite! Rješenje Za dva trokuta i kažemo da su slični ako su im odgovarajuće (homologne) stranice proporcionalne tj ako vrijedi: a = = c = k a c Važno je zapamtiti da za površine vrijedi sljedeći omjer: k = ko se u trokut upiše kružnica polumjera r tada se površina trokuta može izračunati pomoću formule: gdje je s poluopseg trokuta: = r s a + + c s = I za poluopsege trokuta i također vrijedi omjer: s k s =

2 udući da su u oa trokuta i upisane kružnice površine trokuta mogu se izraziti na ovaj način: = r s = r s Iz oje formule izračunamo polumjere: r s = r = s Konačno napišemo omjer polumjera upisanih kružnica: r s s s k s k = = = = = = k r s s k s k s Vježa Neka su trokuti i slični Tada je omjer opsega trokuta jednak koeficijentu sličnostih tih trokuta Dokažite! Rezultat: : = k Zadatak (Goga ekonomska škola ) Duljine kateta pravokutnog trokuta jednake su 5 cm i cm U polovištu hipotenuze podignuta je okomica na hipotenuzu Kolika je duljina dijela te okomice koja je unutar trokuta? Rješenje a = = cm = = 5 cm c = =? M =? M α α β Hipotenuzu pravokutnog trokuta izračunamo pomoću itagorinog poučka: c = a + => c = 5 + => c = = 69 => c = cm udući da je točka polovište hipotenuze vrijedi: = cm Trokuti i N su slični jer imaju iste kutove dgovarajuće (homologne) stranice su im proporcionalne Možemo pisati sljedeći razmjer između njihovih stranica: : = M : = M M = = = = 4 Vježa Duljine kateta pravokutnog trokuta jednake su cm i 4 cm U polovištu hipotenuze podignuta je okomica na hipotenuzu Kolika je duljina dijela te okomice koji je unutar trokuta? Rezultat: 5 cm 8

3 Zadatak 4 (Klarisa gimnazija) Zadan je trokut tako da je = cm α = 6 β = 45 dredite duljine dviju stranica ovog trokuta Rješenje 4 udući da su zadani kutovi α i β treći kut γ lako se izračuna: α + β + γ = 8 => γ = 8 (α + β) => γ = 8 ( ) => γ = 8 5 => γ = 75 odsjetimo se poučka o sinusima (sinusovog poučka) U trokutu vrijedi pri čemu je R polumjer opisane kružnice tog trokuta a c = = = R sinα sin β sin γ udući da je zadana duljina stranice i kutovi α i β možemo napisati sljedeći sinusov poučak a = sinα sin β Sada se lako izračuna duljina stranice a a sinα sin 6 = a sin β = sinα a = = 47 sin sin sin sin 45 cm = cm α β β Duljinu stranice c možemo doiti na dva načina inačica onovno ćemo uporaiti sinusov poučak: c sin γ sin 75 = c sin β = sin γ c = = 64 sin sin sin sin 45 cm = cm β γ β inačica udući da su poznate duljine dviju stranica a i i kut među njima γ duljinu treće stranice izračunat ćemo pomoću kosinusovog poučka odsjetimo se kako glasi kosinusov poučak (poučak o kosinusu) U trokutu vrijede ove jednakosti Sada dalje računamo: a = + c c cos α = a + c ac cos β c = a + a cos γ c = a + a cos γ = (47) + 47 cos 75 = c = 6878 / c = 64 cm Vježa 4 Zadan je trokut tako da je a = 4 cm α = 5 β = 4 dredite duljine dviju stranica ovog trokuta Rezultat: = 448 cm c = 674 cm Zadatak 5 (Nena gimnazija) Duljine kateta pravokutnog trokuta su i 4 Nađite R polumjer opisane kružnice Rješenje 5 U pravokutnom trokutu vrijedi: c R = omoću itagorinog poučka izračunamo duljinu hipotenuze:

4 c = a + = + 4 = = 5 = 5 Tada je c 5 R = = Vježa 5 Duljine kateta pravokutnog trokuta su 6 i 8 Nađite R polumjer opisane kružnice Rezultat: R = 5 Zadatak 6 (Dijana gimnazija) Kružnici polumjera r = 5 opisan je pravokutni trokut duljine hipotenuze c = 9 Nađite opseg trokuta! Rješenje 6 U pravokutnom trokutu vrijedi: a + c r = gdje su a i c duljine stranica a r je polumjer upisane kružnice Iz jednakosti: a + c r = slijedi: a + = r + c pseg kružnice je: = a + + c = r + c + c = r + c = (r + c) = (5 + 9) = 4 = 68 Vježa 6 Kružnici polumjera r = 6 opisan je pravokutni trokut duljine hipotenuze c = 5 Nađite opseg trokuta! Rezultat: = 6 Zadatak 7 (Luka tehnička škola) U pravokutnom trokutu opseg je trostruko veći od hipotenuze c Nađi opseg trokuta! Rješenje 7 U pravokutnom trokutu poznato je: Iz uvjeta zadatka slijedi: a + = c 4 = a a + + c = c => a + = c / ² => a + a + = 4c => a + (a + ) = 4c => => a + c = 4c => a = c / : => a = c ovršina iznosi: = a = c = c 4 Vježa 7 U pravokutnom trokutu opseg je četverostruko veći od hipotenuze c Nađi opseg trokuta! Rezultat: = c Zadatak 8 (rna gimnazija) U pravokutnom trokutu a = 8 + c = 98 Nađite c! Rješenje 8 + c = 98 => c = 98 / ² => c = => [itagorin poučak: a + = c ]

5 Tada je: => a + = => a = => = 9 64 => => 96 = => 96 = 8 8 / : 96 => = 45 c = 98 = = 5 Vježa 8 U pravokutnom trokutu a = 6 + c = 8 Nađite c! Rezultat: c = Zadatak 9 (rna gimnazija) ovršina jednakokračnog pravokutnog trokuta je 8 Koliko je c? Rješenje 9 Za jednakokračan pravokutni trokut vrijedi: Iz uvjeta zadatka slijedi: Hipotenuza iznosi: c = a = 4 = a c = a = a a = 8 a = 6 / a = 4 Vježa 9 ovršina jednakokračnog pravokutnog trokuta je 8 Koliko je c? Rezultat: c = 6 Zadatak (Darjan medicinska škola) Izračunajte nepoznate stranice i kutove trokuta ako je zadano: a = c = 45 α = 8º' Rješenje a = c = 45 α = 8º' β γ =? Kut α je nasuprot manjoj stranici a ( a < c) pa zadatak ima dva rješenja ZMTI! ko su dane dvije stranice trokuta i kut nasuprot manjoj trokut nije jednoznačno određen! Napravimo skicu trokuta i označimo crvenom ojom zadane elemente: Najprije promatramo trokut Kut γ doije se pomoću sinusovog poučka: a c c sinα 45 sin 8 ' = a sin γ = c sinα sin γ sinα sin γ = = a sin γ =

6 U intervalu < 8º > postoje dva kuta koji imaju taj sinus: γ = 4º46'6'' i γ = 8º γ = 79º59'6'' 4º46'6'' = 45º'4'' Kut β računamo iz osnovne relacije za kutove u trokutu : α + β + γ = 8º β = 8º (α + γ ) = 79º59'6'' (8º' + 4º46'6'') = 79º59'6'' 6º56'6'' = 7º '4'' Duljinu stranice možemo doiti na dva načina: inačica (sinusov poučak) a sin sin7 a β '4 '' = sinα = a sin β = = = 64 sinα sin β sin sin 8 α ' inačica (kosinusov poučak) cos cos cos7 = a + c a c β = a + c a c β = + ' 4 '' = 64 Iz trokuta izračunamo kut β : α + β + γ = 8º β = 8º (α + γ ) = 79º59'6'' (8º' + 45º'4'') = 79º59'6'' 7º'4'' = 6º6'6'' Duljinu stranice možemo ponovno doiti na dva načina: inačica (sinusov poučak) a sin sin 6 a β 6 '6 '' = sinα = a sin β = = = 9 sinα sin β sin sin 8 α ' inačica (kosinusov poučak) cos cos cos 6 = a + c a c β = a + c a c β = + 6'6'' = 9 Vježa Izračunajte nepoznate stranice i kutove trokuta ako je zadano: a = 5 c = γ = 56º7' Rezultat: α = 75º8'4'' α = 4º'6'' β = 48º 4'6'' β = 9º '4'' = 6 = 58 Zadatak (Leda gimnazija) Dokažite analitički (služeći se koordinatama) da je površina trokuta kojemu su vrhovi polovišta stranica nekog trokuta jednaka četvrtini površine tog trokuta Rješenje U koordinatnoj ravnini zadamo vrhove trokuta : ( ) ( ) ( ) ovršina trokuta gdje su ( ) ( ) i ( ) dana je formulom: = ( ) + ( ) + ( ) () onovimo kako se doiju koordinate polovišta dužine ( ) ( ): + + 6

7 Točka je polovište stranice pa ima koordinate: + + Točka je polovište stranice pa ima koordinate: + + Točka je polovište stranice pa ima koordinate: + + ovršina trokuta je tada dana izrazom: = = = + + ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = Može se pisati i ovako: = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] = + + = zog () = 4 4 = 4 Vježa Izvedite analitički (služeći se koordinatama) formulu za udaljenost dviju točaka u općem položaju Rezultat: = ( ) + ( ) 7

8 Zadatak (Matija tehnička škola) Stranice trokuta su a = = c = Koliki je kut nasuprot stranice a? Rješenje udući da su zadane sve tri stranice trokuta uporait ćemo kosinusov poučak: ( ) + + c a + + π cosα = = = = α = = c 6 Vježa Stranice trokuta su a =5 = 4 c = Koliki je kut nasuprot stranice a? π Rezultat: α = 9 = Zadatak (Matija tehnička škola) Koliko iznosi površina trokuta sa stranicama a = = 4 c = 7? Rješenje rovjerimo je li ispunjeno osnovno svojstvo trokuta: zroj dviju stranica trokuta mora iti veći od treće stranice Vidimo da je: + 4 = 7 a + = c Dakle trokut ne postoji! a + > c a + c > + c > a Vježa Koliko iznosi površina trokuta sa stranicama a = 6 = 4 c =? Rezultat: Trokut ne postoji Zadatak 4 (Ines gimnazija) ravac p paralelan stranici trokuta dijeli stranicu u točki D tako da je D : D = : 6 a sam trokut dijeli na dva dijela čije se površine razlikuju za cm Kolika je površina trokuta? Rješenje 4 p E D Iz D : D = : 6 i D + D = slijedi: 6 D 8 5 D = = D D + D = D = / D = 8 5 Trokuti i ED su slični (imaju jednake kutove) a koeficijent sličnosti je k = Tada za površinu 8 vrijedi: ovršina trapeza DE je: 5 5 = = 8 64 ED 5 9 = = = DE ED 8

9 Iz uvjeta zadatka slijedi: DE ED = = = / = = 5 cm 4 Vježa 4 ravac p paralelan stranici trokuta dijeli stranicu u točki D tako da je D : D = : a sam trokut dijeli na dva dijela čije se površine razlikuju za 84 cm Kolika je površina trokuta? Rezultat: cm Zadatak 5 (Ines gimnazija) Neka je u pravokutnom trokutu kut od 9º u vrhu i neka je D podnožje visine iz vrha na hipotenuzu ko su oa polumjera kružnica upisanih u trokute D i D redom jednaki cm i cm odredite polumjer upisane kružnice trokuta Rješenje 5 r a cm cm c D Katete a i trokuta su hipotenuze trokuta D i D Trokuti D D i su slični (imaju jednake kutove) pa su im odgovarajući (homologni) elementi proporcionalni Tada su i hipotenuze a i c redom trokuta D D i proporcionalne udući da vrijedi a a = = Uporaom itagorinog poučka doije se: ( ) c = a + = + = + = c = 8 9 U trokutima i D vrijedi: c r = r c /: r olumjer kružnice upisane trokutu je r = cm Vježa 5 Neka je u pravokutnom trokutu kut od 9º u vrhu i neka je D podnožje visine iz vrha na hipotenuzu ko su oa polumjera kružnica upisanih u trokute D i D redom jednaki cm i 5 cm odredite polumjer upisane kružnice trokuta Rezultat: 4 cm Zadatak 6 (na Ivana Zoran gimnazija) Izvedite formulu za površinu trokuta zadanog koordinatama njegovih vrhova Rješenje 6 Neka su u koordinatnoj ravnini zadani vrhovi trokuta : ( ) ( ) ( ) Gledaj sliku! 9

10 ( ) ( ) ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) Uočimo na slici tri trapeza: '' '' i '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ovršina trokuta jednaka je zroju površina trapeza '' i '' umanjenom za površinu trapeza '': = '' + '' '' odsjetimo se formule za površinu trapeza: c d v a dredimo površinu svakog od uočenih trapeza: = a + c v

11 Trapez '' ( ) ( ) ' ( ) ' ( ) ' snovice trapeza '' su ' = ' = a visina je '' = te je površina Trapez '' + ' ' = ( ) ( ) ( ) ' ' ( ) ' ( ) snovice trapeza '' su ' = ' = a visina je '' = te je površina + ' ' = ( ) Trapez '' ( ) ( ) ' ( ) ' ' ( ) snovice trapeza '' su ' = ' = a visina je '' = te je površina + ' ' = ( ) ovršina trokuta sada je = '' + '' '' = = ( ) + ( ) ( ) = = ( + ) ( ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) =

12 = = ( ) ( ) ( ) = = + + va formula vrijedi ako su vrhovi označeni u pozitivnom smislu (u smjeru kazaljke na satu) kao na slici ko su vrhovi označeni u negativnom smislu (u smjeru kazaljke na satu) tada gornji izraz ima negativnu vrijednost te trea uzeti njegovu apsolutnu vrijednost kao rezultat = ( ) ( ) ( ) + + Vježa 6 Izračunajte površinu trokuta ako je ( ) ( 4) (4 ) Rezultat: = Zadatak 7 (Ines gimnazija) Jednakokračnom trokutu osnovice i kraka opisana je i upisana kružnica Koliko iznosi udaljenost središta tih kružnica? Rješenje 7 R v U d r D a a = = = = = v = D R = r = DU onovimo neke formule za površinu kosokutnog trokuta ko je zadana duljina osnovice a i pripadna visina v vrijedi:

13 a v = ko su zadane duljine sve tri stranice a c polumjer r upisane kružnice i polumjer R opisane kružnice vrijedi: a c a + + c = = r s gdje je s = 4 R Sa slike vidi se da je: a v = 6 = = 64 v = 8 ovršina trokuta je: a v 8 = = = 48 olumjer opisane kružnice iznosi: a c a a = [ trokut je jednakokračan] = R = = = = 65 4 R 4 R olumjer upisane kružnice iznosi: = r s r = = [ trokut je jednakokračan] r = r = = = s a + + c a + + Sa slike je: D = + D D = + DU U v = R + r d => d = R + r v = = 5 Vježa 7 Jednakokračnom trokutu osnovice 6 i kraka opisana je i upisana kružnica Koliko iznosi udaljenost središta tih kružnica? Rezultat: 5 Zadatak 8 (Ira gimnazija) Visina na osnovicu jednakokračnog trokuta iznosi 8 cm a polumjer trokutu upisane kružnice je cm Koliki je polumjer kružnice koja dira upisanu kružnicu i krakove trokuta? Rješenje 8 S r E v D R Sa slike vidi se da su trokuti D i SE slični (jedan kut zajednički a jedan pravi) r S v R r D SE = = r ( v R) = R ( v R r) R v R ( ) ( 8 4) R v R r v r R = R v R R r r v = R ( v R) r = = = cm v 8

14 Vježa 8 Visina na osnovicu jednakokračnog trokuta iznosi 6 cm a polumjer trokutu upisane kružnice je 4 cm Koliki je polumjer kružnice koja dira upisanu kružnicu i krakove trokuta? Rezultat: cm Zadatak 9 (Ivana na Sandra Nina gimnazija) Izvedi dokaz itagorinog poučka Rješenje 9 Dokaz itagorinog poučka prema američkom predsjedniku J Garfieldu (8 88) a c c 9 9 a 9 Sa slike vidi se da je površina trapeza jednaka zroju površina triju pravokutnih trokuta iz kojih je složen a + a c ( a + ) = + / ( a + ) = a + c a + a + = a + c a + = c Vježa 9 Dokaži da je trokut sa stranicama a = cm = 4 cm c = 5 cm pravokutan trokut Rezultat: U literaturi je poznat kao ''egipatski trokut'' Zadatak (Marko gimnazija Hrvoje tehnička škola) U pravokutni trokut s katetama duljine 6 i 8 upisan je kvadrat tako da mu se jedan vrh podudara s vrhom pravog kuta Kolika je duljina stranice kvadrata? Rješenje F E a a D = 8 = 6 D = F = DE = FE = a D = D = 8 a F = F = 6 a ravokutni trokuti DE i FE su slični (imaju jednake kutove) pa vrijedi razmjer: D : DE = FE : F => (8 a) : a = a : (6 a) => => (8 a) (6 a) = a => 48 8a 6a + a = a => 4a = 48 /:( 4) 48 4 a = = 4 7 Vježa U pravokutni trokut s katetama duljine 6 i 8 upisan je kvadrat tako da mu se jedan vrh podudara s vrhom pravog kuta Kolika je površina tog kvadrata? Rezultat: