Vjerojatnost i statistika
|
|
|
- Ἠώς Αποστολίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Outline Vjerojatnost i statistika dr. sc. Martin Lazar Sveučilište u Dubrovniku Preddiplomski studij primijenjenog/poslovnog računarstva 2011/2012
2 Organizacija kolegija Predavanja: dr. sc. Martin Lazar, sri konzultacije: sri. u 12h, B28 Vježbe: mr. sc. Ivona Milić-Beran, čet konzultacije: u B27 OBAVEZE STUDENATA TOKOM NASTAVE Pohadanje predavanja i vježbi, izrada domaćih zadaća, polaganje tri kolokvija. Elementi provjere znanja i ocjenivanja su: 3 kolokvija (90) zadaće (10) U zagradama su navedeni maksimalni brojevi bodova koje studenti mogu ostvariti u pojedinom vidu provjere znanja. Dodatnih 10 bodova može se ostvariti za redovito( 90%), odnosno aktivno pohadanje vježbi i predavanja.
3 Organizacija kolegija Kolokviji sastoje se iz praktičnog (zadatci), i (u manjoj mjeri) teorijskog dijela gradiva. UVJETI ZA POTPIS: Prisustvo na 60% predavanja i vježbi, minimalno 5 bodova ostvarenih na zadaćama, te barem 15 (od mogućih 90) bodova skupljenih na kolokvijima. UVJETI ZA PROLAZNU OCJENU: Za dobivanje prolazne ocjene student treba ostvariti barem 50 - postotni uspjeh u svakom elementu provjere znanja. Pri tom se potrebni minimumi (45, odnosno 5 bodova) računaju kumulativno. Važno: studenti koji nisu položili ispit tokom semestra, ali imaju uvjete za potpis, mogu to ostvariti prijavom i pristupanjem ispitu (pismenom+usmenom) na jednom od ispitnih rokova.
4 Literatura Uvod u statistiku I. Šošić: Primijenjena statistika, Školska knjiga, Zagreb, I. Šošić, V. Serdar: Uvod u statistiku, Školska knjiga, Zagreb, Ž. Pauše: Uvod u matematičku statistiku, Školska knjiga, Zagreb, N. Elezović: Teorija vjerojatnosti. Zbirka zadataka, Element, Zagreb, R. Galić: Vjerojatnost i statistika, Sveučilište u Osijeku, Osijek, 1999.
5 Sadržaj Uvod u statistiku Statistika - osnovni pojmovi Opisna statistika (grafičke i numeričke metode prikaza podataka) Vjerojatnost - osnovni pojmovi Vjerojatnosne razdiobe Statističko zaključivanje - uzorci i testovi Regresijska analiza
6 1. Uvod u statistiku
7 Osnovni pojmovi Statistika znanost o podacima. Uključuje prikupljanje, klasifikaciju, prikaz, obradu i interpretaciju podataka. (Statistička) jedinica - objekt (stvar ili osoba) kojem se ispituje (mjeri) neko svojstvo. Sve jedinice zajedno tvore statistički skup. Mjereno svojstvo se javlja u dva ili više oblika (modaliteta). Npr. za spol imamo dva modaliteta: muški i ženski. Obilježje ili varijabla - svojstvo koje se dobije opažanjem ili mjerenjem na statističkom skupu. Ono svojim oblikom varira od jedinice do jedinice statističkog skupa. Rezultat svakog mjerenja nam predstavlja jedan podatak.
8 Primjer 1.1. Na Sveučilištu se željelo ispitati da li studenti podržavaju pokretanje plesnog tečaja. Od 650 ispitanih studenata, 435 je podržalo takvu ideju. 1. Što je statistička jedinica u ovom primjeru? a) Odgovor svakog studenta. b) Studenti koji podržavaju prijedlog. c) Pojedini student. 2. Što je varijabla? a) Broj studenata koji podržavaju opciju. b) Broj studenata koji ne podržavaju opciju. c) Odgovor (mišljenje) pojedinog studenta.
9 Rezimirajmo: statistički skup: Ω statistička jedinica: ω varijabla: X : Ω K (skup mogućih oblika pridruženih obilježju X), Mjerenjem (opažanjem) varijable X dobivamo podatke o nekom svojstvu na promatranom statističkom skupu.
10 Vrste podataka i varijabli Ovisno o mjernoj skali obilježja (varijable) dijelimo na: kvantitativne mjerene na numeričkoj skali, dopuštene brojčane operacije (visina, težina, primanja, broj bodova na kolokviju,...). kvalitativne (kategorijalne) vrijednosti su razredi (kategorije). Nisu dopuštene brojčane operacije (boja kose, spol,...). U pojedinim slučajevima dopuštene su operacije usporedivanja: <, >, = (npr. ocjena na ispitu). Analogno govorimo i o kvantitativnim i kvalitativnim podacima (dobivenim mjerenjima odgovarajućih varijabli). Primjer 1.2. Odredite kojeg tipa su sljedeći podaci: 1. Visina svakog studenta u razredu. 2. Duljina vremenskog razdoblja kojeg svatko od 30 promatranih pacijenata mora provesti u bolnici. 3. Politička stranka pojedinog zastupnika u Hrvatskom saboru. 4. Veličina stana (u m 2 ).
11 Vrste podataka Primjer 1.3. Razmotrimo opet prvi primjer. 1. Bila su ponudena tri odgovora, označena s a), b) i c), te je zabilježen odgovor svakog studenta. Kakav je to tip varijable? 2. Zamislimo da smo u istom primjeru ponudene moguće odgovore označili s 1), 2) i 3), te ponovno bilježili odgovor svakog studenta. Je li u tom slučaju riječ o kvantitativnoj ili kvalitativnoj varijabli? Iako su u drugom slučaju podaci brojčani, oni nemaju numeričko značenje (npr. nema smisla računati njihov prosjek). Oni su samo oznake razreda u koje svrstavamo odgovore, te stoga predstavljaju kvalitativne podatke.
12 Osnovni elementi statističke analize Populacija ili osnovni skup skup svih podataka koji opisuju neki fenomen koji nas zanima. Primjer: Zanima nas vrijednost prosječnog primanja u Hrvatskoj. Što je populacija u ovom slučaju? A što statiskički skup, odnosno statistička jedinica? Uzorak - podskup podataka sakupljenih iz populacije. Primjer 1.4. Voditelj prodaje tvrtke X želi ispitati starosnu dob kupaca koji kupuju njihove proizvode. U tu svrhu nasumično izaberu 742 kupca i utvrde da je prosjek njihovih godina Što je interesna populacija u ovom slučaju? a) Prosjek godina svih kupaca koji kupuju proizvode tvrtke X. b) Prosjek godina 742 ispitanih kupaca. c) Starosna dob svih kupaca koji kupuju proizvode tvrtke X. 0
13 2. Što je uzorak? a) Prosjek godina svih kupaca proizvoda tvrtke X. 0b) Starosna dob 742 ispitanih kupaca. c) 742 ispitana kupca. 3. Što je statistička jedinica? a) Proizvod tvrtke X. b) Starosna dob svakog kupca. 0c) Pojedini kupac proizvoda tvrtke X. d) Prosjek godina svih kupaca koji kupuju proizvode tvrtke X. 4. Što je varijabla? a) Proizvod tvrtke X. 0b) Starosna dob kupca proizvoda tvrtke X. c) Starosna dob 742 ispitanih kupaca. d) Prosjek godina svih kupaca koji kupuju proizvode tvrtke X.
14 Grane statistike Dizajn eksperimenta (experimental design) bavi se planiranjem eksperimenta i prikupljanjem podataka. Opisna statistika (descriptive statistics) grana statistike koja se bavi obradom i prikazom podataka. Statističko zaključivanje (inferential statistics) na osnovu uzorka donosi zaključke o cijeloj populaciji. Potonja se zaniva na nepotpunim podacima, te u sebi sadrži odredenu komponentu nesigurnosti. Medutim, ukoliko se koriste odgovarajuće metode (teroija vjerojatnosti), možemo takoder dobiti i vjerodostojnost takvih zaključaka.
15 Primjer 1.5. Vratimo se na prijašnji primjer. 1. Što od sljedećeg bi bio primjer statističkog zaključivanja? a) 742 kupca su nasumce izabrana. b) Prosjek godina 742 ispitanih kupaca je 42. 0c) Na osnovu uzorka, možemo s 90-postotnom sigurnošću zaključiti da je prosjek kupaca proizvoda tvrtke X izmedu 40 i 44 godine.
16 Prikupljaje podataka Reprezentativni uzorak posjeduje svojstva slična onima cijele populacije. Kako izabrati takav uzorak? Slučajni uzorak (random sample) od n statističkih jedinica je onaj uzorak u kojem svaka jedinica ima jednaku mogućnost da bude izabrana za uzorak. Primjeri: Loto 6/45 generator slučajnih brojeva izvlačenje iz šešira.
17 2.
18 Kvalitativni (kategorijalni) podatci nemaju numeričko značenje, mogu se samo razvrstavati u razrede ili kategorije. Primjer 2.1. Uzet je uzorak od 176 zaposlenika jednog poduzeća, te je bilježena vrsta njihovog obrazovanja. Mogući odgovori su bili: srednja škola (S), bakalaureat(b), magisterij(m), doktorat(d), te ostalo (O). Što su kategorije u ovom primjeru? S, B; M, D, O.
19 Što nas zanima? Broj podataka koji pripada svakoj kategoriji. Frekvencija ili učestalost pojedinog razreda je broj podataka koji upadaju u tu kategoriju. Što nas još zanima? Postotak od ukupnog broja opažanja koji pripada pojedinoj kategoriji. Relativna frekvencija ili učestalost pojedinog razreda je postotak od ukupnog broja podataka koji pripada toj kategoriji. On je jednak omjeru frekvencije i ukupnog broja podataka. Relativna frekvencija = frekvencija ukupan broj podataka
20 Sažmimo prikupljene podatke u tzv. tablicu frekvencija. Razredi Frekvencija Relativna frekvencija Srednja škola Bakalaureat Magisterij Doktorat 3 2 Ostalo Dvije najčešće korištene grafičke metode za prikaz kvalitativnih podataka su: stupčasti dijagrami (frekvencija ili relativnih frekvencija) strukturni dijagrami (prikazuju relativnu frekvenciju svakog razreda).
21 Konstrukcija stupčastog dijagrama Nacrtajte horizontalnu i vertikalnu os na papiru. Vertikalna os predstavlja (relativnu) frekvenciju pojedinog razreda. Razrede označimo ispod horizontalne osi. Nacrtajmo stupce jednakih širina iznad svake kategorije. Visina stupca mora biti razmjerna fekvenciji, odnosno relativnoj frekvenciji pojedinog razreda. Dijagram frekvencija: Frekvencija S B M D O Obrazovanje
22 Konstrukcija stupčastog dijagrama Stupčasti dijagram relativnih frekvencija: Relat. frekv (%) Stupac C 10 0 S B M D O Obrazovanje
23 Konstrukcija stupčastog dijagrama - sažetak Prikažite podatke u tablici frekvencija. Ona mora sadržavati frekvenciju i relativnu frekvenciju za svaki razred. Nacrtajte horizontalnu i vertikalnu os. Ispod horizontalne osi označite razrede. Vertikalna os predstavlja (relativnu) frekvenciju pojedinog razreda. Nacrtajte stupce za svaki razred. Visina stupca mora biti razmjerna fekvenciji, odnosno relativnoj frekvenciji pojedinog razreda.
24 Konstrukcija strukturnog dijagrama Pizza prikaz (eng. pie chart) sastoji se od kruga razdijeljenog na komade, od kojih svaki predstavlja pojedini razred. Veličina (kut) pojedinog komada razmjerna je relativnoj frekvenciji pripadnog razreda. S B M D O
25 Dvije najpopularnije vrste grafičkog prikaza kvantitativnih podataka su S-L prikaz (stablo i list, eng. stem and leaf) histogram. Oni prikazuju: bilo broj podataka koji padaju u svaki razred (frekvencija razreda) bilo postotak od ukupnog broja podataka koji upada u pojedini razred (relativna frekvencija razreda).
26 S-L prikaz Uvod u statistiku Za mali broj ( 30) podatka, prikaz se jednostavno radi ručno. Primjer 2.2. Napravite S-L prikaz za sljedeće podatke: Cijene (u 1000 kn) Rješenje: Nadite najmanju i najveću vrijednost u skupu podataka: 367, 1480 (36 700kn, kn) Formirajmo razrede (intervale). Npr. prvi razred mogu biti sve cijene izmedu 300 i 400. Tu bi spadale cijene: 367, 324, 356. Sve one imaju zajedničku početnu znamenku 3 (na mjestu stotica).
27 S-L prikaz Uvod u statistiku Zajedničku znamenku uzimamo za predstavnika razreda - stablo. Preostale dvije znamenke (na mjestu desetica i jedinica) nam tvore list. Tako za svaki podatak znamenke na mjestu desetica i jedinica predstavljaju list, a preostale predstavljaju stablo. Npr. za najmnaji i najveći podatak: Stablo List S-L prikaz se sastoji od dva stupca: u prvom poredamo sva moguća stabla po veličini (od najmanjeg prema najvećem) u drugom stavljamo list za svaki podatak u redak uz odgovarajuće stablo. Tome zatim možemo pridodati (relativne) frekvencije pridružene svakom pojedinom stablu.
28 S-L prikaz Uvod u statistiku Stablo List Frekvencija Relat. frekv.(%) ,75, ,50,60, ,20,49,60, ,43, , ,60, Ukupno:
29 S-L prikaz Uvod u statistiku Prednosti S-L prikaza: sačuvani su originalni podaci podaci su poredani po veličini razredi se jednostavno odreduju. Nedostaci: Nedostatak fleksibilnosti u izboru stabla. Primjer 2.3. Razmotrimo podatke iz zadnjeg primjera. Neka samo zadnja znamenka (na mjestu jedinica) predstavlja list. Kako bi izgledao prikaz? Stablo List Koliki je broj razreda? =113 (za 25 podataka!) Prikaz ne daje jasnu sliku (informaciju) o podacima!
30 S-L prikaz Uvod u statistiku Treća mogućnost je da zadje tri znamenke predstavljaju listove: Stablo List 0 1 Koliki je sada broj razreda? 2! Podaci su previše zbijeni. Ni ovaj izbor ne daje jasan prikaz podataka.
31 S-L prikaz - sažetak Uvod u statistiku Nadite najmanju i najveću vrijednost. Odredite kako ćete definirati stabla, odnosno listove. Poredajte stabla u stupac, polazeći od najmanjeg. Za svaki podatak, stavite list u redak pripadnog stabla. Poredajte listove po veličini.
32 S-L prikaz Uvod u statistiku Zadatak 2.1. Zadani su sljedeći podatci: Koristeći znamenku jedinica kao stablo konstruirajte S-L prikaz s pripadnim (relativnim) frekvencijama.
33 Histogram Uvod u statistiku Histogrami frekvencija, odnosno relativnih frekvencija: podesniji za veće skupove podataka, te mjerenja s većim brojem znamenaka slični stupčastim dijagramima. Primjer 2.4. U tablici su dana 20 mjerenja slučajne varijable. Konstruirajte histogram frekvencija za taj skup podataka
34 Histogram Uvod u statistiku Odredimo najmanju i najveću vrijednost: 12, 39. Odredimo interval nad kojim ćemo crtati histogram: početna točka intervala najmanjeg podatka završna točka intervala najvećeg podatka. [10, 40] Odredimo podintervale (razrede). Birat ćemo podintervale jednakih širina: širina razreda = Širina intervala = 40-10=30. Broj intervala uzmimo ih 6. Širina razreda= 30 6 = 5. širina cijelog intervala broj intervala
35 Histogram Uvod u statistiku Prvi razred: Drugi razred: Treći razred: itd. Sto ako se neki podatak nalazi na granici dvaju razreda (npr. 25)? U koji razred ga svrstati: u treći, u četvrti, u oba...? Svaki podatak se mora razvrstati točno u jedan razred! Na koji način razvrstati ovakve granične podatke odlučujemo sami, ali moramo biti dosljedni s pravilom kojeg smo izabrali. Mi ćemo se držati pravila da podatke na granici dvaju razreda svrstavamo u gornji razred. Drugim riječima, precizniji zapis naših razreda bi bio: Prvi razred: [10, 15 Drugi razred: [15, 20 itd. Šesti (zadnji) razred: [35, 40] Svi razredi su poluotvoreni inetrvali, osim zadnjeg koji je zatvoren.
36 Histogram Uvod u statistiku Napravimo tablicu frekvencija: Razred Interval Brojač Frekvencija Relat. frekv.(%) / // /// ///// ///// //// 4 20 Ukupno: Sad možemo nacrtatai histogram.
37 Histogram Uvod u statistiku Interpretacija: Površina stupca iznad nekog intervala razmjerna je postotku podataka u tom intervalu. Većina vrijednosti (70%) se nalazi u posljednja 3 razreda.
38 Histogram Uvod u statistiku Na koji način ćemo odredivati broj razreda pri konstrukciji histograma? Iskustveno pravilo za odredivanje broja razreda u histogramu. Broj podataka Broj razreda Manji od 25 5 ili Veći od Osim toga, koristi se i sljedeće pravilo. Sturgesovo pravilo za odredivanje broja razreda u histogramu. n broj podataka k broj razreda k log n
39 Razlike izmedu stupčastog dijagrama i histograma: kod prvog razredi nisu povezani kod potonjeg razredi su sljedujući intervali na realnoj osi (gornja granica jednog intervala predstavlja ujedno donju granicu sljedećeg). Interpretacija je slična visina stupca je proporcionalna (relativnoj) frekvenciji razreda površina pojedinog stupca razmjerna je postotku podataka u pripadnom razredu.
40 Zadatak 2.2. Konstruirajte histogram relativnih frekvencija za donje podatke. Izaberite odgovarajući broj razreda
3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA
STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA ŽELJKO SKOKO PREDAVANJA: ČETVRTAK, 12-14 h, F25 VJEŽBE: ČETVRTAK, 14-15 h, F25 MIRKO BAĆANI KONZULTACIJE: PETAK, 11-12.30 h ili prema dogovoru e-mail: zskoko@phy.hr
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
UVOD DEFINICIJA: Statistika planiranje i provođenje pokusa skupljanje podataka interpretacija
OSNOVE STATISTIKE UVOD DEFINICIJA: Statistika je grana matematike koja obuhvaća sakupljanje, analizu, interpretaciju i prezentaciju podataka te izradu predviđanja koja se temelje na tim podacima. Smatra
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
FARMACEUTSKO-BIOKEMIJSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU. IZVEDBENI PLAN akademska godina 2012./2013. zimski semestar
Naziv kolegija: Matematika sa statističkom analizom Naziv studija: Studij farmacije i medicinske biokemije Godina i semestar studija: Prva, zimski semestar FARMACEUTSKO-BIOKEMIJSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
VJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 0 min Ukupan broj bodova: 50 Zadatak.. kolokvij - 0. lipnja 0. (a Ako su X i Y diskretne slučajne varijable, dokažite da vrijedi formula E [X + Y ] = E [X] + E [Y ].
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
OPISNA STATISTIKA GRAFIČKE METODE. Pravila kolokvija PROMJENE RASPOREDA: Dozvoljene formule s weba (M. Grbić) HISTOGRAMI
PROMJENE RASPOREDA: Kolegij SOM (prvi kolokvij) Opća fizika (predavaje) Numerička matematika Stari termi. ožujka -h. ožujka -h. ožujka -h Novi termi. ožujka -h. ožujka -h. travja - Pravila kolokvija Dozvoljee
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
10. domaća zadaća. 3. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od odredite:
Napomena: U svim zadacima treba koristiti tablicu standardne normalne razdiobe. 1. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od 10 5 odredite: a) P(X 1.16), b) P(X 0.59);
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Uvod u matematičku statistiku
Uvod u matematičku statistiku Pojam matematičke statistike. Pojednostavljeno rečeno, matematička statistika je znanstvena disciplina koja iz poznavanja određenih svojstava uzorka donosi zaključke o svojstvima
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike
Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 39 Uvod Osnovna zadaća Statistike je na temelju uzorka ocijeniti kakvu razdiobu
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Testiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr
DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa
Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba
Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos