VJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.

Transcript

1 Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 0 min Ukupan broj bodova: 50 Zadatak.. kolokvij - 0. lipnja 0. (a Ako su X i Y diskretne slučajne varijable, dokažite da vrijedi formula E [X + Y ] = E [X] + E [Y ]. (aditivnost očekivanja (b Koristeći aditivnost očekivanja, dokažite da je očekivanje binomne slučajne varijable s parametrima n i p jednako np. (Uputa: Prikažite binomnu slučajnu varijablu kao sumu Bernoullijevih. [0 bodova] Rješenje. Vidi predavanja.

2 . kolokvij - 0. lipnja 0. Zadatak. U kutiji se nalazi 7 kuglica označenih brojevima od do 7. Marko na slučajan način izvuče kuglice. Označimo s X najveći od brojeva na izvučenim kuglicama. (a Odredite razdiobu slučajne varijable X. (b Odredite E [X] i E [ ] n= X. n Rješenje. [0 bodova] (a Primjetimo da slučajna varijabla X može poprimiti vrijednosti k {, 4, 5,, 7}. Za takav k, ako je najveći od tri broja baš k, tj. X = k, to znači da je jedna od izvučenih kuglica označena brojem k, a ostale dvije kuglice su označene s neka dva od k brojeva manjih od k. Birajući dva broja od tih k manjih dobivamo da je P (X = k = ( k ( 7 = ( k, za sve k {, 4, 5,, 7}. Dakle slučajna varijabla X ima razdiobu ( X. Alternativno, tražene vjerojatnosti smo mogli odrediti direktnim prebrojavanjem budući da ima ukupno ishoda. (b Računamo E [X] = =. Neka je Y = n=. Za k {, 4, 5,, 7} vrijedi X n n= k n = k /k = k Dakle, slučajna varijabla Y ima distribuciju pa je očekivanje Y ( k k = k. E [Y ] = ( =

3 . kolokvij - 0. lipnja 0. Zadatak. Slučajno i nezavisno biramo dva broja, prvi iz skupa {,, }, a drugi iz skupa {,, 4}. Neka je X najveći zajednički djelitelj ta dva broja, a Y ostatak pri dijeljenju s sume ta dva broja. (a Odredite distribuciju slučajnog vektora (X, Y. (b Odredite koeficijent korelacije slučajnog vektora (X, Y. (c Jesu li slučajne varijable X i Y nezavisne? (d Odredite P (Y X. Rješenje.. (a Slučajni vektor (X, Y ima distribuciju X/Y 0 /9 /9 /9 /9 /9 /9 0 /9 /9 0 0 /9 / / / [0 bodova] (b Marginalne distribucije su i Sada računamo očekivanja i varijance ( X ( 0 Y. E [X] = = 9, E [Y ] = = Var [X] = E [X ] (E [X] = ( = 9,

4 Var [Y ] = E [Y ] (E [Y ] = =. Nadalje, kovarijanca je Cov(X, Y = E [XY ] E [X]E [Y ] = =. Konačno dobivamo da je koeficijent korelacije slučajnih varijabli X i Y ρ(x, Y = Cov(X, Y Var [X] Var [Y ] (c Budući da su slučajne varijable X i Y korelirane, nisu nezavisne. Alternativno, isto možemo zaključiti direktnom provjerom uvjeta nezavisnosti, npr. (d Računamo P (X =, Y = = 0 7 = 9 = P (X = P (Y =. P (Y X = P (X =, Y = +P (X =, Y = +P (X =, Y = = = 5 9.

5 . kolokvij - 0. lipnja 0. Zadatak 4. Na jednom kolegiju na PMF-u potrebno je položiti usmeni ispit kod profesora kako bi se položio kolegij. Zbog prevrtljive ćudi profesora, vjerojatnost da će student izlaskom na rok položiti usmeni ispit, bez obzira koliko stvarno zna i nezavisno od ostalih izlazaka i studenata, iznosi 0.4. (a Pretpostavimo da student može izaći na proizvoljno mnogo rokova dok ne položi kolegij. Neka je s X označen redni broj pokušaja iz kojeg student položi usmeni ispit. (a Odredite razdiobu od X i odredite koliko će očekivano puta student izlaziti na ispit dok ne položi. (a Izračunajte vjerojatnost da će student morati na ispit izlaziti najviše puta. (b Na ljetni rok izaći će 00 studenata, a nakon ispita, studenti idu u obližnji kafić. Oni koji su položili, popiju pivo da proslave, a oni koji nisu, popiju kavu da mogu nastaviti učiti kada se vrate doma. Ako je cijena piva 5 kn, a cijena kave 7 kn, odredite najveći iznos kuna takav da je vjerojatnost da će kafić zaraditi više od tog iznosa barem 90%. Rješenje. [0 bodova] (a (a Slučajna varijabla X ima geometrijsku distribuciju s parametrom p = /5, tj. P (X = k = ( p k p = ( k, za sve k N. 5 5 Zbog toga je E [X] = p = 5 =.5. (a Iz prvog dijela slijedi da je P (X = P (X = + P (X = + P (X = = ( = (b Označimo s Y broj studenata koji su položili ispit. Tada je Y B(00, 0.4, a zarada kafića je Z = 5 Y + 7 (00 Y = Y

6 Koristeći centralni granični teorem, tražimo najveći c takav da vrijedi 0.90 P (Z c = P (Y c 700 ( c Φ, tj. Φ ( c Budući da je Φ(.9 = Φ(.9 = 0.095, mora vrijediti c , tj. c Dakle, kafić će s vjerojatnošću od 90% zaraditi više od kn.

7 . kolokvij - 0. lipnja 0. Zadatak 5. Na pakiranju odredenog vitaminskog proizvoda piše da u svakoj kapsuli ima 500 mg vitamina E te da je to optimalna dnevna doza za odraslu osobu. Odabran je slučajan uzorak od 0 kapsula i dobivena je prosječna količina vitamina od 49. mg. Uz pretpostavku da je količina vitamina u kapsuli normalno distribuirana sa standardnom devijacijom od σ = 5., može li se na razini značajnosti od 5% zaključiti da kapsule ne sadrže optimalnu dnevnu dozu vitamina E? [0 bodova] Rješenje. Testiramo hipoteze H 0 : µ = µ 0 = 500 H : µ µ 0 = 500 Testna statistika je Z = X n µ 0 H n 0 N(0,. σ Iz tablica normalne distribucije odredimo z 0.05 takav da je P (Z z 0.05 H 0 + P (Z z 0.05 H 0 = = 0.05 i dobijemo z 0.05 =.9 pa je kritično područje testa C = (,.9] [.9,. Aritmetička sredina podataka je zadana i iznosi Budući da je n = 0 i σ = 5., slijedi da je z = x = <.9 Dakle, na razini značajnosti od 5% odbacujemo H 0 u korist H, tj. možemo zaključiti da kapsule ne sadrže optimalnu dnevnu dozu od 500 mg vitamina E.