STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA
|
|
- Μακεδνός Ράγκος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA ŽELJKO SKOKO PREDAVANJA: ČETVRTAK, h, F25 VJEŽBE: ČETVRTAK, h, F25 MIRKO BAĆANI KONZULTACIJE: PETAK, h ili prema dogovoru zskoko@phy.hr soba 206, tel.:
2 STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA LITERATURA: WALPOLE ET AL.: Probability & Statistics For Engineers & Scientists; Pearson, Prentice Hall, I. ŠOŠIĆ, V. SERDAR: Uvod u Statistiku; ŠK, Zagreb (Ekonomski fakultet). V. VRANIĆ: Vjerojatnost i statistika, Tehnička knjiga, Zagreb I.PAVLIĆ: Statistička teorija i primjena, Tehnička knjiga, Zagreb 1970 (Strojarski fakultet). N. SARAPA: Teorija vjerojatnosti, ŠK, Zagreb (PMF-MO) D. UGRIN-ŠPARAC: Primijenjena teorija vjerojatnosti I., II., Sveučilišna naklada - Liber, Zagreb, 1975/1976. (FER).
3 STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA zskoko - nastavni materijali - obavijesti - ispitna pitanja - termini rezultata, ispiti - itd...
4 ČEMU SLUŽI TEORIJA VJEROJATNOSTI I IGRE NA SREĆU POLITIKA I MARKETING GOSPODARSTVO ZDRAVSTVO GENETIKA FIZIKA TEORIJSKA FIZIKA STATISTIČKA FIZIKA KVANTNA FIZIKA EKSPERIMENTALNA FIZIKA OBRADA REZULTATA MJERENJA - PROCJENA POGREŠAKA PROVJERA HIPOTEZA STATISTIKA
5 UVOD MNOŠTVO PODATAKA - Statistika nam daje metode za njihovo organiziranje i sažeto prikazivanje te izvlačenje zaključaka na osnovu informacija sadržanih u tim podacima Od latinskog STATUS - stanje, situacija Povijesno, državni interes - popisi vojnih obveznika u Kini, Perziji, GrčkoJ... Državni zavod za statistiku (anketa na reprezentativnom uzorku) Primjeri u meteorologiji:
6 OSNOVNI STATISTIČKI POJMOVI POPULACIJA - dobro definiran skup objekata koji nas zanima Populacija može biti konačna ili beskonačna, realna ili hipotetska Primjeri: 1. svi zaposlenici na području Grada Zagreba u svi stanovnici Republike Hrvatske sve baterije proizvedene u nekoj tvornici u jednom mjesecu 4. svi mogući rezultati nekog mjerenja Poznavanje cijele populacije - CENZUS Cenzus rijetko možemo imati (preskupo ili neizvedivo)
7 OSNOVNI STATISTIČKI POJMOVI UZORAK - podskup populacije koji uzimamo na unaprijed određen način Primjeri: 1. iz populacije svih studenata uzimamo samo jednu godinu 2. u skladištu opeka uzimamo jedan red 3. obavimo deset mjerenja mase nekog predmeta VARIJABLA - obilježje čija vrijednost se može mijenjati od objekta do objekta Možemo promatrati jedno obilježje (npr. visina studentata) pa govorimo o 1-D skupu podataka ili više obilježja. Npr. promatramo li visinu i težinu studenata, imat ćemo 2-D skup podataka.
8 STATISTIKA OPISNA INDUKTIVNA Istraživač je sakupio podatke i želi ih organizirati, te sažeto opisati važna svojstva Grafičke metode: histogrami, krivulje, kružni dijagrami... Numeričke vrijednosti: prosjek, standardna devijacija, korelacijski koeficijent,... Statističko zaključivanje Istraživač je proučio uzorak i iz njegovih svojstava želi izvesti zaključke o cijeloj populaciji Nužno je razumjeti neodređenosti povezane s uzimanjem uzorka iz populacije
9 STATISTIKA TEORIJA VJEROJATNOSTI pretpostaka - znamo svojstva populacije i želimo predvidjeti svojstva uzorka teorija vjerojatnosti POPULACIJA UZORAK induktivna statistika U OVOM KOLEGIJU NAJPRIJE ĆEMO UKRATKO NAUČITI METODE OPISNE STATISTIKE, ZATIM ĆEMO PROUČAVATI TEORIJU VJEROJATNOSTI, I NAKON TOGA INDUKTIVNU STATISTIKU
10 METODE OPISNE STATISTIKE GRAFIČKE I TABLIČNE METODE S-L DIJAGRAM (STEM AND LEAF, STABLJIKA I LIST) primjer: Na 140 američkih koledža provedena je anketa o tulumpijancima. Kao tulum-pijanac opisan je onaj student koji u nizu popije 4 ili više alkoholnih pića. Postotak tulum-pijanaca dan je u sljedećem popisu:
11 S-L DIJAGRAM Da bismo iz ove šume podataka stekli dojam o rasprostranjenosti pojave, izrađujemo S-L dijagram: 1. odaberemo jednu ili više početnih znamenki za stabljiku 2. u stupac popišemo sve moguće stabljike 3. desno od svake stabljike popišemo sve pripadajuće listove
12 PRIKAZ POMOĆU TOČAKA 1. Nacrtamo dio brojevnog pravca koji obuhvaća sve moguće podatke 2. Svako opažanje prikažemo točkom iznad odgovarajućeg položaja Za podatke iz gornjeg primjera točkasti prikaz izgleda ovako:
13 HISTOGRAMI Postupak crtanja histograma različit je za diskretne i kontinuirane varijable Diskretna varijabla - ona za koju je skup mogućih vrijednosti konačan ili prebrojiv - najčešće se radi o prebrojavanju Kontinuirana varijabla - skup mogućih vrijednosti jest cijeli interval na brojevnom pravcu - najčešće rezultat mjerenja
14 PRIMJER DISKRETNE VARIJABLE Starost djece koja se igraju u parku. Varijabla je X = starost djeteta Rezultati ankete za 48 djece (starost u godinama): Moguće vrijednosti varijable X su 1, 2, 3,..., 18, 19, 20,... Dakle, radi se o diskretnoj varijabli
15 FREKVENCIJA Def.: Frekvencija f i neke određene vrijednosti x i varijable X jest broj pojavljivanja te vrijednosti u promatranom skupu podataka. Vrijedi: i f i = N, gdje je N broj svih podataka u skupu Tablični prikaz svih frekvencija naziva se raspodjela frekvencija U našem primjeru raspodjela frekvencija izlgeda ovako: x i f i Def.: Relativna frekvencija, f ri, neke određene vrijednosti x i varijable X jest frekvencija podijeljena s ukupnim brojem podataka N = f i, f ri = f i N
16 U našem primjeru je N = 48 pa je raspodjela relativnih frekvencija dana tablicom: x i f ri f ri (%) 1 0,0208 2, ,00 3 0,0417 4,17 4 0, ,42 5 0,125 12,50 6 0,0625 6,25 7 0,0417 4,17 8 0, ,42 9 0, , ,125 12, , , ,0417 4, , ,0208 2, , , , ,0208 2, , ,0208 2,08 Crtanje histograma (za diskretnu raspodjelu): 1. odredimo frekvencije ili rel. frekvencije 2. na apscisi označimo moguće vrijednosti varijable X 3. nacrtamo pravokutnik visine f i ili f ri f(x) NAŠ PRIMJER: x
17 Konstrukcija histograma za kontinuiranu varijablu Primjer: potrošnja benzina (u litrama na 100 km): 6,25 5,93 7,8 4,95 9,2 8,57 6,82 7,43 5,78 5,46 6,54 7,02 6,78 4,75 5,32 7,11 5,66 5,99 6,87 8,35 7,66 7,23 6,58 6,92 6,32 7,08 5,98 6,25 5,45 6,72 6,38 6,9 9,87 6,23 6,52 6,43 6,12 5,81 6,37 7,23 7,46 8,06 6,09 5,82 4,99 6,32 6,51 6,49 9,49 6,39 Konstrukcija histograma: 1. podijelimo apscisu na prikladan broj razreda (ekvidistantno ili ne) 2. odredimo frekvencije 3. crtamo pravokutnike - za ekvidistantne razrede visina = f ri - za neekvidistantne razrede visina = f ri /širina
18 Primjer potrošnje benzina - ekvidistantni razredi frekvencija 10 frekvencija potro!nja (l/100 km) 0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 potro!nja (l/100 km) Primjer neekvidistantnih razreda: osobe prijavljene zavodima za zapošljavanje, RH 1990: dob broj osoba (u tisu!ama) f ri (%) (14)-19 6,1 3, ,0 42, ,5 39, ,6 8,50 50-(65) 11,2 5,73 gustoca (%) UKUPNO 195,4 100,00 0 (1 4 ) (6 5) godin e s t aro s t i
19 HISTOGRAMI - napomene: - površina pravokutnika je frekvencija danog razreda - ukupna površina relativnih frekvencija je 1 Prema obliku histogrami mogu biti: - unimodalni - bimodalni - višemodalni ili - simetrični - pozitivno nagnuti - negativno nagnuti
20 MJERE POLOŽAJA Grafičkim prikazom stekli smo impresiju, ali želimo izvući neke brojeve koji karakteriziraju skup podataka. Neka se skup sastoji od brojeva x 1, x 2,... x n. Najprije nas zanima položaj i-tog elementa, posebno središte. Neka skup x 1, x 2,... x n predstavlja uzorak iz veće populacije! Def: Srednja vrijednost, x, uzorka x 1, x 2,... x n dana je s: Fizikalno značenje - težište! x = x 1 + x x n n = 1 n n x i i=1 5 $ 10 15
21 Def: Srednju vrijednost populacije označavamo s μ U induktivnoj statistici najčešće želimo procijeniti μ na osnovu uzorka Najveći nedostatak srednje vrijednosti kao mjere položaja - podliježe utjecaju ekstremnih vrijednosti u uzorku Def: Medijan, µ, određujemo tako da sva opažanja poredamo po veličini. Ako je broj opažanja neparan, medijan je vrijednost ([n+1)/2] -tog opažanja. Ako je broj opažanja paran, medijan je srednja vrijednost (n/2) -tog i (n/2+1) -tog opažanja Kvartili dijele skup opažanja na četiri dijela Percentili dijele skup opažanja na 100 dijelova Ošišani prosjek - odbacimo jednak broj ekstrema s obje strane pa računamo srednju vrijednost
22 MJERE POLOŽAJA Uzorci s istim mjerama položaja (prosjek, medijan) mogu se bitno razlikovati Slika prikazuje tri različita skupa istog presjeka i medijana: Osim središta uzorka, zanima nas i koliko je raspršen Najjednostavnija mjera raspršenja je: Def: Raspon uzorka - razlika između najveće i najmanje vrijednosti u uzorku Mana: ovisi samo o ekstremima
23 Def: Odstupanje od prosjeka pojedine vrijednosti u uzorku: x i x Želimo izraziti mjeru odstupanja u jednom broju n ( x i x ) 1. ideja: zbrojimo sva odstupanja: 1 n i=1 No, to je jednako nuli (pozitivna i negativna odstupanja se poništavaju) 2. ideja: zbrojimo apsolutne vrijednosti svih odstupanja: 1 x i x n i=1 Timo dobivamo mjeru odstupanja, ali i znatne matematičke komplikacije 3. ideja: zbrojimo sve kvadrate odstupanja: 1 n Def: Varijanca uzorka: s 2 = 1 n 1 n i=1 ( x i x ) 2 n i=1 ( x i x ) 2 n Def: standardna devijacija uzorka: s = s 2
24 Pitanje! Zašto smo uzeli n-1, a ne n? Def: Varijanca populacije: (gdje je μ prosjek populacije) σ 2 = 1 n n i=1 ( x i µ ) 2 Vrlo rijetko poznajemo μ pa pokušavamo iz uzorka odrediti μ i σ. No, prosječni kvadrat odstupanja ( x i x ) 2 u uzorku je manji od nepoznatog ( x i µ ) 2. Da bismo to korigirali, u nazivnik izraza za varijancu stavljamo n-1 umjesto n. Na taj način možemo s pomoću varijance uzorka procijeniti varijancu populacije. Korekcija dolazi zbog umanjenog broja stupnjeva slobode u uzorku. To ćemo dokazati kasnije u semestru.
25 KOMBINATORIKA (1) PERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJA - n različitih elemenata A1,..., An moguće je poredati u niz na više različitih načina - broj tih načina zovemo PERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJA - odaberemo jedan element n izbora - odaberemo sljedeći element n - 1 izbora - odaberemo treći element n - 2 izbora P (n) = n (n-1) (n-2) = n! Po definiciji: 0! = 1
26 Primjer: Na koliko načina možemo poredati brojeve 1, 2 i 3? 1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, načina P(3) = 3! = = 6
27 (2) PERMUTACIJE S PONAVLJANJEM - n elemenata unutar kojih je r 1, r 2,..., r k jednakih i r i = n - na koliko načina možemo poredati te elemente u niz? - zamislimo da su svi elementi različiti; tada bi bilo n! načina; zamislimo da su svi elementi različiti osim njih r 1 n! permutacije tih istih elemenata ne pridonose ništa: načina r 1! n! - ako su r 1 i r 2 elemenata isti: načina r 1!r 2! OPĆENITO: (n) P r1,r 2,...,r k = n! r 1! r 2!... r k!
28 Primjer: Na koliko načina možemo poredati brojeve 1, 1 i 2? 1 1 2, 1 2 1, načina n = 3, r 1 = 2 P 2 (3) = 3! 2! = 3
29 (3) VARIJACIJE BEZ PONAVLJANJA - n različitih elemenata A1,..., An i želimo od njih stvoriti skup od r elemenata, s time da se isti element može pojaviti samo jednom i da je poredak elemenata važan! - odaberemo prvi član skupa n načina - odaberemo drugi član skupa n - 1 načina odaberemo r-ti član skupa (n - r+1) - slično kao kod permutacija bez ponavljanja n( n 1) n 2 - iz binomnog poučka imamo: ( a + b) n = n x=0 ( )... n ( r 1) = n! ( n r)! n x an x b x ; n x = n! ( n x)!x!
30 VARIJACIJE BEZ PONAVLJANJA: V r (n) = n! ( n r)! = n! ( n r)!r! r! = n r r! Primjer: Na koliko načina možemo od brojeva 1, 2, 3, 4 formirati skupove od po dva broja, ali tako da se svaki broj može pojaviti samo jednom, i da je poredak brojeva u skupu važan? 1 2, 1 3, 1 4, 2 3, 2 4, , 3 1, 4 1, 3 2, 4 2, NAČINA! V 2 (4) = 4! ( 4 2)! = 4! 2! = 12
31 (3) VARIJACIJE S PONAVLJANJEM - n različitih elemenata A1,..., An i želimo od njih stvoriti skup od r elemenata, poredak elemenata je važan, isti element se može pojaviti više puta! - odaberemo prvi član skupa n načina - odaberemo drugi član skupa n načina odaberemo r-ti član skupa n načina - slično kao i prije n n n n... n = n r ( r elemenata) V r (n) = n r
32 Primjer: Na koliko načina možemo od brojeva 1, 2, 3, 4 formirati skupove od po dva broja, tako da se svaki broj može pojaviti više puta, i da je poredak brojeva u skupu važan? 1 2, 1 3, 1 4, 2 3, 2 4, , 3 1, 4 1, 3 2, 4 2, NAČINA! 1 1, 2 2, 3 3, 4 4 V 2 (4) = 4 2 = 16
33 (5) KOMBINACIJE BEZ PONAVLJANJA - n različitih elemenata slažemo u skupove veličine r, svaki element smije se u skupu pojaviti samo jednom, poredak nije važan - isto kao i varijacije bez ponavljanja, samo što poredak nije važan K r n ( ) ( ) = V n r r! = n! r! ( n r)! = n r Primjer: Na koliko načina možemo od brojeva 1, 2, 3, 4 formirati skupove od po dva broja, tako da se svaki broj može pojaviti više puta, i da je poredak brojeva u skupu važan? 1 2, 1 3, 1 4, 2 3, 2 4, NAČINA! ( 4 K ) 2 = 4! 2! ( 4 2)! = 4! 2!2! = = 6
34 (5) KOMBINACIJE SA PONAVLJANJEM - n različitih elemenata slažemo u skupove veličine r, svaki element smije se u skupu pojaviti više puta, poredak nije važan - isto kao i varijacije sa ponavljanjem, samo što poredak nije važan ( n K ) r = n + r 1 r = K r ( n+r 1)
OPISNA STATISTIKA GRAFIČKE METODE. Pravila kolokvija PROMJENE RASPOREDA: Dozvoljene formule s weba (M. Grbić) HISTOGRAMI
PROMJENE RASPOREDA: Kolegij SOM (prvi kolokvij) Opća fizika (predavaje) Numerička matematika Stari termi. ožujka -h. ožujka -h. ožujka -h Novi termi. ožujka -h. ožujka -h. travja - Pravila kolokvija Dozvoljee
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραUVOD DEFINICIJA: Statistika planiranje i provođenje pokusa skupljanje podataka interpretacija
OSNOVE STATISTIKE UVOD DEFINICIJA: Statistika je grana matematike koja obuhvaća sakupljanje, analizu, interpretaciju i prezentaciju podataka te izradu predviđanja koja se temelje na tim podacima. Smatra
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραUvod u matematičku statistiku
Uvod u matematičku statistiku Pojam matematičke statistike. Pojednostavljeno rečeno, matematička statistika je znanstvena disciplina koja iz poznavanja određenih svojstava uzorka donosi zaključke o svojstvima
Διαβάστε περισσότεραSlučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa
Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα4. MJERE DISPERZIJE. Josipa Perkov, prof., pred. 1
4. MJERE DISPERZIJE Josipa Perkov, prof., pred. 1 Kod mnogih mjerenja se može opaziti da se rezultati grupiraju i skupljaju oko jedne srednje vrijednosti Srednja vrijednost dobro reprezentira rezultate
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραGLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
Διαβάστε περισσότεραIzbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Διαβάστε περισσότεραPISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραSlučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike
Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje
Διαβάστε περισσότεραVjerojatnost i statistika
Outline Vjerojatnost i statistika dr. sc. Martin Lazar Sveučilište u Dubrovniku Preddiplomski studij primijenjenog/poslovnog računarstva 2011/2012 Organizacija kolegija Predavanja: dr. sc. Martin Lazar,
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραSTATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA
Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραTOLERANCIJE I DOSJEDI
11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραPeriodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραOsnovni pojmovi iz kombinatorike, vjerojatnosti i statistike I. Kombinatorika
Osnovni pojmovi iz kombinatorike, vjerojatnosti i statistike I. Kombinatorika Teorem o uzastopnom prebrojavanju (TUP) Ako x 1 možemo birati na n 1 načina, ako x 2 možemo birati na n 2 načina,..... ako
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραOSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18
OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραUvod u neparametarske testove
Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραAritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina
MJERE CENTRALNE TENDENCIJE Aritmetička sredina Medijan Mod Geometrijska sredina Harmonijska sredina MJERA CENTRALNE TENDENCIJE ili središnja vrijednost jest brojčana vrijednost koja reprezentira skupinu
Διαβάστε περισσότερα