PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE

Transcript

1 1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila da je odjevni predmet loš, kolika je vjerojatnost da je taj odjevni predmet veličine L? b) Dokažite da je funkcija f f(x) = { 1 2 x za x [ 1, 1] 0 za x / [ 1, 1] funkcija gustoće vjerojatnosti neke slučajne varijable X. Nacrtajte graf funkcije f, te izračunajte očekivanje i varijancu slučajne varijable X. 2. a) Slučajna varijabla X ima normalnu razdiobu N (13, 5). Izračunajte P (8 X 15) i b) Pretpostavimo da je visina studenata normalno distribuirana s očekivanjem cm i standardnom devijacijom 5.6 cm. Ako ima 250 studenata, koliki je očekivani broj studenata koji su viši od 173 cm? 3. U cilju ispitivanja nekog svojstva pamučnih vlakana mjerena je njihova duljina. Podaci su dani u tablici: duljina u cm [0, 3 [3, 6 [6, 9 [9, 12 [12, 15 broj vlakana a) Nacrtajte histogram za dobivene podatke, te izračunajte prosječnu duljinu vlakana, standardnu devijaciju te varijancu. b) Uz razinu značajnosti α = 0.01 provjerite hipotezu o normalnoj razdiobi duljine vlakana. 4. Plivačka ekipa Mladosti podijeljena je u dvije grupe. Mjereno je vrijeme (u sekundama) koje je potrebno da preplivaju bazen duljine 100 m. Rezultati su dani u tablici: 1. grupa grupa Može li se uz razinu značajnosti α = 0.1 zaključiti da su rezultati u obje grupe jednaki? 5. a) Iz intervala [5, 10] generirano je 400 slučajnih brojeva koji su razvrstani u 5 podintervala: interval [5, 6) [6, 7) [7, 8) [8, 9) [9, 10] broj br Da li su frekvencije ravnomjerno rasporedene po intervalima uz razinu značajnosti α = 0.01 i α = 0.05? OKRENI!

2 b) U trgovini odjeće anketirali su kupce o preferiranom materijalu odjeće. Zanima ih da li postoji razlika u odabiru vrste materijala ovisno o dobi. Dobiveni rezultati su dani u tablici: vrsta materijala mladi stariji pamuk viskoza Možete li na osnovu ovih podataka zaključiti da starija populacija preferira viskozu, uz razinu značajnosti 0.025?

3 1. a) Voćarnica se opskrbljuje jabukama iz tri voćnjaka, i to 35% potrebne količine iz prvog, 28% iz drugog, a ostatak iz trećeg voćnjaka. 3% jabuka iz prvog voćnjaka su druge kvalitete, 4% jabuka iz drugog voćnjaka su druge kvalitete, te 2% jabuka iz trećeg voćnjaka su druge kvalitete. Ako smo ustanovili da je jabuka druge kvalitete, kolika je vjerojatnost da je iz trećeg voćnjaka? b) Dokažite da je funkcija f f(x) = { 1 8 x 1 8 za x [1, 5] 0 za x / [1, 5] funkcija gustoće vjerojatnosti neke slučajne varijable X. Nacrtajte graf funkcije f, te izračunajte očekivanje i varijancu slučajne varijable X. 2. a) Vjerojatnost da strijelac pogodi cilj je 1. Ako gada 10 puta, kolika je vjerojatnost da 4 pogodi cilj barem dvaput? b) Slučajna varijabla X ima normalnu razdiobu N (17, 7). Izračunajte P (16 X 21) i 3. a) Nakon 30 nezavisnih mjerenja jedne veličine dobivene su vrijednosti: x = 5.73, s 2 = Odredite 99% pouzdani interval za matematičko očekivanje uz pretpostavku da slučajna varijabla ima normalnu razdiobu. b) Statističko obilježje X ima normalnu razdiobu N (µ, 2 2 ). Koliki opseg uzorka treba uzeti da duljina 95% pouzdanog intervala bude veća od 1.4? 1. metoda metoda Može li se uz razinu značajnosti α = 0.1 zaključiti da obje metode daju istu točnost? 5. Anketiranjem 130 osoba dobiveni su sljedeći podaci o vremenu provedenom na internetu tokom jednog dana: provedeni sati [0, 1 [1, 2 [2, 3 [3, 4 [4, 5 [5, 6 broj osoba a) Nacrtajte histogram za dobivene podatke, te izračunajte prosječno vrijeme provedeno na internetu, standardnu devijaciju te varijancu. b) Testirati hipotezu o normalnoj razdiobi vremena provedenog na internetu uz razinu značajnosti 0.05.

4 1. a) Neka su A i B dogadaji za koje je P (A) = 0.42, P (B) = 0.35 i P (A B) = Odredite P (A + B), P (A), P (B), P (A + B), P (A B). b) Odredite konstantu a tako da funkcija f dana tablicom x i a f(x i ) bude funkcija vjerojatnosti neke slučajne varijable X. Izračunajte E[X] i V [X]. 2. a) Ispravnu kocku bacamo 15 puta. Odredite vjerojatnost da se 5 puta pojavio broj 2. b) Slučajna varijabla X ima normalnu razdiobu N (31, 9). Izračunajte P (27 X 33) i 3. a) Mjerenjem obilježja X koje ima normalnu razdiobu dobiveni su rezultati: 10, 15, 7, 11, 10, 9, 11, 8, 9, 12. Procijenite 90% interval pouzdanosti za očekivanu vrijednost obilježja X. b) Statističko obilježje X ima normalnu razdiobu N (µ, 3 2 ). Koliki opseg uzorka treba uzeti da duljina 99% pouzdanog intervala ne bude veća od 3.4? 1. metoda metoda Može li se uz razinu značajnosti α = 0.02 zaključiti da obje metode daju istu točnost? 5. Anketiranjem 300 studenata dobiveni su sljedeći podaci o broju neuspješnih pokušaja u polaganju ispita iz Statistike: broj neuspješnih pokušaja broj studenata a) Izračunajte prosječan broj neuspješnih pokušaja, standardnu devijaciju, varijancu, koeficijent varijacije te standardnu pogrešku. b) Provjerite da li se podaci podudaraju s Poissonovom razdiobom s pouzdanošću 95%.

5 1. a) Neka su A i B dogadaji za koje je P (A) = 0.37, P (B) = 0.43 i P (A B) = Odredite P (A + B), P (A), P (B), P (A + B), P (A B). b) Odredite konstantu a tako da funkcija f dana tablicom x i a f(x i ) bude funkcija vjerojatnosti neke slučajne varijable X. Izračunajte E[X] i V [X]. 2. a) Ispravnu kocku bacamo 25 puta. Odredite vjerojatnost da se 7 puta pojavio broj 3. b) Slučajna varijabla X ima normalnu razdiobu N (25, 8). Izračunajte P (19 X 27) i 3. a) Mjerenjem obilježja X koje ima normalnu razdiobu dobiveni su rezultati: 100, 150, 75, 114, 69, 103, 95, 117, 84, 101, 97, 123, 89. Procijenite 99% interval pouzdanosti za očekivanu vrijednost obilježja X. b) Inženjer želi procijeniti prosječno vrijeme potrebno za sastavljanje neke elektroničke komponente. Koliki uzorak treba uzeti da bi mogao biti 90% siguran da je greška u procjeni srednjeg vremena sastavljanja manja od 1 minute? Standardna devijacija vremena sastavljanja je 1.5 minuta. 1. metoda metoda Može li se uz razinu značajnosti α = 0.1 zaključiti da obje metode daju istu točnost? 5. Anketiranjem 160 osoba dobiveni su sljedeći podaci o vremenu provedenom u gledanju TV-a tokom dana: provedeni sati [0, 1 [1, 2 [2, 3 [3, 4 [4, 5 [5, 6 broj osoba a) Nacrtajte histogram za dobivene podatke, te izračunajte prosječno vrijeme provedeno gledajući TV, standardnu devijaciju te varijancu. b) Testirati hipotezu o normalnoj razdiobi vremena provedenog gledajući TV uz razinu značajnosti 0.01.