y f x y g x Bernouli diferencijalna jed.: y' f x y g x y n realni broj; Svodi se na linernu dif.jed. Homogena diferencijalna jed.

Transcript

1 0. DIFERENCIJALNE JEDNADZBE 0. Openito o diferenijalnim jednadzbama Obina diferenijalna jednadzba (dif.jed.) je izraz u kojem se nepoznania nalazi u formi derivaije ili diferenijala. Zavisna promijenjiva zavisi samo o jednoj nezavisno promjenjivoj veliini. d d Izraz takve dif.jed. izgleda ovako: ' sin + 5 e + d d Ako nezavisna promijenjiva zavisi vise nego o jednoj zavisno promijenjivoj, govorimo o parijalnim diferenijalnim jednadzbama. Red dif.jed. je stupanj derivaije koje se pojavljuje u jednadzbi. Dif. jed. prvog reda imaju znai nepoznaniu sa prvom derivaujom. Rijesiti dif.jed. znai pronai takvo rjesenje (rjesenja) koje identiki zadovoljava zadanu jednadzbu. To se obino vrsi integriranjem zadanog izraza. Takvo rjesenje je ope rjesenje ili opi integral dif.jed. Ako su uz dif.jed. zadani i poetni uvjeti onda je dobijeno rjesenje partikularno rjesenje jednadzbe. Ako je zadano vise poetnih uvjetra, onda se kaze da je dif.jed. zadana sa graninim uvjetima. Diferenijalne jednadzbe prvog reda Postoji vise oblika diferenijalnih jednadzbi prvog reda: Standardni oblik ' f, + N( ) d M ( ) A N( ) B( ) + B ( ) d ' + + n f ( λ λ) f ( ) M N(, ) Diferenijalni oblik: M, d, 0 Separirani (odvojeni) oblik: A d 0 Linearna diferenijalna jed.: za sluaj kada je, i,, imamo f g Bernouli diferenijalna jed.: ' f g n realni broj; Svodi se na linernu dif.jed. Homogena diferenijalna jed.:,, Egzaktna diferenijalna jed.: Diferenijalne jednadzbe drugog stupnja Karakteristina jednadzba i ope rjesenje: Jednadzba oblika: " + a ' + a 0 rjesava se analogno algebarskim jednadzbama: 0 λ + aλ + a0λ λ 0. Rjesenja za mogu biti: Diferenijalne jedn.

2 Realna: e + e ; Za sluaj kada je λ λ k osh λ + k sinh λ λ λ a ( a+ bi ) ( ) a bi Kompleksna: λ a± bi: d e + d e Analogno algebarskom: a e osh b+ e sinh b Dvostruko rjesenje: λ λ : e + e λ λ Diferenijalne jednadzbe viseg stupnja ( n) ( n ) Linearna homogerna jednadzba oblika + a a 0 sa konstanrtnim n 0 n koefiijentima a ( j 0,,,.., n) ima rjesenje: λ + a λ aλ + a 0 j n n 0 Metoda sa nedefiniranim koefiijentima, kojom se predpostavlja da se derivaije mogu prikazati kao konaan broj linerno nezavisnih funkija Φ ( ) {,,,..., n } Φ α Polinom n-tog stupnja: Φ + n n p An An α Poznati koefiijenti: ke Ae odnosno; A+ A 0 Φ k sin β+ k os β Asinβ+ Bos β 0. Osnovne postavke o diferenijalnim jednadzbama + +. Utvrdi da li je, rjesenje jednadzbe " ' Znajui da je, mozemo izraunati : ' 0 i " 0. Uvrstimo u jednadzbu: " + ' Predlozeno rjesenje ne zadovoljava jednadzbu.. Utvrdi da li je e + e, rjesenje jednadzbe " + ' + Raunamo: ' e + e e e e " + e e + e e Uvrstimo vrijednosti za derivaije u nasu jednadzbu: ( ) +( e ) " ' e e e e + e e e + e + e 0 Predlozeno rjesenje zadovoljava jednadzbu. sin + Ae + sin. Utvrdi da li je sin, rjesenje dif. jedn. ' os sin sin Derivirajmo zadanu jednadzbu: ' sin ' os os Uvrstimo znane vrijednosti u jednadzbu: sin sin sin os Ae os + ( sin + Ae ) os + Ae Ae Diferenijalne jedn.

3 os sin Ae os sin os os + + Ae sin os Zadano rjesenje zadovoljava diferenijalnu jednadzbu. sin sin os sin ( ) [ ]. Dokazi da je rjesenje dif. jed. ' + 0 u intervalu -, ali ne i u nekom sirem intervalu koji sadrzi zadane toke. Derivirajmo rjesenje: ' ' ( ) ( ) U tokama intervala, funkija je definirana, pa ako zamijenimo vrijednosti u dif. jed.: ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadovoljava Izraz nije definiran za toke ±, bilo kojeg intervala pa zato takav interval ne moze biti rjesenje dif. jed. 5. Izraunaj koefiijente i jednadzbe " + 0 koja ima zadane poetne vrijednosti {} π π 0; i ako je ope rjesenje dif. jed. sin + os. 8 6 π π π π π Napisimo reeno: 0 sin + os sin + os π π π π π + 0{} sin + os sin + os {} { } Rijesimo algebarske jednadzbe i : Zamijenimo vrijednosti u jednadzbi: sin + os sin + os ( sin + os ) 6. Izraunaj partikularna rjesenja dif. jed. " 0 koja ima zadane poetne vrijednosti ; 0 i '. 0 Diferenijalne jedn.

4 d d + Integrirajmo jednadzbu: '' ' ponovna integraija daje: Ope rjesenje jednadzbe je: + Uvrstimo poetne vrijednosti: ' + + pa je partikularno rjesenje diferenijalne jednadzbe + [ ] [ ] 7. Dokazi da je ln rjesenje jednadzbe " + ' 0 u intervalu 0, i da u intervalu -, rjesenje nije valjano. Iz ln ' i " Zamijenimo vrijednosti u jednadzbi: " + ' rjesenje zadovoljena za [ 0, ]. ln ne moze biti rjesenje za interval -, jer funkija ln je nedefinirana za negativne vrijednosti od. [ ] ' ( ) 8. Izraunaj koefiijente i tako da budu zadovoljeni poetni uvjeti 0 0 i ' 0 za jednadzbu e e sin. Za 0 0 sin e + e Za ' 0 imamo: ' e + e + sin e + e + os ' 0 e + e + os Rijesimo te dvije jednadzbe:, π 9. Izraunaj koefiijente i tako da budu zadovoljeni poetni uvjeti 0 i 8 π ' za jednadzbu sin + os +. 8 π π π π π π Za 0 sin + os + sin + os π Za ' imamo: ' ( ) ' sin + os + os sin 8 Diferenijalne jedn.

5 π π π ' os sin Rijesimo te dvije jednadzbe: +, π 0. Izraunaj koefiijente i tako da budu zadovoljeni poetni uvjeti ( 0) i za jednadzbu " + 0, ako je poznato ope rjesenje sin + os. Za 0 0 sin 0 os 0 sin 0 + os 0 + π π π π Za sin + os sinπ + osπ Da bi simultano zadovoljili zadane poetne uvjete, koefiijent bi trebao istovremeno poprimiti dvije razliite vrijednosti: i sto je nemogue. Zato kazemo da zadatak, kako je zadan, nema rjesenja. 0. Oblii diferenijalnih jednadzbi. Preinai zadanu dif. jed. u standardni oblik: ' + sin e e Standardni oblik je dan izrazom : ', ' + sin f e e sin e e ' sin e ' ' e sin e e ( ). Preinai zadanu dif. jed. u diferenijalni oblik: '- Diferenijalni oblik je dan izrazom: M, d+ N, d 0 + Rijesimo po ': '- ' ' ovo je sada standardni oblik. i) Ako uzmemo da je M, + i N, mozemo napisati i: M + + odnosno ( + ) d + ( ) d 0 sto je trazeni oblik. N ( ) ii) Ako uzmemo da je M i N mozemo napisati i: + Diferenijalne jedn. 5

6 M, + + odnosno ( ) d + d 0 sto je trazeni oblik. N + + iii) Ako uzmemo da je M i N mozemo napisati i: + M + + odnosno d + d 0 sto je trazeni oblik. N iv) Ako uzmemo da je M i N mozemo napisati i: M + odnosno d N + d 0 sto je trazeni oblik.. Preinai zadanu dif. jed. iz diferenijalnog oblika u standardni oblik: ( + ) d + ( + ) d 0. Standardni oblik je dan izrazom : ' f (, ) ( + ) + ( + ) 0 ( + ) ( + ) d d d d ( ) d + + ' ' d + ( + ) e. Dokazi da je dif. jed. zadana u diferenijalni obliku ', homogena. + sin ( λ λ ) Homogeni oblik dif. jed. je dan izrazom: f, f, : e f + sin (, ) λ λ λ e λ e f ( λ, λ) f f ( λ, λ) λ ( λ) + ( λ) sin λ + λ sin λ 5. Dali je zadana jednadzba linearna ' sin + e? λ Linearni oblik je dan izrazom: ' + f g f sin ; g e Diferenijalne jedn. 6

7 Jednadzba je linearna. Za promjenu, jednadzba ' sin + e nije linearna, jer je sin 6. Dali je zadana jednadzba linearna ' + e? e g Linearni oblik je dan izrazom: ' + f g ' + e ' + e 0 f ; 0 Zadana jednadzba je linearna. 7. Dokazi da je zadana jednadzba egzaktna: d d M, N, Egzaktna dif. jed. zadovoljava uvjet: M M d + ( + ) d N, N + Uvjet je zadovoljen. 0. Diferenijalne jednadzbe prvog reda 0.. Diferenijalne jednadzbe sa odvojenim koefiijentima B( ) d Opi oblik DJ dan je izrazom: A d + 0 i rjesenje dobijemo integriranjem Ako su zadani poetni uvjeti, A d + B d C rjesenje se dobije intergirajem: A d + B d 0 8. Rijesi e d d 0; 0 e d d 0 A d + B( ) d e d + ( ) d e k 0 e Postavimo poetne uvjete: 0 e + k k e + k e e Uvrstimo: odnosno Zbog poetnih uvjeta 0, negativna vrijednost korjena se ne moze uzeti kao rjesenje. 9. Rijesi ' 7 Diferenijalne jedn. 7

8 d Preuredimo DJ u diferenijalni oblik i odvojimo promijenjive: 7 7d d 0 d 0 A d + B( ) d 7d + d 7 ln Preuredimo izraz: ln 7 Gornji izraz prikazimo kao poteiju: e dalje: e (iz definiije logaritma) e e e ± e e ln Trazeno rjesenje prikazano ekspliitno: ± 7 ke pri emu je k e ln 7 e i 0. Rijesi ' + + d Preuredimno DJ i odvojimo promijenjive: '( + ) + ( + ) + d d d d ( + ) ( + ) d d d 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Uvrstimo u intergal: R A d+ B( ) d d+ Rijesimo integrale: d d du ( + ) ( + ) + ( + ) d d d + u du a) ln + u d ln ln + d b) ln + R A d+ B d ln ln ( + ) ln ( + ) ln + ln ( + ) + ln ( ) + R ln + ln ( + ) ( + ) ln ln ( + ) ( + ) Nase rjesenje: C + + d ( ). Rijesi d + d ( ) ( ) Preuredimno DJ u diferenijalni oblik: + d d 0 Uvrstimo u intergal R A d + B d + d + d Rijesimo integrale: a) ( + ) d + b) d Diferenijalne jedn. 8

9 R ± + + ( π ) 0 π 0. Rijesi DJ os d+ - 5 d 0 uz uvjet 0 Poetni uvjeti su znai ; 0 A os ; B - 5 Uvrstimo u integrale: R A d+ B d 0 osd+ -5 d π 0 u d du a) os d sin sin d sin + os dv os d; v osd sin b) -5 d 5 5 π R A d+ B d 0 sin+ os R sin + os πsinπ osπ + 0 sin + os + +. Rijesi DJ ' Zadana DJ se ne moze separirati. Posto je to homogena DJ, mozemo izvrsiti transformaiju: d Homogena DJ: ' f, ima svojstvo f, f, d ( λ λ ) d ' du zamijenimo: u i derivirajmo: ( u) u+ Primijenimo to na nasu DJ: d d d du + u du du ' u+ u + + u du d d d d d d d d du 0 Sada mozemo rijesiti nasu novu DJ: du 0 du C ln u ili: u ln oznaimo ln k u ln + ln k ln k Zamijenimo pravu vrijednost za u: u u ln k ln k +. Rijesi DJ ' Zadana DJ se ne moze separirati ali predpostavljamo da je homogena pa mozemo pisati: ( λ) + ( λ) ( λ)( λ) 0 ( + ) + λ + f f ( λ, λ) λ Diferenijalne jedn. 9

10 d ' du DJ je homogena. Izvrsimo zamjenu: u; i ( u) u+ d d ( u) ( u) du + du u + Primijenimo to na nasu DJ: u+ u+ d d u du u + d u d u du Sada mozemo rijesiti nasu novu DJ: d u u + u + du 0 d u d du C ili: ln u + u u + v dv du ln ln v u + u + dv u du v ln ln u + ln ln u + oznaimo ln k imamo ln + ln k ln u + ln k ln u + ln k ln u + Zamijenimo pravu vrijednost za u: u ln ( k) ln + + ln ( k) ln ln ( k) + ln ln + ln ln ln k ln k Rijesi DJ iz zadatka 7. na drugi nain: ' d + d Prikazimo DJ u reipronom obliku: ' d d + ( u) + d ' du du Sada primijenimo supstituiju: u; i ( u) u+ u+ d d d u du u du u du u u+ u+ u d + d d + u ( u) ( + u ) 5 du u + u d + u d + u Odnosno DJ + du Rijesimo DJ: + du d + u u+ u u+ u + du C ln u+ u d + u d ili: 5 + u + u u du u + + u du du 5 du u u u ( u ) u + + u u du ln u u u + u dv u du du u + v dv du ln u + v Diferenijalne jedn. 0

11 DJ ln u u ln + ln u u + ln + 8ln ln ln ln u ln + u k u + u oznaili smo ln k 8 8 Zamijenimo pravu vrijednost za u k + k + k 8 d + dt d Prikazimo DJ u diferenijalnom obliku: d i rijesimo separaijom promijenjiva: -+ d d DJ dt dt C ili: d d d t Rijesi DJ - artan ( ) Tipini integral dt DJ artan t artan t + tan t+ tan t Rijesi DJ ' + d + d d d d ' Rijesimo C ili: d + + d + u du d u ln u ln + + d du u d du du ln u ln DJ ln + ln ln ( + )( ) u Zamijenimo: ln k + k 0.. Egzaktne diferenijalne jednadzbe N(, ) ( ) ( + ) 8. Dokazi da zadana DJ je egzaktna i izraunaj rjesenje. d + + d 0 M Egzaktan DJ zadovoljava uvjet: M, ; N, + M N To je egzaktna DJ Rjesenje egzaktne DJ: M, d+ N, d 0 dano je izrazom: Diferenijalne jedn.

12 dg, M, d + N, d i za nas sluaj: dg, g dg( ) d + k( ) + k( ) + g(, ) + k( ) Sada moramo nai vrijednost za k + k ( + ) + k ( ) ( + ) k ( ) Taj izraz zadovoljava i N, ' ' Integraijom dobijemo: k k ' d d + Zamijenimo: + k( ) + + g + g + Ili izrazeno impliitno, rjesenje DJ glasi: + e + 9. Rijesi DJ: ' e d e + Napisimo zadano u diferenijalnoj formi: ( e + ) d ( e ) d d e ( e + ) d + ( e ) d 0 M ( e + ); N ( e ) M, ( e + ) N(, ) ( e ) e + e g To je egzaktna DJ g d ( e + ) d e + k( ) + g Derivirajmo izraz po, ime dobijamo i dobijeni rezultat izjednaimo sa N : ' e + k + e + k' e + k' e k' Sada mozemo integrirati: k k' d d k + e e ' + e Uvrstimo u jednadzbu g, : g e + k + + e Rijesi DJ: ( ) d+ ( + ) d M ( - ) N(, ) ( + ) Provjerimo uvjete: N(, ) M Posto je DJ nije egzaktna Diferenijalne jedn.

13 DJ se moze rijesiti metodom koristenja Faktora Integraije I, : I, M, d + N, d 0 Rjejesenje DJ jednako je: M N Ako je: k( ) tada je rjesenje: I(, ) e M M N g d Ako je: g tada je rjesenje: I(, ) e N Ako je: M f i N g tada je rjesenje: I, M N Preuredimo DJ: Pomnozimo DJ sa FI: k d d + + d d d + d + d 0 Faktor Integraije ( FI ) ima oblik: d + d + d + d I ( d + d) d + d d + d d d 0 + ( ) ( ) d + d d d + d d d d DJ je sada egzaktna i rijesimo po metodi FI: Za nas sluaj, iz tabele FI nalazimo I d + d d d d ( ) Integrirajmo obje strane: d d+ ( ) d ln + d + d d Rijesimo DJ : d M ; N ( ) g, g, M g d d ln + k ( ) + g g(, ) 0 + k' ( ) N k' ( ) k( ) ( ) d ln + + ln + ln g k g. Rijesi DJ: ' + d Preuredimo DJ: d + ( ) d 0 d + Diferenijalne jedn.

14 ( ) N(, ) ( + ) M Provjerimo uvjete: 6 6 ( ad + bd) DJ nije egzaktna. Preuredimo DJ: d d d 0 d d d 0 Izraz u zagradi je oblika: Faktor ve imamo. pa nas FI iznosi: a- b- koji ima prema FI, integrirajui faktor. ( ) I, Pomnozimo nas izraz sa I, : d d d 0 i pojednostavimo u skladu sa FI tabelom (u nastavku): 0 d d Integriranjem dobijemo rjesenje: d( ) d + d d d TABLICA FAKTOA INTEGRACIJE Izraz oblika Faktor Integraije Potpuni diferenijal d d d d d d d d d d d d ln d d d d d d d d artan + + d + d d + d d ( ln ) d + d d + d, n > d n n n ( n )( ) d + d d + d d ln ( ) d + d d + d, n > d n ( + ) + ( n )( + ) a b a b a b n ad + bd ad + bd d Diferenijalne jedn.

15 . Pretvori zadanu DJ d+ d 0 u egzaktni oblik N(, ) M Provjerimo uvjete: M N DJ nijhe egzaktna. Primijenimo tvrdnju: Ako je k M k e d : k( ) ( ) k( ) k( ) I M N M k d ln ln d I e e e e d + d 0 d + d 0 DJ je sada egzaktna. tada je rjesenje:. Pretvori zadanu DJ + d+ + + d 0 u egzaktni oblik i rijesi. ( + ) N(, ) ( + + ) M Uvjeti su: DJ je egzaktna. N(, ) M M ( + ); N ( + + ) ; + 6 g ( ) ( ) M + g dg + d + + k + + k ( ) g + + k' Taj izraz zadovoljava i N, + + k' Integraijom dobijemo: k k' d d k' ( ) + + Zamijenimo: g, + + k g, Rijesi DJ: ; za poetne uvjete: (). t + ( ) d dt t + Napisimo DJ drukije: dt + t + dt 0 Ispitajmo egzaktnost DJ M t N t t + Zadovoljava, DJ je egzaktna. t t M t N( t, ) M t ; N( t, ) ( t + ); t Diferenijalne jedn. 5

16 g t t+ k( ) g t t + k ' Taj izraz zadovoljava i N, t ( + ) t + k ( ) ( t + ) k ( ) ' Zamijenimo: ' ' Integraijom dobijemo: k k d d g t k t M t g t dt t+ k g t Rijesimo ovu algebarsku jednadzbu: Sada mozemo primijeniti poetne uvjete i izraunati : Za t i imamo: t+ + t+ + 8t t+ t 6. Provjeri egzaktnost DJ sin + os d+ sin + d 0 i rijesi. Provjerimo uvjete: ( sin os ) ( sin ) M + N + sin + os sin + os N(, ) M M ( sin+ os ) ; N ( sin+ ); sin+ os g ( sin os ) ( sin os ) M + g dg + d sin d os Moramo uzeti u obzir i k! u d du os d sin sin d dv os d v os d sin sin os g, sin os + k g sin os + k sin os + k' k( ) k ( ) d [ + ] d + + Taj izraz zadovoljava i N, : sin os + k' sin + k' + os Integraijom dobijemo: ' os os Zamijenimo: g, sin os k sin os + + os + g, sin Provjeri egzaktnost DJ os + ost dt + sin t tsin d 0 i rijesi. Provjerimo uvjete: ( os os ) ( sin sin ) M t + t N t t t sin + ost ost sin t t Diferenijalne jedn. 6

17 N( t, ) M t M ( t, ) ( os + os t) ; N( t, ) ( sin t tsin ) ; sin + ost t g( t, ) M ( os + os t) g( t, ) dg( t, ) ( os + ost) dt t os dt t os ostdt sin t Moramo uzeti u obzir i k! g t tos + s g( t, ) tos + sin t+ k in t + k tsin t + sin t+ k' N( t ) t t t k ( t) t t k k k d d g( ) t + t + k t + t+ os + sin Taj izraz zadovoljava i, : sin + sin + ' sin sin ' 0 Integraijom dobijemo: ' 0 Zamijenimo:, os sin os sin g t t t 0.. Linearne diferenijalne jednadzbe Linearna diferenijalna jednadzba ima oblik: ' + f g f d DJ se rjesava primjenom metode faktora integraije: I e. DJ se pomnozi sa FI i rezultat se dobije obostanim integriranjem jednakosti: I I ' + f I g I d g I I g I d d n Bernouli diferenijalna jednadzba ima oblik: ' + f g n realni broj. DJ se rjesava uvodjenjem nove nepoznanie z -n DJ funkije z, ije je rjesavanje ranije objasnjeno.. Nakon supstituije, dobije se linearna I f d d ( π ) 8. Rijesi linearnu DJ: ' + sin. Nakon toga rijesi DJ za poetne uvjete: Utvrdimo: f g sin Uvodimo FI: I e e e Pomnozimo DJ sa FI: ' + sin I e ' + e e sin Prema definiiji rjesenje je jednako: e e sin d d g I I g I d d Slian integral je rijesen ranije u dijelu Nepravi Integrali: e sin d e sin os Diferenijalne jedn. 7 +

18 e e sin d e ( sin os ) + sin os + e ( π ) Rijesimo drugi dio zadatka, uvodjenjem poetnih uvjeta: π sin os + e sinπ osπ + e ( 0) ( ) + π π e Zamijenimo : sin os + e sin os + e e π π ( sin os + e ) ( sin os + e ) π e 9. Rijesi linearnu DJ: '. Utvrdimo: f g Uvodimo FI: I e e e f d d Pomnozimo DJ sa FI: ' I e ' e e Prema definiiji imamo: I d g I I g I d e e d d u u u e d e du e e + d du d du e e + e + e e e e 0. Rijesi linearnu DJ: ' 5 0. Utvrdimo: f 5 g 0 Uvodimo FI: I e e e 5 5 f d 5d 5 Pomnozimo DJ sa FI: ' 5 0 I e ' e 5 0 Prema definiiji rjesenje je: I d 5 5 e e 5 e 5 d g I I g I d e 0d +. Rijesi linearnu DJ: '. f d d Utvrdimo: f g Uvodimo FI: I e e d ln ln 7 e Pomnozimo DJ sa FI: ' + I ' + Rjesenje je: Diferenijalne jedn. 8

19 I 8 7 d g I I g I d d d Rijesi linearnu DJ: ' 7 sin. f d 7d Utvrdimo: f 7 g sin Uvodimo FI: I e e 7d 7 ( ) I d e Pomnozimo DJ sa FI: ' 7 sin I e ' e 7 e sin Prema definiiji rjesenje je: sin Ope rjesenje integrala 7 7 e e d I I d g I I g I d a a e e sin bd ( asin b bos b) + (vidi neodredjeni integrali) a + b e e e sind 7sin os + 7sin os e e ( ) sin os + e Nastavimo raunanje: 7 sin os. Rijesi Bernouli DJ: ' + -n Utvrdimo: f g n Uvedimo supstituiju: z : z' z' z ' Zamijenimo: ' + + z z z z z z' z Izraz je linearna DJ, koju znamo rijesiti: Utvrdimo: f d d FI I e e d e ( z z ) I e z e z e I Pomnozimo DJ sa FI: ' ' Prema definiiji rjesenje je jednako: f g d g I I g I d ze e d e + d ze e + z e + Nase je rjesenje, za : z e + Diferenijalne jedn. 9

20 . Rijesi Bernouli DJ: ' -n Utvrdimo: f g n Uvedimo supstituiju: z : z z ' z z' Zamijenimo: ' z z' z z z z' z z z' z Utvrdimo: f g f d d ln FI I e e d ln e e Pomnozimo DJ sa FI: z' z I z' z z' z Rjesenje je jednako: d z d + z + z Nase je rjesenje, za z : / I d g I I g I d dw 5. Rijesi linearnu DJ: + W uz poetne uvjete: W ( ) 50 dt 0 + t ( t) dt 0+ t f () t dt Utvrdimo: f () t g() t Uvodimo FI: I() t e e 0 + t ( 0+ t) dt dt ln ( 0 + t) e ( 0 + t) ;( t > 5) Pomnozimo DJ sa FI: 0 + t 0 + dw dw + W I t 0 + t t dt 0 + t dt () () () ( t) () ( 0 + t ) 0 + t I t d g() t I() t W () t I() t g() t I() t dt ( 0 + t) W dt W t t dt t t t W t t ( t) ;( t > 5 ) Za poetne uvjete W ( ) 00: W t t t + + 0t t 60 W 0 + Po definiiji: ( ) Diferenijalne jedn. 0

21 dt 6. Rijesi linearnu DJ: + kt 0 k k onst. dt f () t dt Utvrdimo: f t k g t 0k Uvodimo FI: I t e e kdt kt I t e () () () () kt () Pomnozimo DJ sa FI: dt kt dt kt kt + kt 0k I () t e + e kt e 0k Prema definiiji imamo: dt dt I t d kt kt kt g() t I() t TI() t g() t I() t dt e T e 0kdt 0e dt + kt kt kt e T 0 e + T t 0 + e () 7. Rijesi Bernouli DJ: ' + e -n Utvrdimo: f g e n Uvedimo supstituiju: z : z' z' z ' Zamijenimo: ' + e e + z z z z z z' z e Izraz je linearna DJ, koju znamo rijesiti: Utvrdimo: f g e FI I e e d e f d d kdt Pomnozimo DJ sa FI: z' z e I e z' e z e e Prema definiiji rjesenje je jednako: I d g I I g I d ze d d ze + z e e e e Nase je rjesenje, za : z ( ) Teorija rjesenja diferenijalnih jednadzbi Opi oblik linearne diferenijalne jednadzbe n-tog stupnja ima oblik: ( n) n n j za g ako su svi koefiijenti b ( n ) 0 b + b b ' + b g koefiijenti b i g ovise samo o. 0 jednadzba je homogena koefiijentima. ako su jedan ili vise koefiijenata b variabilnim koefiijentima. j konstante, onda govorimo o linearnim DJ sa konstantnim j Diferenijalne jedn. konstante, onda govorimo o linearnim DJ sa

22 ( n ) ako su zadani poetni uvjeti,, ', "... i za n neprekinute g i b u nekom intervalu i ako je b 0, onda postoji samo jedno rjesenje DJ. j Podijelimo gornji izraz sa b 0: ( n) j ( n) ( n ) n ( n) n L( ) L( ) ( n ) ( n ) b + b b ' + b g i dobijemo: 0 j n n 0 bj + a a ' + a Φ 0 Izraz se + a a ' + a se naziva Diferenijalni operator 0 za Φ 0 pisemo 0 tj. imamo homogenu DJ. Linearno nezavisna rjesenja { n } Skup funkija,... je linearno nezavisan u intervalu a < < b ako postoje koefiijenti, od kojih neki nisu nula, pa vrijedi: ( n ) (,,... z ) Homogene Linearne DJ n-tog stupnja, L n 0 uvijek ima n-linearno nezavisnih rjesenja. { n } Wronski determinanta se naziva skup funkija z, z... z u intervalu a < < b od kojih svaka ima - derivaija. W z z n z z... z n ' ' ' z... zn z z z... z n n n n Ako Wronski Det. je razliita od nule barem u jednoj toki intervala a < < b onda skup funkija je linearno nezavisan. Nehomogene Jednadzbe: Ako sa oznaimo partikularno rjesenje Dj a sa, homogeno ili komplementarno p rjesenje homogene DJ L 0, tada je ope rjesenje DJ L Φ ( ) : + h n p h 8. Odredi kojeg su reda DJ i utvrdi da li su linearne: a) ' b) ' + e ) e ''' + e '' d) '' + + e) '' 0 a) ' DJ prvog reda, b, b, g. Niti jedan koefiijent 0 ne zavisi o i niti jedna derivaija ne ovisi o. DJ je linearna. Diferenijalne jedn.

23 0 b) ' + e DJ prvog reda, b, b, g e. Niti jedan koefiijent ne zavisi o i niti jedna derivaija ne ovisi o. DJ je linearna. + g ) e ''' e '' DJ treeg reda, b e, b e, b b ) '' + ' + DJ drugog reda. Prva derivaija je potenija umjesto konstante pa DJ 0 0,. Niti jedan koefiijent ne zavisi o i niti jedna derivaija ne ovisi o. DJ je linearna. d nije linearna. e) '' 0 DJ drugog reda, b, b, g 0. Niti jedan koefiijent ne zavisi o i niti jedna derivaija ne ovisi o. DJ je linearna. I posto je g 0, je i homogena. { } [ ] 9. Skup funkija,5,,sin je linearno nezavisan u intervalu,. Dokaz: Postoje konstante 5,, 0 koje nisu sve nula, za koje vrijedi ranije spomenuto pravilo: sin 0 { } 50. Izraunaj Wronski Det. za skup e, e : e e e e W ( e, e ) de de e ( e ) e e e e d d { + } 5. Izraunaj Wronski Det. za skup,, : + ( ) ( + ) ( ) d d d W{, +, } d d d ( ) ( + ) ( ) d d d d d d ( ) 0 0 W W { } [ ] 5. Izraunaj Wronski Det. za skup,, i utvrdi jesu li linearno nezavisni u -, Diferenijalne jedn.

24 d d d W{,, } d d d d d d d d d + + W Barem jedna toka intervala je razliita od nule, primjer za, W 6 0. Prema ranijem teoremu, skup je linearno nezavisan. 5. Nadji ope rjesenje za DJ '' ako su poznata dva rjesenja: sin i os sin os sin os Wronski Det. skupa rjesenja: W{ sin, os } d sin d os os sin d d { sin,os } W os sin + os sin ( ) Posto je W 0, rjesenja su linearno nezavisna i vrijedi ope rjesenje: sin + os 5. Nadji ope rjesenje za DJ '' ' + 0 ako su poznata dva rjesenja: e i e e e e e Nadjimo Wronski Det. skupa rjesenja: W{ e, e } de d( e ) e e + e d d { } W e e e e e e e e, + 0 Posto nezavisna i vrijedi ope rjesenje: e + e je W e 0, rjesenja su linearno 55. Koristei gornja rjesenja, nadji ope rjesenje jednadzbe '' ' + ako je poznato jedno partikularno rjesenje DJ iz gornjeg zadatka je homogena, pa je e + e. Dano partikularno rjesenje je Po teoremu, + e + e p h p h Diferenijalne jedn.

25 { } { } 56. Izraunaj Wronski Det. za skup rjesenja,, 7 i utvrdi jesu li linearno nezavisni. 7 7 d d d( 7) W{,, 7} 0 0 d d d d d d ( 7) d d d W,, 7 0 Prema ranijem teoremu, skup nije linearno nezavisan. 57. Nadji ope rjesenje DJ '' +, ako je jedno rjesenje a dva rjesenja DJ '' + 0 iznose sin i os. + + Iz h p pisemo: h sin os ; p h p sin os Diferenijalne jedn. 5