x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x"

Transcript

1 Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t Dobili smo traženu funkciju f() = Vježba 00 Odredi realnu funkciju f() ako je f( ) = Rezultat: f() = Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi inverznu funkciju f () ako je f ( ) = Rješenje 00 Napišimo zadanu funkciju tako da umjesto f() pišemo : = Sada u funkciji zamijenimo slova i :, = Iz dobivene funkcije trebamo izračunati nepoznanicu Prvo ćemo cijelu jednadžbu pomnožiti zajedničkim nazivnikom : / ( ) ( ) = = [ množi cijelu zagradu] = [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu ] = [izlučimo ] ( ) = / : ( ) = [jednadžbu logaritmiramo logaritmom po bazi ]

2 n = / log log = log log b a = n log b a, log b b = log = log = log = log Na kraju ponovno umjesto napišemo f () pa rješenje glasi: f ( ) = log Vježba 00 Odredi inverznu funkciju f () ako je Rezultat: f ( ) = log Zadatak 00 (Mira, gimnazija) Nacrtaj graf funkcije 5 Rješenje 00 Podsjetimo se svojstava funkcije f() = sin : f ( ) = 5 f() = sin( π) Period funkcije sinus je π Nultočke (točke u kojima graf siječe -os ili apscisu) su 0, π, π, π,, tj kπ, k je cijeli broj Mi ćemo samo promatrati dio grafa na segmentu [0, π] Maksimum funkcije je u i iznosi Minimum funkcije je u i iznosi π π Zadana funkcija f() = sin( π) ima amplitudu što znači da će maksimum biti, a minimum Nultočke funkcije nađemo tako da vrijednost argumenta π izjednačimo s nultočkama funkcije sinus: 0, π, π π π = 0 = π / : =, π = π = π π = π / : = π, π π = π = π π = π / : = Nultočke naše funkcije su: π π, π,

3 Funkcija sinus imala je maksimum u točki Sada argument π zadane funkcije izjednačimo s pa je π π π π π π π = = π = / : = Dakle, funkcija f() = sin( π) ima maksimum u koji iznosi Analogno je za minimum: 5 5 π π π π π = = π = / : = Dakle, funkcija f() = sin( π) ima minimum u koji iznosi π 5π Vježba 00 Nacrtaj graf funkcije Rezultat: f() = sin( π) Zadatak 00 (Mira, gimnazija) Nacrtaj graf funkcije Rješenje 00 Podsjetimo se svojstava funkcije f() = cos : f() = cos( π) Period funkcije kosinus je π Nultočke (točke u kojima graf siječe -os ili apscisu) su π π π,,, tj ( k ), k je cijeli broj Mi ćemo samo promatrati dio grafa na segmentu [0, π] Maksimum funkcije je u 0 i π i iznosi Minimum funkcije je u π i iznosi

4 Zadana funkcija f() = cos( π) ima amplitudu što znači da će maksimum biti, a minimum Nultočke funkcije nađemo tako da vrijednost argumenta π izjednačimo s nultočkama funkcije kosinus: Nultočke naše funkcije su: π π i π π π π π = = π = /: =, 5 5 π π π π π = = π = /: = π 5 π i Funkcija kosinus imala je maksimum u točkama 0 i π Sada argument π zadane funkcije izjednačimo s 0 i π: π π = 0 = π /: =, π π = π = π π = π /: = Dakle, funkcija f() = cos( π) ima maksimume u π π i koji iznose Analogno je za minimum: π = π = π π = π /: = π Dakle, funkcija f() = cos( π) ima minimum u π koji iznosi Vježba 00 Nacrtaj graf funkcije : f() = cos( π) Rezultat:

5 Zadatak 005 (Petra, gimnazija) Odredi temeljni period funkcije: f() = sin sin Rješenje 005 Funkcija f je periodička s periodom P (P 0), ako za svaki vrijedi: Ako je funkcija f definirana u jednoj od točaka, P, onda je definirana u obje te točke i vrijedi f( P) = f() Broj P zove se period funkcije f Najmanji pozitivni period funkcije f (ako postoji) zove se temeljni period funkcije f Ako je P period zadane funkcije, onda mora vrijediti: sin ( P) sin ( P) = sin sin Ova jednakost vrijedi za svaki pa specijalno za = 0 dobivamo: Zato pišemo: sin (0 P) sin (0 P) = sin 0 sin ( 0), [sin 0 = 0] sin P sin P = 0 Produkt dva broja jednak je nuli ako je barem jedan od brojeva jednak nuli sin P = 0, sin P = 0 Jednadžba sin P = 0 daje rješenja P = kπ Jednadžba sin P = 0 daje rješenja k π P = Broj k je prirodan broj Provjeravanjem za π π P= i P= vidimo da nisu periodi Temeljni period zadane funkcije je P = π Vježba 005 Odredi temeljni period funkcije: f() = cos Rezultat: P = π Zadatak 006 (Martina, gimnazija) Nacrtaj graf funkcije f ( ) = Rješenje 006 Crtanje grafa funkcije pokazat ćemo kroz sve faze I DOMENA FUNKCIJE Moramo naći vrijednosti za koje funkcija f() nije definirana i njih izbaciti iz skupa R Budući da je to racionalna funkcija nazivnik ćemo izjednačiti s nulom i riješiti dobivenu jednadžbu: 0 /, = = = = ± =, = Domena je skup R, osim brojeva i Pišemo: D( f ) = R \{,} II PARNOST FUNKCIJE Provjerimo je li zadana funkcija parna, neparna ili nije ni jedno, ni drugo Za parne funkcije vrijedi: f( ) = f(), gdje su i iz domene 5

6 Za neparne funkcije vrijedi: f( ) = f(), gdje su i iz domene Računamo: ( ) ( ) f ( ) = = = f ( ) Funkcija f() je parna, a to znači da je njezin graf simetričan s obzirom na -os ili ordinatu III INTERVALI MONOTONOSTI FUNKCIJE Ako je funkcija f() neprekinuta na segmentu [a,b] i f '() > 0 za a < < b, tada je f() monotono rastuća (uzlazna) Ako je funkcija f() neprekinuta na segmentu [a,b] i f '() < 0 za a < < b, tada je f() monotono padajuća (silazna) Tražimo prvu derivaciju zadane funkcije: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 8 6 f '( ) = = = = 6 Ako je f '( ) > 0, slijedi > 0 ( ) Razlomak je pozitivan ako su brojnik i nazivnik oba pozitivni ili oba negativni U našem slučaju nazivnik je na kvadrat pa je to uvijek pozitivno Znači da i brojnik mora biti pozitivan: 6 > 0 => > 0 Prema tome, za > 0 funkcija je monotono rastuća 6 Ako je f '( ) < 0, slijedi < 0 ( ) Razlomak je negativan ako je brojnik negativan, a nazivnik pozitivan ili ako je brojnik pozitivan, a nazivnik negativan U našem slučaju nazivnik je na kvadrat pa je to uvijek pozitivno Znači da brojnik mora biti negativan: 6 < 0 => < 0 Prema tome, za < 0 funkcija je monotono padajuća IV NULTOČKE FUNKCIJE Nultočke funkcije jesu točke u kojima graf funkcije siječe -os ili apscisu Budući da je to racionalna funkcija brojnik ćemo izjednačiti s nulom i riješiti dobivenu jednadžbu: 0 /, = = = = ± =, = Funkcija ima dvije nultočke N (, 0) i N (, 0) V EKSTREMI FUNKCIJE Ekstremi funkcije mogu biti maksimum ili minimum ili oboje Moramo najprije naći prvu derivaciju: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 ( ) ( ) ( ) ' ' f '( ) = = = = Sada prvu derivaciju izjednačimo s nulom i riješimo dobivenu jednadžbu 6 ( ) [ ] = 0 razlomak je jednak nuli, ako je brojnik jednak nuli 6 = 0 = 0 Rješenje je = 0 Ta se točka zove stacionarna točka Hoće li u njoj biti maksimum ili minimum, znat ćemo ako nađemo drugu derivaciju U drugu derivaciju uvrstimo = 0 Ako je druga derivacija pozitivna, funkcija ima minimum, ako je pak druga derivacija negativna, funkcija ima maksimum 6

7 ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ' 6 ' f ''( ) = = = = Uvrstimo = 0: ( ) ( 0 ) f ''(0) = = = 6 0 Dakle, druga derivacija je pozitivna pa funkcija u točki = 0 ima minimum Vrijednost minimuma dobit ćemo tako da = 0 uvrstimo u zadanu funkciju: Minimum će biti u točki M(0, ) VI VERTIKALNE ASIMPTOTE Ako postoji takav broj a da je onda je pravac = a asimptota (vertikalna asimptota) Budući da je to racionalna funkcija: 0 0 f (0) = = = lim f ( ) =, a f ( ) = nazivnik ćemo izjednačiti s nulom i riješiti dobivenu jednadžbu: = 0 = = /, = ± =, = Vertikalne asimptote su pravci: = i = VII KOSE ASIMPTOTE Ako postoje limesi gdje je k koeficijent smjera i gdje je l odsječak na -osi, f ( ) k = lim, [ ] l = lim f ( ) k, tada je pravac = k l asimptota (desna kosa asimptota) Ako je k = 0, onda je to desna horizontalna asimptota Ako postoje limesi gdje je k koeficijent smjera i gdje je l odsječak na -osi, k = lim f ( ), [ ] l = lim f ( ) k, tada je pravac = k l asimptota (lijeva kosa asimptota) Ako je k = 0, onda je to lijeva horizontalna asimptota Graf funkcije = f() (pretpostavljamo da je funkcija jednoznačna) ne može imati više od jedne desne (kose ili horizontalne) niti više od jedne lijeve (kose ili horizontalne)asimptote Tražimo koeficijent smjera k

8 f ( ) k = lim = lim ± ± lim lim k lim lim lim = = = = = = = = 0 ± ± ± ± ± 0 Računamo odsječak na -osi l 0 l lim [ f ( ) k ] lim 0 lim lim lim = = = = = = = = ± ± ± ± ± 0 Asimptota je pravac = Vježba 006 Nacrtaj graf funkcije f ( ) = Rezultat: Zadatak 007 (Darjan, medicinska škola) Nacrtaj graf funkcije 5π f ( ) = cos( ) Rješenje 007 Podsjetimo se svojstava funkcije f() = cos : Period funkcije kosinus je π Nultočke (točke u kojima graf siječe -os ili apscisu) su π π π,,, tj ( k ), k je cijeli broj Mi ćemo samo promatrati dio grafa na segmentu [0, π] Maksimum funkcije je u 0 i π i iznosi Minimum funkcije je u π i iznosi 8

9 Zadana funkcija ima amplitudu što znači da će maksimum biti a minimum 5π f ( ) = cos( ), Nultočke funkcije nađemo tako da vrijednost argumenta izjednačimo s nultočkama funkcije kosinus: Nultočke naše funkcije su: 5π π π i 5π π π 5π π = = = = π, 5 5 π = π = π π = π = π π, π Funkcija kosinus je imala maksimum u točkama 0 i π (to će sada biti minimum zbog negativne amplitude) Sada argument 5π zadane funkcije izjednačimo s 0 i π: 5π 5π = 0 =, 5π 5π π = π = π = Dakle, funkcija 5π f ( ) = cos( ) ima minimum u 5π π i koji iznosi 9

10 Analogno je za maksimum: Dakle, funkcija ima maksimum u koji iznosi 5π 5π π = π = π = π Vježba 007 Nacrtaj graf funkcije: f ( ) = cos( ) Rezultat: Zadatak 008 (Ivana, gimnazija) Odredi domenu funkcije f ( ) = 6 Rješenje 008 Domenu razlomljene linearne funkcije čine svi realni brojevi za koje je nazivnik različit od nule Zato ćemo polinom u nazivniku izjednačiti s nulom, riješiti jednadžbu i rješenje ''izbaciti'' iz skupa R: Vježba 008 Odredi domenu funkcije Rezultat: D f = R { } ( ) \ 6 = 0 => = 6 / : => = ( ) { } D( f ) = R \ f ( ) = 5 5 Zadatak 009 (Ivana, gimnazija) Prevedi u eksplicitni oblik: 5 = 0 Rješenje 009 Ako se funkcija može napisati u obliku = f() kažemo da ima eksplicitni oblik Iz zadane jednadžbe izračunamo : 5 = 0 => = 5 / ( ) => = 5 => 0

11 => ( ) = 5 / : ( ) => 5 => = Vježba 009 Prevedi u eksplicitni oblik: 5 7 = 0 5 Rezultat: = 7 Zadatak 00 (Ivana, gimnazija) Odredi domenu funkcije: log ( ) f ( ) = Rješenje 00 Domena logaritamske funkcije = log skup je svih pozitivnih realnih brojeva: D(log ) = 0, Budući da je u brojniku logaritamska funkcija, bit će: > 0, > / : > Znači da je domena funkcije log ( ) interval:, U nazivniku je polinom drugog stupnja Nazivnik ne smije biti jednak nuli ni za koji (jer se s nulom ne može dijeliti) Zato izraz u nazivniku izjednačimo s nulom, riješimo jednadžbu i rezultate ''izbacimo'' iz skupa R: Domena zadane funkcije je: ili Vježba 00 Odredi domenu funkcije: Rezultat:, \{ 7 } = 0 => ( ) = 0 => => [a b = 0 a = 0 ili b = 0 ili a = b = 0] => => = 0, = 0 => = 0, = ( 0, ) D( f ) =, \ { } D( f ) =,, log ( 6) f ( ) = 7 Zadatak 0 (Tonka, ekonomska škola) Za funkcije f() = 5 i g() = odredite f g Rješenje 0 Funkcija f zadana je analitičkim izrazom pa vrijedi: f() = 5,

12 f(a) = a 5a, f( b) = ( b) 5 ( b), f(a b) = (a b) 5 (a b), Slično je i za funkciju g: f(ab c) = (ab c) 5 (ab c), a a a f = 5, b b b g() =, g(a) = a, g( b) = ( b), g(a b) = (a b), g(ab c) = (ab c), g a a = b b Kompozicija funkcija f g tada je jednaka: (f g)() = f(g()) = f( ) = ( ) 5 ( ) = = 6 Možemo računati i ovako: (f g)() = f(g()) = [g()] 5 g() = [ ] 5 ( ) = = = 6 Vježba 0 Za funkcije f() = i g() = odredite f g Rezultat: Zadatak 0 (Ines, gimnazija) Koliki je zbroj nultočaka funkcije f ( ) =? Rješenje 0 Budući da je to polinom četvrtog stupnja, bit će četiri nultočke Najjednostavnije do rješenja dođemo uporabom Vièteovih formula: Neka je f() = n a n- a n- a n- a n- a n- a n polinom, a,,,, n njegove nultočke Tada vrijede Vièteove formule: n = a n n- n = a n- n- n = a n = ( ) n a n Ako polinom f() nije normiran, tj ako mu je najstariji koeficijent a 0, onda na desnim stranama umjesto a i a i treba pisati Za polinom četvrtog stupnja a0 f() = a a a a Vièteove formule glase: = a = a U našem zadatku koeficijenti su = a = a f ( ) =

13 pa je a =, a =, a =, a = = a = = Zbroj nultočaka jednak je Vježba 0 Koliki je zbroj nultočaka funkcije: f ( ) = 6 5 8? Rezultat: 6 Zadatak 0 (Ines, gimnazija) Ako je = nultočka polinoma f() = 5 8, odredi njezinu kratnost Rješenje 0 Uvjerimo se da je = nultočka zadanog polinoma f(): f() = 5 8, f() = 5 8 = = = 0 Dobili smo f() = 0, što znači da je = nultočka polinoma f() Polinom f() = 5 8 može se napisati kao f() = ( ) ( ) ( ), gdje su,, nultočke zadanog polinoma Pišemo: 5 8 = ( ) ( ) ( ) Sada polinom f() = 5 8 podijelimo polinomom [Kako se dijele polinomi pogledajte [Zadatak 00 i Zadatak 00] 5 8 : = ( ) ( ) ± 8 ± 6 ± 0 Do polinoma možemo doći i na sljedeći način [uporabom teorema o jednakosti dva polinoma: Dva polinoma su jednaka ako i samo ako su istog stupnja i ako su im koeficijenti uz iste potencije jednaki] Napišimo: 5 8 = ( ) ( a b), 5 8 = a b a b, 5 8 = (a ) (b a) b,

14 Dakle polinom glasi Nađimo nultočke polinoma f() = a = 5 a = b a = 8 b = b = a b = = 0, b ± b ac ± 9 8 ±, = = = = =, = = a Ponovno je broj nultočka Dakle, = je nultočka kratnosti Vježba 0 Ako je = nultočka polinoma f() =, odredi njezinu kratnost Rezultat: Zadatak 0 (Matea, gimnazija) Racionalnu funkciju h prikaži kao linearnu kombinaciju racionalnih funkcija f i g ako je zadano: h( ) =, f ( ) =, g( ) = Rješenje 0 Teorija: Za zadane funkcije f i g i realne brojeve A i B funkcija h = A f B g, zove se linearna kombinacija funkcija f i g Realne brojeve A i B odredit ćemo metodom neodređenih koeficijenata Prema uvjetu zadatka treba odrediti realne brojeve A i B takve da vrijedi h() = A f() B g(), A B = Pomnožimo ovu jednakost izrazom : A B = / ( ) = A ( ) B ( ) Sređivanjem desne strane jednakosti dobije se: = A A B B, Prema stavku o jednakosti polinoma = (A B) (A B) [Dva polinoma su jednaka ako i samo ako su istog stupnja i ako su im koeficijenti uz iste potencije jednaki] mora vrijediti: A B = = ( A B) ( A B) 0 = ( A B) ( A B) A= A= B= A B = 0 Traženi rastav glasi: =, tj h = f g Vježba 0 Racionalnu funkciju h prikaži kao linearnu kombinaciju racionalnih funkcija f i g ako je zadano:

15 Rezultat: h( ) =, f ( ) =, g( ) = h = f g Zadatak 05 (Ines, gimnazija) Odredite područje definicije realne funkcije 0 f ( ) = Rješenje 05 Ponovimo! Područje definicije funkcije f ( ) = je 0 ili 0, jjmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm Zato je: Uz zamjenu t = slijedi: t 0 t 0 0 t t t ( t ) Dobivenu nejednadžbu riješimo pomoću tablice Najprije provedemo diskusiju Pitamo se za koje t je nazivnik jednak nuli: t t = 0 t = 0 i t = ( ) Te rezultate moramo izbaciti iz skupa rješenja Sada rješavamo nejednadžbu: ( t) t ( t ) 0 0 Nađemo karakteristične točke tako da svaki faktor izjednačimo s nulom: 0 t = 0, t = 0, t = 0 => t = 0, t = 0, t = Karakteristične točke su: 0, i 0 Napravimo tablicu! t - t - t Produkt - - Rješenje nejednadžbe je: ili napisano pomoću znakova nejednakosti: Zbog supstitucije t = slijedi: t, 0, 0 ] t < 0 i < t 0 < 0, nema smisla, 5

16 ,5,5 0, ,5 - -,5 - < 0 < 0 / < 00 Područje definicije je:, 00 ] Vježba 05 Odredite područje definicije realne funkcije f ( ) = 0 Rezultat: 00, Zadatak 06 (Ines, gimnazija) Odredite kodomenu funkcije f() = Rješenje 06 Graf kvadratne funkcije f() = a b c je parabola s tjemenom u točki T = ( 0, 0 ), gdje su: b ac b 0 =, 0 = a a U točki 0 funkcija f poprima najmanju vrijednost ako je a > 0, a najveću vrijednost ako je a < 0 Graf kvadratne funkcije f() = je parabola =, pri čemu je: Koordinate tjemena su: a =, b =, c = = = 075, 0 = = T(075, -5) Skup vrijednosti funkcije (kodomena) je projekcija grafa funkcije na os ordinata Kodomena zadane funkcije je: 5, Vježba 06 Odredite kodomenu funkcije f() = Rezultat: 0, Zadatak 07 (Ines, Petra, gimnazija) Odredite inverznu funkciju funkcije Rješenje 07 inačica f ( ) = log(00 ) 6 = log(00 ) = log(00 ) / = log( 00 ) log a c b c b = = a = 00 /:00 = = = =

17 Vježba 07 Rezultat: = 0 = 0 / = 0 f ( ) = 0 inačica = log(00 ) = log(00 ) / = log(00 ) 6 6 log( ) = log log, log n = n log 6 6 = log00 log 6 6 = log log = 6 6 log = 8 6 /: log = = 0 f ( ) = 0 Odredite inverznu funkciju funkcije f ( ) = 0 f ( ) = log(00 ) 6 Zadatak 08 (A, hotelijerska škola) Za koju vrijednost argumenta (varijable) funkcija prikazana na slici prima vrijednost =? Rješenje 08 = - O = A Kroz točku (0, ) na osi povučemo usporednicu (paralelu) s apscisom ( osi) Sjecište usporednice i zadanog pravca je tražena točka A Iz nje konstruiramo okomicu na apscisu i pročitamo apscisu = Dakle, funkcija prikazana na slici prima vrijednost = za = Vježba 08 Kolika je vrijednost funkcije prikazane na slici za =? Rezultat: = O = - A Kroz točku (, 0) na osi povučemo okomicu na apscisu Sjecište okomice i zadanog pravca je tražena točka A Iz nje konstruiramo okomicu na ordinatnu os i pročitamo ordinatu = Dakle, funkcija prikazana na slici za = ima vrijednost = 7

18 Zadatak 09 (Marinko, tehnička škola) Provjeri je li funkcija f ( ) = log injekcija Rješenje 09 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi f ( ) f ( ) Dakle, funkcija je injekcija ako različitim brojevima pridružuje različite vrijednosti funkcije Svojstvo ekvivalentno ovome je: f ( ) = f ( ) = Dakle, funkcija je injekcija ako iz jednakosti funkcijskih vrijednosti slijedi i jednakost argumenata Pretpostavimo da je f() = f(): logaritamska funkcija je injektivna ( ) ( ) log log f = f = = log = log = Vježba 09 Rezultat: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) pomnožimo ukriž = = = = = /: = Provjeri je li funkcija f ( ) log ( 6) Funkcija je injekcija Zadatak 00 (Anastazija, gimnazija) Provjeri je li funkcija = injekcija f ( ) 6 = injekcija Rješenje 00 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi f ( ) f ( ) Dakle, funkcija je injekcija ako različitim brojevima pridružuje različite vrijednosti funkcije Svojstvo ekvivalentno ovome je: f ( ) = f ( ) = Dakle, funkcija je injekcija ako iz jednakosti funkcijskih vrijednosti slijedi i jednakost argumenata Pretpostavimo da je f() = f(): f ( ) = f ( ) 6 = 6 / 6 = 6 = Odavde ne slijedi nužno da je =, jer može biti i = Zaista, za = i = vrijedi: ( ) 6 ( ) f = = 7 f () = 6 = 7 Prema tome, pronašli smo točke za koje vrijedi f() = f() pa funkcija nije injektivna Vježba 00 Rezultat: Provjeri je li funkcija f ( ) Funkcija nije injekcija = injekcija 8

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija

Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija Koordinatni sustav u ravnini Koordinatni sustav u ravnini Funkcija 4. 1. Koordinatni sustav u ravnini..................... Uvod U drugom smo poglavlju opisali koordinatni sustav na pravcu. Pridruživanjem

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

1. Skup kompleksnih brojeva

1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije September 5, 008 Brojevna kružnica. Mjerenje kuteva pretpostavimo da se po kružnici jediničnog radijusa pomaknemo za kut t u smjeru suprotnom od kazaljke na satu II T(t) O t I

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka

Διαβάστε περισσότερα

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija O fiksnim točkama... O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija Matea Jelčić, Kristina Ivankić, Mirela Katić Žlepalo 3 i Bojan Kovačić Sažetak U ovom članku razmatramo fiksne točke četiriju

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi

1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi 1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi Rješavanje nelinearnih jednadžbi sastoji se od dva bitna koraka: nalaženja intervala u kojem se nalazi nultočka (analizom toka), što je teži dio posla, nalaženja nultočke

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE Matematika 6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE U nekom algebarskom, geometrijskom ili izikalnom zadatku mogu se pojaviti dvije vrste veličina; veličine koje imaju uvijek istu vrijednost i veličine koje mogu

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........

Διαβάστε περισσότερα

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku. . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= *

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= * POPIS ZADATAKA:.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=+i i i.riješi zadatak:izi= * i i.izračunaj:(8+6i)(8-6i)=.odredi realne brojeve i y za koje vrijedi:(-i)+(+i)y=i.riješi kvadratnu jednadžbu :9²-=0

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y . ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα