x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x"

Transcript

1 Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t Dobili smo traženu funkciju f() = Vježba 00 Odredi realnu funkciju f() ako je f( ) = Rezultat: f() = Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi inverznu funkciju f () ako je f ( ) = Rješenje 00 Napišimo zadanu funkciju tako da umjesto f() pišemo : = Sada u funkciji zamijenimo slova i :, = Iz dobivene funkcije trebamo izračunati nepoznanicu Prvo ćemo cijelu jednadžbu pomnožiti zajedničkim nazivnikom : / ( ) ( ) = = [ množi cijelu zagradu] = [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu ] = [izlučimo ] ( ) = / : ( ) = [jednadžbu logaritmiramo logaritmom po bazi ]

2 n = / log log = log log b a = n log b a, log b b = log = log = log = log Na kraju ponovno umjesto napišemo f () pa rješenje glasi: f ( ) = log Vježba 00 Odredi inverznu funkciju f () ako je Rezultat: f ( ) = log Zadatak 00 (Mira, gimnazija) Nacrtaj graf funkcije 5 Rješenje 00 Podsjetimo se svojstava funkcije f() = sin : f ( ) = 5 f() = sin( π) Period funkcije sinus je π Nultočke (točke u kojima graf siječe -os ili apscisu) su 0, π, π, π,, tj kπ, k je cijeli broj Mi ćemo samo promatrati dio grafa na segmentu [0, π] Maksimum funkcije je u i iznosi Minimum funkcije je u i iznosi π π Zadana funkcija f() = sin( π) ima amplitudu što znači da će maksimum biti, a minimum Nultočke funkcije nađemo tako da vrijednost argumenta π izjednačimo s nultočkama funkcije sinus: 0, π, π π π = 0 = π / : =, π = π = π π = π / : = π, π π = π = π π = π / : = Nultočke naše funkcije su: π π, π,

3 Funkcija sinus imala je maksimum u točki Sada argument π zadane funkcije izjednačimo s pa je π π π π π π π = = π = / : = Dakle, funkcija f() = sin( π) ima maksimum u koji iznosi Analogno je za minimum: 5 5 π π π π π = = π = / : = Dakle, funkcija f() = sin( π) ima minimum u koji iznosi π 5π Vježba 00 Nacrtaj graf funkcije Rezultat: f() = sin( π) Zadatak 00 (Mira, gimnazija) Nacrtaj graf funkcije Rješenje 00 Podsjetimo se svojstava funkcije f() = cos : f() = cos( π) Period funkcije kosinus je π Nultočke (točke u kojima graf siječe -os ili apscisu) su π π π,,, tj ( k ), k je cijeli broj Mi ćemo samo promatrati dio grafa na segmentu [0, π] Maksimum funkcije je u 0 i π i iznosi Minimum funkcije je u π i iznosi

4 Zadana funkcija f() = cos( π) ima amplitudu što znači da će maksimum biti, a minimum Nultočke funkcije nađemo tako da vrijednost argumenta π izjednačimo s nultočkama funkcije kosinus: Nultočke naše funkcije su: π π i π π π π π = = π = /: =, 5 5 π π π π π = = π = /: = π 5 π i Funkcija kosinus imala je maksimum u točkama 0 i π Sada argument π zadane funkcije izjednačimo s 0 i π: π π = 0 = π /: =, π π = π = π π = π /: = Dakle, funkcija f() = cos( π) ima maksimume u π π i koji iznose Analogno je za minimum: π = π = π π = π /: = π Dakle, funkcija f() = cos( π) ima minimum u π koji iznosi Vježba 00 Nacrtaj graf funkcije : f() = cos( π) Rezultat:

5 Zadatak 005 (Petra, gimnazija) Odredi temeljni period funkcije: f() = sin sin Rješenje 005 Funkcija f je periodička s periodom P (P 0), ako za svaki vrijedi: Ako je funkcija f definirana u jednoj od točaka, P, onda je definirana u obje te točke i vrijedi f( P) = f() Broj P zove se period funkcije f Najmanji pozitivni period funkcije f (ako postoji) zove se temeljni period funkcije f Ako je P period zadane funkcije, onda mora vrijediti: sin ( P) sin ( P) = sin sin Ova jednakost vrijedi za svaki pa specijalno za = 0 dobivamo: Zato pišemo: sin (0 P) sin (0 P) = sin 0 sin ( 0), [sin 0 = 0] sin P sin P = 0 Produkt dva broja jednak je nuli ako je barem jedan od brojeva jednak nuli sin P = 0, sin P = 0 Jednadžba sin P = 0 daje rješenja P = kπ Jednadžba sin P = 0 daje rješenja k π P = Broj k je prirodan broj Provjeravanjem za π π P= i P= vidimo da nisu periodi Temeljni period zadane funkcije je P = π Vježba 005 Odredi temeljni period funkcije: f() = cos Rezultat: P = π Zadatak 006 (Martina, gimnazija) Nacrtaj graf funkcije f ( ) = Rješenje 006 Crtanje grafa funkcije pokazat ćemo kroz sve faze I DOMENA FUNKCIJE Moramo naći vrijednosti za koje funkcija f() nije definirana i njih izbaciti iz skupa R Budući da je to racionalna funkcija nazivnik ćemo izjednačiti s nulom i riješiti dobivenu jednadžbu: 0 /, = = = = ± =, = Domena je skup R, osim brojeva i Pišemo: D( f ) = R \{,} II PARNOST FUNKCIJE Provjerimo je li zadana funkcija parna, neparna ili nije ni jedno, ni drugo Za parne funkcije vrijedi: f( ) = f(), gdje su i iz domene 5

6 Za neparne funkcije vrijedi: f( ) = f(), gdje su i iz domene Računamo: ( ) ( ) f ( ) = = = f ( ) Funkcija f() je parna, a to znači da je njezin graf simetričan s obzirom na -os ili ordinatu III INTERVALI MONOTONOSTI FUNKCIJE Ako je funkcija f() neprekinuta na segmentu [a,b] i f '() > 0 za a < < b, tada je f() monotono rastuća (uzlazna) Ako je funkcija f() neprekinuta na segmentu [a,b] i f '() < 0 za a < < b, tada je f() monotono padajuća (silazna) Tražimo prvu derivaciju zadane funkcije: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 8 6 f '( ) = = = = 6 Ako je f '( ) > 0, slijedi > 0 ( ) Razlomak je pozitivan ako su brojnik i nazivnik oba pozitivni ili oba negativni U našem slučaju nazivnik je na kvadrat pa je to uvijek pozitivno Znači da i brojnik mora biti pozitivan: 6 > 0 => > 0 Prema tome, za > 0 funkcija je monotono rastuća 6 Ako je f '( ) < 0, slijedi < 0 ( ) Razlomak je negativan ako je brojnik negativan, a nazivnik pozitivan ili ako je brojnik pozitivan, a nazivnik negativan U našem slučaju nazivnik je na kvadrat pa je to uvijek pozitivno Znači da brojnik mora biti negativan: 6 < 0 => < 0 Prema tome, za < 0 funkcija je monotono padajuća IV NULTOČKE FUNKCIJE Nultočke funkcije jesu točke u kojima graf funkcije siječe -os ili apscisu Budući da je to racionalna funkcija brojnik ćemo izjednačiti s nulom i riješiti dobivenu jednadžbu: 0 /, = = = = ± =, = Funkcija ima dvije nultočke N (, 0) i N (, 0) V EKSTREMI FUNKCIJE Ekstremi funkcije mogu biti maksimum ili minimum ili oboje Moramo najprije naći prvu derivaciju: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 ( ) ( ) ( ) ' ' f '( ) = = = = Sada prvu derivaciju izjednačimo s nulom i riješimo dobivenu jednadžbu 6 ( ) [ ] = 0 razlomak je jednak nuli, ako je brojnik jednak nuli 6 = 0 = 0 Rješenje je = 0 Ta se točka zove stacionarna točka Hoće li u njoj biti maksimum ili minimum, znat ćemo ako nađemo drugu derivaciju U drugu derivaciju uvrstimo = 0 Ako je druga derivacija pozitivna, funkcija ima minimum, ako je pak druga derivacija negativna, funkcija ima maksimum 6

7 ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ' 6 ' f ''( ) = = = = Uvrstimo = 0: ( ) ( 0 ) f ''(0) = = = 6 0 Dakle, druga derivacija je pozitivna pa funkcija u točki = 0 ima minimum Vrijednost minimuma dobit ćemo tako da = 0 uvrstimo u zadanu funkciju: Minimum će biti u točki M(0, ) VI VERTIKALNE ASIMPTOTE Ako postoji takav broj a da je onda je pravac = a asimptota (vertikalna asimptota) Budući da je to racionalna funkcija: 0 0 f (0) = = = lim f ( ) =, a f ( ) = nazivnik ćemo izjednačiti s nulom i riješiti dobivenu jednadžbu: = 0 = = /, = ± =, = Vertikalne asimptote su pravci: = i = VII KOSE ASIMPTOTE Ako postoje limesi gdje je k koeficijent smjera i gdje je l odsječak na -osi, f ( ) k = lim, [ ] l = lim f ( ) k, tada je pravac = k l asimptota (desna kosa asimptota) Ako je k = 0, onda je to desna horizontalna asimptota Ako postoje limesi gdje je k koeficijent smjera i gdje je l odsječak na -osi, k = lim f ( ), [ ] l = lim f ( ) k, tada je pravac = k l asimptota (lijeva kosa asimptota) Ako je k = 0, onda je to lijeva horizontalna asimptota Graf funkcije = f() (pretpostavljamo da je funkcija jednoznačna) ne može imati više od jedne desne (kose ili horizontalne) niti više od jedne lijeve (kose ili horizontalne)asimptote Tražimo koeficijent smjera k

8 f ( ) k = lim = lim ± ± lim lim k lim lim lim = = = = = = = = 0 ± ± ± ± ± 0 Računamo odsječak na -osi l 0 l lim [ f ( ) k ] lim 0 lim lim lim = = = = = = = = ± ± ± ± ± 0 Asimptota je pravac = Vježba 006 Nacrtaj graf funkcije f ( ) = Rezultat: Zadatak 007 (Darjan, medicinska škola) Nacrtaj graf funkcije 5π f ( ) = cos( ) Rješenje 007 Podsjetimo se svojstava funkcije f() = cos : Period funkcije kosinus je π Nultočke (točke u kojima graf siječe -os ili apscisu) su π π π,,, tj ( k ), k je cijeli broj Mi ćemo samo promatrati dio grafa na segmentu [0, π] Maksimum funkcije je u 0 i π i iznosi Minimum funkcije je u π i iznosi 8

9 Zadana funkcija ima amplitudu što znači da će maksimum biti a minimum 5π f ( ) = cos( ), Nultočke funkcije nađemo tako da vrijednost argumenta izjednačimo s nultočkama funkcije kosinus: Nultočke naše funkcije su: 5π π π i 5π π π 5π π = = = = π, 5 5 π = π = π π = π = π π, π Funkcija kosinus je imala maksimum u točkama 0 i π (to će sada biti minimum zbog negativne amplitude) Sada argument 5π zadane funkcije izjednačimo s 0 i π: 5π 5π = 0 =, 5π 5π π = π = π = Dakle, funkcija 5π f ( ) = cos( ) ima minimum u 5π π i koji iznosi 9

10 Analogno je za maksimum: Dakle, funkcija ima maksimum u koji iznosi 5π 5π π = π = π = π Vježba 007 Nacrtaj graf funkcije: f ( ) = cos( ) Rezultat: Zadatak 008 (Ivana, gimnazija) Odredi domenu funkcije f ( ) = 6 Rješenje 008 Domenu razlomljene linearne funkcije čine svi realni brojevi za koje je nazivnik različit od nule Zato ćemo polinom u nazivniku izjednačiti s nulom, riješiti jednadžbu i rješenje ''izbaciti'' iz skupa R: Vježba 008 Odredi domenu funkcije Rezultat: D f = R { } ( ) \ 6 = 0 => = 6 / : => = ( ) { } D( f ) = R \ f ( ) = 5 5 Zadatak 009 (Ivana, gimnazija) Prevedi u eksplicitni oblik: 5 = 0 Rješenje 009 Ako se funkcija može napisati u obliku = f() kažemo da ima eksplicitni oblik Iz zadane jednadžbe izračunamo : 5 = 0 => = 5 / ( ) => = 5 => 0

11 => ( ) = 5 / : ( ) => 5 => = Vježba 009 Prevedi u eksplicitni oblik: 5 7 = 0 5 Rezultat: = 7 Zadatak 00 (Ivana, gimnazija) Odredi domenu funkcije: log ( ) f ( ) = Rješenje 00 Domena logaritamske funkcije = log skup je svih pozitivnih realnih brojeva: D(log ) = 0, Budući da je u brojniku logaritamska funkcija, bit će: > 0, > / : > Znači da je domena funkcije log ( ) interval:, U nazivniku je polinom drugog stupnja Nazivnik ne smije biti jednak nuli ni za koji (jer se s nulom ne može dijeliti) Zato izraz u nazivniku izjednačimo s nulom, riješimo jednadžbu i rezultate ''izbacimo'' iz skupa R: Domena zadane funkcije je: ili Vježba 00 Odredi domenu funkcije: Rezultat:, \{ 7 } = 0 => ( ) = 0 => => [a b = 0 a = 0 ili b = 0 ili a = b = 0] => => = 0, = 0 => = 0, = ( 0, ) D( f ) =, \ { } D( f ) =,, log ( 6) f ( ) = 7 Zadatak 0 (Tonka, ekonomska škola) Za funkcije f() = 5 i g() = odredite f g Rješenje 0 Funkcija f zadana je analitičkim izrazom pa vrijedi: f() = 5,

12 f(a) = a 5a, f( b) = ( b) 5 ( b), f(a b) = (a b) 5 (a b), Slično je i za funkciju g: f(ab c) = (ab c) 5 (ab c), a a a f = 5, b b b g() =, g(a) = a, g( b) = ( b), g(a b) = (a b), g(ab c) = (ab c), g a a = b b Kompozicija funkcija f g tada je jednaka: (f g)() = f(g()) = f( ) = ( ) 5 ( ) = = 6 Možemo računati i ovako: (f g)() = f(g()) = [g()] 5 g() = [ ] 5 ( ) = = = 6 Vježba 0 Za funkcije f() = i g() = odredite f g Rezultat: Zadatak 0 (Ines, gimnazija) Koliki je zbroj nultočaka funkcije f ( ) =? Rješenje 0 Budući da je to polinom četvrtog stupnja, bit će četiri nultočke Najjednostavnije do rješenja dođemo uporabom Vièteovih formula: Neka je f() = n a n- a n- a n- a n- a n- a n polinom, a,,,, n njegove nultočke Tada vrijede Vièteove formule: n = a n n- n = a n- n- n = a n = ( ) n a n Ako polinom f() nije normiran, tj ako mu je najstariji koeficijent a 0, onda na desnim stranama umjesto a i a i treba pisati Za polinom četvrtog stupnja a0 f() = a a a a Vièteove formule glase: = a = a U našem zadatku koeficijenti su = a = a f ( ) =

13 pa je a =, a =, a =, a = = a = = Zbroj nultočaka jednak je Vježba 0 Koliki je zbroj nultočaka funkcije: f ( ) = 6 5 8? Rezultat: 6 Zadatak 0 (Ines, gimnazija) Ako je = nultočka polinoma f() = 5 8, odredi njezinu kratnost Rješenje 0 Uvjerimo se da je = nultočka zadanog polinoma f(): f() = 5 8, f() = 5 8 = = = 0 Dobili smo f() = 0, što znači da je = nultočka polinoma f() Polinom f() = 5 8 može se napisati kao f() = ( ) ( ) ( ), gdje su,, nultočke zadanog polinoma Pišemo: 5 8 = ( ) ( ) ( ) Sada polinom f() = 5 8 podijelimo polinomom [Kako se dijele polinomi pogledajte [Zadatak 00 i Zadatak 00] 5 8 : = ( ) ( ) ± 8 ± 6 ± 0 Do polinoma možemo doći i na sljedeći način [uporabom teorema o jednakosti dva polinoma: Dva polinoma su jednaka ako i samo ako su istog stupnja i ako su im koeficijenti uz iste potencije jednaki] Napišimo: 5 8 = ( ) ( a b), 5 8 = a b a b, 5 8 = (a ) (b a) b,

14 Dakle polinom glasi Nađimo nultočke polinoma f() = a = 5 a = b a = 8 b = b = a b = = 0, b ± b ac ± 9 8 ±, = = = = =, = = a Ponovno je broj nultočka Dakle, = je nultočka kratnosti Vježba 0 Ako je = nultočka polinoma f() =, odredi njezinu kratnost Rezultat: Zadatak 0 (Matea, gimnazija) Racionalnu funkciju h prikaži kao linearnu kombinaciju racionalnih funkcija f i g ako je zadano: h( ) =, f ( ) =, g( ) = Rješenje 0 Teorija: Za zadane funkcije f i g i realne brojeve A i B funkcija h = A f B g, zove se linearna kombinacija funkcija f i g Realne brojeve A i B odredit ćemo metodom neodređenih koeficijenata Prema uvjetu zadatka treba odrediti realne brojeve A i B takve da vrijedi h() = A f() B g(), A B = Pomnožimo ovu jednakost izrazom : A B = / ( ) = A ( ) B ( ) Sređivanjem desne strane jednakosti dobije se: = A A B B, Prema stavku o jednakosti polinoma = (A B) (A B) [Dva polinoma su jednaka ako i samo ako su istog stupnja i ako su im koeficijenti uz iste potencije jednaki] mora vrijediti: A B = = ( A B) ( A B) 0 = ( A B) ( A B) A= A= B= A B = 0 Traženi rastav glasi: =, tj h = f g Vježba 0 Racionalnu funkciju h prikaži kao linearnu kombinaciju racionalnih funkcija f i g ako je zadano:

15 Rezultat: h( ) =, f ( ) =, g( ) = h = f g Zadatak 05 (Ines, gimnazija) Odredite područje definicije realne funkcije 0 f ( ) = Rješenje 05 Ponovimo! Područje definicije funkcije f ( ) = je 0 ili 0, jjmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm Zato je: Uz zamjenu t = slijedi: t 0 t 0 0 t t t ( t ) Dobivenu nejednadžbu riješimo pomoću tablice Najprije provedemo diskusiju Pitamo se za koje t je nazivnik jednak nuli: t t = 0 t = 0 i t = ( ) Te rezultate moramo izbaciti iz skupa rješenja Sada rješavamo nejednadžbu: ( t) t ( t ) 0 0 Nađemo karakteristične točke tako da svaki faktor izjednačimo s nulom: 0 t = 0, t = 0, t = 0 => t = 0, t = 0, t = Karakteristične točke su: 0, i 0 Napravimo tablicu! t - t - t Produkt - - Rješenje nejednadžbe je: ili napisano pomoću znakova nejednakosti: Zbog supstitucije t = slijedi: t, 0, 0 ] t < 0 i < t 0 < 0, nema smisla, 5

16 ,5,5 0, ,5 - -,5 - < 0 < 0 / < 00 Područje definicije je:, 00 ] Vježba 05 Odredite područje definicije realne funkcije f ( ) = 0 Rezultat: 00, Zadatak 06 (Ines, gimnazija) Odredite kodomenu funkcije f() = Rješenje 06 Graf kvadratne funkcije f() = a b c je parabola s tjemenom u točki T = ( 0, 0 ), gdje su: b ac b 0 =, 0 = a a U točki 0 funkcija f poprima najmanju vrijednost ako je a > 0, a najveću vrijednost ako je a < 0 Graf kvadratne funkcije f() = je parabola =, pri čemu je: Koordinate tjemena su: a =, b =, c = = = 075, 0 = = T(075, -5) Skup vrijednosti funkcije (kodomena) je projekcija grafa funkcije na os ordinata Kodomena zadane funkcije je: 5, Vježba 06 Odredite kodomenu funkcije f() = Rezultat: 0, Zadatak 07 (Ines, Petra, gimnazija) Odredite inverznu funkciju funkcije Rješenje 07 inačica f ( ) = log(00 ) 6 = log(00 ) = log(00 ) / = log( 00 ) log a c b c b = = a = 00 /:00 = = = =

17 Vježba 07 Rezultat: = 0 = 0 / = 0 f ( ) = 0 inačica = log(00 ) = log(00 ) / = log(00 ) 6 6 log( ) = log log, log n = n log 6 6 = log00 log 6 6 = log log = 6 6 log = 8 6 /: log = = 0 f ( ) = 0 Odredite inverznu funkciju funkcije f ( ) = 0 f ( ) = log(00 ) 6 Zadatak 08 (A, hotelijerska škola) Za koju vrijednost argumenta (varijable) funkcija prikazana na slici prima vrijednost =? Rješenje 08 = - O = A Kroz točku (0, ) na osi povučemo usporednicu (paralelu) s apscisom ( osi) Sjecište usporednice i zadanog pravca je tražena točka A Iz nje konstruiramo okomicu na apscisu i pročitamo apscisu = Dakle, funkcija prikazana na slici prima vrijednost = za = Vježba 08 Kolika je vrijednost funkcije prikazane na slici za =? Rezultat: = O = - A Kroz točku (, 0) na osi povučemo okomicu na apscisu Sjecište okomice i zadanog pravca je tražena točka A Iz nje konstruiramo okomicu na ordinatnu os i pročitamo ordinatu = Dakle, funkcija prikazana na slici za = ima vrijednost = 7

18 Zadatak 09 (Marinko, tehnička škola) Provjeri je li funkcija f ( ) = log injekcija Rješenje 09 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi f ( ) f ( ) Dakle, funkcija je injekcija ako različitim brojevima pridružuje različite vrijednosti funkcije Svojstvo ekvivalentno ovome je: f ( ) = f ( ) = Dakle, funkcija je injekcija ako iz jednakosti funkcijskih vrijednosti slijedi i jednakost argumenata Pretpostavimo da je f() = f(): logaritamska funkcija je injektivna ( ) ( ) log log f = f = = log = log = Vježba 09 Rezultat: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) pomnožimo ukriž = = = = = /: = Provjeri je li funkcija f ( ) log ( 6) Funkcija je injekcija Zadatak 00 (Anastazija, gimnazija) Provjeri je li funkcija = injekcija f ( ) 6 = injekcija Rješenje 00 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi f ( ) f ( ) Dakle, funkcija je injekcija ako različitim brojevima pridružuje različite vrijednosti funkcije Svojstvo ekvivalentno ovome je: f ( ) = f ( ) = Dakle, funkcija je injekcija ako iz jednakosti funkcijskih vrijednosti slijedi i jednakost argumenata Pretpostavimo da je f() = f(): f ( ) = f ( ) 6 = 6 / 6 = 6 = Odavde ne slijedi nužno da je =, jer može biti i = Zaista, za = i = vrijedi: ( ) 6 ( ) f = = 7 f () = 6 = 7 Prema tome, pronašli smo točke za koje vrijedi f() = f() pa funkcija nije injektivna Vježba 00 Rezultat: Provjeri je li funkcija f ( ) Funkcija nije injekcija = injekcija 8

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= *

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= * POPIS ZADATAKA:.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=+i i i.riješi zadatak:izi= * i i.izračunaj:(8+6i)(8-6i)=.odredi realne brojeve i y za koje vrijedi:(-i)+(+i)y=i.riješi kvadratnu jednadžbu :9²-=0

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto?

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Franka Miriam Brückler Igor Pažanin Zagreb, 2012. Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Varijable i konstante............................

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y . ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0 9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA 5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo January 24, 2012 Uvod U Bosni i Hercegovini već pedesetak godina se organizuju

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016 Tomislav Berić tberic@math.hr Sadržaj 1 Operatori na Hilbertovim prostorima 1 1.1 Normalni operatori..................................... 3 1.2 Unitarni

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2. Ivana Baranović Miroslav Jerković

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2. Ivana Baranović Miroslav Jerković VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Poglavlje Integral. Neodreženi integral Neka je zadana funkcija f : (a, b) R: Funkcija F : (a, b) R za koju je F () = f() za svaki (a, b) naziva se

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

5. Aproksimacija i interpolacija

5. Aproksimacija i interpolacija APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 56 5. Aproksimacija i interpolacija 5.. Opći problem aproksimacije Što je problem aproksimacije? Ako su poznate neke informacije o funkciji f, definiranoj na nekom skupu X

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994.

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994. Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA Osijek, 994. M. Crnjac, D. Jukić, R. Scitovski Matematika Udžbenik U-6 Recenzenti: Prof.dr.sc. Hrvoje Kraljević Prof.dr.sc. Harry

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem Dirichletov princip Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem obliku glasi ovako: Dirichletov princip: Ako n + 1 predmet rasporedimo kako

Διαβάστε περισσότερα

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Tijekom ocjenjivanja nacionalnih ispita i ispita državne mature, neovisno o razini, uvidjeli smo neke probleme pri rješavanju zadataka. Ovdje želimo navesti

Διαβάστε περισσότερα

Obi ne diferencijalne jednadºbe

Obi ne diferencijalne jednadºbe VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 1 Obične diferencijalne jednadžbe 1. reda Obi ne diferencijalne jednadºbe Uvodni pojmovi Diferencijalne jednadºbe su jednadºbe oblika: f(,

Διαβάστε περισσότερα

1. Skupovi Algebra skupova

1. Skupovi Algebra skupova 1. Skupovi 1.1. Algebra skupova Temeljne definicije i oznake. Pod pojmom skupa razumijevamo bilo koju množinu elemenata. Npr.: (a) skup svih prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,...} ; (b) skup svih cijelih

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE **** MLADEN SRAGA **** 0. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE α LOGARITMI Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Zbirka zadataka

Matematika Zbirka zadataka Matematika Zbirka zadataka Kristina Devčić Božidar Ivanković Veleučilište Nikola Tesla u Gospiću Uvod Unaprijed se zahvaljujemo na svakom komentaru o propustima i nedosljednostima, a svaka primjedba glede

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone. Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα