x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku."

Transcript

1 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom tockom. Za svaki broj, za koji vrijedi a b, a i b su granice intervala i u ovom slucaju je to [ ab] a< < b ( ab) zatvoren interval,. Ako vrijedi, tada je, otvoreni interval. Interval moze biti otvoren ili zatvoren, zatvoren samo sa lijeve ili samo sa desne strane. Slijed je brojiv, ako se svakom clanu slijeda moze pridruziti odgovarajuci realni broj u obliku Slijed neparnih brojeva jedan prema jedan: Pridruzimo realne brojeve Broj clanova slijeda moze biti konacan ili beskonacan. Slijed racionalnih brojeva je konacno brojiv a slijed na pr. iracionalnoh brojeva ili realnih brojeva je konacno nebrojiv. Broj clanova se oznacava sa ℵ kardinalni broj C. elphi nula i naziva se i Slijed brojeva za koje vrijedi da je a < δ gdje je δ >, naziva se δ okolis tocke a. Kada je < a < δ a, δ je brisani okolis broja a. Tocka gomilanja, granicna tocka slijeda, je broj A za koji vrijedi da svaki brisani δ okolis tocke A sadrzi clanove slijeda. Znaci, da za svaki po volji mali δ > moze se naci clan slijeda, broj, koji nije jednak A ali vrijedi A < δ. Za vrlo mali δ mora biti konacni broj clanova sa vrijednosti. Slijed koji sadrzi sve svoje granicne tocke, zovemo zatvorenim slijedom. Ako za sve brojeve, slijeda, postoji broj M gdje vrijedi M, slijed je ogranicen sa gornje strane a M je gornja granica. Slicno, za m, broj m je donja granica. Za sve za koje vrijedi m M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. Imamo slijed koji je nastao od dva slijeda: A i B, oba slijeda su brojiva. Dokazi da je novonastali slijed brojeva takodjer brojiv. a a a... b b b Za lijed A vrijedi: Za lijed B vrijedi: Za novonastali slijed mozemo sada imati dva slucaja: Funkcije 1

2 Clanovi A i B a b a b a a) Elementi u A i B su rasliciti: slijed je brojiv. Prirodni brojevi b) Neki clanovi su jednak a neki se razlikuju. Isti postupak mozemo primijeniti na clanove koji se razlikuju. Zakljucujemo, slijed je brojiv. Slijed sastavljen od svih clanova A ili B ili oba, naziva se unija od A i B i oznacava se sa A B ili A+ B. Slijed sastavljen od jednakih clanova u A ili B slijeda, naziva se presjek A i B i oznacava se sa A B ili A B. Slijed sastavljen od clanova u A ali ne od clanova u B, naziva se razlika A i B i oznacava se sa A B = AB.. Dokazi da je slijed racionalnih brojeva izmedju i ukljucivsi 1, brojiv. Predstavimo brojeve slijeda u obliku razlomaka i pridruzimo jedan prema jedan, prirodne brojeve: Racionalni brojevi: Prirodnibrojevi : Vidimo da je slijed brojiv izmedju i ukljucivsi jedan jer mozemo pridruziti prorodne brojeve [ ] [ ] aaa Dokazi da slijed realnih brojeva u zatvorenom intervalu,1 nije brojiv. Svaki realni broj u,1 moze se prikazati sa decimalnim znamenkama oblika.... gdje je sa a osnacena bilo koja znamenka,1,,3,...9. Na primjer broj.653 mozemo [ ] napisati kao i to je isto kao i Ako su realni brojevi u,1 brojevi, mozemo napisati znani odnos: [ ]. a a a. a a a. a a a Napravimo novi broj. bbb tako da vrijedi b a, b a, b a. Taj novi broj u ,1 je razlicit i ne mozemo pridruziti prirodne brojeve kao gore. Znaci da je slijed nebrojiv Dokazi da slijed brojeva 1,,,,... ima granicu. Utvrdi koja je najniza gornja granica i 3 4 najvisa donja granica. Dokazi da je granica (limes) slijeda. Utvrdi da li je slijed zatvoren. Funkcije

3 3 Slijed ima granicu, jer je svaki clan manji od na pr. i veci od na pr. 1. Slijed je orgranicen. Slijed nema veceg clana od 1 i ima barem jedan clan koji je veci od 1 ε, za svaki pozitivni broj ε. Znaci da je 1 najniza gornja granicna vrijednost slijeda. Slicno, nema manjeg broja od i ima barem jedan clan koji ima vrijednost + ε, za svaki pozitivn Znaci da je najvisa donja granicna vrijednost slijeda. Uzmemo bilo koji clan slijeda. Moze se uvijek naci takav da vrijedi < < δ za svaki pozitivni broj δ, a to snaci da je granica odnosno limes zadanog slijeda. Slijed nije zatvoren jer nije clan slijeda. 1. Pojam funkcije, graf funkcije, vrste funkcija Funkcija je pojam kojim je definiran odnos dva slijeda brojeva ili opcenito odnos dviju velicina. Ako svakoj vrijednosti jedne velicine, zvane nezavisna promjenjiva, druga velicina poprima jednu ili vise vrijednosti, tada je odnos funkcionalni i ta druga velicina je funkcija ili zavisna = = promjenjiva obicno oznacena sa y ili f. Odnos se pise u obliku y f, y G, F, y i tome slicno. Vrijednosti koje nezavisna promjenjiva ili argument moze poprimiti naziva se podrucje [ ] definiranosti ili domena funkcije. Oznacava se sa na pr. a,b zatvoreni interval ili a,b otvoreni interval. Graf funkcije je slikoviti prikaz odnosa y = f u obliku krivulje koja spaja parove tocaka i f. u obicno, pravokutnom koordinatnom sustavu Jednoznacna funkcija je ona funkcija, koja za jednu vrijednost argumenta poprima samo jednu vrijednost y. Viseznacna funkcija je ona funkcija, koja za jednu vrijednost argumenta poprima vise vrijednosti za y. Monotono rastuca funkcija u nekom intervalu, je ona funkcija koja za dvije vrijednosti i unutar intervala i ima f ( ) f ( ). Za f ( ) < f ( ), funkcija je strikno 1 rastuca Monotono padajuca funkcija u nekom intervalu, je ona funkcija koja za dvije vrijednosti i unutar intervala i padajuca. ( ) ( ) f ( ) > f ( ) ima f f. Za, funkcija je strikno 1 1 Ako postoji takav broj M da je f M za svako unutar intervala, tada je slijed brojeva ogranicen sa gornje strane i tocka M je gornja granica funkcije. Ako postoji takav broj m da je f m za svako unutar intervala, tada je slijed brojeva Funkcije 3

4 ogranicen sa donje strane i tocka m je donja granica funkcije. 5. Primjer jednoznacne funkcije y = f = u intervalu 1 1: () () Domena je u intervalu 1 1 y = f = f = 1 = 1, f = 1 = 1 Svakoj vrijednosti za imamo jednu vrijednost za y. [ ] 6. Primjer dvoznacne funkcije y = f = ± 1 u intervalu 1,1 : () () ( ) y = f = ± 1 f = ± 1 1 =, f == ± 1 1 = Dalje imamo: y =± 1 =± 1 Svakoj vrijednosti za imamo dvije vrijednost za y. Zadani primjer je kruznica sa sredistem u ishodistu radijusa 1: + y = 1 y = ± 1 7. Primjer granice funkcije: Funkcija y = + 3 u intervalu 1 1 ima slijedece vrijednosti: y = + 3 y = = y = = 4 ( 1) () 1 () Funkcija ima gornju granicu 4 i donju granicu Primjer granice funkcije: Funkcija y = u intervalu < < 4 ima slijedece vrijednosti: 1 1 y = y( ) = Za dovoljno mali funkcija porima veliku vrijednost, nije ogranicena. 1 1 y( 4) = Za = 4 funkcija ima donju granicu m =. 4 4 f ( ) = ( )( ) ( ) ( ) ( 9. Zadana je funkcija 8 u intervalu 8. a)izracunaj f 6 i f 1. b)koje je podrucje definiranosti funkcije? c)izracunaj f 1 t i definiraj domenu. d)izracunaj f f 3, f f 5 e)nacrtaj graf f. a) f f 6 = = 4 = 8 1 funkcija nije definirana jer 1 je van zadanog intervala. { }{ } [ ] b)podrucje definiranosti su svi brojevi unutar zatvorenog intervala,8 c) f 1 t = 8 1 t 1 t = 7 + t 1 t i mora zadovoljavati uvjete ( 1 t) 8 1 t t 1 t 8 t t d) f 3 = = 5 f f 3 = f 5 = = 9 odnosno ) Funkcije 4

5 = f f 5 f 9 nije definirano ( ) 1 1. Izrazi funkciju za funkciju iz gornjeg zadatka i nacrtaj graf i dokazi da je funkcija viseznacna. f = 8 y = y = Rjesimo po : f 1 1, f y ( y) b± b 4ac ± + = = = = a 1 ± 36 4y 1± 9 y = = = 5 ± 9 y zamijenimo nepoznanice: y = f = ± Dio grafa AV, je predstavljen sa y = 5 + 9, a dio VB sa y = Za sve vrijednosti, u intervalu < 9 funkcija f je dvoznacna. 11. Dokazi da je funkcija y = f = 5 + 9, striktno padajuca u intervalu 9 i ispitaj da li je monotono padajuca u istom intervalu. Da li funkcija ima jednoznacnu inverznu funkciju? 1) Funkcija je striktno padajuca ako f > f kada je <. Znaci da za : < imamo > 9 9 > > Funkcija je striktno padajuca. Funkcije 5

6 ) Iz f > f zakljucujemmo, funkcija je ujedno i monotono padajuca. 1 3) Rijesimo y = f = po : y 5 = 9 y 5 = 9 y 1y+ 5 = 9 = y + 1y 16 = y 8 y Inverzna funkcija funkcije f = je jednoznacna. 1 sin, > 1. Zadana je funkcija y = f ( ) =. Konstruiraj graf funkcije., = Analizirajmo izraz sin : y = f ( ) = kada je sin = = kπ k = 1,,3, odnosno, kada je =,,...Graf je omedjen sa dva pravca, y = i y =. π π 3π Slijedece vrste funkcija se cesto susrecu: 1. Cijela racionalna funkcija ili funkcija polinoma n n 1 n P = a + a + a a + a n n 1 n 1 Koeficijenti a, a, a... a su konstante a n je stupanj polinoma. 1 n Za n funkcija ima oblik P = a i graf je pravac paralelan sa osi. = Za n = 1 funkcija ima oblik P = a + a i graf predstavlja pravac. 1 1 Funkcije 6

7 y koeficijent a1 = tanα = koeficijent smjera, a odsjecak pravca na osi y. Za n = funkcija ima oblik P = a + a + a graf je kvadratna funkcija. 1 Za n = 3 funkcija ima oblik P = a + a + a + a grafje kubna funkcija.. Razlomljena racionalna funkcija R Pn = Q ( ) ( ) U brojniku i nazivniku su polinomi ogovarajuceg stupnja. R( ) Nultocke razlomljene racionalne funkcije su tocke u kojima = Polovi razlomljene racionalne funkcije su tocke u kojima R vrijednost ±. m n n n 1 1 Koeficijenti n... su polinomi od. Primjer su, poprima beskonacnu 3. Algebarska funkcija ima oblik p y p y... p y p y p = n p p y = y = p 4. Transcedentne funkcije: su sve ostale funkcije koje ne spadaju u gornje grupe a) Trigonometrijske funkcije, su oblika: y = sin, y = tan b) Inverzne Trigonometrijske funkcije, su oblika: = sin, = tan 1 1 y y e e e e c) Hiperbolne funkcije, su oblika: sinh =, tanh = e + e 1 1 d) Inverzne Hiperbolne funkcije, su oblika: y = sinh, y = tanh e) Eksponencijalne funkcije, su oblika: Funkcija je inverzna logaritamskoj funkciji. y = f = a f) Logaritamske funkcije, su oblika: y = f = log Funkcija je inverzna eksponencijalnoj funkciji. a Granicna vrijednost funkcije f je vrijednost L; lim f = L: kada nezavisna promjenjiva, tezi prema vriednosti, ; kada za neki mali broj ε mozemo naci pozitivni broj δ (koji je obicno ovisan o ε)tako da je f L < ε, kada je < < δ Drukcije receno: Apsolutna vrijednost razlike f L izaberemo vrijednost za dovoljno blizu vrijednosti. moze se napraviti po volji malom ako Nezavisna promjenjiva moze poprimati vrijednosti i priblizavati se tocki bilo sa desne ili lijeve strane. Funkcije 7

8 + Oznacimo li priblizavanje sa desne strane izrazom ; f a priblizavanje s lijeva, + + sa ; f tada imamo: lim = L limes kada se priblizavamo sa desne strane. lim = L L limes kada se priblizavamo sa lijeve strane. D Limes funkcije lim f = L postoji onda i samo onda kada jelim f = lim f = L + Pravila za limes funkcija: Ako je lim f = A i lim g = B tada vrijedi: a) lim f + g = lim f + lim g = A+ B b) lim f g = lim f lim g = A B c) lim f ( ) g( ) = lim f ( ) lim g ( ) = A B f ( ) lim f ( ) A d) lim = = B g lim g B sin 1 cos 1 Posebni limesi: lim = 1 lim = lim 1+ = e e 1 1 lim 1+ = lim = 1 lim = 1 ln 1 ( ) e + 1 ( ε) 13. Zadana je funkcija y = f =. Dokazi da je lim f = 4. y = f = lim f = 4 Rjesenje se svodi na slijedece: Mora se dokazati da se za svaki dani ε > moze naci δ> koji je ovisan o tako, da je 4, < ε kada je < < δ Ako izaberemo δ 1, tada je < < 1 odnosno nakon sredjivanja: < < 3, δ Tada je 4 = + = + < δ + < 3+ < 5δ ε 5 δ Sada imamo izbor sa δ = 1 ili,zavisi koji je manji, pa je onda 4 < ε, kada je < < δ. Rijesimo to sa konkretnim brojevima: Zelimo da je 4 <.5 Apsolutna vrijednost razlike funkcijske vrijednosti i limesa L u promatranoj tocki je mala, ε.5 po nasoj volji,.5. Izaberimo δ = = = Ako je < <.1 onda je.1 < < < <.1, i Funkcije 8

9 1.99 < < < < 4.41 ili < 4 < < < < i za sigurno je 4.5 uz Dokazi da je lim = Rjesenje se svodi na slijedece: Mora se dokazati da se za svaki dani ε > moze naci δ> ( koji je ovisan o ε) tako, da je ( 8 ) < ε, 1 kada je < 1 < δ Funkciju mozemo napisati i kao: = = = ( + + ) = ( )( ) Za jednakost vidi postupak na rjesavanja u dijelu srednjoskolske matematike: Linearne Jednadzbe kada je 1. 3 ( ) Znaci da za svaki ε > mora postojati δ> tako da je < ε + < ε < < δ Izaberimo δ 1: < 1 < δ < 1 < 1 < <, 1 Sada koristeci isti postupak kao ranije, rastavimo: 4 ( ) δ 5 δ 5 < δ < 17δ δ u izraz: + = < < + + < Rijesimo to sa konkretnim brojevima: Zelimo da je ( 8) <.5 1 Apsolutna vrijednost razlike funkcijske vrijednosti i limesa L u promatranoj tocki je mala, ε.5 po nasoj volji,.5. Izaberimo δ = = = Ako je < 1 <.1 onda je 1.9 < < 1+.9 ( ) (.99) < < 1.9, 1 < < ( 8) < < f 8 < ili < f L < Funkcije 9

10 .145 < f L <.1433 i za sigurno je f L <.5 uz Izracunaj limes: lim lim 3 3 ( + 1) ( ) = lim ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) 16. Izracunaj limes: lim 6 4 ( ) ( + ) ( ) = lim + 1 = = 5 lim = lim + lim 6 + lim 4 = = Izracunaj limes: lim 4 lim = lim Izracunaj limes: lim ( ) = lim + = + = ( 3 1) = lim lim 1 + ( 3 1) ( ) ( + ) 3 1 lim = = = = Izracunaj limes: lim lim 4 = lim 4 = lim = lim + lim lim = = lim ( 6) + lim lim + 3. Izracunaj limes: lim U zadacima 7. i 8. brojnik i nazivnik lim = lim = lim = smo podijelili sa najvisom potencijom + + Funkcije 1

11 1. Izracunaj limes: lim ( 4+ ) lim = lim = lim = = lim = = + 4 ( + 1) Izracunaj limes: lim lim = lim = lim( + 1) = 1 3. ( ) Izracunaj limes: lim lim = lim = lim = 1 ( 1)( + 1) = + 1 ( + 1) ( ) = 3 ( 3 )( 1) 3 ( 3 ) ( ) ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) Izracunaj limes: lim lim lim Izracunaj limes: lim lim = lim 1 = Izracunaj limes:lim lim = lim = lim = 1 ( ) ( + ) 4 ( + ) ( + ) ( 4+ ) 7. Izracunaj limes:lim lim = lim = lim 4 + = Izracunaj limes: lim lim = = Izracunaj limes:lim lim 3 lim + = = = Izracunaj limes: lim lim lim = = = = = Funkcije 11

12 1.3 Neprekinutost funkcija Za neku jednoznacnu funkciju f ( ) kazemo da je neprekinuta ili kontinuirana za sve vrijednosto od u neposrednoj blizini = i u samoj tocki ako zu zadovoljeni slijedeci uvjeti: 1. Funkcija ima limes: lim f = f -. Funkcija je definirana na mjestu f ( ) 3. f = L L oznacava vrijednost za limes funkcije. 4. Funkcija ima jednake limese s lijeve i s desne strane: lim f = lim f = L = L = lim f = f = L L D Tocke u kojima funkcija nije neprekinuta, zovu se tocke prekinutosti ili tocke diskontinuiteta. Ako je funkcija neprekinuta samo za onda kazemo da je funkcija neprekinuta samo sa desne strane (kako se priblizavamo tocki lim f = f ili f = f ;odnosno Ako je funkcija neprekinuta samo za lijeve strane (kako se priblizavamo tocki onda kazemo da je funkcija neprekinuta samo sa lim f = f ili f = f. - Teoremi neprekinutosti funkcija: 1. Ako su dvije funkcije f i g neprekinute u tocki =, tada su neprekinute i funkcije ( ) f f ( ) + g( ), f ( ) g( ), f ( ) g( ) i uz g( ). g. Slijedece funkcije su neprekinute u svaskom konacnom intervalu: sve funkcije polinoma, sin, cos i a a ( > ), te njihove inverzne funkcije. [ ab] 3. Ako je funkcija neprekinuta u zatvorenom intervalu,, ona je i ogranicena u tom intervalu. 4. Ako je funkcija neprekinuta u = i f >, (ili f < ) tada postoji tocka intervala = u kojem je f >, (ili f < ). 5. Ako je funkcija neprekinuta u nekom intervalu i striktno rastuca ili padajuca, njena inverzna funkcija je jednoznacna, neprekinuta i strikno rastuca ili padajuca. [ ] f ( c) = C 6. Ako je funkcija neprekinuta u zatvorenom intervalu a,b i ako je f a = A i f b = B, tada postoji vrijednost c unutar intervala, za koju vrijedi. 7. Ako funkcija zadovoljava gornje uvjete a limesi su suprotnog predznaka, postoji barem jedna vrijednost c za koju je f ( c ) = 8. Ako je funkcija neprekinuta u zatvorenom intervalu [ a,b ] onda u tom intervalu ima Funkcije 1

13 maksimalnu vrijednost Ma ili minimalnu vrijednost min za barem jednu vrijednost unutar intervala. K = g f ( ) = u = i = y = y y = f ( ) 9. Kompozicija funkcija, je neprekinuta ako su obje funkcije neprekinute: y f K g y u i ako je. Funkcija koja je definirana u nekom intervalu je jednoliko neprekinuta (uniformno kontinuirana) ako se za po volji izabrani broj ε > moze naci δ > takav, da za svake dvije vrijednosti i 1 1 tog intervala vrijedi: f f < ε kada je < δ 31. Ispitaj neprekinutost funkcije: y = f = sin za bilo koji =. Postavimo uvjete prema definiciji: + + f ( ) f ( ) = sin sin = sin cos = sin cos + sin < cos 1 sin sin < 1 ili sin sin < i posto sin sin kada je δ Funkcija je neprekinuta za sve. < ε < = 3. Ispitaj neprekinutost funkcije: za. Utvrdi da li je funkcija uniformno neprekinuta u intervalu < < 1. a) Izracunajmo limes funkcije:lim f = lim = 4 funkcija ima limes, f =4, pa je neprekidna y = = b) Koristimo teorem o neprekidnosti: f f < ε kada < δ f f = < < 4 ε kada δ. ε U ranijem zadatku je dokazano da su uvjeti zadovoljeni za δ =. 5 Funkcije 13

14 Da bi bila uniformno neprekinuta, funkcija mora zadovoljiti uvjete: = < ε kada < δ ( δ ovisi samo o ε) f f Za bilo koje dvije tocke u zadanom intervalu vrijedi: = + < 1+ 1 = i za < δ < δ ε Uvjeti su zadovoljeni za izabrani δ =. Funkcija y = je uniformno neprekinuta u intervalu < < 1. < 33. Ispitaj neprekinutost funkcije: f ( ) = u tocki = + 1 > Iz grafa funkcije je vidljivo da y = za < ima prekid i lim f = L = = y = + 1 za > ima prekid i lim f = L = 1 Limesi nisu jednaki, pa funkcija nije neprekinuta. Tocka = je tocka diskontinuiteta ili tocka prekinutosti funkcije. = Dokazi da funkcija y = nije jednoliko neprekinuta u intervali < < 1. koristeci definiciju: f f < ε kada < δ δ δ ε Za = δ i = imamo: = δ = δ < δ odnosno 1+ ε 1+ ε 1+ ε Funkcije 14

15 ε ε = = > ε ( < δ < 1 ) i uvjet nije zadovoljen. δ δ δ Funkcija nije jednoliko neprekinuta u intervalu < < 1. 3 () () () () Zadana je funklcija f = Dokazi da je f = u intervalu 1 < <. Kako se ta vrijednost izracuna? Izracunajmo vrijednost funkcije u tockama intervala: f = f 1 = = 4 3 = = f f 1 = 8 Iz teorema o neprekinutosti (7): unutar intervala mora postojati tocka c, za koju je f = f c = f 1 < f > Nadjimo tu tocku, koja je izmedju 1 i : 3 Probajmo sa = 1.5 : f = f 1.5 = =.5 3 nastavimo sa = 1.4 : f = f 1.4 = = 59 Trazena tocka je izmedju 1.4 i 1.5. Tocna vrijednost iznosi = 1.46 Funkcije 15

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA 5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija

Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija Koordinatni sustav u ravnini Koordinatni sustav u ravnini Funkcija 4. 1. Koordinatni sustav u ravnini..................... Uvod U drugom smo poglavlju opisali koordinatni sustav na pravcu. Pridruživanjem

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, MATEMATIČKA ANALIZA I & II Boris Guljaš predavanja Zagreb,.9.007. ii Posljednji ispravak: petak, 6. ožujak 009. Uvod Matematička analiza I. & II. su standardni jednosemestralni kolegiji koji se predaju

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja. r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, MATEMATIČKA ANALIZA I & II Boris Guljaš predavanja Zagreb, 9.9.06. ii Posljednji ispravak: srijeda, 3. svibanj 07. Uvod Matematička analiza I. & II. su standardni jednosemestralni kolegiji koji se predaju

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y . ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je

Διαβάστε περισσότερα

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

ALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.

ALFA List - 1. Festival matematike Split 2013. Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013. ALFA List - 1 Točan odgovor: 10 bodova Pogrešan odgovor: 5 bodova Bez odgovora: 0 bodova 1. Ako je (x+ 3): 4=( x ):3, onda je x jednako: A) 1 B) 1 C) 17 D) 17 E) 6. Kut od 1º30' gleda se kroz povećalo

Διαβάστε περισσότερα

RIEMANNOV TEOREM. Marko Marić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: prof. dr. sc.

RIEMANNOV TEOREM. Marko Marić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: prof. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marko Marić RIEMANNOV TEOREM Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Goran Muić Zagreb, rujan, 2014. Ovaj diplomski rad obranjen

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα