Izmenični signali. Dejan Križaj

Transcript

1 Izenični signali Dejan Križaj

2 .

3 . KAZALO 6. PREHODNI POJAVI... 4 PREHODNI POJAVI... 5 ZVEZE MED TOKOM IN NAPETOSTJO NA ELEMENTIH VEZJA... 6 ZAČETNI POGOJI... 6 POLNJENJE KONDENZATORJA... 7 PRAZNENJE KONDENZATORJA... VKLOP TLJAVE (»POLNJENJE«TLJAVE)... * VKLOP ZAPOREDNE VEZAVE PORA IN KONDENZATORJA NA IZMENIČNI VIR NAPETOSTI... 4 * ANALIZA S PROGRAMI ZA SIMALCIJO VEZIJ - SPICE * NEKAJ PRIMEROV ANALIZE PREHODNIH POJAVOV S PROGRAMOM 5SPICE:... 7 ANALIZA VEZIJ Z ZAPOREDNO VEZAVO PORA, KONDENZATORJA IN TLJAVE OSNOVNI POJMI PRI OBRAVNAVI PERIODIČNIH SIGNALOV... ) PERIODA SIGNALA... ) FREKVENCA... 3) HARMONIČNI, SINSNI SIGNAL... 5) SREDNJA ALI POVPREČNA VREDNOST SIGNALA ) EFEKTIVNA VREDNOST ) SMERJENA VREDNOST ) FAKTOR OBLIKE POR, TLJAVA IN KONDENZATOR PRI IZMENIČNIH SIGNALIH... 8 POR... 8 TLJAVA... 3 KONDENZATOR IZMENIČNI SIGNALI MOČ DELOVNA MOČ NAVIDEZNA MOČ JALOVA MOČ OBRAVNAVA IZMENIČNIH SIGNALOV S KOMPLEKSNIM RAČNOM OSNOVE KOMPLEKSNEGA RAČNA ELERJEV OBRAZEC TVORJENJE KOMPLEKSORJEV IZ ČASOVNIH (HARMONIČNIH) SIGNALOV DOLOČITEV ČASOVNEGA SIGNALA IZ KOMPLEKSORJA KOMPLEKSORJI TOKA IN NAPETOSTI NA ELEMENTIH VEZJA... 5 KIRCHOFFOVA ZAKONA S KOMPLEKSNIM ZAPISOM IMPEDANCA IN ADMITANCA ZAPOREDNA IN VZPOREDNA VEZAVA IMPEDANC IN ADMITANC... 55

4 .. MOČ S KOMPLEKSNIM RAČNOM... 6 BILANCA MOČI KOMPENZACIJA JALOVE MOČI PRILAGODITEV BREMENA MAKSIMALNA DELOVNA MOČ MAKSIMALNA MOČ PRI LE OHMSKEM ALI LE INDKTIVNEM BREMEN RESONANČNI POJAV... 7 ZAPOREDNI NIHAJNI KROG - TOKOVNA RESONANCA... 7 VZPOREDNI NIHAJNI KROG - NAPETOSTNA RESONANCA DRGA VEZJA METODE REŠEVANJA VEZIJ... 8 METODA KIRCHOFFOVIH ZAKONOV... 8 METODA ZANČNIH TOKOV METODA SPOJIŠČNIH POTENCIALOV STAVKI STAVEK SPERPOZICIJE THEVENINOVO IN NORTONOVO NADOMESTNO VEZJE TELLEGENOV STAVEK MAKSIMALNA MOČ * REŠEVANJE BOLJ KOMPLEKSNIH VEZIJ S PROGRAMSKO OPREMO TRANSFORMATOR... 9 NAPETOSTNA PRESTAVA IN MAKSIMALNI FLKS V JEDR MAGNETILNI TOK OBREMENJEN TRANSFORMATOR PONAZORITEV TOKOV IN NAPETOSTI NA NEOBREMENJENEM IN OBREMENJENEM TRANSFORMATORJ S KAZALCI (KOMPLEKSORJI) REDCIRANE VREDNOSTI NAPETOSTI IN TOKOV MOČ VHODNA IMPEDANCA TRANSFORMATORJA REALNI TRANSFORMATOR Z ŽELEZNIM JEDROM * OSNOVE DIMENZIONIRANJA TRANSFORMATORJEV V PRAKSI VRTILNO MAGNETNO POLJE... 3 PORABA VRTILNEGA MAGNETNEGA POLJA TRIFAZNI SISTEMI... 7 SISTEM TRIFAZNIH NAPETOSTI... 7 EFEKTIVNE VREDNOSTI IN PRIKAZ S KAZALCI (KOMPLEKSORJI) MEDFAZNE NAPETOSTI... VEZAVA BREMEN... VEZAVA BREMENA V ZVEZDO Z NIČELNIM VODNIKOM... VEZAVA BREMENA V ZVEZDO BREZ NIČELNEGA VODNIKA... 3 VEZAVA BREMENA V TRIKOT... 6 SIMETRIČNO BREME... 7 PRIMERI ČASOVNIH POTEKOV MOČI NA RAZLIČNIH TIPIH BREMEN

5 Prehodni pojav 6 6. PREHODNI POJAV Vsebina: Stacionarno stanje prehodni pojav, zveze ed toko in napetostjo na uporu, tuljavi in kondenzatorju, začetni pogoji, zapis in oblika rešitve diferencialne enačbe, polnenje in praznenje kondenzatorja in tuljave, časovna konstanta,»obrtniška etoda«, uporaba prograov za analizo vezij. Z analizo vezij priključenih na enoserne vire so se že spoznali. Pri te so obravnavali le vezja sestavljena izključno iz uporov. Če bi poleg uporov vsebovala še tuljave in kondenzatorje, bi orali ugotoviti, da v enosernih razerah kondenzatorji predstavljajo odprte sponke (upornost izolatorja/dielektrika je izredno velika), tuljave pa kratek stik ( če zaneario Ohsko upornost navitja). Take razere nastopijo v vezju tudi po preteku prehodnega pojava. SLIKA: Vezje z upori, idealnii kondenzatorji in idealnii tuljavai priključenii na enoserni vir v stacionarnih razerah. Popolnoa drugačne razere pa iao tedaj, ko vire šele priklopio ali odklopio z vezja. V prve trenutku po priklopu vira se na eleentih vezja še ne bodo vzpostavile razere, kot so v enosernih razerah. gotovili boo, da tok skozi tuljavo ne ore sunkovito narasti, saj u to preprečuje inducirano polje, ki je večje ob večji spreebi toka. Prav tako ne ore hipoa narasti napetost na kondenzatorju, saj je le ta odvisna od naboja ed elektrodaa, ta pa ora priteči s toko. V te prieru pride do t.i. prehodnega pojava. SLIKA: Prehod ed dvea stacionarnia stanjea ienujeo prehodni pojav. 4

6 Prehodni pojav 6 PREHODNI POJAVI Prehodne pojave srečujeo na vsake koraku. Dobesedno. Z drsenje čevljev ob tla se le ti naelektrijo, ob vsake stiku s tlei pa razelektrijo. Če ostaneo naelektreni in se približao določeneu prevodneu objektu (recio kljuki) pride do razelektritve. Podoben pojav je razelektritev ed oblako in zeljo, kar vidio kot udar strele. Tako, kot se prehodni pojavi dogajajo v naravi, jih najdeo tudi pri čisto»elektrotehniških«probleih. Ti nas navsezadnje še najbolj zaniajo. Vzeio vžigalni siste v avtoobilu s tuljavo z zelo veliki število ovojev. Če skozi tuljavo teče enoseren tok, je padec napetosti na tuljavi odvisen le od upornosti ovojev tuljave. Če pa ta tok v hipu prekineo, pride do induciranja napetosti na tuljavi, ki je lahko ob hipni spreebi toka zelo velika, saj velja d i( t) u( t) = L. Ta učinek lahko še zvečao tako, da dt vzaeo dve navitji (glej sliko). S prehodni pojavo iao opravka pri vsake električne vezju, ki ga občasno Vžigna tuljava z dvea navitjea. Zaradi transforatorskega principa (prva z anjši in drugo z zelo veliki število ovojev) je trenutna izhodna napetost dovolj velika (več kv), da sproži iskro. Ta pa povzroči alo eksplozijo stisnjenega bencina, ta preik bata - in že se preikao. w_does_it_work/ignition.ht priključio na napajanje ali pa izklopio. Eleente vezja je torej potrebno dienzionirati tudi za delovanje pri teh razerah in ne le v stacionarne stanju. Ta razelektritev nastopi pri napetostih 5 do 5 kv z aksialni toko do A. To je precejšen tok, ki pa traja izredno alo časa (reda µs), poleg tega je koncentriran le pri estu nastopa razelektritve, pote pa se razširi na večje obočje. To neprijetnost lahko zanjšao z zanjšanje upornosti ed teleso in zeljo. Ta upornost naj ne bi bila večja od MΩ, kjer pa je verjetnost razelektritve posebno velika, pa naj ne bo anjša od 5 kω. V posebnih prierih (nevarnost explozij) je potrebno uporabiti oblačila, katerih upornost ne se preseči veliksoti GΩ. V prieru naravnih aterialov to običajno ni proble, je pa potrebno to upoštevati pri uetnih aterialih. Znan na je tudi pojav razelektritve ob stiku s karoserijo avta, ki nas neprijetno strese. Zaislio si razelektritev kondenzatorja, ki se naelektri na napetost ed MV in MV. Take napetosti so ed zeljo in ionisfero, občasno pa tudi ed zeljo in naelektreni oblako. Takrat lahko pride do hipne razelektritve, kar se odraža v obliki strele. Tokovi razelektritve so velikosti nekaj deset do 5 ka, dogodek pa lahko traja nekaj sto ikrosekund. 5

7 Prehodni pojav 6 ZVEZE MED TOKOM IN NAPETOSTJO NA ELEMENTIH VEZJA Za analizo prehodnega pojava se orao vrniti k osnovni zveza ed napetostjo in toko na eleentih vezja: POR u( t) = R i( t) i( t) = G u( t) (6.) KONDENZATOR t u( t) = i( t)d t + u( t) C t d u( t) i( t) = C dt (6.) velja tudi Q( t) = Cu( t) (6.3) TLJAVA d i( t) u( t) = L dt t i( t) = u( t)d t + i( t) L t (6.4) Poleg teh osnovnih zvez orao upoštevati še oba Kirchoffova zakona ter začetne pogoje, ki določajo kontinuiteto toka ali napetosti ob prehodne pojavu. ZAČETNI POGOJI Napetost na kondenzatorju je integral toka skozi kondenzator. Tudi če se tok skozi kondenzator hipoa spreeni (hipna spreeba pritekanja ali odtekanja naboja), se lahko napetost oz naboj ( Q = Cu ) spreeni le postopoa, zvezno. To pa tudi poeni, da bo orala biti napetost na kondenzatorju tik pred spreebo enaka napetosti tik po spreebi, kar lahko zapišeo kot u ( t ) u ( t ) C =. (6.5) + C Enako trditev ne oreo postaviti tudi za tok skozi kondenzator, le ta se lahko spreeni tudi hipoa. Začetni pogoj za tok ali napetost na tuljavi ugotovio s podobni raziseko, le da se pri tuljavi ne ore hipoa spreeniti tok skozi tuljavo (lahko pa se napetost). Zato velja i ( t ) i ( t ) L = (6.6) + L Ta dva pogoja na zadostujeta, da z razisleko ugotovio vrednost napetosti ali toka na poljubnih eleentih v vezju ob prekopu. POSTOPEK ANALIZE VEZIJ PRI PREHODNEM POJAV. Zapišeo enačbe vezja po preklopu z uporabo Kirchoffovih zakonov.. Tvorio siste (ene ali več) diferencialnih enačb, ki jih je potrebno rešiti. 3. V ta naen potrebujeo začetne pogoje, to je stanje na eleentih vezja tik po preklopu (ob začetku prehodnega pojava). 6

8 Prehodni pojav 6 POLNJENJE KONDENZATORJA Ob času t = priklopio kondenzator in zaporedno vezan upor na enoserni vir napetosti V. Določio časovni potek napetosti in toka na kondenzatorju. R = Ω, C = µf. SLIKA: Shea vezja porabio Kirchoffov zakon = u ( t) + u ( t) in zvezi ed toko in napetostjo na uporu in g R C kondenzatorju g = ir + idt C. Z odvajanje celotne enačbe dobio diferencialno enačbo za tok di i skozi kondenzator 3 = R +. Dobio diferencialno enačbo prvega reda s konstantnia d t C koeficientoa, pa še hoogeno povrhu (levi del je enak nič). Načinov reševanje takih enačb je več. Pri enostavnih sisteih diferencialnih enačb poznao t.i. nastavek za rešitev. V konkretne prieru diferencialne enačbe je rešitev v obliki eksponentne funkcije λt diferencialno enačbo in dobio λ + Ae =. RC i = Ae λt. Ta nastavek uvrstio v t t RC Očitno bo enačbi zadoščeno, če bo λ =. S te bo rešitev oblike i( t) = Ae = Ae τ, kjer je RC τ = RC. Tau ia enoto časa, zato u tudi pravio časovna konstanta. Določiti orao še konstanto A. V ta naen orao upoštevati začetni pogoj (6.5): napetost na + kondenzatorju tik po preklopu ora biti enaka kot tik pred preklopo u ( ) = u ( ). Zato je u C ( ) = V. V trenutku t = bo torej vsa napetost na uporu u ( ) R C g C =, tok pa bo enak u ( ) R + g i = =. To je začetni pogoj, ki ga potrebujeo za dokončno rešitev. poštevao ga v R R g + τ nastavku in dobio i( ) = = A. Rešitev bo torej eksponentno zanjševanje toka i( t) = e R R. Napetost na uporu je sorazerna teu toku, napetost na kondenzatorju pa lahko dobio z g t 3 Ta tok običajno ienujeo kar polnilni tok, saj pri te prehodne pojavu elektrio kondenzator z naboje. Naboj je sorazeren napetosti na kondenzatorju, saj velja Q( t) = C u( t) ). 7

9 Prehodni pojav 6 integracijo toka v skladu z enačbo ali pa kar kot razliko priključene napetosti in napetosti na uporu. t Dobio uc ( t) = g e τ. SLIKA: Prikaz napetosti na uporu in kondenzatorju (ur) in (uc) ter toku pri prehodne pojavu polnenja kondenzatorja preko upora. ČASOVNA KONSTANTA Za zgornji prier je časovna konstanta µs. V te času pade napetost na uporu za τ τ = e ali na 37 % začetne vrednosti. V času τ pade na 3,5 % in v času 5τ že pod % začetne vrednosti. Časovno konstantno dobio lahko tudi iz naklona signala v času t = (ob preklopu) 4. e SLIKA: Časovna konstanta je čas, ko se zanjša ali poveča vrednost opazovane veličine za približno 63 %. di I i I I ( t = ) = I e ali tudi ( t ) = = = = dt τ τ t τ τ 4 / τ 8

10 Prehodni pojav 6 MOČNOSTNE RAZMERE Moč na uporu je t du g τ pc ( t) = ic uc = Cu = uc ( t) = e e dt R. p t i R ( ) R =, na kondenzatorju pa t τ SLIKA: Moč na uporu (odra) upada s toko, na kondenzatorju (zelena) pa narašča, doseže aksiu in upada proti nič. ENERGIJSKE RAZMERE Energijo dobio z integracijo oči po času: t W ( t) = p( t)dt. t t gc Energija na uporu je WR ( t) = Ri dt = e τ, na kondenzatorju pa t u C g C WC ( t) = C = e τ. Energija na uporu se je ed prehodni pojavo»potrošila«oz. pretvorila v toploto (Joulske izgube), energija na kondenzatorju pa se je shranila v obliki zgrajenega električnega polja oz. v obliki naelektrenosti. SLIKA: Energijske razere pri polnjenju kondenzatorja: Energija na kondenzatorju (črtkana zelena črta) narašča, naraščajo pa tudi joulske izgube (pikčasta orda črta) na uporu. Vsota (polna rdeča črta) je energija, ki je enaka energiji, ki jo eleento zagotavlja vir (krogci). 9

11 Prehodni pojav 6 PRAZNENJE KONDENZATORJA Vzeio, da se je kondenzator polnil do časa t = τ, nato pa vir odklopio in ga hkrati preklopio na upor R = Ω. Določio tok praznenja in napetost na kondenzatorju. SLIKA vezja. Izračun: Rešujeo enačbo ( ) di i = + +. Rešitev bo podobna kot v prejšnje prieru, torej R R dt C ( R + R ) C = =, kjer pa bo sedaj časovna konstanta daljša, enaka, s (prej, s). i( t) Ae Ae τ t t Drugačen je tudi začetni pogoj, saj bo sedaj ob preklopu ostala napetost na kondenzatorju nespreenjena in enaka τ ( ) u ( t = ) = e,86. Ta napetost bo v trenutku preklopa C g g tudi enaka napetosti na obeh uporih, torej bo tok v času t( τ ) enak,86 g,86 V i( τ + ) = =,94A. Konstanta A bo torej R + R Ω τ ( R + R ) C = = = =. Tok praznjenja je torej i( τ ) Ae Ae, 94A A,697A ( R R ) C =. Napetost na uporoa bo enaka napetosti na kondenzatorju i( t),697e + A u ( t) = u ( t) = 76,67e τ V. R C t t Dodatno: Ob času t = 4τ zopet vklopio generator preko upora Ω. Kakšen je sedaj potek polnenja? τ Izračun: Začetni pogoj je napetost na kondenzatorju u ( t = 4 τ ) = 78,67e V =, 44V.... C 4τ Oglejte si tudi prier siulacije s prograo Spice na koncu poglavja. Prvi prier je ravno siulacija polnenja in praznenja kondenzatorja, ki je priključen na vir napetosti s periodičnii pulzi.

12 Prehodni pojav 6 VKLOP TLJAVE (»POLNJENJE«TLJAVE) Poglejo še prier vklopa tuljave in zaporedno vezanega upora na enoserno napetost g ob času t = s. SLIKA vezja. Ob vklopu bo napetost generatorja enaka vsoti napetosti na uporu in tuljavi: di g = ur ( t) + ul ( t) = ir + L. Dobili so (nehoogeno) diferencialno enačbo prvega reda s d t konstantnia koeficientoa. Rešitev hoogene enačbe zopet iščeo v obliki R Ae λt λ + =, od koder je L enaka L τ =. R i = Ae λt in dobio t t R L / R λ = in i = Ae = Ae τ. Tau je časovna konstanta in je L Za rešitev diferencialne enačbe zopet potrebujeo ustrezen začetni pogoj. Ta bo sedaj določen s toko skozi tuljavo. Ker je bil pred preklopo enak nič, ora biti v skladu z začetni pogoje i( + ) i( + = ) tok tik po preklopu i( ) = A. Če ta pogoj upoštevao v enačbi i = Ae λt dobio = Ae, oziroa A=. Ta rešitev očitno ne bo ustrezna. Pozabili so nareč na rešitev nehoogenega dela enačbe. En od ožnih načinov za določitev prispevka nehoogenega dela enačbe je reševanje z variacijo konstante. Pri take načinu predstavio konstanto A kot funkcija časa A(t). Z odvajanje enačbe i = A( t) e λt in uvrstitvijo v diferencialno enačbo dobio ( ) ( λ ) g t λt λt λt λt λ g = R Ae + L A'( t) e + Ae = LA'( t) e oziroa A' = e. Z integracijo konstante L g λt g λt dobio A( t) = e + B = e + B, kjer je B neka nova konstanta. Rešitev torej iščeo v λ L R λt g λt obliki i( t) = A( t) e = + Be. Konstanto B določio iz začetnega pogoja (tok enak nič) in bo R

13 Prehodni pojav 6 g λt g enaka B =. Končni rezultat je torej i = Ae = e R R t τ. Napetost na uporu je t t di sorazerna teu toku ur = g e τ τ, napetost na tuljavi pa odvodu toka: ul = L = ge. dt Drug način reševanja: g L di g Diferencicalno enačbo zapišeo v obliki i =, jo delio z ( i R R dt R di R = d t. Sedaj jo integrirao in dobio g L i R i( t) + i( ) di g i R R = L t dt ) in nožio z dt: Rezultat je g i( t) R = e + g i( ) R g dobio i( t) = e R t τ t τ +, po preureditvi in upoštevanju začetnega pogoja i( ) = A pa. Rezultat je seveda identičen kot v prejšnje prieru. DOLOČANJE PREHODNEGA POJAVA Z NASTAVKOM IN IZRAČNOM ČASOVNE KONSTANTE IZ THEVENINOVE NADOMESTNE PORNOSTI gotovili bi lahko, da prehodni pojav v prieru uporabe le enega kondezatorja ali tuljave v vezju vedno lahko zapišeo v obliki diferencialne enačbe prvega reda (s konstantnii koeficienti), katere rešitev je vedno oblike Ae t τ + B. Določiti orao le konstanti A, B in časovno konstanto τ. Eno od konstant dobio iz začetnega pogoja, drugo pa lahko določio s preisleko o razerah po prehodne pojavu v stacionarne stanju. Tedaj bodo v prieru vklopa ali izklopa enosernega napajanja nastopile enoserne razere, v katerih ostane le še vpliv ohskih upornosti. pornost kondenzatorja je v idealnih enosernih razerah neskončna skozenj ni toka. pornost tuljave v enosernih razerah pa je le v sislu upornosti navitja. To upornost pri idealni tuljavi zaneario. Napetost na tuljavi pri enosernih razerah je torej enaka nič. Z upoštevanje teh lastnosti na enostaven način ugotovio poljubno napetost ali tok ob koncu prehodnega pojava. gotoviti orao le še časovno konstanto τ, ki pa bo vedno oblike RC ali L/R, pri čeer bo R notranja (Theveninova) upornost gledana s sponk kondenzatorja ali t= tuljave. Prikažio uporabo tega načina reševanja na naslednje prieru. Prier: Določio tok skozi tuljavo ed prehodni pojavo za vezje na sliki. R = Ω, R = Ω, R = 4 Ω, L = H, = V g g R g g = L R R

14 Prehodni pojav 6 Začetni pogoj določio iz toka skozi tuljavo tik po preklopu, ki bo enak kot tik pred preklopo, torej A. Ko bo prehodni pojav izzvenel, bodo nastopile enoserne razere. Tedaj bo tok skozi upor R g g V ig ( t ) =, 486A R 4 g R R = =. Tok skozi tuljavo pa bo + Ω + Ω 6 R il ( t ) =,486A, 9A. Tok skozi tuljavo ob začetku prehodnega pojava bo torej R + R τ enak nič, na koncu pa,9 A. Ta pogoja vstavio v splošen nastavek i = Ae + B in dobio = A + B., 9 = B Tok skozi tuljavo bo torej enak i ( t) =, 9( e τ ) A. L t Časovno konstanto tudi lahko določio s poočjo Theveninove nadoestne upornosti 5. gotovili so, da je pri vklopu ali izklopu kondenzatorja časovna konstanta vedno oblike τ = RC, pri vklopu ali izklopu tuljave pa bo oblike τ = L / R. Sedaj orao to ugotovitev le še posplošiti. Če iao opravka le z eni reaktivni eleento (C ali L), bo R enak upornosti Thevenina, gledano s sponk L reaktivnega eleenta (kondenzatorja ali tuljave), torej bo splošna oblika τ = RThC aliτ =. V R konkretne prieru je konstanta je torej τ, 7 s. L 4 τ =, kjer je RTh = Rg R + R = Ω + Ω = 8Ω. Časovna R 5 Th t Th 5 Zakaj je to tako? Lahko si zaislio prier, ko je v tuljavi ali kondenzatorju pred prehodni pojavo shranjena energija v obliki agnetnega (tuljava) ali električnega (kondenzator) polja. Ob prehodne pojavu se ta energija sčasoa pretvori v toplotno s toko skozi nadoestno vezavo uporov skozi upore, ki jih»vidi«tuljava ali kondenzator. To pa je ravno nadoestna ali Theveninova upornost, določena s sponk tuljave oz. kondenzatorja. 3

15 Prehodni pojav 6 DODATNO: VKLOP ZAPOREDNE VEZAVE PORA IN KONDENZATORJA NA IZMENIČNI VIR NAPETOSTI. SLIKA: Vklop RC člena na izenični vir napetosti. Napetostni vir zapišeo v obliki u ( t) = cos( ωt + ϕ ). g g g Diferencialna enačba, do katere orao priti je praktično identična tisti, ki so jo že zapisali pri vklopu RC člena na enoserni vir, saj velja ug = ir + idt C. Naesto opazovanja toka lahko d zapišeo enačbo za napetost na kondenzatorju. V te prieru tok izrazio kot i u = C C in velja d t duc ug = RC + uc. Zopet prideo do nehoogene diferencialne enačbe prvega reda. Rešitev dt orao tokrat iskati v obliki funkcije, ki vsebuje tako haronično nihanje kot tudi eksponentno upadanje: λt u ( t) = Ae + Bcos( ωt + ϕ ϕ). C g Neznane konstante so štiri: A, λ, B in ϕ. Za določitev teh konstant je potrebno nastavek uvrstiti v + diferencialno enačbo ter upoštevati začetni pogoj, ki je določen z u ( ) = u ( ) = V. Časovno konstanto določio iz hoogene enačbe, od koder je τ = = RC. Določitev ostalih koeficientov je λ nekoliko bolj»ateatična«, zato jo boo preskočili. Zainteresiran bralec jo najde npr. v A.R. Sinigoj: Osnove elektroagnetike, str. 45. Rešitev je g uc ( t) = cos ( ) cos ( ) t + g arctg RC g arctg RC e + ( ωrc) t / ( ω ϕ ω ) ( ϕ ω ) Rezultat je nekoliko daljši pa vendar zaniiv. gotovio lahko, da je sestavljen iz dveh delov: iz haroničnega nihanja, ki ostane tudi po koncu prehodnega pojava ter drugi člen, ki eksponentno izzveni s časo. C τ C 4

16 Prehodni pojav 6.4 Napetosti uc, uc in uc / V Cas /s Slika: Prehodni pojav pri vklopu RC člena na izenični vir napetosti. Rešitev (odra črta ) je sestavljena iz dveh členov: eksponentno upadanje»dušenja«(zelena črta) in haronični signal (rdeče pike). Izračun za - ω = s, τ =,3 s. 5

17 + Prehodni pojav 6 DODATNO: ANALIZA S PROGRAMI ZA SIMALCIJO VEZIJ - SPICE. V srednjih šolah je za siulacijo vezij precej popularen progra Electronic WorkBench (EWB), bolj izpopolnjena in profesionalna varianta pa je progra SPICE. Obstaja nogo verzij prograa, nekatere od njih so brezplačne, druge plačljive. Eno od verzij prograa (SPICE OPS) razvijajo tudi na naši fakulteti (fides.fe.uni-lj.si/spice). SPICE oogoča različne načine siulacije, enoserno, izenično, tranzientno (prehodni pojavi), pogosto pa oogoča tudi siulacijo šunih lastnosti, Fourierove analize, analizo občutljivosti itd. Oogoča siulacijo nožice različnih eleentov, od linearnih do nelinearnih, sklopljenih, pogosto pa oogoča uporabo že prednastavljenih odelov. Nekatere za lažje delo podajo že proizvajalci eleentov. Tu predstavlja prier uporabe prograa 5Spice, ki je posebno prieren za začetnike, saj oogoča grafično postavitev eleentov vezja in je v osnovni verziji brezplačen za uporabo ( Transient - New, ntitled + ntitled, 3 aj 6 TPi (left) TPv (right) y,8568e- x 6,E-3 3 8, R R 5 7, -- TPv Vs DC: Volts undefined AC: Volts, AC: Phase Tran: Step Distort: Sine undefined TPi L R3 4 6, 5, 5 4, G 3, Title Nuber L vklop 5,, FE, DK, Date aj 3 6 Size S Sheet of Rev File: Lvklop.Sch -5, -, 6u,,8,4 3, 3,6 4, 4,8 5,4 6, Tie SLIKA: Levo: Grafično oblikovanje analiziranega vezja s prograo 5Spice. Desno: Prier vklopa induktivnega breena. Na sliki tok skozi tuljavo (rdeča polna črta) in napetost na tuljavi (odra črtkana črta). Slika dobljena s siulacijo s prograo 5Spice. 6

18 Prehodni pojav 6 DODATNO: NEKAJ PRIMEROV ANALIZE PREHODNIH POJAVOV S PROGRAMOM 5SPICE.) PRIKLOP ZAPOREDNO VEZANEGA KONDENZATORJA NA NAPETOSTNI GENERATOR PRAVOKOTNIH PLZOV AMPLITDE V. Na sliki napetost na generatorju (polna redeča črta), tok v vezju (odra črtkana) in napetost na kondenzatorju (zelena črtkana). Napetost na kondenzatorju v času trajanja pulza eksponentno narašča v skladu s spoznanii enačbai, v času izklopa pa upada. V začetku narašča napetost na kondenzatorju hitreje (ker je kondenzator prazen), v nekaj periodah pa se začne ponavljati. V času praznenja kondenzatorja se ser toka spreeni. Tok skozi ug (left) ic (left) c (right) kondenzator se spreinja skokovito,. napetost pa zvezno G g R K TPv C nf Vs DC: Volts undefined AC: Volts. AC: Phase Tran: PieceWise Distort: Sine undefined y.38e+ x.9935e TPi u Tie.) POLNENJE KONDENZATORJA PRI ZAPOREDNI VEZAVI PORA IN KONDENZATORJA TER DIODE PRIKLJČENE NA IZMENIČNI VIR NAPETOSTI AMPLITDE V (POLNA RDEČA ČRTA). V pozitivni polperiodi dioda prevaja, napetost na kondenzatorju raste (polna odra črta). V negativni polperiodi dioda ne prevaja tok je enak nič (črtkana zelena črta), ves padec napetosti je na diodi, napetost na diodi ostaja enaka. V realnih razerah napetost na kondenzatorju v negativni polperiodi nekoliko pada zaradi neidealnega kondenzatorja in zapornega toka diode, ki je ajhen vendar različen od nič. ug (left) ic (right) ug + -- G R D.SILICON D IdealDiode.lib Vs DC: Volts undefined AC: Volts AC: Phase Tran: Sine (peak) Freq e3 Distort: Sine undefined Transient - New, Cvklop_D.Sch + Lvklop.Anl, 4 aj 6 c (left) ic C u y -9.33E- x.9898e-3 c u Tie 7

19 Prehodni pojav 6 ANALIZA VEZIJ Z ZAPOREDNO VEZAVO PORA, KONDENZATORJA IN TLJAVE Vsota vseh napetosti je ug = ur + uc + ul, oziroa di ug = ir + idt L C +. Z odvajanje dobio diferencialno enačbo drugega reda dt di d i = R + i + L. Rešitve te diferencialne enačbe so lahko zelo razvejane, odvisne od vzbujanja dt C dt in vrednosti eleentov. 3) ODKLOP IN VKLOP ENOSMERNEGA VIRA OD ZAPOREDNE VEZAVE PORA, KONDENZATORJA IN TLJAVE. Ob vklopu začne stro naraščati tok v vezju (zelena črtkana črta), obene pa očno naraste napetost na tuljavi (oranžna črtkana črta). Tok doseže svoj aksiu in nato pade zlagoa na nič aperov. Napetost na kondenzatorju (polna odra črta) je nič ob vklopu in ob koncu prehodnega pojava doseže napetost vira g R K TPv C nf Vs DC: Volts undefined AC: Volts. AC: Phase Tran: PieceWise Distort: Sine undefined TPi L H ug (left) ic (right) G c (left) L (left) y.567e-4 x.993e u 8u Tie ug (left) ic (right) c (left) L (left) y E+ x.3653e u 8u Tie 8

20 Prehodni pojav 6 4) VKLOP IZMENIČNEGA VIRA NA ZAPOREDNO VEZAVO PORA, TLJAVE IN KONDENZATORJA. ug (left) ic (right) c (left) L (left) y E+ x.33e u Tie 5) IZKLOP IZMENIČNEGA VIRA NA ZAPOREDNO VEZAVO PORA, TLJAVE IN KONDENZATORJA. (R= Ω, L= MH, C = µf). ug (left) ic (right) c (left) L (left) y -.459E- x.584e u Tie 9

21 Prehodni pojav 6 6) IZKLOP IZMENIČNEGA VIRA NA ZAPOREDNO VEZAVO PORA, TLJAVE IN KONDENZATORJA. (R= Ω, L= MH, C = µf). X VEČJA PORNOST POVZROČI NADKRITIČNO NIHANJE. Transient - New, RLC_odklop_sin.Sch + RLC.ANL, 5 aj 6 ug (left) ic (right) c (left) L (left) y -.856E- x.584e u Tie Vprašanja za obnovo: ) Kaj je to prehodni pojav? Kdaj nastopi? ) Prehodni pojav v vezjih: kako ga zapišeo z enačbai? 3) Osnovne zveze ed toko in napetostjo na uporu, tuljavi in kondenzatorju. 4) Začetni pogoji. 5) Rešitev diferencialne enačbe: nastavek. 6) Časovna konstanta. 7) Prier polnenja in praznenja kondenzatorja. 8) Prier vklopa in izklopa tuljave. Prieri kolokvijskih in izpitnih nalog: Kolokvij, 9.6., Kolokvij.4., Izpit 3.., Izpit. aprila 5, izpit , Izpit 3. septeber 5, Izpit

22 Equation Section 6 Osnovni poji 7 7. OSNOVNI POJMI PRI OBRAVNAVI PERIODIČNIH SIGNALOV Vsebina: Opis periodičnih signalov s periodo, frekvenco in krožno frekvenco. Razlaga pojov aplituda, faza, haronični signal. Določanje srednje, efektivne in userjene vrednosti periodičnih signalov. Poji faktor oblike, teenski faktor. ) PERIODA SIGNALA. Času, v katere se začne funkcija ponavljati pravio perioda in jo označio z veliko črko T. Za periodično funkcijo velja f ( t) = f ( t + T ). SLIKA: Prier periodičnega signala s periodo T. ) FREKVENCA periodičnega signala je f =, njena enota je s -, pogosteje uporabio T ekvivalentno enoto Hz (po Heinrichu Hertzu, ki je s svojii eksperienti prvi dokazal pravilnost Maxwellovih enačb). Pogosto uporabio za opis signala tudi krožna frekvenco (kotna frekvenca, v prieru vrtenja zanke kotna hitrost) ω, ki je π enaka ω = π f =. T 3) HARMONIČNI, SINSNI SIGNAL lahko zapišeo v obliki i( t) = I sin( ωt ϕ), kjer je I aplituda, ωkrožna frekvenca in φ fazni kot. Prikažio na grafu signal i t - ( ) / A sin(s t π/6) =. Perioda signala je π T = = π s 3,4 s. ω

23 Osnovni poji 7 Pogosto naesto prikaza časa na abscisi uporabio kot spreenljivko produkt krožne frekvence in časa, kar predstavlja fazni kot. V te prieru je perioda signala določena pri vrednosti π. Prednost tega prikaza je tudi v direktne odčitavanju faznega kota. V konkretne prieru je π/6,5 rd ϕ =. Haroničen signal je lahko sestavljen iz več sinusnih signalov različnih aplitud in frekvenc. Prikažio to na prieru haroničnega signala sestavljenega iz vsote signalov i t A = t : ( ) / sin(s - ) i t A = t in ( ) / sin(s - ) - - i( t) / A = sin(s t) + sin(s t). 5 5 i i i Zaniivo je, da je ogoče poljuben signal zapisati v obliki vsote sinusnih signalov, kar ienujeo Fourierova vrsta in se pogosto v praksi uporablja za analizo različnih oblik signalov (Fourierova analiza). Tok /A Cas / s 4) FAZNI KOT ed dvea signaloa, običajno ed napetostjo in toko. SLIKA: Prier, ko napetostni signal prehiteva tokovnega. Fazni kot je pozitiven. Vzeio prier signala toka i( t) = I sin( ωt + ϕ ) in napetosti i u( t) = sin( ωt + ϕ ). Fazni kot ed u napetostjo in toko je ϕ = ϕu ϕi. Če je fazni kot pozitiven, rečeo, da napetost prehiteva tok, če pa je negativen, pa, da tok prehiteva napetost. To seveda ne gre jeati dobesedno, saj iata oba signala ob poljubne času neko vrednost. Morda je najlažje določiti signal, ki prehiteva drugega tako, da pogledao na grafu, kateri signal doseže aksialno vrednost pred drugi. Pri te orao opazovati najkrajšo časovno razliko.

24 Osnovni poji 7 5) SREDNJA ALI POVPREČNA VREDNOST SIGNALA je določena s površino pod krivuljo signala v eni periodi deljena s periodo ali ateatično (za npr. tokovni signal) T Isr = i( t)dt T (6.) Ta zapis pogosto za haronične signale preuredio tako, da naesto integracije po času zapišeo integracijo po kotu t ω. V te prieru je π Isr = i( t)d( ωt) π (6.) Slika: Periodični signal in njegova povprečna vrednost, ki je enaka površini signala deljeni s periodo Integral signala v eni periodi je torej enak IsrT. 6) EFEKTIVNA VREDNOST (ang. RMS root ean square) je določena kot koren iz srednje vrednosti kvadrata signala: T Ief = i ( t) dt T (6.3) Efektivna vrednost signala je posebno poebna tedaj, ko nas zania povprečna oč ali energija signala, kar pa je v elektrotehniki pogosto. 3

25 Osnovni poji 7 Prier izračuna srednje in efektivne vrednosti: Določio srednjo in efektivno vrednost tokovnega signala oblike i = I sin( ωt). π π Izračun: Isr I ωt ωt ( ωt ) = sin( )d( ) cos( ) π = π =. Srednja vrednost je očitno enaka nič, saj je sorazerna površini pod krivuljo, ki pa je enaka v pozitivni in negativni Y osi. Drugače pa je z efektivno vrednostjo, saj s kvadriranje postane signal izključno pozitiven. Pri izračunu upoštevao zvezo sin ( ωt) ( cos( ωt) ) = : π ef ω ω π π I I = I sin ( t)d( t) I = = π. Dobio večini znan rezultat, da je efektivna vrednost haroničnega signala enaka aksialni vrednosti signala deljeni z. SLIKA: Sinusni signal (polna črta) in kvadrat signala (črtkana črta). Izris in izračun s prograo Matlab: T=5e-3; o=*pi/t; dt=t/; t=:dt:3*t; plot(t,sin(o.*t),t,(sin(o.*t)).^,'--') 7) SMERJENA VREDNOST (ang. rectified) je določena kot povprečje userjenega signala, torej kot povprečna vrednost absolutne vrednosti signala. T Ir = i( t) dt T (6.4) 8) FAKTOR OBLIKE (ang. for factor) pogosto uporabio za karakterizacijo oblike signala. Določen je kot kvocient efektivne in userjene vrednosti Ief faktor oblike = FF =. (6.5) I r 4

26 Osnovni poji 7 * Merjenje efektivne vrednosti signala v praksi VEČ: Cenejši erilni inštruenti ne erijo prave efektivne vrednosti, pač pa jo določajo iz userjene vrednosti ali pa iz aksialne vrednosti. V prieru signala sinusne oblike je I I ef =, userjena vrednost pa je π π π ( ) I = I sin( ωt) dt = I sin( ωt)d( ωt) = cos( ωt) I = I =,64I. r π π π π Faktor oblike je torej Ief I / FF = =, 7. Merilni inštruent za izračun efektivne I I / π r vrednosti torej ponoži izerjeno userjeno vrednost signala s faktorje,7, pri čeer predvideva, da je signal sinusne oblike. Či je erjeni signal drugačne oblike, je prikazani rezultat efektivne vrednosti napačen. Boljši inštruenti erijo t.i. pravo efektivno vrednost (ang. true RMS) =APP_NOTES(FlukeProducts)# SLIKA: TRE RMS eter Fluke 4. Za erjenje prave efektivne vrednosti je ogoče uporabiti več etod. En od principov teelji na uporabi teristorja, ki eri spreebo teperature na eleentu, ta pa je neposredno povezana z efektivno vrednostjo toka. Na tržišču obstajajo tudi čipi, ki opravljajo noženje (kvadriranje) signala in s te očno olajšajo delo. Prier takega eleenta je čip AD836 podjetja Analog Devices, Vse več inštruentov pa že zajea signale s poočjo analogno/digitalne pretvorbe, kjer je izračun efektivne vrednosti ogoč z enostavno nuerično integracijo kvadriranega signala. Vir: 7) TEMENSKI FAKTOR (ang. crest factor) je definiran kot kvocient aksialne in efektivne vrednosti I teenski faktor = (6.6) I I Za sinusni signal je teenski faktor enak =, 44. I / ef 5

27 Osnovni poji 7 Prier izračuna periode, frekvence ter srednje in efektivne vrednosti signala: Določio periodo, frekvenco, srednjo vrednost in efektivno vrednost časovne oblike tokovnega signala na sliki. Signal je naraščajoč v 8% časa periode in v preostale času padajoč. Izračun: Perioda signala je T = 5 s, frekvenca je f T 5 s s = = = = Hz. Za izračun srednje vrednosti orao signal zapisati v ateatični obliki in ga integrirati v času ene periode ter deliti s periodo. Ker je sestavljen iz preic (odsekoa zvezen), ora biti oblike y = k t + n. Iz zapisa v dveh skrajnih točkah od t = do t =, 8 5 s = 4 s velja = k + n in 3 = k 4 s -, od koder dobio enačbo i( t ) = A / s t - A. Podobno dobio za drugi del periode enačbo i( t ) = 4 A / s + 9 A. Sedaj uporabio enačbo za izračun srednje vrednosti in dobio T 4 s 5 s Isr = i( t)d t = ( A / s t - A)d t + ( 4 A / s t + 9 A)dt T 5 s 4 s. Rešitev enačbe je: I sr = ( (5-6) + 9(5-4) ) A s = A. Srednja vrednost tokovnega signala je A. Z 5 s izračuno efektivne vrednosti je nekaj več dela, saj je potrebno rešiti sledeči integral: T 4 s 5 s Ief = i( t)d t = (A / s t -A) d t + ( 4A / s + 9A) dt T 5 s 4 s. Rešitev za vajo poskusite najti sai. Mi jo boo poiskali kar s prograo Matlab, ki da vrednost,575. serjena vrednost je T 4 s 5 s Ir = i( t) dt A / s t -A dt 4A / s 9A dt, 5 T = + + = 5s 4 s Ief faktor oblike = =,, I r I 3 teenski faktor = = =,964. I,575 ef 6

28 Osnovni poji 7 SLIKA: Absolutna vrednost signala: iz te izračunao userjeno vrednost. Izračun s prograo Matlab (signal izrišeo v treh periodah, zato tudi povprečje računao v treh periodah): T=5e-3; o=*pi/t; dt=t/; t=:dt:3*t; i=*sawtooth(o.*t,.8)+; plot(t,i); Isr=trapz(i)*dt/(3*T); hold on; plot([ 3*T], [ ],'b--');ief=sqrt(trapz(i.^)*dt/(3*t)); Ir=trapz(abs(i)*dt/(3*T)); FF=Ief/Ir Dodatno: Kolikšna oč se troši na breenu (uporu 3 kω), če gre skozi upor tok oblike na sliki (v aperih). Izračun: Trenutna oč na uporu je T T T d R d Rd R,ef p = P = p t = i R t = R i t = RI T T T. p = u i = i R. Povprečna oč pa bo R R R Povprečno oč običajno označio z veliko črko P. Očitno je povprečna oč na uporu sorazerna kvadratu efektivne vrednosti toka. Tu se že kaže poebnost definiranja efektivne vrednosti: ed drugi določa povprečno oč na uporu pri periodičnih signalih. V konkretne prieru je povprečna oč na uporu enaka P = R I R,ef = 3 kω,575 A = 7 kw. Če bi želeli preračunati oč, ki se na ohske breenu troši z erilniko, ki določa efektivno vrednost iz userjene vrednosti, bi dobili vrednost,5,7 =,3884 naesto pravilne vrednosti,575. Napaka prikaza bi bila 9, %. 7

29 Izenični signali, osnovne zveze 8 8. POR, TLJAVA IN KONDENZATOR PRI IZMENIČNIH SIGNALIH Vsebina: Zveze ed toko in napetostjo na uporu, tuljavi in kondenzatorju pri vzbujanju z izeničnii signali. Časovni poteki toka, napetosti, oči in energije na posaeznih eleentih. Zaostajanje ali prehitevanje signalov napetosti in toka fazni kot. Povprečne vrednosti oči in energije. Maksialna energija. Karakter vezja.equation Section 8 POR Velja zveza u( t) = Ri( t). Če je tok sinusne oblike i = I sin( ωt), je napetost tudi sinusne oblike u = RI sin( ωt) = sin( ωt), kjer je = RI..8 tok napetost oc.6.4 tok, napetost, oc cas SLIKA: Tok in napetost na uporu sta v fazi. Moč niha z dvojno frekvenco in ia enoserno koponento, ki je povprečna oč. MOČ Moč na uporu dobio kot znožek toka in napetosti na uporu p = u i = i R = I Rsin ( ωt) (8.) Za lažji prikaz lahko uporabio zvezo sin ( α) cos( α ) =, od koder sledi ( ) 8

30 Izenični signali, osnovne zveze 8 IR p = ( cos( ωt )) (8.) gotovio, da ia (trenutna) oč na uporu tudi sinusno obliko, vendar niha z dvojno frekvenco IR osnovnega signala, povprečna vrednost pa je P = = Ief R. Povprečno vrednost oči določa efektivna vrednost (tokovnega ali napetostnega) signala. ENERGIJA Določio še energijo v eni periodi (toplotna energija ali joulske izgube), ki bo T T d ef (8.3) W = p t = PT = I RT Skupne ugotovitve za upor: ) Če je tok skozi tuljavo i = I sin( ωt), bo napetost na uporu u = sin( ωt). Napetost na uporu je v fazi s toko, kar lahko prikažeo tudi grafično na kazalčne diagrau. ) Aplituda napetosti je = IR. 3) pornost (R) je neodvisna od frekvence tokovnega (in napetostnega) signala. 4) Moč na uporu niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala okoli enoserne koponente, ki predstavlja povprečno oč in je enaka IR P = = Ief R. 9

31 Izenični signali, osnovne zveze 8 TLJAVA Zveza ed toko skozi tuljavo in napetostjo na tuljavi je dψ di u = = L. dt dt Če je tokovni signal oblike i = I sin( ωt), bo napetost na tuljavi d π u = L ( I sin( ωt) ) = LI ω cos( ωt) = cos( ωt) ali tudi u = sin ωt + dt. Napetostni signal je časovno zaaknjen glede na tokovni signal. Rečeo, da napetost prehiteva tok za kot π. To lahko prikažeo tako s časovni poteko, kot s kazalčni diagrao ali kasneje s kopleksorji v kopleksni ravnini. SLIKA: Časovni potek in kazalčni diagra faznega prehitevanja napetosti na tuljavi pred toko. Aplituda napetosti bo torej = IωL, kjer ω L = X L ienujeo reaktanca oz. upornost tuljave pri izeničnih signalih. pornost tuljave (reaktanca) pri izeničnih signalih se veča linearno s frekvenco in je enaka = X L = ωl. I MOČ Trenutna oč je znožek trenutne napetosti in toka na tuljavi, torej I p = iu = I sin( ωt) cos( ωt) = sin( ωt) (8.4) Trenutna oč niha z dvojno frekvenco vendar je brez enoserne koponente. Povprečna (izgubna) oč je W. 3

32 Izenični signali, osnovne zveze 8.8 tok napetost oc.6.4 tok, napetost, oc cas SLIKA: Tokovni in napetostni signal na tuljavi sta zaaknjena za četrtino periode. Napetost prehiteva tok, oč na tuljavi niha z dvojno frekvenco in nia enoserne koponente. Povprečna oč na tuljavi je nič. ENERGIJA Energijo v tuljavi dobio z integracijo oči t t I I W ( t) = pdt = sin( ωt)dt = cos( t) ω ( ω ). Energija, ki se akuulira v agnetne polju tuljave, niha z dvojno frekvenco osnovnega signala. V vsake trenutku je pozitivna in v povprečju velika W sr I LI = =. (8.5) 4ω 4 Sponio se še druge oblike zapisa trenutne energije. V poglavju (3) so obravnavali energijo v agnetne polju tuljave in ugotovili, da jo lahko zapišeo kot t i( t) di W ( t) = p( t)dt = L idt = Lidi dt t, od koder so zapisali enačbo za trenutno energijo v t t i( t ) agnetne polju tuljave z induktivnostjo L v obliki Li W =. Maksialna energija v tuljavi nastopi tedaj, ko je tok aksialen. Tedaj je LI W ax = (8.6) 3

33 Izenični signali, osnovne zveze 8.5 tok, napetost, oc cas Slika:Moč (polna črna črta) in energija (polna odra črta) pri vzbujanju tuljave s sinusni tokovni signalo (odra črtkana črta). Skupne ugotovitve za tuljavo: π ) Če je tok skozi tuljavo i = I sin( ωt), bo napetost na tuljavi u = sin( ωt + ). Napetost na tuljavi prehiteva tok za četrtino periode signala, kar lahko prikažeo tudi grafično na kazalčne diagrau. ) Aplitudo napetosti lahko zapišeo tudi kot = IωL, kjer je ωlupornost tuljave pri izeničnih signalih, kar ienujeo tudi reaktanca X L = ωl. Reaktanca se linearno veča s frekvenco. 3) Za lažjo predstavo lahko tuljavo pri zelo nizkih frekvencah (enoserne razere) nadoestio s kratki stiko (zelo ajhna upornost), pri zelo visokih pa z odprtii sponkai (zelo velika upornost). 4) Moč na tuljavi niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala, povprečna oč je enaka nič. 5) Energija v agnetne polju tuljave niha z dvojno frekvenco osnovnega signala, je vedno pozitivna in v povprečju velika kvadratu toka Li W = LI W = W sr =. Trenutna vrednost je sorazerna 4, aksialna energija v tuljavi nastopi vsako četrtino periode LI signala, ko je velika W ax =. 6) Za vezja, v katerih napetost prehiteva tok rečeo, da iajo induktivni karakter. 3

34 Izenični signali, osnovne zveze 8 Prier izračuna napetosti na tuljavi pri vzbujanju z izenični signalo: Na toroidno jedro okroglega preseka površine c, s srednji polero c in µ r =, navijeo 5 ovojev. Kolikšna je napetost na tuljavi, če jo vzbujao s toko povprečno in aksialno oč na tuljavi. Izračun: Induktivnost toroida je X L N A i - =,4cos(s t) A? Določio še µ rµ L = = 5 H, torej je induktivna upornost π r s = ωl =,5Ω, aksialna napetost je = I X =, 4 A,5Ω = V. Če bi želeli L zapisati napetost na tuljavi v obliki časovnega signala, bi orali upoštevati, da napetost na tuljavi π tok prehiteva za fazni kot, torej bo - π u( t) = cos(s t + ) V. Povprečna oč je enaka nič vatov, aksialna oč je aksialna pa J. I LI = W, povprečna energija je W sr = = J, 4 33

35 Izenični signali, osnovne zveze 8 KONDENZATOR Zopet vzeio sinusno obliko toka i = I sin( ωt). Tok izrazio s časovno spreebo naboja na dq ploščah kondenzatorja i = in upoštevao zvezo ed naboje na ploščah in napetostjo dt d Q( t) = Cu( t) in dobio i u = C. Ker tok poznao, zania pa nas napetost, izrazio napetost na d t t t kondenzatorju kot du = idt C. Za sinusno obliko toka bo napetost enaka t I I π u( t) = I sin( ωt)d t u() cos( ωt) sin ωt C + = = ωc ωc oziroa π u = sin ωt. Napetost na kondenzatorju zaostaja za toko za četrtino periode. SLIKA: Časovni potek in kazalčni diagra faznega zaostajanja napetosti na kondenzatorju pred toko. Aplituda napetosti je torej I ωc =. Člen ωc ia enoto upornosti in tudi predstavlja upornost kondenzatorja pri izeničnih signalih. MOČ Trenutna oč je znožek trenutne napetosti in toka na kondenzatorju, torej Zakaj dodao u()? Pri veličinah, ki so določene z integralo, je potrebno upoštevati zgodovino integranta. Torej bi bilo vedno potrebno slediti integrirano veličino od inf., torej t u = idt = id t + u() C C t. 34

36 Izenični signali, osnovne zveze 8 I p = iu = I sin( ωt) cos( ωt) = sin( ωt) (8.7) Trenutna oč niha z dvojno frekvenco vendar brez enoserne koponente, enako kot pri tuljavi. Povprečna (izgubna) oč je torej tako kot na tuljavi enaka nič vatov..8 tok napetost oc.6.4 tok, napetost, oc cas SLIKA: Tokovni in napetostni signal na kondenzatorju. Napetost na kondenzatorju zaostaja za toko za četrtino periode signala. ENERGIJA Podobno kot pri tuljavi energija v kondenzatorju niha z dvojno frekvenco osnovnega signala. Je vedno C pozitivna, v povprečju enaka W sr =. Maksialna energija shranjena v polju kondenzatorja pa 4 C je W ax = SLIKA: Kapacitivna upornost X C = se ωc zanjšuje s višanje frekvence vzbujalnega signala s funkcijsko odvisnostjo f. Na sliki je reaktanca za C reaktanca / Oh = µf frekvenca / Hz 35

37 Izenični signali, osnovne zveze 8 Skupne ugotovitve za kondenzator: ) Če je tok skozi tuljavo i = I sin( ωt), bo napetost na kondenzatorju π u = sin( ωt ). Tok na kondenzatorju prehiteva napetost za četrtino periode signala, kar lahko prikažeo tudi grafično na kazalčne diagrau. I ) Aplitudo napetosti lahko zapišeo tudi kot =, kjer je ωc ωc upornost kondenzatorja pri izeničnih signalih. pornost kondenzatorja se anjša s frekvenco. 3) Za lažjo predstavo lahko kondenzator pri zelo nizkih frekvencah (enoserne razere) nadoestio z odprtii sponkai (zelo velika upornost), pri zelo visokih pa s kratki stiko (zelo ajhna upornost). 4) Moč na kondenzatorju niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala, povprečna oč je enaka nič. C 5) Energija niha z dvojno frekvenco osnovnega signala, v povprečju je enaka W sr =, 4 aksialna energija v kondenzatorju nastopi vsako četrtino periode signala, ko je velika C W ax =. Energija je akuulirana v električne polju kondenzatorja. Prier izračuna za kondenzator: Na kondenzator kapacitivnosti 8 µf priključio vir napetosti sinusne oblike aplitude V. Kolikšna ora biti frekvenca napetostnega signala, da bo iel tok kondenzatorja aplitudo,5 A? Izračun: Iz I ωc ω = = 3,5 s 4Ω 8µF = dobio - oziroa V ω C = = 4Ω, od koder je,5 A 3,5 f = Hz 5 Hz. π 6) Za vezja, v katerih napetost zaostaja za toko rečeo, da iajo kapacitivni karakter. Vprašanja za obnovo: ) Določitev napetosti na uporu, tuljavi, kondenzatorju pri vzbujanju z izenični signalo. ) Zveze ed aplitudai toka in napetosti. pornosti pri izeničnih signalih. 3) Prehitevanje ali zaostajanje toka za napetostjo, karakter vezja. 4) Moč: časovni signal, povprečna oč. 5) Energija: trenutna, povprečna, aksialna. Kolokvijske in izpitne naloge: kolokvij, izpit,. junij 3 Izpit izpit, 8. aprila Pogosto se uporablja zapis reaktance kondenzatorja kot X C =. Kasneje boo ugotovili, da je reaktanca definirana ωc kot iaginarni del ipedance in je v prieru kondenzatorja negativna, torej X C =. ωc 36

38 Moč 9 9. IZMENIČNI SIGNALI MOČ Vsebina poglavja: časovna oblika oči za poljubni linearni dvopol, nihanje z dvojno frekvenco osnovnega signala, razdelitev oči na več koponent, delovna oč (faktor delavnosti), jalova oč, navidezna oč, trikotnik oči, odčitek S in P iz časovne oblike signala oči. Zania nas potek trenutne oči v linearne dvopolne (dve zunanji sponki) vezju, kjer je napetost na zunanjih sponkah enaka u = sin( ωt), tok pa je zaaknjen za nek poljubni kot i = I sin( ωt ϕ). Trenutna oč v vezje je enaka znožku napetosti in toka p( t) = u( t) i( t) = sin( ωt) I sin( ωt ϕ). (9.) Z uporabo zveze sin( α) sin( β ) ( cos( α β ) cos( α β )) = + zapišeo oč vezja kot I p( t) = [ cos( ϕ) cos( ωt ϕ) ] (9.) Vidio, da lahko trenutno oč vezja opišeo kot vsoto dveh koponent oči, ene enoserne in ene izenične, ki niha z dvojno frekvenco. S povprečenje oči preko periode dobio povprečno oč, ki bo očitno kar enaka tej enoserni koponenti oči, ki jo ienujeo delovna oč KAPACITIVNI KARAKTER tok napetost oc tok, napetost, oc cas SLIKA: Prier oči na breenu kapacitivnega karakterja (tok prehiteva napetost). 37

39 Moč 9 DELOVNA MOČ Delovna oč je torej določena kot povprečna oč T P = p( t)dt T. Iz enačbe (9.) vidio, da je povprečna oč enaka I P = cos( ϕ) = ef Ief cos( ϕ) DELOVNA MOČ (9.3)»Okoli«te vrednosti niha signal oči. Delovna oč je tista oč, ki se pretevarja v neko drugo obliko, na uporu v toplotno (Joulske izgube), v otorjih pa v ehansko (in toplotno). Faktor cos( ϕ) pogosto ienujeo tudi faktor delavnosti ali faktor oči. NAVIDEZNA MOČ Trenutna oč niha z dvojno frekvenco okoli vrednosti povprečne (delovne) oči. Aplituda nihanja oči (brez enoserne koponente) je I S = (9.4) in jo ienujeo navidezna oč. Navidezna oč je običajno tista, ki na pove, koliko seo obreenjevati napravo. JALOVA MOČ Tudi nihanje oči okoli enoserne koponente (povprečne oči) lahko razstavio v skladu z zvezo cos( α β ) = cos( α) cos( β ) + sin( α) sin( β ). Dobio cos( ωt ϕ) = cos( ωt) cos( ϕ) + sin( ωt) sin( ϕ). Ob vstavitvi tega člena v enačbo (9.) dobio I p( t) = cos( ϕ) ( cos( ωt) ) sin( ϕ)sin( ωt) (9.5) Prvi člen v oglate oklepaju predstavlja nihanje oči okoli povprečne (delovne) oči, drugi člen pa nihanje oči okoli ničle. Aplituda drugega člena je enaka Q I in jo ienujeo jalova oč. Očitno je, da velja sin( ϕ) =. (9.6) 38

40 Moč 9 S = P + Q, (9.7) kar običajno prikažeo s pravokotni trikotniko s stranicai P, Q in S. SLIKA: Trikotnik oči sestavljajo delovna, jalova in navidezna oč. Zaradi poebnosti oči v elektrotehniki in lažje prepoznavnosti, za delovno oč uporabljao enoto W (Watt), za jalovo pa VAr (Volt Aper reaktivno), za navidezno pa VA (Volt - Apere)..8 KAPACITIVNI KARAKTER tok napetost oc.6.4. P P =.36 Q =-.384 S = SLIKA: Prier časovnega poteka koponent oči (s polno črto) na vezju kapacitivnega karakterja (tok prehiteva napetost). Prikazana je trenutna oč (polna krepka črna črta), pa tudi razdelitev te oči na dva dela: nihanje oči z aplitudo izeničnega signala enaki P okoli povprečja (polna rdeča črta), ki je enako P in jalova oč Q, ki je enaka aplitudi dela signala oči, ki niha okoli ničle (polna črta turkizne barve). Trenutna oč niha okoli povprečne vrednosti (delovne oči P) z aplitudo, ki je enaka navidezni oči S. 39

41 Moč 9 Prier izračuna delovne, jalove in navidezne oči: Motor priključio na izeničen vir napetosti u = 4sin( ωt) Vin ed delovanje izerio efektivno vrednost toka 3,68 A, ki za napetostni signalo zaostaja za fazni kot 5. Določite delovno, jalovo in navidezno oč otorja. Izračun: Maksialna vrednost toka bo I = I = 5, A. Delovna oč bo I I P = cos( ϕ) 96W, jalova Q = sin( ϕ) 448VArin navidezna I S = = 6VA. ef Prier izračuna delovne in jalove oći: Navidezna oč električnega aparata je 55 VA, faktor delavnosti pa je,8. Določio delavno in jalovo oč aparata. Izračun: Iz trikotnika oči lahko razbereo, da je delovna oč P = S cos( ϕ) = 44 W. Ker poznao P in S lahko Q določio iz Q = S P = 33 VAr. DOLOČANJE MOČI IZ ČASOVNEGA POTEKA MOČI Iz grafa trenutne oči določio delovno, jalovo in navidezno oč ter frekvenco in fazni kot ed napetostjo in toko. Vrišio delovno in navidezno oč v sliko. Določio še aplitudo napetosti, če je aplituda toka A oc/w cas/s 4

42 Moč 9 Izračun: Aplituda oči je navidezna oč, ki niha okoli enoserne koponente, ki je enaka delovni oči. Iz vršnih vrednosti lahko razbereo navidezno oč. Spodnja teenska vrednost oči je,8,7 (,8) W, zgornja pa,7 W, S = =,4VA. Če to vrednost odštejeo od zgornje vršne vrednosti ali pa prištejeo spodnji, dobio delovno oč P =, 7 W, 4 W =,3 W, jalova oč bo torej Q = S P =,4 VAr. Razbereo še periodo signala, ki je 3, s, od koder je frekvenca signala oči - f oc = = 3,5s. Moč niha z dvojno frekvenco toka (napetosti), tok bo torej nihal s kotno 3,s frekvenco 56,3 Hz. gotoviti orao še fazni zaik ed napetostjo in toko. Že iz prejšnjega prier so ugotovili, da je S = P cos( ϕ) od koder je I aplitudo napetosti: iz S = sledi S = =,4V. I S ϕ = Arc cos = 8. Določio še P Slika: Prier izrisa trenutne oči iz osciloskopa pri laboratorijski vaji za induktivni karatker vezja. Razloči signal napetosti, toka, oči, določi periodo, frekvenco, delovno oč, navidezno oč. Kako določio jalovo oč? Kaj izerio z aperetro in voltero? Vprašanja za obnovo: ) Trenutna oč na poljubne eleentu vezja. ) Delovna oč in faktor oči, jalova oč, navidezna oč. Enote. Trikotnik oči. 3) Prikaz oči kot časovni signal in določitev delovne, navidezne oči in frekvence iz signala. (Pooč: Laboratorijske vaje) Prieri izpitnih in kolokvijskih nalog izpit, 3. januar 7 Izpit,

43 Moč 9 DODATEK: Matlab progra za prikaz oči na breenu kapacitivnega, ohskega ali induktivnega značaja % Moc na breenu, fazo spreinjao od -pi/ do +pi/ I=; =.8; x=:.:*pi; axis auto for ii=-:.: fi=ii*pi/; i=i*sin(x); u=.*sin(x+fi); P=*I*cos(fi)/; Q=*I*sin(fi)/; S=*I/; plot(x,p*(- cos(*x)),'r',x,q*sin(*x),'c','linewidth',) plot([ *pi], [ ],'Color','b','LineStyle','--') plot([ *pi], [P P],'Color','k','LineStyle','-') %axis off title('ohmski KARAKTER') if fi< title('kapacitivni KARAKTER'); end if fi> title('indktivni KARAKTER'); end if fi== title('ohmski KARAKTER'); end legend('tok','napetost','oc') text(.5,-.7,strcat('p = ',nustr(p))); text(.5,-.8,strcat('q = ',nustr(q))); text(.5,-.9,strcat('s = ',nustr(s))); plot(x,i,':',x,u,'--','linewidth',); hold on plot(x,u.*i,'k','linewidth',3) text(6.5,p,'p'); k = waitforbuttonpress hold off end SLIKA: Moč na kondenzatorju. SLIKA: Moč na breenu kapacitivnega karakterja. 4

44 Moč 9 SLIKA: Moč na uporu SLIKA: Moč na breenu induktivnega karakterja SLIKA: Moč na induktivne breenu (tuljavi) 43

45 Kopleksni račun. OBRAVNAVA IZMENIČNIH SIGNALOV S KOMPLEKSNIM RAČNOM Vsebina: Reševanje vezja z diferencialnii enačbai. Osnove kopleksnega računa: kopleksno število, osnovne operacije, konjugacija, Eulerjev obrazec. Povezava ed časovni signalo sinusne oblike in kopleksni zapiso - v obe seri. Prikaz kopleksorjev v kopleksni ravnini. Povezava ed kopleksorji toka in napetosti na uporu, kondenzatorju in tuljavi. Kirchoffova zakona s kopleksorji, kopleksna upornost in prevodnost (ipedanca, aditanca), reaktanca, susceptanca. Spoznali so že zveze ed toko in napetostjo na posaeznih eleentih pri vzbujanju z izeničnii signali. Običajno iao opravka z vezji, v katerih iao pri napajanju z izeničnii signali priključene tako upore kot tudi kondenzatorje in tuljave. Kako v takih prierih analizirati vezje? Vzeio kar preprost prier tuljave, ki je preko zaporedno vezanega upora priključena na izenični napetostni generator. Kako določiti tok v vezju ali napetost na tuljavi? Prier določanja tokov in napetosti v vezju z reševanje diferencialne(ih) enačb por R = Ω je zaporedno s tuljavo z induktivnostjo L = H priključen na vir izenične napetosti u = sin( ωt ) V; ω = 5 Hz. Določio tok. g SLIKA: Zaporedna vezava upora in tuljave priključena na vir izenične napetosti. Pri izračunu orao upoštevati osnovne zveze ed toko in napetostjo na posaezne eleentu in Kirchoffova zakona. Odtod sledi ug = ur + ul. Sedaj napetosti na uporu in tuljavi izrazio s toko: di ug = Ri + L. d t Dobio diferencialno enačbo, katere rešitev bo tok v vezju. Obstaja vrsta načinov reševanja diferencialnih enačb, orda najpreprostejši je kar z uporabo t.i.»nastavka«, to je vnaprej poznane oblike rešitve. V konkretne prieru bo le ta oblike i = A sin( ωt ) + B cos( ωt ). Ta nastavek uporabio v diferencialni enačbi in dobio (za enostavnejše računanje ne upoštevao enot) 44

46 Kopleksni račun ( ) ( ) sin( ωt)= Asin( ωt) + Bcos( ωt ) +, Aωcos( ωt) Bωsin( ωt). Sedaj orao le še združiti člene, ki sodijo skupaj (sinusne in kosinusne člene) in dobio: sin ( ωt ) =A sin( ωt ), B ωsin( ωt ), od koder ora veljati = A, 5B in hkrati =B cos( ωt ) +, A ωcos( ωt ), od koder ora veljati = B +, 5A. Dobio siste dveh enačb, od koder določio konstanti A in B, ki sta B = -,765 in A = 4,759. Rešitev je torej i 4, 7sin( ωt ), 8cos( ωt ). To rešitev lahko zapišeo tudi v obliki i = K sin( ωt + ϕ), kjer je K A B B ϕ = v radianih oziroa A = + 4,86 in Arc tan, 5 torej i = 4,86sin( ωt 4 ) A. 8, 5 4 π ϕ =, 8 6 Napetost (V), Tok (A) Cas /s SLIKA: Napetost (odra polna črta) in tok (zelena črtkana črta). Rezultat je zaniiv in pričakovan. Če bi bil na vir priključen le upor, bi bil tok v fazi z napetostjo, če bi bila priključena le idealna tuljava, bi tok zaostajal za 9, če pa sta zaporedno priključena oba eleenta, pa tok zaostaja za napetostjo za določen fazni kot, ki je ed in 9. V konkretne prieru tok zaostaja za napetostjo za fazni kot 4. Dodatno: Ali bi bila situacija podobna, če bi na napetostni vir priključili vzporedno vezana upor in tuljavo? Odgovor: Da, tudi v te prieru bi tok zaostajal za napetostjo. Poskusite preveriti sai! gotovitev: Za analizo tudi že preprostega vezja, ki je priključeno na izenični vir, potrebno zapisati diferencialno(e) enačbo(e) in poiskati njeno rešitev. To pa ni vedno enostavno. V nadaljevanju boo ugotovili, da je najbolj učinkovita etoda za analizo vezij vzbujanih z izeničnii signali z uporabo kopleksnega računa. S poočjo kopleksnega računa lahko v osnovi diferencialne enačbe»prevedeo«na preproste algebrajske. Poleg analitičnega pristopa na bo v veliko pooč tudi grafičen prikaz s t.i. kopleksorji (kazalci) v kopleksni ravnini. 45

47 Kopleksni račun OSNOVE KOMPLEKSNEGA RAČNA Kopleksno število. Kopleksno število sestavlja realni in iaginarni del. Običajno kopleksna števila označio s črtico pod črko. Prier takega števila je npr. Z = + j3. je realni del, 3 pa iaginarni del kopleksnega števila. j je iaginarno število in je enako j = oziroa, črko i, ki pa jo v elektrotehniki pogosto uporabljao kot sibol za tok. j =. V ateatiki ga pogosto označio s Kopleksno število lahko prikažeo v t.i. kopleksni ravnini kot točko s koordinataa na realni in iaginarni osi (, j3). Še bolj pogosto tako število prikažeo s kazalce kopleksorje v kopleksni ravnini. Poljubno kopleksno število zapišeo z realni in iaginarni delo kot { } I{ } Z = Re Z + j Z = X + jy. X je realni del, Y pa iaginarni del kopleksnega števila. SLIKA: Prikaz kopleksnega števila v kopleksni ravnini kot točka ali v obliki kazalca (vektorja). Določen je z realni in iaginarni delo ali pa z aplitudo in fazni koto. Pogosto zapišeo kopleksno število tudi v polarni obliki, z aplitudo in fazni koto. Velja Z = X + Y, fazni kot pa je ϕ Arctan Y =. Narišeo ga s kazalce (kopleksorje) v X kopleksni ravnini. Velikost kazalca je Z in je od realne osi»zasukan«za kot ϕ. ELERJEV OBRAZEC Za tvorjenje kopleksnih signalov (kopleksorjev) in za pretvarjanje iz polarnega zapisa v realni in iaginarni del kopleksnega števila se poslužujeo t.i. Eulerjevega obrazca e jα = cos( α) + j sin( α) (.) 46

48 Kopleksni račun Prieri računanja s kopleksnii števili. Z = + j3; Z = 4 j5 Vsota: Z + Z = + j3 + 4 j5 = 6 j Razlika: ( ) ( ) Z Z = + j3 4 j5 = + j8 Produkt: ( ) ( ) Z Z = + j3 4 j5 = 4 j 5 + j( ) = 3 + j Kvocient: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + j3 + j3 4 + j5 7 + j 7 + j Z / Z = = = =, 7 + j, 54 4 j5 4 j5 4 + j Kvocient s poočjo polarnega zapisa: ( + j ) ( j ) j56 3 3, 6e j7 Z / Z =, 56e, 56( cos(7 )+jsin(7 )) =, 64 + j, 54. j , 4e Razlika ed prvi in drugi izračuno nastopi zaradi različnega zaokroževanja. Polarni zapis je bolj prieren za noženje in deljenje. Pri pretvarjanju v polarni zapis je potrebno biti previden v prieru, ko je realni del negativen, saj se to število (kazalec) nahaja v druge ali tretje kvadrantu. V te prieru je potrebno kotu dodati 8 oz. π. Prier: Pretvorio kopleksno število j π+ Arc tan j( 3π/4) + j = e = e. * Konjugacija: Z = j3. Pri konjugaciji obrneo predznak iaginarneu delu. Posebno prierna je uporaba konjugacije za izračun absolutne vrednosti kopleksnega števila: * ( )( ) Z = + j3 = Z Z = + j3 j3 = + 3 = 3 Prikaz kopleksorjev v kopleksni ravnini. Posaezne kopleksorje lahko prikažeo v kopleksni ravnini, jih seštevao ali odštevao na enak način kot vektorje. SLIKA: Prier seštevanja in odštevanja dveh kopleksorjev v kopleksni ravnini. Princip je enak kot pri seštevanju vektorjev. S konjugacijo se kopleksor prezrcali preko realne osi. 47

49 Kopleksni račun TVORJENJE KOMPLEKSORJEV IZ ČASOVNIH (HARMONIČNIH) SIGNALOV S poočjo Eulerjevega obrazca lahko zapišeo poljuben haroničen signal, pri čeer pa poleg realnega dela pridobio še iaginarni del. Vzeio prier tokovnega signala oblike i( t) = cos( ωt) A. Ta tok lahko zapišeo z upoštevanje Eulerjevega obrazca kot ( ω ω ) j t i( t) = cos( t) + j sin( t) A = e ω A. Tak kopleksen zapis toka seveda nia posebnega fizikalnega poena. Fizikalno ia poen le njegov realni del, torej { } { } ( ) i( t) = Re i( t) = Re cos( ωt) + j sin( ωt) A = cos( ωt)a. V nadaljevanju boo spoznali, da na to»kopliciranje«z vpeljavo kopleksnih števil olajša obravnavo vezij vzbujanih s haroničnii signali. Vzeio sedaj bolj splošen zapis toka i( t) = I cos( ωt + ϕ) in ga zapišio z upoštevanje j( ωt+ ϕ ) jϕ jωt jωt = = = =. Tvorili Eulerjevega obrazca kot ( ) ( cos( ω ϕ) sin( ω ϕ) ) so kopleksor haronične funkcije i t I t j t Ie Ie e Ie I j = Ie ϕ, ki opisuje aplitudo in fazo (fazni kot) toka, kar pa je tudi popolna inforacija o toku v vezju. Frekvenca signala se nareč pri linearnih vezjih vzbujanih s haronični signalo ne spreinja. Dovolj bo torej, da boo poznali le aplitudo in fazo (fazni kot) signala, seveda relativno na druge signale v vezju, če pa bi nas zanial trenutni (časovni) potek signala, kopleksor ponožio s členo j t e ω in upoštevao le realni del. Kopleksorje tvorio iz časovnih haroničnih signalov tako, da upoštevao le aplitudo in fazo (fazni kot) signala, relativno glede na kosinusno funkcijo in ga zapišeo v obliki I j = Ie ϕ. Prieri računanja s kopleksorji: Tvorio kopleksorje toka za sledeče oblike tokov: i ( t) = cos( ωt) A I = A i t = ω + j45 I = e A ( ) cos( t 45 )A i ( t ) = 3sin( ωt ) A = 3cos( ωt π/)a 3 ( ) I = e j = j jπ/ 3 3 A = 3 cos(-π/)+ sin(-π/) A 3 A i t t t t 4 ( ) = 4sin( ω + 3 ) A = 4cos( ω 9 +3 ) A = 4cos( ω 6 ) A 6 3 j I 4 = 4e A = 4( cos(-6 )+ jsin(-6 )) A = 4 j A ( j3, 46) A SLIKA: Prikaz kopleksorjev toka v kopleksni ravnini. 48

50 Kopleksni račun DOLOČITEV ČASOVNEGA SIGNALA IZ KOMPLEKSORJA Iz znanega kopleksorja vedno lahko dobio časovno obliko signala. Kopleksor je potrebno ponožiti z j 45 j t e ω in upoštevati le realni del signala. Vzeio kot prier kopleksor toka I = e A, ki ga ponožio z iz realnega dela izraza j t e ω in upoštevao Eulerjev obrazec. Časovno obliko toka dobio j { } { } jωt j ωt+ { } 45 ( 45 ) ( ) = Re A = Re A = Re cos( ω + 45 ) + sin( ω + 45 ) A= cos( ω + 45 )A i t e e e t j t t Prier zaporedne vezave upora in tuljave na začetku poglavja z uporabo kopleksnega računa (s poočjo reševanja diferencialne enačbe na strani 44 ) Izračun: Napetostni signal oblike u = sin( ωt ) = cos( ωt π/) zapišeo kot u e e j( ωt π/) jωt g = =, kjer je j i, kjer je I = Ie ϕ. jπ/ e j g + i = =. Rešitev pričakujeo v obliki i = Ie = Ie j( ω t ϕ ) j ω t Vstavio ta zapisa v diferencialno enačbo di ug = Ri + L in dobio d t jωt jωt d jωt e = RIe + L ( Ie ) in z odvajanje dt jωt jωt jωt e = RIe + LI jωe. Člen j t e ω lahko v enačbi pokrajšao in tako postane enačba enostavna algebrajska: = RI + jωli. Iz enačbe določio kopleksor toka I =. Razstavio enačbo na realni in iaginarni del. Če se želio»znebiti«r + jωl iaginarnega dela v ienovalcu, orao ienovalec ponožiti z njegovo konjugirano kopleksno vrednostjo, to je z R jωl. Dobio ( R jωl) ( R jωl) ( R jωl) I = = =. To je že rešitev, ki jo lahko izrišeo v ( R + jωl) ( R jωl) R ( jωl) R + ( ωl) kopleksni ravnini. Narišeo kopleksor napetosti, ki je j ( R jωl) ( ωl + jr) = =, kopleksor toka pa je I = = in ia negativen R + ( ωl) R + ( ωl) jπ/ e j tako realni kot iaginarni del. Vsota teh dveh kopleksorjev je kopleksor toka, ki zaostaja za j i kopleksorje napetosti za kot, ki ga dobio iz zapisa toka v polarni obliki: I = Ie ϕ. Aplituda toka je I = = R + jωl R + ( ωl) vstavitvijo vrednosti dobio I = 4,85 A in I, e, fazni kot pa 8 I{ I} R ϕi = Arctan = Arctan. Z Re{ I} ωl ϕi = 56. Kopleksor toka je torej j A. Sponio se lahko, da je bil kopleksor napetosti 8 Dobljeneu kotu je potrebno prišteti kot 8o, saj sta tako realni kot iaginarni del negativna. 49

51 Kopleksni račun = e = e = e. Fazni kot ed toko in napetostjo je torej ϕ ϕ ϕ jπ/ j3π/ j7 = u i = 7 56 = 4. Kazalec napetosti prehiteva kazalec toka za fazni kot 4. To predstavlja induktivni karakter vezja. Tok v časovni obliki dobio tako, da kopleksor toka ponožio z jωt j { } { } { } jωt j ωt+ j t e ω in upoštevao le realni del: 56 ( 56 ) ( ) Re Re 4,85 A Re 4,85 A 4,85cos( ω 56 ) A i t = Ie = e e = e = t +, kar lahko zapišeo tudi s sinuso: i t ωt ωt ωt ( ) = 4,85sin( ) A = 4,85sin( ) A=4,85sin( 4 ) A 8 6 Napetost (V), Tok (A) Cas /s SLIKA: Levo: kazalca (kopleksorja) napetosti in toka. Desno: časovni signal. 5

52 Kopleksni račun KOMPLEKSORJI TOKA IN NAPETOSTI NA ELEMENTIH VEZJA Kako si torej poagao s kopleksni računo pri analizi vezij s haroničnii signali? Poglejo si zveze ed kopleksorji toka in napetosti na posaeznih eleentih vezja: POR Vzeio i( t) = I cos( ωt), kopleksor bo kar i( t) j t Re{ Ie ω j t = }. Napetost na uporu bo u( t) Re{ e ω } jωt jωt { } = Re{ RIe } od koder sledi zapis s kopleksorji: Re e j I = Ie = I. Tokovni signal pa lahko zapišeo kot = in bo enaka u( t) = R i( t) oziroa = RI (.) Ponovno vidio, da sta kopleksorja toka in napetosti na uporu v fazi. SLIKA: Kopleksor napetosti in toka na uporu. TLJAVA Vzeio zopet i( t) = I cos( ωt) s kopleksorje j I = Ie = I. gotovili so že, da napetost na π tuljavi prehiteva tok za četrtino periode in bo torej enaka u( t) = IωLcos ωt +. Če ta signal π j zapišeo kot kopleksor, dobio = IωLe = IωL j, kar v splošne zapišeo v obliki = jωli (.3) SLIKA: S prikazo v kopleksni ravnini pokažeo, da napetost na tuljavi prehiteva tok za četrtino periode signala. 5

53 Kopleksni račun j t Drugačna razlaga: Tvorio kopleksni časovni signal (pravi je realni del tega): i( t) = Ie ω. Ker velja di u = L, ora veljati tudi dt = jωli. KONDENZATOR Vzeio zopet i( t) = I cos( ωt) s kopleksorje di jωt jωt u = L. Po odvajanju dobio u( t) = LI jωe = e. Veljati ora dt j I = Ie = I. gotovili so že, da napetost na I π kondenzatorju zaostaja za toko za četrtino periode in bo torej enaka u( t) = cos ωt ωc. Če π I j I I ta signal zapišeo kot kopleksor, dobio = e = =, kar v splošne π ωc j jωc e ωc zapišeo v obliki I jωc = (.4) ali tudi I = j ωc SLIKA: S prikazo v kopleksni ravnini pokažeo, da napetost na kondenzatorju zaostaja za toko za četrtino periode signala. j t Drugačna razlaga: Tvorio kopleksni časovni signal (pravi je realni del tega): i( t) = Ie ω. Ker velja jωt jωt u = idt C, ora veljati tudi u = idt C. Po integraciji dobio u( t) = I e = e. Veljati C jω I ora =. jωc 5

54 Kopleksni račun KIRCHOFFOVA ZAKONA S KOMPLEKSNIM ZAPISOM Pri vezjih z enosernii signali je za K.Z. veljalo lahko zapisali v obliki k = j t { I ke ω } k k k k = k = Re =. To bo veljalo, če bo k = Ik =, kar bi pri vezjih z izeničnii signali k = i ( t) = I cos( ωt + ϕ ) = oziroa izraženo s kopleksni zapiso I k =. (.5) Z besedai: vsota vseh kopleksorjev toka v spojišče je enaka nič. SLIKA: Vsota vseh kopleksorjev toka v spojišču je enaka nič. Podobno bi lahko pokazali, da za drugi K.Z. velja n j =, (.6) j= oziroa, da je vsota vseh kopleksorjev napetosti v zanki je enaka nič. SLIKA: Vsota vseh kopleksorjev napetosti v zanki je enaka nič. 53

55 Kopleksni račun o Prier izračuna tokov s poočjo kopleksnega računa: Tok i( t) = 3cos( ωt + 3 )Ase razdeli v dve veji. Kolikšen je tok v drugi veji, če je v prvi veji tok enak i ( t ) = cos( ωt 45 ) A? SLIKA: Izris tokov v vejah. Izračun: Tokove zapišeo kot kopleksorje o j3 I = 3e A, o 45 I = e j A in ker ora biti vsota vseh tokov v spojišče enaka nič, bo to veljalo tudi za kopleksorje I = I I. Torej lahko zapišeo I e e o o j3 j 45 o o o o I = 3e A e A = 3(cos(3 ) + j sin(3 ))A+(cos( 45 ) + j sin( 45 ))A. j3 j45 = 3 A A = 3(cos(3 ) + jsin(3 )) A+(cos(-45 ) + jsin(-45 )) A ( ) ( ) ( ) I =, 6 + j, 5 A, 44 - j, 44 A =, 8 + j, 9 A = 3, 5e A. Če želio zapisati tok v drugi veji v časovni obliki, ponožio kopleksor z o o j ωt j ωt+ { } { } j 67, 9 j t e ω in upoštevao le realni del signala i t = e = e = t +. 67,9 j ( 67,9 ) o ( ) Re 3,55 A e Re 3,5 A 3,5cos( ω 67,9 )A Kirchoffove zakone torej lahko uporabio tudi pri zapisu tokov in napetosti s kopleksorji. IMPEDANCA IN ADMITANCA j i Vzeio tokovni signal oblike i( t) = I cos( ωt + ϕ ), ki ga opišeo s kopleksorje I = Ie ϕ, ki na i sponkah v dvopolno vezje povzroča padec napetosti oblike u( t) = cos( ωt + ϕ ), ki ga opišeo s j u kopleksorje = e ϕ. Kvocient koplesorjev napetosti in toka ienujeo ipedanca ali kopleksna upornost (včasih rečeo tudi polna upornost): u Z I =. (.7) Velja e = = =. Ie I jϕu j( ϕu ϕi ) jϕ Z e Ze jϕi Govorio lahko o Ohove zakonu pri izeničnih signalih zapisan v obliki = Z I (.8) 54

56 Kopleksni račun SLIKA: Poljubno (dvovhodno) vezje s priključeno napetostjo in toko v vezje. Kvocient kopleksorjev napetosti in toka je definiran kot ipedanca vezja. Ipedanca je izražena kot kopleksno število. Absolutna vrednost ipedance je kvocient ed aplitudo napetosti in toka, arguent pa je razlika ed faznia kotoa napetostnega in tokovnega signala. Inverzna ipedanci je aditanca ali kopleksna prevodnost Y = I Z =, (.9) j j ϕ ϕ ki jo tudi lahko predstavio kot Y = e = Ye. Z Zapišio kopleksne upornosti in prevodnosti za posaezne eleente vezja Ipedanca Aditanca Z Y por R G Tuljava jω L = jx L jω L = jb L Kondenzator jx C jω C = jω C = jbc Pogosto se uporablja tudi poja reaktanca in susceptanca. Reaktanca predstavlja iaginarni del ipedance in je za tuljavo X L iaginarni del aditance in je za tuljavo = ωl in za kondenzator 9 X C =. Susceptanca predstavlja ωc B L = in BC ωl = ωc. ZAPOREDNA IN VZPOREDNA VEZAVA IMPEDANC IN ADMITANC 9 Pogosto se v literaturi poje reaktance enači s pojo upornosti pri izeničnih signalih. V te sislu se uporablja za reaktanco kondezatorja pozitivno vrednost. Glede na definicijo (reaktanca je iaginarni del ipedance), ora biti reaktanca kondenzatorja negativna. 55

57 Kopleksni račun Če so ipedance vezane zaporedno, jih lahko seštevao tako, kot so seštevali zaporedno vezane upornosti pri enosernih vezjih Z = Z + Z + Z + (.) zaporedno 3... SLIKA: Zaporedna vezava ipedanc. Enako lahko seštevao tudi vzporedno vezane kopleksne prevodnosti Y = Y + Y + Y + (.) vzporedno 3... SLIKA: Vzporedna vezava ipedanc (aditanc). Prier izračuna ipedance: Določio ipedanco zaporedno vezanega upora R = Ω in kondenzatorja C = µf pri frekvenci ω = khz. Izračun: Ker iao zaporedno vezavo, pišeo Z = R + = Ω + Ω = 3 6 ( 5) Ω jωc j j. Dobio realni in iaginarni del ipedance, ki jo lahko predstavio v kopleksni ravnini. Določio lahko še aplitudo in fazo 5 o ipedance kot Z = + ( 5) Ω = 5Ω in fazni kot ϕ = Arctan = 78, 7. 56

58 Kopleksni račun SLIKA: Prier izračuna aditance: Določio aditanco vzporedne vezave upora in kondenzatorja iz prejšnjega priera. Izračun: Tokrat seštevao prevodnosti, rezultat bo Y = G + jωc, številčno pa ( ) o - j,3 Y =,S + j, S =, + j, S=, e S SLIKA: Prier uporabe kopleksnega računa za računanje vezij: Tok v vezje vzporedne vezave kondenzatorja in upora iz prejšnjega priera je na sponkah vezja. i t 3 ( ) cos( s t) A =. Določio napetost Izračun: Aditanco so že izračunali v prieru, tvorio še kopleksor tokovnega signala I A o j,3 I = Ain upoštevao = Z I = = o =,96e V. Da dobio»nazaj«j,3 Y, e S napetostni signal, orao kopleksor napetosti ponožiti z o j jωt { },3 3 - o u( t) = Re,96e e V =,96 cos( s t j,3 ) V. j t e ω in upoštevati le realni del: 57

59 Kopleksni račun Prier izračuna ipedance vezja, toka v vezje in delovne oči: Na sponke vezja na sliki priključio napetostni vir z aplitudo 4 V in frekvenco 5 Hz. Določio ipedanco vezja, tok v vezje in delovno oč. (C = µf, L = H, R = Ω) C L R Izračun: Izračunao ipedanco vezja Z = Z C + Z L R, kjer je Z jωl j6,8ω L = = in Z R = = (, + j, ) ( ) ( ) L Z C = = j3,3ω in jωc j 6, 8 Ω Ω. Ipedanca vezja je torej j 6, 8 + Z = j3,3 +,79 + j5,7 Ω =,79 - j5,58 Ω = 6, e Ω. Tok v vezje je 4 V j86 I = Y= S 5, 3e A j86 6, e. Delovno oč dobio iz P I 4V 5,6A ϕ = cos( ) = cos( 86 ) = 3, 45 W. o - j86 Prier določitve ipedance in aditance iz znane napetosti in toka: Tok v zaporedno vezavo dveh eleentov je vrednosti eleentov, če je i( t ) ( t ) = 5cos ω + 45 A, napetost pa ω = 5 khz. Izračun: Tvorio kopleksorja toka in napetosti: ipedanco: o j e V o 55 o 45 4 j e j Ω I u( t ) ( t ) j45 = 5e A in = cos ω V. Določio o j = e V. Določio Z = = =. Sedaj zapišeo v obliki realnega in iaginarnega I 5e A o o dela: Z ( j ) (, j, ) = 4 cos(-55 )+ sin(-55 ) Ω. Očitno bo en eleent upor vrednosti,9 Ω, drug eleent pa bo kondenzator z reaktanco 3, 8 = C = 6, µf. ωc Dodatno: Določite eleenta vzporedne vezave vezij za enak tok in napetost. Izračun: R 6, 98Ω, C 97, 66µF. 58

60 Kopleksni račun Vprašanja za obnovo: ) Kako analizirano vezja, ki so vzbujana z izeničnii signali? ) Kopleksno število: računanje s kopleksnii števili, Eulerjev obrazec, zapis signala s kopleksorje, prehod iz časovnega signala v kopleksni zapis in obratno. 3) Zveze ed kopleksorji toka in napetosti na uporu, tuljavi in kondenzatorju. 4) Zapis Kirchoffovih zakonov s kopleksorji. 5) Definicija ipedance in aditance. Ipedanca in aditanca posaeznih eleenotv vezja. 6) Definicija reaktance in susceptance. Reaktanca in susceptanca tuljave in kondenzatorja. 7) Zaporedna in vzporedna vezava ipedanc in aditanc. Prieri izpitnih in kolokvijskih nalog Izpit, Izpit (4) Izpit, (3) Izpit, (3) Izpit, Izpit,.. (3) 59

61 Kopleksna oč. MOČ S KOMPLEKSNIM RAČNOM Vsebina: Zapis oči s kopleksni računo, delovna, jalova, navidezna oč, bilanca oči, kopenzacija jalove oči, aksialna oč. gotovili so že, da oč poljubnega (linearnega) dvopola niha z dvojno frekvenco vzbujalnega I I signala okoli povprečne delovne oči P = cos( ϕ). Moč niha z aplitudo S = okoli povprečne (delovne) oči. S ienujeo navidezna oč. Jalovo oč, definirana kot I Q = sin( ϕ), direktno iz časovnega signala oči ne oreo razbrati (razen če je bree čisto kapacitivno ali induktivno), lahko pa jo določio iz. t.i. trikotnika oči, saj velja S = P + Q. Lahko pa časovni signal oči razdelio na dva signala: enega, ki je vedno pozitiven in niha okoli povprečne oči in predstavlja skupno oč na uporih in drugega, ki niha okoli ničle in predstavlja oč na tuljavah in kondenzatorjih. Slednji je v povprečju enak nič, aplituda tega signala pa je jalova oč I Q = sin( ϕ). SLIKA: Prikaz časovnega signala oči in razdelitev na dva signala: enega, ki predstavlja oč na uporih in enega, ki predstavlja oč na tuljavah in kondenzatorjih. Navidezno oč lahko zapišeo tudi s kopleksorje v obliki oziroa S = P + jq, (.) ( cos( ϕ) sin( ϕ) ) j S S j Se ϕ = + = (.) Fazni kot je razlika faznih kotov napetostnega in tokovnega signala: ϕ = ϕu ϕi. Če to upoštevao v I jϕu jϕi enačbi (.), lahko kopleksor oči zapišeo v obliki S = e e, oziroa kot 6

62 Kopleksna oč S I * =, (.3) j u pri čeer sta = e ϕ j i in I = I e ϕ kopeksorja napetosti in toka. Pri izračunu oči s kopleksorji je torej potrebno upoštevati konjugirano vrednost kopleksorja toka. Če pri enačbi (.3) upoštevao še Ohov zakon v kopleksne zapisu, dobio uporabne zveze: * * S = I Z I = I Z = I Z = Y (.4) Delovna oč predstavlja realno, jalova pa iaginarno koponento kopeksorja navidezne oči, P Re S Re = = I Z = I Re Z { } { } Q I S I = = I Z = I I Z { } { } (.5) (.6) Prier izračuna oči s kopleksni računo: Izračunajo delovno, jalovo in navidezno oč vezja na sliki, ki je vzbujano z napetostni signalo u( t) = 5sin( ωt) V. R R L ω - = Ω, = 5Ω, = H, = 5 s. Izračun: V konkretne prieru je najenostavneje izračunati aditanco vezja, ki je enaka Y = +, kar je z vstavitvijo vrednosti enako R R + jωl j Y = + =, S+ S =,( - j) S. Za določitev oči zadostuje Ω (5 + j5,)ω poznavanje absolutne vrednosti napetosti (ali toka). Dobio * 5V,( )S 5( ) VA ( ) S = Y = + j = + j, torej je delovna oč 5 W, jalova P 5 Var-ov, navidezna pa 79,5 VA. Faktor oči je cos( ϕ ) = =,45. S Dodatno: vprašajo se o očeh na posaeznih eleentih vezja. Naredio prierjavo tako, da izračunao posebej oč na uporu R in R. Moč na uporu R lahko izračunao neposredno, saj je na 6

63 Kopleksna oč te uporu celotna priključena napetost in je torej dobio iz toka skozi ta upor, ki je I = R I = = 7,7 A R + ( ωl) P R ( 5V) = = = 5 W. Moč na uporu R R Ω + jωl. Moč na te uporu bo torej ( ), oziroa aplituda toka P = 7,7 A 5Ω = 5 W. Oglejo si še sliko, ki prikazuje posaezne prispevke oči v vezju ter seštevek. 6 5 p(r) p(r) p(l) p(vezja) 4 Posaezne koponente oci ωt SLIKA: Posaezne koponente oči na eleentih vezja in skupna oč. Skupna oč (črna polna črta) niha z dvojno frekvenco, na uporih (črtkana in pikčasta črta) je vedno pozitivna, na tuljavi (rdeča polna črta) pa niha okoli ničle. Aplituda izenjalne oči je jalova oč (5 VAr-ov), aplitudi posaeznih delovnih oči pa sta tudi 5 W, skupaj 5 W. (oc.) Pozor: Pri gornjih zapisih je potrebno biti previden v toliko, da se zavedao, da so tvorili kopleksorje toka in napetosti z upoštevanje aplitude časovnega signala. Pogosto se v literaturi pojavljajo tudi oblike zapisa oči z upoštevanje efektivnih vrednosti toka in napetosti, ki so od aksialnih pri haroničnih signalih anjše za. Prier zapisa z efektivnii vrednosti toka in napetosti bi torej bil ef * ef S = I, pri čeer se pogosto index ef kar izpušča. Za pravilno uporabe forule za oč orao torej vedeti, da pri uporabi aplitud signalov upoštevao faktor, pri efektivnih pa je že upoštevan. 6

64 Kopleksna oč BILANCA MOČI Vzei prier iz prejšnjega poglavja in izračunajo oč, ki jo v vezje pošilja napetostni generator. gotovio lahko, da je ta oč p ( t) = u ( t) i ( t) enaka oči vezja. Torej je oč, ki jo generator g g g pošilja v vezje enaka potrošeni oči. Lahko ugotovio še več: to oč lahko razdelio v jalovo in delovno in ugotovio, da ora veljati tudi ta bilanca. Poleg tega velja tudi splošno, za več generatorjev. Vsota oči virov (generatorjev) = vsota oči na breenih vezja Prier določitve kopleksorja oči: Kot prier lahko vzaeo kar prejšnji prier, kjer so že ugotovili, da je oč na uporih enaka x5 W, na tuljavi pa 5 Var-ov, skupaj torej S = 5( + j) VA. Tok v vezje dobio iz aditance in bo I = Y = 5V,( - j) S = 5( - j)a. Moč v vezje bo torej ista enačba, s katero so že izračunali oč vezja. * * S = I = Y, kar pa je KOMPENZACIJA JALOVE MOČI Večina električnih naprav ia induktivni karakter, saj za pretvarjanje iz električne v ehansko energijo običajno vsebujejo navitja. To so predvse razni otorji, transforatorji, dušilke, varilni aparati, indukcijske peči, fluorescenčne svetilke in podobno. Ti potrebujejo energijo za vzpostavljanje in»zanjševanje«agnetnega polja, ki se anifestira v izenjalni oči, ta pa v jalovi oči, ki je definirana kot aplituda te izenjalne oči. Jalova oč je potrebna za delovanje električnih naprav, torej se ji ne oreo izogniti. Breeni pa ta oč električno orežje in jo v te sislu porabnik tudi plačuje. Jalovo oč je navzven ogoče do določene ere kopenzirati, to poeni, da breenu dodao eleente, ki izenjujejo energijo z breeno. V ta naen se najpogosteje uporablja vzporedno vezavo kondenzatorjev. Ločio popolno in nepopolno kopenzacijo. Pri popolni kopenzaciji bree navzven deluje kot ohsko, torej je jalova oč navzven enaka nič. Pri nepopolni kopenzaciji pa jalovo oč le zanjšao do določene ere. Pogosto za ero kopenzacije uporabio faktor delavnosti cos( ϕ ). Popolna kopenzacija terja, da je faktor delavnosti enak. Pogosto ne želio ali pa ne potrebujeo popolne kopenzacije delovne oči. V te prieru uporabio kondenzatorje za zanjšanje, ne pa tudi izničenje jalove oči. Poglejo kar prier. 63

65 Kopleksna oč Prier izračuna kopenzacije oči: Določio velikost kopenzacijskega kondenzatorja (kondezatorjev) za popolno kopenzacijo breena iz priera. Kondenzator(je) vežeo vzporedno breenu. Izračun: Tudi pri priključene kondenzatorju je (jalova) oč tuljave še vedno enaka 5 Var-ov, zapišio jo kot Q = 5 VAr. Ta je pozitivnega predznaka, ki jo kopenzirao z reaktivno L * (jalovo) očjo kondezatorja, ki bo jqc = Y C = ( jωc), oziroa 5VAr Veljati ora QL + QC =, oziroa C = = F. ω = ω. QC C SLIKA: Trikotnik oči s prikazo popolne kopenzacije jalove oči. Prier izračuna kopenzacije oči: Vzeio, da želio za kopenzacijo oči iz priera in uporabiti kondenzator s kapacitivnostjo,5 F. Za koliko procentov boo zanjšali jalovo energijo? Izračun: Z uporabo enakih zvez kot v prieru ugotovio jalovo koponento oči na kondenzatorju, ki bo QC = ωc = 3, 5VAr. Celotno jalovo koponento boo zanjšali za 5 VAr - 3, 5 VAr = 93,75 VAr, kar je za 5%. Izračunajo še faktor oči, ki P bo sedaj S = P + Q = 67 VA in cos( ϕ ) =,94. S SLIKA: Trikotnik oči z delno kopenzacijo jalove oči. 64

66 Kopleksna oč Moc / W 4 S= P=5 Q=5 celotna oc oc na R in R oc na C in L cas / s a) Moc / W 4 S= P=5 Q=6.5 celotna oc oc na R in R oc na C in L cas / s b) c) Moc / W 4 S=5 P=5 Q= celotna oc oc na R in R oc na C in L cas / s SLIKA: Celotna oč, oč na uporih R in R ter oč na C in L pri a) nekopenzirane vezju, b) delno kopenzirane vezju (C = F) in c) popolno kopenzirane vezju (C = F). (RL_kopenzacija_oci.) 65

67 Kopleksna oč S, P, Q /VA S, P, Q /VA S P Q - -4 S P Q C/F C/F x -3 SLIKA: Spreinjanje S, P in Q s spreinjanje vrednosti kopenzacijskega kondezatorja. Na desni linearna, na levi logariteska skala abscise. Ko je Q = Varov, je navidezna oč (S) najanjša in enaka delovni oči (P). (RRL_kopenzacija_oci.) PRILAGODITEV BREMENA MAKSIMALNA DELOVNA MOČ V katere prieru bo oč na breenu največja? Enako vprašanje so si zastavili tudi pri enosernih vezjih in prišli do zaključka, da bo to tedaj, ko bo upornost breena enaka nadoestni notranji upornosti gledano s sponk breena. Pogosto so jo določili kot Theveninovo ali Nortonovo nadoestno upornost. Tudi pri vezjih z izeničnii signali ni dosti drugače. Ogledati si orao razere, ko na realni vir, ki ga lahko opišeo s kopleksorjea napetosti generatorja g in notranje kopleksne upornosti generatorja Z g, priključio kopleksno bree Z. Moč na breenu dobio kot realni del kopleksorja navidezne oči P Re{ S } b = in je P = I Re{ Z } b = I Rb. Aplitudo toka dobio iz preproste zveze ( ) = I( Z + Z ) = I R + R + j( X + X ) od koder izpeljeo g g b g b g b b P b = R b ( R R ) ( X X ) g g + b + g + b. (.7) Sedaj se vprašao, v katere prieru bo ta oč največja. Vsekakor tedaj, ko bo ienovalec či anjši, to pa bo tedaj, ko bo X g = X. (.8) b Najpriernejši ohski upornosti pa bi dobili z odvajanje oči po določeni upornosti. gotovili bi podobno kot pri enosernih vezjih, da bo delovna oč največja tedaj, kot bosta ohski upornosti breena in generatorja enaki: R g = R. (.9) b 66

68 Kopleksna oč Če združio ugotovitve o reaktivnih in ohskih koponentah v en zapis, lahko zapišeo pogoj za aksialno delovno oč na breenu Z g * = Z b (.) Velja tudi obratno: Z b * g = Z. Ko to velja rečeo tudi, da je bree prilagojeno na haroničen vir. Pogoja za aksialno oč (.8) in (.9) vstavio v enačbo (.7) in dobio izraz za aksialno oč na prilagojene vezju P b,ax g = (.) 8R g Prier prilagoditve breena za aksialno oč: Vir z notranjo upornostjo, ki jo predstavio z zaporedno vezavo upora R = Ω in tuljave z X = ωl = Ωje priključen na bree iz g vzporedno vezanega upora in kondezatorja. Določio vrednosti breenskih upornosti, da bo na breenu aksialna oč. Izračun: Veljati ora b b Z b 4 - ω = s. L * + j = Z g, torej tudi Y b = = = S = S. Ker je * Z R jωl j Y = G + jωc, ora biti ob izpolnitvi pogoja za aksialno oč na breenu G b = S Rb = Ω in C 5µF = ω =. g b SLIKA: Vezje priključeno na kopleksno bree. Če je kopleksor napetosti določen iz efektivne vrednosti, velja, / g ef = in g P b,ax g, ef = - 4R g 67

69 Kopleksna oč Moc / W Kapacitivnost / F SLIKA: Slika prikazuje delovno oč na breenu pri spreinjanju kapacitivnosti za različne upornosti breena. pornosti se vrstijo od 5 Ω, Ω, 35 Ω in 5 Ω. Največjo oč dosežeo (kot pričakovano) pri kapacitivnosti 5 µf in upornosti breena Ω. (axoc.) % aksialna oc, Matlab progra Rg=; L=e-3; o=e4; Rb=; =6; Zg=Rg+j*o*L; for Rb=5:5:5 ii=:.:7; C=.^(-ii); Yb=/Rb+j*o.*C; Zb=./Yb; I=./(Zg+Zb); Pb=.5*I.*conj(I).*real(Zb); seilogx(c,pb) hold on end xlabel('kapacitivnost / F') ylabel('moc / W') 68

70 Kopleksna oč MAKSIMALNA MOČ PRI LE OHMSKEM ALI LE INDKTIVNEM BREMEN Kaj pa če ne oreo poljubno izbirati vseh koponent? Na prier, da ia vir le ohsko ali pa le induktivno bree. Pote ugotovio, da lahko dobio pravilo, da orajo biti enake absolutne vrednosti breena in vira: Z g * b = Z ponožio s konjugiranii vrednosti in Z b = Z (.) g Če iao na razpolago le R b ne pa tudi X b, ora biti le ta za aksialno oč enak strezno se spreeni tudi izraz za aksialno oč, ki bo sedaj Rb = Z. g P b,ax = 4 g ( Rg + Z g ). (.3) Za obnovo: ) Izračun oči s kopleksorje toka in napetosti. ) Zapis kopleksne oči z delovno in jalovo koponento. Trikotni oči. 3) Različni zapisi oči z upoštevanje Ohovega zakona. 4) Tellegenov stavek bilanca oči. 5) Kopenzacija jalove oči. Priključitev kondenzatorja. Popolna in nepopolna kopenzacija. Izračun potrebne velikost kondenzatorja. 6) Prilagoditev oči aksialna oč na breenu: kdaj nastopi, pogoj če je bree kopleksno ali če je čisto realno (upor). Kako določio potrebno velikost breena za optialno prilagoditev? Enačba za določitev aksialne oči. Prieri izpitnih in kolokvijskih nalog Izpit, 9. junij 5 izpit, 4. junij 6 izpit,. junij 6 (5) 69

71 Resonančni pojav. RESONANČNI POJAV Vsebina: Zaporedni in vzporedni nihajni krog ali tokovna in napetostna resonanca. Pogo za resonanco in določitev resonančne frekvence in bočnih frekvenc. Dodatni poji kot npr. pasovna širina, norirana pasovna širina, kvaliteta vezja, dušenje, razglašenost.equation Section V vezjih s haroničnii signali je posebno zaniiv pojav, ko na zunanjih sponkah vezja (pa tudi na določenih eleentih vezja) pri določeni frekvenci dosežeo izrazito visoke napetosti ali toke. Tej frekvenci rečeo resonančna frekvenca, vezje pa je tedaj v resonanci. Podrobneje si boo pogledali le vezji z zaporedno ali vzporedno vezavo upora, kondenzatorja in tuljave. Ti vezji ienujeo tudi zaporedni in vzporedni nihajni krog. Resonančne pojave v elektrotehniki pogosto koristno uporabio za različna filtriranja ali prilagoditve, lahko pa so tudi nezaželeni (saozagon otorjev, itd). ZAPOREDNI NIHAJNI KROG - TOKOVNA RESONANCA SLIKA: Zaporedni nihajni krog. Vzeio najprej prier zaporednega nihajnega kroga, ki ga sestavljajo zaporedna vezava kondenzatorja, upora in tuljave. Na vhod priključio napetostni haronični vir u( t) = cos( ωt). Napetosti na kondenzatorju in tuljavi sta fazno zaaknjeni za π, rečeo tudi, da sta v protifazi. Ko je trenutna oč na tuljavi v naraščanju, je na kondenzatorju v upadanju. Njuna vsota je v resonanci enaka nič. Kopleksorji napetosti na posaeznih eleentih vezja so: R L C = IR = I jωl = I j ω C Moči določio kot P = I R, QL = I ωl in QC = I. Pri nizkih frekvencah (pred ωc resonančno frekvenco) je aplituda oči na kondenzatorju velika, saj je na nje velika napetost. Z višanje frekvence se povečuje oč na tuljavi, ki je ves čas v protifazi z očjo na kondenzatorju (ti oči se torej (gledano iz zunanjih sponk) odštevata). Z bližanje resonančni frekvenci se povečuje 7

72 Resonančni pojav tok skozi zaporedno vezavo in s te tudi oč na uporu. V resonanci sta oči na tuljavi in kondenzatorju v protifazi in se s stališča zunanjih sponk popolnoa kopenzirata. Tedaj je»bree«čisto ohsko, napetost in tok sta v fazi, tok je aksialen in enak /R. SLIKA: Kopleksorji napetosti in toka pred, pri in po resonančni frekvenco. Energija je integral oči. Na uporu se energija porablja, na tuljavi in kondenzatorju pa se shranjuje v obliki agnetnega oziroa električnega polja. V resonanci je vezje čisto ohsko, energija tuljave in kondenzatorja se izenjuje x v periodi. Napetost in tok frekvenca = napetost tok Moc Cas /s.. x -4 p pr pl pc Cas /s x -4 Energija 6 x -7 4 wc wl x -4 SLIKA: Prikaz napetosti in toka (zgoraj), oči na posaeznih eleentih vezja (sredina) in energija na kondenzatorju in tuljavi v resonanci. Tok in napetost na zunanjih sponkah sta v fazi, oči na tuljavi in kondenzatorju sta v protifazi in se odštevata, energija ed kondenzatorje in tuljavo se izenja x v periodi signala. 7

73 Resonančni pojav IZRAČN RESONANČNE FREKVENCE IN TOKA PRI RESONANCI = R + L + C = IR + I jωl + I = I R + jωl + = I Z. jωc jωc Ipedanca vezja je torej: Z = R + jωl j. ωc Tok v vezje je I = = =. Tok bo aksialen, ko bo Z R + j ωl ωc R + ωl ωc absolutna vrednost ipedance najanjša, ta pa bo tedaj, ko bo resonančni frekvenci ω =. LC ωl =, kar bo pri t.i. ωc Pri tej frekvenci bo iaginarni del ipedance enak nič, ipedanca vezja bo čisto ohska, tok v vezje pa bo največji. Enak bo I ( f = f ) = I = / R. Vezje bo torej v resonanci tedaj, ko bo navzven (na zunanjih sponkah) čisto ohsko: tok in napetost bosta v fazi. Pogoj za resonanco zaporedne vezave RLC je oziroa, ko je oziroa, ko je ϕ = ϕ ϕ =, (.) u i I{ Z } = (.) I{ Y } =. (.3) Za izračun resonance vezja je prierna enačba (.) ali (.) ali (.3), odvisno pač od tega, s katero obliko lažje prideo do rezultata. Potrebno pa je poudariti, da je lahko pri vezjih, ki niso prier zaporedne ali vzporedne vezave upora, kondenzatorja in tuljave aksiu aplitude toka ali napetosti dosežen tudi pri različnih vrednostih kot izhajajo iz gornjih pogojev. Značilnost resonančnega pojava je v te, da tedaj prihaja do usklajenega prehajanja energije iz eleentov vezja, ki shranjujejo energijo v agnetne polju (tuljave) v eleente, ki shranjujejo energijo v električne polju (kondenzatorji). Zaradi tega so napetosti ali toki na eleentih vezja v resonanci lahko nogo večji kot na vhodnih sponkah. Razlog, da le te niso največje na vhodnih sponkah je v te, da so ti toki ali napetosti v vezju v protifazi (zaaknjeni za 8 ali blizu) in se navzven ed seboj odštevajo. 7

74 Resonančni pojav LASTNOSTI RESONANČNEGA VEZJA opisujeo z naslednjii paraetri: Razglašenost vezja je določena z izrazo β ω ω =, (.4) ω ω Kvaliteta vezja je določena s kvociento oči na reaktivne eleentu in delovno očjo Q X Q = (.5) P kjer je QX = I ω L = I in ω C P = I R, torej ω L L / C Q = = (.6) R R Kvaliteta vezja je era za»ozkost«resonančne krivulje. Bolj kot je krivulja ozka (stra okoli resonančne frekvence), večja je njena kvaliteta. V prieru zaporedne vezave eleentov R, L, C je kvaliteta večja pri anjši upornosti. Dušenje je soroden poje kot kvaliteta, saj je definiran kot recipročna vrednost kvalitete D = /Q. Bočni frekvenci in pasovna širina SLIKA: Tok kot funkcija frekvence. Označio resonančno frekvenco f, tok pri resonančni I frekvenci I = I( f = f ), ter spodnjo in zgornjo bočno frekvenco ( f in f ), ki nastopita pri ter pasovno širino. Bočni frekvenci (f in f ) sta določeni pri vrednostih toka, ki je od aksialne vrednosti anjši za. Razlika ed zgornjo in spodnjo bočno frekvenco je pasovna širina vezja 73

75 Resonančni pojav B = f f. Poznao tudi norirano pasovno širino, ki je pasovna širina deljena z resonančno f f frekvenco: Bnor =. Kvaliteta je definirana tudi kot recipročna vrednost norirane pasovne f f širine Q = =. B f f nor Določio pasovno širino za serijsko resonančno vezje. Poiskati orao frekvenci, pri kateri pade Iax aplituda za. Veljati ora I( ω, ) = = =. Enačbi bo R R + ω, L ω, C zadoščeno, če bo R + ω L = R, ω, C oziroa ω, L = R, to pa bo tedaj, ko bo ω C ωl = R in ωl = R. Če enačbi seštejeo, dobio zvezo LC = = oziroa ω C ω C ω ω ω f = f f. Če pa enačbi odštejeo izpeljeo zvezo Bnor, R =. ω L Da bi določili pasovno širino, orao rešiti kvadratno enačbo, saj iz ωl = R sledi ω C R R R R ω L = ωr. Rešitvi za ω in ω sta: ω = + ω + in ω = + ω. C L L L L 74

76 Resonančni pojav DODATNI SLIKOVNI MATERIAL Slika A: Prikaz toka kot funkcijo frekvence (resonančna krivulja) za konkretne podatke za tri različne vrednosti upornosti. Opazujeo lahko obliko krivulj, spreinjanje faznega kota in kvaliteto vezja. Slika B: Prikaz ohskih upornosti kot funkcijo frekvence. Slika C: Prikaz časovnega signala toka in napetosti ter oči na posaeznih eleentih pri različnih frekvencah (pred, po in pri resonanci). x -3 8 Tok / A f / Hz fazni kot / rd f / Hz SLIKA A: Prier zaporedne resonance pri vrednostih eleentov L = H, C = µf, R = Ω (polna črta), 36 Ω (prekinjena črta) in Ω (pikčasta črta). Pri anjši upornosti je krivulja toka bolj ozka, kar določio tudi s pasovno širino ali kvaliteto nihanjega kroga. Na spodnji sliki vidio spreinjanje faznega kota, ki je pri resonančni frekvenci enak nič. Skala na abscisi je logariteska. (RLC.) 5 pornosti / Oh f / Hz SLIKA B: Spreinjanje posaezne upornosti s frekvenco. Pri resonančni frekvenci sta reaktanci tuljave in kondenzatorja enaki. (RLC.) 75

77 Resonančni pojav Napetost in tok napetost tok Napetost in tok napetost tok x -4 x -3 p pr pl pc x -3 x -3 p pr.5 pl pc Moc Moc x x -3 Napetost in tok napetost tok Napetost in tok napetost tok x x -4.. p pr pl pc 5 x -4 p pr pl pc Moc Moc x x -4 SLIKA C: Zgoraj: prikaz časovnega signala napetosti in toka pred (levo zgoraj, f = 9 Hz), tik pred (desno zgoraj, f = Hz) pri (levo spodaj, f = 5 Hz) in za (desno spodaj, f = 9 Hz) resonančno frekvenco. Spodaj: Moč na uporu (pr), oč na tuljavi (pl), oč na kondenzatorju (pc) in skupna oč (p): Jalova oč v resonanci je enaka nič, na posaeznih reaktivnih eleentih (tuljava, kondenzator) pa je jalova oč velika vendar v protifazi. (RLC3.) 76

78 Resonančni pojav VZPOREDNI NIHAJNI KROG - NAPETOSTNA RESONANCA Iao vzporedno vezavo upora, kondenzatorja in tuljave. SLIKA: Vzporedni nihajni krog. Napetost na sponkah vezja je I = I Z = = Y G I + ωc ωl. Napetost na sponkah vezja bo aksialna, ko bo izpolnjen pogoj ωc ωl =. To pa je tudi tedaj, ko bo aditanca vezja ( Y G j C = + ω + ) čisto realna, oziroa, ko bo iaginarni del aditance enak nič. Iz tega sledi, j ω L da bo resonančna frekvenca ω = LC, kar je enako kot pri zaporedni resonanci. Aditanca tega vezja je Y = G + j ω C +. Vezje bo v resonanci, ko bo iaginarni del aditance j ω L enak nič, to je, ko bo ωc ωl =. V če je torej razlika ed»vzporedno«in»zaporedno«resonanco? Razlika je v te, da je sedaj pri resonančni frekvenci na zunanjih sponkah aksialna napetost, pri zaporedni resonanci pa tok. Vzporedno resonanco zato tudi ienujeo napetostna, zaporedno pa tokovna resonanca. Tudi pri vzporedni resonanci lahko govorio o razglašenosti pasovni širini β ω ω =, kvaliteti ω ω ω Q = in G B =. Analogno zaporedni resonanci lahko izpeljeo zvezo ed bočnia Q frekvencaa in resonančno frekvenco f = f f. C 77

79 Resonančni pojav DRGA VEZJA Vzeio prier vezja vzporedno vezanih dveh ipedanc: upora in kondenzatorja v eni veji in tuljave in kondenzatorja v drugi veji. Aditanca vezja bo Y = +. S poočjo analize R + R + jωl jωc aditance lahko ugotovio, da gre za prier napetostne ipedance, ki pa nia aksiua vedno pri fazne kotu enake nič. Pri R = Ω (polna črta) je pri aksiuu ipedance (toka) fazni kot enak 6, pri 36 Ω (prekinjena črta),8 in pri Ω (pikčasta črta),7. Vidio tudi, da se pri različnih vrednostih upornosti ne spreinja le aplituda ipedance (napetosti), pač pa tudi resonančna frekvenca. Ipedanca / Oh f / Hz fazni kot / rd f / Hz SLIKA: Prier resonance vezja pri fazne kotu, ki je različen od nič. (RLC.) 78

80 Resonančni pojav Vprašanja za obnovo: ) Kaj je to resonančni pojav? Kaj je značilno za resonančni pojav? ) Kakšne eleente orao ieti v vezju, da pride do resonančnega pojava? 3) Kaj je to zaporedni in vzporedni nihajni krog? Kakšen je pogoj za resonanco? Kako določio resonančno frekvenco? Kakšen je karakter breena pri resonanci? 4) Prikaz časovnega poteka toka, napetosti in oči pred in ob resonanci. 5) Prikaz kazalcev napetosti/toka pri resonanci. 6) Razglašenost, kvaliteta vezja, dušenje, bočna frekvenca, pasovna širina. 7) Določitev resonančne frekvence za splošno vezje. Izpit Izpit, 8. avgust 6 (4) Izpit, 6..3 (4) 79

81 Metode reševanja 3 3. METODE REŠEVANJA VEZIJ Vsebina poglavja: Metode za analizo vezij z izeničnii signali (etoda Kirchoffovih zakonov, etoda zančnih tokov, etoda spojiščnih potencialov), stavki (superpozicije, Theveninovo in Nortonovo nadoestno vezje, Tellegen). Posebnost pri izeničnih vezjih obravnava sklopljenih tuljav. Načine analize enosernih vezij so že spoznali. Pri vezjih z izeničnii signali lahko ugotovio, da so z vpeljavo kopleksorjev toka in napetosti vpeljali sorodne relacije: s kopleksorji so zapisali Ohov zakon ter oba Kirchoffova zakona. Za reševanje vezij z izeničnii signali lahko torej uporabio iste etode reševanja kot pri enosernih, le s kopleksorji jih orao pisati. SKLOPLJENE TLJAVE. Iao pa pri izeničnih signalih še en poseben slučaj. In sicer agnetno sklopljene eleente, ki nastopajo v prieru obravnave vezij z najanj dvea tuljavaa, ki si delita del (ali celoten) fluksa. Ti eleenti iajo zaradi sklopitve dodaten padec napetosti na tuljavi, ki se padcu napetosti zaradi lastne induktivnosti prišteva ali pa odšteva. O označevanju podpiranja fluksov so že govorili v prejšnjih poglavjih, torej sao na kratko: podpiranje (seštevanje) fluksov označio tako, da postavio piko v obeh sklopljenih eleentih na začetek ali konec eleenta glede na tok v eleent. Ta dodatni padec napetosti lahko označio s posebni sibolo (rob) in ga ienujeo tokovno kriljen napetostni vir. S takii in podobnii eleenti si poagao tudi pri nadoestnih vezjih bolj zahtevnih eleentov, kot so različni tipi nelinearnih eleentov (tranzistorjev,...). Prier upoštevanja edsebojne induktivnosti: V veji s toko I = Aje tuljava z X = Ω, ki ia agnetni sklep (k =,8) s tuljavo z X L = 9Ω v sosednji veji s toko I = ( + j5) A. Fluksa se podpirata. Kolikšna je napetost na tuljavaa? Izračun: Določiti orao edsebojno induktivnost oziroa upornost zaradi edsebojne induktivnosti ωm = ωk L L = k ωl ωl = k X LX L, ki bo 4 Ω. Nato določio še padec napetosti kot L = I jx + I jx = A jω + ( + j5)a j4ω = ( + j48) A L = I jx + I jx = ( + j5)a j9ω+a j4ω + = ( 45 + j4) A L M M 8

82 Metode reševanja 3 SLIKA: Magnetno sklopljeni tuljavi. Napetost zaradi edsebojne induktivnosti lahko predstavio s tokovno kriljeni napetostni viro. Osnovne etode za analizo vezij: ) Metoda Kirchoffovih zakonov ) Metoda zančnih tokov 3) Metoda spojiščnih potencialov Stavki (teorei): ) Stavek superpozicije ) Stavek Thevenina / Nortona 3) Stavek Tellegena 4) Stavek o največji oči Vse oenjene etode analize in stavkov boo prikazali na sledeče prieru vezja. I g J 3 R I () () I (3) R g + ~ J L J I 5 I 4 I 3 L C ( V) SLIKA: Prier vezja za analizo vezij: R = Ω, R = 5 Ω, C = 5 µf, L = 6,67 H, L = 5 H, u g = cos(ωt) V, i g = cos(ωt +π/ ) A, ω = 33,34 s -. (Matlab: etode.) Kopleksorji ipedanc in virov so: Z L = jωl = j5ω, Z L = j5ω, Z C = = jω, g = V, I g = j A. jωc METODA KIRCHOFFOVIH ZAKONOV 8

83 Metode reševanja 3 Teelji na uporabi. in K. Z.: K.Z.: Vsota vseh tokov iz (ali v) spojišča je enaka nič, število enačb = število spojišč -. spojišče (): I + I + I = 4 spojišče (): I + I + I = 3 spojišče (3): I + I I = 5 spojišče (): ni potrebno, odvečna enačba g g.k. Z.: Vsota vseh napetosti v zanki je enaka nič, število enačb = številu dopolnilnih vej. zanka J : I R + I Z + ( I Z ) = 3 L 4 L g zanka J : I Z + I R + I Z = 3 L 5 zanka J : ni potrebna, niti je ne oreo zapisati 3 C Dobio pet enačb za pet tokov. Reševanje takega sistea je lahko zaudno, običajno na to delo poenostavijo računalniki. Mi orao le poskrbeti, da siste enačb zapišeo v atrični obliki. V naše prieru bi tvorili siste: I j I I 3 = j j5 j5 I 4 5 j5 j I 5 To je zapis v obliki A x=b Poglejo si prier reševanja takega sistea s prograo Matlab. Tvorio atriko A, ki bo A=[,,,,;-,,,,;,-,,,;,,5j,-5j,;,5,-5j,,-j] in vektor b, ki bo b=[- j;;j;;]. Matlab ponuja različne načine reševanja sisteov enačb. Še najbolj enostavno dobio rešitev tako, da invertirao atriko A in jo ponožio z vektorje b: Dobio rešitev v obliki vektorja z iskanii toki. Matlab: x=inv(a)*b Rezultat je pet kopleksnih števil za toke od I do I 5 : i i i i i Tok I bo torej (,873-j,345) A itd. 8

84 Metode reševanja 3 Drugi načini reševanja sistea enačb: Lahko uporabio tudi Kraerjevo pravilo z reševanje z deterinanto in poddeterinantai, ki pa je nekoliko bolj zaudno. Deterinanto dobio z ukazo det(a), pri poddeterinantah pa orao najprej sekvenčno enjati stolpce z vektorje b. To naredio s sledečii ukazi: D=A, D(:,)=b, I=det(D)/det(D). Dobio i, kar je seveda rešitev za tok I. Tretji način je tako ienovana Gaussova eliinacija (več pri ateatiki), kjer enak rezultat dobio s preprosti Matlab ukazo x=a\b. ANALIZA VEZJA V PRIMER SKLOPLJENIH TLJAV Slika: Enako kot predhodno vezje, le da sta tuljavi sklopljeni s faktorje sklopa k. V te prieru je potrebno upoštevati dodatna padca I 4 ( V) napetosti na tuljavah, ki sta posledica fluksa iz sosednjih tuljav. Ta se prišteva ali odšteva od napetosti na tuljavi v skladu z dogovoro o»pikah«. V konkretne prieru gre v obeh tuljavah tok najprej skozi tuljavo in pote»skozi«piko, zato se prispevka prištevata. Določiti je potrebno kopleksno upornost zaradi edsebojne induktivnosti, ki je: jωm = jωk L L = jk ωlω L = j,8 5 Ω 5 Ω j6,93 Ω Napetosti na tuljavi L se prišteje prispevek I 3Z M = I 3 jωm, napetosti na tuljavi L pa se prišteje prispevek I 4 Z M = I 4 jωm. Za vsoto napetosti v zankah sedaj dobio enačbe: zanka J : I R + I Z + I Z + ( I Z ) + ( I Z M ) = 3 L 4 M 4 L 3 g zanka J : I Z I Z + I R + I Z = 3 L 4 M 5 zanka J : ni potrebna, niti je ne oreo zapisati 3 Nova atrika bo torej (spreenjeni sta le zadnji dve vrstici): I j I I 3 = j. j8,7 j,93 I 4 5 j5 j6,93 j I 5 Rešitev je sedaj seveda drugačna: I= i, I= i, itd. C g J 3 I () () I (3) + ~ J I g L R J k C L I 3 I 5 83

85 Metode reševanja 3 METODA ZANČNIH TOKOV Označio zanke z zančnii toki in zapišeo enačbe v skladu z K.Z. Vejske toke zapišeo z zančnii. Število potrebnih enačb je enako številu dopolnilnih vej (ponovi poje graf, drevo, veje, dopolnilne veje,... iz OE). ( J J ) R + ( J J ) Z + J Z = 3 L L g ( J J ) Z + ( J J ) R + J Z = J 3 L 3 = I g C Dobio siste treh enačb, ki pa je pravzaprav le siste dveh, saj je tok v tretji zanki določen kar s toko I g. Če to upoštevao v naslednje koraku, dobio atrični siste oblike R + Z L + Z L jz L J g + I gr Z R Z Z = J I R + + L L C g oziroa + j j5 J + j = j5 5 j5 J j5 Tudi ta siste enačb lahko preprosto rešio z eno od zgoraj oenjenih načinov. Matrika A bo A=[+j,-5j;-5j,5-5j], b pa b=[+j;5j]. Rešitev dobio z ukazo X=inv(A)*b in dobio i i Zančni tok J je torej (,873-j,345) A. Ta tok je tudi enak toku -I 4, kar se lahko prepričao iz prejšnje rešitve sistea petih enačb. 84

86 Metode reševanja 3 METODA SPOJIŠČNIH POTENCIALOV Število enačb enako številu spojišč -. Izhajao iz tega, da izrazio toke v vejah s potenciali spojišč. Če je v veji upor, izrazio tok v veji s padce napetosti na te uporu, le-to pa izrazio s potenciali spojišč, na katera je priključen. Če je v veji le napetostni vir, tok v tej veji izrazio s toki v sosednje spojišče (v skladu s KZ). Potencial enega od spojišč lahko poljubno izbereo (običajno ozeljio). V V V + + = g spojišče (): I g Z L R V V V V V R Z R 3 spojišče (): + + = L V V V 3 3 spojišče (3): + I g = R Z C Dobio siste treh enačb, ki jih zapišeo v atrični obliki / j5 + / / V j + / j5 / / + / 5 + / j5 / 5 V = / 5 / 5 / j V 3 j Rešitev so spojiščni potenciali, iz katerih lahko nato izračunao vejske toke, itd. Izračun z Matlabo: A=[/5j+/,-/,; -/,/+/5+/5j,-/5;,-/5,/5-/j], b=[- j+/5j;;j], inv(a)*b Rešitev je i i i 85

87 Metode reševanja 3 STAVKI. STAVEK SPERPOZICIJE Če iao več različnih virov v vezju, lahko pri linearne vezju odklopio določen vir in analizirao vezje kot vsoto več poenostavljenih vezij. Če so viri različnih frekvenc, ne seo izračunanih kopleksorjev tokov preprosto sešteti, saj gre za časovne signale različnih frekvenc. Seštejeo lahko časovne signale. Z etodo superpozicije lahko analizirao tudi vezje, ki vključuje enoserne in izenične vire. Odklopljen napetostni vir nadoestio s kratki stiko, tokovni vir pa z odprtii sponkai. SLIKA: Razdelitev vezja v dve vezji s posaeznii vključenii viri.. THEVENINOVO IN NORTONOVO NADOMESTNO VEZJE. Enako kot je veljalo za enoserna vezja, lahko pri (linearnih) izeničnih vezjih vezje ed poljubnia dvea sponkaa nadoestio z realni napetostni ali tokovni viro. Nortonovo nadoestno vezje je ekvivalentno Theveninoveu, le da ga predstavio z realni tokovni viro. Velja I Th N = in Z Th Z N / Y N Z Th = =. SLIKA: Theveninovo in Nortonovo nadoestno vezje. 86

88 Metode reševanja 3 SLIKA: Levo: Nadoestio vezje ed sponkaa upora R s Theveninovi nadoestni viro. Desno: Theveninov nadoestni vir. Osnovna pravila za izračun eleentov Theveninovega (ali Nortonovega) nadoestnega vezja: - Theveninovo (ali Nortonovo) nadoestno upornost določio kot kopleksno upornost ed sponkaa, kjer želio določiti nadoestno vezje. Pri te napetostne vire v vezju kratko skleneo, tokovne pa odklopio. Za lažje ponjenje si lahko poagao z vedenje, da je notranja upornost idealnega napetostnega vira enaka nič, tokovnega pa neskončna. Velja Z = Z = / Y. Th N N - V prieru bolj kopleksnega vezja (če ni ogoče kar preprosto seštevati zaporedno in vzporedno vezane eleente vezja) orao Theveninovo upornost določiti tako, da ed sponki priključio poljubno napetost (npr. Kar V) in določio tok v vezje. Razerje ed njia pa je vhodna ipedanca oziroa Theveninova nadoestna (kopleksna) upornost. Tak prier vezja so tudi vezja s sklopljenii eleenti. - Theveninovo nadoestno napetost določio kot napetost odprtih sponk ed sponkaa (seveda pri priključenih virih). - Vrednost Nortonovega tokovnega vira določio kot tok kratkega stika ed priključnia sponkaa ( I N = I k.s. ) ali iz Theveninove napetosti: I N = Z Th Th Prier: Izračun toka skozi upor R z nadoestitvijo vezja ed sponkaa upora s Theveninovi nadoestni viro. Recio, da nas zania le en tok v vezju, ki ga analizirao. Naj bo to tok skozi upor R v že analizirane vezju. Poiščio nadoestno Theveninovo upornost in napetost. Theveninova upornost je notranja upornost vezja gledana s sponk upora R, pri čeer tokovni vir odklopio (odprte sponke), napetostnega pa kratko skleneo. Dobio ( ) Z = R + Z Z + Z. Zopet si Th L L C poagajo z Matlabo >>ZT=/(/(+5j)+/(5j))-j. Rezultat je Z = 4, 5 j4 Ω. Th Napetost Thevenina dobio kot napetost ed sponkaa odklopljenega upora. porabiti orao določeno etodo reševanja tudi za izračun te napetosti. Vzeio za vajo etodo spojiščnih potencialov, pri kateri upoštevao, da ora biti vsota tokov v spojišče enaka nič: V g V g + I g + = V + = I g +. Z L R + Z L Z L R + Z L Z L 87

89 Metode reševanja 3 Rešitev z Matlabo: >> V=(-j+/5j)/(/5j+/(+5j)). Rezultat je V =(84-j,5)V. Z L Napetost Thevenina je Th = L + C = V I g Z R + Z Rešitev z Matlabo >> Th=V*5j/(+5j)-j*(-j). Rezultat je Th = (43+j3,5) V. Th Tok skozi upor R je torej I = = = ( + j ) R L 43 + j3,5 V Z + R 4,5 j4 + 5Ω Rezultat je enak kot z etodo Kirchoffovih zakonov. T C.,35 3,485 A. Poskusio še z etodo zančnih tokov (pri čeer je sedaj upor R odklopljen): Napetost Thevenina bo Th ( g ) L ( g )( C ) = J I Z + I Z. Tok J dobio iz zančne enačbe g ( ) ( ) + J R + Z + Z I R + Z =, od koder >> J=(+j*(+5j))/(+j) L L g L = ( ) in >> Th=(J-j)*5j-j*(-j) ( j, ) J, j 3, A Th = V. 3. TELLEGENOV STAVEK Tellegenov stavek pravi, da je vsota oči virov enaka vsoti oči breen. V obravnavane vezju bo oralo veljati * * g ( I 4) + ( V 3 V ) I g = I4 Z L + I3 Z L + I5 Z C + I R + I R. Izračunao z Matlabo: >> PV=.5**(-I(4))+.5*j*(V(3)-V()). Dobio ( ) S = 5, 5 j, 4 VA. virov Moč na breenih pa je >> PB=.5*(I(4)^*5j+I(3)^*5j+I(5)^*(-j)+I()^*5+I()^*). Dobio ( ) S = 5, 5 j, 4 VA. breen Vidio, da sta oči enaki, kar je tudi dober način preverjanja pravilnega rezultata analize vezja. Vprašanje: Zakaj so nožili z + sponke. * I 4 in ne z * I 4. Odgovor: Zato, ker orao upoštevati tok, ki izhaja iz 88

90 Metode reševanja 3 4. MAKSIMALNA MOČ O aksialni oči so že govorili v poglavju o oči (PONOVI). Zato tokrat bolj na kratko. Vzeio prier optiiranja upornosti R iz obravnavanega priera tako, da bo na nje (delovna) oč aksialna. Iz teorije veo, da bo to tedaj, ko bo upornost breena (upora) enaka absolutni vrednosti Theveninove upornosti, ki je Z = 4, 5 j4 Ω = 4,7 Ω. Maksialna oč pa bo >> Pax=Th*conj(Th)/(4*(5+4.7)) P b,ax = Th 36 W 4. ( R + Z ) Th Th Poleg uporabljene etode lahko uporabio tudi klasično analizo vezij za določitev aksialne oči. poraba prograov Matlab je dobrodošla tudi v prieru optiiranja eleentov, saj je izračunavanje (linearnih) sisteov enačb izredno hitro. Naredio preprost prograček, ki povečuje vrednost upora R od do Ω, vsakič izračunao toke in oč na uporu R ter na koncu izrišeo graf. Iz grafa ugotovio, da bo največja oč dejansko pri upornosti R ed in. Glede na natančnost izračuna, dobio aksiu pri vrednosti upora 5 Ω. Poleg tega odčitao aksialno oč približno 36 W. SLIKA: Moč na uporu R ia aksiu pri vrednosti, ki je enaka absolutni vrednosti Theveninove nadoestne upornosti. (Matlab: Moc_na_R.) % Progra v Matlabu za izris oči na uporu R P=[]; % prazen array for R=:: % povečuje upornost od do A=[,,,,;-,,,,;,-,,,;,,5j,-5j,;,R,- 5j,,-j]; % atrika b=[-j;;j;;]; I=inv(A)*b; % resitev tokov, I() je tok skozi upor R PR=.5*I().*conj(I())*R % izracun oci P=[P PR] % shranjevanje vrednosti oci v vektor P end plot(::,p) % izris xlabel('r / Oh') ylabel('moc na R / W') Moc na R / W R / Oh Vprašanja za obnovo: ) poštevanje sklopljenih tuljav pri analizi vezij. Tokovno kriljen napetostni vir. ) Metode reševanja vezij: način uporabe, prier. 3) Stavki: superpozicija, Thevenin/Norton, Tellegen, aksialna oč: prier uporabe. S»polovičko«pri izrazih za oč je potrebno biti vedno nekoliko previden. Včasih so oči izražene z efektivnii vrednosti, tedaj je izraz za oč brez polovičke, če pa so z aksialnii, pa je potrebno v izrazu upoštevati ½. 89

91 Metode reševanja 3 * REŠEVANJE BOLJ KOMPLEKSNIH VEZIJ S PROGRAMSKO OPREMO Prograi za analizo vezij, kot je na prier Spice, najpogosteje uporabljajo kar»preprosto«etodo Kirchoffovih zakonov, saj reševanje večjega sistea enačb za računalnike ni težava. Reševanje postane težavnejše, ko v analizi upoštevao kopleksnejše odele nelinearnih eleentov. Ti iajo lahko tudi odele, ki so opisani z več kot deset paraetri. Zaradi zahtevnosti določanja teh paraetrov, pogosto proizvajalci podajajo kar SPICE paraetre svojih izdelkov. SLIKA: Prier SPICE odela Schottky diode BQ (zaporna napetost V) proizvajalca International Rectifier.»Preprosto«diodo popišejo z nič anj kot 5 paraetri. 9

92 Transforator 4 4. TRANSFORMATOR Vsebina: Zapis enačb transforatorja kot dveh sklopljenih tuljav, napetostna prestava, povezava ed aksialni flukso in napetostjo, neobreenjen transforator in agnetilni tok, obreenjen transforator in ravnotežni tok, tokovna prestava, enačba agnetnega ravnotežja, ponazoritev tokov in napetosti na neobreenjene in obreenjene transforatorju s kazalci (kopleksorji), reducirane vrednosti (sekundarne napetosti, toka in ipedance breena), oč na priarju in breenu, vhodna ipedanca, realni transforator. SLIKA: Prier različnih tipov transforatorjev podjetja Ela TT. Osnovni inforaciji sta navidezna oč in dienzije transforatorja. Transforator je prier posebno zaniive električne naprave, ki jo lahko obravnavao kot posebno obliko vezja s sklopljenia tuljavaa (lahko tudi več sklopljenih tuljav). Zaniiv ni le teoretično, teveč predvse zaradi njegove pogoste uporabe. S transforatorje lahko zvišao ali znižao izenično napetost, prilagodio bree, ga uporabio za erjenja, kot ločilni transforator, itd.. Ne vsebuje gibljivih delov zato je njegova življenjska doba dolga, poleg tega pa z dokaj dobri agnetni sklepo oogoča relativno ajhne izgube pri pretvarjanju iz višje v nižjo napetost in obratno. 9

93 Transforator 4 V osnovi lahko transforator predstavio kot dvovhodno vezje s sklopljenia tuljavaa. Vhodna in izhodna stran sta v principu enakovredni, saj lahko z zaenjavo strani zvišao ali znižao izhodno napetost, ipedanco, tok. SLIKA: Transforator je naprava, ki ia dve navitji na skupne jedru iz feroagnetnega ateriala. Ločio priarno in sekundarno navitje. a) transforator v obliki dveh navitij na jedru, b) transforator predstavljen s koncentriranii eleenti in c) transforator kot dvovhodno vezje. V obliki koncentriranih eleentov ga lahko predstavio s sklopljenia tuljavaa. Vzeio idealno sklopljeni tuljavi s faktorje sklopa enak. Tedaj bo zveza ed lastnia induktivnostia navitij in edsebojno induktivnostjo sledeča: M = L L. Vhodno napetost na eni strani zapišeo kot = jωl I + jωm I. (4.) To stran boo ienovali priarna, drugo stran pa sekundarna. Priarna stran je običajno priključena na napajalno napetost (vir), sekundarna pa na bree. Ker so toka in pike označili tako, da se fluksa obeh tuljav podpirata, bo napetost na drugi strani (sekundarni) enaka = jωl I + jωm I. (4.) Če iz te enačbe izrazio vhodni tok, dobio I L = I. (4.3) jωm M Če sedaj to enačbo vstavio v prvo (4.), dobio: 9

94 Transforator 4 jωm L M = jωl I + jωm I (4.4) S preureditvijo dobio jωl L L = + jω M I jωm M (4.5) Ker pa je pri idealne sklepu (k = ) M = L L, je drugi člen enačbe (4.5) enak nič, in je L L L = = =. (4.6) M L L L Prideo do zaniivega zaključka, da je izhodna napetost odvisna le od razerja lastnih induktivnosti tuljav. Za te pa veo, da so sorazerne kvadratu ovojev, saj velja N L =, kjer je R R agnetna upornost tuljave in bo torej L N R N = = = = n (4.7) L N R N To enačbo lahko zapišeo tudi sao z aplitudai vhodne in izhodne napetosti: N = = n. N Dobili so nogi srednješolce znan izraz, da je razerje ed vhodno in izhodno napetostjo enako razerju števila ovojev n. Teu razerju rečeo tudi napetostna prestava. Prierdoločitve števila ovojev transforatorja: Na priarju s ovoji iao priključen generator izenične napetosti z aplitudo 3 V. Kolikšno število ovojev potrebujeo za sekundarno navitje, da bo aplituda izhodne napetosti 5 V? Izračun: N 5V 5, 6. = N = 3V NAPETOSTNA PRESTAVA IN MAKSIMALNI FLKS V JEDR 93

95 Transforator 4 Do izraza za napetostno prestavo lahko prideo tudi na nekoliko bolj preprost način, če predpostavio idealni transforator brez priključenega breena. Pote je inducirana napetost na dφ gl priarni strani enaka časovni spreebi agnetnega sklepa, torej ui = N, na sekundarni dt dφ u N dt gl pa i =. Če trenutne vrednosti napetosti izrazio z aksialnii (ali efektivnii), dobio N = = n. Pogosto se zapis inducirane napetost s spreebo fluksa izkoristi za N izpeljavo zveze ed inducirano napetostjo in flukso. Če izraz zapišeo s kopleksorji v obliki dφ = in predpostavio, da se glavni fluks spreinja haronično, bo kopleksor gl ui N dt inducirane napetosti na priarni strani = N jω Φ (4.8) i gl Fluks običajno zapišeo z aksialno vrednostjo, napetost pa z efektivno. V te sislu bo efektivna vrednost inducirane napetosti na priarni strani gl,ax i, ef = i, ef = Nπ f Φ = 4,44 fn Φ gl,ax. (4.9) Na enak način bi lahko zapisali za sekundarno stran i, ef = 4,44 fn Φ gl,ax Ti enačbi pogosto zasledio v učbenikih, pa tudi v priročnikih, saj lahko služijo oceni velikosti gostote agnetnega pretoka v jedru, to pa je poebno za pravilno dienzioniranje transforatorja. Enačba je»nerodna«le v toliko, da je inducirana napetost izražena z efektivno, fluks pa z aksialno vrednostjo. Prier določitve največje gostote polja v jedru: Enofazni 5 Hz transforator ia na priarni strani 5, na sekundarni pa 3 ovojev. Jedro ia presek 3 c. Določio največjo gostoto pretoka v jedru, če je transforator na priarni strani priključen na napetost 5 V (efektivno). Izračun: 5V 4, 44 5Hz 5 B 3c =,5T B =. Koentar: v sislu načrtovanja transforatorja bi orali sedaj preveriti, ali so pri ocenjeni vrednosti polja posegli v področje agnetilne krivulje, ki se približuje ali celo presega nasičenje. V te prieru lahko zaradi izrazite nelinearnosti induktivnosti v te obočju pričakujeo tudi nelinearno (popačeno glede na vhodni signal) izhodno napetost. Rešitev orao v te prieru iskati v prierni izbiri ateriala za jedro, večje preseku jedra,... 94

96 Transforator 4 MAGNETILNI TOK. Vrnio se še alo na naš zapis enačb transforatorja z lastnii in edsebojnii induktivnosti. Če so na sekundarni strani sponke odprte, teče na priarni strani tok I = = (4.) I. jω L Teu toku rečeo agnetilni tok, ki je očitno tok, ki povzroča fluks v jedru transforatorja. Ta tok je v fazi s flukso. OBREMENJEN TRANSFORMATOR Če na sekundarno navitje transforatorja priključio bree, rečeo, da je transforator obreenjen. Tedaj tok I ni več enak nič, pač pa je I = I b =. Sedaj boo ieli dva toka, ki Z b agnetita jedro. Celotna agnetna napetost bo torej (glede na označbe) vsota posaeznih agnetnih napetosti: Θ = N I + (4.) N I. Ta agnetna napetost bo neodvisna od breenskega toka, saj se priključena napetost in s te inducirana napetost na priarni strani (ki je v idealnih razerah enaka priključeni napetosti) ni spreenila. Nespreenjena agnetna napetost bo torej enaka Θ = N I, (4.) kjer je I agnetilni tok, ki so ga že določili ob odprtih sponkah na senkundarju. Veljati ora torej N I N I N I = + oziroa s preureditvijo ( ) N I I = N I. Razliko celotnega toka v priarju in agnetilnega toka ienujeo ravnotežni tok: I r = I I. To je tok, ki ora teči v priarne navitju poleg agnetilnega (saj je I = I + I r). Velja torej N I r N I. = (4.3) Ta tok bo očitno»držal ravnotežje«vplivu toka I na priarni strani, tako, da bo inducirana napetost nespreenjena. Povzeio: Če je transforator neobreenjen, je vhodni tok enak agnetilneu toku, ki je potreben za agnetenje (in razagnetenje jedra). Če pa je transforator obreenjen, je tok priarja vsota agnetilnega in ravnotežnega toka, pri čeer je agnetilni tok običajno dosti anjši od ravnotežnega: 95

97 Transforator 4 N I = I + I I = I. r r N 3 Ta poeben rezultat, da bo razerje tokov (približno) obratno sorazerno številu ovojev zapišio še enkrat: I I = (4.4) n Ta izraz ienujeo tudi tokovna prestava. Če upoštevao le absolutne vrednosti tokov, je enačba enaka le brez inusa: I I n =. Prier izračuna napetostne prestave: Idealni transforator je priključen na izenično napetost z efektivno vrednostjo 4 V in ia na sekundarju z napetostjo V (efektivno) priključeno 5 W žarnico. Določio napetostno prestavo, tok breena in tok priarja. Izračun: n N N = = =. 4V V I b Pb 5W I,5 A = = =,5A, I = b = =,65 A. V n Združeni enačbi (4.) in (4.) ienujeo tudi enačba agnetnega ravnotežja N I + N I = N I, (4.5) saj»pove«, da je v idealizirane transforatorju celotna agnetna napetost konstantna neodvisna od obreenitve. To pa tudi poeni, da je v idealne transforatorju glavni fluks v jedru neodvisen od obreenitve, enak je v prieru, ko je transforator neobreenjen kot tedaj, ko je obreenjen. Pri realne transforatorju se zaradi izgub glavni fluks pri obreenitvi celo nekoliko zanjša. 3 Negativen predznak pri tokovni prestavi se pogosto v literaturi ne pojavlja. Tu je posledica tega, da tokove pišeo s kopleksorji in da so označili tok I v nasprotni seri kot tok breena. 96

98 Transforator 4 PONAZORITEV TOKOV IN NAPETOSTI NA NEOBREMENJENEM IN OBREMENJENEM TRANSFORMATORJ S KAZALCI (KOMPLEKSORJI) Neobreenjen transforator: Običajno rišeo kazalce (kopleksorje) tako, da postavio kazalec glavnega fluksa v jedru v seri realne osi (predpostavio, da je kosinusna funkcija). Kazalec inducirane napetosti na priarju v skladu z enačbo = N jω Φ gl zaostaja za i π. Hkrati ugotovio, da je kazalec priključene napetosti pri neobreenjene transforatorju ravno π nasprotnega predznaka od inducirane napetosti: = i in torej prehiteva kazalec fluksa za. Magnetilni tok je v fazi z glavni flukso, saj je to tok, ki ta fluks povzroča. V skladu z napetostno prestavo je kazalec inducirane napetosti sekundarja enako userjen kot kazalec inducirane napetosti priarja, kar je hkrati tudi napetost na zunanjih sponkah sekundarja. Obreenjen transforator: Vzeio, da obreenio transforator z breeno induktivnega značaja. V te prieru tok I b zaostaja za napetostjo sekundarja za določen kot ϕ. Kot kopenzacija teče v priarju t.i. agnetilni tok, ki je nasprotnega predznaka glede na tok I in enakega kot I b. Tok priarja je sedaj vsota ravnotežnega in agnetilnega toka. SLIKA: Kopleksorji glavnega fluksa, priključene napetosti, induciranih napetosti in napetosti na breenu: a) neobreenjen transforator, b) obreenjen transforator. 97

99 Transforator 4 REDCIRANE VREDNOSTI NAPETOSTI IN TOKOV Za analizo delovanja se pogosto uporabljajo t.i. reducirane veličine, ki jih dobio na sledeči način: enačbo (4.5) delio z N in dobio enačbo oblike ' I + I = I, (4.6) kjer so zapisali tok ' I zapisali kot I = N I I =. Ta tok ienujeo reducirana vrednost ' N n sekundarnega toka, naen tega zapisa pa je predvse v te, da lahko tvorio preprosto nadoestno vezje z nereducirano priarno stranjo in reducirano sekundarno stranjo. Pri te je potrebno»reduciratni«tudi sekundarno napetost kot ' n =, pa tudi breensko upornost, saj velja Z ' ' b ' I = = n Z. b SLIKA: Nadoestna shea idealnega transforatorja prikazana z reduciranii vrednosti. MOČ Kopleksor oči na priarju je ( ) * * * * * S = I = I + I r = I I = S + S (4.7) Moč na breenu je anjša od oči na vhodu za jalovo oč agnetenja S. Le-ta pa je običajno dosti anjša od oči na breenu, torej bo veljalo S S (4.8) Kar poeni, da je v idealnih razerah oč breena enaka oči na vhodu. 98

100 Transforator 4 VHODNA IMPEDANCA TRANSFORMATORJA Vhodno ipedanco dobio iz kvocienta Z vh I =. (4.9) S preureditvijo osnovnih enačb transforatorja in ob predpostavki, da bo breenska upornost nogo anjša od induktivnih upornosti, bo I Z vh = = = n = n Z b I I I I b Z vh n Z b (4.) Rezultat, ki bi ga pričakovali tudi iz nadoestnega vezja idealnega transforatorja z reduciranii koponentai. REALNI TRANSFORMATOR Z ŽELEZNIM JEDROM Realni transforator se od idealnega razlikuje predvse po te, da pri upoštevao še ohske upornosti priarnega in sekundarnega navitja ter sipana agnetna pretoka priarne in sekundarne tuljave (tisti pretok, ki gre le skozi ovoje ene, ne pa tudi druge tuljave).to lahko v nadoestne vezju predstavio z ohskia upornostia ter induktivnostia v priarne (sekundarne) tokokrogu. SLIKA: Nadoestna shea realnega transforatorja z upoštevanje ohske upornosti priarnega in sekundarnega navitja in sipanih agnetnih pretokov priarne in sekundarne tuljave (navitja). 99

101 Transforator 4 Vprašanja za obnovo: ) Ponazoritev transforatorja kot dvopolno vezje s sklopljenia tuljavaa. ) Zapis enačb za analizo idealnega transforatorja. 3) Napetostna prestava. 4) Neobreenjen transforator. Magnetilni tok. Kaj je njegova»funkcija«. 5) Zveza ed flukso v jedru in napetostjo na priarju. 6) Obreenjen transforator. Ravnotežni tok. 7) Tokovna prestava. 8) Ponazoritev tokov in napetosti neobreenjenega in obreenjenega transforatorja s kopleksorji v kopleksni ravnini. 9) Enačba agnetnega ravnotežja. ) Vhodna in izhodna oč transforatorja. ) Vhodna ipedanca transforatorja. ) Izgube v transforatorju. 3) Nadoestno vezje idealnega in realnega transforatorja. DODATNO: OSNOVE DIMENZIONIRANJA TRANSFORMATORJEV V PRAKSI. Za optialno načrtovanje transforatorjev je potrebno upoštevati nogo dejavnikov, od katerih je najpoebnejša oč priarja, ki je določena s produkto toka in napetosti priarja 4 I, podana v VA. Pravilna izbira jedra bo odvisna od tega, da pri tej oči jedro še ne bo prišlo v nasičenje. V ta naen orao poznati vrednost gostote agnetnega pretoka v nasičenju oz. točko, do katere je agnetilna krivulja še razeroa linearna. Do prierne enačbe za potreben presek jedra prideo z noženje enačbe (4.9) z efektivni toko priarja. Dobio S = I = 4,44 fn Φ I = 4,44 fb A N I Φ, ef, ef, ef Fe, ef. S preureditvijo enačbe dobio aproksiativni izraz, ki je znan v praksi, to je, da je prierna površina preseka jedra približno A = C S / f (4.) Fe kjer je konstanta C odvisna od oblike transforatorja. Po praksi in izkušnjah je njena vrednost enaka 4 7 / Ws, kar pri gostoti T in frekvenci 5 Hz da znan aproksiativni izraz Afe S. v c Iz enačbe (4.) je razvidno, da je potreben presek jedra anjši pri višjih frekvencah. To je t.i. čisti presek jedra, ki ne upošteva površine lainacije, za določitev končnega (geoetričnega preseka) je potrebno upoštevati še t.i. polnilni faktor jedra. 4 Pogosto se pri dienzioniranju transforatorjev uporabljajo efektivne vrednosti tokov in napetosti. To so ugotovili že pri enačbi (4.9), kjer je bila inducirana napetost izražena kot efektivna vrednost, fluks v jedru pa kot aksialni.

102 Transforator 4 Tudi število ovojev priarja določio iz enačbe (4.9), ki jo zapišeo v obliki i, ef = 4, 44 fnbafe. Površino A Fe so določili iz (4.), gostota agnetnega pretoka je okoli do, T za vroče valjano silicijevo-železno pločevino. Za število ovojev sekundarja lahko upoštevao napetostno prestavo, v praksi pa lahko zaradi izgub upoštevao potrebno povečanje števila ovojev z noženje s faktorje,, do,. Potrebno površino prereza (preera) žice določio iz toka v priarne in sekundarne navitju S glede na še dopustno segretje navitja, ki je določeno z gostoto toka. Tok priarja je I,ef =,,ef gostota toka pa J I,ef =, od koder je A Cu A I,ef Cu =. Če vzaeo v praksi pogosto uporabljeno J vrednost gostote toka,55 A/, dobio za preer žice izraz, 5 I. Vir: F. Mlakar, I Kloar: Mali transforatorji in dušilke, Elektrotehniški vestnik, Ljubljana, 97. Dostopen v knjižnici FE. Še nedokončano. * IZVEDBE Mnogo transforatorjev je izdelanih tako, da iajo na sekundarju dva odcepa. Npr x5 V toroidni transforator pri 5 A (5 VA) ia na sekundarju dve navitji. Ti lahko vežeo vzporedno, kar oogoča toke do A vendar le napetost do 5 V ali pa zaporedno, pri čeer dobio na sekundarju napetost 5 V pri toku 5 A ali pa v prieru vezave sredinskega odcepa na ozeljitev napetost +5 V in -5 V. SLIKA: Prieri vezave transforatorja z odcepo na sekundarju. Vir: R. Elliott, Transforers Part II, IZGBE. Izgube v jedru zaradi histereznih in vrtinčnih tokov lahko predstavio z upornostjo R p, ki je vzporedna induktivnosti priarnega navitja L p. L predstavlja stresano induktivnost zaradi sipanja

103 Transforator 4 agnetnega polja (nepopoln agnetni sklep). R w so izgube zaradi upornosti navitja, C in C pa predstavljata kapacitivnosti ed posaeznii ovoji navitja. C p-s predstavljaa kapacitivnost ed priarni in sekundarni navitje, ki običajno predstavlja problee šua transforatorja. Toroidni transforatorji iajo v te oziru večje težave kot transforatorji iz E-I jedra. V prieru da je ta kapacitivnost velika, prenaša šue iz priarja (npr orežja) na sekundarno stran. SLIKA: Nekaj prierov feritnih jedr. Posebni transforatorji: avtotransforator, trifazni tranforatorji,... Viri na spletu:

104 Vrtilno agnetno polje 5 5. VRTILNO MAGNETNO POLJE SLIKA: Paroa dve tuljavi postavljeni pravokotno in napajani s toko, ki je v fazi preaknjen za pi/ povzročata v središču vrtilno agnetno polje s konstantno aplitudo. Vzeio prier dveh parov tuljav, ki sta postavljeni kot kaže skica in napajani s tokoa π ia( t) = I sin( ωt) in ib ( t) = I sin ωt + = I cos( ωt). Poglejo kakšno agnetno polje povzročajo tuljave v središču, ki ga obene označio kot središče koordinatnega sistea. Tuljavi s toko i A iata os v seri Y osi, tuljavi s toko i B pa iata os v seri X osi. Polje v osi tuljave (pa tudi izven osi) je sorazerno in v fazi s toko tuljave, torej sta polji B A(, t) = e yb.sin( ωt) in BB (, t) = exb.cos( ωt). Skupno polje je vsota obeh polj in je enako B = B A + BB = e yb.sin( ωt) + exb.cos( ωt). Poglejo, kolikšna je aplituda polja: B = B t + B t = B (.sin( ω )) (.cos( ω )) Aplituda tega polja je konstantna in torej neodvisna od časa, oziroa od kotne frekvence. In kakšna je ser polja? B sin( ωt) tan( α) = = tan( ωt) α = ωt. B cos( ωt) Ves čas konstantno veliko agnetno polje se vrti s konstantno kotno hitrostjo ω. PORABA VRTILNEGA MAGNETNEGA POLJA 3

105 Vrtilno agnetno polje 5 Asinhroni stroji delujejo na principu kratko sklenjene vrtljive tuljave (zanke) v vrtilne agnetne polju. V kratko sklenjeni tuljavici se pod vplivo časovne spreebe fluksa inducira napetost, ki požene t.i. kratkostični tok v tuljavi. Ta tok povzroča lastno polje tuljave. Veo, da na vodnike s toko deluje agnetna sila ( d F = Idl B) in navor T = r F. Za analizo vrtljivih delov tokovodnikov je bolj prieren izraz za navor na agnetni dipolni oent tuljavice = enia, ki je T = Bvrt. Na tuljavico torej deluje navor, ki zavrti zanko. Ker agnetni oent nastaja pod vplivo toka v zanki, ta je pa posledica inducirane napetosti v tuljavi (ki zaostaja za toko, ki tvori vrtilno agnetno polje), se vrteča tuljavica vrti počasneje kot vrtilno agnetno polje. Teu rečeo asinhrono ali nesočasno vrtenje. Asinhroni stroji so predvse otorji, lahko pa so tudi generatorji. V slednje prier se oa tuljavica vrteti hitreje od vrtilnega polja, ki ga dobio v stacionarnih tuljavah. SLIKA: Navor na kratko sklenjeno tuljavico v vrtilne agnetne polju povzroča vrtenje zanke. Hitrost vrtenja zaostaja za hitrostjo vrtenja agnetnega polja. SINHRONI STROJI. Poleg asinhronih otorjev poznao tudi sinhrone otorje. Pri teh je na rotorju trajni agnet ali pa ia dodatno navitje, ki je napajano z enoserni toko (elektroagnet). Tak rotor se vrti sinhrono z vrtilni agnetni polje. Zopet bi lahko upoštevali zapis za navor T = Bvrt. Sinhrone otorje uporabljao predvse kot generatorje. V te prieru agnetni dipolni oent prehiteva vektor vrtilnega agnetnega polja. Kot otorje jih uporabljao za kopenzacijo jalove oči. Se pa ti otorji ne orejo vzbuditi sai, zato iajo na rotorju dve navitji, 4

106 Vrtilno agnetno polje 5 eno kratkostično, ki je potrebno pri zagonu in eno navitje, ki ga napajao z enoserni toko. Ko vklopio ta tok, potegne rotor v sinhronize z»zunanji«vrtilni polje. SLIKA: Prier trajektorije vrtilnega agnetnega polja, ki ga dobio s preprostii ukazi v Matlabu. Poskusite spreinjati aplitudo in fazo posaeznega toka (polja). Na zaslonu dobio različne oblike elips. % prikaz trajektorije vrtilnega polja s prograo Matlab ot=:.:*pi; % kotna hitrost Bx=*sin(ot); By=*cos(ot) plot(bx,by) axis equal % Bolj dovršen progra v Matlabu, ki riše trajektorijo gibanja: % Definicija tocke, ki se rise na zaslonu tocka=line('xdata',[],'ydata',[],'arker','o','arkersize',8,'arkerfacecolor','b'); % Definiranje polj t=[:.:4*pi]; x=zeros(,length(t)); y=zeros(,length(t)); 5

107 Vrtilno agnetno polje 5 % Enacbe, ki i predstavljajo gibanje elektrona v agnetne polju v vseh treh koordinatah x=.5*sin(t); y=*cos(t); % prikaz na zaslonu grid; axis([in(x) ax(x) in(y) ax(y)]); axis equal xlabel('x / '); ylabel('y / '); % izris koordinat gibajoce tocke i=; while i=i+; set(tocka,'xdata',x(i),'ydata',y(i),'eraseode','xor'); % set(tocka,'xdata',x(i),'ydata',y(i),'eraseode','none'); for j=:5; j; end; drawnow; if i>length(t)-; i=; end end 6

108 Trifazni sistei 6 6. TRIFAZNI SISTEMI Vsebina poglavja: siste trifaznih napetosti, zapis faznih napetosti, efektivne vrednosti in prikaz kopleksorji. Fazne in edfazne napetosti. Vezava breena v trikot, vezava breena v zvezdo z ali brez ničelnega vodnika. Potencial zvezdišča. Sietrično in nesietrično bree.equation Section 6 Spoznali so že prier dvofaznega sistea pri vrtilne agnetne polju, ki sta ga ustvarjala dva para prečno postavljenih tuljav s fazno zaaknjeni toko za ¼ periode. gotovili so, da bi tako ustvarjeno vrtilno agnetno polje ustvarjalo navor na kratko sklenjeno vrtljivo tuljavico in njeno vrtenje (laboratorijske vaje). Vrtenje tuljavice bi dosegli tudi, če bi vrtljivo tuljavo napajali s konstantni toko. V prve prieru dobio asinhrono vrtenje (tuljava se vrti z anjšo frekvenco kot je frekvenca vzbujanja), v druge pa sinhrono (frekvenca vrtenja je enaka frekvenci vzbujanja). Možen pa je tudi obraten postopek: da se vrti agnet ali vrtljiva tuljava napajana z enoserni toko, v stranskih tuljavah pa se inducirajo napetosti, ki so fazno zaaknjene v skladu z lego tuljav. V že obravnavane prieru bi dobili inducirane napetosti na tuljavah, ki bi bile fazno zaaknjene za četrtino periode. Z ustrezno priključitvijo dobio dvofazni siste napetosti. Na podoben način, le z uporabo treh parov navitij na fiksne delu (statorju) okoli vrtečega dela (rotorja) z (elektro)agneto, dobio trifazni siste napetosti. Za vrtenje rotorja uporabio recio vodno energijo (hidroelektrarne). Že Nikola Tesla je ugotovil, da ia trifazni siste kar nekaj prednosti pred enoserni, ki ga je v začetne obdobju elektrifikacije prooviral Edison. Glavna prednost trifaznega sistea je bila lažji prenos energije na večje oddaljenosti, ki je bil v prieru Edisonovega enosernega zaradi Ohskih izgub na»orežju«praktično oneogočen in oejen le na krajše razdalje. Poleg tega večfazni sietrični sistei oogočajo dodatno zanjšanje količine ateriala, saj lahko en vodnik uporabio skupno (povratni ali ničelni vodnik). V prieru, da je na sietrični trifazni siste generatorjev priključeno sietrično trifazno bree, je vsota vseh faznih tokov v skupno spojišče enaka nič, kar poeni, da v ničelne vodniku ni toka. V take prieru bi lahko ta vodnik»izpustili«, lahko pa ga obdržio za prier, ko bree ni popolnoa sietrično. V take prieru bo tok v ničelne vodniku različen od nič, vendar običajno še vedno anjši od tokov v faznih vodnikih. Preer ničelnega vodnika je v takih prierih lahko anjši od faznih vodnikov. SISTEM TRIFAZNIH NAPETOSTI V poglavju o vrtilne polju so spoznali, da je le-ta posledica kriljenja sistea zasukanih tuljav s fazno zaaknjeni toko. gotovili so, da to polje oogoča vrtenje trajnega agneta ali kratkostične tuljavice, kar je osnova za razuevanje delovanja otorjev. Reži otorja lahko tudi obrneo. Če naesto vzbujanja tuljav s toko vrtio rotor, se bo v tuljavah inducirala napetost. Če so tuljave zaanjene za določen kot, boo dobili več virov napetosti s fazni zaiko določeni z koto zaika tuljav. Če iao siste treh tuljav zavrtenih za kot o, dobio na izhodu tuljav napetosti, ki so fazno zaaknjene za kot o. 7

109 Trifazni sistei 6 Slika: Postavitev tuljav in generacija faznih napetosti. Glej še: ZAPIS FAZNIH NAPETOSTI V prieru trifaznega sistea boo na sponkah parov tuljav, ki zajeajo šestine oboda statorja, dobili napetosti: u = cos( ωt + α), π u = cos ωt + α, 3 π u3 = cos ωt + α +. 3 (6.) Trifazni siste s taki zaporedje faz ienujeo pozitiven, saj se kopleksorji napetosti izenjujejo v seri urinega kazalca. V nasprotne prieru iao opravka z negativni trifazni sisteo. Mi boo obravnavali na strani generatorjev le sietrične trifazne sistee, to so taki, katerih aplituda vseh treh virov je enaka, faze pa so zaaknjene za π. 3 SLIKA: Trifazni siste prikažeo kot tri generatorje z enako aplitudo in fazni zaiko za /3 π periode. Prikazana je vezava v»zvezdo«, pri kateri vežeo negativne sponke v skupno 3 točko, ki jo ozeljio. 8

110 Trifazni sistei 6 EFEKTIVNE VREDNOSTI IN PRIKAZ S KAZALCI (KOMPLEKSORJI). Pogosto si pri analizi vezij s trifaznii sistei poagao s kazalčnii diagrai (kopleksorji), kjer običajno naesto aplitud napetosti in tokov uporabljao efektivne vrednosti. Razlog je preprosto v te, da sta v energetiki prenos in poraba oči izredno poebni, ti pa sta direktno povezani z efektivnii vrednosti signalov. Za kopleksor napetosti haroničnega signala v poljubni fazi bo torej efektivna vrednost napetosti enaka = = /. ef Za kot α (glej fazne napetosti (6.)) si lahko izbereo poljubno vrednost, saj gre v principu za π časovno vrtenje treh fazno zaaknjenih kazalcev. Mi si boo izbrali α =, lahko pa bi izbrali tudi drugače (pogosto je v uporabi tudi α = ). V prieru vezave v zvezdo je ed ničelni vodniko in fazni vodniko t.i. fazna napetost, torej bi lahko pisali tudi = f. Na vse sta znani fazna (efektivna) napetost 3 V in edfazna (efektivna) napetost 4 V, ki jo dobio iz doače vtičnice. Kopleksorji napetosti bodo torej π j j9 f f f = e = e = j (6.) j j 3 6 f f f j3 = e = e = e (6.3) 3 f π π j + 3 f j5 = e = e (6.4) Najlepše to prikažeo na sliki, kjer so kazalci zarotirani za π / 3(za ). SLIKA: Kazalčni diagra faznih napetosti sietričnega pozitivnega trifaznega sistea. Pogosto potrebujeo tudi zapise napetosti v obliki realnega in iaginarnega dela. Tedaj pišeo = j f 3 = f j 3 3 = f j (6.5) 9

111 Trifazni sistei 6 MEDFAZNE NAPETOSTI Pogosto se trifazne vire priključuje na bree tudi tako, da se uporabi edfazne napetosti. Te dobio tako, da priključio bree ed sponke faznih napetosti. Mateatičo jih dobio z odštevanje kopleksorjev faznih napetosti, kot na prier = = j f f j f j 3 f j f e = = = (6.6) o j = 3 = j j = 3 = f f f (6.7) = 3 = f j j f = 3 f j = f e o j (6.8) Prikažio edfazne napetosti še v kopleksni ravnini. Tu dobio kopleksor edfazne napetosti preprosto z odštevanje kazalcev dveh faznih napetosti. SLIKA: Prikaz faznih in edfaznih napetosti v kopleksni ravnini. Tako iz ateatičnega zapisa edfaznih napetosti, kot iz prikaza v kopleksni ravnini, lahko ugotovio, da so edfazne napetosti za 3 večje od faznih ( = 3 ), kar lahko s prido izkoriščao npr. za povečanje oči na breenu. V drugih prierih pa lahko s tako vezavo uničio napravo, ki je naenjena priključitvi le na fazne napetosti. f f

112 Trifazni sistei 6 VEZAVA BREMEN Najpogosteje se uporabljata dva načina vezave breen na trifazni siste. Poienujeo ju vezava v trikot in vezava v zvezdo. V prve prieru ločio še vezavo v zvezdo z ničelni vodniko in brez ničelnega vodnika. Pri vezavi v trikot uporabio za priklop breena edfazne napetosti in ničelnega vodnika ne potrebujeo. VEZAVA BREMENA V ZVEZDO Z NIČELNIM VODNIKOM Ta vezava je orda najbolj enostavna za obravnavo, saj je vsako od breen priključeno na eno od faznih napetosti. Fazni toki so zato I I I = = Y Z = = Y Z = = Y Z 3 (6.9) Vsota faznih tokov je enaka toku v ničelne vodniku I = I + I + I 3 (6.) Moč breena je enaka vsoti oči posaeznih faznih breen S = S + S + S 3, (6.) pri čeer lahko posaezno oč določio z že znanii zvezai. Npr, oč v fazi je 5 * * S = I = I Z = Y (6.) SLIKA: Vezava breena na trifazni siste v vezavi zvezda z ničelni vodnika. 5 Pri zapisu enačb za oč so upoštevali (kot je v navadi pri obravnavi trifaznih sisteov) efektivne vrednosti tokov in napetosti. V prieru obravnave z aksialnii vrednosti je potrebno izraze ponožiti z,5.

113 Trifazni sistei 6 Prier izračuna delovne oči trifaznega breena: Trifazno bree, ki ga sestavljajo ipedance ( ) Z = Ω, Z = 5 + j5 Ω, Z = j Ω priključio na trifazni siste 3/4 V v vezavi 3 v zvezdo z ničelni vodniko. Določio delovno oč breena. Izračun: Delovno oč lahko izračunao na enak način, kot so že spoznali pri enofaznih sisteih. Zopet iao na razpolago dva načina. Pri prve uporabio zvezo P = I cos( ϕ), pri druge pa { } Re{ * } P = Re S = Y. V fazi iao le upor, oč na nje je (3V) P = = 59W. Za Ω 4 oč na breenu v fazi zapišeo ipedanco Z = 5 e j Ω in π * j 4 Y = e S = + j S. Realni del konjugirane aditance je zopet / Ω, 5 5 torej bo oč breena v fazi jalova oč). Vsota vseh delovnih oči je torej 58 W. Dodatno: Določio navidezno oč na breenu: (3 V) P = = 59 W. Delovna oč v fazi tri je enaka nič (je le Ω π (3 V) S = = 59 VA Ω S (3 V) = = 59( + j) VA Ω 45 5 e j S 3 = (3 V) j59 VA j Ω = S = 58VA

114 Trifazni sistei 6 Prier izračuna toka v ničelne vodniku: Za podatke iz prejšnjega priera določio tok v ničelne vodniku. Izračun: Tok v ničelne vodniku je enak vsoti posaeznih faznih tokov I = I + I + I 3. Izračunati orao torej vsak fazni tok posebej in jih sešteti: I j3v = = = Z Ω j,3a j3 3e V ,5 j = = = j A (,84-3,4) A Z 5 e Ω I e j j5 3 3e V 6 3 9,3 j = = = j A (,5 - ) A Z 3 e Ω I e j I = I + I + I 3 ( j,83) A VEZAVA BREMENA V ZVEZDO BREZ NIČELNEGA VODNIKA Iz prejšnjega priera ugotovio, da tok v ničelne vodniku ni enak nič. Zakaj ni enak nič oziroa kakšna breena bi orali ieti priključena, da bi bil enak nič? Odgovori si sa! Kaj pa, če ničelnega vodnika ni, ali pa recio izpade? Kakšne bodo razere v te prieru? Ali bo delovna oč še vedno enako velika? SLIKA: Vezava breena v zvezdo brez ničelnega vodnika. POTENCIAL ZVEZDIŠČA. Razere na breenu vezane v trikot brez ničelnega vodnika lahko analizirao s poljubno etodo analize vezij. Najpreprosteje kar z etodo spojiščnih potencialov. En potencial ozeljio, običajno tistega na strani spojišča generatorjev, potencial drugega pa določio iz pogoja, da ora biti vsota vseh faznih tokov enaka nič: 3

115 Trifazni sistei 6 I + I + I 3 = (6.3) Slika: Vezava v zvezdo brez ničelnega vodnika. Te toke izrazio s tokovi skozi posaezne ipedance breena S preureditvijo dobio od koder je * * * ( ) ( ) ( ) V Y V Y V Y = (6.4) * 3 3 ( ) V Y + Y + Y = Y + Y + Y, (6.5) V Y + Y + Y = Y + Y + Y * (6.6) Teu potencialu rečeo potencial zvezdišča. Če je ničelni vodnik priključen, je seveda potencial zvezdišča enak nič in predstavlja točko v središču kopleksne ravnine. V nasprotne prieru pa se ta točka preakne v neko drugo točko, napetosti na eleentih pa so določene iz razlike faznih napetosti in potenciala zvezdišča: Z * = V (6.7) Z * = V (6.8) Z 3 3 * = V (6.9) Ko izračunao napetosti na ipedancah breena, je pot do izračuna tokov ali oči na eleentih preprosta. 4

116 Trifazni sistei 6 SLIKA: Preik potenciala zvezdišča ob odklopu ničelnega vodnika in kopleksorji napetosti na eleentih breena. Prier izračuna potenciala zvezdišča: Določio potencial zvezdišča in oči na eleentih breena iz priera vezanih v zvezdo, če je ničelni vodnik odklopljen. Izračun: Poiščeo potencial zvezdišča: V V * 3 3 * j3 j5 j3v 3e V 3e V + + j + e + e Y + Y + Y j45 j9 Ω = = 5 e Ω e Ω = 3V Y + Y + Y 3 j e + j j45 j9 Ω 5 e Ω e Ω = ( j,6) V j75 j6 Moči na posaeznih breenih so torej Matlab: S=abs(3*(sqrt(3)/-.5j)-(--.6j))^/(5-5j) * * S = V Y = j3 ( j, 6) = 33, 9 VA Ω * * 3 S = V Y = 3 j ( j, 6) V 485,3( j) VA = + (5 j5) Ω * * 3 3 S 3 = 3 V Y = 3 j ( j, 6) V = j37, 65 VA j Ω gotovio lahko, da so se oči na eleentih breena spreenile. Navidezna oč je sedaj S (79 + j67, 7) VA, torej je delovna oč enaka 79 W, kar za 6,5 % več kot pri priključitvi z ničelni vodniko. Koentar: gotovio lahko, da se napetosti na posaeznih eleentih breena lahko precej spreenijo ob izklopu ničelnega vodnika. To lahko predstavlja tudi proble v prieru, da napetost na eleentu (ali pa oč) preseže dovoljeno vrednost. 5

117 Trifazni sistei 6 VEZAVA BREMENA V TRIKOT Pri tej vezavi so eleenti breena priključeni na edfazne napetosti. V tej vezavi torej niao ožnosti uporabe ničelnega vodnika. Napetosti na posaeznih eleentih breena so za 3 večji od faznih napetosti: = 3. Toki skozi posaezne ipedance so torej določeni z edfaznii napetosti, npr: I =, I =, I = Z Z 3 Z 3 Fazni toki pa so razlike teh tokov, npr: I = I I 3, itd. f f Slika: Vezava breena v trikot (dva različna načina prikaza). Desno: Prikaz edfaznih napetosti s kopleksorji. 6

118 Trifazni sistei 6 Prier izračuna navidezne oči za bree vezano v vezavi trikot: Zopet vzeio eleente Z = Ω, Z = 5 + j5 Ω, Z = jω in ga v vezavi trikot breena iz priera : ( ) 3 priključio na trifazni siste 3/4 V. Določio navidezno oč breena. Izračun: Zopet vzeio forulo * Y S =, pri čeer so sedaj eleenti breena na edfazni napetosti, ki je za 3 večji od faznih, razlika v izračunu navidezne oči v prve prieru in te prieru so le v večji edfazni napetosti. Ker je za oč poeben kvadrat napetosti, bo oč v vezavi trikot za 3x večja od tiste pri vezavi v zvezdo z ničelni vodniko. S = 3 S ϒ. S ( 3 3 V) (3 V) = = 3 = 587 VA, itd.. Ω Ω S = 3 58VA SIMETRIČNO BREME Sietrično bree je posebno prierno tedaj, ko niao na razpolago ničelnega vodnika, saj ga v prieru sietričnega breena niti ne potrebujeo (tok v ničelne vodniku je enak nič). V prieru sietričnega breena (vse ipedance v posaeznih fazah (ali edfazah) so enake) bodo breenski toki zaostajali ali prehitevali fazne ali edfazne napetosti za isti fazni kot. To lahko prikažeo v kopleksni ravnini. SLIKA: Prikaz napetosti in tokov v kopleksni ravnini pri sietrične trifazne breenu. Trenutne oči na posaeznih eleentih breena so: p ( t) = I cos( ωt) cos( ωt + β ) π π p( t) = I cos( ωt ) cos( ωt + β ) 3 3 π π p3( t) = I cos( ωt + ) cos( ωt + β + ) 3 3 Celotna oč je vsota vseh treh oči: p( t) = p ( t) + p( t) + p3( t). Z upoštevanje zveze cos( α) cos( β ) = [ cos( α β ) + cos( α + β )] dobio poeben rezultat: 7

119 Trifazni sistei 6 3 p( t) = I cos( β ). Pri sietrične breenu (ipedance v vseh fazah enake) je trenutna oč konstantna. Torej precej različna od enofaznega sistea, ko trenutna oč niha z dvojno frekvenco vira. Poglejte si časovne poteke oči na grafih za različna breena na naslednji strani. Vprašanja za obnovo: ) Kako realizirao siste dvofaznih ali trifaznih napetosti? ) Zapišite časovni potek napetosti trifaznih generatorjev. 3) Pozitiven in negativen trifazni siste. 4) Prikaz trifaznih napetosti s kazalci: fazne in edfazne napetosti. 5) Vezava breen: a. Zvezda z ničelni vodniko b. Zvezda brez ničelnega vodnika c. Trikot 6) Napetost na breenih, fazni tok in tok skozi bree, oč na breenu pri posaezni vezavi. 7) Napetost zvezdišča. 8) Sietrično bree. Trenutna oč. Kolokvijske in izpitne naloge:. kolokvij.4.,izpit, 9. januar 6, izpit, 3. junij 5 kolokvij, 6. junij 4, izpit, 4. junij 4, Izpit,. arec 6 Izpit,. 6., Izpit. 6. 5, Izpit izpit, 4. februar 5, Izpit, 8. avgust 6, Izpit, 5. septeber 6 Izpit, 5. septeber 6, izpit, 6. aprila, izpit 3. junija 6 Izpit 6. 6., Izpit,.. 3 8

120 Trifazni sistei 6 PRIMERI ČASOVNIH POTEKOV MOČI NA RAZLIČNIH TIPIH BREMEN SLIKA: Na trifazni siste je priključeno bree z vezavo v zvezdo z ničelni vodniko. Levo zgoraj) Bree je sietrično in ohsko, Desno zgoraj) bree je sietrično in induktivnega značaja: π j 6 Z = Ze, Levo spodaj) bree je sietrično in čisto induktivno in Desno spodaj) bree je nesietrično. Trenutna oč na posaezne eleentu breena niha z dvojno frekvenco vira (prikazana s črtkanii črtai), celotna trenutna oč breena je vsota trenutnih oči na posaeznih eleentih (polna črta). Na zgornjih dveh grafih je trenutna oč breena konstantna (največja je v prieru čisto ohskega breena), v prieru sietričnega čisto induktivnega breena je delovna oč enaka nič, v prieru nesietričnega breena trenutna oč niha z dvojno frekvenco osnovnega signala (toka ali napetosti) in ni časovno konstantna. 9