Izmenični signali kompleksni račun

Transcript

1 zenicni_signali-kopleksni_racun(8).doc /7.6.6 zenični signali kopleksni račun Kopleksni račun e poebno orode za analizo vezi z izeničnii haroničnii signali. V osnovi diferencialne enačbe lahko z uporabo kopleksnega računa»prevedeo«na preproste algebraične. V veliko pooč na bo tudi grafičen prikaz s t.i. kazalci v kopleksni ravnini. Eulerev obrazec. zhaao iz Eulerevega obrazca e iα = cos( α) + i sin( α) (8.) i e iaginarno število in e enako. V elektrotehniki ga nadoestio s črko preprosto zato, da ga ne zaenao s toko. Kopleksno število. Kopleksno število ia realni in iaginarni del. Običano kopleksna števila označio s črtico pod črko. Prier takega števila e npr. Z = + 3. e realni del, 3 pa iaginarni del kopleksnega števila. Tega lahko prikažeo v kopleksni ravnini kot točko s koordinataa na realni in iaginarni osi (, 3). Še bol pogosto tako število prikažeo s kazalce - kopleksore. Pogosto zapišeo kopleksno število tudi v polarni obliki, z aplitudo in fazni koto. Vzeio, da iao kopleksno število e{ } { } Z = Z + Z = X + Y. Narišio ga s kazalce (kopleksore) v kopleksni ravnini. Za polarno obliko zapisa potrebueo aplitudo kopleksora in fazni kot. Vela Y Z = X + Y, fazni kot pa e ϕ = Arctg X. Kopleksno število Z = + 3 lahko tore zapišeo tudi v obliki 3, 6e 56 naza na realni in iaginarni del prideo z uporabo Eulerevega obrazca.. z polarnega zapisa SKA: Prikaz kopleksnega števila v kopleksni ravnini. ahko ga s kazalce, poda z realni in iaginarni delo, ali pa z aplitudo in fazni koto.

2 zenicni_signali-kopleksni_racun(8).doc /7.6.6 Zapis časovnega signala s kopleksore. S poočo Eulerevega števila lahko zapišeo poluben haroničen signal, pri čeer pa poleg realnega dela pridobio še iaginarni del. Vzeio prier tokovnega signala oblike it () = cos( ωt)a. Ta tok lahko zapišeo z upoštevane Eulerevega obrazca kot it ( ωt ωt) ( ) = cos( ) + sin( ) A. Tak kopleksen zapis toka seveda nia posebnega fizikalnega poena. Fizikalno ia poen le negov realni del, tore { } { } ( ) it ( ) = e it ( ) = e cos( ωt) + sin( ωt) A = cos( ωt)a. Vzeio seda bol splošen zapis toka it () = cos( ωt+ ϕ) in ga zapišio z upoštevane Eulerevega obrazca kot () ( cos( ω ϕ) sin( ω ϕ) ) ( ω + ϕ) ϕ ω ω i t t t e e e e t t t = = = =. Tvorili so kopleksor haronične funkcie = e ϕ, ki opisue aplitudo in fazo (fazni kot) toka, kar pa e tudi popolna inforacia o toku v vezu. Frekvenca signala se nareč pri linearnih vezih, ki ih tu obravnavao, ne spreina. Dovol bo tore, da boo poznali le aplitudo in fazo (fazni kot) signala, seveda relativno na druge signale v vezu, če pa bi nas zanial trenutni (časovni) potek signala, kopleksor ponožio s členo t e ω in upoštevao le realni del. Prier : Tok it ( ) 3cos( ωt 3 )A = + se razdeli v dve vei. Kolikšen e tok v drugi vei, če e v prvi vei tok enak i t () cos( ωt 45)A =? zračun: Tokove zapišeo kot kopleksore 3 = 3e A, = e in ker ora biti vsota vseh 45 A tokov v spoišče enaka nič, bo to velalo tudi za kopleksore =. Tore lahko zapišeo e A e A 3(cos(3 ) sin(3 ))A+(cos( 45 ) sin( 45 ))A = = + +. ( ) =,6 +,5, 44 -, 44 =,8 +,9 = 3,5e A. Če želio zapisati tok v drugi vei v časovni obliki, ponožio kopleksor z { } { } ωt ωt+ 67,9 t e ω in vzaeo realni del signala i t = e = e = t+. 67,9 ( 67,9 ) ( ) e 3,55 A e e 3,5 A 3,5cos( ω 67,9 )A Prikažio to še v kopleksni ravnini. Kot vidio lahko v kopleksni ravnini rišeo posaezne kopleksore in ih seštevao ali odštevao na enak način kot vektore.

3 zenicni_signali-kopleksni_racun(8).doc 3/7.6.6 SKA: Prier seštevana dveh kopleksorev v kopleksni ravnini. Princip e enak kot pri seštevanu vektorev. Kopleksori toka in napetosti na eleentih veza. Kako si tore poagao s kopleksni računo pri analizi vezi s haroničnii signali? Pogleo si zveze ed toka in napetosti na eleentih veza: UPO: Vzeio it () = cos( ωt), kopleksor bo kar = e =. Napetost na uporu bo ut () = it () = cos( ωt) oziroa kot kopleksor napetosti U =. Ponovno vidio, da sta kopleksora toka in napetosti na uporu v fazi. SKA. TUJAVA: Vzeio zopet it () = cos( ωt) s kopleksore = e =. Ugotovili so že, da napetost na tulavi prehiteva tok za čertrino periode in bo tore enaka ut () = ωcos ωt+. Če ta signal zapišeo kot kopleksor, dobio U = ωe = ω, kar v splošne zapišeo v obliki U = ω (8.) S prikazo v kopleksni ravnini ponovno ugotovio, da napetost prehiteva tok za četrtino periode signala. SKA. KONDENZATO: Vzeio zopet it () = cos( ωt) s kopleksore = e =. Ugotovili so že, da napetost na tulavi zaostaa za toko za čertrino periode in bo tore enaka ut () = cos ωt. Če ta signal ωc

4 zenicni_signali-kopleksni_racun(8).doc 4/7.6.6 zapišeo kot kopleksor, dobio U = e = =, kar v splošne zapišeo v ωc ωc e ωc obliki U = (8.3) ωc S prikazo v kopleksni ravnini ponovno ugotovio, da napetost zaostaa za toko za četrtino periode signala. SKA. Kirchoffova zakona s kopleksni zapiso. Pri enosernih vezih e za K.Z. velalo k = k =, kar bi pri izeničnih lahko zapisali v obliki t ik cos( ωt+ ϕk) = oziroa izraženo s kopleksni zapiso e{ e ω k } =, kar bo velalo, k = če bo k = Podobno bi lahko pokazali, da za drugi K.Z. vela k = k = (8.4) n U =. (8.5) = Tore e uporaba Kirchofovih zakonov velavna tudi pri zapisu signalov s kopleksori. Poebni so tore le aplitude in fazni koti posaeznih signalov. Prier : Na haronični napetostni vir aplitude V in frekvence Hz priklučio bree (otor), ki ga predstavio z zaporedno vezavo tulave z induktivnosto 35 H in upornosto Ω. Določio tok v veze,napetost na uporu in napetost na tulavi. zračun: napetostni signal lahko v časovni obliki zapišeo kot ut ( ) = cos( ωt) V, kar zapišeo s kopleksore kot U = V. Napetost generatora bo enaka napetosti na uporu in tulavi, kar v g kopleksne zapišeo kot U g = U + U. Napetosti na uporu in tulavi izrazio s toko in dobio U = + ω. Kopleksor toka bo tako g = + U g ω. zračunao

5 zenicni_signali-kopleksni_racun(8).doc 5/7.6.6 V = = ( ) = e Ω + 6, 4Ω ( ),4cos( ωt 65,9 )A it ,7,38 A, 4 A. Tok v časovne zapisu bo tore - 65, =. Napetost na uporu bo U = = Ω, 4e A=4,9e V oziroa u t = t, na tulavi pa ( ) 4,9cos( ω 65,9 )V , U = ω = 6, 4e Ω,4e A =,8e V ali pa v obliki časovnega signala u t = t+. ( ),8cos( ω 4, )V pedanca in aditanca Vzeio poluben tokovni signal v dvopolno veze oblike it ( ) = cos( ωt+ ϕ ), ki ga opišeo s i kopleksore i = e ϕ. Na zunanih sponkah povzroča padec napetosti oblike u ut () = Ucos( ωt+ ϕ ), ki ga opišeo s kopleksore U = Ue ϕ. Kvocient koplesorev napetosti u in toka ienueo ipedanca ali kopleksna upornost (včasih rečeo tudi polna upornost): U Z =. (8.6) Vela Ue U = = =. e ϕu ( ϕu ϕi) ϕ Z e Ze ϕi pedanca e kopleksno število. Absolutna vrednost ipedance e kvocient ed aplitudo napetosti in toka, arguent pa e razlika ed faznia kotoa napetostnega in tokovnega signala. nverzna ipedanci e aditanca ali kopleksna prevodnost Y = Z = U, (8.7) ki o tudi lahko predstavio kot ϕ ϕ Y = e = Ye. Z Zapišio kopleksne upornosti in prevodnosti za posaezne eleente veza pedanca Aditanca Upor G Tulava ω ω

6 zenicni_signali-kopleksni_racun(8).doc 6/7.6.6 Kondenzator ωc ω C Zaporedna in vzporedna vezava ipedanc in aditanc. Če so ipedance vezane zaporedno, ih lahko seštevao tako, kot so seštevali zaporedno vezane upornosti pri enosernih vezih Z = Z + Z + Z + (8.8) zaporedno 3... Enako lahko seštevao tudi vzporedno vezane kopleksne prevodnosti Y = Y + Y + Y + (8.9) vzporedno 3... Prier : Določio ipedanco zaporedno vezanega upora = Ω in kondenzatora C = µf pri frekvenci ω = khz. zračun: Ker iao zaporedno vezavo, pišeo Z = + = Ω+ Ω= 3 6 ( 5) Ω ωc. Dobio realni in iaginarni del ipedance, ki o lahko predstavio v kopleksni ravnini. Določio lahko še aplitudo in fazo 5 ipedance kot Z = + ( 5) Ω = 5Ω in fazni kot ϕ = Arctg = 78,7. Prier : Določio aditanco vzporedne vezave upora in tulave iz prešnega priera. zračun: Tokrat seštevao prevodnosti, rezultat bo Y = G+ ωc, številčno pa ( ) -,3 Y =,S +,S =, +, S=, e S Prier 3: Tok v veze vzporedne vezave kondenzatora in upora iz priera e it 3 ( ) cos( s t)a =. Določio napetost na sponkah veza.

7 zenicni_signali-kopleksni_racun(8).doc 7/7.6.6 zračun: Aditanco so že izračunali v prieru, tvorio še kopleksor tokovnega signala A = A in upoštevao U = Z = = =, 96e,3 Y, e signal, orao kopleksor napetosti ponožiti z ωt { } t e ω,3 3 - ut ( ) = e,96e e V =,96 cos( s t,3 ) V.,3. Da dobio»naza«napetostni in upoštevati le realni del: Prier 4: Na sponke veza na sliki priklučio napetostni vir z aplitudo 4 V in frekvenco 5 Hz. Določio ipedanco veza, tok v veze in delovno oč. (C = µf, = H, = Ω) C zračun: zračunao ipedanco veza Z = ZC + Z, ker e ZC = = 3,3Ω in ωc Z = ω= 6, 8Ω. pedanca veza e tore ( ) ( ) - 84 Z = 3,3 +,83 + 4,5 Ω =,83-6,8 Ω = 6,95e Ω. Tok v veze e = U Y=4V e S = 4,84e A. Delovno oč dobio iz 6,95 P U 4V 4,84A = cos( ϕ) = cos( 84 ) = 3,3W.