I = I CM + Mh 2, (cm = center of mass)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "I = I CM + Mh 2, (cm = center of mass)"

Λυσιστράτη Μέλιοι
7 χρόνια πριν
Προβολές:

قواعد کلی اینرسی دو ارنی المان گیری الزمه یادگیری درست و کامل این مباحث که بخش زیادی از نمره پایان ترم ار به خود اختصاص می دهند یادگیری دقیق نکات جزوه استاد محترم و درک درست روابط ریاضی حاکم بر آن ها

1 قواعد کلی اینرسی دو ارنی المان گیری الزمه یادگیری درست و کامل این مباحث که بخش زیادی از نمره پایان ترم ار به خود اختصاص می دهند یادگیری دقیق نکات جزوه استاد محترم و درک درست روابط ریاضی حاکم بر آن ها است ما در این جا صرفا جهت مرور این قواعد ار یادآوی می کنیم.ب اری درک کامل این روابط و اثبات آن ها می توانید به جزوه استاد محترم و همچنین کتاب های مرجع فیزیک م ارجعه نمایید. قواعد کلی اینرسی دو ارنی)لختی دو ارنی(: I = r dm 1.تعریف اینرسی دو ارنی: حاصل ضرب جرم در فاصله ی آن تا محور دو ارن اینرسی دو ارنی نام دارد..اگر یک جسم خود مرکب از چندین جسم دیگر باشد و بخواهیم اینرسی دو ارنی جسم بزرگ ار بدانیم می توانیم اینرسی دو ارنی تک تک جسم ها ار به طور جداگانه حول آن جسم حساب و در نهایت همه آن ها ار با هم جمع نماییم. 3.قضیه محور های موازی: اگر اینرسی دو ارنی یک جسم ار حول )مرکز جرمش( داشته باشیم و بخواهیم حول محوری دیگر به دست آوریم کافی است مقدار اینرسی دو ارنی حول مرکز جرم ار با حاصل ضرب جرم جسم در توان دوم فاصله دو محور جمع نماییم. به عبارت دیگر: I = I CM + Mh, (cm = center of mass) 4.قضیه محور های متعامد: اینرسی دو ارنی یک صفحه حول محور عمود بر یک جسم ب اربر با حاصل جمع اینرسی دو ارنی حول دو محور متعامد درون جسم و عمود بر محور اولیه با هم ب ارب ارست. I Z = I X + I Y. 5 اربطه بین گشتاور و انرژی جنبشی اینرسی دو ارنی و توان به صورت زیر است: τ = M = Iα = F, P = τ.ω, K = 1 Iω شود: 6.تمامی روابط مربوط به نیرو و حرکت و کار و انرژی که تاکنون ب اری حرکت انتقالی داشته ایم با اعمال تغیی ارت زیر ب اری حرکت چرخشی هم قابل استفاده خواهد بود: m I a α F τ v ω x θ 7.ب اری جسمی که هم دا اری حرکت خطی و هم دا اری حرکت دو ارنی است انرژی جنبشی به صورت زیرمحاسبه می K = 1 MVCM + 1 ICMω K = I M 8.ب اری یک جسم در حال حرکت شعاع ژی ارسیون )K( بدین صورت تعریف می شود : 1

2 مسائل: M 1.اینرسی دو ارنی یک حلقه دایروی یک دیسک و همچنین استوانه تو خالی و توپر هر سه به شعاع و جرم ار حول محور عمود بر مرکز آن به دست آورید با توجه به تعریف اینرسی دو ارنی حاصل ضرب جرم در فاصله ی آن تا محور دو ارن اینرسی دو ارنی نام دارد.در مورد حلقه دایروی و استوانه تو خالی با توجه به تعریف اینرسی دو ارنی مشخص می شود که ب اربر است با: I = M اما در مورد دیسک اگر چه تعریف کلی یکی است اما تفاوت هایی وجود دارد این تفاوت این است که فاصله ی همه ی نقاط جرم از محور دو ارن مقدار ثابتی نیست و همچنین استفاده از حاصل ضرب مرکز جرم در توان دوم فاصله مرکز جرم تا محور دو ارن اینرسی دو ارنی ار به ما نمی دهد.در این جا باید ما المان مناسبی ار انتخاب نموده و سپس با تعمیم آن به کل جرم مربوطه مقدار اینرسی دو ارنی ار بیابیم. ب اری دیسک: di =r dm = σ.r 3.dr.dθ I = di = σ. r 3. dr. dθ ( M راه المانی: π )(π)(4 4 ) = 1 M المانی به صورت حلقه تو خالی به ضخامت dr را انتخاب می کنیم.داریم: di = r dm, dm = σda = σ.πr.dr, I = di = = 1 M 0 σ. πr 3. dr = ( M ) π )(π)(4 4 اینرسی دورانی دیسک و استوانه شبیه هم است فقط در روش حل در استوانه به جای چگالی سطح از چگالی حجم استفاده و ارتفاع H را برای استوانه در نظر می گیریم که در نهایت حذف می شوند..اینرسی دورانی کره ای تو خالی به شعاع و جرم M را حول محوری که از مرکز آن می گذرد به دست آورید المان هایمان را به صورت حلقه های دایروی توخالی در نظر می گیریم: dm = σ.πr.dy, r = y di = r dm = σ.π ( y ) 3 dy = اینرسی مجموع المان ها

با توجه به شکل متوجه می شویم که بازه انتگرال از تا + می باشد بنابراین با استفاده از روش تغییر متغیر )و یا جزء به جزء( به حل این انتگرال می پردازیم. y = sinθ dy = cosθ.

3 با توجه به شکل متوجه می شویم که بازه انتگرال از تا + می باشد بنابراین با استفاده از روش تغییر متغیر )و یا جزء به جزء( به حل این انتگرال می پردازیم. y = sinθ dy = cosθ.dθ, y = ± θ = ± π + π ( y ) 3 dy = 4 cos 4 θ.dθ = 4 π + π π ( 1+cosθ ).dθ π (1 + cosθ + cosθ)dθ = 4 π + π 4 π (3 + cosθ + cos4θ )dθ =. این روش اگرچه در کره تو پر جواب دقیقی را به ما می دهد در این جا کارا نیست چون عرض المان ما از dy بیشتر است موتوان گفت چون با بقیه پارامتر ها هم درجه است قابل صرف نظر کردن و دیفرانسیل گیری نیست. I = ( M ) 4π )(π4 π π در این راه باز هم المان ها را به صورت حلقه های دایروی توخالی در نظر می گیریم در صورت اگر بزرگترین دایره ای را که از روی صفحه مشهود است بنگریم می توانیم عرض المان را هم بیابیم: = ds=.dθ, θ ( π, π ), r=cosθ, dm = σ.πr.ds ضخامت المان di=r dm= (cosθ) (σ.π cosθ..dθ) I= di = π π (cosθ) 3 dθ =( M ) 4π )(π4 ( M 4π )(π4 ) 1 u du = 3 M (cosθ) (σ. π cosθ.. dθ) π π (cosθ)(1 (sinθ) )dθ sinθ = u, du = cosθ.dθ 3.اینرسی دورانی کره ای تو پر به شعاع و جرم M را حول محوری که از مرکز آن می گذرد به دست آورید از المان دیسکی 3

4 المان کره تو خالی از مختصات کروی 4.اینرسی دورانی مخروط به شعاع و جرم M را به دست آورید از راه المان دیسکی گرفتن: z = r r = z Z Z, dm = ρπr dz = ρπ( z Z ) dz =di= 1 r.dm = ρπ (z Z )4 dz اینرسی المان Z I = di = ρπ4 z 4 dz =( ρπ4 Z 4 0 Z 4 )(Z5) (*) 5 ρ = M V = 3M π Z (**) (*), (**) I = 3 10 M از راه مختصات استوانه ای در استفاده از از مختصات قطبی برای حل این سوال باید دقت نماییم که بر خالف استوانه تو پر dz و dr از هم مستقل نمی باشند و باید آنها را به دست آورد. I= r dm, dm = ρdv = ρrdrdθdz, dz = Z dr I =ρ r3.dθ.dr.dr = 3 10 M π 4

5 چون ریاضی را در ترم های بعد خواهید خواند هم اکنون راه اول بهتر می باشد.راه دوم ویژه دانشجویان عالقه مند می باشد. نتیجه:اینرسی دورانی مخروط مستقل از زاویه مخروط با محور تقارن و ارتفاع آن است و فقط تابع جرم و شعاع است اگرچه شعاع خود تابعی از ارتفاع و زاویه مخروط با محور تقارن است. 5.اینرسی دورانی دیسکی تو پر به جرم M شعاع را حول قطر محوری که بر یکی از قطر هایش منطبق است به دست آورید می دانیم که دیسک را حول هر کدام از قطرهایش دوران دهیم اینرسی دورانی یکسانی خواهد داشت. حال اگر مرکز دایره را مرکز دستگاه مختصات و محور های X و Y را منطبق بر آن بگیریم چون اینرسی دورانی آن حول محور Z یعنی محوری که از مرکز دیسک عبور می کند و بر آن عمود است را داریم از قضیه ی محورهای متعامد استفاده می کنیم. 6.اینرسی دورانی استوانه چپ شده را حول مرکزش بیابید. 7.اینرسی دورانی مستطیل را بیابید.)تحویلی در هالیدی هست.( I Z = I X + I Y, I X = I Y 1 M = I X I X = 1 4 M 1.نوار قابل انعطافی به طول L را محکم دور خودش پیچیده ایم.این نوار را روی سطحی با شیب تند قرار می دهیم و سر نوار را روی سطح شیب دار ثابت می کنیم. نشان دهید زمان باز شدن از فرمول زیر به دست می آید سطح شیب دار را محور x و محور عمود بر آن را محور y در نظر می گیریم. داریم: t = 3L gsinθ Fy = 0 N = Mgcosθ Fx = Ma Mgsinθ f s = Ma (*) τ = Iα = f s. = 1 M ( a ) fs = 1 Ma (**) gsinθ = 3 a a = 3 g.sinθ (**) و (*) Δx = 1 at L =( gsinθ )t t = 3L 3 gsinθ اگرچه در رابطه ها ی این مساله ممکن است M تغییراتی )کاهش( داشته باشد اما چون در هر دو طرف معادله موجود است و با هم خط می خورند مشکلی ایجاد نمی کند. 5

6 M 3 M.یک استوانه تو خالی به جرم M 1 و شعاع 1 یک استوانه توپر یک نواخت به جرم و شعاع 3 از روی سطح شیب دار دارای اصطکاکی رها می شوند و بدون هیچ گونه سریع تر به پایین سطح خواهند رسید و شعاع ویک کره توپر به جرم به پایین سطح. کدام یک Fx = Ma Mgsinθ f s = Ma (*) برای استوانه تو خالی τ = Iα = f s. = M ( a ) fs = Ma (*) gsinθ = a a = 1 g.sinθ برای استوانه تو پر τ = Iα = f s. = 1 M ( a ) fs = 1 Ma (*) gsinθ = 3 a a = 3 g.sinθ برای کره τ = Iα = f s. = 5 M ( a ) fs = Ma 5 (*) gsinθ = 7 5 a a = 5 7 g.sinθ چون شتاب کره بیشتر می باشد بنابراین کره سریع تر یه زمین می رسد. راه دیگر این سوال استفاده از قضیه کار و انرژی می باشد یعنی: اگر ارتفاع سطح شیب دار h باشد و هر سه از حال سکون به پائین بغلتند با وجود اصطکاک می توان از پایستگی انرژی استفاده نمود.زیرا نیروی اصطکاک ایستایی f s در نقطه تماس جسم با سطح )نقطه ) p اثر می کند و این نقطه همیشه به طور لحظه ای ساکن است یعنی در راستای نیروی اصطکاک هیچ جابه جایی ندارد. و کار نیروی اصطکاک صفر است.پس: E 1 = E u 1 + k 1 = u + k برای هر سه جسم پایستگی انرژی را بین دو نقطه باال و پایین سطح شیبدار می نویسیم: M 1gh + 0 = M1V1 + 1 I1ω1 M 1gh = 1 M1V1 + 1 (M11 )( V 1 1 ) = M 1V 1 V 1 = gh M gh + 0 = MV + 1 Iω M gh = 1 MV + 1 (1 M )( V ) = 3 4 MV V = 4 3 gh M 3gh + 0 = M3V3 + 1 I3ω3 M 3gh = + 1 M3V3 + 1 ( 5 M33 )( V 3 3 ) = 7 10 M3V3 V 3 = 10 7 gh چون سرعت نهایی کره بیشتر است و جابه جایی هر سه یکسان پس با توجه به رابطه سرعت متوسط در زمان برابر جابه جایی است کره زمان کمتری را برای رسیدن به پایین سطح طی می کند.آنچه قابل توجه است این است که سرعت جسم غلتان از سقوط آزاد که برابر V = gh است کمتر است چون در غلتش بخشی از انرژی به جای انرژی جنبشی انتقالی به انرژی جنبشی دورانی تبدیل می شودو همچنین سرعت جسم غلتان از جنس و اندازه جسم مستقل و وابسته به نوع آن است. 3.لختی چرخشی را برای جرمی که با تندی 60 درر بر دقیقه می چرخد و دارای انرژی جنبشی 4400 ژول است حساب کنید 6

7 60 rew 1min min 60s π rad 1rew = 63 rad s k = 1 I ω 4400 = ( 1 )(63 )(I) I = 1.3Kg.m 4. وزن استوانه توپری به طول L و شعاع برابر با M است.مطابق شکل اگر استوانه را رها نماییم الف:کشش هر یک از نخ ها وقتی که از دور استوانه باز می شوند چقدر است ب:شتاب خطی استوانه را پیدا کنید قسمت الف: τ = Iα =(T 1 + T ) = Iα (T 1 + T ) = ( 1 M )( a ) (T 1 + T ) = 1 Ma بنا بر اصل تقارن: T 1 = T = 1 Ma 4 قسمت ب: Fy = Ma Mg (T 1 + T ) = Ma Mg = 3 Ma a = g 3 پایان جلسه نهم موفق و پاینده باشید. 7

Σχετικά έγγραφα

محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی

محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی برای محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی باید توانایی تجزیه ی یک بردار در دو راستا ( محور x ها و محور y ها ) را داشته باشیم. به بردارهای تجزیه شده در راستای محور