12. Merenje statičkih i dinamičkih parametara fluida

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "12. Merenje statičkih i dinamičkih parametara fluida"

Transcript

1 . Meenje statički i dinamički paametaa luida Za azliku od čvsti tela, tečnosti i gasovi nemaju konstantnu zapeminu i dimenzije, a dejstvo spoljašnji veličina na nji ima posve dugačije eekte od oni opisani u petodnom poglavlju. Zbog toga su senzoi i meila za meenje paametaa luida zasnovani na nešto dugačijim pincipima od oni opisani u petodnim poglavljima. Ovde će biti azmoteni najčešći paameti koji se mee u tenici a to su pitisak, bzina (maseni potok) i nivo luida. Opedeljivanje za odeđeni tip meila za meenje paametaa luida zavisi i od cene meila i od cene sotvea koji ga pati, kao i od oganičenja koja nameću uslovi pimene. Tendovi na tžištu često diktiaju izbo koji inženjeima stoji na aspolaganju. azvoj digitae i analogne elektonike, čini današnja meila sve pouzdanijim, lakšim za montažu, upotebu i odžavanje. Poboljšani i standadizovani komunikacioni inteejsi su velika pednost je omogućavaju povezivanje meila na već postojeće sisteme digitaog upavljanja u postojenju. obziom da su luidi, po pavilu, veoma agesivne sedine (oganski astavaači, kiseline itd.) i da se neetko nalaze pod povećanim pitiskom i tempeatuom, posebna pažnja moa se posvetiti tipu mateijala od koga je meilo napavljeno ili kojim je zaštićeno od spoljašnji uticaja. Neki od zaštita dostupne danas na tžištu su, ecimo, antikoozivni slojevi od politetaluoetilena ( F 4 ) n ili elektopoliani neđajući čelik oznake 6 za bespekonu čistoću kontaktne povšine. Ovakve zaštite, omogućavaju odeđenim tipovima meila da budu pimenjena u paktično svim uslovima industijske poizvodnje... Meenje pitiska luida Pitisak u luidu jednak je u svim pavcima i može se meiti u bilo kom delu zapemine tečnosti ili gasa. Pitisak nestišljivog luida u nekoj tački, deinisan je Benulijevom jednačinom, koja opisuje nepomenljivost pitiska u odsustvu spoljašnji sila: p const pspolj v g (.) gde su ρ gustina luida, v bzina luida u posmatanoj tački, a visina iznad avni posmatanja. Pema toj jednačini, pitisak dakle, zavisi od ti paameta: spoljašnjeg pitiska koji deluje na otvoenom kaju luida, bzine kojom se luid keće i potencijae enegije po jedinici zapemine. Tako np. ako se smanji pečnik cevi koz koju luid potiče, sledi da se u tom delu moa povećati njegova bzina i tome sl. Neki od inteesantni enomena koji se baziaju na Benulijevoj jednačini su np. pincip vetikaog uzgona pilikom leta aviona ili zakivljenje putanje lopte u bejzbolu. Zavaljujući asimetičnom poilu avionskog kila (pincip kopian iz piode), vazdu koji potiče iznad i ispod kila pelazi će azličite putanje. Vazdu koji polazi sa gonje stane kila moa peći veći put za isto veme u odnosu na vazdu koji se keće ispod kila. Zbog toga moa imati veću bzinu, a veća bzina znači manji pitisak. To znači da je pitisak u vazduu iznad kila oslabljen u odnosu na vazdu ispod kila čime se stvaa sila uzgona (slila.).

2 . Meenje statički i dinamički paametaa luida Uzgon Potisak me ketanja aviona Uzgon Potisak lika.. Pincip uzgona kod letelica Što je potisak jači veća je azlika i veća je sila uzgona. U jednom tenutku, međutim doći će do tubulencije (vtložnog ketanja) vazdua u zadnjem delu kila, što će zatevati povećanu silu potiska (veću bzinu aviona) za istu uzgonsku silu. Zato avion ima tendencju popadanja kada naiđe na piodno tubulentan vazdu.... Membane sa elektičnim senzoima obziom na veoma dobo azvijenu oblast senzoa napezanja i pomeaja čvsti tela, mnogi senzoi pitiska u luidima se zasnivaju na sledećem pincipu: pitisak u nekoj tački luida se petvoi u napezanje ili elastični pomeaj čvstog tela, nakon čega se za meenje pitiska mogu upotebiti mene take ili induktivni i kapacitivni senzoi pomeaja opisani u petodnim poglavljima. Petvaanje pitiska luida u pomeaj čvstog tela najlakše se ealizuje pomoću elastične membane. U bilo kojoj tački cevi koz koju se postie luid postavi se membana koja tpi značajnu elastičnu deomaciju. Kako se pitisak u luidima menja u veoma šiokim ganicama, potebno je membanu napaviti od mateijala koji može izdžati znatna napezanja bez plastične deomacije, a to su najčešće azličiti polimeni mateijali sa dugačkim oganskim ili (eđe) neoganskim vlaknima, na koje se lepi ili napaava odgovaajuća elektična stuktua. Doba osobina pimene membane jeste što emijski odvaja senzo od potencijao agesivnog luida, čime se podužava životni vek i pouzdanost ada meila. Elastična membana debljine deomiše se sazmeno azlici pitisaka na svoja dva kaja (slika.). Eektivni pečnik deomacije, azlikuje se od ukupnog pečnika membane, je njeni ivični delovi nisu podložni pomeni položaja. Deomacija σ ima adijau i tangentnu komponentu koje obe zavise od odnosa. lika.. Deomacija elastične membane i zavisnost napezanja od udaljenosti od centa membane Pimei otponog, induktivnog i kapacitivnog senzoa sa elastičnom membanom dati su na slici..

3 . Meenje statički i dinamički paametaa luida a) b) c) lika.. enzoi naneti na elastičnu membanu. Metai delovi su označeni cnom bojom. a) otpona ozeta od meni taka koja tpi deomaciju usled istezanja membane; b) induktivni zavojni meanda menja samoinduktivnost pomenom geometije; c) metaa membana koji se koisti kao elektoda kondenzatoa sa pomenljivim zazoom između ploča Otpona ozeta sastoji se od četii mene take, dve zavisne od peiene dilatacije, a dve od centae. Ona je pime membane sa lepljenim senzoima. Poblem sa otponim senzoima jeste njiova zavisnost od tempeatue, a membana ne deluje kao toplotni izolato, zavaljujući čemu tempeatua luida često ima za ed veličine veći uticaj na pomenu otponosti nego elastična deomacija. Induktivni senzoi od tankog ilma nanetog elektoemijskim napaavanjem na membanu u nedeomisanom stanju ima samoinduktivnost koja se lako pojektuje i izačunava. Međutim, u deomisanom stanju, zbog kompleksne geometije u D postou, induktivnost se moa pojektovati u složenim simulacionim sotveima na bazi konačni elemenata. Kapacitivni senzoi sa elastičnom membanom moaju biti značajni dimenzija, je je pocep u nedeomisanom (početnom) stanju membane velik, pa je kapacitivnost mala i teško se mei. Češće se u paksi seću kapacitivni senzoi sa pomičnom membanom, koja se ne deomiše, već se usled delovanja pitiska, celom povšinom pibližava ili udaljava od duge elektode. U tom slučaju, membana se koisti kao sednja elektoda dieencijaog kondenzatoa (slika.4). lika.4. Dieencijao kapacitivno meilo pitiska Poed ovi tipova senzoa, seću se još i polupovodničke membane, koje koiste piezoelektični eekat, odnosno kombinovani senzoi (np. kapacitivni senzo sa silicijumskom membanom). Pincipi ada elektični komponenti ti senzoa objašnjeni su detaljno u petodnim poglavljima. Od pincipa pikazani na slici., najveću osetljivost i najveći opseg imaju induktivni senzoi, zavaljujući velikom asponu deomacija koje mogu istpeti.

4 . Meenje statički i dinamički paametaa luida... Manometi sa elektičnim senzoima Manometi su ueđaji sačinjeni od dva spojena suda, azličiti popečni peseka i, jedan sa otvoenim, a dugi sa zatvoenim kajem (slika.5). U zatvoenom kaju vlada poznat pitisak p, dok je otvoeni kaj izložen pitisku p m, koji se mei Manometa je ispunjen živom (povodan mateijal). Usled azlike pitisaka, nivo žive u jednom delu suda će opasti za vednost, a u dugom će poasti za vednost. p m p d D lika.5. Klasičan živin manometa sa spojenim sudovima azličiti pečnika Iz Benulijevve jednačine sledi da je pm p (.) g Ako je tečnost nestišljiva, tada su mase pelivene tečnosti iste i iznose m m (.) ledi da će nivo izdizanja tečnosti biti pm p (.4) g Da bi se dobio elektični senzo, deo cevi se posebi u dužini l i služi kao elektoda koaksijaog kondenzatoa. Kao duga elektoda koisti se puna metaa cev pečnika = d = 4, kao na slici.6. d stakla vazdua l g lika.6. Pstenasti kondenzato u manometu Ako je u avnotežnom položaju (p m = p ), nivo luida tačno na sedini ploča, tada je kapacitivnost za poizvoljno, uzimajući u obzi da je tečnost u manometu povodnik: 4

5 . Meenje statički i dinamički paametaa luida vazdua l l stakla l l g l d d d l l l (.5) Kada je = m, odnosno kada su pitisci izjednačeni, kapacitivnost je l (.6) U svim ostalim slučajevima je (.7) Dakle, ovo meilo ima oset i lineano je. ezolucija meenja zavisi od ezolucije kojom se može meiti kapacitivnost, što se najčešće adi meenjem učestanosti u ezonantom L kolu, što znači da je ezolucija meenja potencijao veoma velika... Meenje bzine, masenog i zapeminskog potoka luida Maseni potok m izažen u kgs dat je kao m V (.8) gde je V zapeminski potok, odnosno pomena zapemine u jedinici vemena. Ukoliko je popečni pesek cevi koz koju luid potiče poznat i konstantan, tada je zapeminski potok odeđen količnikom dužine cevi koju neka količina vode peđe u jedinici vemena. Dugim ečima: m x v (.9) Dakle, meenjem bzine luida i poznavanjem njegove gustine i dimenzija cevi koz koju luid potiče mogu se izačunati zapeminski i maseni potok. U paksi se najčešće seću ti vaijante meila koje će biti objašnjeni u nastavku: živin manometa, Pitoova cev i otponi senzoi,.... Meenje bzine luida pomoću živinog manometa 5

6 . Meenje statički i dinamički paametaa luida Živin manometa sa posebljenom cevi, opisan u petodnom delu, može se koistiti i za meenje bzine ketanja luida u zatvoenim sistemima (np. cevovodi). Potebno je obezbediti da se oba kaja manometa povežu na cev koz koju potiče luid, s tim da se jedan segment cevi nameno učini užim, kako bi se u njemu povećala bzina, a samim tim povećao i pitisak. Šii kaj manometa teba vezati na cev većeg popečnog peseka A, a uži kaj na cev manjeg popečnog peseka A (slika.7). A v A v D d lika.7. Manometa za meenje bzine potoka luida Ovaj pincip meenja nije pogodan za neke pimene, poput meenja potoka pijaće vode, je bi živa iz manometa bila u staom kontaktu sa vodom i lako bi se mogla sa njom pomešati ili sjediniti sa jonima neastvoeni nemetala, te na taj način dospeti u ljudski oganizam. Zato su pimene ovog meila oganičene na meenje bzine i potoka luida koji nisu pedviđeni za konzumianje (np. gasovodi, natovodi i sl.) ili se umesto žive moa koistiti neki dugi povodan luid. enti masa luida u gonjim cevima nalaze sa istoj elativnoj visini, pa Benulijeva jednačina ima oblik p v p v (.) Dakle, azlika bzina u cevima azličiti pečnika ezultuje azlikom pitisaka, koja se mei manometom u postupku već opisanom u petodnom delu. Iz. dobija se da je Uzimanjem u obzi jednačine kontinuiteta ledi da je p p v v (.) A v A (.) v v p p A A A ~ p p ~ ~ ~ (.) Dakle, meenje bzine potoka luida svodi se na meenje azlike kapacitivnosti ili na meenje učestanosti i nekog ezonantnog L kola sa iksnom induktivnošću L i sa kapacitivnostima, kada je = m, odnosno, kada postoji odeđena azlika nivoa žive u kacima manometa. 6

7 . Meenje statički i dinamički paametaa luida... Meenje bzine luida pomoću Pitoove cevi U situacijama kada je potebno meiti bzinu luida u otvoenim tokovima, gde je nivo luida konstantan i ne utiče na gavitaciono-potencionai pitisak, koiste se Pitoove cevi. Pitoova cev je staklena ili plastična cev savijena pod uglom od 9 º, koja se pilikom uanjanja okeće u suset dotičućem luidu. Zbog toga je u Pitoovoj cevi bzina luida jednaka nuli, pa aste pitisak u odnosu na situaciju kada bi se koistila obična pava cev (slika.8). p p v = v v = lika.8. Pincip izdizanja tečnosti u Pitoovoj cevi Povećan pitisak u cevi dovešće do izdizanja nivoa luida za vednost u gonjem delu cevi. Pema Benulijevoj jednačini imamo da je obziom da su spoljašnji pitisci isti dobija se da je p v g p (.4) v g (.5) am izgled senzoskog dela pikazan je na slici.9. U Pitoovu cev se uanja okugla metaa elektoda, a na zidove cevi od dielektika se napaava sebni pstenkao duga elektoda, baš kao i u anijim pimeima kapacitivni senzoa. obziom da je voda u otvoenim tokovima pepuna astvoeni soli, može se smatati da je tečnost između elektoda elektolit (povodnik), a ne dielektik, pa je odziv ovog meila dat elacijama.6 i.7. Ag Ag plovak lika.9. Pitoova cev sa posebenim pstenom 7

8 . Meenje statički i dinamički paametaa luida... Meenje bzine luida temootponim senzoima Kada se koz otponik popusti staa elektična stuja I, na njemu se oslobađa odeđena snaga. To je snaga temičkog zagevanja otponika koja je data sa: P gejanja I (.6) Ukoliko otponik ne bi odavao toplotu okoom gasu i to dovoljnom bzinom, njegova tempeatua bi neoganičeno asla. pontana emisija toplote elektomagnetskim začenjem nije dovoljna da oladi otponik veće snage. Deo toplote moa se osloboditi konvekcijom u kontaktu sa okoim luidom, čiji molekuli imaju izičku inteakciju sa povšinom otponika. Time se otponik ladi i dostiže konačnu adnu tempeatuu kada se količina dovedene i odvedene toplote izjednače. Eikasnost lađenja zavisiće od sposobnosti okoog gasa da odvede svoje ugejane molekule dalje od otponika i na njiovo mesto dovede nove, ladnije molekule. Jasno je da će luidi koji se bže keću, eikasnije laditi otponik od oni koji su spoi. Ovaj pincip se može iskoistiti za meenje bzine luida. naga lađenja zavisi od koeicijenta odvođenja toplote ξ, povšine otponika A i azlike tempeatua otponika i luida P A (.7) ladjenja otponika Koeicijent odvođenja toplote ξ ima jedinicu W(m K). Kada je bzina luida v mala i njegov tok laminaan, koeicijent odvođenja toplote ξ sa povšine čvstog tela dat je izazom.8. v K v K luida (.8) K i K su konstante popocionaosti koje se ekspeimentao odeđuju i zavise od tipa mateijala od koga je napavljena povšina otponika, kao i od gustine i viskoznosti luida kojim je otponik okužen. Kada je bzina luida velika i tok tubulentan, tada je zavisnost koeicijenta odvođenja toplote ξ od bzine luida v izaženija i data je izazom.9. v Kv K4 Ponovo su K i K 4 konstante koje se ekspeimentao odeđuju. (.9) Neka je otponost otponika na tempeatui luida, kada luid miuje (v = ms) i kada koz otponik ne potiče stuja (nema zagevanja). Ako koz ovakav otponik pustimo stau stuju I i stavimo ga u luid koji se keće bzinom v, kajnja otponost (v)i tempeatua otponika θ će se dobiti iz uslova ekvilibijuma u kome su snage gejanja i lađenja iste. Ovo je opisano izazom.. vi va luida (.) a duge stane važi pibližna elacija za pomenu otponosti sa pomenom tempeatue u zavisnosti od tempeatunog koeicijenta mateijala od koga je otponik napavljen. Izažavanjem v luida (.) luida iz izaza. i uvštavanjem u., dobija se luida 8

9 . Meenje statički i dinamički paametaa luida v eđivanjem gonjeg izaza dobija se I v v A luida (.) v (.) I luida va Na ovaj način se, u zavisnosti od tipa toka luida, pimenom izaza.8 ili.9, može dobiti zavisnost otponosti od bzine potoka. Ova otponost može se meiti bilo kojom od metoda opisanim u poglavlju 7, mada se u paksi najčešće koisti UI metoda. U tom slučaju je poteban samo voltmeta, je je stuja koz otponik obično unaped poznata... Meenje nivoa luida Nivo luida moa se uvek meiti u odnosu na neki unaped dogovoeni nulti nivo. Np. za nivo otvoeni eka može se ačunati od dna njiovog koita ili u odnosu na neku eeentnu tačku. U industiji se najčešće mei nivo luida u nekom ezevoau adi kontole punjenja i pažnjenja. Postoji veliki boj azličiti induktivni i kapacitivni meila nivoa tečnosti. va elektična meila nivoa mogu se podeliti u 5 gupa, u zavisnosti od pincipa ada meaničkog dela senzoa: idostatički ueđaji meila opteećenja kapacitivna meila plutajući ueđaji sa pokazivačima ultazvični daljinometi laseski i adaski daljinometi magnetostikciona meila idostatički ueđaji koiste iste pincipe meenja kao i meila pitiska ili bzine luida. Pimei ueđaja koji se koiste su potiskivač i dieencijao meilo pitiska. Izgled potiskivača dat je na slici.. Meilo adi na pincipu Aimedove sile potiskivanja čvstog tela zaonjenog u tečnost. Što je nivo tečnosti viši to je telo dublje zaonjeno u nju i sila potiskivanja je veća. Potiskivanje se mei tenzometijskim petvaačem, poput np. mene take ili piezoelektičnog senzoa na vu ezevoaa. Ako potiskivač ima povšinu popečnog peseka i potpoljen je u tečnost do dubine (nivo tečnosti u ezevou), tada je sila potiskivanja F mpotisnute tecnosti g tecnosti g (.4) 9

10 . Meenje statički i dinamički paametaa luida Meni signal enzo napezanja Potiskivač ezevoa Tečnost lika.. Meilo nivoa sa potiskivačem Dieencijai senzo pitiska može se koistiti za meenja nivoa tečnosti koja spoo otiče iz ezevoaa (v ms). Izgled ovakvog meila dat je na slici.. eeentni pitisak ezevoa Dieencijai senzo pitiska Tečnost Meni signal lika.. Meilo nivoa sa dieencijaim senzoom pitiska Meni signal popocionalan je azlici atmoseskog pitiska u ezevoau i idostatičkog pitiska tečnosti na dnu ezevoaa. p p g p pitisak u luidu g Pi čemu je gustina tečnosti, a nivo tečnosti koji se mei. (.5) Meila opteećenja koiste tenzometijske senzoe (np. mene take) da mee težinu ezevoaa kojom ovaj potiskuje svoje nosače ili podlogu na kojoj stoji. Iako ovo nije diektno meenje nivoa, nivo tečnosti u ezevoau se može izačunati iz sledeće elacije: m m g m g g F (.6) ezevoaa tecnosti ezevoaa tecnosti ezevoaa Nepovoljnost ovog pistupa je što je neopodno veoma pecizno poznavati težinu paznog ezevoaa i njegove unutašnje dimenzije, što nije uvek moguće. Kapacitivna meila zasnivaju se na činjenici da je dielektična konstanta tečnosti obično dastično azličita (veća) od dielektične konstante vazdua. Pincip ada kapacitivni meila već je objašnjen anije u ovom poglavlju. Ovde ćemo detaljnije azmotiti specijalan slučaj takvog meila koje nema lineaan odziv za sve nivoe tečnosti. To je značajno ako je za poizvodni poces kitičnije meenje nivoa

11 . Meenje statički i dinamički paametaa luida kada je ezevoa pazniji i kada se adi na ezevi. Onda se može koistiti kapacitivno meilo pomenljive osetljivosti, kao na slici.. lika.. Kapacitivno meilo nivoa sa pomenljivom ezolucijom poljašnji cilinda pedstavlja jednu elektodu kondenzatoa i staog je popečnog peseka, dok se unutašnja elektoda sastoji od cilindaa čiji se pečnici sužavaju kako se ide pema vu meila. Zavisnost kapacitivnost od nivoa menja je lineana dok god se tečnost nalazi u segmentu jednog popečnog peseka (slika. i izazi.9-). ispažnjeno popunjeno lika.. Elektični model meila nivoa sa slike.. Kada je ezevoa pazan kapacitivnost meila je (.7) gde su, i kapacitivnosti pojedini segmenata kada je dielektik samo vazdu. Kada je ezevoa napunjen do va, kapacitivnosti pojedini segmenata su (.8)

12 . Meenje statički i dinamički paametaa luida Kada je nivo luida <, ukupna kapacitivnost meila je o ispaznjen popunjeno (.9) Za slučaj pikazan na slici., kada je < <, dobija se pazno puno (.) Za nivo vode u najvišem segmentu meila, kada je veće od, kapacitivnost je pazno puno (.) Kompletan odziv meila za azličite nivoe tečnosti pikazan je na gaiku na slici.4. Gaik će biti najstmiji tamo gde je ( i ) najveće, odnosno tamo gde je najveće. lika.4. Odziv meila sa pomenljivom osetljivošću (nagibom) ve do sada opisane metode imaju jedno oganičenje da bi se mogao odediti nivo luida, potebno je unaped znati o kom luidu se adi, je odziv meila zavisi od np. gustine luida ili njegove dielektične konstante ε. U nastavku će biti ukatko opisani pincipi ada univezai meila nivoa, koja pod istim uslovima daju isti odziv bez obzia na vstu tečnosti čiji nivo se mei. (μf) (m) + + +

13 . Meenje statički i dinamički paametaa luida Plutajući ueđaji sa pokazivačima koiste plovak koji pluta na povšini tečnosti. Izdizanje i spuštanje plovka se koisti za poketanje nekog analognog pokazivača ili dela nekog elektičnog kola (np. magnetskog jezga kalema). Time se ovi ueđaji svode na meila pomeaja čvsti tela, opisana u poglavlju. Ultazvučni daljinometi mee udaljenost između emitea i povšine luida na osnovu vemena koje je potebno ultazvučnom impulsu da ode do povšine i vati nazad do emitea (veme eleksije). Pincip meenja ilustovan je na slici.5. Ultazvučni senzoi koiste učestanosti eda veličine nekoliko desetina kiloeca. Tipično kašnjenje ultazvuka je oko 6 msm. Međutim, bzina ultazvuka jako zavisi od smeše gasova u slobodnom delu ezevoaa, njiove tempeatue i pitiska. toga su ova meila oganičena na meenja na atmoseskom pitisku u vazduu ili azotu i slabo ispaive luide. Meni signal Ultazvučni pedajnikpijemnik ezevoa Tečnost lika.5. Meenje nivoa tečnosti ultazvučnim daljinometom Laseski i adaski daljinometi ade na sličnom pincipu kao i ultazvučni daljinometi, s tim da se umesto akustičnog talasa koisti elektomagnetski talas. Ako je eč o laseskom izvou, talas je usmeen, a ako se adi o adau, snop je diuzioni. Ovi tipovi daljinometaa, zapavo se češće pimenjuju za meenje nivoa astesiti čvsti mateija, poput peska i angau ili zna žita u silosu, ali i za meenje nivoa lako ispaivi ili nepozini gusti tečnosti, poput mleka, otpadni voda, tečnog stiena i sl. Laseski daljinometi su osetljivi na ispaenja i nečistoće u vazduu iznad luida čiji nivo se mei, je male čestice mogu lako odbiti uzan laseski snop ili ga asejati, čime se otežava meenje. Mana adaskog snopa je mogućnost detekcije lažnog ea od zidova ezevoaa ili dugi pepeka. Magnetostikciona meila su zapavo meila koja kombinuju više pincipa meenja već opisani u anijim tipovima meila da bi se dobio najpouzdanije meilo nivoa. Magnetostikciono meilo koisti plutajući ueđaj, tenzometijski senzo, a u osnovi je daljinometa. Za azliku od ostali meila sa plutajućim ueđajem, ovde se, umesto meaničke spege sa pokazivačem, koisti bina tozionog (meaničkog) talasa duž žice da bi se ponašao plovak i odedio njegov položaj. Na slici.6 pikazan je pincip ada jednog ovakvog meila. Jedini poketan deo meila je plovak koji se izdiže i spušta sa nivoom tečnosti. Plovak nosi na sebi stalan magnet u obliku pstena. Koz sedinu pstena povučena je metaa cev od povodnog mateijala. Na vu cevi nalazi se tansmite koji emituje katkotajan stuni impuls. Istovemeno se uključuje kolo za meenje vemena. tujni impuls pilikom polaska koz cev indukuje oko nje magnetsko polje. Kada impuls i njegovo magnetsko polje stignu do plovka, oni će stupiti u inteakciju sa magnetskim poljem staog magneta. Ta inteakcija napeže povodnik, poizvodi tozionu silu u njemu i šalje meanički impuls nazad ka tansmiteu. Meanički impuls detektuje se piezomagnetskim senzoom, koji obaveštava kolo za meenje vemena da se isključi.

14 . Meenje statički i dinamički paametaa luida ev od povodnog mateijala Piezomagnetski senzo tujni impuls Meanički talas Fluid Plovak sa staim magnetom lika.6. Magnetostikciono meilo nivoa Ako su poznate bzine postianja elektičnog v el i meaničkog impulsa v me u povodniku, onda se udaljenost l do plovka, a samim tim i nivo tečnosti u ezevoau, mogu odediti na osnovu vemena koje je bilo potebno stuji da stigne do plovka i vemena koje je meaničkom talasu bilo potebno da se vati nazad do senzoa. t meeno l l l (.) v el vme vme zanemaivo Odeđivanje položaja plovka veoma je pecizno. Ključna pednost ove meode ogleda se u tome da je bzina postianja meaničkog talasa dobo poznata, nezavisna od tempeatue, pitiska, količine pene na povšini tečnosti. Osim toga signal je kanalisan unuta povodne cevi, pa nema opasnosti od asipanja snopa ili lažnog ea, kao kod ultazvučnog, laseskog ili adaskog daljinometa. 4

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

SLOŽENO KRETANJE TAČKE

SLOŽENO KRETANJE TAČKE SLOŽENO KRETANJE TAČKE DEFINISANJE SLOŽENOG KRETANJA TAČKE BRZINA TAČKE PRI SLOŽENOM KRETANJU a) Relativna bzina b) Penosna bzina c) Apsolutna bzina d) Odeđivanje zavisnosti apsolutne od elativne i penosne

Διαβάστε περισσότερα

navedene uslove naziva se stacionarnim v r B tokom fluida. Deo fluida ograničen dvema A B

navedene uslove naziva se stacionarnim v r B tokom fluida. Deo fluida ograničen dvema A B 5. Benulijea jednačina 67 5. DINAMIKA FLUIDA Petpostaićemo da je fluid nestišlji, odn. da je gustina fluida nezaisna od ednosti pitiska u fluidu, i da je bzina fluida u datoj tački postoa ista za se čestice

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a: Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave

Διαβάστε περισσότερα

VEŽBE Elektrostatika

VEŽBE Elektrostatika VEŽBE Elektostatika Još jedna supepozicija Pime ti azličito naelektisana tela Odedite sme sile na naelektisanje q: Odedite sme sile na naelektisanje q: Elektično polje pikazano linijama sila stvaaju dva

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

Pogled A V. "vodeni otpornik"

Pogled A V. vodeni otpornik Statička kaakteistika izvoa stuje za zavaivanje i statička kaakteistika elektičnog luka. Regulacija visine elektičnog luka pi zavaivanju. Dinamička kaakteistika pocesa zavaivanja. Statička kaakteistika

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

VEKTOR MOMENTA SILE ZA TAČKU. Vektor momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za. proizvoljno izabranu tačku.

VEKTOR MOMENTA SILE ZA TAČKU. Vektor momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za. proizvoljno izabranu tačku. VEKTOR OENT SILE Z TČKU Vekto momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za poizvoljno izabanu tačku pedstavlja meu obtnog dejstva sile u odnosu na tu poizvoljno izabanu tačku. Ovde je tačka momentna

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Test Test se rešava zaokruživanjem jednog ili više slova ispred ponuđenih odgovora

Test Test se rešava zaokruživanjem jednog ili više slova ispred ponuđenih odgovora Univezitet u Nišu Fakultet zaštite na adu u Nišu 5.9.. ELEKTROTEHNIKA Pof. d Dejan M. Petković Test Test se ešava zaokuživanje jednog ili više slova isped ponuđenih odgovoa Pezie (ednje slovo) Ie Boj indeksa.

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

σ (otvorena cijev). (34)

σ (otvorena cijev). (34) DBLOSTJN POSUD CIJVI - UNUTARNJI ILI VANJSKI TLAK 8 "Dobo je htjeti, ali teba i znati." Z. VNUČC, 9. NAPRZANJA I POMACI DBLOSTJN POSUD ILI CIJVI NASTAVAK. Debelostjena osa oteećena ntanjim tlaom Debelostjena

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

TEKSTOVI ZADATAKA (2. kolokvijum) iz Elektromagnetike (studijski program EEN, 2012/1)

TEKSTOVI ZADATAKA (2. kolokvijum) iz Elektromagnetike (studijski program EEN, 2012/1) TEKSTOV ZADATAKA (2. kolokvijum) iz Elektomgnetike (stuijski pogm EEN, 22/). Oeiti silu koj eluje n tčksto opteećenje Q smešteno izn polusfeične povone izočine nultog potencijl. 2. Oeiti elimične kpcitivnosti

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 2. Auditorne vježbe - 7. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Računarstvo. Elekromagnetski valovi. 15. travnja 2009.

Fizika 2. Auditorne vježbe - 7. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Računarstvo. Elekromagnetski valovi. 15. travnja 2009. Fakule elekoehnike, sojasva i bodogadnje Računasvo Fiika Audione vježbe - 7 lekomagneski valovi 15. avnja 9. Ivica Soić (Ivica.Soic@fesb.h) Mawellove jednadžbe inegalni i difeencijalni oblik 1.. 3. 4.

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA-V. Inercijalni i neinercijalni sistemi reference

MEHANIKA-V. Inercijalni i neinercijalni sistemi reference 4 MEHANIKA-V Inecijalni i neinecijalni sistemi efeence Fomulišući I Njutnov zakon ( Zakon inecije) koistili smo pojmove kao što su miovanje ili avnomeno ketanje Postavlja se pitanje koliko je opavdano

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

- Rad je dejstvo sile duž puta tj. kvantitativno povezuje silu i pomeraj koji je ona izazvala

- Rad je dejstvo sile duž puta tj. kvantitativno povezuje silu i pomeraj koji je ona izazvala Rad - Rad je dejstvo sile duž puta tj. kvantitativno povezuje silu i pomeaj koji je ona izazvala Posmatajmo slučaj kada je sila konstantna po intenzitetu i pavcu. Rad je: A= A = Δ cosγ γ = (, Δ) Δ Skalani

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Kinetička energija: E

Kinetička energija: E Pime 54 Za iem pikazan na lici odedii ubzanje eea mae m koji e keće naniže kao i ilu u užeu? Na homogeni doboš a dva nivoa koji e obće oko zgloba O dejvuje, zbog neidealnoi ležaja konanni momen opoa M

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI TEORIJE SKALARNIH I VEKTORSKIH POLJA

ELEMENTI TEORIJE SKALARNIH I VEKTORSKIH POLJA ELEMENTI TEORIJE SKALARNIH I VEKTORSKIH POLJA Skalano polje. Gadijent Posto u čijoj je svakoj tački M definisana funkcija U(x,y,z) = U(M) = U( ) ( je vekto položaja tačke M) zovemo skalano polje. U daljem

Διαβάστε περισσότερα

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I . Otnik tnsti = 00, kalem induktivnsti = mh i kndenzat kaacitivnsti = 00 nf vezani su aaleln, a između njihvih kajeva je usstavljen steidični nan efektivne vednsti = 8 V, kužne učestansti = 0 5 s i četne

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona. Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Sistem sučeljnih sila

Sistem sučeljnih sila Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 priručnik za vežbe u laboratoriji

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 priručnik za vežbe u laboratoriji Sonja Kstić OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 piučnik za vežbe u laboatoiji VŠER Beogad 01. Elektostatika Sadžaj: 1. KULONOV ZAKON...1 Teoijska Osnova...1 Zadatak Vežbe...3. ELEKTROSTATIČKO POLJE...7 Teoijska Osnova...7

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

POGON SA ASINHRONIM MOTOROM

POGON SA ASINHRONIM MOTOROM OGON SA ASNHRON OTORO oučavaćemo amo ogone a tofaznim motoom. Najčešće koišćeni ogon. Ainhoni moto: - ota kontukcija; - jeftin; - efikaan. ETALN RSTEN LANRANO JEZGRO BAKARNE ŠKE KAVEZN ROTOR NAOTAJ LANRANO

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα