SLOŽENO KRETANJE TAČKE

Transcript

1 SLOŽENO KRETANJE TAČKE DEFINISANJE SLOŽENOG KRETANJA TAČKE BRZINA TAČKE PRI SLOŽENOM KRETANJU a) Relativna bzina b) Penosna bzina c) Apsolutna bzina d) Odeđivanje zavisnosti apsolutne od elativne i penosne bzine. UBRZANJE TAČKE PRI SLOŽENOM KRETANJU. KORIOLISOVA TEOREMA

2 SLOŽENO KRETANJE TAČKE

3 SLOŽENO KRETANJE TAČKE

4 SLOŽENO KRETANJE TAČKE DEFINISANJE SLOŽENOG KRETANJA TAČKE Ketanje tačke M u odnosuna nepoketni sistemefeencije Oxyz naziva se apsolutno ketanje tačke ili složeno ketanje tačke. Ketanje tačke M u odnosuna poketni sistemefeencije (poketno telo) Aξης naziva se elativno ketanje tačke. Ketanje poketnogsistema efeencije Aξης u odnosuna nepoketni sistem efeencije Oxyz naziva se penosno ketanje.

5 Ketanje tačke M: ρ=ρ ( t ) =ξ(t) λ+η (t) µ+ζ(t) υ ξ=ξ( t) Zakoni elativnog η=η() t ketanjatačkem ζ=ζ() t k k: elativna putanja, n n: penosna putanja, p p: apsolutna putanja. B 1 nepoketnotelo, B 2 poketnotelo (nosač)

6 Tačka M se keće po telu po nekoj liniji k-ki to ketanje tačke se zove elativno ketanje tačke u odnosu na telo B 2 (koodinatni sistem ξηζ) Ketanje tela B 2 u odnosu na B 1 (ξηζ u odnosu xyz ) zove se penosno ketanje. Ketanje koje tačka vši u odnosu na nepoketno telo B 1 zove se apsolutno ketanje i ono nastaje kao ezultat slaganja penosnog i elativnog ketanja.

7 Zakoni apsolutnog ketanja tačke: = t = x(t)i + y(t)j+ z(t)k ( ) x y z = x t = y t = z t ( ) () ()

8 Bzina tačke pi složenom ketanju Bzina: elativna, penosna, apsolutna. Relativna bzina ρ=ρ t =ξ(t) λ+η (t) µ+ζ(t) υ ( ) dρ dξ dλ = λ+ξ dt dt dt 0 dη dµ + µ+η dt dt dρ =ξλ+ηµ+ζν=ρ = v dt 0 dζ dν + ν+ζ dt dt 0 λ= const, µ= const, ν= const Ovde se difeencianje po vemenu vši pod petpostavkom da nema penosnog ketanja.

9 Penosna bzina Definišese kao bzinatačkeu slučaju dase elativno ketanje zaustavi. d d v = = = = v p p ξ= const M dt N p dt η= const ζ= const Koišćenjem izaza za bzinu pi opštem ketanju penosna bzina se može izaziti pomoću bzine pola i bzine tačke u odnosu na pol: gde je = A +ρ d d dρ v = = + = v +ρ = v +ω ρ A p A p A p dt dt dt p ω p ugaona bzina obtanje tela B 2, odnosno koodinatnog sistema Aξηζ.

10 Apsolutna bzina Apsolutna bzina je bzina poketne tačke M u odnosu na koodinatni sistem Oxyz: def d v = = = xi + yj + zk dt Iznavedenih definicijasledi: vp = 0 v= v v = 0 v= v p

11 Apsolutna bzina je bzina poketne tačke M u odnosu na koodinatni sistem Oxyz: = A +ρ d da dρ = + dt dt dt v =ρ v v = v + v p = v +ω ρ p A p Teoema o slaganju bzina: pi složenom ketanju tačke, apsolutnabzinajednakajevektoskom zbiu penosnei elativne bzine.

12 Ubzanje tačke pi složenom ketanju. Koiolisova teoema Relativno ubzanje je ubzanje tačke u odnosu na poketni koodinatni sistem: a = ρ =ξλ+ηµ+ζν. ( ) Relativno ubzanje kaakteiše pomenu elativne bzine u datom tenutku vemena pi nepomenjenom položaju tela B 2. Penosno ubzanje je ubzanje koje bi tačka imala u odnosu na Oxyz kada bi se elativno ketanje zaustavilo. To je u stvai ubzanje one tačke M N tela nosača sa kojom se poketna tačka M u datom tenutku poklapa: a = a =. P M N ( ) Ovo ubzanje kaakteiše pomenu penosne bzine tačke M pi zaustavljenom elativnom ketanju. Ono može da se izazi kao zbi ubzanja pola A i ubzanja tačke M N pi obtanju tela B 2 oko pola A: a a a N p ( ) P = M = A +ε p ρ+ω p ω p ρ.

13 Apsolutno ubzanje tačke M je ubzanje u odnosu na koodinatni sistem Oxyz i ono kaakteiše pomenu vektoa bzine: def dv a = = v, a = xi + yj+ zk dt Kako je: v = v + v p v =ρ v = v +ω ρ p A p dv dv d dv dρ dρ dt dt dt dt dt dt p ( ) A p = + = va +ρ p +ρ = + + a

14 ρ =ξλ+ηµ+ζν, dρ =ξλ+ηµ+ζν+ξλ+ηµ+ζν, dt dρ =ξλ+ηµ+ζν+ξω p λ+ηω µ+ζω p ν, dt dρ =ξλ+ηµ+ζν+ω p ( ξλ+ηµ+ζν ), dt dρ = a +ω p v, dt dρ p d dρ dρ = ( ω p ρ ) =ω p ρ+ω p, =ρ=ρ +ρ p = v +ω p ρ, dt dt dt dt dρ p =ω p ρ+ω p ( v +ω p ρ ) =ε p ρ+ω p v +ω p ( ω p ρ ). dt Pvi i teći sabiak u ovoj jednačini čine ubzanje tačke M N tela B 2 u odnosu na tačku A. dρ p A = a M N +ω p v. dt

15 Zamenom ovih izaza sledi: a = a + a + a + 2ω v, A A MN p a = a +ε ρ+ω ω ρ + a + 2ω v, ( ) A p p p p a = a + a + a p c a = 2ω v c p Koiolisovo ubzanje Koiolisova teoema: pi složenom ketanju tačke apsolutno ubzanje jednako je vektoskom zbiu penosnog, elativnog i Koiolisovog ubzanja.

16 Psten M klizi konstantnom elativnom bzinom v =v, po obuču polupečnika R koji se kotlja bez klizanja po pavolinijskom hoizontalnom putu. Za položaj pikazan na slici odediti apsolutnu bzinu i apsolutno ubzanje pstena, ako su u datom tenutku bzina i ubzanje centa obuča v C =2v, a C =v 2 /R sa smeovima datim na slici. Penosno ketanje je avno ketanje obuča Relativno ketanje je kužno ketanje pstena po obuču. Kod kotljanja bez klizanja tenutni pol bzina je na mestu dodia sa nepoketnom podlogom, bzina centa obuča je poznatog hoizontalnog pavca i poznatog intenziteta, pa je: vc 2v 2v vc = CP ωp, ωp = =, ωp = k. (1) CP R R Pošto elacija (1) važi u svakom tenutku, difeencianjem po vemenu se dobija ugaono ubzanje obuča: dω 2 p 1 dvc ac v =, εp = =. (2) 2 dt R dt R R Penosna bzina pstena: vp = PMωp = 4, v vp = 4vi. (3) Relativna bzina je konstantnog intenziteta i u datom položaju pstena je: v = v i, (4)

17 Apsolutna bzina pstena: va = vp + v = 4vi+ vi= 5vi. (5) Penosno ubzanje tačke obuča sa kojom se u datom tenutku poklapa psten je: a a a a = + C + C, (6) p C MT MN a = a + a, (9) T N gde je: v C v v C 2 2v 4v C = MT = εp = = 2 MN = ωp = = a, a CM R, a CM R. (7) R R R R R 2 2 C C 2v 4v ap = ( ac amt)i amn j= i j. (8) R R Relativno ubzanje može da se dobije tako što se penosno ketanje zaustavi i posmata ketanje pstena, koje je kužno: 2 2 dv v v at = = 0, ( v = v = const), an = =. (10) dt R R Vekto elativnog ubzanja tačke M je: 2 v a = j. (11) R

18 Koiolisovo ubzanje je jednako dvostukom vektoskom poizvodu penosne ugaone bzine obuča i elativne bzine pstena: a i j k 2 2v 4v = 2( ω v ) = 20 0 = j. (12) R R v 0 0 c p Apsolutno ubzanje pstena: 2 2 2v 9v aa = ap + a + ac = i j. (13) R R