12/1/2015 ELEMENTI TEORIJE NAPONA RAVNO STANJE NAPONA SAVIJANJE SILAMA NAPON U PRESEČNOJ RAVNI. ρ = σ + τ + τ ρ = σ 2 + τ

Transcript

1 //05 ELEMENTI TEORIJE NAPONA RAVNO STANJE NAPONA SAVIJANJE SILAMA OTPORNOST MATERIJALA I Pojam napona vean je a određenu tačku i ravan kojoj pripada ta tačka. Nekom drugom preseku kro tačku M tela odgovaraće neki drugi napon Takvih preseka koji se mogu povući kro proivoljnu tačku tela ima bebroj, pa će prema tome a tu tačku postojati bebroj totalnih napona. Skup svih totalnih napona u toj tački naiva se stanjem napona. Ovaj problem se, međutim može uprostiti, jer te vrednosti podležu veama, nisu potpuno neavisne, tako da je dovoljno da se a usvojen Dekartov koordinatni sistem u prostoru, u okolini tačke, posmatraju ukupni naponi u ravnima čije su normale ose koordinatnog sistema. NAPON U PRESEČNOJ RAVNI STANJE NAPONA U OKOLINI TAČKE Stanje napona u proivoljnoj tački tela iloženog dejstvu spoljnjih sila je određeno ako su ponati vektori napona a sve presečne ravni kro tu tačku. Skup svih tih vektora određuje stanje napona u toj tački. Stanje napona u nekoj tački je ponato ako je ponat vektor napona n a bilo koju presečnu ravan u toj tački. Smičući napon Normalni napon Totalni napon u ravni sa normalom n u tački M Treba pokaati da je a ponavanje vektora napona a proivoljnu presečnu ravan potrebno nati vektore napona a bilo koje tri nekomplenarne presečne ravni u toj tački. KOMPONENTALNI NAPONI. TENZOR NAPONA. Ukupni totalni napon se može raložiti na tri komponente: U pravcu normale na presek u ravni preseka tangencijalnoj ravni koji može da se raloži na komponente u ravni preseka u pravcima l, m Ukupni totalni napon: n n nl nm normalni napon n smičući napon n nl, nm Intenitet totalnog napona: n n n Normalni napon F lim A 0 A df da Smičući ili tangencijalni napon F df lim A 0 A da F df lim A 0 A da

2 //05 Intenitet sile koja deluje normalno na površinu A po jedinici površine se definiše kao normalni napon (sigma). Normalni napon F lim A 0 A df da Smičući ili tangencijalni napon F df lim A 0 A da Indeks u F df lim A 0 A da Ako je normalna sila, ili napon usmeren od elementarne površine A, tj. u smeru normale presečne ravni, radi se o naponu ateanja, a ako je usmeren prema njoj, onda je to napon pritiska. Intenitet sile koja deluje tangentno na površinu A po jedinici površine, je smičući napon (tau). Komponente smičućeg napona su: onačava pravac normale presečne ravni, čime je definisana površina A. Dva indeksa se koriste u obeležavanju komponenata smičućeg napona gde definiše površinu A, a i pravce komponenata smičućeg napona. Ako kro proivoljnu tačku O napregnutog tela postavimo tri međusobno upravne ravni, onda devet komponentalnih napona tri normalna,, i šest smičućih,,,,, koje se javljaju u tim ravnima potpuno određuju naponsko stanje u okolini tačke O. Ako je ponato ovih devet veličina onda možemo da odredimo vektor napona a bilo koju ravan koja prolai kro tačku O. Ravan O je ravan sa normalom, a napon u njoj je i j k VEZA IZMEĐU VEKTORA NAPONA I KOMPONENTALNIH NAPONA. KOŠIJEVE JEDNAČINE Postavimo bliu tačke O tela proivoljnu kosu ravan ABC i obeležimo njenu površinu sa da. Položaj te površi određen je uglovima koji određuju položaj njene normale n u odnosu na ose pravouglog koordinatnog sistema. Ravan O je ravan sa normalom, a napon u njoj je i j k Ravan O je ravan sa normalom, a napon u njoj je i j k n cos α i cosβ j cos γ k cos α cos β cos γ KOMPONENTALNI NAPONI. TENZOR NAPONA Za ponavanje stanja napona u jednoj tački tela. iloženog dejstvu spoljnjih sila potrebno je ponavati napone u tri međusobno upravne ravni, na osnovu kojih se može odrediti ukupni napon u proivoljnoj ravni koja prolai kro adatu tačku deformisanog tela. i j k i j k i j k Površ ABC je trougao u ravni sa normalom n površine da Površ ABC sa površima AOC, AOB i BOC čini elementarni tetraedar ivica d, d i d, sa temenom u tački O. Na osnovu ponatih komponenata napona a tri međusobno upravne presečne ravni može se odrediti vektor napona ačetvrtu ravan u bliini tačke O. n Površ AOC je trougao u ravni sa normalom površine da Površ BOC jr trougao u ravni sa normalom površine da Površ AOB je trougao u ravni sa normalom površine da

3 //05 OSNOVNI STAV ANALIZE NAPONA. STAV O KONJUGOVANOSTI SMIČUĆIH NAPONA Smičući naponi na dvema međusobno upravnim površima usmereni su upravno na pravu dobijenu presekom tih površi, istog su inteniteta, sa smerovima ka ili od presečne prave. Kako je: da Projekcije vektora napona na površi ABC određuju se i uslova ravnoteže tetraedra OABC: X 0 da da da da 0 da cos α da Projekcija napona na osu je: n da cosβ da da cos γ n cos α cosβ cos γ cos cos cos n α β γ Projekcija napona na osu je: Projekcija napona na osu je: cos α cosβ cos γ n cos α cosβ cos γ n cos α cosβ cos γ n n cos α cosβ cos γ n cos α cosβ cos γ Košijeve (Cauch) jednačine Primenom Košijevih jednačina određuju se projekcije vektora napona pomoću komponenata napona a tri međusobno upravne ravni kro tačku O. Ovim je dokaana tvrdnja: Za ponavanje stanja napona u jednoj tački tela iloženog dejstvu spoljnjih sila potrebno je ponavati napone u tri međusobno upravne ravni, na osnovu kojih se može odrediti ukupni napon u proivoljnoj ravni koja prolai kro adatu tačku deformisanog tela. OSNOVNI STAV ANALIZE NAPONA. STAV O KONJUGOVANOSTI SMIČUĆIH NAPONA Stav o konjugovanosti napona smicanja: U dvema međusobno upravnim ravnima komponente napona smicanja koje su normalne na presečnu pravu tih ravni jednake su po veličini, a obe imaju smer ili ka presečnoj ravni ili od nje. TENZOR NAPONA ZA PROSTORNO STANJE NAPONA ( S) Jednačina momenata svih sila u odnosu na osu O koja prolai kro težite tetraedra: M ( F ) i 0 d d d dd d I analognih jednačina momenata svih sila u odnosu na ose O i O slede relacije: koje predstavljaju stav ili akon o konjugovanosti smičućih napona. Ako je ponato devet veličina:,,,,,,, od čega je samo šest raličitih jer je na osnovu stava o konjugovanosti napona: tj. ako su ponati komponentalni naponi a tri međusobno upravne ravni stanje napona u toj tački je potpuno određeno. Komponentalni naponi se naivaju komponente tenora napona i predstavljaju se u obliku kvadratne šeme matrica tenora napona ili tenor napona. Na osnovu akona o konjugovanosti smičućih napona matrica tenora napona je simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu. Tenor napona je simetričan tenor drugog reda. 3

4 //05 Komponentalni naponi koji leže na glavnoj dijagonali matrice tenora napona, deluju normalno na presečne ravni i naivaju se normalni naponi, dok komponentalni naponi koji se nalae van glavne dijagonale deluju u presečnim ravnima i stoga se naivaju tangencijalni ili smičući naponi. Vektori napona a sve moguće presečne ravni kro datu tačku obrauju u opštem slučaju jedan prostorni skup vektora, a takvo najopštije stanje se naiva prostorno stanje napona (troosno). ( S) ( S) Znak komponentalnih napona određuje se prema konvenciji o naku napona: Na elementu površine sa smerom spoljne normale u smeru koordinatne ose poitivni komponentalni naponi deluju u poitivnom smeru koordinatnih osa. U suprotnom slučaju, tj. kada je spoljna normala orijentisana suprotno od koordinatne ose, poitivan napon dejstvuje u smeru suprotnom od poitivnog smera koordinatne ose. Odavde sledi da će normalni napon biti usvojen kao poitivan ako ateže presečnu ravan, a negativan ako je pritiska. Postoje slučajevi kada vektori napona a sve moguće presečne ravni leže u jednoj ravni ravno ili dvoosno stanje napona, odnosno kada svi ti vektori imaju isti pravac, kolinearni su linearno, ili jednoosno stanje napona (aksijalno napreanje, čisto pravo savijanje itd.). VEZA IZMEĐU VEKTORA NAPONA I TENZORA NAPONA Uevši u obir stav o konjugovanosti smičućih napona Košijeve jednačine u konačnom glase: Košijeve (Cauch) jednačine n cos α cosβ cos γ Ovim jednačinama se mogu odrediti komponente tenora napona n cos α cosβ cos γ a proivoljnu presečnu ravan n cos α cosβ cos γ ako je ponat tenor napona u toj tački. Intenitet totalnog napona u ravni sa normalom n: n cosα i cosβ j cos γ k RAVNO (DVOOSNO) STANJE NAPONA Ako naponi u nekoj tački a bilo koju presečnu ravan leže u jednoj ravni stanje napona je ravno. n n n n cos a njegov pravac: n n n ( n, i ), cos( n, j), cos( n, k). n n n Stanje napona u nekoj tački u slučaju ravnog stanja napona je u potpunosti određeno ponavanjem triju komponenti napona, i ( ). Totalni napon u ravni sa normalom n se može raložiti na dve komponente: - normalnu komponentu u pravcu vektora normale presečne ravni i - smičuću ili tangencijalnu komponentu n n n n cos α n cosβ n cos γ n ( cosα cosβ cosγ) cos ( cosα cosβ cosγ) cos ( cosα cosβ cos γ) cosγ α β ( cos αcosβ cosβcos γ cos γ cos α) n cos α cos β cos γ Tangencijalni napona n l nl u ravni sa normalom u pravcu koji sa koordinatnim osama aklapa uglove α β i γ l cos α cosβ cos γ nl nl n n n cos α cos α cos βcos β cos γ cos γ ( cos α cos β cos βcos α ) ( cos βcos γ cos γ cos β ) ( cos γ cos α cos α cos γ ) Normalni napon n TENZOR NAPONA PRI RAVNOM STANJU NAPONA ( S) Stanje napona u tački na površini aviona je ravno. 4

5 //05 PRIMERI RAVNOG STANJA NAPONA RAVNO (DVOOSNO) STANJE NAPONA ( ) ( ) cos ϕ sin ϕ n ( ) sin ϕ cos ϕ nl Irai a normalni i tangencijalni napon u ravni sa normalom n a ravno stanje napona Normalni napon je poitivan ako ateže presečnu ravan, a negativan ako je pritiska. Smičući napon je poitivan ako teži da okrene element u smeru kaaljke na satu. nl Košijeve jednačine u slučaju ravnog stanja napona: n n cosα cosβ cos α cosβ a irai a normalni i tangencijalni napon: cos α cos β cosα cosβ n cos α cos α cos βcos β ( cos α cos β cos βcos α ) Ove dve jednačine određuju napreanje u ravni čija normala aklapa uglove α i β sa koordinatnim osama. Ako su ponati komponentalni naponi, i ( ) primenom Košijevih jednačina moguće je odrediti napon u ma kojoj proivoljnoj ravni. GLAVNI NAPONI I GLAVNE OSE PRI RAVNOM STANJU NAPONA ( ) ( ) cos ϕ sin ϕ ( ) sin ϕ cos ϕ Pri rotaciji kose ravni, tj. pri promeni ugla ϕ imeđu normale i koordinatnih osa, naponi se menjaju prema ovim formulama. Postoje ravni u kojima se ne javljaju smičući naponi. Te ravni se naivaju glavne ravni, a normalni naponi a te ravni su glavni naponi. Posmatrajmo neku presečnu ravančija normala leži u ravni O i aklapa ugao ϕ sa osom. Naponi u presečnim ravnima su pretpostavljeni poitivni. Ako je ϕ ugao imeđu poitivnog smera ose i spoljne normale: cos α cosϕ, cosβ sin ϕ, cosα sin ϕ, cosβ cosϕ Zamenom u irae a normalni i tangencijalni napon dobija se: n n cos ϕ Pomoću trigonometrijskih relacija: sin ϕ sin ϕcosϕ ( ) sin ϕcos ϕ ( cos ϕ sin ϕ) sin ϕcos ϕ sin ϕ, cos ϕ Normalni napon je poitivan ateže element Smičući napon je poitivan - teži da okrene element u smeru kaaljke na satu. ( cos ϕ), sin ϕ ( cos ϕ) cos ϕ sin ϕ cos ϕ ( ) ( ) cosϕ sin ϕ ( ) sin ϕ cos. ϕ Postoji određeni položaj ϕα kada normalni napon dostiže ekstremnu vrednost. Ugao α se može odrediti diferenciranjem iraa a normalni napon po uglu ϕ i ijednačavanjem sa nulom d dϕ ( ) sin ϕ cos ϕ ( ) sin α cos α 0 cosα tgα α α π d 0 dϕ U presečnim ravnima u kojima normalni napon dostiže ekstremnu vrednost smičući napon je jednak nuli. π α α 5

6 //05 Ravni u kojima se javljaju ekstremne vrednosti normalnih napona međusobno ortogonalne. π α α Kako je funkcija ( ϕ) neprekidna i periodična sa periodom π, jedna vrednost je maksimum, a druga je minimum. Ekstremne vrednosti glavnih napona se ovu glavni naponi, a ravni u kojima se oni javljaju ravni glavnih napona ili glavne ravni. Pravci sa kojima su ti naponi paralelni ovu se pravci glavnih napona, a odgovarajuće ose ose glavnih napona ili glavne ose. Glavni naponi se onačavaju sa i, pri čemu je ma, a min. KONSTRUKCIJA MOROVE KRUŽNICE NAPONA Mohr-ov krug napona se konstruiše na sledeći način:. Skicira se element u okolini posmatrane tačke i na njemu, u tačkama C i D koordinatnih ravni, nacrtaju se adate komponente napona, i, (sl. a).. U koordinatnom sistemu O nacrtaju se tačke C(, - ) i D(, ). Pri tome se a nak smičućeg napona usvaja definicija prema kojoj je smičući napon poitivan ako teži da okrene element na koji deluje u smeru kaaljke na satu (sl.c). Kako smičući napon u tački C (sl. a) teži da okrene element u smeru suprotnom smeru kaaljke na satu, to, prema definiciji koja važi a konstrukciju Morovog kruga, taj napon je negativan. 3. Konstruiše se krug koji prolai kro tačke C i D,čiji se centar S nalai u preseku ose i duži CD. 4. Apscise tačaka A i B, preseka Morovog kruga sa osom određuju veličine glavnih napona i. 5. Pravce glavnih napona () i () predstavljaju prave određene tačkama P i A, odnosno P i B (sl.b),e), gde je P pol normala koji ima sledeću osobinu: bilo koja prava koja prolai kro pol P paralelna je sa normalom presečne ravni kojoj odgovara tačka na Mohrovom krugu koja se nalai u preseku posmatrane prave i kruga. Na primer, prava određena tačkama P i M (sl.e) paralelna je sa normalom n kose presečne ravni (sl. c) kojoj ogovara tačka M na Mohr-ovom krugu sa koordinatama i. Imajući u vidu ovu osobinu pola normala P jasno je da se on nalai u preseku prave paralelne sa osom kro tačku C i prave paralelne sa osom kro tačku D. 6. Ordinate tačaka E i F određuju ekstremne vrednosti smičućih napona, a pravci određeni tačkama P i E, odnosno P i F predstavljaju normale ravni u kojima se ti naponi javljaju (sl.d,e). sin α, ± tgα, cosα, ±. Skicira se element u okolini posmatrane tačke i na njemu, u tačkama C i D koordinatnih ravni, nacrtaju se adate komponente napona, i, (sl. a).. U koordinatnom sistemu O nacrtaju se tačke C(, - ) i D(, ). Pri tome se a nak smičućeg napona usvaja definicija prema kojoj je smičući napon poitivan ako teži da okrene element na koji deluje u smeru kaaljke na satu (sl.c). Kako smičući napon u tački C (sl. a) teži da okrene element u smeru suprotnom smeru kaaljke na satu, to, prema definiciji koja važi a konstrukciju Morovog kruga, taj napon je negativan. Zamenom u irae a normalni i smičući napon dobijaju se irai a glavne napone, ma,min ± MOROV KRUG NAPONA Irai a napone se mogu se grafički prikaati pomoću Morove (Mohr) kružnice. Ako se jednačine a normalni i smičući napon u kosoj ravni prikažu u obliku: ( ) ( ) cos ϕ sin ϕ ( ) sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ Jednačina kruga u koordinatnom sistemu, poluprečnika: r sa centrom na osi. Centar S ovog kruga je udaljen od koordinatnog početka a veličinu: Ovaj krug se naiva Morov krug napona. OS 3. Konstruiše se krug koji prolai kro tačke C i D,čiji se centar S nalai u preseku ose i duži CD. 4. Apscise tačaka A i B, preseka Morovog kruga sa osom određuju veličine glavnih napona i. Samo one vrednosti i koje adovoljavaju ovaj uslov mogu biti normalna i smičuća komponenta vektora napona u nekoj ravni čija normala leži u ravni O. 6

7 //05 5. Pravce glavnih napona () i () predstavljaju prave određene tačkama P i A, odnosno P i B (sl.b),e), gde je P pol normala koji ima sledeću osobinu: bilo koja prava koja prolai kro pol P paralelna je sa normalom presečne ravni kojoj odgovara tačka na Mohr-ovom krugu koja se nalai u preseku posmatrane prave i kruga. e) Na primer, prava određena tačkama P i M (sl.e) paralelna je sa normalom n kose presečne ravni (sl. c) kojoj ogovara tačka M na Mohr-ovom krugu sa koordinatama i. Imajući u vidu ovu osobinu pola normala P, jasno je da se on nalai u preseku prave paralelne sa osom kro tačku C i prave paralelne sa osom kro tačku D. Konstrukcija Mohr-ovog kruga napona D (, ) M(n,n) YX o ϕ o ϕ C (, ) ½( ) ½(- ) 6. Ordinate tačaka E i F određuju ekstremne vrednosti smičućih napona, a pravci određeni tačkama P i E, odnosno P i F predstavljaju normale ravni u kojima se ti naponi javljaju (sl.d,e). Glavni naponi pri ravnom stanju napreanja D (, ) α o o α R C (, ) ½( ) ½(- ) 7

8 //05 Maksimalan smičući napon i pravci glavnih napona D (, ) TANGENCIJALNI (SMIČUĆI) NAPONI Naponi koji deluju u ravni poprečnog preseka se naivaju tangencijalni ili smičući naponi ma o o α α pravac glavnog napona α pravac glavnog napona α R min C (, ) ½( ) ½(- ) Usled komplementarne prirode napona smicanja elementarni deo grede iložen je kako dejstvu tangencijalnog napona u poprečnom preseku tako i tangencijalnom naponu u podužnom preseku grede. n n Pravci glavnih napona α pravac glavnog napona α pravac glavnog napona α α SAVIJANJE GREDE SILAMA Ako se greda savija pod dejstvom sila koje deluju u glavnoj ravni pored momenta savijanja u presecima grede se javljaju i transveralne sile. U ovom slučaju moment savijanja M nije konstantan, kao što je to bio slučaj kod čistog savijanja, nego se menja duž ose grede. Pri savijanju silama se u poprečnom preseku grede pored normalnih napona javljaju i smičući naponi. Ekvivalent smičućim naponima u poprečnom preseku grede je trensveralna sila. Smičući i normalni naponi u poprečnom preseku grede su raspoređeni neravnomerno, pa je neravnomerna i ugaona deformacija po poprečnom preseku grede. To nači da pri savijanju silama, a raliku od čistog pravog savijanja, poprečni preseci grede ne ostaju ravni u ovom slučaju ne važi Bernulijeva hipotea. SAVIJANJE GREDE SILAMA Pre deformacije SMIČUĆI NAPONI FORMULA ŽURAVSKOG SAVIJANJE GREDE SILAMA Posle deformacije OTPORNOST MATERIJALA I Iako je hipotea o ravnim presecima narušena kod grede opterećene silama, tj. iložene savijanju i smicanju istovremeno, smatraćemo da je krivljenje preseka anemarljivo. Ovo tvrđenje je uglavnom tačno a grede čija je širina poprečnog preseka mala u odnosu na dužinu grede. 8

9 //05 SAVIJANJE GREDE PROIZVOLJNOG PUNOG POPREČNOG PRESEKA SILAMA Pri ovakvom opterećenju statički uticaji se svode samo na transveralnu silu i moment savijanja čija raspodela duž ose nosača nije konstantna. RASPODELA SMIČUĆIH NAPONA FORMULA ŽURAVSKOG Smičući (tangencijalni) napon grede iložene savijanju silama se ne može odrediti i uslova ravnoteže. I grede se iseče element dužine d imeđu dva bliska poprečna preseka. Ovakva vrsta napreanja grednog nosača se naiva savijanje grede silama. Zatim se element preseče pomoću ravni A B BA na rastojanju od neutralnog sloja, tj. od ravni i odvoji se gornji deo. Transveralna sila iaiva smicanje Moment savijanja iaiva savijanje U toj presečnoj ravni deluje smičući napon. Na gornji ečeni deo elementa deluju normalni naponi i d koji se svode na nejednake reultujuće sile od kojih jedna deluje u smeru ose, a druga u suprotnom smeru. Radi uravnoteženja ovih sila treba u horiontalnoj presečnoj ravni da deluje sila koja predstavlja reultantu smičućih napona. Na osnovu stava o konjugovanosti smičućih napona smičući naponi u dvema upravnim ravnima (podužnom i poprečnom preseku), duž presečnih linija tih ravni, međusobno su jednaki i deluju ka presečnoj liniji ili od nje ( ). Lom i oštećenja usled smičućih napona Uslov ravnoteže elementa: Z 0 b da A ( d) da b( ) A ( ) d d da M I dm d d d I A' T I T transveralna sila u preseku b ( ) A' d 0 d da d da d T A' T S ( ) da d I b( ) I b( ) b A' S statički moment ečene površine Formula Žuravskog 9

10 //05 U otpornosti materijala pri ispitivanju napona u gredi savijenoj silama polai se od hipotee Žuravskog: Pri pravom savijanju grede silama, komponenta smičućeg napona paralelna ravni savijanja, može se smatrati konstantnom duž pravih paralelnih sa neutralnom osom, a komponenta upravna na ravan savijanja može se anemariti. T I S b ( ) Komponenta smičućeg napona upravna na ravan savijanja se može anemariti Formula Žuravskog Komponenta smičućeg napona paralelna ravni savijanja je konstantna duž pravih paralelnih sa neutralnom osom SMIČUĆI NAPONI KOD PRAVOUGAONOG PRESEKA 3 bh I, b() b h b h S η da ηbdη 4 A T S 6 h T 3 I b( ) b h 4 Po visini poprečnog preseka smičući napon se menja po akonu kvadratne parabole. Na krajnjim vlaknima gde je ±h/ smičući naponi su jednaki nuli, dok maksimalnu vrednost smičući napon ima u nivou težišne ose. T S 6 h 6 h 3 T 3 T ma T T I b b h 4 b h 4 bh bh ( ) ( ) 3 T ma A Povećanjem rastojanja smanjuje se površina A pa se samim tim smanjuje statički moment inercije S. Za ma A 0 i S 0, pa je 0. Približavanjem donjoj ivici poprečnog preseka, šrafirana površina se ijednačava sa površinom celog preseka A A, a statički moment celog preseka u odnosu na težišnu osu je jednak nuli, pa je i napon na donjoj ivici preseka 0. SMIČUĆI NAPONI KOD KRUŽNOG PRESEKA 3 S R sin α b( ) R sin α 3 4 R π I 4 T S 4 T 4 ( R ) I b ( ) 3 R π 4 T 4 T ma 3 R π 3 A U najudaljenijim tačkama preseka od ose, smičući naponi su jednaki nuli. SMIČUĆI NAPON U PROIZVOLJNOM POPREČNOM PRESEKU GREDE IMA ISTI ZNAK KAO I TRANSVERZALNA SILA U TOM PRESEKU. SMIČUĆI NAPONI KOD POPREČNIH PRESEKA ČIJA SE ŠIRINA NAGLO MENJA Ako je transveralna sila poitivna deluje na dole, i napon je poitivan, sa smerom na dole. Raspodela smičućih napona po visini poprečnog preseka grede prikaana je a neke oblike poprečnih preseka. T S T S b I b I b b 0

11 //05 Normalni napon od savijanja se određuje na osnovu iraa: M I Smičući napon se određuje primenom formule Žuravskog: Pri savijanju grede silama stanje napona je ravno. Irai a određivanje glavnih napona i pravaca glavnih osa kod ravnog stanja napona kao što je ponato glase: ± tgα, ma,min ( ) T S I b ( ) ( ) GLAVNI NAPONI KOD SAVIJANJA SILAMA Kao što je već rečeno, savijanje silama predstavlja napreanje štapa pri kojem se u poprečnim presecima javlja moment savijanja (koji nije konstantan duž ose nosača) i transferalna (poprečna) sila. Takvo napreanje mogu iavati raličita opterećenja koja leže u ravni savijanja koja obuhvata osu štapa: koncentrisana (poprečna sila i spreg) kontinualno (ravnomerno) raspodeljena. Irai a određivanje glavnih napona i pravaca glavnih osa kod ravnog stanja napona kao što je savijanje silama glase: Ovde je, ± ma,min, 0 ±, ma,min F a F a ± 4, ma,min tg α, KONZOLA OPTEREĆENA SILOM NA SLOBODNOM KRAJU Kod savijanja silama na osnovu svega napred rečenog aključuje se da su svi komponentalni naponi jednaki nuli, sem normalnog napona u pravcu ose štapa i smičućeg napona

12 //05 Na podužnom preseku grede prikaane su krive čije se tangente u svakoj tački nalae u jednoj od glavnih ravni a tu tačku. Ove krive se naivaju trajektorije glavnih napona. Na slici su prikaane trajektorije glavnih napona a konolu opterećenu silom na kraju. Ponavanje ovih linija može da bude od koristi inženjerima prilikom projektovanja konstrukcija.. Glavni napini u tački P mogu se odrediti i primenom Morovih krugova napona. Kao što je prikaano na slici, centar kruga je na osi, udaljen od koordinatnog početka a: 45, 4 0 OC,7 MPa Tačka P ima koordinte 45, 4MPa, 35, MPa Konstruiše se krug koji prolai kro tačke C i P. Sa slike se može sračunati poluprečnik ove kružnice, R4,9, kao i veličine glavnih napona: R-,79, MPa, -R-,7-64,6 MPa. Primer: Odrediti glavne napone u tački P ako ona pripada rebru. DIMENZIONISANJE GREDA KOD SAVIJANJA SILAMA PRORAČUN ČVRSTOĆE KONTROLA NAPONA U opštem slučaju grede savijene silama mogu se javiti i normalni i smičući naponi. Normalni napon ima najveću vrednost u preseku u kome deluje maksimalni moment savijanja i to u tačkama u koje su najudaljenije od neutralne linije. Sile u nanačenom preseku su: T V q 0,3 84kN A 0,3 M VA 0,3 q 0,3 30,6kNm Komponente napona u tački P: 3 M 30,6 0 6 ( 0,) 45, 4MPa I 67,4 0 3 T S 84 0 ( 0,75 0,05 0,075) 35, MPa 6 b( ) I 67,5 0 0,00 Najveća vrednost smičućeg napona javlja se u preseku u kome je transveralna sila najveća i to u tačkama koje su na neutralnoj osi. Prema tome, normalni i smičući naponi obično ne deluju ni u istom poprečnom preseku ni u istim tačkama poprečnog preseka. Glavni naponi u tački P: Pravci glavnih napona u tački P:, ± 4 45,4 ± ( 45,4) 4( 35,) 9, MPa 64,6MPa ( 35, ) tgα,, , 4 drugi kvadrant o α 80 arc tg, α 8, 6 U kojoj tački poprečnog preseka treba da se traži najveći glavni napon avisi od oblika poprečnog preseka. To su obično krajnja vlakna ili vlakna koja su udaljena od neutralne ose. Međutim, pitanje je u kom poprečnom preseku treba da se očekuje najveći glavni napon. U obrascu a glavne napone figurišu i normalni napon, koji je proporcionalan momentu savijanja i tangencijalni napon koji je proporcionalan transveralnoj sili, pa i dijagrama momenata savijanja i transveralnih sila treba a svaki pojedinačni slučaj posebno oceniti gde će glavni napon poprimiti najveću vrednost. Kod konole je to presek kod uklještenja, dok kod proste grede avisi od opterećenja. Ako je greda opterećena samo koncentrisanim silama, onda je to presek gde moment savijanja ima najveću vrednost. Međutim, kod grede opterećene kontinualnim opterećenjem treba ivršiti detaljnu analiu.

13 //05 Dobijena maksimalna vrednost glavnog napona ili maksimalna vrednost smičućeg napona merodavna je a dimenionisanje grede. ma do ma do 3