ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ ΜΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ. Υπό των φοιτητών:

Transcript

1 ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ ΜΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Υπό των φοιτητών: ΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ (6470) ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ (6597) Επιβλέπων: Δρ.ΝΟΤΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Σέρρες, 2013

2 1 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 2. ΣΚΟΠΟΙ - ΣΤΟΧΟΙ 3 3. ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 4 4. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΙ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΗΣ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΜΙΑΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΙΝΗΤΟΙ ΜΕΣΟΙ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΠΡΟΒΟΛΗ ΤΗΣ ΤΑΣΗΣ ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ : Η ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ BOX- JENKINS 5.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5.2. Η ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ BOX- JENKINS ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOX- JENKINS ΓΕΝΙΚΟΣ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ 5.3. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 6. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ 6.1 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΓΟΡΑΣ 6.2. Η ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOX- JENKINS : ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 6.3. ΜΕΡΙΚΕΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΙΣ 7. ΤΑ ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ BOX- JENKINS 7.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 7.2. ΠΡΟΤΥΠΟ ΑΥΤΟΑΠΟΚΛΙΣΗΣ 7.3. ΠΡΟΤΥΠΑ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ 7.4. ΠΡΟΤΥΠΑ ΑΥΤΟΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ 8. Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ BOX- JENKINS 8.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 8.2. ΠΡΩΤΟ ΒΗΜΑ : ΤΑΥΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΤΥΠΟΥ 8.3. ΔΕΥΤΕΡΟ ΒΗΜΑ : ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΓΝΩΣΗ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟΥ 8.4.ΤΡΙΤΟ ΒΗΜΑ: ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΕ ΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ 8.5. Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΑΣ : ΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ BOX- JENKINS ΣΕ ΜΙΑ ΕΤΑΙΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

3 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην διπλωματική εργασία αυτή πρόκειται να ασχοληθούμε με τις προβλέψεις πωλήσεων με την βοήθεια της μεθοδολογίας Box-Jenkins. Συγκεκριμένα μετά την εισαγωγή, θα παρουσιάσουμε στο δεύτερο κεφάλαιο τους σκοπούς και στόχους της εργασίας αυτής. Σκοπός αυτής της εργασίας είναι η μελέτη της πρόβλεψης των πωλήσεων μιας εταιρίας με εργαλείο την μεθοδολογία Box-Jenkins (ARIMA) και η συναγωγή των αναγκαίων συμπερασμάτων. Στο τρίτο κεφάλαιο θα τοποθετήσουμε το πρόβλημα και θα αναφερθούμε στις πωλήσεις, προβλέψεις καθώς επίσης και στην μεθοδολογία Box- Jenkins. Στο τέταρτο κεφάλαιο θα μελετήσουμε τις διάφορες θεωρίες μεθόδους προβλέψεων ενώ στο πέμπτο κεφάλαιο θα εστιαστούμε στο θεωρητικό μας μοντέλο, που δεν είναι άλλο από την μεθοδολογία Box-Jenkins. Στο επόμενο κεφάλαιο γίνεται μία αναφορά στην μεθοδολογία έρευνας που θα χρησιμοποιήσουμε ενώ στην συνέχεια θα προβούμε σε μία εφαρμογή της μεθοδολογίας Box-Jenkins. Στο όγδοο κεφάλαιο θα εξαχθούν τα συμπεράσματα της εργασίας με δομημένο και συνθετικό τρόπο. Τέλος ακολουθεί στο ένατο κεφάλαιο το χρονοπρόγραμμα διεργασιών διπλωματικής εργασίας.

4 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ Σκοπός της διπλωματικής αυτής εργασίας είναι η μελέτη της πρόβλεψης των πωλήσεων μιας εταιρίας με εργαλείο την μεθοδολογία Box-Jenkins (ARIMA)και η συναγωγή των αναγκαίων συμπερασμάτων. Ειδικότερα, οι επιμέρους στόχοι της διπλωματικής αυτής είναι : Παρουσίαση των βασικών μοντέλων της πρόβλεψης (ποιοτικές ποσοτικές) Μελέτη και διερεύνηση της μεθοδολογίας Box-Jenkins, των βασικών ορισμών, εργαλείων και τεχνικών της, καθώς και του κύριου υποδείγματός της Εφαρμογή της μεθοδολογίας αυτής στην μελέτη μιας πραγματικής περίπτωσης, από τον επιχειρησιακό χώρο.

5 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Έχοντας υπόψη ότι οι πωλήσεις είναι ένα σημαντικό τμήμα σε μία εταιρία μπορούμε να διαπιστώσουμε επίσης για να μπορεί η εταιρία να έχει μία εικόνα της πορείας της κρίνεται αναγκαίο να προβεί σε μία πρόβλεψη των πωλήσεων. Η αβεβαιότητα που πολλές φορές χαρακτηρίζει τη ζήτηση προϊόντων και υπηρεσιών καθιστά αναγκαία την χρήση των προβλέψεων καθώς και των μεθόδων τους. Μία από τις μεθόδους πρόβλεψης πωλήσεων που παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον για την εργασία αυτή είναι η μεθοδολογία Box-Jenkins. Η μεθοδολογία αυτή διαχωρίζεται σε τρία στάδια : α) της ταυτοποίησης,β) της εκτίμησης και γ)της διάγνωσης. Το πρόβλημα στην περίπτωσή μας θα είναι να μελετηθεί η παραπάνω μεθοδολογία καθώς επίσης και να εφαρμοστεί σε πραγματικά στοιχεία μιας εταιρίας.

6 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μία κριτική άποψη για τη διοίκηση των επιχειρήσεων αναφέρεται στον προγραμματισμό του μέλλοντος. Η μακροχρόνια επιτυχία ενός οργανισμού σχετίζεται έντονα με το πόσο καλά η διοίκηση μπορεί να προβλέψει το μέλλον και να αναπτύξει τις ανάλογες στρατηγικές. Στο παρακάτω σχήμα εμφαίνεται διαγραμματικά η διάκριση των μεθόδων πρόβλεψης. ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ ΑΙΤΙΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Delphi Scenarios Expert judgment Intuition ΔΙΧΩΣ ΤΑΣΗ ΜΕ ΤΑΣΗ ΜΕ ΤΑΣΗ + ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ

7 6 Οι μέθοδοι πρόβλεψης διακρίνονται σε ποιοτικές και ποσοτικές. Οι ποσοτικές μέθοδοι βασίζονται σε ανάλυση ιστορικών στοιχείων μιας χρονολογικής σειράς και ίσως και άλλων σχετικών χρονολογικών σειρών. Αν τα ιστορικά στοιχεία που χρησιμοποιούνται αναφέρονται μόνο στις παλαιές τιμές της χρονολογικής σειράς για την οποία προσπαθούμε να πραγματοποιήσουμε πρόβλεψη, η μεθοδολογία της πρόβλεψης ονομάζεται μέθοδος των χρονολογικών σειρών. Τρεις είναι οι μέθοδοι χρονολογικών σειρών : α) εξομάλυνση (κινητοί μέσοι, σταθμικοί μέσοι και εκθετική εξομάλυνση), β) η προβολή της τάσης, γ) η προβολή της τάσης με προσαρμογή στις εποχιακές επιρροές. Αν τα ιστορικά στοιχεία που χρησιμοποιούνται στις ποσοτικές μεθόδους πρόβλεψης περιέχουν και άλλες χρονολογικές σειρές που πιστεύουμε ότι σχετίζονται με τη χρονολογική σειρά που προσπαθούμε να προβλέψουμε, λέμε ότι χρησιμοποιείται η τυχαία μέθοδος, και αναφερόμαστε στην ανάλυση πολλαπλής παλινδρόμησης. Οι ποιοτικές μέθοδοι πρόβλεψης γενικά χρησιμοποιούν την κρίση των εμπειρογνωμόνων. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν όπου δεν υπάρχουν ιστορικά στοιχεία. 4.2 ΟΙ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΗΣ Η αβεβαιότητα που πολλές φορές χαρακτηρίζει τη ζήτηση προϊόντων ή υπηρεσιών και, συνεπώς, τις απαιτήσεις σε μηχανές, υλικά, κεφάλαια, ανθρώπινο δυναμικό και, γενικά, δυναμικότητα που θα χρησιμοποιηθεί ώστε να ικανοποιηθεί η ζήτηση κατέστησε αναγκαία την ανάπτυξη μεθόδων πρόβλεψης. Ο προγραμματισμός και ο έλεγχος της παραγωγής, ειδικότερα, απαιτούν εκτιμήσεις όσον αφορά την ποσότητα και το χρόνο που αναμένεται να ζητηθεί το προϊόν ενός παραγωγικού συστήματος.

8 7 Πολλές είναι οι μέθοδοι που έχουν αναπτυχθεί για τη διενέργεια προβλέψεων και χρησιμοποιούνται για τη λήψη αποφάσεων σε ποικίλες συνθήκες. Η επιλογή της κατάλληλης κάθε φορά μεθόδου, η εγκατάσταση και χρήση της και η ερμηνεία των αποτελεσμάτων της είναι μερικά από τα προβλήματα που αντιμετωπίζονται στην πρακτική αξιοποίηση των μεθόδων αυτών. Γενικά,ο βασικός παράγοντας που καθορίζει την επιλογή της μεθόδου προβλέψεων είναι το είδος των αποφάσεων που θα ληφθούν βάσει των προβλέψεων που θα προκύψουν. Εκτός από τον παράγοντα αυτό, η επιλογή της κατάλληλης μεθόδου καθορίζεται από ένα σύνολο ειδικότερων παραγόντων, στους οποίους περιλαμβάνονται : Η ζητούμενη μορφή της πρόβλεψης Η περίοδος και ο ορίζοντας πρόβλεψης Το κόστος της μεθόδου Η επιζητούμενη ακρίβεια Η απλότητα και ευκολία εφαρμογής Τα διαθέσιμα στοιχεία Οι μέθοδοι πρόβλεψης μπορούν να χωριστούν σε τρεις γενικές κατηγορίες : 1. Μέθοδοι προεκβολής ή μέθοδοι χρονοσειρών. Στις μεθόδους αυτές χρησιμοποιούνται στοιχεία από το παρελθόν για να γίνει πρόβλεψη για το μέλλον. Στόχος είναι να αναγνωριστεί ο τρόπος, με τον οποίο οι τιμές μιας μεταβλητής διαμορφώθηκαν στο παρελθόν,και να προβληθεί αυτός στο μέλλον.

9 8 2. Αιτιατές μέθοδοι. Εδώ οι προβλέψεις βασίζονται στην υπόθεση ότι η προς πρόβλεψη μεταβλητή είναι συνάρτηση ενός ή περισσότερων ανεξάρτητων παραγόντων. Επιδιώκεται να προσδιοριστεί η σχέση ανάμεσα στην εξαρτημένη μεταβλητή και στους ανεξάρτητους παράγοντες. 3. Ποιοτικές μέθοδοι ή μέθοδοι κρίσης. Βασίζονται στις υποκειμενικές εκτιμήσεις ατόμων,συνήθως ειδικών, και στο συνδυασμό ποιοτικών και ποσοτικών στοιχείων. Εφαρμόζονται για προβλέψεις μελλοντικών εξελίξεων στην τεχνολογία, τις αγορές αγαθών κλπ. 4.3 ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΜΙΑΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ Για να ερμηνευθεί το πρότυπο ή η συμπεριφορά των στοιχείων μιας χρονολογικής σειράς είναι καλό να θεωρηθεί ότι η χρονολογική σειρά αποτελείται από αρκετές συνιστώσες. Η συνήθης υπόθεση που γίνεται είναι ότι η τάση, η κυκλικότητα, η εποχικότητα και τα απρόβλεπτα συνδυάζονται για να πάρει η χρονολογική σειρά συγκεκριμένες τιμές. Σε μία ανάλυση χρονολογικών σειρών οι μετρήσεις μπορούν να γίνονται ανά ώρα, ημέρα, εβδομάδα, μήνα ή έτος ή στο τέλος μιας χρονικής περιόδου (ίσης διάρκειας). Αν τα στοιχεία των χρονολογικών σειρών γενικά παρουσιάζουν τυχαίες διακυμάνσεις, η χρονολογική σειρά μπορεί να παρουσιάζει ακόμα γενικές αλλαγές ή κινήσεις προς σχετικά υψηλότερες ή χαμηλότερες τιμές σε μια μεγαλύτερη χρονική περίοδο. Η σταδιακή μεταβολή στις χρονολογικές σειρές, που οφείλεται συνήθως σε

10 9 μακροχρόνιους παράγοντες όπως αλλαγές στον πληθυσμό, σε αλλαγές στα δημογραφικά χαρακτηριστικά του πληθυσμού, σε αλλαγές στην τεχνολογία και σε αλλαγές στις προτιμήσεις των καταναλωτών, ονομάζεται τάση χρονολογικών σειρών. Αν και μια χρονολογική σειρά μπορεί να δείχνει σταδιακή αλλαγή ή πρότυπο τάσης σε μεγάλες χρονικές περιόδους, δεν αναμένεται ότι όλες οι μελλοντικές τιμές της θα βρίσκονται ακριβώς πάνω στη γραμμή τάσης. Οι χρονολογικές σειρές παρουσιάζουν συχνά εναλλακτικές ακολουθίες, πάνω ή κάτω από τη γραμμή τάσης. Όποιο κανονικό πρότυπο ακολουθιών σημείων πάνω ή κάτω από την γραμμή τάσης διαρκεί περισσότερο από ένα έτος, αποδίδεται στην κυκλικότητα της χρονολογικής σειράς. 1 Ενώ η τάση και η κυκλικότητα των χρονολογικών σειρών παρουσιάζονται με ανάλυση της κίνησης των ιστορικών στοιχείων διάρκειας πολλών ετών, πολλές χρονολογικές σειρές παρουσιάζουν ένα κανονικό πρότυπο μεταβλητότητας σε χρονικές περιόδους μέσα στο έτος. Η συνιστώσα που αντιπροσωπεύει την μεταβλητότητα των στοιχείων και οφείλεται σε εποχιακές επιρροές ονομάζεται εποχική συνιστώσα. Η εποχική συνιστώσα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παρουσιαστεί οποιοδήποτε επαναλαμβανόμενο πρότυπο που διαρκεί λιγότερο από ένα έτος. Η απρόβλεπτη συνιστώσα των χρονολογικών σειρών είναι οι υπόλοιπες επιρροές. Είναι ο υπεύθυνος συντελεστής για τις αποκλίσεις μεταξύ των πραγματικών τιμών της χρονολογικής σειράς και αυτών που αναμένονται, αν μπορούν να ερμηνευθούν η τάση, η κυκλικότητα και η 1 Box,G., And Jenkins, G., (1976) Time Series Analysis : Forecasting and Control, (San Francisco : Holden Day)

11 10 εποχικότητα της χρονολογικής σειράς. Η απρόβλεπτη συνιστώσα είναι υπεύθυνη για την τυχαία μεταβλητότητα της χρονολογικής σειράς. Δημιουργείται από βραχυχρόνιους, απρόβλεπτους παράγοντες. Καθώς η συνιστώσα αυτή είναι υπεύθυνη για την τυχαία μεταβλητικότητα, είναι απρόβλεπτη και δεν προσπαθούμε να την ερμηνεύσουμε. Πρέπει να υποθέσουμε ότι η χρονολογική σειρά έχει, εκτός από την τάση και την εποχικότητα και μια απρόβλεπτη συνιστώσα (Ι). Αυτή η συνιστώσα είναι υπεύθυνη για οποιαδήποτε τυχαία γεγονότα έχουν παρεισφρήσει στην χρονολογική σειρά και που δεν μπορούν να ερμηνευθούν από την τάση και την εποχικότητα. Αν χρησιμοποιήσουμε τα T,S και Ι για να διακρίνουμε την τάση, την εποχικότητα και την απρόβλεπτη συνιστώσα, θα υποθέσουμε ότι η πραγματική τιμή της χρονολογικής σειράς Y, θα περιγράφεται από το παρακάτω πολλαπλασιαστικό μοντέλο : Y = T * S * I Στο μοντέλο αυτό, η τάση T μετράται σε μονάδες του στοιχείου που θα προβλεφθεί. Οι συνιστώσες S και I μετρώνται με σχετικές τιμές, με τιμές που αν είναι μεγαλύτερες από το 1,0 δείχνουν κανονικό ή μέσο επίπεδο. Τιμές κάτω του 1,0 δείχνουν επίπεδα κάτω του μέσου όρου για κάθε μία από τις συνιστώσες. Συχνά ο σκοπός της εύρεσης των δεικτών εποχικότητας είναι για να μετακινήσουμε τα αποτελέσματα της εποχικότητας από μια χρονολογική σειρά. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται αποεποχικοποίηση των χρονολογικών σειρών. Οι οικονομικές χρονολογικές σειρές

12 11 προσαρμοσμένες στις εποχιακές διακυμάνσεις συχνά χρησιμοποιούνται σε εκδόσεις όπως The Survey of Current Business και στην Wall Street Journal. Χρησιμοποιώντας το πολλαπλασιαστικό μοντέλο έχουμε : Y = T * S * I * C Το μαθηματικό πολλαπλασιαστικό μοντέλο μπορεί να επεκταθεί ώστε να συμπεριληφθεί και η κυκλική συνιστώσα. Y t = T t * C t * S t * I t Όπως και με την εποχικότητα, η κυκλική συνιστώσα εκφράζεται σαν ποσοστό επί της τάσης. Η συνιστώσα αυτή, αποδίδεται σε πολυετείς κύκλους της χρονολογικής σειράς. Είναι ανάλογη με την εποχικότητα, αλλά για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα. Πάντως, λόγω του χρόνου που εμπεριέχεται, συχνά είναι δύσκολο να πάρουμε αρκετά σχετικά δεδομένα ώστε να εκτιμήσουμε την κυκλική συνιστώσα.

13 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ Αν παρατηρήσουμε τις μεταβολές των τιμών της μεταβλητής της χρονολογικής σειράς, προσδιορίζουμε το είδος της μαθηματικής συνάρτησης που μπορεί να την περιγράψει για το παρελθόν. Οι μαθηματικές αυτές συναρτήσεις ονομάζονται μαθηματικά πρότυπα. Αφού επιλέξουμε το πρότυπο, προσδιορίζουμε στη συνέχεια τις παραμέτρους του με τις κατάλληλες μεθόδους. Οι τιμές αυτές εκφράζουν την τάση της χρονολογικής σειράς. Τα μαθηματικά πρότυπα είναι τέσσερα : α) Σταθερά πρότυπα. Στην περίπτωση που οι πραγματικές τιμές κυμαίνονται γύρω από μια σταθερή κεντρική τιμή διαχρονικά, το μαθηματικό πρότυπο που εφαρμόζεται είναι : y = a + ε όπου : y : είναι η πραγματική τιμή a : η άγνωστη σταθερά ε : οι τυχαίες αποκλίσεις από τη σταθερά a Λαμβάνοντας υπόψη ότι : Ε(ε) = 0 μέση τιμή 2 V(ε) = σ ε μεταβλητότητα β) Γραμμικά πρότυπα. Αν η χρονολογική σειρά παρουσιάζει γραμμική τάση αύξουσα ή φθίνουσα το μαθηματικό πρότυπο που ισχύει είναι :

14 13 y = a + bx + ε όπου : y : είναι η πραγματική τιμή a : η άγνωστη τιμή της y όταν x = 0 b : ο άγνωστος ρυθμός μεταβολής x : ο χρόνος ε : οι τυχαίες αποκλίσεις Ε(ε) : 0 μέση τιμή 2 V(ε): σ ε μεταβλητότητα Για να είναι η χρονολογική σειρά γραμμική, πρέπει οι διαφορές των τιμών της να είναι σταθερές ή σχεδόν σταθερές. Αν όμως παρατηρείται μία μεταβολή μεταξύ διαδοχικών τιμών αύξουσα κατά ένα ποσοστό τότε χρησιμοποιείται η παρακάτω εκθετική συνάρτηση : y = ab x γ) Πολυωνυμικά πρότυπα. Αν η μεταβολή των τιμών της χρονολογικής σειράς είναι παραβολή, τότε χρησιμοποιείται το πολυώνυμο δευτέρου βαθμού για μαθηματικό πρότυπο : y = a + bx + 1/2γx 2 + ε

15 14 όπου : a,b,γ είναι σταθερές και η παράγωγος της y (δηλαδή η κλίση της) μεταβάλλεται ομοιόμορφα διαχρονικά. Δ y = Δ y t Δy t-1 σταθερή. Η συνάρτηση μπορεί να είναι λογαριθμικής μορφής : λογy = λογa + λογb + x 2 λογγ δ) Πρότυπα εποχιακών μεταβολών. Αν η χρονολογική σειρά δεν μπορεί να περιγραφεί με κάποιο από τα παραπάνω πρότυπα, τότε αυτή ίσως να μεταβάλλεται εποχικά. Μέσα στις εποχιακές μεταβολές παρατηρούνται γραμμικές τάσεις. Το μαθηματικό πρότυπο είναι : y = (a + bx) γ + ε όπου a + bx είναι η γραμμική τάση, και γ είναι ο εποχικός συντελεστής για την περίοδο αυτή. Όπως παρατηρούμε, τα a + bx εκφράζουν την γραμμική τάση, ενώ το γ εκφράζει την εποχικότητα. Αν θέλουμε να αγνοήσουμε την γραμμική τάση αρκεί να παραλείψουμε το b. 4.5 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Για μία χρονολογική σειρά που δεν παρουσιάζει σημαντική τάση, κυκλικότητα ή εποχικότητα, τότε στόχος είναι να εξομαλυνθεί η απρόβλεπτη συνιστώσα της χρονολογικής σειράς με μια μέθοδο μέσων όρων.

16 ΚΙΝΗΤΟΙ ΜΕΣΟΙ Η μέθοδος των κινητών μέσων όρων χρησιμοποιεί τον μέσο όρο των περισσότερο πρόσφατων τιμών της χρονολογικής σειράς σαν πρόβλεψη για την επόμενη περίοδο. Μαθηματικά, η εκτίμηση του μέσου γίνεται ως εξής : 2 Σ(των πιο πρόσφατων τιμών των η δεδομένων) Κινητός μέσος = (1) η Ο όρος κινητός μέσος βασίζεται στο γεγονός ότι μόλις υπάρξει μια νέα τιμή στην χρονολογική σειρά, αυτή αντικαθιστά την πιο παλαιά παρατήρηση στην εξίσωση και έτσι εκτιμάται ένας νέος μέσος. Τελικά ο μέσος θα μεταβληθεί, ή θα κινηθεί, κάθε φορά που θα έχουμε μία νέα παρατήρηση. Για να χρησιμοποιήσουμε τους κινητούς μέσους για να κάνουμε προβλέψεις, πρέπει να καθορίσουμε πρώτα πόσα από τα δεδομένα θα συμπεριληφθούν στον κινητό μέσο. Ένα μέτρο ακρίβειας της πρόβλεψης είναι το άθροισμα των σφαλμάτων των προβλέψεων της χρονολογικής σειράς. Το πρόβλημα του μέτρου αυτού είναι ότι αν τα σφάλματα είναι τυχαία, κάποια σφάλματα θα είναι θετικά και κάποια άλλα αρνητικά, και συνεπώς το αποτέλεσμα θα είναι ένα σφάλμα μηδενικό σχεδόν, ανεξάρτητα από το μέγεθος των επιμέρους σφαλμάτων. Η δυσκολία αυτή μπορεί να αποφευχθεί υψώνοντας στο τετράγωνο τα επιμέρους σφάλματα από κάθε πρόβλεψη και αθροίζοντας. Για να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος των κινητών μέσων, πρώτα πρέπει να επιλεγεί ο αριθμός των δεδομένων που θα συμπεριληφθεί στον κινητό μέσο. Δεν πρέπει να μας εκπλήσσει η διαφορετική ακρίβεια των 2 Jenkins, G., (1979) Practical Experiences with Modeling and Forecasting Time Series, (Lancaster: G. Jenkins and Partners).

17 16 προβλέψεων, σε περίπτωση που σε χρονολογική σειρά χρησιμοποιηθούν διαφορετικού πλήθους κινητοί μέσοι. Μία δυνατή προσέγγιση στην επιλογή του αριθμού των τιμών που θα συμπεριληφθούν είναι να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος της «δοκιμής και σφάλματος» για να προσδιοριστεί το πλήθος που ελαχιστοποιεί το μέσο τετραγωνικό σφάλμα. Στην μέθοδο των κινητών μέσων όρων κάθε παρατήρηση έχει την ίδια βαρύτητα στην εκτίμηση του κινητού μέσου. Μια παραλλαγή, γνωστή σαν σταθμικοί κινητοί μέσοι όροι, περιέχει την επιλογή διαφορετικής βαρύτητας για κάθε τιμή των δεδομένων. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η πιο πρόσφατη παρατήρηση έχει την μεγαλύτερη βαρύτητα, και αυτή μειώνεται όσο οι παρατηρήσεις απομακρύνονται χρονικά ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ Η εκθετική εξομάλυνση είναι μια τεχνική προβλέψεων που χρησιμοποιεί τον σταθμικό μέσο των παλαιών τιμών της χρονολογικής σειράς για να προβλέψει την τιμή της χρονολογικής σειράς για την επόμενη χρονική περίοδο. Το βασικό μοντέλο εκθετικής εξομάλυνσης είναι : Μοντέλο εκθετικής εξομάλυνσης Υ t+1 = α Υ t + (1-α)Υ t

18 17 Όπου Υ t+1 = η πρόβλεψη της χρονολογικής σειράς για την περίοδο t+1 Υ t = η πραγματική τιμή της χρονολογικής σειράς την περίοδο t Υ t = η πρόβλεψη της χρονολογικής σειράς για την περίοδο t α = η σταθερά εξομάλυνσης (0 α 1) Ένα πλεονέκτημα της εκθετικής εξομάλυνσης είναι ότι πρόκειται για μια απλή διαδικασία και ότι απαιτεί λίγα ιστορικά στοιχεία για να πραγματοποιηθεί η πρόβλεψη. Μόλις επιλεγεί η σταθερά εξομάλυνσης, απαιτούνται μόνο δύο ακόμα πληροφορίες για να υπολογισθεί η πρόβλεψη της επόμενης περιόδου. Για μια χρονολογική σειρά με σχετικά μικρή τυχαία διακύμανση, οι μεγαλύτερες τιμές της σταθεράς εξομάλυνσης έχουν το πλεονέκτημα της γρήγορης προσαρμογής των προβλέψεων όταν τα σφάλματα της πρόβλεψης υπάρχουν και επομένως επιτρέπουν να αντιδράσει η πρόβλεψη πιο γρήγορα από ότι οι μεταβαλλόμενες συνθήκες. Το κριτήριο που θα χρησιμοποιήσουμε για να προσδιορίσουμε μιαν επιθυμητή τιμή στην σταθερά εξομάλυνσης, είναι το ίδιο με το κριτήριο όπου προσδιορίζουμε τον αριθμό των περιόδων δεδομένων που λαμβάνουμε υπόψη για να προβλέψουμε με τη μέθοδο των κινητών μέσων όρων.

19 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΠΡΟΒΟΛΗ ΤΗΣ ΤΑΣΗΣ 3 Η μελέτη της συνιστώσας που ονομάζεται τάση, κρίνεται χρήσιμη για τους παρακάτω λόγους : α) Για να γίνει περιγραφή ιστορικών στοιχείων. β) Για να γίνει προβολή της τάσης μελλοντικά. γ) Για να εξουδετερωθεί η τάση από την χρονολογική σειρά, προκειμένου ο μελετητής να ενασχοληθεί με την κυκλική συνιστώσα. Οι μέθοδοι εκτίμησης της τάσης είναι : α) Γραφική παράσταση. Με την μέθοδο αυτή ο μελετητής κατ αρχάς προσδιορίζει τα εμπειρικά δεδομένα στους δύο άξονες και την τεθλασμένη γραμμή που προκύπτει από αυτά. Στην συνέχεια προσπαθεί να προσαρμόσει μία ευθεία γραμμή που να διέρχεται από την τεθλασμένη με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα του εμβαδού κάτω από την γραμμή τάσης να είναι το ίδιο με το άθροισμα του εμβαδού πάνω από την γραμμή αυτή. β) Μέθοδος των μέσων σημείων. Με τη μέθοδο αυτή τα δεδομένα, διαιρούνται σε δύο ισοπληθείς ομάδες. Από κάθε ομάδα εξάγεται ο μέσος αριθμητικός. Στην συνέχεια, ενώνονται τα σημεία των δύο μέσων και προκύπτει η ευθεία τάσης. γ) Μέθοδος των κινητών μέσων όρων. δ) Μέθοδος σταθμικών μέσων όρων. 3 Βox, G., And Jenkins, G., (1976) Time Series Analysis: Forecasting and Control, Francisco: Holden Day) (San

20 19 ε) Μέθοδος με γραμμική εξίσωση. Η εξίσωση παλινδρόμησης που περιγράφει μια γραμμική σχέση μεταξύ μιας ανεξάρτητης μεταβλητής x και μιας εξαρτημένης μεταβλητής y έχει τη μορφή : Υx = a + bx όπου : Υx = η πρόβλεψη της χρονολογικής σειράς στη χρονική περίοδο x a = σημείο τομής της γραμμής τάσης με τον κάθετο άξονα b = η κλίση της γραμμής τάσης x = χρονική στιγμή θα χρειαστεί να αναλύσουμε μια χρονολογική σειρά, ξεκινώντας από τον προσδιορισμό ενός δείκτη εποχικότητας. Στην απίθανη περίπτωση που όλες οι αποκλίσεις μιας χρονολογικής σειράς οφείλονται μόνο σε εποχικές επιδράσεις, η εποχικότητα ενός μηνός θα είναι ένας δείκτης με βάση τη μέση μηνιαία απόκλιση. Για να προσδιοριστεί η επίδραση κάποιου μήνα στην χρονολογική σειρά προσδιορίζουμε πρώτα τον δείκτη εποχικότητας για το μήνα σαν τον μέσο όρο όλων των ειδικών δεικτών εποχικότητας. Ο δείκτης εποχικότητας, σαν μέτρο της εποχικής διαφοροποίησης, πρέπει να περιγράφει τυπικά πρότυπα και όχι ειδικά. Αν μια χρονολογική σειρά επηρεάζεται όχι μόνο από την εποχικότητα αλλά και από τις άλλες συνιστώσες, οι μέσες μηνιαίες τιμές δεν είναι πλέον σταθερές. Για το λόγο αυτό, υπάρχουν αρκετοί τρόποι εκτίμησης των δεικτών εποχικότητας : Η μέθοδος των απλών μέσων Η μέθοδος του ποσοστού της τάσης Η μέθοδος του κινητού μέσου όρου

21 20 Με τη μέθοδο των απλών μέσων, γίνεται εκτίμηση του μέσου όρου για κάθε ημέρα ή μήνα της χρονολογικής σειράς για να περιοριστεί η επιρροή των συνιστωσών κυκλικότητας και απρόβλεπτης που αλλοιώνουν το εποχικό πρότυπο. Με την μέθοδο του ποσοστού της τάσης, κάθε παρατήρηση της χρονολογικής σειράς εκφράζεται σαν ποσοστό της αντίστοιχης τιμής της τάσης. Αυτή η μέθοδος είναι πολύ χρήσιμη όταν έχει συμβεί μια ξαφνική αλλαγή στην τάση. Για μία μηνιαία χρονολογική σειρά, ο ειδικός δείκτης ενός μηνός είναι ένας δείκτης με βάση έναν κινητό μέσο που είναι στο μέσον του μήνα. Η μέθοδος του κινητού μέσου 12 όρων στηρίζεται σε μια μηνιαία χρονολογική σειρά που επηρεάζεται από εποχικές κινήσεις που επαναλαμβάνονται τακτικά κάθε έτος. Για να προκύψει ο τυπικός δείκτης εποχικότητας, για τον συγκεκριμένο μήνα, εξάγεται ο μέσος όρος των ειδικών δεικτών εποχικότητας. Επιπρόσθετα μπορούμε να προχωρήσουμε παρουσιάζοντας τον τρόπο με τον οποίο έχουμε την δυνατότητα να προβλέπουμε μια χρονολογική σειρά που έχει και τάση και εποχικότητα. Η προσέγγιση αυτή θα μας καθοδηγήσει στο να αφαιρέσουμε την εποχικότητα πρώτα από την χρονολογική σειρά. Αυτό το στάδιο ονομάζεται αποεποχικοποίηση της χρονολογικής σειράς. Με την αποεποχικοποίηση, στη χρονολογική σειρά θα έχει μείνει μόνο η τάση. Τέλος, χρησιμοποιώντας τους κατάλληλους υπολογισμούς, θα προβλέψουμε την τάση της χρονολογικής σειράς στο μέλλον. Μετά, θα επανεντάξουμε την εποχικότητα με έναν δείκτη εποχικότητας για να προσαρμόσουμε κατάλληλα την πρόβλεψη της τάσης. Έτσι, θα μπορέσουμε να διακρίνουμε και την τάση και την εποχικότητα στην πρόβλεψη των χρονολογικών σειρών.

22 ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΑΙΤΙΑΤΑ ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ Delphi Scenarios Expert judgment ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Intuition ΔΙΧΩΣ ΤΑΣΗ ΜΕ ΤΑΣΗ ΜΕ ΤΑΣΗ + ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ Ύστερα από μία ανάλυση και παρουσίαση πολλών τύπων ποσοτικών μεθόδων πρόβλεψης μπορούμε να διαπιστώσουμε τα ακόλουθα. Καθώς κάθε μία από τις ποσοτικές τεχνικές απαιτούν ιστορικά δεδομένα για την υπό εξέταση μεταβλητή, σε περιπτώσεις που δεν υπάρχουν ιστορικά δεδομένα αυτές οι τεχνικές δεν είναι δυνατόν να εφαρμοσθούν. Επιπλέον, ακόμα και όταν υπάρχουν ποσοτικά στοιχεία, μια σημαντική μεταβολή στις συνθήκες του περιβάλλοντος που επηρεάζουν την χρονολογική σειρά μπορεί να προκαλέσουν αμφισβήτηση στην χρήση των στοιχείων του παρελθόντος για την πρόβλεψη μελλοντικών τιμών

23 της χρονολογικής σειράς. Οι τεχνικές ποιοτικής πρόβλεψης προσφέρουν μια λύση σε τέτοιες περιπτώσεις. 22 Η πιο γνωστή τεχνική ποιοτικής πρόβλεψης είναι η μέθοδος των Δελφών. 4 Η τεχνική αυτή, αναπτύχθηκε αρχικά από μια ομάδα ερευνητών στην Rand Corporation, προσπαθεί να κάνει προβλέψεις μέσω «συσκέψεων της ομάδας». Συνήθως με την τεχνική αυτή, ζητείται από τα μέλη του πάνελ των εμπειρογνωμόνων που είναι διασκορπισμένοι και άγνωστοι μεταξύ τους να απαντήσουν σε ένα ερωτηματολόγιο. Ο σκοπός της μεθόδου των Δελφών δεν είναι το να υπάρξει μία και μόνο απάντηση, αλλά να δημιουργήσει λίγες γνώμες στις οποίες συγκλίνει και η «πλειοψηφία» των εμπειρογνωμόνων. Η διαδικασία ποιοτικής πρόβλεψης που ονομάζεται μέθοδος των σεναρίων αποτελείται από την ανάπτυξη ενός θεωρητικού σεναρίου του μέλλοντος, βασισμένου σε καλά προσδιορισμένες υποθέσεις. Επομένως, ξεκινώντας από διαφορετικές υποθέσεις μπορούν να παρουσιασθούν πολλά διαφορετικά σενάρια. Η εργασία του λήπτη αποφάσεων είναι να αποφασίσει ποιο σενάριο είναι περισσότερο πιθανό να συμβεί στο μέλλον και έτσι να λάβει τις κατάλληλες αποφάσεις. Οι υποκειμενικές ποιοτικές μέθοδοι βασίζονται κυρίως στην ικανότητα του ανθρώπινου νου να επεξεργασθεί έναν αριθμό πληροφοριών που, είναι στις περισσότερες περιπτώσεις, δύσκολο να ποσοτικοποιηθούν. Αυτές οι τεχνικές συχνά χρησιμοποιούνται στις ομαδικές εργασίες, όπου μια επιτροπή ή ένα πάνελ ζητά να αναπτύξει νέες ιδέες ή να επιλύσει σύνθετα προβλήματα μέσω μιας σειράς «συναντήσεων brainstorming». 4 Makridakis, and Wheelwright, S., (1978) Forecasting: Methods and Applications, (London: Willey).

24 23 Στις συναντήσεις αυτές, τα άτομα είναι ελεύθερα από τους συνήθεις περιορισμούς των ομάδων, από πιέσεις και κριτικές, καθώς κάθε ιδέα ή γνώμη μπορεί να παρουσιασθεί άσχετα με το πόσο σχετική είναι, και το κυριότερο χωρίς τον φόβο της κριτικής.

25 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στο κεφάλαιο αυτό έγινε μία προσπάθεια για ανάλυση των μεθόδων πρόβλεψης των πωλήσεων, αναλύοντας την κάθε μία μέθοδο ξεχωριστά. Επίσης στην ενότητα αυτή δόθηκε μεγαλύτερη βαρύτητα στις μεθόδους εκείνες που σχετίζονται με τις χρονολογικές σειρές. Αναλύθηκαν οι διάφορες συνιστώσες των χρονολογικών σειρών και παρουσιάστηκαν διάφορες ιδιότητες τους. Επίσης, παραθέσαμε τα δύο μοντέλα χρονολογικών σειρών, αυτό του πολλαπλασιαστικού και αυτό του προσθετικού μοντέλου. Παράλληλα, παρουσιάστηκαν και αναλύθηκαν με κριτικό τρόπο, τα διάφορα μαθηματικά πρότυπα (μοντέλα) των χρονοσειρών. Τελικά, παρουσιάστηκαν και οι λεγόμενες ποιοτικές μέθοδοι πρόβλεψης (qualitative).

26 25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5. ΤΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ : Η ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ BOX JENKINS 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως τονίσαμε στις προηγούμενες ενότητες με τον όρο χρονολογική σειρά εννοούμε μια σειρά συνεχών δεδομένων με κύρια χαρακτηριστικά την καθορισμένη διάταξη των παρατηρήσεων διαχρονικά, και την καθορισμένη εξάρτηση μεταξύ των διαδοχικών παρατηρήσεων της σειράς. Επιπρόσθετα, εξετάσαμε μια σειρά από διαφορετικές μεθόδους που αναπτύχθηκαν για την πρόβλεψη χρονολογικών σειρών. Η προσέγγιση στην πρόβλεψη με την εκθετική εξομάλυνση, τη συσχέτιση και την απόκλιση εξαρτημένης στατιστικής μεταβολής καθώς και η διάσπαση της ανάλυσης της χρονικής σειράς προϋποθέτουν ότι οι τιμές μιας σειράς για την οποία γίνεται πρόβλεψη είναι στατιστικά ανεξάρτητες ή δεν σχετίζονται μεταξύ τους. Στη συνέχεια, θα ασχοληθούμε με μία τάξη προτύπων που μπορούν να παράγουν προβλέψεις βασισμένη σε μια σύνθεση από ιστορικά πρότυπα στοιχείων. Τα πρότυπα του ολοκληρωμένου κινητού μέσου της αυτοαπόκλισης (ARIMA) είναι μία εξειδικευμένη τάξη τεχνικής γραμμικής διύλισης που αγνοούν τελείως στην δημιουργία προβλέψεων τις ανεξάρτητες μεταβλητές. Η ARIMA είναι ένα πολύ εξευγενισμένο σύστημα εκλογής καμπυλών που χρησιμοποιεί τις τρέχουσες και τις παλαιότερες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής για να παράγει ακριβείς βραχυπρόθεσμες προβλέψεις. Ένα παράδειγμα τέτοιων προβλέψεων είναι

27 26 για τις τιμές του χρηματιστηρίου που δημιουργούνται από τους χρηματιστηριακούς αναλυτές και βασίζονται εξολοκλήρου σε περασμένα πρότυπα κίνησης των τιμών του χρηματιστηρίου. Η μεθοδολογία της ARIMA είναι κατάλληλη όταν οι παρατηρήσεις μιας χρονικής σειράς είναι στατιστικά εξαρτώμενες ή σχετίζονται η μία με την άλλη. Το κεφάλαιο αυτό, λοιπόν, ασχολείται με την ανάλυση και την μέθοδο Box-Jenkins. 5.2 Η ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ BOX JENKINS ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι μέθοδοι αυτοί που χρονολογούνται από το 1957 με το εκθετικό υπόδειγμα κινητού μέσου του Holt και το υπόδειγμα του Winters (1960), εξελίχθησαν με την μεθοδολογία Box και Jenkins (1970) και τα υποδείγματα ARIMA ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOX- JENKINS Η μεθοδολογία Box-Jenkins με την ανάπτυξη των υποδειγμάτων ARIMA έχει γίνει αποδεκτή, σε μεγάλο βαθμό για ένα σύνολο οικονομικών εφαρμογών (Newbold 1975). Η προσέγγιση αυτή χρησιμοποιεί απλές συναρτησιακές σχέσεις όπως αυτές των Holt και Winters καθώς επίσης και απλά αυτοπαλινδρομικά σχήματα. Στο βιβλίο τους οι Box και Jenkins 5 παρουσιάζουν διάφορα υποδείγματα για αναλυτικούς και προβλεπτικούς σκοπούς προτείνοντας τρία ξεχωριστά στάδια για την κατασκευή των υποδειγμάτων αυτών. 5 Makridakis, S., Wheelwright, S.C. and McGee, V., Forecasting Methods and Applications, John Willey & Sons, Inc New York, 1983

28 27 Η κεντρική ιδέα της μεθόδου των Box-Jenkins συνίσταται στη δημιουργία ενός «φίλτρου», μέσα από το οποίο παίρνουμε ομοιόμορφο κατανεμημένα υπόλοιπα, κατά τους Box-Jenkins White noise. Η μέθοδος αυτή είναι ανώτερη της κλασσικής οικονομετρικής μεθόδου ανάλυσης χρονολογικών σειρών τουλάχιστον ως προς το εξής σημείο. Η μέθοδος αυτή προσδιορίζει το άριστο μοντέλο για τις προβλέψεις με βάση τα δεδομένα της χρονολογικής σειράς. Θεωρητικά, μπορούμε να επιλέξουμε από έναν ατελείωτο αριθμό μοντέλων. Ορισμένες φορές, επιλέγουμε το «άριστο μοντέλο» για κάποια δεδομένα (με βάση την πείρα και την κρίση). Ένα από τα βασικά μοντέλα Box Jenkins είναι το παρακάτω : Y t = Κ + Φ 1 Y t-1 + Φ 2 Y t-2 + Φ 3 Y t-3 +.+Φ ρ Y t-ρ + ε t Όπου Φ = σειρά παραμέτρων προσαρμογής Κ = σταθερά ε t = τυχαίο σφάλμα Αυτό το μοντέλο ονομάζεται AR (autoregressive) επειδή η συνάρτηση περιέχει προηγούμενες τιμές των δεδομένων για τα οποία γίνεται πρόβλεψη. Σαν AR(2) ή ARIMA (2,0) χαρακτηρίζεται το μοντέλο Y t = Κ + Φ Y t-1 + Φ Y t-2

29 28 Σύμφωνα με την παλινδρόμηση, οι τιμές των Κ, Φ 1, και Φ 2 προκύπτουν από την ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των σφαλμάτων στο τετράγωνο. Μία ακόμα κατηγορία μοντέλων των Box Jenkins είναι της μορφής : Y t = μ + ε t θ 1 ε t-1 θ 2 ε t θ ρ ε t-ρ Όπου μ = ο μέσος όρος του μοντέλου θ = σειρές παραμέτρων προσαρμογής ε t = τυχαίο σφάλμα Η τιμή της Yt βασίζεται σε μία σειρά τυχαίων στοιχείων, που σίγουρα παραβιάζει αρχές της παλινδρόμησης. ΠΡΟΣΟΧΗ Ο όρος απλή παλινδρόμηση και συσχέτιση αναφέρεται σε μελέτη 2 μόνο μεταβλητών. Διαφορετικά, αν οι μεταβλητές είναι 3 ή περισσότερες, η μελέτη αναφέρεται στην πολλαπλή παλινδρόμηση και συσχέτιση. Στην ανάλυση παλινδρόμησης, αναπτύσσεται μια εξίσωση (εκτίμηση) για να περιγράψει το πρότυπο ή τη λειτουργική φύση της σχέσης που υπάρχει μεταξύ των μεταβλητών. Ο αναλυτής ετοιμάζει μια εξίσωση εκτίμησης των τιμών μιας μεταβλητής από τις δοθείσες τιμές της άλλης. Η προς εκτίμηση μεταβλητή ονομάζεται εξαρτημένη (Υ). Η μεταβλητή που εκ των προτέρων ασκεί πίεση ή ερμηνεύει διαφοροποιήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή (χ).

30 29 Στην ανάλυση συσχέτισης, σκοπός είναι να γίνει μέτρηση της έντασης της σχέσης μεταξύ των μεταβλητών. Το πρώτο βήμα στην μελέτη παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι να προσδιορίσουμε αν υπάρχει μια λογική σχέση μεταξύ των μεταβλητών. Το δεύτερο βήμα είναι να γίνει η γραφική παράσταση για: (1) να προσδιορίσουμε αν υπάρχει μια σημαντική σχέση μεταξύ των μεταβλητών και (2) να προσδιορίσουμε τη μορφή της εξίσωσης για τη σχέση αυτή. Αν η γραμμή που δημιουργείται μοιάζει με ευθεία τότε η σχέση είναι γραμμική. Αν υπάρχει αυξητική κίνηση και για τις δύο μεταβλητές, τότε αναφερόμαστε σε θετική ή άμεση σχέση. Αν υπάρχει αυξητική κίνηση στη μια μεταβλητή και μειωτική στην άλλη τότε έχουμε μιαν αρνητική σχέση. Η εξίσωση της παλινδρόμησης : Υ = a + bx Όπου a = το σημείο τομής με τον άξονα των y b = κλίση της ευθείας x = δεδομένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής Y = εκτιμώμενη τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής. Στην ανάλυση παλινδρόμησης για τις προβλέψεις, η τιμή της χρονολογικής σειράς που θα θέλαμε να προβλέψουμε θα θεωρηθεί σαν η εξαρτημένη μεταβλητή. Επομένως, μπορούμε να βρούμε έναν αριθμό σχετικών ανεξάρτητων μεταβλητών ώστε να μπορέσουμε να αναπτύξουμε μια καλά εκτιμηθείσα εξίσωση παλινδρόμησης της χρονολογικής σειράς.

31 30 Η πολυπλοκότητα των περισσότερων προβλημάτων απαιτεί την εξέταση περισσότερων της μιας μεταβλητών για να προβλεφθεί η εξαρτημένη μεταβλητή. Η στατιστική τεχνική που είναι γνωστή σαν πολλαπλή ανάλυση παλινδρόμησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε τέτοιες περιπτώσεις ΓΕΝΙΚΟΣ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Η μεθοδολογία Box-Jenkins της κατηγορίας ARIMA είναι μία δυναμική και αποτελεσματική μέθοδος στην ανάλυση χρονολογικών σειρών. Οπωσδήποτε απαιτεί πολύ μελέτη και σωστή κατανόηση γιατί μπορεί πολύ εύκολα να οδηγήσει σε λάθος συμπεράσματα. Είναι γεγονός ότι για μικρές τιμές των παραμέτρων p,d,q πολλές χρονολογικές σειρές μπορούν να αναλυθούν με το ίδιο υπόδειγμα. Ειδικά πακέτα ηλεκτρονικών υπολογιστών μπορούν σχετικά εύκολα να δώσουν λύση στα προβλήματα και στις δυσκολίες που παρουσιάζονται στην ανάλυση χρονολογικών σειρών. 5.3 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή αναπτύχθηκε το θεωρητικό μας μοντέλο Box Jenkins. Με βάση αυτή την ανάπτυξη προκύπτει ότι η μεθοδολογία αυτή, είναι μία δυναμική και αποτελεσματική μέθοδος στην ανάλυση χρονολογικών σειρών. Επιπρόσθετα υπάρχουν ειδικά πακέτα ηλεκτρονικών υπολογιστών, τα οποία μπορούν σχετικά εύκολα να δώσουν λύση στα προβλήματα και στις δυσκολίες που παρουσιάζονται στην ανάλυση χρονολογικών σειρών. 6 Η γενική μορφή ενός ARIMA (p,d,q) δίνει μια ποικιλία από διαγράμματα αυτοσυσχέτισης, μερικής αυτοσυσχέτισης και φάσματος που δεν είναι σκόπιμο να αναφερθούμε σε κανόνες ταυτοποίησης του υποδείγματος αυτού..

32 31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 6. Μεθοδολογία Έρευνας 6.1. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΓΟΡΑΣ Συνήθως τα προβλήματα έρευνας στα οποία ζητούν απαντήσεις τα διοικητικά στελέχη του marketing έχουν τις δικές τους ιδιαιτερότητες και επομένως χρειάζονται συγκεκριμένους τρόπους προσέγγισης. Παρόλα αυτά η διαδικασία της έρευνας αγοράς ακολουθεί μια σειρά βημάτων ή σταδίων τα οποία πραγματοποιούνται και ταυτόχρονα αλληλοεπηρεάζονται. ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΞΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΧΕΔΙΟΥ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΘΟΔΟΥ ΣΥΛΛΟΓΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ /ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΘΟΔΟΥ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΛΛΟΓΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΥΡΗΜΑΤΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ

33 32 Ο ορισμός του προβλήματος αποτελεί το πιο σπουδαίο στάδιο στη διαδικασία της έρευνας αγοράς. Αποβλέπει στο να ρυθμίσει τις πληροφορίες που απαιτούνται από τα στελέχη. Στη περίπτωση που το πρόβλημα δεν προσδιοριστεί σωστά τότε οι πληροφορίες που θα συγκεντρωθούν ίσως να μην έχουν καμία αξία για το στέλεχος. Πολλές φορές ένα στέλεχος πιθανόν να μην είναι σε θέση να καθορίσει με σαφήνεια το πραγματικό πρόβλημα που αντιμετωπίζει. Επομένως η έρευνα αγοράς δεν δίνει απαντήσεις, ούτε προτείνει στρατηγικές, αλλά παρέχει δεδομένα που πρέπει να ερμηνευτούν και να μεταβληθούν σε στρατηγικές από τα διοικητικά στελέχη. Σε τελική ανάλυση η έρευνα θα πραγματοποιείται σε περίπτωση που η αξία των πληροφοριών που θα συλλέγουν να είναι μεγαλύτερη από το κόστος απόκτησής τους. Ωστόσο, στην περίπτωσή μας θα υιοθετήσουμε ένα κάπως διαφορετικό μεθοδολογικό σχήμα. Ο λόγος που υπαγόρευσε αυτή την τροποποίηση είναι το ότι το μοντέλο των Box-Jenkins αποτελεί το κύριο μεθοδολογικό εργαλείο της ανάλυσής μας. Κατά συνέπεια, στις επόμενες ενότητες θα παρουσιάσουμε αναλυτικότερα το μοντέλο αυτό, μαζί με τις αντίστοιχες στατιστικές επεξεργασίες.

34 Η ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOX-JENKINS : ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ Η μέθοδος πρόβλεψης Box-jenkins είναι διαφορετική από τις περισσότερες μεθόδους. Η τεχνική αυτή δεν προϋποθέτει οποιοδήποτε ειδικό πρότυπο στα ιστορικά στοιχεία των σειρών που είναι για πρόβλεψη. Χρησιμοποιεί μία επαναληπτική προσέγγιση ταυτοποίησης ενός πιθανού χρήσιμου μοντέλου από μια γενικότερη τάξη προτύπων. Το επιλεγμένο πρότυπο κατόπιν εξετάζεται ως προς τα ιστορικά του στοιχεία για να διαπιστωθεί αν περιγράφει επακριβώς τη σειρά. Το πρότυπο ταιριάζει όταν τα υπόλοιπα από το πρότυπο της πρόβλεψης και τα σημεία των ιστορικών στοιχείων είναι μικρά, τυχαία διαμοιρασμένα και ανεξάρτητα. Εάν το συγκεκριμένο πρότυπο δεν είναι ικανοποιητικό, η διαδικασία επαναλαμβάνεται χρησιμοποιώντας ένα άλλο πρότυπο σχεδιασμένο για να βελτιώσει το πρώτο. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρις ότου εξευρεθεί ένα ικανοποιητικό πρότυπο. Το παρακάτω διάγραμμα επιδεικνύει την προσέγγιση. μεθοδολογική αυτή

35 34 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΡΟΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ BOX-JENKINS 7 ΘΕΩΡΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΤΑΥΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΤΥΠΟΥ ΓΙΑ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟΥ ΔΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ (ΕΙΝΑΙ ΕΠΑΡΚΕΣ ΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ;) ΟΧΙ ΝΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΤΥΠΟΥ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΕΨΗ Πηγή : G.P.Box and G.M.Jenkins, Time Series Analysis Forecasting and Control (San Francisco Holden Day, 1970, p.19.) Η γενική τάξη των πρότυπων Box-Jenkins για την σταθερή χρονική σειρά είναι η ARIMA ή τα πρότυπα του ολοκληρωμένου κινητού μέσου αυτοαπόκλισης. Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι η σταθερή χρονική σειρά είναι αυτή που η μέση τιμή της δεν αλλάζει στην διάρκεια του χρόνου. Η ομάδα αυτή των προτύπων περιλαμβάνει τα πρότυπα AR στα πλαίσια της αυτοαπόκλισης και κινούμενου μέσου όρου. Η μεθοδολογία Box-Jenkins επιτρέπει τον αναλυτή να επιλέξει το πρότυπο εκείνο που ταιριάζει καλύτερα τα δεδομένα. Η επιλογή του κατάλληλου προτύπου μπορεί να γίνει με τη σύγκριση της διανομής των συντεταγμένων αυτοσυσχετισμών της χρονικής σειράς η οποία ταιριάζει με την θεωρητική διανομή των διαφόρων προτύπων. 7 Jenkins, G., (1979) Practical Experiences with Modeling and Forecasting Time Series, (Lancaster: G. Jenkins and Partners).

36 35 Στην επιλογή ενός προτύπου θα πρέπει να έχουμε υπ όψιν ότι οι κατανομές που επιδεικνύονται παραπάνω είναι θεωρητικές κατανομές και ότι είναι πολύ απίθανο η αυτοσυσχέτιση των πραγματικών δεδομένων να είναι ακριβώς η ίδια με οποιαδήποτε από τις θεωρητικές κατανομές. Παρόλ αυτά θα πρέπει να είμαστε σε θέση να ταιριάξουμε ικανοποιητικά τα περισσότερα από τα δεδομένα των χρονικών σειρών μέσα από διαδικασίες και από τη μέθοδο δοκιμής και σφάλματος (trial and error) και καθώς αποκτούμε εμπειρία, η διαδικασία καθίσταται ευκολότερη Μερικές αυτοσυσχετίσεις Αρχικά ο αναλυτής μπορεί να μην γνωρίζει την κατάλληλη σειρά της διαδικασίας αυτοαπόκλισης που ταιριάζει σε μια χρονική σειρά. Το ίδιο είδος του προβλήματος αντιμετωπίστηκε όταν ήταν να αποφασιστεί ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών που θα περιλαμβάνονταν σε ένα πρότυπο πολλαπλής απόκλισης. Οι μερικές αυτοσυσχετίσεις χρησιμοποιούνται στο να βοηθήσουν την ταυτοποίηση ενός κατάλληλου πρότυπου ARIMA για πρόβλεψη. Επιτρέπουν τον αναλυτή να ταυτοποιήσει το βαθμό της σχέσης ανάμεσα στις τρέχουσες τιμές μιας μεταβλητής και στις προηγούμενες τιμές της ίδιας μεταβλητής, ενώ διατηρεί τα αποτελέσματα όλων των άλλων μεταβλητών (χρονικής υστέρησης) σταθερά. Ωστόσο, μία οποιαδήποτε συζήτηση για τον παράγωγο συναρτήσεων μιας μερικής αυτοσυσχέτισης είναι πέρα από το σκοπό της διπλωματικής

37 αυτής. Εμείς θα επικεντρωθούμε σε μία αρκετά μηχανική διαδικασία με την οποία εφαρμόζονται στην κάθε ομάδα προτύπων. 36

38 37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 7. ΤΑ ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ BOX-JENKINS 7.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε αυτή την ενότητα πρόκειται να παρουσιάσουμε τα διάφορα πρότυπα που χρησιμοποιούνται στη μεθοδολογία των Box-Jenkins. 7.2.ΠΡΟΤΥΠΟ ΑΥΤΟΑΠΟΚΛΙΣΗΣ Ένα πρότυπο αυτοαπόκλισης παίρνει τη μορφή Y t =φ 0 + φ 1 y t-1 +φ 2 y t-2 + +φ p y t-p +ε t (10.1) Όπου y t = εξαρτημένη μεταβλητή y t-1,y t-2,y t-p = ανεξάρτητες μεταβλητές που είναι εξαρτημένες μεταβλητές υστέρησης συγκεκριμένων χρονικών περιόδων. φ 0,φ 1,φ 2,φ p = συντελεστής απόκλισης ε t = υπόλοιπο που αντιπροσωπεύει τυχαία γεγονότα που δεν εξηγούνται από το πρότυπο. Η εξίσωση 9.4 παρουσίασε πρότυπα αυτοαπόκλισης. Όμως η εξίσωση 10.1 διαφέρει σε αρκετούς σημαντικούς τρόπους. Στην εξίσωση 9.4 οι συντελεστές απόκλισης υπολογίζονται χρησιμοποιώντας το κοινό τετράγωνο της γραμμικής. Στην εξίσωση 10.1 οι συντελεστές απόκλισης

39 βρίσκονται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του κοινού τετραγώνου της μη γραμμικής. 38 Η μέθοδος του κοινού τετραγώνου μη γραμμικής χρησιμοποιεί σε γενικές γραμμές μια τεχνική λύση επανάληψης για τον υπολογισμό των παραμέτρων αντί του άμεσου υπολογισμού. Οι αρχικοί υπολογισμοί χρησιμοποιούνται σαν σημεία εκκίνησης. Κατόπιν οι υπολογισμοί βελτιώνονται συστηματικά μέχρις ότου εξευρεθούν οι βέλτιστες τιμές. Επιπλέον το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης για την εξίσωση 10.1 υπολογίζεται με διαφορετικό τρόπο όπου λαμβάνεται υπόψη το γεγονός ότι οι ανεξάρτητες μεταβλητές συσχετίζονται μεταξύ τους. Τέλος, η εξίσωση 10.1 ίσως να περιλαμβάνει μία σταθερή αλλά ίσως και όχι. Καμία σταθερή δεν χρησιμοποιείται όταν οι εξαρτημένες μεταβλητές τιμές (τα y) εκφράζονται σαν απόκλιση από τον μέσο τους (y =y-ỹ). Η εξίσωση 10.2 δείχνει τις εξισώσεις ενός προτύπου AR τύπου 1, AR(1) και ενός πρότυπου AR τάξης 2, πρότυπο AR(2). Οι όροι μπορούν να προστεθούν για να αντιπροσωπεύουν ένα πρότυπο AR(p) όπου το p είναι ο αριθμός των προηγούμενων παρατηρήσεων που θα συμπεριληφθούν στην πρόβλεψη για την επόμενη περίοδο. Οι εξισώσεις 10.2 (a) και (b) δείχνουν την συμπεριφορά της λειτουργίας θεωρητικής αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης ενός προτύπου AR(1). Θα πρέπει να προσέξουμε πόσο διαφορετικά συμπεριφέρονται οι λειτουργίες αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης. 8 Οι συντεταγμένες αυτοσυσχέτισης βαθμιαία φθίνουν στο μηδέν ενώ οι συντεταγμένες μερικής αυτοσυσχέτισης μηδενίζονται μετά την πρώτη χρονική υστέρηση. Τα σχήματα 10.2(c) και (d) επιδεικνύουν ένα πρότυπο AR(2). Ξανά, οι συντεταγμένες αυτοσυσχέτισης φθίνουν στο μηδέν ενώ οι 8 Για το σχολιασμό της μερικής αυτοσυσχέτισης γίνεται αναφορά G. Box and G. Jenkins, Time Series Analysis: Forecasting and Control (San Francisco: Holden Day, 1976)

40 39 συντεταγμένες μερικής αυτοσυσχέτισης μηδενίζονται μετά την δεύτερη χρονική υστέρηση. Ο τύπος αυτός γενικά επικρατεί σε όλα τα πρότυπα AR(p). Παρολ αυτά θα πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι τα δείγματα λειτουργίας αυτοσυσχέτισης πρόκειται να διαφέρουν από εκείνα της θεωρητικής λειτουργίας λόγω των μεταβολών στα δείγματα ΠΡΟΤΥΠΑ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ Ένα πρότυπο κινητού μέσου λαμβάνει τη μορφή ŷ t = w 0 +ε t w 1 ε t-1 -w 2 ε t-2 + +w q ε t-q (10.2) Όπου y t = εξαρτημένη μεταβλητή w 0, w 1, w 2, w q = βάρος ή βαρύτητα ε t = περιθώριο σφάλματος ε t-1,ε t-2,ε t-q = προηγούμενες τιμές περιθωρίου σφάλματος Η εξίσωση 10.2 είναι όμοια με την εξίσωση 10.1 εκτός από το ότι η εξαρτημένη μεταβλητή yt εξαρτάται σε προηγούμενες τιμές περιθωρίων σφάλματος από ότι στην ίδια την μεταβλητή. Τα πρότυπα μεταβλητού μέσου (MA) παρέχουν προβλέψεις του y t βασισμένες σε ένα γραμμικό συνδυασμό προηγούμενων σφαλμάτων όπου τα πρότυπα αυτοαπόκλισης (AR) εκφράζουν το y t σαν μια γραμμική λειτουργία ενός αριθμού από πρώην τιμές του y t. Συνήθως, τα βάρη σημειώνονται με αρνητικές συντεταγμένες αν και μπορεί να είναι είτε θετικά είτε αρνητικά. Το σύνολο των w 1 +w 2 +.+w q δεν είναι αναγκαίο να ισούνται με 1 και οι τιμές w 1 δεν «κινούνται» με τις νέες παρατηρήσεις, καθώς είναι στον υπολογισμό του μεταβλητού μέσου όπως αναφέρεται στο κεφάλαιο 5.

41 40 Σημειώνουμε ότι το μέσο επίπεδο μ μιας σειράς MA(q) ισούται με το σταθερό w0 στο πρότυπο εφόσον Ε(e t ) =0 για όλες τις τιμές του t. Η ονομασία κινητός μέσος ίσως να φαίνεται παραπλανητική μια και το πρότυπο είναι στην ουσία όμοιο με το μοντέλο της εκθετικής εξομάλυνσης. Η εξίσωση 10.3 δείχνει τις εξισώσεις ενός προτύπου MA τάξεως 1, ενός προτύπου MA(1) και ενός προτύπου MA(2). Μπορούν να προστεθούν όροι για να αντιπροσωπεύουν το πρότυπο ΜΑ(q), όπου q είναι ο αριθμός των προηγούμενων σφαλμάτων που θα συμπεριληφθούν στην πρόβλεψη της επόμενης περιόδου. Τα σχήματα 10.3(a) και (b) δείχνουν επίσης τη συμπεριφορά των συντεταγμένων της θεωρητικής αυτοαπόκλισης ενός πρότυπου MA(1). Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι είναι καλό οι λειτουργίες της αυτοσυσχέτισης και της μερικής αυτοσυσχέτισης των προτύπων AR και MA να συμπεριφέρονται πολύ διαφορετικά. Οι συντεταγμένες της αυτοσυσχέτισης για το πρότυπο ΜΑ(1) πέφτουν στο μηδέν μετά την πρώτη χρονική υστέρηση ενώ οι συντεταγμένες της μερικής αυτοσυσχέτισης φθίνουν προς το μηδέν βαθμιαία. Επιπλέον, οι συντεταγμένες της αυτοσυσχέτισης για το πρότυπο ΜΑ(2) θα φθίνουν προς το μηδέν μετά τη δεύτερη χρονική υστέρηση ενώ οι μερικές φθίνουν βαθμιαία. Για μια ακόμη φορά θα πρέπει να αναφερθεί ότι οι δειγματικές λειτουργίες αυτοσυσχέτισης πρόκειται να διαφέρουν από εκείνες των θεωρητικών λειτουργιών λόγω της δειγματικής μεταβλητότητας.

42 ΠΡΟΤΥΠΑ ΑΥΤΟΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ Εκτός από τα μοντέλα των AR και MA, μπορούν να συνδυαστούν και τα δύο παρέχοντας μία τρίτη τάξη γενικών προτύπων που ονομάζεται ARIMA. Οι εξισώσεις 10.1 και 10.2 συνδυάζονται σχηματίζοντας y t = φ 0 +φ 1 y t-1 +φ 2 y t-2 + +φ p y t-p +ε t -w 1 ε t-1 -w 2 ε t-2 - -w q ε t- q Τα πρότυπα ARIMA (p,q) χρησιμοποιούν συνδυασμούς πρότερων τιμών και σφαλμάτων και παρέχουν τη δυνατότητα για εξεύρεση προτύπων τα οποία δεν θα μπορούσαν να ταιριάξουν επαρκώς χρησιμοποιώντας το πρότυπο AR ή MA ξεχωριστά. Η εξίσωση 10.4 δείχνει την εξίσωση ενός πρότυπου ARIMA (1,1) και της συμπεριφοράς των συντεταγμένων θεωρητικής και μερικής αυτοσυσχέτισης. Μία σημαντική διαφορά στην μεθοδολογία Box-Jenkins και προηγουμένων μεθόδων πρόβλεψης είναι ότι οι Box-Jenkins δεν θέτουν προϋποθέσεις για τον αριθμό των όρων ή την σχετική βαρύτητα που θα αποδοθούν στους όρους. Ο αναλυτής επιλέγει το κατάλληλο πρότυπο συμπεριλαμβανομένου και του αριθμού των όρων και μετά το λογισμικό υπολογίζει τις συντεταγμένες χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του ελάχιστου κοινού τετραγώνου μη γραμμικής. Έτσι μπορούν να γίνουν προβλέψεις για μελλοντικές περιόδους και να δημιουργηθούν μεσοδιαστήματα εμπιστοσύνης για τους υπολογισμούς αυτούς.

43 42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ BOX-JENKINS 8.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως είδαμε στο διάγραμμα ροής της μεθοδολογίας Box-Jenkins στη σελίδα 25, οι φάσεις της μεθοδολογίας αυτής είναι : α) της ταυτοποίησης του προτύπου, β) της εκτίμησης και διάγνωσης / δοκιμής και γ) της εφαρμογής ΤΑΥΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΤΥΠΟΥ. 1. Το πρώτο βήμα στην ταυτοποίηση του προτύπου είναι να διαπιστώσουμε εάν η σειρά είναι στατική δηλαδή εάν η μέση αξία αλλάζει με τον καιρό. Εάν η σειρά δεν είναι στατική, μπορεί γενικά να μετατραπεί σε μια σταθερή σειρά με την μέθοδο της διαφοροποίησης. Ο αναλυτής ορίζει το βαθμό της διαφοροποίησης και ο αλγόριθμος Box-Jenkins μετατρέπει τα δεδομένα σε μια σταθερή σειρά και κατόπιν εκτελεί περαιτέρω υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τα μετατρεπόμενα στοιχεία. 2. Όταν έχει επιτευχθεί η στατική σειρά, ο αναλυτής πρέπει να ταυτοποιήσει τη μορφή του προτύπου που θα χρησιμοποιηθεί. Το στάδιο αυτό επιτυγχάνεται συγκρίνοντας τις συντεταγμένες της αυτοσυσχέτισης και μερικής συσχέτισης των δεδομένων τα οποία θα ταιριάξουν με την αντίστοιχη διανομή των διαφόρων προτύπων ARIMA.

44 43 Όπως φαίνεται, το κάθε πρότυπο έχει ένα μοναδικό σύνολο αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης και ο αναλυτής θα πρέπει να μπορέσει να ταιριάξει τις αντίστοιχες συντεταγμένες των δεδομένων σε μια από τις θεωρητικές διανομές. Αν και γενικά δεν θα είναι δυνατόν να ταιριάξουν εντελώς τα δεδομένα με την θεωρητική κατανομή, μπορούν να γίνουν τεστ στην διάρκεια του δευτέρου σταδίου για να διαπιστωθεί εάν το πρότυπο είναι επαρκές. Εάν το πρώτο πρότυπο δεν είναι ικανοποιητικό, τότε μπορεί να δοκιμαστεί ένα εναλλακτικό πρότυπο. Μετά από λίγη εξάσκηση, ο αναλυτής θα μπορέσει να γίνει πιο ικανός στο να ταυτοποιήσει ένα επαρκές πρότυπο. Γενικά, θα πρέπει να ταυτοποιούμε τις αυτοσυσχετίσεις που μειώνονται κάθετα στο μηδέν. Εάν οι αυτοσυσχετίσεις μειώνονται στο μηδέν αυτό καταδεικνύει την ανάγκη μιας διαδικασίας AR εάν οι μερικές αυτοσυσχετίσεις μειώνονται σταδιακά αυτό δείχνει την ανάγκη μιας διαδικασίας κινητών μέσων. Και εάν και οι δύο μειώνονται σταδιακά αυτό υποδεικνύει την ανάγκη μιας μεικτής διαδικασίας ARIMA. Μετρώντας τον αριθμό των συντεταγμένων των αυτοσυσχετίσεων και των μερικών αυτοσυσχετίσεων που είναι ουσιαστικά διαφορετικές από το μηδέν, ο αναλυτής μετά μπορεί να καθορίσει τη σειρά των διαδικασιών MA ή και AR (autoregressive).

45 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΓΝΩΣΗ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟΥ. 1. Όταν επιλεχθεί ένα δοκιμαστικό πρότυπο, θα πρέπει να υπολογισθούν οι παράμετροι για το πρότυπο αυτό. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχει επιλεχθεί ένα πρότυπο ARIMA (1.1). Η μαθηματική μορφή και ο τύπος πρόβλεψης για το πρότυπο είναι αντίστοιχα : (1) και (2). y t = φ 0 +φ 1 y t-1 +ε t - w 1 ε t-1 (1) και ŷ t = φ 0 + φ 1 y t-1 - w 1 ε t-1 (2) Για να χρησιμοποιήσει την εξίσωση πρόβλεψης, ο αναλυτής θα πρέπει να υπολογίσει τις αξίες για το Φ 1 και W 1. Οι υπολογισμοί αυτοί γίνονται με το πρόγραμμα Box-Jenkins για Η/Υ χρησιμοποιώντας την ελάχιστη τετραγωνισμένη τιμή σφάλματος σαν κριτήριο για την επιλογή των μέγιστων τιμών. Ας υποθέσουμε ότι οι τιμές για το Φ 1 και W 1 υπολογίστηκαν σε 0,25 και 0,5. Η δοκιμαστική πρόβλεψη είναι τώρα ŷ t = 0,25 y t-1-0,5ε t-1 (3) 2. Προτού χρησιμοποιήσει το πρότυπο για πρόβλεψη, ο αναλυτής θα πρέπει να το ελέγξει για επάρκεια.

46 45 Το βήμα αυτό πραγματοποιείται ελέγχοντας τους όρους σφάλματος, ε t = y t ŷ t, για να βεβαιωθούμε ότι είναι τυχαίοι. Αυτή η δοκιμή μπορεί να γίνει ελέγχοντας τις αυτοσυναρτήσεις των όρων σφάλματος για να βεβαιωθούμε ότι δεν είναι σημαντικά διαφορετικοί από το μηδέν. Εάν τα στοιχεία που θα προκύψουν είναι κατά πολύ διαφορετικά του μηδενός, τότε το πρότυπο είναι ανεπαρκές. Θα πρέπει να επιστρέψουμε στο πρώτο στάδιο βήμα 2, να επιλέξουμε ένα εναλλακτικό πρότυπο και μετά να συνεχίσουμε την ανάλυση ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΕ ΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ. 1. Όταν βρεθεί ένα επαρκές πρότυπο μπορούν να γίνουν προβλέψεις για μία ή περισσότερες περιόδους στο μέλλον. Με τους υπολογισμούς αυτούς μπορούν επίσης να κατασκευαστούν διαστήματα εμπιστοσύνης. Γενικά όσο πιο μακριά στο μέλλον είναι η πρόβλεψη τόσο μεγαλύτερο θα είναι το διάστημα εμπιστοσύνης. Αυτές οι προβλέψεις και τα διαστήματα εμπιστοσύνης υπολογίζονται μετά από κλήση της κατάλληλης διαδικασίας (procedure) από το πρόγραμμα Box- Jenkins (software). 2. Καθώς προκύπτουν περισσότερα στοιχεία, το ίδιο πρότυπο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να επανελέγξει προβλέψεις, επιλέγοντας ένα άλλο χρονικό σημείο. 3. Εάν η σειρά φανεί να αλλάζει με το χρόνο οι παράμετροι του πρότυπου ίσως χρειαστεί να επαναϋπολογισθούν ή θα πρέπει να δημιουργηθεί ένα τελείως καινούργιο πρότυπο.