3.0 FEA ANALIZA 1. FEM Predavanje 7 ANALIZA NOSECIH STRUKTURA 2006/2007 AUTOMATSKO GENERISANJE MREŽA

Transcript

1 3.0 FEA ANALIZA FEM Prdavanj 7 ANALIZA NOSECIH SRUKURA 2006/2007 AUOMASKO GENERISANJE MREŽA Automatsko gnrisanj mrža konačnih lmnata koristi s za ralizaciju obimnih zadataka kakvi su industrijski problmi sa viš dstina hiljada konačnih lmnata. ada j potrbno brzo gnrisati mržu na složnom idalizovanom modlu, primnom makro instrukcija za konstruisanj. instrukcij s u softvru nalaz pod opštim navodima: IK3-2: Automatski gnrisati granic mrž (Automatically msh gnration boundaris) Automatski krirati mržu (Auto_Crat) Spcifikacija argumnata mrž IK3-2: Način gnrisanja mrž (pravilna, adaptivna), Vličina lmnta u mrži (h-siz), Broj lmnata u pravcima mrž, Nagib lmnata u mrži (biasing), Vličina globalnog i lokalnog lmnta slobodn mrž, Multiplikatori dužin za slobodn mrž, Dužina lmnta na bazi zakrivljnosti form (Curvatur-Basd Elmnt Lngth) Ova ralizacija podrazumva postavljanj granica konačnih lmnata po površini ili zaprmini objkta nzavisno od njgov topološk složnosti. Složnost oblika j sadržana u promni form na objktu po njgovoj dužini usld otvora, žljbova, ispupčnja, zaobljnja, nagiba, sužnja i proširnja. Shodno tom, softvr za automatsku gnraciju dfiniš tako diskrtnu mržu da ona prati složnost oblika i brzinu gomtrijskih promna sa aspkta naponskih tokova. Dakl, mrža mora da ima dovoljnu gustinu da bi konačnim lmntima bila unta minimalna (prihvatljiva) aproksimacija form. Kao posldica ovog zahtva, razvijni su matmatički modli za ocnu odstupanja potncijala kontinualn od diskrtn struktur konačnih lmnata. Kritrijumi za automatsku gnraciju mrž konačnih lmnata zasnovani su na sldćim postupcima: A. Upravljanju razvojm mrž, B. hnikama ravnanja mrž na objktu, C. Mtodama za izbor oblika i vrst lmnta A. Upravljanj razvojm mrž dfiniš počtak i pravac gnrisanja mrž. Osnova razvoja takv mrž j plan mrž (mapa) koji j odrdjn automatskim dfinisanjm podl na površinama i ivicama objkta. Postoj u osnovi dva modla razvoja mrž: pravilna (uniformna) i slobodna. Pravilna mrža ima stratgiju simtričnog ravnomrnog razvoja u pravcu promn toka kontur. Praviln mrž su proporcionalnih konačnih lmnata, thnički sttsk ali daju vliki broj konačnih lmnata. Slika 3.23, pokazuj pravilnu (uniformnu) mržu. Y Z X Slika 3.23 Uniformna - kontinualna mrža ist form konačnih lmnata Slobodn mrž imaju vću slobodu u smislu raspordjivanja granica lmnata. Slobodn mrž s spcificiraju paramtrom globaln vličin lmnta, lokaln vličin lmnta, brojm lmnata u krivini i multiplikatorom vličin lmnata u mrži. Paramtar globaln vličin lmnta omogućava dobru aproksimaciju u krivini smanjnjm vličin lmnta a n samo povćanjm brojm lmnata na konturi. Ovo dirktno daj mrž sa boljim prilagodjnjm prlaznih kontura ali mož da uslovi vlik razlik gomtrija lmnata. Zato j uvdna jdinica lokaln vličin lmnta kojom j vrdnovan svaki lmnt uz automatsku kontrolu opsga vličin svih lmnata mrž. Izabrani paramtri globaln i lokaln vličin lmnta dfinišu raspon vličina lmnata u istoj mrži. Kako vličina ivic konačnog lmnta, prdstavlja do cl dužin ivic modla, to s ova spcifikacija dfiniš vličinom lmnta u odnosu na clu konturu i poznata j kao h-spcifikacija. Paramtar za ovu spcifikaciju j broj tačaka na konturi. Uobičajno s dfiniš osnova od 20 do 30 lmnata na ivici kao i minimalan broj lmnata izmdju ivica (na granicama mrž).

2 2 3.0 FEA - ANALIZA. Izračunavanj vličin h-spcifikacij j usaglašno sa krivinama na površini kontur koja s trtira. ako, rcimo, prisustvo otvora u kontinuumu zahtva podšavanj vličin lmnata do nivoa zadat aproksimacij. Ralizacija mož biti potpuno automatski izvdna, prma podšnom broju lmnata na granici ili mož biti dirktno zadata brojm tačaka na konturi kod poluautomatsk gnracij, kako to pokazuj nardna slika: Y Z X Slika 3.24 Dfinisanj tačaka na konturi - prdgnrisanj lmnata za ocnu form i gustin mrž Drugi paramtar razvoja mrž podrazumva dfinisanj maksimalnih gomtrijskih odnosa mdju samim lmntima u mrži. Idalno j da su konačni lmnti ist vličin, ali s od ovog zahtva odstupa da bi s dobila mrža potrbn gustin na kritičnim lokacijama. Zato j uvdn paramtar nagiba (biasing ) lmnta prma cntru ili krajvima kontur (3.0 i viš). Ovaj paramtar odrdjuj zgušćnj trajktorija ivica konačnih lmnata u pravcu razvoja mrž. Njim j odrdjna brzina prlaska diskrtn struktur iz krupnog konačnog lmnta na kraju površin u sitan lmnt u prlaznoj zoni. B. Ravnanj mrž ima za cilj da obzbdi proporcionalnost oblika i kontinuitt granica lmnata u odnosu na konturu objkta. Na ovaj način smanjuj s izobličnj form konačnih lmnata. Za ravnanj granica lmnata korist s različit mtod gomtrijsk ispun prostora pri čmu s dobar usph raspordjivanja postiž primnom Laplac-ov i tžišn itracij. Laplac-ova mtoda pomra zajdnički čvor čtiri susdna lmnta, prma prsku obrazovanom dirktnim poravnanjm ivica susdnih lmnata, slika žišna mtoda pomra zajdničku tačku ka tžištu sva čtiri konačna lmnta, slika Laplac-ova mtoda stvara mržu sa najmanjim izobličnjm lmnata. Ova mtoda j brža od tžišn mtod. Ravnanj s izvodi do zadat tolrancij kvalitta mrž (ε= 0-3 ). 3 K 4 K 2 2 Slika 3.25 Dva modla za ravnanj mrža: Laplac-ov i tžišni mtod C. rća grupa mtoda stara s za izbor vrst i tipa konačnog lmnta. o j, rcimo, izbor 2D i 3D lmnata pripadajućg oblika. Kod ravanskih i površinskih struktura to su trougaoni i čtvorougaoni oblici ploča, ljuski, mmbrana. Kod 3D objkata to su osmougaoni lmnti (brick) ili piramid. Gomtrija samog konačnog lmnta zadaj s paramtrom oblika. Kod čtvorougaonih konačnih lmnata to j minimalan dozvoljni ugao izmdju susdnih ivica (ugao zakošnja). Rcimo, on s bira u granicama čim s dobijaju dobr diskrtn form mrža. Nardna dva primra pokazuju automatsku gnraciju mrž na čtvrtastoj 3D pločici sa kružnim otvorom. Prva mrža, na slici 3.26 izvdna j čtvorougaonim lmntima sa maksimalno zadatim odnosom zakošnja lmnata 5: i minimalnim uglom izmdju dv ivic od 60 i grubom h-spcifikacijom vličin 0. Automatska gnracija j dala ravnomrn vličin lmnata. Dobijna mrža s karaktriš sa 92 konačna lmnta i 3 čvora. Ravnanjm j dobijno odstupanj ε= , posl 35 itracija, tžišnom mtodom. rmin softvrskog pakta I-DEAS koji prdstavlja odnos dužin vktora cntra kosin i upravn ivic lmnta.

3 3.0 FEA ANALIZA Slika 3.26 Automatsko gnrisanj mrž čtvorougaonih konačnih lmnata na objktu sa otvorom (H-spcifikacija =0, Biasing = 5, minimalan ugao nagiba stranica = 60, mtoda ravnanja tžišna) Slika 3.27 Automatsko gnrisanj mrža na objktu primnom trougaonih konačnih lmnata H-spcifikacija =0, Biasing =2, Laplac-ova mtoda sa 0 itracija i ε= Ralizacija: 54 čvora i 50 lmnata Mrža na slici 3.27 j automatski gnrisana za isti objkat, sa 50 trougaonih konačnih lmnata ploč i 54 čvora. Pri tom j izabran odnos maksimalnog zakošnja lmnata u granicama 2:, H-spcifikacija =5. Dobijna j mrža primnom Laplac-ov mtod sa 0 prolaza (itracija). Mož s primtiti da j trougaoni lmnt pogodniji za oblikovanj prlaza u gomtriji. Oba procsa su vrlo brza (traju manj od scp) a brzina j zadovoljavajuća za oprativno konstruisanj mrža. Slika 3.28-a,b Dv automatski gnrisan mrž konačnih lmnata na objktu sa otvorima i različitom spcifikacijom broja lmnata u prlaznim zonama

4 4 3.0 FEA - ANALIZA. Važnost dobrog modliranja mrža mož s vidti iz primra sa slik 3.28: Dv mrž, automatski gnrisan, razlikuju s u zahtvu broja lmnata izmdju granica kontinuma (n=, n=5). Analiza j dala von Miss-ov napon na mstu zida izmdju malog i vlikog otvora, prma sldćoj tabli: abla 3.2 Mrža: Broj lmnata Napon: Von Miss (N/cm 2 ) Modl sa slik 3.28-a Modl sa slik 3.28-b Softvrska ralizacija podrazumva prdprovru gomtrijskih uslova za izvodjnj mrž (Pr-Chcking). Ovo podrazumva postojanj gomtrijskih uslova za postavljanj mrž: Postojanj zatvorn površin ili zaprmin, raspoloživost uslova za gnrisanj mrž, provru postojanja granica modla, provru logičkih paramtara kod otvora, provru ntitta susdnih mrža (da li ulaz u sastav nov), grafički prdlog mrž (nods on boundaris), provru dgnracij lmnata (čtvorougaonog u trougaoni). Grafički prikazana mrža, omogućava korisniku da izvrši potrbn korkcij kod pojav problma u topologiji mrž i izgradi iskustvo korišćnja paramtara za podšavanj. Ov funkcij obzbdjuju posbni programski prdprocsori koji na ovaj način obzbdjuju i trning u modliranju PROCENA GREŠKE PRORAČUNA Gršk u mtodi konačnih lmnata imaju mnoštvo izvora. Gršku aproksimacija objkta čini analitičar. Ova grška j uslovljna brojm konačnih lmnata modla, izabranim oblikom i tipom konačnih lmnata, načinom unosa optrćnja, primnjnim graničnim uslovima. Istorijski koncpt vrifikacij tačnosti s zasniva na razvoju drugog - skundarnog modla proračuna sa finijom mržom i vćim brojm konačnih lmnata. Pordjnjm rzultata analiz dokazuj s konvrgncija. Istorijski pristup j npraktičan jr zahtva mnogo rada, procsorsk rsurs i dodatno vrm analiz. Zato s čsto koristi pristup dirktn procna gršk kojim s vrdnuj ispravnost aproksimacija bz dodatnih analiza i skundarnih modla. Grška j izrazita na mstima visokog stpna promn napona, promn pomranja, tmpratur i drugih promna. Ov promn s izražavaju gradijntom napona i dformacija. Odrdjivanj procnjn gršk, iako n daj odgovor o apsolutnoj gršci, upućuj na prisustvo kritičnijih oblasti modliranja. U svrhu prikaza gršk modliranja, primnjuj s vktor gršk kao nosilac podataka o kvalittu modla i primnjnim aproksimacijama. Vktor gršk prikazuj rzultat odstupanja tačnosti proračuna u tžištima, na površinama ili u čvorovima konačnih lmnata. Na bazi odrdjnog vktora gršk, lako s mož izvršiti lokalna rkonstrukcija topologij mrž. Vktor gršk s formira na bazi tipičnih vličina promna stanja u kontinumu, utvrdjnih rzultatima analiz kao što su: pomranja, naponi, ubrzanja, tmpratur, sil i momnti. Postupak procn gršk s zasniva na procduri formiranja vktora gršk koji s analizom dobij. Nakon analiz dformacija, proračunava s grška modla, koja s mož mtodama postprocsiranja prikazati. Softvr koristi sldć mtod izražavanja procnjn gršk: Mtoda maksimalnih odstupanja, koristi sldći izraz za odrdjivanj gršk: VrdnostMAX VrdnostMIN, (3.40) Mtoda odstupanja od prosčn vrdnosti: MAX( VrdnostMAX VrdnostSRED, VrdnostMIN VrdnostSRED ), (3.4) Mtoda maksimalnih rlativnih odstupanja izražava u procntima gršku: VrdnostMAX VrdnostMIN 00 % (3.42) Vrdnost SRED Mtoda rlativnih odstupanja od prosčnih vrdnosti (%): (3.43) MAX( VrdnostMAX VrdnostSRED, VrdnostMIN VrdnostSRED ) 00 % Vrdnost SRED Mtoda maksimalnih normalizovanih rlativnih odstupanja (%): VrdnostMAX VrdnostMIN 00% (3.44) Vrdnost VktoraMAX Mtoda rlativnih normalizovanih odstupanja od prosčnih vrdnosti (%): (3.45) MAX( VrdnostMAX VrdnostSRED, VrdnostMIN VrdnostSRED ) 00 % Vrdnost VktoraMAX

5 3.0 FEA ANALIZA 5 U ovim jdnačinama MAX, MIN i SRED označavaju maksimalnu, minimalnu i srdnju vrdnost rfrntnog paramtra prko koga s grška izražava. o mož biti vktor dformacija ili vktor napona. Primna svak mtod odrdjivanja gršk izvodi s sa sldćim ciljvima idntifikacij: Mtoda odstupanja od prosčn vrdnosti idntifikuj najšir oblast gršk izlazn vrdnosti. Mtoda maksimalnih rlativnih odstupanja koristi s za idtinfikaciju strmog nujdnačnog gradijnta kao i gradijnta vrlo izražnog u jdnom pravcu. Mtod maksimalnih rlativnih odstupanja od srdnj vrdnosti idntifikuju oblasti ali n i karaktr odstupanja (mal i vlik apsolutn vrdnosti gradijnta). Korišćnj ovih mtoda s zato primnjuj kod zadataka gd j vličina (magnituda) upordn vličin manj važna od stpna promn vličin kroz kontinum. Posldnj dv normalizacijsk mtod korist s za bolj vrdnovanj ukupn gršk uključujući i špicv izlaznih vrdnosti. Na nardnoj slici 3.29 pokazana j ralizacija odrdjivanja maksimalnih normalizovanih rlativnih odstupanja analiz, izvdn iz programa ALGOR na primru lamlast kuk, obradjn dtaljnij u poglavlju Površin istih boja su izo površin jdnakih oblasti procnjnog odstupanja. Na dnu j data lgnda sa odstupanjima koja dostižu 5.28 %. Y Z X E-2 Slika 3.29 Primr CAD FEA grafička forma odrdjnog odstupanja tačnosti analiz kuk 3.60 POJAM ADAPIVNIH MREŽA opologija diskrtn struktur mrža gomtrijskog modla, utič na tačnost nadjnog ršnja. Što j mrža konačnih lmnata gušća, manja su odstupanja uslova kompltnosti, komfornosti i numričk zadovoljnosti sistma difrncijalnih jdnačina kojima j opisan mhanički modl. Dirktna posldica odstupanja numričkog ršnja FEM-a od gzaktnih vrdnosti, prdstavljaju gršku proračuna. Egzaktna ršnja su dobijna postupkom prokcija ili mšovitim varijacionim postupkom. Analiza tačnosti po dlovima kontinuuma, slika 3.29, pokazuj njdnaku gršku lokalnih zona. Promna tačnosti objašnjava s kao nadkvatnost postavljn mrž da prati nagl promn (gradijnt) napona i dfrmacija. Radi toga s modliraju uniformn mrža vć gustin, kako bi s umanjila grška analiz, što dirktno dovodi do skupih diskrtnih modla sa vlikim brojm stpni slobod krtanja. Problm dovoljn tačnosti modla, nizvsn j prirod, sv dok j topologija mrž individualno formirana i dok s n utvrdi tačnost proračunom (stimovanjm) vrdnosti. Radi toga su razvijni adaptivni postupci modliranja mrža koji liminišu individualan pristup i formiraju adaptivnu mržu na bazi zadat tačnosti modla 2,3. Adaptivna mrža konačnih lmnata formira s na bazi mhanizma procn gršk polaznog modla mrž. Rgnrisanjm polaznog modla mrž, shodno procnjnoj gršci, dobija s adaptivna mrža koja s karaktriš njdnakom gustinom konačnih lmnata sa grškom manjom od zadat po clom kontinuumu. Danas su razvijn tri grup adaptivnih postupaka automatskog gnrisanja mrža:. h - adaptivni postupak, 2. p - adaptivni postupak, 3. h-p adaptivni postupak H-adaptivni postupak rkurzivnim algoritmom mnja topologiju mrž, prma gradijntu dformacija ili napona. Posldica j dirktna promna vličin konačnih lmnata, po čmu j i postupak dobio im. Adaptivna mrža pri tom ima gust konačn lmnt, malih dimnzija u zoni vlikih dformacija, pa s u suštini, broj konačnih lmnata u odnosu na 2 Babuska, I.: A POSERIORI ERROR ESIMAION FOR HE FINIE ELEMEN MEHOD, Nonlinar Finit Elmnt Analisys in Structural Mchanics, Procdings of th Europ US Workshop, Rhür-Univrsity Bochum, Grmany, Zinkiwicz O.C., Zhu J.Z.:A SIMPLE ERROR ESIMAOR AND ADAPIVE PROCEDURE FOR PRACICAL ENGINEERING ANALYSIS, Intrnational Journal for numrical mthods in nginring, Vol. 24, , 987.

6 6 3.0 FEA - ANALIZA. polaznu mržu povćava. Enormno uvćanj broja lmnata j loša osobina modla čak i kada s raspolaž moćnim računarskim rsursima. H-adaptivni postupak odrdjuj gršku polazn mrž na bazi koj izračunava novu vličinu konačnog lmnta u posmatranoj zoni, sa ciljm zadovoljnja postavljn tačnosti. Razlika gzaktnih ršnja pomranja i napona u,σ i odgovarajućih aproksimativnih ršnja pomranja i napona û, σˆ, prdstavlja gršku pomranja i gršku napona σ, koj s dfinišu rlacijama 3.46-a,b: u = u û, σ = σ σˆ, (3.46-a,b) Čšć korišćna vličina za izražavanj gršk j nrgtska norma gršk koja s u opštm slučaju dfiniš intgralom Enrgtska norma gršk u spcijalnom slučaju lastičnog sistma, mož s dfinisati jdnačinom Mnogo dirktnija mra gršk s mož dfinisati prko norm gršk, označn indksom L2. U ovim izrazima, L j matrica difrncijalnih opratora, V-zaprmina kontinuuma a D matrica lastičnih osobina matrijala. Norma gršk za dformacij i napon, dfinisana j jdnačinama 3.49-a,b, [5]. = L dv, (3.47) V D dv D D = σ σ = ε ε = σ σ, (3.48) V V V L2 = dv, dv σ = L2 σ σ, (3.49-a,b) V V Norm gršk iz jdnačina 3.49, odnos s na co analiziran kontinuum. Kvadrat norm clog kontinuma, mož s prdstaviti sumom pojdinačnih kvadrata normi konačnih lmnata, prma 3.50: 2 m 2 =, (3.50) i= i Kod optimalnih adaptivnih mrža, ravnomrno j raspordjna nrgtska norma po konačnim lmntima clog diskrtnog sistma. Enrgtska norma nma prostu fizičku intrprtaciju u mhanici kontinuma pa s zato korist i drugi oblici izražavanja gršk modla. Za intrprtaciju j mnogo očigldnija rlativna procntualna grška η, (3.5-a), kao i apsolutna grška napona (3.5-b). Oba paramtra s mogu odrditi za pojdinačn lmnt tako i za co kontinuum %, σ L2 η = σ =, (3.5-a,b) u V Stratgija gnrisanja h-adaptivn mrž, dfiniš algoritam za pojdinačno odrdjivanj vličina konačnih lmnata pri čmu j ispunjn uslov da j grška ravnomrno raspordjna po kontinuumu i da j manja od zadat gršk η dop. Ovaj uslov s dfiniš rlacijom 3.52 iz koj dirktno za svaki konačan lmnt mož da s provri tačnost proračuna, na bazi rlacij Ukoliko s jdnačinom 3.54-a, izrazi količnik gršk ξ u i-tom lmntu i prosčn gršk cl struktur sa m lmnata, mož s odrditi korkcija h-vličin lmnata. Kada j ξ i >.0, potrbno j povćanj gustin lmnata u posmatranoj zoni kontinuuma. Kada j ξ<.0, potrbno j razrditi mržu konačnih lmnata. η η dop (3.52) 2 2 û + η i dop = m m (3.53) i σ ξ i =, ξi =, (3.54-a,b) σ m dop prirastaj Ukoliko j polazna vličina konačnog lmnta h i, za koji j odrdjn količnik gršk ξ i, primnom intrpolacion funkcij stpna p, mož s odrditi korigovana dimnzija konačnog lmnta sa aspkta zadat tačnosti h i NOVO, prma rlaciji Ovako odrdjna nova vličina konačnog lmnta h i NOVO, prdstavlja h-adaptivnu vličinu mrž diskrtn struktur. Rlacija 3.55 j osnovna jdnačina za gnrisanj h-adaptivn mrž konačnih lmnata. Količnik gršk ξ s mož odrditi i na osnovu analiz naponskih priraštaja susdnih konačnih lmnata σ i unaprd dozvoljnog priraštaja napona σ dop prirastaj, prma rlaciji 3.54-b. Ovaj naponski skok uzima s individualno i mož biti nkoliko procnta od maksimalno dozvoljnog napona struktur. Efikasnost nalažnja ršnja ocnjuj s indksom fikasnosti nalažnja ršnja θ, koji j dfinisan rlacijom h i NOVO h i =, (3.55) ξ p i

7 ACNO 3.0 FEA ANALIZA 7 PROCENJENO θ =, (3.56) P-adaptivni postupak n mnja topologiju postavljn mrž u zonama visokih gradijnata dformacija i napona vć podšava stpn intrpolacionih polinoma konačnih lmnata. Na taj način s adaptivna mrža formira od konačnih lmnata promnljivog stpna intrpolacionih funkcija. ako, rcimo, program NISA II/DISPLAY II, namnjn za linarnu i nlinarnu analizu, firm EMRC, ima automatsko povćanj stpna polinoma do vrdnosti p=8. Na slici 3.30 pokazan j rzultat rada klasičnog modlra po h-mtodi i modlra po p-mtodi. Analizirana j ravna ploča sa bočnim polukružnim zarzima koja j na jdnoj strani ukljštna a na drugoj optrćna silom F. Najpr j gnrisana uniformna mrža, sa monotonim razvojm vličin konačnog lmnta, zatim h-adaptivna mrža i na kraju mrž po p-mtodi sa trougaonim i čtvorougaonim 2D lmntima. rougaoni konačni lmnti imaju po 6 čvorova a čtvorougaoni 8 čvorova. Rzultat rada modlra pokazuj tabla 3.3. Očigldna j prdnost p-adaptivn mrž zbog jdnostavnosti, brzin gnrisanja modla i brzin izračunavanja ršnja. abla 3.3 FINA JEDNOLIKA MREŽA ADAPIVNA MREŽA ROUGAONI EL. P-MEOD ROUGAONI EL. (P=5) P-MEOD ČEVOROUG. EL. (P=5) Broj lmnata mrž Čvorova po konačnom lmntu NAPON σ u tački D Grška u odnosu na tačno ršnj % VREME ršavanja sc CP 386/20 MHz Fina uniformna mrza Adaptivna mrza P-postupak sa trougaonim lmntima P-postupak sa ctvorougaonim lmntim Slika 3.30 Upordan prgld načina rada modlra firm SRUCURAL RESEARCH AND ANALYSIS CORPORAION - S. MONICA, USA H-P adaptivni postupak mnja i topologiju postavljn mrž i stpn intrpolacionih polinoma i prdstavlja kombinaciju prva dva postupka. U osnovi ovaj postupak odrdjuj gršku na bazi nrgtsk norm u obliku 3.57, sukcsivnim izračunavanjm stpna polinoma p, sa odgovarajućim brojm stpni slobod N p. C i β su odrdjivan konstant itriranja. 2 2 p β u u = C N p, (3.57)