Predavanje 10 (FEA-3) Generacija 2007 FORMIRANJE MODELA U METODI KONAČNIH ELEMENATA

Transcript

1 PROJEKOVANJE RACUNAROM - CAD Autorizoana prdaanja dr Miomira Joanoića Prdaanj 0 (FEA-3) Gnracija 007 FORMIRANJE MODELA U MEODI KONAČNIH ELEMENAA Formiranj diskrtnog modla j priprmna faza - procdura pr analiz mtodom konačnih lmnata. Formiranjm diskrtnog modla stara s osmišljna, uskladjna i pozana grupa konačnih lmnata kojom j opisan kontinuum, koji j prdmt analiz. Formiranj modla za analizu ima čtiri faz ralizacij: Formiranj gomtrijskog modla, formiranj idalizoanog modla, formiranj modla zona i formiranj diskrtnog modla. Gomtrijski modl krira projktant, CAD softrom za projktoanj. im nastaj datotka podataka koji ralno opisuju gomtriju objkta sa sim potrbnim dtaljima za izradu. Gomtrijski modl mož da sadrži gomtrijsk lmnt koji nmaju značaja za analizu jr n utiču na naponsko-dformacionu sliku objkta. Radi toga s formira idalizoan modl u kom su obačni nažni dtalji. Idalizoan modl j uprošćn modl koji n mora da prdstalja clinu objkta ukoliko mož da s njgoim simtričnim formama prdstai funkcija i način optrćnja clin. Idalizoan modl s uk formira sa zahtom manjg obima kontinuuma za analizu. Osnoa razoja racionalnih idalizoanih modla j apstrakcija. Apstrakcija j sagldaanj modla od stran analitičara kojom s postalja koncpt modla, uklanjaju dtalji, prpoznaj simtrija, rdukuj modl, prilagodjaaju modalitti unošnja optrćnja. Na slici 3., pokazana j trarza sa slik.35. Modl zona prdstalja idalizoan modl rasčlanjn na prailnij clin zon koj dozoljaaju podlu kontinuuma na konačn lmnt prma standardnom - poznatom algoritmu gnrisanja ili prslikaanja. Na slici 3. pokazan j modl sa 4 zon. Uskladjianj mdjusobnog poklapanja čoroa i odsusto koincidncij lmnata i čoroa obzbdjuj s mapiranjm mrž procdurom uskladjnog broja lmnata na kontaktnim poršinama zona. Diskrtni modl s razija na bazi modla zona i uskladjnog broja lmnata kontaktnih poršina zona. Diskrtni modl podrazuma odrdjianj čoroa, konačnih lmnata, podataka o matrijalu, diskrtnom optrćnju i diskrtnim graničnim usloima. Diskrtni modl ima potrbna prilagodjaanja mrž konačnih lmnata graničnim usloima oslanjanja i tačkama i poršinama djsta spoljašnjih sila. Razijna mrža konačnih lmnata s ocnjuj paramtrima oblika mrž. o su gomtrijski okiri u kojima j primnjn konačan lmnt (dformisanost oblika), prailnost razoja mrž (kontinualnost promn praca i oblika lmnta), prailnost promn ličin lmnta (kontinualnost promn gomtrij). Na bazi oih paramtara rši s poboljšanj mrž pr ngo što s formira konačan diskrtan modl. Konačnim diskrtnim modlom rši s analiza.

2 PROJEKOVANJE RACUNAROM - CAD Autorizoana prdaanja dr Miomira Joanoića Gomtrijski modl Idalizoan modl Modl zona Diskrtan modl Slika 3. Faz transformacij modla. Slika pokazuj tri žičana modla: Gomtrijski modl, idalizoan modl i modl zona. Čtrti modl - diskrtni modl j prikazan kao zaprminski solid modl objkta Razoj mrž konačnih lmnata mož s ralizoati: Ručnim putm (pojdinačnim dfinisanjm čoroa i lmnata), Poluautomatskim putm kada s na bazi postaljnog koncpta modla zadaju pojdinačn komand automatskog gnrisanja konačnih lmnata u zonama. Poluautomatski gnratori su intraktinog tipa zasniaju s na instrukcijama dfinisanim kroz dijalog. Automatska procdura podrazuma gnrisanj mrž kao clin jdnom komandom kojom nastaj co diskrtni modl iz zadatog gomtrijskog modla i ngomtrijskih instrukcija o osloncima, optrćnju, matrijalu i fizičkim osobinama. Automatsko gnrisanj karaktriš najsarmnij modlr. Zato j osnoni programski alat za odrdjianj zona u kojima s gnriš mrža gnrator granica. Automatski gnratori korist tri mtod za formiranj mrža: Mtodu spajanja čoroa, mtodu prilagodjaanja uzorka mrž i mtodu dkompozicij. Softr za analizu, shodno načinu modliranja, mož da s razija kao intgralni i modularni. Intgralni podrazuma softrski potpuno intgrisan s faz razoja modla, analiz i postprocsiranja. Modularni pristup podrazuma razoj, korišćnj i distribuciju softrskih modula za pojdinačn tap analiz (gomtrijsko modliranj, prprocsiranj, postprocsiranj, analiza). Modularni programi podrazumaju i bogatiji intrfjs za rad sa različitim formatima i programima. Primr takih programa j FEMAP (Finit Elmnt Modling And Postprocssing), MicroStation-SE. Softrski pakti kao I-DEAS, ANSYS, ALGOR, NASRAN, COSMOS intgrišu s procduraln faz analiz: Gomtrijsko modliranj, idalizaciju, kriranj diskrtnog modla, ršaanj zadatka i postprocsiranj. Čsto su tu pridodat opcij za optimizaciju, rdizajn, analizu ostljiosti modla, konkurntni inžinjring, izradu thničk dokumntacij, pordjnj sa ksprimntom.

3 PROJEKOVANJE RACUNAROM - CAD Autorizoana prdaanja dr Miomira Joanoića 3 Pr/post procsori su programi prdidjni za rad sa gomtrijskim podacima, optrćnjima, graničnim usloima, naponima, dformacijama, ktorima, poljima, grafičkim tipoima gomtrijskih modla, animacijom, grškama analiz. Pr/post procsori su uk zasnoani na grafičkom intrfjsu i na taj način omogućuju analizu po različitim osnoama, istražiačkim ciljima. Gnratori mrža modlri mrža. Mogu gnrisati dodimnzionaln ili trodimnzionaln mrž konačnih lmnata. Dodimnzion mrž s korist za ršaanj raanskih i osnosimtričnih zadataka. rodimnzion mrž su najopštija katgorija mrža i u domnu mašinsta njima s pokria kontinuum objkata koji su uk 3D. Drugi značajan paramtar gnracij j gustina lmnata u pojdinim zonama. Gnratori mrža korist da pristupa u zadaanju gustin mrž: Pri pristup kod koga s gustina lmnata unaprd (a priori) prtpostalja analizom idalizoanog modla iz koj s odrdjuju paramtri gnratora mrža. Oaj modl s zasnia na opštim osobinama mhanik kontinuuma i u pojdinim slučajima mož da d ću gršku proračuna kao posldicu nadkatnog ili nraspoložiog prdpostaljnog paramtra programskog gnratora mrž. Prtpostak j potrbno proriti nakon analiz. Drugi pristup zasnia s na korišćnju rzultata izršn analiz (a postriori), za rdfinisanj gustin mrž. Oaj pristup postalja inicijalnu mržu sa počtnom ličinom konačnog lmnta odrdjnog na bazi zoniranog modla. Sa tom gustinom izrši s proračun pa s na bazi izršn analiz ocnjuj lokalna adkatnost ličin i rasporda lmnata. Na bazi gradijnta dobijnog napona, lokaln nrij (funkcionala Π) i gršk modla, rši s rdfinisanj mrž. Mrža j sada usloljna zahtima kontinuuma i ngomtrijskim paramtrima objkta. Pošto taka mrža odgoara gustinom lmnata postaljnom zahtu tačnosti i ima ujdnačn kaltt dobijnih rzultata, dfiniš s kao adaptina mrža. Do adaptin mrž s n dolazi dirktno, ć itratino u iš prolaza, dakl, srijom analiza sa podšaanjm jdnakosti i nioa gršk modla u sim zonama i lokacijama kontinuuma. Softrski j to automatizoana procdura koja s pokrć po gnrisanju prog diskrtnog modla. Ršnja za gnrisanj mrža su tražna i na drugim planoima. ako j I.C.aig, 954. dfinisao ksprtni sistm za priprmu analiz i procdur modliranja objkta. MODELIRANJE MREŽA - OPŠE FUNKCIJE Razoj diskrtnih mrža konačnih lmnata na objktima podrazuma dfinisanj osnonih lmnata: tačaka, linija, poršina, zaprmina, čoroa i konačnih lmnata. Nad gomtrijskim lmntima modla obaljaju s opracij gnrisanja sastanih lmnata diskrtnih modla, primnom odgoarajućih softrskih alata. Postaljanj (konstruisanj) čora u proizoljnoj tačci prostora (x,y,z), u opštm slučaju dato j spcificiranom nardbom IK3-0. Nardna tri alata pokazuju izodjnj transformacija nad grupom čoroa. Programsk nardb za izršnj oih funkcija su dat: IK3-0: Krirati čoro (konačnog lmnta) (Crat Nods) IK3-0: Kopirati čoro translacijom (Copy Nods) IK3-03: Kopirati čoro rotacijom (Rotat Nods) (3.9) IK3-04: Kopirati čoro rflksijom (Rflct Nods) Osnosimtričan konačan lmnt j raanski lmnt za osu u istoj rani.

4 PROJEKOVANJE RACUNAROM - CAD Autorizoana prdaanja dr Miomira Joanoića 4 Kopiranj u zadatom pracu, kopiranj rotacijom, kopiranj rflksijom Pojdinačno kriranj konačnih lmnata obalja s nardbom za konstruisanj IK3-05, datom naodom Izbor tipa i oblika konačnog lmnta sastani j do procdur kriranja i automatski s softrom otaraju podmniji za izbor potrbnih osobina konačnih lmnata. Procdura s mož uspšno okončati kada s si potrbni podaci za kriranj lmnta zadaju. ako na primr, kod kriranja konačnog lmnta ploč, zadaj s oblik ploč (trougaoni ili čtorougaoni), idntifikacioni broji čoroa, način unošnja podataka o lmntu (dfinisano intrfjsom programa), dbljina konačnog lmnta, matrijal lmnta sa mogućnošću korišćnja baz podataka. osobin naprdni softri nud kao kompltnu opciju. IK3-05: Krirati konačan lmnt (Crat Elmnt) (3.30) Pri naodjnju zahta za kriranj linijskih lmnata, programi obično nud izbor: A. Elmnt za aksijalna i torziona optrćnja (bz smicajna i saijanja rod lmnt), sl.3.4-a, B. Cni lmnt sličnih osobina kao i prthodni (tub lmnt), slika 3.4-b, C. Štapni lmnt za aksijalna optrćnja i saijanj (bar lmnt), slika 3.4-c, D. Linijski lmnt krutosti (spring lmnt), slika 3.5-a, E. Linijski lmnt prigušnja (dampr lmnt), slika 3.5-b, F. Kombinoani lmnt zadat krutosti i prigušnja, G. Linijski lmnt nlinarnosti (gap lmnt), H. Kriolinijski grdni lmnt (curd bam lmnt), slika 3.5-c Slika 3.5 a.- lmnt krutosti, b. - lmnt prigušnja, c. - kriolinijski grdni lmnt GENERISANJE UNIFORMNIH MREŽA Kada s na objktu razija mrža sa topologijom koja j tačno unaprd odrdjna, dfiniš s poršina na kojoj s izodi opracija. Nardni korak j izbor alata za gnrisanj mrž. Gnrisanj mrž na proizoljnoj čtorougaonoj ploči, što j nadno funkcijom: IK3-08: Krirati mržu izmdju ugloa - tmna (Crat Msh btwn Cornrs) Oa funkcija zahta unošnj oznak čoroa i broj lmnata u pracima lokalnih osa (s) i (r) koji s gnrišu mržom. Kada s gnrisanjm dobijaju proporcionalni ili idntični konačni lmnti, taka mrža s nazia uniformna. Za ploču na slici 3.7-a, zadata su tmna N5, N, N3, N i podla 4 x 4 lmnata. Ukoliko s funkcija ponoi na lmntima E9, E0, E3, E4, sa istim paramtrima, (posl odklanjanja koincidntnih čoroa i lmnata i rnumracij mrž), nastaj modl mrž prikazan na slici 3.7-b. Oaj modl sa 8 lmnata ploč odlikuj s gušćom mržom koja omogućuj prcizan unos spoljašnjg uticaja, manji stpn aproksimacij u analizi uticaja, bolji (dtaljniji) prikaz polja napona i dformacija. Prlaz iz krupnijih u sitnij lmnt mora naknadno da s dotra.

5 PROJEKOVANJE RACUNAROM - CAD Autorizoana prdaanja dr Miomira Joanoića 5 Y 5 4 Z X Slika 3.7-a,b Primri gnrisanja uniformnih mrža Procdura gnrisanja mrž složnija: ako, rcimo, kada s gnriš mrža na prstnastoj ploči, bira s pomoćna funkcija za konstruisanj, kojom s gnrišu kontroln tačk mrž: IK3-09: Krirati dimnziju mrž uzduž kria na poršini (Crat Msh Siz along Curs on Surfac) (3.33) Oom funkcijom s postaljaju kontroln tačk po cloj konturi, izabran gustin u cirkularnom i radijalnom pracu. Kontroln tačk omogućuju prailno raspordjianj lmnata mrž. Kontroln tačk su postaljn i simbolički prikazan na modlu, kod sakog softra. k sada mož s postaiti zaht za kriranj mrž na poršini: IK3-0: Gnrisati mržu na poršini (Gnrat Msh on a Surfac) (3.34) Oom funkcijom s formira mrža koja ima položaj čoroa i lmnata prma postaljnom modlu sa kontrolnim tačkama. Slika 3.8, pokazuj primr kriranja mrž na prstnastoj ploči sa lmnata u cirkularnom i 3 u radijalnom pracu. Gnrisano j 36 konačnih lmnata sa 48 čoroa i 48 x 6 stpni slobod krtanja (SSK). Mrža ima prailan oblik i proporcionalnu gomtriju konačnih lmnata. Pri tom su prikazani čtorougaoni raanski konačni lmnti. Slika 3.8 Gnrisanj raanskih čtorougaonih konačnih lmnata u polarno-cilindričnom koord. sistmu IK3-: Gnrisati paramtr ličin mrž (Gnrat Msh Siz) (3.35) Primr na slici 3.9, pokazuj gnrisanj mrž na nprailnoj ranoj poršini sa 8 konačnih lmnata u oba praca i količnicima izodnica mrž 5.0 i 0.. Dobijna mrža ima poćanu gustinu lmnata u gornjm dsnom uglu. Aproksimacija izršna sa 64 čtorougaona lmnta ploč, pri čmu tačnost modla iš nij automatski kontrolisana ć zaisi od kritrijuma i zahta analitičara.

6 PROJEKOVANJE RACUNAROM - CAD Autorizoana prdaanja dr Miomira Joanoića 6 V Y Z X Slika 3.9 Uniformna mrža sa njdnakom ličinom konačnih lmnata Slobodn mrž: Kod nautomatskih procdura kada s gnrišu SLOBODNE FORME MREŽA (fr msh), mora s poznaati tačnost modliranja iz iskusta grup prdhodno izdnih modla i proračuna. Slobodno formirana mrža mora poštoati opšt princip formiranja mrža: Spcificirati ličin mrža sa prlaznim rdnostima paramtara uzduž iica, N zadaati paramtr gnracij mrža u širokim granicama, Koristiti standardn paramtr za gnrisanj mrža (programski podšn), Raziti iš ralizacija mrža i izabrati najpooljniju, Mapirati granic na poršinama gd j god to moguć (manja logička složnost), Kod jako zakriljnih oblika konačnih lmnata ršiti rkonstrukciju mrža Gnrisanj mrž na zaprminskim (3D) objktima koristi opštu komandu za konstruisanj: IK3-6: Gnrisati mržu na zaprmini (Gnrat Msh on a Volum) Korišćnjm komand na objktu (postljica kliznog lžaja) prikazanom na slici 3.0, dobijna j mrža sa 5-3D konačnih lmnata (solid brick), 3 čora i 936 stpni slobod krtanja. Podšaanj kalitta ršnja prko ličin konačnih lmnata poznato j još kao h-siz paramtar. Kod poluautomatskog gnrisanja mrža, moguć j ličinom osnonog lmnta, dfinisati gustinu mrž. Slika 3.0 Primr gnrisanja uniformn mrž na 3D objktu

7 PROJEKOVANJE RACUNAROM - CAD Autorizoana prdaanja dr Miomira Joanoića 7 AUOMASKO GENERISANJE MREŽA Automatsko gnrisanj mrža konačnih lmnata koristi s za ralizaciju obimnih zadataka kaki su industrijski problmi sa iš dstina hiljada konačnih lmnata. instrukcij s u softru nalaz pod opštim naodima: IK3-: Automatski gnrisati granic mrž (Automatically msh gnration boundaris) Automatski krirati mržu (Auto_Crat) Spcifikacija argumnata mrž IK3-: Način gnrisanja mrž (prailna, adaptina), Vličina lmnta u mrži (h-siz), Broj lmnata u pracima mrž, Nagib lmnata u mrži (biasing), Vličina globalnog i lokalnog lmnta slobodn mrž, Multiplikatori dužin za slobodn mrž, Dužina lmnta na bazi zakriljnosti form (Curatur-Basd Elmnt Lngth) Automatska gnracija mrž konačnih lmnata zasnoani su na sldćim postupcima: A. Upraljanju razojm mrž, B. hnikama rananja mrž na objktu, C. Mtodama za izbor oblika i rst lmnta A. UPRAVLJANJE RAZVOJEM MREŽE dfiniš počtak i praac gnrisanja mrž. Osnoa razoja tak mrž j plan mrž (mapa) koji j odrdjn dfinisanjm podl na poršinama i iicama objkta. Postoj u osnoi da modla razoja mrž: prailna (uniformna) i slobodna. Prailna mrža ima stratgiju simtričnog ranomrnog razoja u pracu promn toka kontur. Prailn mrž su proporcionalnih konačnih lmnata, sttsk i daju liki broj l. Y Z X Slika 3.3 Uniformna - kontinualna mrža ist form konačnih lmnata Slobodn mrž imaju ću slobodu u smislu raspordjianja granica lmnata. Slobodn mrž s spcificiraju paramtrom globaln ličin lmnta, lokaln ličin lmnta, brojm lmnata u kriini i multiplikatorom ličin lmnata u mrži. Kako ličina iic konačnog lmnta, prdstalja do cl dužin iic modla, to s oa spcifikacija dfiniš ličinom lmnta u odnosu na clu konturu i poznata j kao h-spcifikacija. Paramtar za ou spcifikaciju j broj tačaka na konturi. Uobičajno s dfiniš od 0 do 30 lmnata:

8 PROJEKOVANJE RACUNAROM - CAD Autorizoana prdaanja dr Miomira Joanoića 8 Y Z X Slika 3.4 Dfinisanj tačaka na konturi - prdgnrisanj lmnata za ocnu form i gustin mrž Drugi paramtar razoja mrž podrazuma dfinisanj maksimalnih gomtrijskih odnosa mdju samim lmntima u mrži. Idalno j da su konačni lmnti ist ličin, ali s od oog zahta odstupa da bi s dobila mrža potrbn gustin na kritičnim lokacijama. Zato j udn paramtar nagiba (biasing ) lmnta prma cntru ili krajima kontur (3.0 i iš). Oaj paramtar odrdjuj zgušćnj trajktorija iica konačnih lmnata u pracu razoja mrž. Njim j odrdjna brzina prlaska diskrtn struktur iz krupnog konačnog lmnta na kraju poršin u sitan lmnt u prlaznoj zoni. B. RAVNANJE MREŽE ima za cilj da obzbdi proporcionalnost oblika i kontinuitt granica lmnata u odnosu na konturu objkta. Na oaj način smanjuj s izobličnj form konačnih lmnata. Za rananj granica lmnata korist s različit mtod gomtrijsk ispun prostora pri čmu s dobar usph raspordjianja postiž primnom Laplac-o i tžišn itracij. Laplac-oa mtoda pomra zajdnički čor čtiri susdna lmnta, prma prsku obrazoanom dirktnim porananjm iica susdnih lmnata, slika 3.5. žišna mtoda pomra zajdničku tačku ka tžištu sa čtiri konačna lmnta, slika 3.5. Laplac-oa mtoda stara mržu sa najmanjim izobličnjm lmnata. Oa mtoda j brža od tžišn mtod. Rananj s izodi do zadat tolrancij kalitta mrž (ε= 0-3 ). 3 K 4 K Slika 3.5 Da modla za rananj mrža: Laplac-o i tžišni mtod C. REĆA GRUPA MEODA stara s za izbor rst i tipa konačnog lmnta. o j, rcimo, izbor D i 3D lmnata pripadajućg oblika. Kod raanskih i poršinskih struktura to su trougaoni i čtorougaoni oblici ploča, ljuski, mmbrana. Kod 3D objkata to su osmougaoni lmnti (brick) ili piramid. rmin softrskog pakta I-DEAS koji prdstalja odnos dužin ktora cntra kosin i upran iic lmnta.

9 PROJEKOVANJE RACUNAROM - CAD Autorizoana prdaanja dr Miomira Joanoića 9 Gomtrija samog konačnog lmnta zadaj s paramtrom oblika. Kod čtorougaonih konačnih lmnata to j minimalan dozoljni ugao zakošnja. Rcimo, on s bira u granicama čim s dobijaju dobr diskrtn form mrža. Nardna da primra pokazuju automatsku gnraciju mrž na čtrtastoj 3D pločici sa kružnim otorom. Pra mrža, na slici 3.6 izdna j čtorougaonim lmntima sa maksimalno zadatim odnosom zakošnja lmnata 5: i minimalnim uglom izmdju d iic od 60 i grubom h-spcifikacijom ličin 0. Automatska gnracija j dala ranomrn ličin lmnata. Dobijna mrža s karaktriš sa 9 konačna lmnta i 3 čora. Rananjm j dobijno odstupanj ε= , posl 35 itracija, tžišnom mtodom Slika 3.6 Automatsko gnrisanj mrž čtorougaonih konačnih lmnata na objktu sa otorom (H-spcifikacija =0, Biasing = 5, minimalan ugao nagiba stranica = 60, mtoda rananja tžišna) Slika 3.7 Automatsko gnrisanj mrža na objktu primnom trougaonih konačnih lmnata H-spcifikacija =0, Biasing =, Laplac-oa mtoda sa 0 itracija i ε= Ralizacija: 54 čora i 50 lmnata POJAM ADAPIVNIH MREŽA Analiza tačnosti po dloima kontinuuma, slika 3.9, pokazuj njdnaku gršku lokalnih zona. Promna tačnosti objašnjaa s kao nadkatnost postaljn mrž da prati nagl promn (gradijnt) napona i dfrmacija. Radi toga s modliraju uniformn mrža ć gustin, kako bi s umanjila grška analiz, što dirktno doodi do skupih diskrtnih modla sa likim brojm stpni slobod krtanja. Danas su razijn tri grup adaptinih postupaka:. h - adaptini postupak,. p - adaptini postupak, 3. h-p adaptini postupak H-adaptini postupak rkurzinim algoritmom mnja topologiju mrž, prma gradijntu dformacija ili napona. Posldica j dirktna promna ličin konačnih lmnata, po čmu j i postupak dobio im. Adaptina mrža pri tom ima gust konačn lmnt, malih dimnzija u zoni likih dformacija, pa s u suštini, broj konačnih lmnata u odnosu na polaznu mržu poćaa. Enormno ućanj broja lmnata j loša osobina modla čak i kada s raspolaž moćnim računarskim rsursima. H-adaptini postupak odrdjuj gršku polazn mrž na bazi koj izračunaa nou ličinu konačnog lmnta u posmatranoj zoni, sa ciljm zadooljnja postaljn tačnosti. Razlika gzaktnih ršnja pomranja i napona u,σ i odgoarajućih aproksimatinih ršnja pomranja i napona û, σˆ, prdstalja gršku pomranja i gršku napona σ, koj s dfinišu rlacijama 3.46-a,b: u = u û, σ = σ σˆ, (3.46-a,b)

10 PROJEKOVANJE RACUNAROM - CAD Autorizoana prdaanja dr Miomira Joanoića 0 Čšć korišćna ličina za izražaanj gršk j nrgtska norma gršk koja s u slučaju lastičnog sistma, mož s dfinisati jdnačinom Mnogo dirktnija mra gršk s mož dfinisati prko norm gršk, označn indksom L. U oim izrazima, L j matrica difrncijalnih opratora, V-zaprmina kontinuuma a D matrica lastičnih osobina matrijala. Norma gršk za dformacij i napon, dfinisana j jdnačinama 3.49-a,b, [5]. / D dv D D = σ σ = ε ε = σ σ, (3.48) V V V L / = dv, V / / / dv σ = L σ σ, (3.49-a,b) V Norm gršk iz jdnačina 3.49, odnos s na co analiziran kontinuum. Kadrat norm clog kontinuma, mož s prdstaiti sumom pojdinačnih kadrata normi konačnih lmnata, prma 3.50: m =, (3.50) i= i Kod optimalnih adaptinih mrža, ranomrno j raspordjna nrgtska norma po konačnim lmntima clog diskrtnog sistma. Enrgtska norma nma prostu fizičku intrprtaciju u mhanici kontinuma pa s zato korist i drugi oblici izražaanja gršk modla. Za intrprtaciju j mnogo očigldnija rlatina procntualna grška η, (3.5-a), kao i apsolutna grška napona (3.5-b). Oba paramtra s mogu odrditi kako za pojdinačn konačn lmnt tako i za co kontinuum. η = u 00 %, σ σ = V L /, (3.5-a,b) Stratgija gnrisanja h-adaptin mrž, dfiniš algoritam za pojdinačno odrdjianj ličina konačnih lmnata pri čmu j ispunjn uslo da j grška ranomrno raspordjna po kontinuumu i da j manja od zadat gršk η dop. Oaj uslo s dfiniš rlacijom 3.5 iz koj dirktno za saki konačan lmnt mož da s prori tačnost proračuna, na bazi rlacij Ukoliko s jdnačinom 3.54-a, izrazi količnik gršk ξ u i-tom lmntu i prosčn gršk cl struktur sa m lmnata, mož s odrditi korkcija h-ličin lmnata. Kada j ξ i >.0, potrbno j poćanj gustin lmnata u posmatranoj zoni kontinuuma. Kada j ξ<.0, potrbno j razrditi mržu konačnih lmnata. η η dop (3.5) / û + η i dop = m m (3.53) σ i ξ i =, ξi =, (3.54-a,b) m σdop prirastaj Ukoliko j polazna ličina konačnog lmnta h i, za koji j odrdjn količnik gršk ξ i, primnom intrpolacion funkcij stpna p, mož s odrditi korigoana dimnzija konačnog lmnta sa aspkta zadat tačnosti h i NOVO, prma rlaciji Oako odrdjna noa ličina konačnog lmnta h i NOVO, prdstalja h-adaptinu ličinu mrž diskrtn struktur. Rlacija 3.55 j osnona jdnačina za gnrisanj h-adaptin mrž konačnih lmnata. Količnik gršk ξ s mož odrditi i na osnou analiz naponskih priraštaja susdnih konačnih lmnata σ i unaprd dozoljnog priraštaja napona σ dop prirastaj, prma rlaciji 3.54-b. Oaj naponski skok uzima s indiidualno i mož biti nkoliko procnta od maksimalno dozoljnog napona

11 PROJEKOVANJE RACUNAROM - CAD Autorizoana prdaanja dr Miomira Joanoića struktur. Efikasnost nalažnja ršnja ocnjuj s indksom fikasnosti nalažnja ršnja θ, koji j dfinisan rlacijom h i NOVO h i =, (3.55) ξ p i PROCENJENO θ = (3.56) ACNO P-adaptini postupak n mnja topologiju postaljn mrž u zonama isokih gradijnata dformacija i napona ć podšaa stpn intrpolacionih polinoma konačnih lmnata. Na taj način s adaptina mrža formira od konačnih lmnata promnljiog stpna intrpolacionih funkcija. ako, rcimo, program NISA II/DISPLAY II, namnjn za linarnu i nlinarnu analizu, firm EMRC, ima automatsko poćanj stpna polinoma do rdnosti p=8. Na slici 3.30 pokazan j rzultat rada klasičnog modlra po h-mtodi i modlra po p-mtodi. abla 3.3 FINA JEDNOLIK A MREŽA ADAPIVNA MREŽA ROUGAONI EL. P-MEOD ROUGAONI EL. (P=5) P-MEOD ČEVOROUG. EL. (P=5) Broj lmnata mrž Čoroa po konačnom lmntu NAPON σ u tački D Grška u odnosu na tačno ršnj % VREME ršaanja sc CP 386/0 MHz Fina uniformna mrza Adaptina mrza P-postupak sa trougaonim lmntima P-postupak sa ctorougaonim lmntim Slika 3.30 Upordan prgld načina rada modlra firm SRUCURAL RESEARCH AND ANALYSIS CORPORAION - S. MONICA, USA

12 PROJEKOVANJE RACUNAROM - CAD Autorizoana prdaanja dr Miomira Joanoića DINAMIČKE JEDNAČINE U FEM Mtoda konačnih lmnata s koristi za dinamičku analizu struktura. Osnona jdnačina ranotž, izdna j primnom Hamilton-oog arijacionog principa. Oaj princip polazi od kintičk nrgij E K, potncijaln nrgij unutrašnjih i spoljašnjih sila Π i rada nkonzratinih sila W (koji uključuj i sil prigušnja). Polazna osnoa j funkcional Lagrang-a L (3.3). Hamilton-o princip pokazuj da mhanički sistm pri krtanju zauzima on položaj u kojima Lagrang-o funkcional ima stacionarnu rdnost: L = EK - Π + W (3.3) t t t L ( E K Π) dt + (3.4) t t t δ dt = δ δw dt = 0 Oa jdnačina s mož ssti na Lagrang-ou jdnačinu drug rst u obliku (3.5), gd j Q i gnralisana sila a t t rmnski intral krtanja. d dt Ek E k q & i qi Π + qi = Qi (3.5) Pri tom j kintička nrgija dfinisana izrazom (3.6), gd ju& brzina krtanja a ρ gustina matrijala. Potncijalna nrgija sistma j zbir spoljašnjih poršinskih p i zaprminskih sila F: Π = Pomranja i brzin E = ρ u u d & & (3.6) k ε D ε d u F d u p ds (3.7) s u, u& s mogu izraziti prko intrpolacion matrica N, a dformacij ε, prko matrica B. Smnom nrgij E K i potncijaln nrgij Π u Lagrang-ou jdnačinu krtanja, uz sil prigušnja F p i gnralisan sil Q p, dolazi s do dinamičk jdnačin konačnog lmnta: m & q + c q& + k q = Q (3.8) U ooj jdnačini su dfinisan sldć matric: matrica mas lmnta m = N ρ N d (3.8a) matrica prigušnja lmnta c = N c N d (3.8b) matrica krutosti lmnta ktor gnralisanih sila k = B D B d (3.8c) Q N F d + N p ds (3.8d) s =

13 PROJEKOVANJE RACUNAROM - CAD Autorizoana prdaanja dr Miomira Joanoića 3 Dinamička jdnačina struktur dobija s proširnjm dinamičk jdnačin konačnog lmnta na clu strukturu kontinuum, (3.9): M && q + C q& + K q = Q U osnonoj dinamičkoj jdnačini mtod konačnih lmnata, sa M, C i K su označn matric masa, prigušnja i krutosti sistma - konstrukcij. Q j gnralisani ktor spoljašnjih sila u čoroima konačnih lmnata. Oa jdnačina j osno analiz mhaničkih sistma. Osnon osobin dinamik posmatranog mhaničkog sistma izučaaju s kroz slobodn oscilacij sistma. Rzultat izučaanja su sopstn frkncij i sopstni ktori sistma (modoi). Ršnja oog zadatka s korist za podšaanj prformansi mašina. Procdur ršaanja dinamičk jdnačin zasnia s na mtodi suprpozicij oblika osciloanja ili mtodama dirktn intgracij. Najduža i najskuplja faza analiz, mtodom suprpozicij, j izračunaanj sopstnih frkncija i sopsnih oblika osciloanja. Kada budu odrdjn o rdnosti, on mogu biti upotrbljn za različit slučaj optrćnja. Oo s rlo čsto praktikuj kod izučaanja ostljiosti konstrukcij na različit rst pobuda. Primna mtoda dirktn intgracij sodi s na numričko intgraljnj difrncijalnih jdnačina, stp-by-stp procdurama. rmin "dirktan" potič od činjnic da s procdura n odija uzastopnim transformacijama ć dirktno-intgracijom. Numrička intgracija s izodi čsto Nwton-Cots-oim ili Gauss-Lgndr-oim postupkom.