4. Vjez be - Analiza vremenskog niza
|
|
- Παραμονιμος Μάγκας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4. Vjez be - Analiza vremenskog niza Prvo treba pronaći podatke za analizu. Neke od stranica na kojima se mogu naći podaci za vremenske nizove: Preporučljivo je da niz ima barem 100 podataka. Podatke je najlakše urediti u Excelu. Ne idu svi podaci u model, pa jedan dio, na kojem će se promatrati uspješnost predikcije, treba odvojiti. U R ćemo učitavati sve podatke, a onda u R-u odvojiti onaj dio na kojem se izgrađuje model. Ukoliko su podaci po datumima, onda i njih učitavamo. Primjerice, nasdaq podaci su po datumima, ali ne postoje za svaki dan (burza ne radi svaki dan). Prije učitavanja datuma u R, treba promijeniti formatiranje datuma u Excelu i staviti da bude formatiran kao General, a ne kao Date. Tada će datumi biti zapravo cijeli brojevi. Taj cijeli broj predstavlja redni broj dana od koji se uzima kao prvi dan. No, postoji mala komplikacija jer Excel misli da je godina prijestupna. Općenito, pri modeliranju podatke ćemo indeksirati s rednim brojem (1,2, ), ali korisno je imati datume na raspolaganju radi tumačenja kretanja podataka. Primjerice, korisno je znati da je burzovni indeks doživio veliki pad u listopadu Podaci se iz Excela eksportiraju u txt(tab delimited) file iz kojeg se onda učitavaju u R. #UČITAVANJE PODATAKA #Postaviti working directory zatim nasdaqsvipodaci <- read.table("podaci nasdaq.txt", header=true, dec=",") #Ako su podaci iz Excela, vjerojatno koristi decimalni zarez pa to treba naglasiti pri učitavanjau s dec="," str(nasdaqsvipodaci) #provjerimo je li sve učitano kako treba nasdaqsvipodaci$no <- NULL #ovaj stupac nam ne treba, pa ga brišemo tako da mu dodijelimo NULL vrijednost str(nasdaqsvipodaci) #iduća naredba pretvara učitane datume u format Date. Origin kaže odakle brojanje dana počinje. nasdaqsvipodaci$datum <- as.date(nasdaqsvipodaci$datum, origin=" ") str(nasdaqsvipodaci) nasdaqsvipodaci$datum #oblik "yyyy-mm-dd" je standardni način zapisa datuma. #ODVAJANJE PODATAKA ZA MODEL nasdaqmpodaci <- nasdaqsvipodaci[1:335,] nasdaqmpodaci #Može i ovako, ako ne znamo redni broj podatka nasdaqmpodaci <- nasdaqsvipodaci[nasdaqsvipodaci$datum<=" ",] nasdaqmpodaci 1
2 #napravimo ts objekt nasdaqm <- ts(nasdaqmpodaci$nasdaq) nasdaqm Crtanje podataka #CRTANJE PODATAKA #Najjednostavnije u ovisnostu o rednom broju. Različite slike: plot(nasdaqm, xlab="vrijeme", ylab="nasdaq burzovni indeks",type = "l", col ="blue") plot(nasdaqm, xlab="vrijeme", ylab="nasdaq burzovni indeks", type="o",col ="blue") plot(nasdaqm, xlab="vrijeme", ylab="nasdaq burzovni indeks",col ="blue") points(nasdaqm,col="red",pch=16,cex=0.8) Različiti simboli za crtanje točaka (points) opcija pch #Podatke možemo nacrtati i u ovisnosti o datumu, zato smo i učitavali datum nazivi <- format(nasdaqmpodaci$datum[seq(1, length(nasdaqmpodaci$datum), length=10)], format="%m-%y") plot(nasdaqmpodaci$datum, nasdaqm, xlab="vrijeme", ylab="nasdaq burzovni indeks",type="l",col ="blue",xaxt="n") points(nasdaqmpodaci$datum, nasdaqm, col="red", pch=16, cex=0.8) axis(1, at=nasdaqmpodaci$datum[seq(1, length(nasdaqmpodaci$datum), length=10)], labels=nazivi, las=2) #las parametar: nazivi paralelni(=0) ili okomiti(=2) na os #Možemo staviti i ime mjeseca nazivi <- format(nasdaqmpodaci$datum[seq(1, length(nasdaqmpodaci$datum), length=10)], format="%b-%y") 2
3 plot(nasdaqmpodaci$datum, nasdaqm, xlab="vrijeme", ylab="nasdaq burzovni indeks",type="l",col ="blue",xaxt="n") points(nasdaqmpodaci$datum, nasdaqm, col="red", pch=16, cex=0.8) axis(1, at=nasdaqmpodaci$datum[seq(1, length(nasdaqmpodaci$datum), length=10)], labels=nazivi, las=2) #Možemo staviti i neke od datuma s imenom dana nazivi <- format(nasdaqmpodaci$datum[seq(1, length(nasdaqmpodaci$datum), length=10)], format="%a-%b-%y") plot(nasdaqmpodaci$datum, nasdaqm, xlab="vrijeme", ylab="nasdaq burzovni indeks",type="l",col ="blue",xaxt="n") points(nasdaqmpodaci$datum, nasdaqm, col="red", pch=16, cex=0.8) axis(1, at=nasdaqmpodaci$datum[seq(1, length(nasdaqmpodaci$datum), length=10)], labels=nazivi, las=2) #A možemo staviti i neke od datuma s danom kao brojem nazivi <- format(nasdaqmpodaci$datum[seq(1, length(nasdaqmpodaci$datum), length=10)], format="%d-%b-%y") plot(nasdaqmpodaci$datum, nasdaqm, xlab="vrijeme", ylab="nasdaq burzovni indeks",type="l",col ="blue",xaxt="n") points(nasdaqmpodaci$datum, nasdaqm, col="red", pch=16, cex=0.8) axis(1, at=nasdaqmpodaci$datum[seq(1, length(nasdaqmpodaci$datum), length=10)], labels=nazivi, las=2) Formatiranje datuma: Format Značenje %a skraćeno ime dana %A puno ime dana %d dan kao broj %b skraćeno ime mjeseca %B puno ime mjeseca %m mjesec kao broj %y godina bez stoljeća %Y godina (puni broj) Za ostale formate pogledati:?format.posixct Napomena: Slike se jednostavno kopiraju u Word dokument Copy as bitmap/ Paste. 3
4 Početna analiza #POČETNA ANALIZA PODATAKA #osnovne statistike summary(nasdaqm, digits=6) length(nasdaqm) hist(nasdaqm) qqnorm(nasdaqm) Analiza stacionarnosti Već iz samog izgleda grafa vremenskog niza može se naslutiti odgovor na pitanje o stacionarnosti podataka. Općenito, moglo bi se reći da nizovi koji izgledaju kao da imaju trend, nisu stacionarni. No to ne mora biti tako, jer jaka korelacija može uzrokovati prividno postojanje trenda. Dobar uvid u 4
5 stacionarnost može se dobiti izračunavanjem uzoračke autokorelacijske funkcije. Ako autokorelacijska funkcija sporo pada u 0, može se naslutiti nestacionarnost. Ako je blizu 0 već nakon nekoliko koraka, to ukazuje na mogućnost da su podaci stacionarni. Stacionarnost se može analizirati statističkim testovima, a najčešće se koristi Augmented Dickey- Fuller Unit Root test koji testira hipoteze H0: postoji jedinični korijen H1: ne postoji jedinični korijen Postojanje jediničnog korijena povlači da je niz nestacionaran. Međutim, nepostojanje jediničnog korijena ne znači nužno da je niz stacionaran. U tom slučaju možemo samo reći da eventualna nestacionarnost ne proizlazi iz jediničnog korijena karakterističnog polinoma već ima neki drugi uzrok, primjerice nekakav trend. Npr. AR(1) proces s koeficijentom manjim od 1 po apsolutnoj vrijednosti uz dodani linearni trend nema jedinični korijen, ali nije stacionaran. Dakle, ADF test samo odgovara na pitanje ima li smisla dalje diferencirati s ciljem postizanja stacionarnosti. acf(nasdaqm) #acf ukazuje na nestacionarnost #Za provođenje ADF(Augmented Dickey Fuller Unit Root) testa treba instalirati paket funitroots #Nakon što je paket instaliran treba ga loadati na Load package ili s: library(funitroots) adftest(nasdaqm) #Visoka p-vrijednost ukazuje na to da nema dovoljno razloga za odbacivanje H0, pa smatramo da niz nije stacionaran. Diferenciranje: #ELIMINIRANJE NESTACIONARNOSTI DnasdaqM <- diff(nasdaqm) DnasdaqM #opet ts objekt, ali kreće od 2 summary(dnasdaqm) plot(dnasdaqm, xlab="vrijeme", ylab="diferencije NASDAQ burzovnog indeksa",col ="blue") points(dnasdaqm,col="red",pch=16,cex=0.8) acf(dnasdaqm) #ukazuje na stacionarnost #ADF test pokazuje da ne treba dalje diferencirati adftest(dnasdaqm) #Dakle, model koji dalje izgrađujemo bit će (p,1,q) i promatramo diferencirani niz Identifikacija modela Odabrani model je (p,1,q). Kako odrediti p i q? Prvo, promatranjem autokorelacijske funkcije i pokušati uvidjeti sličnost s izgledom teorijskih autokorelacijskih funkcija nekih ARMA modela. 5
6 Autokorelacijska funkcija MA(q) procesa ima karakteristiku da je nakon q koraka jednaka nuli. No, za AR procese to ne vrijedi, nego ACR funkcija opada prema nuli. Iz tog razloga definira se i promatra parcijalna autokorelacijska funkcija (PACF) koja ima svojstvo da je za AR(p) proces nakon p koraka jednaka nuli. Za MA proces PACF opada u 0. Može se reći da se PACF MA procesa ponaša slično kao ACF za AR proces. Opće ponašanje moglo bi se opisati sljedećom tablicom: AR(p) MA(q) ARMA(p,q) ACF opada jednaka 0 nakon q koraka opada PACF jednaka 0 nakon p koraka opada opada #IDENTIFIKACIJA MODELA - određivanje p i q #Analiza ACF funkcije acf(dnasdaqm, main="autokorelacijska funkcija diferenciranog niza NASDAQ") #Primjetno je da već nakon 1 koraka ACF pada u 0. Nakon 3 koraka taj pad je izraženiji. #To dovodi do zaključka da red AR ili MA dijela nije veći od 3. Moguće je i da je red MA dijela q=0, #i da se radi o AR(1) ili AR(2) procesu. pacf(dnasdaqm,ylim=c(-1,1), main="parcijalna autokorelacijska funkcija diferenciranog niza NASDAQ") #Pada u 0 već nakon jednog koraka. Ipak najbliže je 0 nakon 3 koraka, što bi moglo ukazivati da # je red AR dijela jednak 3. ACF i PACF ne daju jasan odgovor, pogotovo kad se radi o ARMA modelu. Tada vrijednosti nikada ne padaju potpuno u 0, pa se ne može odrediti red. Osim toga, radi se o procjenama za ACF i PACF. Stoga se koriste i druge metode. Proširena autokorelacijska funkcija Metoda proširene autokorelacijske funkcije (Extended autocorrelation function EACF) temelji se na činjenici da ako je poznat stupanj AR dijela nekog ARMA procesa, onda uklanjanjem AR dijela dobivamo neki MA(q) proces koji ima dobro svojstvo da ACF nakon q koraka pada u 0. Koeficijenti AR dijela procjenjuju se regresijski. Ilustracija: ARMA(1,1) proces Y t = φy t 1 + Z t + θz t 1 Prvo se napravi jednostavna linearna regresija Y t u ovisnosti o Y t 1 u smislu metode najmanjih kvadrata i dobije se nekonzistentan procjenitelj od φ. Zatim se napravi višestruka regresija Y t u ovisnosti o Y t 1 i o rezidualima prve procjene s korakom 1 unazad. Dobiveni koeficijent φ koji stoji uz Y t 1 konzistentan procjenitelj za φ i proces Y t φ Y t 1 je približno MA(1) proces i to se može identificirati izgledom ACF funkcije. Općenito, za ARMA(p,q) proces procjena koeficijenata se može dobiti uzastopnim regresijama. Naravno, p i q nisu poznati kad se radi o podacima. Neka je W t (k,j) = Yt φ 1 Y t 1 φ k Y t k dobiven nakon iterativne procjene AR koeficijenata uz pretpostavku da je stupanj AR odnosno MA dijela, k odnosno j. Uzoračke autokorelacije procesa W t (k,j) se nazivaju proširene autokorelacijske 6
7 (k,j) funkcije. Ako je k = p i j q, W t je približno MA(q) proces, pa autokorelacije nakon q koraka trebaju biti 0. Ako je k > p dolazi do overfittinga što povećava stupanj MA dijela. EACF metoda za rezultat daje tablicu. Element u k-tom retku i j-tom stupcu ima oznaku X ako je (k,j) autokorelacijska funkcija od W t na koraku j+1 značajno različita od 0. Inače, u tablici stoji vrijednost 0. U takvoj tablici ARMA(p,q) model teoretski bi trebao postojati trokut sastavljen od 0 čiji gornji lijevi vrh odgovara stupnju ARMA procesa. Sljedećom tablicom prikazan je teoretski izgled za ARMA(1,1) model. Gornji lijevi vrh je u (1,1) što ukazuje na to da se radi o ARMA(1,1) modelu. AR/MA x x x x x x x x x x x x x x 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Jasno je da na stvarnim podacima tablica neće imati tako pravilan izgled. Primjerice, pogledajmo kako izgleda tablica simuliranog ARMA(1,1) modela s φ = 0.6, θ = 0.3. AR/MA x x o o o o o o o o o o o o 1 x o o o o o o o o o o o o o 2 x x o o o o o o o o o o o o 3 x x o o o o o o o o o o o o 4 o x o o o o o o o o o o o o 5 o x o o o o o o o o o o o o 6 x o o o o o o o o o o o o o 7 x o x o o o o o o o o o o o Gornja tablica sugerira da bi bilo dobro uzeti q=1 i p=1. #EACF #Za EACF metodu potrebno je učitati paket TSA. library(tsa) #Primjer za simulirani ARMA(1,1) model set.seed(99999) eacf(arima.sim(model=list(ar=c(0.6), ma=c(-0.3)),n=100)) #Gornji lijevi kut sugerira red modela #EACF za Nasdaq eacf(dnasdaqm) #Izgled tablice sugerira da bi mogli uzeti modele: ARMA(0,1), ARMA(1,1) #Možemo uzeti u obzir i ARMA(2,2) AR/MA x o o o o o o o o o o o o o 1 x o o o o o o o o o o o o o 2 x x o o o o o o o o o o o o 7
8 3 x x x o o o o o o o o o o o 4 x x x o o o o o o o o o o o 5 x x o x o o o o o o o o o o 6 x x o x x x o o o o o o o o 7 x x x x x x x o o o o o o o EACF predlaže modele: (0,1,1), (1,1,1), (2,1,2) BAYESOV INFORMACIJSKI KRITERIJ - BIC Još jedna važna metoda određivanja reda modela je Bayesov informacijski kriterij ili Schwarz Bayesov informacijski kriterij (BIC, SBIC, SIC nešto drukčije se definiraju). BIC daje numeričku vrijednost na osnovu koje se mogu uspoređivati različiti modeli i pri tome je bolja manja vrijednost. #BIC #Analiza BIC-a pomoću vlastite funkcije najboljibic <- function(armax, d, mamax, podaci) { redar <- c() redd <- c() redma <- c() BICvrijednost <- c() for (i in 0:armax) { for (j in 0:mamax) { fitbic <- trycatch(aic(arima(podaci, order=c(i, d, j)), k=log(length(podaci))), error = function(e) NaN) redar <- append(redar,i) redd <- append(redd, d) redma <- append(redma, j) BICvrijednost <- append(bicvrijednost, fitbic) } } rez <- data.frame(p=redar,d=redd,q=redma,bicvrijednosti=bicvrijednost) rez <- rez[order(rez$bicvrijednosti),] return(rez[1:min(10,length(redar)),]) } najboljibic(5,1,5,nasdaqm) #Ovo gore je isto kao i: najboljibic(5,0,5,dnasdaqm) #Ne treba pretjerivat s redom AR i MA dijela budući metoda procjene ponekad ne konvergira za velike vrijednosti #Izvršavanje može potrajati... > najboljibic(5,1,5,nasdaqm) p d q BICvrijednosti BIC predlaže modele: (0,1,0), (0,1,1), (1,1,0), (2,1,0), (2,1,2) 8
9 Akaike informacijski kriterij - AIC Izračunava se slično kao i BIC te obično ukazuje na isti model kao najbolji. Manja AIC vrijednost je bolja. #AIC najboljiaic <- function(armax, d, mamax, podaci) { redar <- c() redd <- c() redma <- c() AICvrijednost <- c() for (i in 0:armax) { for (j in 0:mamax) { fitaic <- trycatch(aic(arima(podaci, order=c(i, d, j))), error = function(e) NaN) redar <- append(redar,i) redd <- append(redd, d) redma <- append(redma, j) AICvrijednost <- append(aicvrijednost, fitaic) } } rez <- data.frame(p=redar,d=redd,q=redma,aicvrijednosti=aicvrijednost) rez <- rez[order(rez$aicvrijednosti),] return(rez[1:min(10,length(redar)),]) } najboljiaic(5,1,5,nasdaqm) > najboljiaic(5,1,5,nasdaqm) p d q AICvrijednosti AIC predlaže modele: (2,1,2), (2,1,3), (3,1,2), (2,1,4), (3,1,3) Ostali kriteriji Možemo odabrati model koji želimo. Koji god smatramo da bi mogao dobro pristajati podacima, uključimo ga u dodatnu analizu. 9
10 Takvo što će biti korisno pogotovo nakon idućeg koraka dijagnostike. Osnovni princip je overfitting podataka. Primjerice, ako se u nekom slučaju pokaže AR(2) model kao dobar, isprobamo sljedeći bliski, ali općenitiji model AR(3). Polazni AR(2) model će se potvrditi kao bolji ako: Dodani parametar nije značajno različit od 0 (t-test) Parametri iz početnog modela nisu značajno drukčiji u novom Pri tome treba paziti da se model logično proširuje i da se ne proširuje istovremeno i AR i MA dio. Za kraj sumirajmo sve modele koji ulaze u dodatnu analizu. p d q EACF, BIC EACF EACF, BIC,AIC BIC BIC BIC AIC AIC AIC AIC intuicija
11 DIJAGNOSTIKA MODELA U ovom koraku treba kritički analizirati model. Temelji se na analizi reziduala modela. Nakon što se procjene parametri modela promatraju se reziduali dobivene procjene. Po pretpostavkama modela, reziduali bi trebali biti bijeli šum, tj. nekorelirani i jednako distribuirani s očekivanjem 0 i nekom konstantnom varijancom. Osim toga, poželjno je i da su reziduali normalno distribuirani, što je ponekad teško postići. Većina analize, testova i procjene se temelji na pretpostavci da su reziduali normalno distribuirani. Ipak, ako i nisu normalno distribuirani, neki od tih procjenitelja se dobro asimptotski ponašaju, pa ih se može koristiti. Nekoreliranost reziduala može se uočiti promatranjem autokorelacijske funkcije reziduala. Pri crtanju autokorelacijske funkcije, pokazuje se 95%-tni pouzdani interval procjene za velike korake u slučaju bijelog šuma (±1.96/ n). Ako je većina korelacija unutar tog intervala, može se naslutiti da su podaci nekorelirani. Formalniji pristup provjeri nekoreliranosti reziduala je Ljung-Box test. Ljung-Box test testira hipoteze: H0: podaci su nekorelirani H1: podaci nisu nekorelirani Test statistika se definira kao Q = n(n + 2) ρ 1 2 n 1 + ρ 2 2 n ρ 2 K n K Za koju se može pokazati da u uvjetima H0 asimptotski ima χ 2 distribuciju. Nekoreliranost reziduala je nužan uvjet prihvaćanja modela! Ako reziduali nisu nekorelirani za neki model, onda taj model nije valjan i treba tražiti drugi. Stoga, prvo treba redom testirati sve modele i vidjeti koji od njih zadovoljavaju nužan uvjet nekoreliranosti reziduala. Rezultati testa mogu se dobiti R funkcijom tsdiag(). S obzirom da s ovom funkcijom nemamo kontrolu nad brojem stupnjeva slobode test statistike, definiramo vlastitu funkciju LjungBoxPlot koja daje graf p-vrijednosti. Na kolikom koraku gledati koreliranost? Preporuka je do koraka 20. #DIJAGNOSTIKA MODELA ##Idemo redom testirati jesu li reziduali bijeli šum za sve modele koji su uključeni u daljnju analizu. #To činimo funkcijom LjungBoxPlot() koja je dolje definirana. Graf predstavlja p-vrijednosti Ljung Box testa #za sve korake do 20-og. Ako su sve iznad 0.05, prihvaćamo nultu hipotezu da su reziduali nekorelirani. # LjungBoxPlot <- function(redmodela) { pvrij <- c(rep(na,20)) rez <- arima(nasdaqm, order=redmodela)$residuals for (i in (redmodela[1]+redmodela[3]+1):20) { pvrij[i] <- Box.test(rez, lag=i, type = c("ljung-box"), fitdf=redmodela[1]+redmodela[3])$p.value } plot(pvrij,ylim=c(0,1),xlim=c(0,20), main="ljung-box test plot", xlab="lag", ylab="p-vrijednosti testa") abline(h=0.05, col="blue", lty=2) } #Testiranje modela #(0,1,1) LjungBoxPlot(c(0,1,1)) #Prolazi! 11
12 #(1,1,1) LjungBoxPlot(c(1,1,1)) #Prolazi! #(2,1,2) LjungBoxPlot(c(2,1,2)) #Prolazi! #(0,1,0) LjungBoxPlot(c(0,1,0)) ##### NE prolazi! #(1,1,0) LjungBoxPlot(c(1,1,0)) #Prolazi! #(2,1,0) LjungBoxPlot(c(2,1,0)) #Prolazi! #(2,1,3) LjungBoxPlot(c(2,1,3)) #Prolazi! #(3,1,2) LjungBoxPlot(c(3,1,2)) #Prolazi! #(2,1,4) LjungBoxPlot(c(2,1,4)) #Prolazi! #(3,1,3) LjungBoxPlot(c(3,1,3)) #Prolazi! #(4,1,3) LjungBoxPlot(c(4,1,3)) #Prolazi! Odabir najboljeg modela Treba odabrati najbolji model. To možemo učiniti sljedećom funkcijom. #Usporedba modela# #Ovim korakom idemo usporediti sve modele koji zadovoljavaju nužan uvjet nekoreliranosti. #Usporedba ide kroz 5 kriterija: AIC, BIC, Varijanca, broj parametara i normalna distribucija reziduala. #Funkcija analizamodela testira sve moguće modele koji joj se predaju kroz parametar modeli. #Normalna distribucija reziduala je najjači kriterij, a u output tablici se prikazuje kao p-vrijednost # Shapiro-Wilk testa koji testira hipoteze # H0: podaci su normalno distribuirani # H1: podaci nisu normalno distribuirani 12
13 redovimodela <- list(c(0,1,1),c(1,1,1),c(2,1,2),c(1,1,0),c(2,1,0),c(2,1,3),c(3,1,2),c(2,1,4 ),c(3,1,3),c(4,1,3)) analizamodela <- function(podaci, modeli) { AICvrijednosti <- c() BICvrijednosti <- c() varijance <- c() brojparametara <- c() pvrij <- c() rez <- matrix(data=rep(0,5*length(modeli)), nrow=5, ncol=length(modeli)) rownames(rez) <- c("aic","bic","varijanca","broj parametara","p-vrijednost SWtesta") colnames(rez) <- paste("", as.character(modeli)) for (i in 1:length(modeli)) { model <- arima(podaci, order=modeli[[i]]) rez[1,i] <- model$aic rez[2,i] <- AIC(model, k=log(length(podaci))) rez[3,i] <- model$sigma2 rez[4,i] <- length(model$coef) rez[5,i] <- shapiro.test(model$residuals)$p.value } return(rez) } analizamodela(nasdaqm,redovimodela) Ova funkcija daje sljedeći rezultat: c(0, 1, 1) c(1, 1, 1) c(2, 1, 2) c(1, 1, 0) c(2, 1, 0) c(2, 1, 3) c(3, 1, 2) c(2, 1, 4) AIC BIC Varijanca Broj parametara p-vrijednost SWtesta c(3, 1, 3) c(4, 1, 3) AIC BIC Varijanca Broj parametara p-vrijednost SWtesta NAPOMENA: p-vrijednosti SW testa prikazane u gornjem outputu i sljedećim tablicama su zaokružene vrijednosti. Svakako, stvarna vrijednost je mala (<10^(-6)), koja je zbog zaokruživanja nekorektno prikazana kao 0. Svjesni pogreške u prikazu, iz praktičnih razloga nećemo inzistirati na preciznosti. Preporuka kako odabrati najbolji model: Gornje podatke kopirati u Excel i napraviti klasično Data -> Text to columns. Pri tome paziti da se decimalna točka učita kao zarez u Excel. Na taj način se dobije tablica: c(0, 1, 1) c(1, 1, 1) c(2, 1, 2) c(1, 1, 0) c(2, 1, 0) c(2, 1, 3) c(3, 1, 2) c(2, 1, 4) c(3, 1, 3) c(4, 1, 3) AIC 3454, , , , , , , , , ,714 BIC 3462, , , , , , , , , ,227 Varijanca 1795, , , , , , , , , ,969 Broj parametara p-v rijednost SWtesta
14 Sad u toj tablici treba naći najmanje vrijednosti za svaki od kriterija i označiti p-vrijednosti veće od 0.05 koje onda znače da se reziduali za taj model normalno distribuirani. Upute kako to brzo napraviti u Excelu: Koristiti Format -> Conditional formatting i tamo odabrati da se minimalne vrijednosti formatiraju drukčije od ostatka podataka, npr. da pozadina ćelije bude zelena. c(0, 1, 1) c(1, 1, 1) c(2, 1, 2) c(1, 1, 0) c(2, 1, 0) c(2, 1, 3) c(3, 1, 2) c(2, 1, 4) c(3, 1, 3) c(4, 1, 3) AIC 3454, , , , , , , , , ,714 BIC 3462, , , , , , , , , ,227 Varijanca 1795, , , , , , , , , ,969 Broj parametara p-v rijednost SWtesta Tako dobijemo lijep pregled. Sad na osnovu gornje tablice treba odabrati dobar model. Nijedan od modela nema normalno distribuirane reziduale što je loša karakteristika. Ističu se tri kandidata (0,1,1), (2,1,2) i (4,1,3). (0,1,1) je jednostavan i ima dobar BIC ali dosta veliku varijancu u usporedbi s ostalima. (4,1,3) ima malu varijancu, ali uistinu puno parametara. Stoga ćemo odabrati (2,1,2) model koji ima najmanji AIC, mali BIC i malu varijancu. Broj parametara je prihvatljiv. ODABRANI MODEL: (2,1,2) PROCJENA PARAMETARA Procjena se obično vrši funkcijom arima. Pri tome treba biti svjestan nekih ograničenja vezanih uz tu funkciju. Problem 1. Treba razlikovati očekivanje (mean) i slobodni član (intercept). Standardno, ARMA procesi definiraju se kao procesi s očekivanjem 0, stoga u njihovoj općoj formi ne postoji konstantni član. To znači da prije svakog modeliranja nizu treba oduzeti očekivanje. Funkcija arima će to i napraviti ako je include.mean=true (default). Kod modela s autoregresivnim dijelom treba pripaziti jer je parametar u rezultatu nespretno nazvan interceptom. Primjerice pretpostavimo da je x(t) = α + φ*x(t-1) + w(t) stacionaran. Tada je očekivanje, μ, μ = α + φ*μ odnosno μ = α *(1-φ) Dakle, intercept α, nije isto kao mean, μ, osim ako je φ=0. Primjer: #generiramo AR(1) proces i dodamo 50 set.seed(66) x = arima.sim(list(order=c(1,0,0), ar=.9), n=100) + 50 mean(x) arima(x, order = c(1, 0, 0)) 14
15 > mean(x) [1] Coefficients: ar1 intercept s.e Rezultat nije model x(t) = *x(t-1) + w(t) već x(t) =.8971*[x(t-1) ] + w(t) odnosno x(t) = *x(t-1) + w(t). jer je 5.21 = *( ). Općenito pravi intercept se dobije tako da se član koji se dobije u outputu R-a kao intercept pomnoži s AR polinomom od 1: α = μ*(1-φ 1 - φ φ p ) Ako se odabere model za koji je d=0, paziti na to kod zapisivanja modela u obliku formule. Problem 2. Ukoliko se radi o nizu podataka koji se diferencira (d>0) tada funkcija arima ignorira argument include.mean. To je i logično jer diferencirani niz ima očekivanje 0 pa se stoga može direktno modelirati ARMA modelom. Sljedeće naredbe mogu dati različite rezultate arima(x, order = c(1, 1, 0)) #(1) arima(diff(x), order = c(1, 0, 0)) #(2) jer je u (2) po defaultu uključeno oduzimanje aritmetičke sredine od polaznog niza. Ukoliko želimo u model s diferenciranjem uključiti konstantni član, tada se zapravo radit o determinističkom trendu originalnog niza. Primjerice, proces x(t) = α + φ* x(t-1) + w(t). u originalu (prije diferenciranja) je zapravo x(t)= α*t + φ*x(t-1) + w(t) Kad se diferencira onda ostane α jer imamo α*t- α*(t-1). Takav niz zapravo nije stacionaran jer nema konstantno očekivanje. α*t se naziva drift. Ako postoji drift onda diferencirani proces ima intercept (α). Drift je deterministički trend i mora se procjenjivati regresijski. Funkcijom arima to se može napraviti tako da dodamo argument xreg u funkciji arima. xreg zadajemo tako da je xreg=t, odnosno jednak je vremenskom trenutku. Time se regresijski procjenjuje drift. arima(x, order = c(1, 1, 0), xreg=1:length(x)) #(3) Tako napisana funkcija umjesto x(t) modelira x(t)-β*t, odnosno model [x(t) - β*t] = φ* [x(t-1) - β*(t-1)] + w(t) Što kad se pojednostavni daje x(t) = α + φ* x(t-1) + w(t) gdje je α = β*(1-φ) Najjednostavniji način kako dodati drift u model je korištenjem funkcije Arima koja se nalazi u paketu forecast. Arima(x, order=c(1,1,0), include.drift=true) #(4) Dakle, za procjenu parametara koristiti funkciju Arima. 15
16 Zaključak: koristiti proceduru Arima. Ako se niz ne diferencira (d=0) onda će se automatski uključiti intercept. Treba provjeriti je li on značajan, a ako nije izbaciti ga iz modela. Ako se niz diferencira (d=1) onda probati uključiti drift. Ako je značajan, onda ga ostaviti, ako ne onda ga isključiti. Treba li model imati intercept? Samo ako se pokaže značajan! Prvo procijenimo parametre i onda gledamo značajnost pojedinih parametara. S funkcijom confint dobijemo pouzdani interval. Ako pouzdani interval sadrži 0, onda parametar nije značajno različit od nule. #PROCJENA PARAMETARA ## Učitati paket forecast i koristiti Arima library(forecast) #idemo prvu ključiti intercept model <- Arima(nasdaqM, order=c(2,1,2), include.drift=true) model confint(model) #pokazuje se da je intercept nepotreban, budući pouzdani interval sadrži 0, stoga ga izbacujemo #Osim toga pokazuje se da pouzdani interval ma1 koeficijenta sadrži 0. #Uvijek je dobro isprobati više različitih metoda procjene parametara. #U r-u postoje 3: CSS-ML(default), CSS, ML model <- Arima(nasdaqM, order=c(2,1,2)) model model <- Arima(nasdaqM, order=c(2,1,2),method="ml") model model <- Arima(nasdaqM, order=c(2,1,2),method="css") model #Sve tri metode daju približno iste vrijednosti parametara ali CSS daje najmanje standardne devijacije procjene #Stoga ćemo koristiti procjenu dobivenu CSS metodom #To ne mora uvijek biti tako, pa je dobro isprobati više metoda model <- Arima(nasdaqM, order=c(2,1,2),method="css") model confint(model) # Sad u ovom modelu pokazuje se da pouzdani interval ma1 koeficijenta ne sadrži 0. #Svi parametri su značajno različiti od 0 i njihovo uključivanje u model ima smisla. ##########Dakle, konačni model: model <- Arima(nasdaqM, order=c(2,1,2),method="css") model Coefficients: ar1 ar2 ma1 ma s.e Idemo zapisat formulu modela. Općenito, formula je dana s φ(b)(1 B) d Y t = μ + θ(b)z t gdje je φ(z) = 1 φ 1 z φ 2 z 2 φ p z p, 16
17 θ(z) = 1 + θ 1 z + θ 2 z θ q z q. a μ je intercept ako je d=0 odnosno drift ako je d>0 i kao takvi se prikažu u outputu ako su uključeni u model. Za dobivene parametre slijedi da je φ(z) = z z 2, θ(z) = z z 2. Sređivanjem dolazi se do konačnog oblika ( B B 2 )(Y t Y t 1 ) = ( B B 2 )Z t Y t Y t Y t 2 Y t Y t Y t 3 = Z t Z t Z t 2 Y t = Y t Y t Y t 3 + Z t Z t Z t 2 Dodatna analiza reziduala Kad je model odabran mogu se malo detaljnije analizirati reziduali. #ANALIZA REZIDUALA ODABRANOG MODELA str(model) model$residuals tsdiag(model) #prva slika pokazuje kako izgledaju standardizirani reziduali, druga kako izgleda #ACF reziduala, a treća su p-vrijednosti Ljung-Box testa (ovaj prikaz ne uzima korektan red Chi^2 distribucije) #Opet testirati jesu li normalno distribuirani i prikazati ih qqplotom i histogramom #To nije nužan uvjet prihvaćanja modela, ali je jako važan i odlično je ako vrijedi hist(model$residuals,breaks=20) qqnorm(model$residuals) #test normalnosti (Shapiro-Wilk test) #hipoteze testa # H0: podaci su normalno distribuirani # H1: podaci nisu normalno distribuirani shapiro.test(model$residuals) #odbacujemo nultu hipotezi i ovi reziduali nisu normalno distribuirani 17
18 PREDIKCIJA #PREDIKCIJA #Dobiva se naredbom forecast iz paketa forecast forecast(model,h=34) #h određuje koliko koraka unaprijed da predviđa forecast(model,h=34,level=95) #ako stavimo level=95 dobijemo samo 95% interval predikcije #Crtanje predviđanja #najjednostavnije je odmah nacrtati objekt koji vrati funkcija forecast plot(forecast(model,h=34)) #bojom su označeni intervali pouzdanosti #ako želimo vidjeti samo krajnji dio plot(forecast(model,h=34),xlim=c(310,370)) #Predikciju možemo usporediti sa stvarnim budućim vrijednostima koje nismo uključili u model nasdaqsvi <- ts(nasdaqsvipodaci$nasdaq) #sadrži sve vrijednosti nasdaq i pretvorimo je u ts objekt plot(forecast(model,h=34)) points(nasdaqsvi, col="red", pch=16, cex=0.6) #samo krajnji dio plot(forecast(model,h=34),xlim=c(310,370)) points(nasdaqsvi, col="red", pch=16, cex=0.6) #vidimo da je predikcija zapravo dosta loša #Ljepše slike možemo dobiti ako ne koristimo ugrađenu funkciju fitted.arima(model) #daje predviđene vrijednosti za podatke koji su uključeni u model pred <- forecast(model,h=34,level=95) #daje predviđene vrijednosti i interval 95% str(pred) #da vidimo što se nalazi u objektu forecast pred$mean #ovako dobijemo vektor predviđenih vrijednosti pred$lower #gornje i donje granice pred$upper izmodela <- c(fitted.arima(model), pred$mean) modela(predviđene za sve podatke) izmodela #Sve vrijednosti iz #sad idemo crtat plot(nasdaqsvi, type="n", xlab="vrijeme", ylab="nasdaq", main="predikcija NASDAQ-a") #nacrtaj sve podatke(stvarne) ali se ništa ne crta zbog type="n" lines((length(nasdaqm)+1):length(nasdaqsvi),pred$upper, type="l", col="blue", lty=2) #lty je linetype - vrsta linije a može biti 0=blank, 1=solid (default), 2=dashed, 3=dotted, 4=dotdash, 5=longdash, 6=twodash lines((length(nasdaqm)+1):length(nasdaqsvi),pred$lower, type="l", col="blue",lty=2) points(nasdaqsvi, type="p", col="black", pch=16, cex=0.6) points(izmodela, type="p", col="red", pch=16, cex=0.6) legend("top", c("stvarni NASDAQ", "predviđeni NASDAQ", "granice pouzdanog intervala"), cex=0.8, col=c("black","red","blue"), pch=c(16,16,-1), lty=c(0,0,2)) 18
19 #Objašnjenje za legend: #prvi parametar je položaj legende: može biti - "bottomright", "bottom", "bottomleft", "left", "topleft", "top", "topright", "right", "center" #drugi parametar su nazivi na legendi vektor naziva #cex je veličina legende #col je vektor boja u legendi #pch je vektor koje znakove nacrtati (-1 ne crta nikakav znak) #lty je vektor koje tipove linija nacrtati u legendi (0 je ništa) #ako želimo samo krajnji dio, prekopiramo sve i stavimo xlim, ali dodat ćemo i veći ylim plot(nasdaqsvi, type="n", xlab="vrijeme", ylab="nasdaq", main="predikcija NASDAQ-a", xlim=c(310,370),ylim=c(1600,2700)) #nacrtaj sve podatke(stvarne) ali se ništa ne crta zbog type="n" lines((length(nasdaqm)+1):length(nasdaqsvi),pred$upper, type="l", col="blue", lty=2) lines((length(nasdaqm)+1):length(nasdaqsvi),pred$lower, type="l", col="blue",lty=2) points(nasdaqsvi, type="p", col="black", pch=16, cex=0.6) points(izmodela, type="p", col="red", pch=16, cex=0.6) legend("top", c("stvarni NASDAQ", "predviđeni NASDAQ", "granice pouzdanog intervala"), cex=0.8, col=c("black","red","blue"), pch=c(16,16,-1), lty=c(0,0,2)) #idemo probat još kompliciraniji graf s datumima nazivi <- format(nasdaqsvipodaci$datum[seq(1, length(nasdaqsvipodaci$datum), length=12)], format="%b-%y") plot(nasdaqsvipodaci$datum, nasdaqsvi, xlab="vrijeme", ylab="nasdaq", main="predikcija NASDAQ-a", xaxt="n", type="n") lines(nasdaqsvipodaci$datum[(length(nasdaqm)+1):length(nasdaqsvi)],pred$upp er, type="l", col="blue", lty=2) lines(nasdaqsvipodaci$datum[(length(nasdaqm)+1):length(nasdaqsvi)],pred$low er, type="l", col="blue",lty=2) points(nasdaqsvipodaci$datum, nasdaqsvi, type="p", col="black", pch=16, cex=0.6) points(nasdaqsvipodaci$datum, izmodela, type="p", col="red", pch=16, cex=0.6) legend("top", c("stvarni NASDAQ", "predviđeni NASDAQ", "granice pouzdanog intervala"), cex=0.8, col=c("black","red","blue"), pch=c(16,16,-1), lty=c(0,0,2)) axis(1, at=nasdaqsvipodaci$datum[seq(1, length(nasdaqsvipodaci$datum), length=12)], labels=nazivi, las=2) #ako želimo prikazati samo kraj, onda možemo stavljati i datume nazivi <- format(nasdaqsvipodaci$datum[seq(1, length(nasdaqsvipodaci$datum), length=50)], format="%d. %b-%y") plot(nasdaqsvipodaci$datum, nasdaqsvi, xlab="vrijeme", ylab="nasdaq", main="predikcija NASDAQ-a", xaxt="n", type="n", xlim=c(nasdaqsvipodaci$datum[310],nasdaqsvipodaci$datum[369]),ylim=c(1600,2 700)) lines(nasdaqsvipodaci$datum[(length(nasdaqm)+1):length(nasdaqsvi)],pred$upp er, type="l", col="blue", lty=2) lines(nasdaqsvipodaci$datum[(length(nasdaqm)+1):length(nasdaqsvi)],pred$low er, type="l", col="blue",lty=2) points(nasdaqsvipodaci$datum, nasdaqsvi, type="p", col="black", pch=16, cex=0.6) points(nasdaqsvipodaci$datum, izmodela, type="p", col="red", pch=16, cex=0.6) 19
20 legend("top", c("stvarni NASDAQ", "predviđeni NASDAQ", "granice pouzdanog intervala"), cex=0.8, col=c("black","red","blue"), pch=c(16,16,-1), lty=c(0,0,2)) axis(1, at=nasdaqsvipodaci$datum[seq(1, length(nasdaqsvipodaci$datum), length=50)], labels=nazivi, las=2) AUTO #AUTO #U paketu forecast postoji funkcija koja cijelo modeliranje napravi sama. #Jednostavno predamo podatke i dobijemo model. No, takvo modeliranje može dovesti do loših modela. #Pogledajmo koja je preporuka za nasdaq podatke auto.arima(nasdaqm) #Predlaže se (1,2,2) model, iako smo ADF testom utvrdili da nema potrebe dvaput diferencirati. #Ova funkcija koristi neki drugi test jediničnog korijena, a ako naglasimo da želimo ADF test onda dobivamo: auto.arima(nasdaqm,test="adf") #koji smo već analizirali i zaključili da je (2,1,2) model bolji. KOINTEGRACIJA Kointegracija je svojstvo koje mogu posjedovati vremenski nizovi. Ako su dva vremenska niza nestacionarna, ali njihova linearna kombinacija je stacionarna, tada kažemo da su dva vremenska niza kointegrirana. Često se označava da niz (Y t ) je I(d), d = 0,1, ako diferenciranjem tog niza d puta dobijemo stacionaran niz. Za dva niza (Y t ) i (Z t ) koja su I(1) kažemo da su kointegrirana (reda 1) ako postoje konstante μ, α 1 0, α 2 0 takve da je proces X t = μ + α 1 Y t + α 2 Z t stacionaran, odnosno I(0). Primjer: neka je X t = X t 1 + W t slučajna šetnja i neka je Y t = X t + W y,t Z t = X t + W z,t gdje su W y,t i W z,t dva nezavisna bijela šuma. Oba niza su nestacionarna, a diferenciranjem postaju stacionarni. Razlika Y t Z t je stacionaran proces. Dakle, linearna kombinacija od Y t i Z t je stacionarna pa su ova dva niza kointegrirana. Kointegracija dva niza može se utvrditi regresijskim procedurama ili različitim testovima primjerice The Engle-Granger two step metoda, Johanssenova procedura, Phillips-Ouliaris kointegracijski test. U ovom slučaju koristit ćemo Phillips-Ouliaris kointegracijski test koji ima hipoteze 20
21 H 0 : nema kointegracije između dva niza H 1 : dva niza su kointegrirana Za testiranje kointegracije treba imati dva niza. Za drugi niz podataka ne treba praviti sve korake analize kao što smo dosad napravili za Nasdaq. Dovoljno je znati samo znati d, tj. nakon koliko diferenciranja je niz stacionaran. Red d za taj niz mora biti jednak kao kod Nasdaq-a, tj. 1. Drugi niz je burzovni indeks NIKKEI. Pokaže se da oba niza postižu stacionarnost jednim diferenciranjem pa možemo pristupiti testiranju kointegriranosti nizova. #KOINTEGRACIJA nikkeisvipodaci <- read.table("podaci nikkei.txt", header=true, dec=",") str(nikkeisvipodaci) nikkeisvipodaci$rdbr <- NULL str(nikkeisvipodaci) nikkeisvipodaci$datum <- as.date(nikkeisvipodaci$datum, origin=" ") str(nikkeisvipodaci) nikkeimpodaci <- nikkeisvipodaci[1:335,] nikkeimpodaci nikkeim <- ts(nikkeimpodaci$nikkei) nikkeim #bitno je da se postiže stacionarnost nakon jednog diferenciranja: library(funitroots) adftest(nikkeim) adftest(diff(nikkeim)) #za kointegracijski Phillips-Ouliaris test potreban je paket tseries library(tseries) po.test(cbind(nasdaqm,nikkeim), demean=false) #Stavljamo demeaned=false ako želimo #testirati kointegraciju uz intercept(u vezu između dva niza je uključen i intercept) #Napravimo linearni model koji opisuje vezu između dva burzovna indeksa veza <- lm(c(nikkeim) ~ c(nasdaqm)) veza veza$residuals adftest(veza$residuals) #Pogledajmo kako izgleda procjena NIKKEI-a na osnovu poznatog NASDAQ-a plot(predict(veza,newdata=data.frame(nasdaqm=c(nasdaqsvi))), type="l", xlab="vrijeme", ylab="nikkei", main="nikkei na osnovu NASDAQA",ylim=c(6000,14000)) points(predict(veza,newdata=data.frame(nasdaqm=c(nasdaqsvi))), col="green", pch=16, cex=0.6) lines(nikkeisvipodaci$nikkei, col="blue") points(nikkeisvipodaci$nikkei, col="red", pch=16, cex=0.6) legend("top", c("stvarni NIKKEI", "NIKKEI na osnovu NASDAQ-a"), cex=0.8, col=c("green","red"), pch=c(16,16), lty=c(0,0)) #samo krajnje vrijednosti 21
22 plot(predict(veza,newdata=data.frame(nasdaqm=c(nasdaqsvi))), type="l", xlab="vrijeme", ylab="nikkei", main="nikkei na osnovu NASDAQA",xlim=c(310,370),ylim=c(8000,13000)) points(predict(veza,newdata=data.frame(nasdaqm=c(nasdaqsvi))), col="green", pch=16, cex=0.6) lines(nikkeisvipodaci$nikkei, col="blue") points(nikkeisvipodaci$nikkei, col="red", pch=16, cex=0.6) legend("top", c("stvarni NIKKEI", "NIKKEI na osnovu NASDAQ-a"), cex=0.8, col=c("green","red"), pch=c(16,16), lty=c(0,0)) 22
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραProgram za tablično računanje Microsoft Excel
Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραIzbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότερα