Μόλις αποδεχτούμε τα όριά μας, προχωρούμε πέρα από αυτά. Albert Einstein

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΚΕΦΕ «ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ» ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΝΑΝΟΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΝΑΝΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Φυσ ική και Τεχνολογικές Εφαρμογές» Υπολογισ μοί ζωνών σ υχνοτήτων δισ διάσ τατων φωνονικών κρυσ τάλλων με τη μέθοδο των επίπεδων κυμάτων. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Σπύρου Κανταρέλη Επιβλέπων καθηγητής: Β. Γιαννόπαπας Αθήνα, Ιούνιος 2017

2

3 Μόλις αποδεχτούμε τα όριά μας, προχωρούμε πέρα από αυτά. Albert Einstein

4

5 Περιεχόμενα 1. Φωνονικοί Κρύσ ταλλοι Εισ αγωγή Ανάλυσ η ελασ τικών τάσ εων σ ε έναν φωνονικό κρύσ ταλλο Θεωρία Επίπεδων Κυμάτων Εξισ ώσ εις διάδοσ ης ελασ τικών κυμάτων σ ε δισ διάσ τατο φωνονικό κρύσ ταλλο Θεωρία επίπεδων κυμάτων σ ε δισ διάσ τατο φωνονικό κρύσ ταλλο Αριθμητικοί Υπολογισ μοί για τους σ υντελεσ τές Fourier Πυκνότητα κατασ τάσ εων και αριθμητικός υπολογισ μός της Αποτελέσ ματα Παρουσ ίασ η αποτελεσ μάτων Συμπεράσ ματα Ευχαριστίες A. Παράρτημα i A.1. Προσ διορισ μός των 27 μητρών της εξίσ ωσ ης i A.2. Μετασ χηματισ μοί σ υμμετριών δισ διάσ τατου τετραγωνικού πλέγματος.. iii A.3. Μετρήσ εις ζωνών σ υχνοτήτων που υπολογίσ τηκαν σ τα πλάισ ια της παρούσ- ας διπλωματικής iv Βιβλιογραφία i

6

7 Περίληψη Η παρούσ α εργασ ία παρουσ ιάζει θεωρητικούς υπολογισ μούς ζωνών σ υχνοτήτων δισ- διάσ τατων φωνονικών κρυσ τάλλων με τη μέθοδο των επίπεδων κυμάτων. Η εργασ ία δίνει έμφασ η σ την μέθοδο των επίπεδων κυμάτων (PWE: Plain Wave Expansion) καθώς και σ τον υπολογισ μό της πυκνότητας κατασ τάσ εων (DOS: Density Of States) των σ υσ τημάτων. Εξετάζουμε δύο σ υσ τήματα: ράβδους μολύβδου εμβαπτισ μένες σ ε εποξειδική ρητίνη καθώς και ατσ άλινες ράβδους σ ε σ ιλικόνη (Si rubber). Και τα δύο σ υσ τήματα είναι δισ διάσ τατοι φωνονικοί κρύσ ταλλοι αποτελούμενοι από κυλίνδρους (ράβδοι) απείρου μήκους και τετραγωνικής διατομής οι οποίοι καταλαμβάνουν τις θέσ εις ενός δισ διάσ τατου τετραγωνικού πλέγματος. Abstract This master thesis presents theoretical calculations of the frequency band structure of two dimensional phononic crystalls with the plane wave method. This work focuses on plane wave method as well as the calculation of the Density Of States of the systems. We study two systems: rods of lead embedded in epoxy lattice and rods of steel embedded in Sillicon Rubber lattice. Both systems were two dimensional phononic crystals consisting of infinite length rods with rectangular cross-section placed in a two dimensional rectangular lattice.

8

9 1. Φωνονικοί Κρύσ ταλλοι 1.1. Εισ αγωγή Κρυσ ταλλικά υλικά χαρακτηρίζονται τα ομογενή σ τερεά που διαθέτουν τα άτομά τους σ ε πλήρως ταξινομημένες γεωμετρικές θέσ εις υψηλής σ υμμετρίας. Διάφορες προσ εγγισ τικές υπολογισ τικές μέθοδοι εκμεταλλεύονται την υψηλή σ υμμετρία που διαθέτουν οι κρύσ ταλλοι ώσ τε να μειώσ ουν την πολυπλοκότητα των υπολογισ μών που χρειάζονται για να προσ εγγισ τούν οι ιδιότητες του σ τερεού. Στην πραγματικότητα όμως, δεν υπάρχει τέλειος κρύσ ταλλος, αφού και σ ε έναν ιδανικό κρύσ ταλλο που δεν περιέχει ατέλειες, τα τέλεια ταξινομημένα άτομά του κινούνται διαρκώς και τυχαία γύρω από την θέσ η ισ ορροπίας τους. Για αυτόν τον λόγο επικρατούσ ε η άποψη ότι αυτή η θερμική τυχαία κίνησ η δεν μπορούσ ε να ελεγχθεί. Η σ υνολική κίνησ η των ατόμων μέσ α σ το πλέγμα ενός σ τερεού κρυσ τάλλου δεν είναι εντελώς τυχαία, αλλά περιορίζεται από τα γειτονικά τους άτομα επειδή είναι σ υνδεδεμένα μεταξύ τους με χημικούς δεσ μούς. Οταν ένα άτομο ξεφεύγει από την θέσ η ισ ορροπίας του, ασ κεί δυνάμεις σ τα γειτονικά του άτομα τα οποία αναγκάζει και να κινηθούν αναλόγως. Το αποτέλεσ μα που προκύπτει από αυτήν την αλυσ ιδωτή κίνησ η είναι η δημιουργία ενός φωνονίου, ένα ειδικό κύμα το οποίο δημιουργείται από τις ταλαντώσ εις του πλέγματος ενός σ τερεού. Επειδή η ενέργεια της ταλάντωσ ης του πλέγματος είναι κβαντισ μένη, μπορούμε να θεωρήσ ουμε το φωνόνιο ως ένα κβαντομηχανικό σ ωματίδιο, όπως αντίσ τοιχα το φωτόνιο είναι για το ηλεκτρομαγνητικό κύμα[1]. Η εικόνα αυτή άλλαξε για πρώτη φορά το 1992 όταν ο Μιχάλης Σιγάλας και ο Ελευθέριος Οικονόμου, που βρίσ κονταν και οι δύο σ το Iowa State University των Η.Π.Α., πρότειναν ότι χάσ ματα σ υχνοτήτων μπορούσ αν να εμφανισ τούν σ την διάδοσ η ακουσ τικών και ελασ τικών κυμάτων σ ε κατάλληλα σ χεδιασ μένα σ ύνθετα (μη ομογενή) σ υσ τήματα[2]. Αυτά τα σ ύνθετα σ υσ τήματα ονομάσ τηκαν αργότερα φωνονικοί κρύσ ταλλοι. Η ύπαρξη τέτοιων δομών με φωνονικές ζώνες χάσ ματος επιτρέπουν τον έλεγχο τον ελασ τικών κυμάτων και έχουν εμφανείς εφαρμογές. Για παράδειγμα μπορούν να χρησ ιμοποιηθούν ως μονωτές ακουσ τικών κυμάτων που θα εμποδίζουν τα ίδιας σ υχνότητας κύματα με την περιοχή σ υχνοτήτων της ζώνης χάσ ματος. Επίσ ης, με την εισ αγωγή ατελειών σ τους φωνονικούς κρυσ τάλλους, θα επιτρέπεται σ τα κύματα που θα έχουν σ υχνότητα αυτής της ζώνης χάσ ματος να εγκλωβίζονται κοντά σ το σ ημείο της ατέλειας ή να καθοδηγούνται σ τον φωνονικό κρύσ ταλλο από μια γραμμική σ ειρά ατελειών. Ενα ελασ τικό κύμα μπορεί να έχει τρείς ανεξάρτητες πολώσ εις, δύο εγκάρσ ιες και μία διαμήκη σ ε ένα τρισ διάσ τατο σ τερεό μέσ ο. Χάσ μα σ τον φωνονικό κρύσ ταλλο, μπορεί 1

10 Κεφάλαιο 1 Φωνονικοί Κρύσ ταλλοι να υπάρξει σ ε μία από τις τρεις ανεξάρτητες πολώσ εις έως και τις τρεις ταυτόχρονα για μία περιοχή του κρυσ τάλλου. Για να κατανοήσ ουμε πώς δημιουργείται ένα χάσ μα θεωρούμε μονοδιάσ τατο κρύσ ταλλο ο οποίος θα απαρτίζεται από εναλλασ σ όμενα σ τρώματα δύο διαφορετικών υλικών. Ενα ποσ οσ τό της ενέργειας από τα ελασ τικά κύματα διαπερνάει το κάθε σ τρώμα ενώ το υπόλοιπο ποσ οσ τό της ενέργειας ανακλάται. Το ανακλώμενο κύμα σ υμβάλλει με το κύμα που θα προσ κρούσ ει σ το επόμενο σ τρώμα. Αν αυτή η σ υμβολή είναι ενισ χυτική, τότε όλη η ενέργεια του αρχικού κύματος θα αντανακλασ τεί πίσ ω και το κύμα δεν θα μπορέσ ει να διαπεράσ ει τα σ τρώματα. Αντιθέτως, αν η σ υμβολή είναι κατασ τρεπτική, τότε η ενέργεια του αρχικού κύματος θα διαδοθεί μέσ α σ τον κρύσ ταλλο. Οπότε η ενισ χυτική σ υμβολή ευθύνεται για τις ζώνες χάσ ματος, ενώ η κατασ τρεπτική σ υμβολή ευθύνεται για τις ζώνες που τα κύματα θα μπορούν να διαδοθούν. Η προϋπόθεσ η να υπάρξει ενισ χυτική σ υμβολή, άρα και χάσ μα, είναι η διαφορά δρόμου μεταξύ των κυμάτων που σ υμβάλλουν να είναι ίσ η με ακέραιο πολλαπλάσ ιο του μήκους κύματός τους. Δx=nλ (1.1) Λαμβάνοντας υπ όψιν ότι η διαφορά δρόμου εξαρτάται από μία παράμετρο του πλέγματος α καταλαβαίνουμε ότι σ ε περίπτωσ η ενισ χυτικής σ υμβολής η παράμετρος α πρέπει να είναι ανάλογη του μήκος κύματος λ. Το μήκος κύματος είναι αντισ τρόφως ανάλογο της σ υχνότητας ω, άρα για τις σ υχνότητες που παρουσ ιάζεται ζώνη χάσ ματος ισ χύει ω ~ 1/λ ~ 1/α ~ c, με c να είναι η τυπική ταχύτητα του ήχου σ το μέσ ο. Οπότε, οι ζώνες χάσ ματος που εμφανίζονται σ ε μία σ υχνότητα ω είναι της τάξης του c/α[1, 3]. Οι εφαρμογές των φωνονικών κρυσ τάλλων είναι εκτενείς. Ολες οι εφαρμογές σ τηρίζονται σ τον έλεγχο του ήχου, υπερήχων και θερμότητας μέσ ω των φωνονικών χασ μάτων. Παρακάτω αναφέρονται μερικές γνωσ τές εφαρμογές των φωνονικών κρυσ τάλλων. Ακουστικοί δίοδοι: Αντίσ τοιχα με τις ήδη γνωσ τές διόδους που επιτρέπουν σ το ηλεκτρικό ρεύμα να περνάει μόνο προς μία κατεύθυνσ η έτσ ι και οι ακουσ τικές δίοδοι δημιουργήθηκαν από μονοδιάσ τατους φωνονικούς κρυσ τάλλους που εμποδίζουν την διάδοσ η του ήχου προς μία κατεύθυνσ η. Οι ακουσ τικές δίοδοι μπορούν να βρουν εφαρμογές σ ε ανιχνευτές, για μείωσ η του θορύβου όπως για παράδειγμα σ ε μια βιοϊατρική απεικόνισ η μέσ ω υπερήχων. Θερμικοί δίοδοι: Σε πλήρη αναλογία με τις ακουσ τικές διόδους, οι θερμικές δίοδοι επιτρέπουν τη ροή της θερμότητας μόνο προς μία κατεύθυνσ η. Σε σ χέσ η με τις α- κουσ τικές διόδους, οι θερμικές δίοδοι θεωρούνται πιο δύσ κολες ως προς την κατασ κευή τους επειδή η θερμότητα μεταφέρεται από ένα ευρύ φάσ μα υψηλών σ υχνοτήτων φωνονίων και είναι δύσ κολος ο ταυτόχρονος έλεγχός τους. Οι εφαρμογές των θερμικών διόδων είναι κυρίως σ ε ηλεκτρονικά κυκλώματα, προσ φέροντας πολύ υψηλές επιδόσ εις σ ε αυτά, κυρίως σ ε ηλεκτρονικά κυκλώματα που χρειάζονται ακριβή έλεγχο της θερμοκρασ ίας καθώς και σ ε νανο - ηλεκτρονικά σ υσ τήματα. Θερμοκρύσταλλοι: Οι θερμοκρύσ ταλλοι είναι περιοδικά σ υσ τήματα που περιέχουν κράματα νανοϋλικών και επιτρέπουν τον έλεγχο της μεταφοράς θερμότητας χρησ ιμοποιώντας την θερμική ροή ως ελασ τικά κύματα του κρυσ τάλλου. 2

11 1.1 Εισ αγωγή Ενίσχυση της αλληλεπίδρασης μεταξύ ήχου και φωτός: Ο ταυτόχρονος εντοπισ μός, ελασ τικών και οπτικών κυμάτων χρησ ιμοποιώντας ακουσ τικές και οπτικές κοιλότητες σ ε ένα σ ύνθετο σ ύσ τημα, χρησ ιμοποιείται για την ενίσ χυσ η της αλληλεπίδρασ ης μεταξύ φωνονίων και φωτονίων. Αυτό δημιουργεί την προοπτική μιας νέας τάξης ακουσ τικό - οπτικών κρυσ τάλλων που μπορούν να σ υνδιάσ ουν τον ταυτόχρονο έλεγχο φωνονίων και φωτονίων. Η ικανότητα χειρισ μού ηλεκτρονίων και φωτονίων οδήγησ ε σ ε σ πουδαίες τεχνολογικές επιτυχίες τις προηγούμενες δεκαετίες. Ισ ως η ανάπτυξη ικανότητας του ακριβή χειρισ μού των φωνονίων να οδηγήσ ει σ ε ανάλογα επιτεύγματα[4]. 3

12 Κεφάλαιο 1 Φωνονικοί Κρύσ ταλλοι 1.2. Ανάλυσ η ελασ τικών τάσ εων σ ε έναν φωνονικό κρύσ ταλλο Η βασ ική ιδέα για την ανάλυσ η ελασ τικών τάσ εων σ ε έναν φωνονικό κρύσ ταλλο είναι απλή. Θα χρησ ιμοποιήσ ουμε τον νόμο του Hooke (F = -kx) και τον δεύτερο νόμο του Newton (F = ma). Ο νόμος του Hooke εφαρμόζεται μόνο για μικρές τάσ εις, τόσ ο μικρές ώσ τε να μην υπάρχει καμία είδους παραμόρφωσ η (να μην αλλάζει το k). Θεωρούμε έναν φωνονικό κρύσ ταλλο σ τον οποίο εφαρμόζεται μία ομοιόμορφη παραμόρφωσ η, τέτοια ώσ τε κάθε μοναδιαία κυψελίδα του παραμορφώνεται με ακριβώς ίδιο τρόπο. Οι καινούργιοι άξονες του x, y, z ως προς τους άξονες πριν την παραμόρφωσ η x, y, z θα έχουν την μορφή: x = (1 + ε xx )ˆx + ε xy ŷ + ε xz ẑ y = ε yxˆx + (1 + ε yy )ŷ + ε yz ẑ z = ε zxˆx + ε zy ŷ + (1 + ε zz )ẑ (1.2) όπου ε ab : ορίζουν την παραμόρφωσ η, είναι αδιάσ τατα μεγέθη και λαμβάνουν τιμές πολύ μικρότερες της μονάδας για μικρές τάσ εις. Ετσ ι, αν για παράδειγμα η θέσ η ενός ατόμου βρισ κόταν σ την θέσ η r = xˆx + yŷ + zẑ τότε η θέσ η του ατόμου μετά την παραμόρφωσ η θα είναι r = xx + yy + zz. Άρα η μετατόπισ η R του ατόμου από την ομοιόμορφη παραμόρφωσ η θα είναι: R r r = x(x ˆx) + y(y ŷ) + z(z ẑ) (1.3) και από την (1.2) η (1.3) γίνεται: R(r) (xε xx + yε yx + zε zx )ˆx + (xε xy + yε yy + zε zy )ŷ + (xε xz + yε yz + zε zz )ẑ (1.4) Απλοποιούμε την (1.4) εισ άγοντας τους όρους u, v και w, έτσ ι ώσ τε[1]: R(r) = u(r)ˆx + v(r)ŷ + w(r)ẑ (1.5) Οι παραμορφώσ εις που ενδιαφερόμασ τε για να περιγράψουμε τα ελασ τικά κύματα σ το κεφάλαιο 2 για αυτήν την διπλωματική δεν είναι ομοιόμορφες, όπως δεν είναι και οι 4

13 1.2 Ανάλυσ η ελασ τικών τάσ εων σ ε έναν φωνονικό κρύσ ταλλο περισ σ ότερες παραμορφώσ εις σ την πραγματικότητα. Άρα για μη ομοιόμορφες παραμορφώσ εις, πρέπει να σ υσ χετίσ ουμε τα u, v, w με τις τοπικές παραμορφώσ εις. Από το ανάπτυγμα της σ ειράς Taylor για την R(0) = 0 παίρνουμε: xε xx = x u x, yε yx = y u y, zε zx = z u,... z κτλ. (1.6) Για τοπικές παραμορφώσ εις σ υνηθίζεται να σ υμβολίζουμε τους σ υντελεσ τές ε ab ως e ab. Οπότε τους ορίζουμε: e xx ε xx = u x, e yy ε yx = u y, e zz ε zx = u z (1.7) Χρησ ι- Τα e xy, e yz, e zx μας δείχνουν την αλλαγή της γωνίας μεταξύ των αξόνων. μοποιώντας την εξίσ ωσ η (1.2) παίρνουμε τις: e xy x y = ε yx + ε xy = u y + v x e yz y z = ε zy + ε yz = v + w z y e zx z x = ε zx + ε xz = u + w z x (1.8) Ο ορισ μός της τάσ ης είναι η δύναμη που ασ κείται επάνω σ ε ένα μοναδιαίο επίπεδο επιφάνειας. Από τον ορισ μό καταλαβαίνουμε ότι μπορούν να υπάρχουν εννέα τάσ εις σ ε τρεις διασ τάσ εις: X x, X y, X z, Y x, Y y, Y z, Z x, Z y, Z z. Το κεφαλαίο γράμμα σ υμβολίζει την διεύθυνσ η της τάσ ης και το υπογεγραμμένο γράμμα το κάθετο διάνυσ μα ενός επιπέδου σ το οποίο εφαρμόζεται η δύναμη της τάσ ης. Από τον νόμο του Hooke εν τέλει παίρνουμε[1]: e xx = S 11 X x + S 12 Y y + S 13 Z z + S 14 Y z + S 15 Z x + S 16 X y e yy = S 21 X x + S 22 Y y + S 23 Z z + S 24 Y z + S 25 Z x + S 26 X y e zz = S 31 X x + S 32 Y y + S 33 Z z + S 34 Y z + S 35 Z x + S 36 X y e yz = S 41 X x + S 42 Y y + S 43 Z z + S 44 Y z + S 45 Z x + S 46 X y e zx = S 51 X x + S 52 Y y + S 53 Z z + S 54 Y z + S 55 Z x + S 56 X y e xy = S 61 X x + S 62 Y y + S 63 Z z + S 64 Y z + S 65 Z x + S 66 X y (1.9) X x = C 11 e xx + C 12 e yy + C 13 e zz + C 14 e yz + C 15 e zx + C 16 e xy Y y = C 21 e xx + C 22 e yy + C 23 e zz + C 24 e yz + C 25 e zx + C 26 e xy Z Z = C 31 e xx + C 32 e yy + C 33 e zz + C 34 e yz + C 35 e zx + C 36 e xy Y Z = C 41 e xx + C 42 e yy + C 43 e zz + C 44 e yz + C 45 e zx + C 46 e xy Z x = C 51 e xx + C 52 e yy + C 53 e zz + C 54 e yz + C 55 e zx + C 56 e xy X y = C 61 e xx + C 62 e yy + C 63 e zz + C 64 e yz + C 65 e zx + C 66 e xy (1.10) 5

14 Κεφάλαιο 1 Φωνονικοί Κρύσ ταλλοι όπου S 11, S 12,... : σ υντελεσ τές ελασ τικής επιδεκτικότητας με διασ τάσ εις [εμβαδόν]/[δύναμη] ή [όγκο]/[ενέργεια] και όπου C 11, C 12,... : σ υντελεσ τές ελασ τικής ακαμψίας με διασ τάσ εις [δύναμη]/[εμβαδόν] ή [ενέργεια]/[όγκο]. 6

15 2. Θεωρία Επίπεδων Κυμάτων 2.1. Εξισ ώσ εις διάδοσ ης ελασ τικών κυμάτων σ ε δισ διάσ τατο φωνονικό κρύσ ταλλο Γενικά, η εξίσ ωσ η της κίνησ ης ελασ τικών κυμάτων μέσ α σ ε έναν τρισ διάσ τατο φωνονικό κρύσ ταλλο μπορεί να δοθεί από την εξίσ ωσ η: ρ 2 u t 2 = X x x + X y y + X z z + Y x x + Y y y + Y z z + Z x x + Z y y + Z z z (2.1) Για έναν δισ διάσ τατο φωνονικό κρύσ ταλλο η παραπάνω εξίσ ωσ η θα πάρει την μορφή[5, 6, 7, 8, 9, 10]: ρ( r)ü( r, t) j = u k ( r, t) (C ijkl ) (2.2) x i x l με r = (x 1, x 2, z) = ( x, z) : διάνυσ μα θέσ ης ρ( r) : η πυκνότητα μάζας C ijkl : σ υντελεσ τής ελασ τικής ακαμψίας Για την παρούσ α διπλωματική εργασ ία ο δισ διάσ τατος φωνονικός κρύσ ταλλος θα αποτελείται από δύο δισ διάσ τατες περιοδικές διατάξεις υλικού Α ενσ ωματωμένου σ ε υλικό Β. Στο κεφάλαιο 3 θα χρησ ιμοποιήσ ουμε δύο ζευγάρια τέτοιων υλικών, τα οποία και θα προσ διορισ τούν παρακάτω. Και τα δύο υλικά Α και Β είναι ομογενή και ισ ότροπα. Εξαιτίας της περιοδικότητας ενός φωνονικού κρυσ τάλλου, οι σ ταθερές ρ( x) και C ijkl μπορούν να αναπτυχθούν σ ε σ ειρά Fourier σ υναρτήσ ει των διανυσ μάτων πλέγματος του αντίσ τροφου χώρου G = (G x, G y ) με τον εξής τρόπο: ρ( x) = G e i G x [ρ G ] (2.3) και C ijkl ( x) = G e i G x [C ijkl G ] (2.4) 7

16 Κεφάλαιο 2 Θεωρία Επίπεδων Κυμάτων όπου τα ρ G και C ijkl G είναι οι αντίσ τοιχοι σ υντελεσ τές Fourier, όπου ορίζονται ως: ρ G = A 1 uc ρ( x)e i G x d 2 x (2.5) και C ijkl G = A 1 uc C ijkl ( x)e i G x d 2 x (2.6) όπου A uc : επιφάνεια της μοναδιαίας κυψελίδας του δισ διάσ τατου φωνονικού κρυσ τάλλου. Χρησ ιμοποιώντας το θεώρημα του Bloch και αναπτύσ σ οντας το διάνυσ μα μετατόπισ ης u j ( r, t) σ ε σ ειρά Fourier έχουμε: u j ( r, t) = G e i( k+ G) x iωt (e ikzz A j G ) (2.7) με k = (k x, k y ) : είναι το κυματάνυσ μα του θεωρήματος Bloch ω : γωνιακή σ υχνότητα k z : κυματάνυσ μα σ την κατεύθυνσ η z A j G : το εύρος του διανύσ ματος μετατόπισ ης Αντικαθισ τώντας την (2.3), (2.4) και (2.7) σ την εξίσ ωσ η (2.2) παίρνουμε[5]: M (1) +k z S (1) +kzn 2 (1) L (2) +k z O (2) +kzt 2 (2) W (1) +k z J (1) +k 2 zx (1) L (1) +k z O (1) +kzt 2 (1) M (2) +k z S (2) +kzn 2 (2) W (2) +k z J (2) +k 2 zx (2) U (1) +k z K (1) +kzv 2 (1) U (2) +k z K (2) +kzv 2 (2) M (3) +k z S (3) +kzn 2 (3) A 1 G A 2 G A 3 G = 0 (2.8) με τις μήτρες k l M (1) (2) (3) (1) (2) (3), M, M, S(1), S(2), S(3), N, N, N, L(1) L (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1), O(1), O(2), T, T, U, U, K(1), K(2), V, V, W,, 8

17 2.1 Εξισ ώσ εις διάδοσ ης ελασ τικών κυμάτων σ ε δισ διάσ τατο φωνονικό κρύσ ταλλο W (2) (1) (2), J, J A.1., X(1), X(2) G,G να προσ διορίζονται σ το παράρτημα της διπλωματικής Μπορούμε να απλοποιήσ ουμε την εμφάνισ η της εξίσ ωσ ης (2.8), ξαναγράφοντάς την ως ένα πρόβλημα ιδιοτιμών σ υναρτήσ ει του k z καταλήγοντας σ την εξίσ ωσ η[5]: με (Ak 2 z + Bk z + C) U = 0 (2.9) A = N (1) T (1) V (1) T (2) N (2) V (2) X (1) X(2) N (3) (2.10) B = S (1) O (2) O(1) S(2) J (1) J (2) K(1) K(2) S(3) (2.11) C = M (1) L(1) U (1) L (2) M (2) U (2) W (1) W (2) M (3) (2.12) και U = A 1 G A 2 G A 3 G (2.13) 9

18 Κεφάλαιο 2 Θεωρία Επίπεδων Κυμάτων 2.2. Θεωρία επίπεδων κυμάτων σ ε δισ διάσ τατο φωνονικό κρύσ ταλλο Παρατηρώντας ότι όταν το k z τείνει προς το μηδέν η εξίσ ωσ η (2.7) παίρνει την μορφή διανύσ ματος μετατόπισ ης ενός επίπεδου κύματος, μπορούμε να μελετήσ ουμε πώς εκφυλίζεται η εξίσ ωσ η (2.9) αν σ τον δισ διάσ τατο φωνονικό κρύσ ταλλο διαδώσ ουμε επίπεδο κύμα. Οταν λοιπόν k z = 0 η εξίσ ωσ η (2.9) εκφυλίζεται σ ε: C U = 0 (2.14) Στην παρούσ α διπλωματική μελετήθηκε φωνονικός κρύσ ταλλος με τετραγωνική σ υμμετρία. Αυτό σ ημαίνει ότι τα σ τοιχεία U (1) (2) (1) (2), U, W, W G,G της μήτρας C θα είναι μηδέν[5]. Άρα η εξίσ ωσ η (2.14) θα περιέχει πλέον δύο διαφορετικούς τρόπους πόλωσ ης και θα πάρει την μορφή: Για κύματα με το διάνυσ μα πόλωσ ης εντός του δισ διάσ τατου πλέγματος των ράβδων: M (1) L(1) L (2) M (2) [ A 1 G A 2 G ] = 0 (2.15) ενώ για κύματα με το διάνυσ μα πόλωσ ης κάθετο σ το επίπεδο του πλέγματος των ράβδων: [ M (3) ] [ A 3 G ] = 0 (2.16) Η επίλυσ η των εξισ ώσ εων (2.15) και (2.16) με μεθόδους αριθμητικής διαγωνιοποίησ ης μας δίνει τη δομή ζωνών σ υχνοτήτων για τον φωνονικό κρύσ ταλλο. Στην παρούσ α διπλωματική εργασ ία χρησ ιμοποιήσ αμε την υπορουτίνα DGGEV από τη βιβλιοθήκη LAPACK, γραμμένη σ ε γλώσ σ α Fortran. 10

19 2.3 Αριθμητικοί Υπολογισ μοί για τους σ υντελεσ τές Fourier 2.3. Αριθμητικοί Υπολογισ μοί για τους σ υντελεσ τές Fourier Γενικά, οι σ υντελεσ τές Fourier ρ G και C ijkl G της εξίσ ωσ ης (2.5) και (2.6) μπορούν να εκφρασ τούν ως[5, 6, 7, 8, 9, 10]: a G = { aa f + a B (1 f) για G=0 (a A a B )F G για G 0 (2.17) με a G = (ρ, C ijkl ) a A : σ υνάρτησ η α του υλικού Α a B : σ υνάρτησ η α του υλικού Β f : ποσ οσ τό κατάληψης (κλάσ μα πλήρωσ ης) Το ποσ οσ τό κατάληψης f είναι το πηλίκο της επιφάνειας της διατομής της ράβδου προς το σ υνολικό εμβαδόν της κυψελίδας. Για την σ υγκεκριμένη διπλωματική όπου ο φωνονικός κρύσ ταλλος είναι δισ διάσ τατος, η μοναδιαία κυψελίδα Β είναι τετραγωνική και το υλικό Α είναι μια ράβδος τετραγωνικής διατομής, θα ισ χύει: f = εµβαδόν Α εµβαδόν Β = L2 a 2 (2.18) με α : μήκος της τετράγωνης μοναδιαίας κυψελίδας L : μήκος της τετραγωνικής διατομής της ράβδου F G : σ υνάρτησ η δομής : ορίζεται ως F G = A 1 c A c e igx d 2 x Για τετραγωνικής διατόμής ράβδους η F G θα πάρει την μορφή: F G = 4f( sin(g xl/2) G x L )( sin(g yl/2) ) (2.19) G y L 11

20 Κεφάλαιο 2 Θεωρία Επίπεδων Κυμάτων 2.4. Πυκνότητα κατασ τάσ εων και αριθμητικός υπολογισ μός της Η πυκνότητα κατασ τάσ εων (Density Of States - DOS) ως σ υνάρτησ η της σ υχνότητας ω μπορεί να υπολογισ τεί από το άθροισ μα όλων των σ υχνοτήτων του κυματανύσ ματος k χρησ ιμοποιώντας την εξίσ ωσ η[11]: DOS(ω) = 1 δ(ω ω k ) (2.20) N k k όπου N k : Ο σ υνολικός αριθμός των κυματανυσ μάτων Bloch εντός της πρώτης ζώνης Brillouin που λαμβάνουμε υπόψη σ τον υπολογισ μό της πυκνότητας κατασ τάσ εων. Η σ υνάρτησ η δέλτα, δ(x), μας δίνει την DOS(ω) σ αν ένα ισ τόγραμμα. Αυτό μειώνει αρκετά την ακρίβεια των υπολογισ μών μας. Για να αντιμετωπίσ ουμε αυτό το πρόβλημα, αντικαθισ τούμε την σ υνάρτησ η δ(x) με την παρακάτω Gaussian κατανομή: δ(x) = e x2 /2σ 2 2πσ 2 (2.21) με x = ω ω λ k (2.22) και ω λ k : είναι η τιμή της λ-οσ τής ζώνης σ υχνοτήτων για το κυματάνυσ μα k. Επίσ ης, για να μειώσ ουμε τον χρόνο υπολογισ μού της DOS(ω) λαμβάνουμε υπ όψιν ότι τα σ ημεία κοντά σ τις άκρες της Gaussian κατανομής είναι πολύ λιγότερης σ ημασ ίας από αυτά σ την μέσ η της, με την λογική ότι έχουν πολύ μικρότερο πληθυσ μό. Μειώνουμε τον χρόνο υπολογισ μού της DOS(ω) με το να αγνοούμε τους υπολογισ μούς έξω από το εύρος 6σ. Για την δημιουργία της DOS χρειαζόμασ τε μια λίσ τα από κυματανύσ ματα τα οποία να καλύπτουν όλο το φάσ μα των σ ημείων k της πρώτης ζώνης Brillouin. Για αυτό τον λόγο σ τον κώδικα που χρησ ιμοποιήθηκε για τον υπολογισ μό της DOS προσ τέθηκε μία υπορουτίνα που έφτιαξε κυματανύσ ματα τέτοια ώσ τε να γεμίζουν την πρώτη ζώνη Brillouin. Η υπορουτίνα αυτή διαιρεί τα διανύσ ματα του αντίσ τροφου πλέγματος σ ε n τμήματα και δημιουργεί ακέραια πολλαπλάσ ια του κάθε τμήματος σ ε όλες τις κατευθύνσ εις όπως φαίνεται σ το σ χήμα 2.1. Ετσ ι δημιουργεί μία κυβική διάταξη διανυσ μάτων διατεταγμένα σ ε μια γραμμική λίσ τα. Αυτή η λίσ τα των κυματανυσ μάτων χρησ ιμοποιείται για την δημιουργία της Χαμιλτονιανής μήτρας για τον υπολογισ μό της DOS. 12

21 2.4 Πυκνότητα κατασ τάσ εων και αριθμητικός υπολογισ μός της Figure 2.1.: Πλέγμα k που δημιουργείται μέσ α σ την αντεσ τραμμένη μοναδιαία κυψελίδα με την ίδια επιφάνεια και άρα τον ίδιο αριθμό κυματανυσ μάτων της πρώτης ζώνης Brillouin.[11] 13

22

23 3. Αποτελέσ ματα 3.1. Παρουσ ίασ η αποτελεσ μάτων Στην παρούσ α διπλωματική υπολογίζουμε ζώνες σ υχνοτήτων δισ διάσ τατων φωνονικών κρυσ τάλλων με τη μέθοδο των επίπεδων κυμάτων όπως ακριβώς παραπέμπει ο τίτλος. Υπολογίσ τηκαν οι ζώνες σ υχνοτήτων για δύο δισ διάσ τατους φωνονικούς κρυσ τάλλους, τετραγωνικής διατομής ράβδοι μολύβδου ενσ ωματωμένες σ ε τετραγωνικό πλέγμα από εποξειδική ρητίνη (Pb - epoxy: φωνονικός κρύσ ταλλος P 1 ) και τετραγωνικής διατομής ράβδοι ατσ αλιού ενσ ωματωμένοι σ ε τετραγωνικό πλέγμα σ ιλικόνης (Steel - Sillicon Rubber: φωνονικός κρύσ ταλλος P 2 ) (εικόνα 3.1). Στον παρακάτω πίνακα αναφέρονται οι ελασ τικές ιδιότητες των τεσ σ άρων υλικών. Εικόνα 3.1.: Δισ διάσ τατος φωνονικός κρύσ ταλλος: Τετραγωνικής διατομής ράβδοι ενσ ωματωμένες σ ε τετραγωνικό πλέγμα. Εξαιτίας της υψηλής σ υμμετρίας του δισ διάσ τατου τετραγωνικού πλέγματος, άρα και του δισ διάσ τατου αντίσ τροφου τετραγωνικού πλέγματος, υπολογίσ τηκαν οι σ υχνότητες για το μη αναγωγίσ ιμο τμήμα της πρώτης ζώνης Brillouin, όπως φαίνεται σ το σ χήμα 3.2 [12]. Το μη αναγωγίσ ιμο τμήμα για την τετραγωνική κυψελίδα είναι ένα τρίγωνο με κορυφές Γ, Χ και M. Το δισ διάσ τατο αντίσ τροφο τετραγωνικό πλέγμα παρουσ ιάζει τις 15

24 Κεφάλαιο 3 Αποτελέσ ματα Material Density ( kg ) m 3 Elastic Constant C 11 ( N ) m 2 Elastic Constant C 44 ( N ) m 2 Pb Epoxy Steel Sillicon Rubber Πίνακας I.: Οι ελασ τικές ιδιότητες των υλικών που χρησ ιμοποιήθηκαν. κατοπτρικές σ x, σ y, σ 1, σ 3 και περισ τροφικές C 4, C 2, C 3 4 σ υμμετρίες όπως παρουσ ιάζεται σ το σ χήμα 3.2. Οι υπολογισ μοί των σ υχνοτήτων για το μη αναγωγίσ ιμο τμήμα ΓΧΜ θα είναι αρκετοί για να καλύψουμε όλο το φάσ μα της πρώτης ζώνης Brillouin χρησ ιμοποιώντας τις παραπάνω σ υμμετρίες. Εικόνα 3.2.: Αριστερά: Τα είδη σ υμμετρίας για το δισ διάσ τατο τετραγωνικό πλέγμα. Δεξιά: Το μη αναγωγίσ ιμο τμήμα που έλαβαν μέρος οι υπολογισ μοί σ ε σ ύγκρισ η με ολόκληρη την πρώτη ζώνη Brillouin για το δισ διάσ τατο αντίσ τροφο πλέγμα. Οι μετασ χηματισ μοί σ υμμετριών για το δισ διάσ τατο τετραγωνικό πλέγμα παρουσ ιάζονται σ το παράρτημα A.2. Τα σ ημεία Γ, Χ, Μ, Δ, Ζ, Σ του σ χήματος 3.2 είναι σ ημεία υψηλής σ υμμετρίας της πρώτης ζώνης Brillouin: 1. Γ = (0, 0), το οποίο παρουσ ιάζει τις σ υμμετρίες E, C 4, C 2, C 3 4,σ x, σ y, σ 1, σ 3 2. Χ = ( π a, 0), το οποίο παρουσ ιάζει τις σ υμμετρίες Ε, C 2, σ x, σ y 3. M = ( π a, π a ), το οποίο παρουσ ιάζει τις σ υμμετρίες E, C 4, C 2, C 3 4,σ x, σ y, σ 1, σ 3 4. Δ = (k x,0), για 0 < k < π a, το οποίο παρουσ ιάζει τις σ υμμετρίες E, σ x 5. Z = ( π a,k y), για 0 < k < π a, το οποίο παρουσ ιάζει τις σ υμμετρίες Ε, σ 1 16

25 3.1 Παρουσ ίασ η αποτελεσ μάτων 6. Σ = (k x,k y ), για 0 < k < π a, το οποίο παρουσ ιάζει τις σ υμμετρίες Ε, σ y Οι υπολογισ μοί σ το μη αναγωγίσ ιμο τμήμα των ζωνών Brillouin έγιναν σ τις ομάδες σ ημείων Δ, Ζ και Σ σ αρώνοντας τα κυματανύσ ματα σ τις αντίσ τοιχες κατευθύνσ εις ΓΧ, ΧΜ και ΜΓ. Η διαδικασ ία επαναλήφθηκε και για τους 20 υπολογισ μούς που έλαβαν χώρα. Πραγματοποιήθηκαν 10 υπολογισ μοί για κάθε φωνονικό κρύσ ταλλο, αλλάζοντας μόνο το κλάσ μα πλήρωσ ης f από 0.1 με βήμα 0.1 έως την τιμή 1. Βρέθηκαν φωνονικά χάσ ματα σ ε οκτώ περιπτώσ εις, τέσ σ ερις για τον φωνονικό κρύσ ταλλο P 1 (Pb - epoxy) και άλλες τέσ σ ερις για τον φωνονικό κρύσ ταλλο P 2 (Steel - Sillicon Rubber). Για τον P 1 φωνονικό κρύσ ταλλο, φωνονικά χάσ ματα βρέθηκαν για τις τιμές του f = 0.2, 0.3, 0.4 και 0.5. Εικόνα 3.3.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους μολύβδου τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε εποξειδική ρητίνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f =

26 Κεφάλαιο 3 Αποτελέσ ματα Εικόνα 3.4.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους μολύβδου τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε εποξειδική ρητίνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.3 Εικόνα 3.5.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους μολύβδου τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε εποξειδική ρητίνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f =

27 3.1 Παρουσ ίασ η αποτελεσ μάτων Εικόνα 3.6.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους μολύβδου τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε εποξειδική ρητίνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.5 Και για το σ ύσ τημα τετραγωνικής διατομής ράβδων ατσ αλιού εμβαπτισ μένα σ ε σ ιλικόνη, φωνονικά χάσ ματα βρέθηκαν σ τις τιμές του f = 0.4, 0.5, 0.6, 0.7. Εικόνα 3.7.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους ατσ αλιού τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε σ ιλικόνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f =

28 Κεφάλαιο 3 Αποτελέσ ματα Εικόνα 3.8.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους ατσ αλιού τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε σ ιλικόνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.5 Εικόνα 3.9.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους ατσ αλιού τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε σ ιλικόνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f =

29 3.1 Παρουσ ίασ η αποτελεσ μάτων Εικόνα 3.10.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους ατσ αλιού τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε σ ιλικόνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.7 Τα μαύρα σ ημεία είναι οι υπολογισ μοί των κυμάτων όταν η πόλωσ η βρίσ κεται σ το επίπεδο των ράβδων (XY_PWM), ενώ τα μπλε σ ημεία οι υπολογισ μοί των κυμάτων όπου η πόλωσ η είναι κάθετη σ το επίπεδο των ράβδων. (ZZ_PWM). Ολοι οι υπολογισ μοί αναφέρονται σ το παράρτημα A.3. Από τα φωνονικά χάσ ματα υπολογίσ τηκε το εύρος του χάσ ματος (MGR: midgap ratio): MGR = Δω ω gap (3.1) με: Δω = ω 2 ω 1 και ω gap = ω 2+ω 1 2 Το MGR για τον φωνονικό κρύσ ταλλο P 1 υπολογίσ τηκε: 21

30 Κεφάλαιο 3 Αποτελέσ ματα Εικόνα 3.11.: Η σ υχνότητα μέσ ου χάσ ματος (MGR: midgap ratio) του Pb - Epoxy και για τον φωνονικό κρύσ ταλλο P 2 : Εικόνα 3.12.: Η σ υχνότητα μέσ ου χάσ ματος (MGR: midgap ratio) του Steel - Sillicon Rubber Το μαύρο διάγραμμα είναι τα MGR των πρώτων χασ μάτων, το κόκκινο διάγραμμα είναι τα MGR των δεύτερων χασ μάτων, και αντίσ τοιχα το μπλε και πράσ ινο διάγραμμα είναι 22

31 3.1 Παρουσ ίασ η αποτελεσ μάτων τα MGR των τρίτων και τέταρτων χασ μάτων που υπολογίσ τηκαν (όπου η σ ειρά των χασ μάτων αναφέρεται σ την ταξινόμησ ή τους σ ύμφωνα με τη σ υχνότητα που αντισ τοιχεί σ το μέσ ο κάθε χάσ ματος). Αναλυτικά τα MGR των χασ μάτων παρουσ ιάζονται σ τους δύο παρακάτω πίνακες. f MGR MGR Πίνακας II.: Αναλυτικά τα MGR και MGR για κάθε μέτρησ η του Pb - Epoxy f MGR MGR MGR MGR Πίνακας III.: Αναλυτικά τα MGR, MGR, MGR και MGR για κάθε μέτρησ η του Steel - Sillicon Rubber 23

32 Κεφάλαιο 3 Αποτελέσ ματα 3.2. Συμπεράσ ματα Στην παρούσ α διπλωματική μελετήθηκαν φωνονικά χάσ ματα σ ε τετραγωνικής διατομής ράβδους μολύβδου ενσ ωματωμένες σ ε τετραγωνικό πλέγμα από εποξειδική ρητίνη (φωνονικός κρύσ ταλλος P 1 ) και τετραγωνικής διατομής ράβδους ατσ αλιού ενσ ωματωμένες σ ε τετραγωνικό πλέγμα σ ιλικόνης (φωνονικός κρύσ ταλλος P 2 ). Για τον υπολογισ μό των φωνονικών ζωνών χρησ ιμοποιήθηκε η μέθοδος των επίπεδων κυμάτων, ενώ παράλληλα υπολογίσ τηκε και η αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων για τον προσ διορισ μό των φωνονικών χασ μάτων. Παρατηρήθηκε ότι τα φωνονικά χάσ ματα βρίσ κονται σ ε τιμές του κλάσ ματος πλήρωσ ης f 0.5, κάτι που είναι και αναμενόμενο διότι τα φωνονικά χάσ ματα δημιουργούνται λόγω των διαφορών σ τις ταχύτητες διάδοσ ης των κυμάτων σ τα δύο διαφορετικά υλικά από τα οποία κατασ κευάζεται ο φωνονικός κρύσ ταλλος. Οσ ο πιο κοντά σ τις ακραίες του τιμές βρίσ κεται το κλάσ μα πλήρωσ ης, τόσ ο πιο ομοιογενής θα είναι ο κρύσ ταλλος. Οπότε και ήταν λογικό να μην υπάρχουν φωνονικά χάσ ματα σ τις περιπτώσ εις κοντά σ το f 0 και σ το f 1. Επίσ ης, παρατηρήθηκε ότι τα χάσ ματα είναι ευρύτερα σ την περίπτωσ η που το διάνυσ μα της πόλωσ η των κυμάτων βρίσ κεται σ το επίπεδο των ράβδων σ ε σ χέσ η με τα κύματα που έχουν το διάνυσ μα πόλωσ ης κάθετο σ το επίπεδο των κυμάτων. Για τον φωνονικό κρύσ ταλλο P 1 τα φωνονικά χάσ ματα παρουσ ιάσ τηκαν σ τις τιμές του κλάσ ματος πλήρωσ ης f = 0.2, 0.3, 0.4 και 0.5 ενώ για τον κρύσ ταλλο P 2 για τις τιμές f = 0.4, 0.5, 0.6, 0.7. Το μεγαλύτερο φωνονικό χάσ μα που υπολογίσ τηκε για το σ ύσ τημα μολύβδου - εποξειδικής ρητίνης και αντισ τοιχεί για την τιμή του κλάσ ματος πλήρωσ ης f 0.4. Ομοίως για το σ ύσ τημα ατσ αλιού - σ ιλικόνης το μεγαλύτερο χάσ μα εμφανίζεται σ την τιμή f 0.6 του χάσ ματος πλήρωσ ης. Ο φωνονικός κρύσ ταλλος P 2 παρουσ ιάζει μεγαλύτερο εύρος χασ μάτων σ ε σ χέσ η με τον κρύσ ταλλο μολύβδου - εποξειδικής ρητίνης. Επίσ ης αυτό ήταν αναμενόμενο διότι μεγαλύτερα φωνονικά χάσ ματα εμφανίζονται όταν υπάρχει μεγάλη αντίθεσ η σ την πυκνότητα και την ελασ τική σ ταθερά C 44 των υλικών του φωνονικού κρυσ τάλλου[6]: Δρ Β > Δρ Α και ΔC Β 44 > ΔC Α 44 με Δρ = ρ b ρ a και ΔC 44 = C b 44 C a 44 Παρατηρώντας τις φωνονικές ζώνες του φωνονικού κρύσ ταλλου P 2, βλέπουμε ότι οι ζώνες γύρω από τα φωνονικά χάσ ματα για τιμές του κλάσ ματος πλήρωσ ης f = 0.4 και 0.5 είναι πιο επίπεδες από τις αντίσ τοιχες φωνονικές ζώνες για f = 0.6 και 0.7 Αυτό σ ημαίνει ότι ο φωνονικός κρύσ ταλλος P 2 είναι πιο ευαίσ θητος σ τις αλλαγές τις ανισ οτροπίας του σ υσ τήματος για μεγαλύτερες τιμές του κλάσ ματος πλήρωσ ης[8]. Παρατηρώντας τις φωνονικές ζώνες του P 1 δεν παρουσ ιάσ τηκε διαφοροποίησ η σ την ομαλότητα των φωνονικών ζωνών. Τέλος, εξετάσ αμε το midgap ratio των φωνονικών κρυσ τάλλων. Από τις εικόνες 3.11 και 3.12 παρατηρούμε ότι τα MGR του φωνονικού κρυσ τάλλου P 2 παρουσ ιάζουν πολύ μεγαλύτερες τιμές από τα MGR του P 1. 24

33 3.2 Συμπεράσ ματα Τα αποτελέσ ματα αυτής της διπλωματικής μπορούν να χρησ ιμοποιηθούν για θεωρητικούς ή πειραματικούς υπολογισ μούς φωνονικών κρυσ τάλλων P 1 και P 2. 25

34

35 Ευχαρισ τίες Επιθυμώ να ευχαρισ τήσ ω τον επιβλέποντα της παρούσ ης διπλωματικής εργασ ίας καθηγητή Β. Γιαννόπαπα για την σ τήριξη και υπομονή που μου έδειξε σ τα πλαίσ ια της παρούσ ας διπλωματικής αλλά και για την ευκαιρία που μου έδωσ ε να ξεπεράσ ω τα όρια μου προχωρώντας με πέρα από αυτά.

36 A. Παράρτημα A.1. Προσ διορισ μός των 27 μητρών της εξίσ ωσ ης 2.8 Για τις παρακάτω εξισ ώσ εις αντικαθισ τάται ο σ υμβολισ μός του C ijkl G σ ε CIJ G. M (1) G,G = ω 2 ρ G G (G x + k x )(G x + k x )C 11 (G x + k x )(G y + k y )C 16 (G y + k y )(G x + k x )C 16 (G y + k y )(G y + k y )G 66 (A.1) M (2) G,G = ω 2 ρ G G (G x + k x )(G x + k x )C 66 (G x + k x )(G y + k y )C 26 (G y + k y )(G x + k x )C 26 (G y + k y )(G y + k y )G 22 (A.2) M (3) G,G = ω 2 ρ G G (G x + k x )(G x + k x )C 55 (G x + k x )(G y + k y )C 45 (G y + k y )(G x + k x )C 45 (G y + k y )(G y + k y )G 44 (A.3) S (1) [ G,G = (Gx + k x )C 15 (G y + k y )C 56 (G x + k x )C 15 (G y + k y )C 56 ] (A.4) S (2) [ = (Gx + k x )C 46 (G y + k y )C 24 (G x + k x )C 46 (G y + k y )C 24 ] (A.5) S (3) [ = (Gx + k x )C 35 (G y + k y )C 34 (G x + k x )C 35 (G y + k y )C 34 ] (A.6) N (1) = C55 (2) G G, N = C44 (3) G G, N = C33 (A.7) i

37 Κεφάλαιο A Παράρτημα L (1) [ = (Gx + k x )(G x + k x )C 16 (G x + k x )(G y + k y )C 12 (G y + k y )(G x + k x )C 66 (G y + k y )(G y + k y )G 26 ] (A.8) L (2) [ = (Gx + k x )(G x + k x )C 16 (G x + k x )(G y + k y )C 66 (G y + k y )(G x + k x )C 21 (G y + k y )(G y + k y )G 26 ] (A.9) O (1) [ = (Gx + k x )C 14 (G y + k y )C 46 (G x + k x )C 56 (G y + k y )C 25 ] (A.10) O (2) [ = (Gx + k x )C 56 (G y + k y )C 25 (G x + k x )C 14 (G y + k y )C 46 ] (A.11) T (1) = C45 (2) G G, T = C45 (A.12) U (1) [ = (Gx + k x )(G x + k x )C 15 (G x + k x )(G y + k y )C 14 (G y + k y )(G x + k x )C 56 (G y + k y )(G y + k y )G 46 ] (A.13) U (2) [ = (Gx + k x )(G x + k x )C 56 (G x + k x )(G y + k y )C 46 (G y + k y )(G x + k x )C 25 (G y + k y )(G y + k y )G 24 ] (A.14) K (1) [ = (Gx + k x )C 13 (G y + k y )C 36 (G x + k x )C 55 (G y + k y )C 45 ] (A.15) K (2) [ = (Gx + k x )C 36 (G y + k y )C 23 (G x + k x )C 45 (G y + k y )C 44 ] (A.16) V (1) = C35 (2) G G, V = C34 (A.17) W (1) [ = (Gx + k x )(G x + k x )C 15 (G x + k x )(G y + k y )C 56 (G y + k y )(G x + k x )C 14 (G y + k y )(G y + k y )G 46 ] (A.18) ii

38 A.2 Μετασ χηματισ μοί σ υμμετριών δισ διάσ τατου τετραγωνικού πλέγματος W (2) [ = (Gx + k x )(G x + k x )C 56 (G x + k x )(G y + k y )C 25 (G y + k y )(G x + k x )C 46 (G y + k y )(G y + k y )G 24 ] (A.19) J (1) [ = (Gx + k x )C 55 (G y + k y )C 45 (G x + k x )C 13 (G y + k y )C 36 ] (A.20) J (2) [ = (Gx + k x )C 45 (G y + k y )C 44 (G x + k x )C 36 (G y + k y )C 23 ] (A.21) X (1) = C35 G G, X(2) = C34 (A.22) A.2. Μετασ χηματισ μοί σ υμμετριών δισ διάσ τατου τετραγωνικού πλέγματος E : (x, y) (x, y) E C 4 C 2 C 3 4 σ x σ y σ 1 σ 3 C 4 : (x, y) ( y, x) C 4 C 2 C 3 4 E σ 1 σ 3 σ y σ x C 2 : (x, y) ( x, y) C 2 C 3 4 E C 4 σ y σ x σ 3 σ 1 C 3 4 : (x, y) (y, x) C 3 4 E C 4 C 2 σ 3 σ 1 σ x σ y σ x : (x, y) (x, y) σ x σ 3 σ y σ 1 E C 2 C 3 4 C 4 σ y : (x, y) ( x, y) σ y σ 1 σ x σ 3 C 2 E C 4 C 3 4 σ 1 : (x, y) (y, x) σ 1 σ x σ 3 σ y C 4 C 3 4 E C 2 σ 3 : (x, y) ( y, x) σ 3 σ y σ 1 σ x C 3 4 C 4 C 2 E iii

39 Κεφάλαιο A Παράρτημα A.3. Μετρήσ εις ζωνών σ υχνοτήτων που υπολογίσ τηκαν σ τα πλάισ ια της παρούσ ας διπλωματικής Εικόνα A.1.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους μολύβδου τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε εποξειδική ρητίνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.1 Εικόνα A.2.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους μολύβδου τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε εποξειδική ρητίνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.2 iv

40 A.3 Μετρήσ εις ζωνών σ υχνοτήτων που υπολογίσ τηκαν σ τα πλάισ ια της παρούσ ας διπλωματικής Εικόνα A.3.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους μολύβδου τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε εποξειδική ρητίνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.3 Εικόνα A.4.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους μολύβδου τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε εποξειδική ρητίνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.4 v

41 Κεφάλαιο A Παράρτημα Εικόνα A.5.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους μολύβδου τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε εποξειδική ρητίνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.5 Εικόνα A.6.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους μολύβδου τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε εποξειδική ρητίνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.6 vi

42 A.3 Μετρήσ εις ζωνών σ υχνοτήτων που υπολογίσ τηκαν σ τα πλάισ ια της παρούσ ας διπλωματικής Εικόνα A.7.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους μολύβδου τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε εποξειδική ρητίνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.7 Εικόνα A.8.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους μολύβδου τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε εποξειδική ρητίνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.8 vii

43 Κεφάλαιο A Παράρτημα Εικόνα A.9.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους μολύβδου τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε εποξειδική ρητίνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.9 Εικόνα A.10.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους μολύβδου τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε εποξειδική ρητίνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 1 viii

44 A.3 Μετρήσ εις ζωνών σ υχνοτήτων που υπολογίσ τηκαν σ τα πλάισ ια της παρούσ ας διπλωματικής Εικόνα A.11.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους ατσ αλιού τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε σ ιλικόνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.1 Εικόνα A.12.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους ατσ αλιού τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε σ ιλικόνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.2 ix

45 Κεφάλαιο A Παράρτημα Εικόνα A.13.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους ατσ αλιού τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε σ ιλικόνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.3 Εικόνα A.14.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους ατσ αλιού τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε σ ιλικόνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.4 x

46 A.3 Μετρήσ εις ζωνών σ υχνοτήτων που υπολογίσ τηκαν σ τα πλάισ ια της παρούσ ας διπλωματικής Εικόνα A.15.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους ατσ αλιού τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε σ ιλικόνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.5 Εικόνα A.16.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους ατσ αλιού τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε σ ιλικόνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.6 xi

47 Κεφάλαιο A Παράρτημα Εικόνα A.17.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους ατσ αλιού τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε σ ιλικόνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.7 Εικόνα A.18.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους ατσ αλιού τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε σ ιλικόνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.8 xii

48 A.3 Μετρήσ εις ζωνών σ υχνοτήτων που υπολογίσ τηκαν σ τα πλάισ ια της παρούσ ας διπλωματικής Εικόνα A.19.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους ατσ αλιού τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε σ ιλικόνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 0.9 Εικόνα A.20.: Δομή των ζωνών σ υχνοτήτων και αντίσ τοιχη πυκνότητα κατασ τάσ εων (DOS) για ένα τετραγωνικό πλέγμα από ράβδους ατσ αλιού τετραγωνικής διατομής, εμβαπτισ μένες σ ε σ ιλικόνη, με ποσ οσ τό κάλυψης επιφάνειας f = 1 xiii

49

50 Βιβλιογραφία [1] Charles Kittel. Introduction to Solid State Physics - 7th edition. John Wiley & Sons, [2] M. M. Sigalas and E. N. Economou. Elastic and acoustic wave band structure. J. of Sound and Vibrations158, , [3] Abdelkrim Khelif and Ali Adibi. Phononic Crystals, Fundamentals and Applications. Springer, [4] Martin Maldovan. Sound and heat revolutions in phononics. Nature12608, doi: , [5] Tsung-Tsong Wu, Zi-Gui Huang, and S. Lin. Surface and bulk acoustic waves in two-dimensional phononic crystal consisting of materials with general anisotropy. Phys.Review B, 69, , [6] M. S. Kushwaha, P. Halevi, and G. Martinez. Theory of acoustic band structure of periodic elastic composites. Phys. Rev.B, Volume 49, number 4, [7] Yukihiro Tanaka and Shin ichiro Tamura. Surface acoustic waves in twodimensional periodic elastic structures. Phys. Rev.B, Volume 58, number 12, [8] Zhilin Hou, Xiujun Fu, and Youyan Liu. Acoustic wave in a two-dimensional composite medium with anisotropic inclusions. Phys. Letters A, 317, , [9] Mohammadhosein Ghasemi Baboly, Yasser Soliman, Mehmet F. Su, Charles M.Reinke, Zayd C. Leseman, and Ihab El-Kady. Enhanced plane wave expansion analysis for the band structure of bulk modes in two - dimensional high - contrast solid - solid phononic crystals. Photonics and Nanostructures - Fundamentals and Applications12, , [10] Yan Pennec, Jérôme O. Vasseur, Bahram Djafari Rouhani, Leonard Dobrzynski, and Pierre A. Deymier. Two - dimensional phononic crystals: Examples and applications. Surface Science Reports, 65, , [11] Chao Wang. Numerical calculation of density of states and band structure. Master s thesis, University of California, Santa Cruz, [12] Efthimios Kaxiras. Atomic and Electronic Structure of Solids. Cambridge University Press, 2003.