ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση."

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΖΥΓΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ [Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού - Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Μιγαδικών του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν ΘΕΜΑ Β x (x 5x + ) i = 6 + 7i. Πρέπει x + 5= 6 () και Από την () έχουμε x 5x + = 7 (). x =, οπότε η () γίνεται 5x + = 7 x =

2 Άσκηση. Να βρείτε τους x, y R ώστε να ισχύουν οι ισότητες: i) x 3+ 4yi = 3 + (y 8)i ii) 4x + 3y + + (5x + y + )i = x + y + (3x + y + 7)i i) Πρέπει: x 3 = 3 x= 6 4y = y 8 y = 8 x = 3 και y = 4 ii) Πρέπει: 4 x+ 3 y+ = x+ y 3 x+ y = 3 ( ) 5x+ y+ = 3x+ y+ 7 x y = 5 ( ) (): y = x 5 (3) Άρα από (), (3) έχουμε : 3x+ (x 5) = 3 3x+ 4x 0= 3 7x= 7 x = Από (3): y = 5 y = 3

3 Άσκηση 3. Να βρείτε τους αριθμούς α, β R έτσι ώστε οι μιγαδικοί: z =α+β i και z + 8i 5 + 3i = + 3i 3i να είναι ίσοι. Φέρνουμε πρώτα τον z στη μορφή γ+δ i : + 8i + 3i 5 + 3i i z = + = 3i + 3i 3i i i + 6i 4 5i + 3i + = (3i) 3 i 5i 3 + 5i + = i 4i 4i 4i 0i 3 + = + = = + z = z α+β i = + 0i α= και β= 0

4 Άσκηση 4. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς αβ, έτσι ώστε να ισχύει ( α+β i) = (4 3i) i. α β = ( α + β i) = (4 3i) i ( α β ) + αβ i = 3+ 4i αβ = 3 () () Από τη () προκύπτει α 0, β 0 και α, β ομόσημοι. Από τη () έχουμε β= α (3) Αντικαθιστούμε στη () και παίρνουμε την εξίσωση α = 3 α 4= 3α α 3α 4= 0 α (4) Θέτουμε α = t > 0 και η (4) γίνεται: t 3t 4 = 0 t = 4 ή t = (απορρίπτεται) Επομένως α = 4 α= ή α= Για α= από την (3) έχουμε β= Για α= από την (3) έχουμε β=

5 Άσκηση 5. Να κάνετε τις πράξεις: i) ( 3 i)( 4 5i) + 3i ii) 8 + 3i 3i + 4 iii) 3 i iv) 3+ i i(6 3i) + i Οι μιγαδικοί είναι: i) ( 3 i)( 4 5i) + 3i = 5i 8i 0 + 3i = 0i, ii) 8 + 3i 8 + 3i 4 3i 3 4i + i i 4 = = = = i i ( ) 3i 4 4 3i 4 3i iii) iv) i i i i i = + = = i 3+ i+ i i(6 3i) + = i = i i + i 3 + 3i + i + 4i 6 + i + = 6 + i + = i 6 + i + + i = 7 + 4i

6 Άσκηση 6. Να γράψετε τον αριθμό 4 3i + i z = i i στη μορφή α+βi, α, β R. 4 3i + i 4 3i 3 4i + i + i z = + = + = 3 + 4i i 3 + 4i 3 4i i + i 6i 9i + 4i + i 5i 5i + = + = + i i = 0 = 0 + 0i 3 4i i 5 5 ( ) ( )

7 Άσκηση 7. Να βρείτε τα x, y R ώστε οι μιγαδικοί: ( ) συζυγείς. z = x + 3x + y i και z = y 9i να είναι Πρέπει x = y x y = ( xy, ) = (, 3) 3x+ y = 9 3x+ y = 9

8 Άσκηση 8. Να αποδείξετε ότι ο z z w = είναι φανταστικός z z Επειδή z = z z, ο w είναι φανταστικός ως διαφορά δύο συζυγών μιγαδικών. z

9 Άσκηση 9. 4 Για τους μιγαδικούς z και w ισχύει w = z,z 0. Να αποδείξετε ότι ο w είναι z φανταστικός αν και μόνο αν z z = 4 ή z φανταστικός. O w είναι φανταστικός αν και μόνο αν 4 4 w = w z = z z z 4 4 z = z+ z z z z z 4z = z z z+ 4z z z z+ z z z 4z 4z = 0 z z( z+ z) 4( z+ z) = 0 ( z + z ) ( z z 4) = 0 z z 4 = 0 ή z+ z = 0 z z = 4 ή z= z

10 Άσκηση 0. Αν z C, να δείξετε ότι ο z z w = είναι φανταστικός αριθμός. + z z Αρκεί να δείξουμε ότι w = w z z z z z z w = = = = w + z z + z z + z z Άρα ο w είναι φανταστικός

11 Άσκηση. Να αποδείξετε ότι: ν ν+ ν+ ν+ 3 i i i i 0, = ν N ν ν+ ν+ ν+ 3 i + i + i + i = ν ν ν ν 3 i + i i + i i + i i = 3 ( ) ν i + i+ i + i = ( ) ν ν i + i i = i 0 = 0

12 Άσκηση. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων i) ( + i) 600 ii) ( i) i) ( i) ( i) ( i) + = + = = i = i = ii) ( i) ( i ) ( i) = = 30 ( i ) ( i) = ( ) ( ) ( ) i i = i ( i) = ( ) = ( ) 30 i i 30 i

13 Άσκηση 3. Να γράψετε τον i + i z = i i στη μορφή α+βi, α, β R. 3i 3i 3 i 6 4i 9i 6 3i = = = = i 3 + i 3 + i 3 i i + i + i + 4i + i 5i = = = = i i i + i Επομένως ( ) ( ) ( ) z = i + i = i + i = i + i = i i = i = 0 i

14 Άσκηση 4. Να λύσετε την εξίσωση: 3z + 4i = z i + 6i 3z + 4i = z i + 6i 3z i z = 6i 4i + + i 3 i z = + i z = 3 i ( ) + i 3 + i 6 + i + 6i z = z= 3 i 3+ i 3 i 4 + 8i 4 8 z= z= + i z= + i 5 5

15 Άσκηση 5. Να λύσετε την εξίσωση: 3z 4 ( z + 5 ) i = iz 3z 4 ( z + 5) i = iz 3z 4 zi 5i = iz 3z zi zi = 4 + 5i 3z 4zi = 4 + 5i 4 + 5i 3 4i z = 4 + 5i z = 3 4i ( ) 4 + 5i 3+ 4i + 6i + 5i 0 z = z= = ( ) 3 4i 3 + 4i 3 4i 8 + 3i 8 + 3i = Άρα 8 3 z = + i 5 5

16 Άσκηση 6. Να λύσετε στο C τις εξισώσεις: i) ii) z z + 5 = 0 z + = 0 iii) z+ = z i) Βρίσκουμε την διακρίνουσα: = ( ) 4 5 = 4 0 = 6 < 0 Άρα η εξίσωση θα έχει ρίζες τους: ± i 6 ± 4i z, = = = ± i Δηλαδή z = + i και z = i Α' τρόπος: ii) z + = 0 = 0 4 = 4 0 ± i 4 ± i Άρα z, = = = ± i Β' τρόπος: ( )( ) z 0 z i 0 z i z i 0 + = = + = z i= 0 ή z+ i= 0 z= i ή z= i iii) + = + = + + = z z 0 z z z z z 0 = 4 = 4 8 = 4 ± i 4 ± i Άρα z, = = = ± i Άρα z = + i και z= i

17 Άσκηση 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ii) 3 z + = 0 3 z z + z = i) z + = 0 z + = 0 z+ z z+ = 0 z+ = 0 ή ( )( ) Έχουμε: z+ = 0 z= ± i 3 z z+ = 0 z, = z z+ = 0. Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί, + i 3 και i 3. z z + z = 0 z z + z = 0 3 ii) ( ) ( ) ( )( ) + = + = ή z = 0 z z 0 z 0 z= ή z = z= ή z= i ή z= i Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί, i και i

18 Άσκηση 8. Να λύσετε την εξίσωση: z + z = 0 Έστω z = x + yi, x, y R Τότε έχουμε: ( ) ( ) x + yi + x yi = 0 x y + xyi + x yi = 0 ( ) ( ) x y + x + xy y i= 0 x y + x = 0 () και xy y = 0 () () y( x ) = 0 y = 0 ή x = Η () για y= 0 γίνεται: x + x = 0 = 4 ( ) = + 8 = 9 ± 3 Άρα x, =.Δηλαδή x = ή x = Επομένως z = + 0i = και z = + 0i = Η () για x = γίνεται: 4 3 y + = 0 y = 0 4 4y 6 = 0 y =. Αδύνατη. 4 Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι z = και z = 5

19 Άσκηση 9. x 5x 6 + x 0x + 9 i = 3 + 3i Να βρείτε το x R όταν: ( ) Πρέπει: x 5x 6 0, και από το πρόσημο του τριωνύμου: προκύπτει x ή x 6 Επίσης πρέπει: x 5x 6 = 8 + = x 0x + 6 = 0 x 5x 6 = 3 x 0x 9 3 = x = 8 ή x = 3 + = x = 8 ή x = x 5x 4 0 x 0x 6 0 Άρα x = 8

20 Άσκηση 0. Να βρείτε το λ R ώστε ο αριθμός λ+ 3i z = να είναι πραγματικός. λ λ i ( ) Πρέπει: λ ( λ i ) 0. Αν ( i ) 0 λ λ = τότε λ= 0 και λ= αδύνατο. Άρα ο z ορίζεται για κάθε λ R. Έχουμε ( ) ( ) λ+ 3i λ+ λ+ λ z = = = λ ( λ )i λ + λ λ + ( λ ) ( ) ( ) ( ) ( 3i) i λ +λ( λ )i + 3λi 3 λ λ 3λ+ 4 + λ +λ i λ 3λ+ 4 λ+λ = = + i λ + λ λ + λ λ + λ ( ) ( ) ( ) Για να είναι ο z πραγματικός πρέπει Im(z) = 0, δηλαδή ( ) λ +λ= 0 λ λ+ = 0 λ= 0 ή λ= λ +λ= 0. Είναι

21 Άσκηση. Να αποδείξετε ότι για κάθε i + i + i + i = i i i i * ν N ισχύει: 3 ν 3 ν+ 3 ν+ 3 ν+ 3 3ν 3ν+ 3ν+ 3ν+ 3 Κάνοντας πράξεις στο ο μέλος, έχουμε: 3ν 3ν+ 3ν+ 3ν+ 3 i + i + i + i = 3ν 3ν 3ν 3ν 3 i + i i + i i + i i = 3ν 3 i ( i i i ) = 3ν 3ν i (+ i i) = i 0 = 0 Ομοίως για το ο μέλος, ισχύει: = 3ν 3ν+ 3ν+ 3ν+ 3 i i i i = 3ν 3ν 3ν 3ν 3 i i i i i i i 3ν = i i i i 0 0 3ν + = = 3ν i i i i Άρα ισχύει η δοθείσα σχέση.

22 Άσκηση. Αν z C, λ R και λ+ z Im = 0, όπου z λ z λ, να δείξετε ότι ο z είναι πραγματικός. λ+ z λ+ z λ+ z λ+ z λ+ z λ+ z Im = 0 R = = λ z λ z λ z λ z λ z λ z ( λ+ z) ( λ z) = ( λ+ z) ( λ z) λ λ z + λz 4zz =λ λ z + λz 4zz λ 0 4λ z= 4λz z= z z R

23 Άσκηση 3. Δίνεται το πολυώνυμο Να βρείτε το P(i) P(x) = x 4 x + x x P(i) = i 4 i + i i Κάνοντας τις ευκλείδειες διαιρέσεις των εκθετών με το 4, προκύπτουν: 003 = = = = Άρα 3 0 P(i) = i 4 i + i i = i i = 3 Άρα P(i) = 3

24 Άσκηση 4. Να βρείτε τους x, y R ώστε να ισχύουν οι ισότητες: i) x (3 + 6xi) = y( + 4i) 6i ii) x (x y) + (x y)i = 3 y i i) x (3 + 6xi) = y( + 4i) 6i 3x + 6x i = y + 4yi 6i 3x + 6x i = y + (y 3)i Άρα θα πρέπει: 3x = y y = 3x y = 3x y = 3x 6x = (y 3) 3x = y 3 3x = 3x 3 3x 6x + 3 = 0 y= 3x y= 3x y= 3x y= 3 x x+ = 0 (x ) = 0 x = x = Άρα (x, y) = (,3) ii) x (x y) + (x y)i = 3 y i x xy + (x y)i = 3 y i Άρα πρέπει: x y= x = y x = y x xy = 3 y x xy+ y = 3 (y ) + y (y )y = 3 x = y x = y y y+ + y y + y= 3 y y = 0 y= ή x = y y= x = y y= x = ή y = x = Άρα (x, y) = (, ) ή (x, y) = (, ).

25 Άσκηση 5. Να βρείτε τα x, y R έτσι ώστε ο z = ( i)(x + y) (3 + i)(x y) + 6 να είναι ίσος με το μηδέν. z = 0 ( i)(x + y) (3 + i)(x y) + 6 = 0 x + y xi yi 3x + 6y xi + 4yi + 6 = 0 ( x + 7y + 6) + ( 4x + y) i = 0 Επομένως x 7y 6 0 x 7y 6 ( ) 4x 4y ( + ) + + = + = = 4x + y = 0 4x + y = 0 4x + y = 0 y = y = y = 4x + y = 0 4x + ( ) = 0 4x = 0 y= y= 4x = x =

26 Άσκηση 6. Να κάνετε τις πράξεις: i) ( + i) (i + i) (3 + i ) (3 i ) ( + i) ( i) ( + i) ( i) ii) [ ] i) ( + i) (i + i) (3 + i ) (3 i ) = ( + i) ( + i) (3 ) (3 + ) = (i ) 4 = 8 ( ) = 6 ( + i) ( i) ( + i) ( i) = ii) [ ] ( + 4i + i ) ( i + i ) ( i + i i ) = (4 + 4i ) ( i ) ( i + i + ) = (3 + 4i) ( i) (3 + i) = 6i 8i 3 i 3 i = 6i i = i.

27 Άσκηση 7. Να αποδείξετε ότι ν ν α+ i i α + = ( ) α i +αi ν Μετατρέπουμε τα κλάσματα: ( α + ) α+ i α+ i +αi α+α i + i α α i + i i = = = = = i αi α i +α i +α +α +α ( +α ) i α i α α i i +α α+α i i +α i i = = = = = i +α i +αi α i +α +α +α Άρα: ν ν α+ i i α ν + = + = ( ) + ( ) = α i +αi ν ν ν ν i i ( )

28 Άσκηση 8. Δίνονται οι μιγαδικοί z,z με z z = z z = 4. Να δείξετε ότι ο z z w = z z 3 είναι φανταστικός. 4 4 Αρκεί να δείξουμε ότι w = w. Επειδή z, z 0, z = και z =, έχουμε z z w z z 3 z z z z z z = = = = = z z z z z z z z z z z z z z z z = w 4 4 = = = z z z z z z z z Άρα o w είναι φανταστικός.

29 Άσκηση 9. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τις σχέσεις: i) Re(z) = 5 ii) Im(z) = 3 iii) Re(z) = Im(z) i) Re(z) = 5 άρα z = 5 + yi. Επομένως οι εικόνες του z είναι τα σημεία M(5, y), δηλαδή σημεία της ευθείας x = 5 που είναι στον x'x ii) Im(z) = 3 άρα z = x 3i. Επομένως οι εικόνες του z είναι τα σημεία M(x, 3), δηλαδή σημεία της ευθείας y= 3 που είναι στον x'x iii) Re(z) = Im(z) άρα z = x xi. Επομένως οι εικόνες του z είναι τα σημεία M(x, x) δηλαδή σημεία της ευθείας y= x που είναι η διχοτόμος της ης και 4 ης γωνίας των αξόνων.

30 Άσκηση 30. Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις να εκτελέσετε τις πράξεις: i) (4 3i) + ( 6 + i) ii) ( 3i) (4 i) iii) ( 3i) (3 + 4i) iv) i (4 i) v) i ( + i) (3 i) vi) (3 4i) (3 + 4i) vii) ( i) (+ i) i) (4 3i) + ( 6+ i) = 4 3i 6+ i= i ii) ( 3i) (4 i) = 3i 4+ i= i iii) iv) v) vi) vii) ( 3i) (3 + 4i) = 6 + 8i 9i i = 6 i + = 8 i i (4 i) = 4i + i = 4i = 4i i ( + i) (3 i) = (i )(3 i) = 6i i 3 + i = 6i i = + 7i (3 4i) (3 + 4i) = 3 (4i) = 3 4 i = = 5 ( i) (+ i) = i = + =

31 Άσκηση 3. Να λύσετε την εξίσωση: z z + 3iz 3i 5 = 0 Έστω z = x + yi, x, y R Τότε η εξίσωση γίνεται: ( x + yi)( x yi) + 3i ( x + yi) 3i 5 = 0 x + y + 3xi 3y 3i 5 = 0 ( ) ( ) x + y 3y x i = 0 Άρα x = 0 x = x = x + y 3y 5 = 0 x + y 3y 5 = 0 + y 3y 5 = 0 x = y 3y 4 = 0 y= x = ή y = 4 x = Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι μιγαδικοί: z= i και z = + 4i.

32 Άσκηση 3. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων i) ii) (+ i) 3 ( i) i) ii) ( + i) = + i + i = + i = i ( i) = 3 i + 3 i i = 8 i 6 + i = i

33 Άσκηση 33. λ α β R και ισχύει: ( i) ( i) ( i ii ) ( i)( i) Αν,, ότι: α = 3β α+β + α β λ= +λ + α+β α β, να αποδείξετε α β + αβ i+α β αβi λ= λ+α +β α 3β = α = 3β α β λ=α +β λ

34 Άσκηση 34. Δίνεται ο μιγαδικός z = ( 3 + i) x + ( y ) i 4, x, y R. Αν Re( z) Im ( z) x = y+ = να αποδείξετε ότι: z = 3x + xi + yi i 4 z = ( 3x 4) + ( x + y ) i Επομένως Re( z) = 3x 4 και Im ( z) = x + y. Οπότε από την συνθήκη Re( z) Im ( z) 3x 4 = x + y x = y + = έχουμε:

35 Άσκηση 35. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς αβγ,, ώστε οι μιγαδικοί z= α + β + αβ i και w = γ+ +γ i να είναι ίσοι. ( ) ( ) z= w α + β + αβ i= γ + + γ i α+β= γ γ= α β γ = α β αβ = + γ αβ = + γ αβ = + ( α β) { { { γ = α β { { γ = α β ( ) ( ) αβ = + + α + β α β + αβ α + β = 0 γ= α β γ= α = και β = α = και β = { {

36 Άσκηση 36. Έστω z = x + yi με x, y R και y 0 x< 0 >. Αν ισχύει Re ( z + ) zi > Im ( z) να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( ) z + zi = x + + yi x + yi i = ( ) ( ) ( ) ( ) x+ + yi xi y = x x+ i y x+ + xyi y i= x i + xi xy y xy y i = ( ) + ( + ) xy y x x y i Οπότε από την συνθήκη έχουμε: xy y > y xy > 0 xy < 0 xy < 0 και επειδή y> 0 έπεται ότι x< 0

37 Άσκηση 37. Αν * z C και Re(z) > 0 να αποδείξετε ότι Re > 0 z Έστω z = x + yi, x, y R με x > 0. x yi x yi x y = = = = i z x + yi x + yi x yi x + y x + y x + y Έχουμε x Re = 0 > z x + y διότι x + y > 0 για κάθε x, y R και x > 0 από την υπόθεση.

38 Άσκηση 38. Αν z C με Re( z ) < Re( z + ) να αποδείξετε ότι x< 3 Έστω z = x + yi με x, y R. Τότε έχουμε: z = ( x yi) = ( x ) yi z + = x + yi + = ( x + ) + yi και από την δοσμένη συνθήκη ισχύει x < x + x < 3

39 Άσκηση 39. Να λύσετε την εξίσωση 3 z + z + 0 = 0 z + z + 0 = 0 z + z z + 5 = 0 3 Από το σχήμα Horner έχουμε ( )( ) άρα z= ή z z + 5 = 0 και = ( ) 4 5 = 4 0 = 6 ± i 6 ± 4i Άρα z, = = = ± i. Επομένως οι λύσεις της εξίσωσης είναι, + i, i.

40 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Αν α, β R και ( ) ( ) * ν N, να αποδείξετε ότι: 4ν+ 4ν+ α+β i + β α i = 0 Α' Τρόπος: 4 4 ν+ ν+ ν+ ν+ ( i) ( i) ( i) ( i) α+β + β α = α+β + β α = ( ) ν+ [ ] ν+ α β + αβ i + β α αβ i = ν+ ( i) [ ( i) ] ν+ α β + αβ + α β + αβ = ν+ ( i) ( ) ( i) ν+ ν+ α β + αβ + α β + αβ = ( ) ( ) α β + αβi α β + αβ i = 0 Διότι ( ) ν+ Β' Τρόπος: = επειδή ο ν+ είναι περιττός. ( i) ( i) 4 ν+ 4 ν+ α+β + β α = ( ) 4 ν+ i ( i ) ( i) 4 ν+ α+β + α+β = ( i ) ( i) 4ν+ 4ν+ α+β + = ν+ ν ( i ) ( i ) ( i) 4 4 α+β + = 4ν+ ( ) ( ) α+βi = 0 Γ Τρόπος: Αν β α i= 0, τότε α=β= 0 και ισχύει Αν β αi 0, τότε έχουμε:

41 ( α+β i) + ( β α i) = 0 ( α+β i) = ( β αi) 4ν+ 4ν+ 4ν+ 4ν+ 4 ν+ ( )( ) 4 ν+ α+βi β+αi α+βi = = β αi β +α ( ) 4 ν+ α +β 4 ν+ αβ + α i+ β i αβ i = = α +β α +β 4ν+ i = i = που ισχύει.

42 Άσκηση. Να βρείτε τη μορφή των θετικών ακέραιων ν για τους οποίους ισχύει: ν ( ) ( ) + i + i = 0. ν ( + i) + ( i) = 0 ( + i) = ( i) ν ν ν ν ν ( + i)( + i) + i = = i 5 ν + i + 4i 5i ν = = i = 5 5 Άραν= 4κ+, κ Ν. ν ν

43 Άσκηση 3. Δίνεται ο μιγαδικός z ( ) i, [ 0, ] =ηµϑ + συνϑ+ ϑ π. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες M(z) ανήκουν σε κύκλο για τον οποίον να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα. Έστω z = x + yi x, y R Τότε: x = ηµϑ ηµϑ = x+ x + yi =ηµϑ + ( συνϑ+ ) i y= συνϑ + συνϑ = y Όμως ηµ θ + συν θ =. Επομένως (x + ) + (y ) =. Άρα οι εικόνες M(z) ανήκουν σε κύκλο με κέντρο K(, ) και ακτίνα ρ=.

44 Άσκηση 4. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z για τους οποίους ισχύει: i) ii) Re z + = 0Re(z). z Im z + + 5Im(z) = 0. z Πρέπει z 0, δηλαδή αν z = x + yi, x, y R, τότε πρέπει x 0 ή y 0 z + = x + yi + = z x + yi x yi x + yi + = x + yi x yi x yi x + yi + = x + y x y x + + y i x + y x + y Επομένως z + = x + y i +, z x + y x + y που σημαίνει ότι Re z + = x + και Im z + = y z x + y z x + y i) Re z + = 0Re(z) z x + 0 x = x + y 0x x + 0 = x + y x 0 0 = x + y x 9 0 x 0 = = x + y ( ) + y ή 9= ( x = 0) x ή x + y = = 9 3

45 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z αποτελείται από τον άξονα y y, χωρίς το σημείο O(0,0) και τον κύκλο με κέντρο O(0,0) και ακτίνα ρ=. 3 ii) y 5y 0 + = x + y y = x + y y 6 0 = x + y Άρα y= 0 ή 6 0 x + y = y= 0 ή 6 x + y = y= 0 ή x + y = 6 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z αποτελείται από τον άξονα χ χ, εκτός του 6 σημείου Ο (0, 0) και τον κύκλο με κέντρο O(0,0) και ακτίνα ρ= 6 = 6.

46 Άσκηση 5. Αν ο αριθμός κύκλο. z i w = είναι φανταστικός να δείξετε ότι οι εικόνες M(z) βρίσκονται σε z+ Πρέπει z+ 0 z. z i z + i w I w = w = ( z i)( z + ) = ( z i)( z + ) z+ z+ z z + z zi 4i = z z z zi 4i zz + z + z + zi zi = 0 z z+ z+ z+ ( z z) i= 0 (Θέτουμε z = x + yi ) ( x + yi)( x yi) + x + yi i = 0 x + y + x y = 0 ( ) ( ) x+ + y =. Άρα οι εικόνες του z βρίσκονται στον κύκλο με κέντρο το K (,) και ακτίνα ρ= εκτός του σημείου A (,0).

47 Άσκηση 6. Αν οι εικόνες των μιγαδικών z στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία :y= x 3 να βρείτε που βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών w = iz + ( i) z + 3. Έστω z = x + yi με y= x 3. Τότε z = x + (x 3)i w= i x + x 3i + i x x 3i + 3 Επομένως ( ) ( ) ( ) = xi (x 3) + x (x 3)i xi (x 3) + 3 = xi x + + x xi + 6x xi x = ( x) + ( 6 x) i Αν λοιπόν είναι w = u + vi, τότε έχουμε: u = x v = 6 x και με απαλοιφή του χ προκύπτει u v= 6 v= u 6 Άρα οι εικόνες του w βρίσκονται στην ευθεία δ :y= x 6

48 Άσκηση 7. Να λύσετε την εξίσωση: zz + z z + = 4 6i Αν z = x + yi με x,y R η εξίσωση γίνεται: (x yi)(x + yi) + x + yi (x yi) + = 4 6i x + y + x + yi x + yi + = 4 6i x + y + yi = 3 6i Άρα: x + y = 3 x + y = 3 x + ( 3) = 3 x = 4 x = y= 6 y= 3 y= 3 y= 3 y= 3 ή x = y= 3. Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί: z = 3i, z = 3i

49 Άσκηση 8. Να βρείτε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z στις περιπτώσεις κατά τις οποίες ο αριθμός z 3 w = είναι: z + 4i i) φανταστικός ii) πραγματικός Αν z = x + yi, με x,y R, τότε ο w γίνεται: x 3 + yi (x 3) + yi x (y + 4)i x(x 3) (x 3)(y + 4)i + xyi y(y + 4)i w = = = = x + (y+ 4)i x + (y+ 4)i x (y+ 4)i x + (y+ 4) x 3x y 4y xy xy 4x 3y x 3x y 4y 4x 3y i= x + (y + 4) x + (y + 4) x + (y + 4) x + (y + 4) Επομένως: i i) Ο w είναι φανταστικός αν και μόνο αν x 3x + y + 4y Re(w) = 0 = 0 x + (y + 4) Δηλαδή αν και μόνο αν x 3x + y + 4y = 0 () και x + (y + 4) 0 Η εξίσωση () με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου μετασχηματίζεται στην 3 5 x + ( y+ ) = και (x, y) (0, 4) Άρα το σύνολο των εικόνων του z είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο το 5 ακτίνα ρ= με εξαίρεση το σημείο A(0, 4). 4x + 3y + ii) w R Im(w) = 0 = 0 και x + (y + 4) x + (y + 4) 0 3 K, και Δηλαδή 4x + 3y + = 0 και (x, y) (0, 4) Άρα το σύνολο των εικόνων του z ειναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση 4x + 3y + = 0 με εξαίρεση το σημείο A(0, 4).

50 Άσκηση 9. Δίνεται η εξίσωση i) Να λύσετε την εξίσωση. z + z συνϑ + = 0, ϑ [0, π) ii) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης ανήκουν στο μοναδιαίο κύκλο. i) Βρίσκουμε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης = β 4 αγ = ( συνϑ) 4 = 4συν ϑ 4 = 4( συν ϑ ) = 4ηµ ϑ 0 Διότι ηµ ϑ + συν ϑ = Άρα z, συνϑ ± i 4ηµ ϑ συνϑ ± i ηµϑ συνϑ + i ηµϑ = = = συνϑ i ηµϑ όπου ϑ [ 0, π) Επομένως z = συνϑ + ηµϑ i ή z = συνϑ ηµϑ i ii) Για z = x + yi, x, y R έχουμε: x + yi = συνϑ + ηµϑ i, Άρα x = συνϑ x = συν ϑ y = ηµϑ y = ηµ ϑ ( + ) + = x y Δηλαδή η εικόνα του z = συνϑ + ηµϑ i ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο. Ομοίως x + yi = συνϑ ηµϑ i, Άρα x = συνϑ x = συν ϑ y = ηµϑ y = ηµ ϑ ( + ) + = x y Δηλαδή και η εικόνα του z = συνϑ ηµϑ i ανήκει στον μοναδιαίο κύκλο.

51 Άσκηση 0. Να αναλύσετε το μιγαδικό z = 5 + 3i σε άθροισμα δύο μιγαδικών z και z που οι εικόνες τους βρίσκονται στις ευθείες :y= x+, :y= x αντίστοιχα. Έστω z =α+β i και z =γ+δ i Επειδή οι εικόνες των z,z ανήκουν στις, αντίστοιχα θα ισχύουν: β=α+ και δ= γ Άρα z =α+ ( α+ )i και z =γ+ (γ )i Επίσης θα ισχύει z= z+ z 5 + 3i =α+ ( α+ ) i +γ+ (γ ) i 5 + 3i = ( α+γ ) + ( α+ γ ) i Άρα: α+γ= 5 α= 5 γ α= 5 γ α= 5 γ α= 7 α+ γ= 3 α+ γ= 3 5 γ+ γ= 3 γ= γ= Επομένως οι δύο μιγαδικοί είναι οι z = 7 + 8i και z = 5i

52 Άσκηση. Να γράψετε το μιγαδικό z = + 6i ως διαφορά δύο μιγαδικών z και z των οποίων οι εικόνες βρίσκονται στις ευθείες :y= x 3, :y= x αντίστοιχα. Έστω z =α+β i και z =γ+δ i Επειδή οι εικόνες των z,z ανήκουν στις, αντίστοιχα θα ισχύουν: β=α 3 και δ = γ Άρα ο z ( ) =α+ α 3iκαι z Επίσης θα ισχύει z= z z =γ γ i + 6i =α+ ( α 3) i ( γ γi) + 6i =α+ ( α 3) i γ+γi + 6i = ( α γ ) + ( α+γ 3) i Άρα: α γ= ( + ) α γ= α= 0 α= 5 α+γ 3= 6 α+γ= 9 α+γ= 9 γ= 4 Άρα οι δύο μιγαδικοί είναι οι z = 5 + i, z = 4 4i.

53 Άσκηση. Να αποδείξετε ότι η τιμή της παράστασης ν ν + i i A = + i + i είναι ίση με ( ) ν. Φέρνουμε τα δύο κλάσματα στη μορφή z = x + yi, δηλαδή + i + i + i + 4i + i 5i = = = = i i i + i + 5 και i i i i + + 4i 5i = = = = i + i + i i + 5 Άρα η παράσταση Α θα είναι ίση με: ( ) ( ) ( ) ( ) ν ν A i i i ν i ν ν ν ν ( ) = + = + = + =

54 Άσκηση 3. Αν z, w C και ισχύει: z + w = 0 να αποδείξετε ότι: 4λ+ 4λ+ z w 0, + = λ N ( ) ( ) 4λ+ 4λ+ 4λ+ λ+ 4λ+ λ+ z + w = z + w = z + z ( ) λ+ = = = 4λ+ 4λ+ 4λ+ z z z z 0

55 Άσκηση 4. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z αν οι εικόνες των μιγαδικών, iz, z είναι σημεία συνευθειακά. Έστω z = x + yi, x, y R iz = i ( x + yi) = y + xi που έχει εικόνα το σημείο A( y, x) ( ) ( ) z x yi x y xyi x y xyi = + = + = + που έχει εικόνα το σημείο B( x y, xy) +. Τέλος η εικόνα του αριθμού είναι το σημείο Γ (, 0). Επίσης A ( y, x ), B ( x y, xy) Γ= + Γ=. y+ x A, B, Γ συνευθειακά, επομένως A Γ BΓ = 0 x y xy ( )( ) ( ) y + xy + x x y = 0 3 xy + xy + x xy = 0 ( ) x y + y+ x y = 0 ( ) x x + y + y = 0 ( x 0) = ή ( x y y 0) ( x 0) x+ y+ =. + + = = ή ( ) Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία x = 0 και ο κύκλος x + (y + ) =.

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών: z = 3 4i (6+ 8i) α) ( ) z = 3+ i β) ( ) γ) z 3 5 i = + i z = 3 4i 6+ 8i = 3 4i 6+ 8i = α) Έχουμε ( )( ) ( ) = 5 00 = 5 0 = 50. β) Έχουμε ( ) ( ) γ) Έχουμε z = 3+ i = 3+ i = 3 + = 4. z 3 5 i 5 i = = = i + + i ( 5) + ( ) 5 i 9 = =. + i + 5 ( )

57 Άσκηση. Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών: α) β) z z = ( + i) ( 3 i) ( 4 3i) 3 = i 00 α) Έχουμε z ( + i ) 3 ( i) ( ) ( ) ( ) ( ) + i 3 i + i 3 i = = = = 4 3i 4 3i 4 3i ( ) + i 3 i = =. 4 3i ( ) β) Έχουμε z = i i = = + = = =

58 Άσκηση 3. Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών: α) β) 00 α i z =, α R α+ i αi α z =, α R 9 +α α) Έχουμε z α i α i α+ i = = = = α+ i i α+ α+ i 00 =. β) Έχουμε ( ) ( ) z 0 ( 3+αi) ( ) αi α = = = 9 +α 9 +α 0 ( ) ( ) α i 9 +α = = α 9+α

59 Άσκηση 4. Δίνεται z = z +, όπου z z x yi, x, y * = + R. Να δείξετε ότι Re( z ) =. 4 Είναι z = z + 4 z = z + 4z z = z + z + z z z z z z z z = = + + = z z z z z z z z 4zz 4z z 0 z z 0 ( z + z ) = z + z = Re( z ) = Re( z ) =. 4

60 Άσκηση 5. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει 3 z z, > να δείξετε ότι Re( z) 3 <. 4 Είναι ( ) ( ) 3 z > 4 z 3 z 3 z > 4z z 9 6z 6z + 4z z > 4z z z + 6z < 9 ( z + z) < Re( z) < Re( z) < Re( z ) <

61 Άσκηση 6. Αν για τους μιγαδικούς z,w με z z w u = (z w) είναι φανταστικός. w ισχύει z = w =, να δείξετε ότι ο μιγαδικός Ισχύει 4 4 z = z =,w = w =. z w Πρέπει u = u z w z w z w u = = = = ( z w) z w z w w z w z = = u. 0 0 (w z) (z w) Άρα u I.

62 Άσκηση 7. Αν για το μιγαδικό z ισχύει 4 z = 7z, να δείξετε ότι 5 z R. Α' Τρόπος: 4 Έχουμε z = 7z () άρα z = 7 z z = 7 z z = 7 z z ( z 7) = 0 (z = 0 ή 3 3 z = 3 ) (z = 0 ή z = 3). Αν z = 0 τότε z=0 και 9 5 z = 0 R. Αν z = 3 z = 9 z =. z Οπότε η () γίνεται ( ) = 7z = 7z z z = z = = 3 R. 4 3 z z Άρα z R. B' Τρόπος: Αν z= 0, τότε Αν z 0, τότε: 5 z = 0 R ( ) ( ) z = 7 z z z z = 7 z z z = 7 z z = 7 z z = R. 7

63 Άσκηση 8. Να βρείτε τον z C, αν ισχύει: z+ = z και z = 5. Έχουμε z + = z z ( + 0i) = z ( + 0i). Επομένως η εικόνα του z = x + yi ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ με άκρα A(, 0) και B(,0). Άρα ανήκει στην ευθεία x = (). Επειδή z = 5 η εικόνα των z ανήκει και στον κύκλο με εξίσωση x + y = 5 (). Επομένως έχουμε το σύστημα 9 x + y = 5 + y = 5 y = 4 4 x = x = x = Επομένως ( x = και 9 y = ) ή ( x = και 9 y = ) 9 9 Άρα οι ζητούμενοι μιγαδικοί είναι z = + i και z = i

64 Άσκηση 9. Να βρείτε τους μιγαδικούς z = x + yi, με x,y R για τους οποίους ισχύει: α) z i = 4z β) z (z + z)i = 8. α) Έχουμε z i = 4z x + yi i = 4( x yi) x + ( y ) i = 4x 4yi 4x + (y ) = 4x 4yi + = + = 4y= 0 y= 0 4x (y ) 4x 4x 4x Προφανώς πρέπει x 0 και έχουμε ισοδύναμα 4x + = 6x x = x = x = y= 0 y= 0 y 0 = y= 0 Άρα 3 z = + 0i = 6 β) z = x + y,z+ z= x. Άρα z (z + z)i = 8 (x + y ) xi = 8. Θα πρέπει ((x y ) 8 + = και x = 0). x = 0) (x + y = 4 και x = 0) (y = 4 και x = 0) (y =± και Άρα z = ± i. z R Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι z + = i και z = i

65 Άσκηση 0. Να λύσετε την εξίσωση: z + (i + ) + z + = 0, z C. Έστω z = x + yi, με x,y R, τότε x + yi + i + + (x + ) + yi = 0 (x + ) + yi = (x + ) (y + )i ( x y ( x ) ( y ) + ) + = + i ( y = 0 και ( x ) y x ) + + = (y = και ( x ) x ) + + =, από τη δεύτερη ισότητα προκύπτει ότι x > 0 x<, οπότε: (y = και ( x + ) + = x ) (y = και ( ) ( ) (y = και Άρα z = i. x+ + = x ) x x + = x + x + ) (y = και x = < ).

66 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα μέτρα των παρακάτω μιγαδικών : α) z = ( 3 i) ( i) 3 5+ i β) z i = + i 00 z = + i + 3 7i γ) ( ) 3 3 α) z ( ) 3 3 ( ) ( ) ( 3 i) ( i) 3 ( ) 3 i i + + ( ) = = = = 5+ i 5+ i = = = β) i i i z = 00 i = = = + + i + i z = + i + 3 7i = + 3i + 3i + i + 3 7i = + 3i 3 i + 3 7i = 5i. γ) Έχουμε ( ) 3 3 Άρα ( ) 3 3 z = + 5 = 6.

67 Άσκηση. Αν για το μιγαδικό z ισχύει z =, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α= z+ i + iz+. ( ) ( ) ( ) ( ) Α= z + i + iz + = z + i z i + iz + iz + = = zz zi + zi zz + zi zi + 4 = z + 8 = 0.

68 Άσκηση 3. Αν z, να δείξετε ότι: α) z + i = z 3i Im(z) = β) z + = z 4 Re(z) =. α) Α Τρόπος: z + i = z 3i z + i = z 3i ( z + i) ( z i) = ( z 3i) ( z + 3i) z z zi + zi + 4 = z z + 3zi 3zi + 9 ( ) 5zi = 5zi 5 z z i = Im(z) =. Β Τρόπος: Έχουμε z + i = z 3i z ( 0 i) = z ( 0 + 3i). Επομένως η εικόνα M(z) ανήκει στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με άκρα A ( 0, ) και ( ) στην ευθεία + 3 y = =. Άρα Im(z) =. B 0,3. Επομένως ανήκει β) Α Τρόπος: z+ = z 4 z+ = z 4 ( z+ ) ( z+ ) = ( z 4) ( z 4) z z + z + z + 4 = z z 4z 4z + 6 6z+ 6z= z+ z= Re(z) = Re(z) =.

69 Β Τρόπος: Έχουμε z + = z 4 z ( + 0i) = z ( 4 + 0i). Επομένως η εικόνα M(z) ανήκει στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με άκρα A ( 3, 0) και ( ) στην ευθεία + 4 x = =. Άρα Re(z) = B 4,0. Επομένως ανήκει

70 Άσκηση 4. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z, w ισχύει z+ w = z + w, να δείξετε ότι Re(zw) 0. ( ) z+ w = z + w z+ w = z + w ( ) ( ) z+ w z+ w = z + z w + w zz + zw + wz + ww = z + z w + w zw + wz = z w zw + (zw) = z w Re(zw) = z w. Άρα Re(zw) 0.

71 Άσκηση 5. Να δείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός είναι φανταστικός ή z =. w = z με z 0 είναι φανταστικός αν και μόνο αν ο z z Ο w = z είναι φανταστικός αν και μόνο αν z w = w z z z = + z zz z zz z = + zz z zz z 0 + = zz( z+ z) ( z+ z) = 0 ( ) ( ) z + z zz = 0 z = z ή z =. Δηλαδή, ο z είναι φανταστικός ή z =.

72 Άσκηση 6. Να λυθούν στο οι εξισώσεις : α) z i = i z β) z z= 3 i α) Έστω z = x + yi με x,y. Τότε έχουμε: z i = i z x + yi i = i ( x yi) x + (y ) = y + xi x + (y ) = y (y ) = y y = y x = 0 x = 0 x = 0 Με y 0, y+ = y y= x = 0 x = 0. Άρα z= i. β) Έστω z = x + yi με x,y. Τότε έχουμε: z z= 3 i x + y x yi= 3 i + = + = + y = y = x y x 3 x x 3 ( ) με x + = x+ 3, x 3 x + = x + 6x + 9 y= y = 4 x = 3. Άρα y= 4 z= + i. 3

73 Άσκηση 7. Να λυθούν στο οι εξισώσεις : α) ( ) z+ i z+ z + 4= 0 β) z zi + zi + = 0 α) Έστω z = x + yi με x,y. Τότε έχουμε: ( ) ( ) z+ i z+ z + 4= 0 x + y+ 4x+ 4= 0 ( ) ( ) x + y+ = 0 x = και y=. Άρα z= i. β) Έστω z = x + yi με x,y. Τότε έχουμε: ( ) z zi+ zi+ = 0 z z z i+ = 0 ( ) x y yi 0 x y 0 x 0 και y Άρα z + + = + + = = =. = i.

74 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με z = και 4 3 z w = 6z 3 με 6z 3 0 z. Να βρείτε το + 3w. Έχουμε w ( 6z 3) = 3 z 6zw 3w = 3 z 6zw + z = 3+ 3w 3 + 3w 6w + z = 3 + 3w z =, w. 6w + 3 ( ) Άρα 3+ 3w 3+ 3w 3+ 3w 3w z = = = = 4 6w+ 4 3w+ 4 3w+ 4 ( ) ( ) = 3w + = 4. 3w + 4

75 Άσκηση. Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού z, αν ισχύει: z i = z + i. Επίσης αν z + i = z + + i να βρείτε το z+. Ισχύει z i z i ( z i ) ( z i) ( z i ) ( z i) = + + = + 4zz + zi zi + = z z zi + zi + 4 3zz = 3 z z = z = z =. Έστω w = z+ z= w έτσι z + i = z + + i ( w ) + i = w + + i w + i = w + i w i = w + i. Με βάση το προηγούμενο ερώτημα w = z + =.

76 Άσκηση 3. Αν για τους μιγαδικούς z,w ισχύει: z = 3w = z 3w. Να δείξετε ότι: 5 z + w = z. 3 Ισχύει: z = 3w = z 3w 4zz = 9ww = (z 3w)(z 3w) 4zz = 9ww = 4zz + 9ww 6wz 6wz 4 4zz = 4zz + 4zz 6(wz + zw) 6(wz + zw) = 4zz wz + zw = z () 6 Επίσης ισχύει: 4 4z = 9w w = z () 9 Άρα () () 4 z + w = (z + w)(z + w) = 4zz + ww + zw + zw = 4 z + z + (zw + zw) = z + z + z = 4 z + z + z = z Άρα 5 z + w = z. 3

77 Άσκηση 4. Αν για τους μιγαδικούς z,z ισχύει: z+ z = z z. 3 z + z = 3z z. Να δείξετε ότι: Έστω M και M οι εικόνες των μιγαδικών 3 z και z αντιστοίχως. Το δεδομένο γράφεται 3 z + z = 3 z z και σημαίνει ότι ( OM ) ( OM ) ( M M ) + =. Επομένως M ˆ OM = 90 και το OMM3M είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. M M = OM. Επομένως ( ) ( ) 3 Άρα 3 z+ z = z 3 z 3 z + z = z 3 z ( 3 z z )( 3 z z ) ( z 3 z )( z 3 z ) + + = 3zz + 6zz + 6zz + zz = zz 6zz 6zz 3zz + 6zz + 6zz = 0 zz + zz = 0 () Η ισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε γράφεται ισοδύναμα + = + = z z z z z z z z ( z z )( z z ) ( z z )( z z ) + + = zz + zz + zz + zz = zz zz zz + zz zz + zz = 0 zz + zz = 0 που ισχύει λόγω της ()

78 Άσκηση 5. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w με z για τους οποίους ισχύουν: z = και z w = z +. Να υπολογιστεί το w. z w = w z + = z z+ Είναι ( ) w+ wz z = w z =, w. w Όμως ισχύει w+ z = = w w = w = w w ( ) ( ) ( ) ( ) w = w w w = w w 4ww w w + = ww w w + 4 3ww = 3 w = w =.

79 Άσκηση 6. Αν για το μιγαδικό z ισχύει z + i = z + + i, να βρείτε το z+. Θέτω w = z+ z= w. Τότε έχουμε w i = w + + i w i = w+ i ( ) ( ) ( ) ( ) w i = w i w i w + i = w i w + i w w + wi wi + 4 = 4w w + wi wi + 3w w = 3 w = w =. Άρα z+ =.

80 Άσκηση 7. Αν για το μιγαδικό z ισχύει z i= z+ i, να βρείτε το 3z + 5i. Θέτω w 5i w = 3z + 5i z =. Τότε έχουμε 3 w 5i w 5i z i = z+ i i = + i w 8i = w i 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) w 8i = 4 w i w 8i w + 8i = 4 w i w + i w w + 8wi 8wi + 64 = 4w w + 8wi 8wi + 6 3w w = 48 w = 6 w = 4. Άρα 3z + 5i = 4.

81 Άσκηση Αν για τον z ισχύει ( i) z = ( z + ) α) 5z= z+ να δείξετε ότι: β) z = 5 α) ( i) z 7 ( z ) ( i) z 7 ( z ) 7 7 = + = ( ) ( ) i z = z + i z = z + i z = z+ 5 z = z+. β) Θέτω w+ w = z z =. Τότε από την ισότητα του α) ερωτήματος έχουμε w+ w+ 5z= z+ 5 = + ( ) ( ) ( ) ( ) 5 w+ = w+ 5 5 w+ w+ = w+ 5 w+ 5 5ww + 5w + 5w + 5 = ww + 5w + 5w + 5 4ww = 0 w = 5 w = 5. Άρα z = 5.

82 Άσκηση 9. Αν για τους μιγαδικούς z, z ισχύει z = z = 3, να δείξετε ότι : α) ο β) ο w = u = z z ( z z ) z + z ν ν ν ( z + z ) z με z με z, είναι φανταστικός. z, είναι πραγματικός. Επειδή 9 9 z = 3 z = 9 z z = 9 z =. Ομοίως προκύπτει z =. z z α) z z ( z 4 4 ) ( z) 9 z z z z ( z ) ( z z) z w = = = = z z 9 z z 4 4 z z z z = = = w ( z z ) ( z z ). Άρα ο w είναι φανταστικός. β) ν 9 9 z + z ν ν ν + ( z) + ( z) 9 ν ν z z z z ( z ) 9 9 ( z z) + z ν + u = = = = z ν ν ν ν + z ν 9 z z ν ν ν z + z = = u. Άρα ο u είναι πραγματικός. ν ν ν ( z + z )

83 Άσκηση 0. Δίνονται οι μιγαδικοί z,z,z3 με z = z = z3 = ότι z + z + z 3 = 0. και z z z 3. Να δείξετε 3 Re + + = z z 3 z Επειδή z = z = z z = z =. Ομοίως προκύπτει z = και z3 =. z z z 3 Οπότε έχουμε: ( ) ( ) z + z + z = z + z + z z + z + z = ( ) ( ) = z + z + z z + z + z = z z + z z + z z + z z + z z + z z + z z + z z + z z = = z + z + z + zz + zz + zz + zz + zz + zz = ( ) ( 3) ( 3 ) = 3+ Re z z + Re z z + Re z z = ( ) = 3+ Re zz + zz3+ z3z = 3+ Re z + z + z3 = z z3 z z z z 3 = 3+ Re + + = 3 3 = 0. z z3 z Επομένως z+ z + z3 = 0 z+ z + z3 = 0. Σημείωση: Απόδειξη της σχέσης Re(zz + zz3+ z3z ) = Re(zz ) + Re(zz 3) + Re(z3z ). Έστω z = x+ yi, z = x + yi και z3 = x3 + yi 3 με x,y,x,y,x 3,y3. Τότε z z = (x + y i)(x y i) = (x x + y y ) + (x y x y )i (). Ομοίως zz 3 = (xx 3+ yy) 3 + (xy 3 xy)i (), 3 zz 3 = (xx 3 + yy) 3 + (xy 3 xy)i (3). 3 Άρα z z + z z 3 + z 3 z = (x x + y y + x x 3 + y y 3 + x 3 x + y 3 y ) + (xy xy + xy 3 xy 3 + xy 3 xy)i 3. Οπότε (),(),(3) Re(zz + zz3+ z3z ) = xx + yy + x x3 + yy3+ x3x+ y3y = Re(zz ) + Re(zz 3) + Re(z3z ).

84 Άσκηση. Αν για τους μιγαδικούς z,z ισχύει z z = z = z, να δείξετε ότι z+ z = 9 z. Είναι z z = z = z z z = z ( ) ( ) z z z z = z z zz zz zz + zz = zz zz + zz = z () ( ) ( ) z + z = z + z z + z = zz+ zz + zz+ 4zz = ( ) () = z zz z z 4z z + z + 6 z = 9 z z + z = 9 z.

85 Άσκηση. 3 Αν για τους μιγαδικούς z,z,z 3 ισχύει z = z = z 3 = 3 και z+ z + z3 =, τότε να δείξετε ότι zz + zz 3+ zz 3= 3z+ z+ z3 3. Για το μιγαδικό 9 z = 3 z = 9 z z = 9 z = z. z ισχύει: ( ) ( ) 9 9 Ομοίως ισχύουν z = και z3 = z z. 3 Τότε έχουμε: 3z+ z + z3 3= 3z + z + z3 = ( z ) ( z3 ) + ( z ) ( z3 ) + ( z ) ( z ) ( ) ( ) ( ) = 7 = z z z z z z ( ) zz + zz 3 + zz 3 z+ z + z3 + 3 = 7 = z z z 3 = (zz + zz 3 + zz 3) z ( + z + z3) + 3= ( zz + zz 3+ zz 3) + 3 = = zz + zz 3+ zz 3= zz + zz 3+ zz 3.

86 Άσκηση 3. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύουν ταυτόχρονα : z+ 3 = z+ 3i και z+ i = z i. = +. Τότε x yi 3 x yi 3i ( x 3) y x ( y 3) Έστω z x yi ( x 3) y x ( y 3) + + = = = + + x + 6x y = x + y + 6y + 9 x = y () και ( ) ( ) ( ) x yi i x yi i x y x y + + = = + ( ) ( ) ( ) x y x y + + = + x + y + y+ = x x + + y 4y+ 4 x+ 6y= 4 x+ 3y= (). Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων () και () προκύπτει ότι x = y=. Άρα z= + i.

87 Άσκηση 4. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει: z = z i =. Είναι z = και z i =. Αν z = x + yi, τότε έχουμε : x + y = x + y = x + y = x + ( y ) = x + ( y ) = x + y y+ = 3 3 x + = x + y = x = ή x = 4. y = y = y = Άρα 3 3 z= + i ή z= + i.

88 Άσκηση 5. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει: z i + z i = z + 3i i +. z i + z i = z + 3i i + z i = ( ) και z = z + 3i (). Αντικαθιστώντας z = x + yi έχουμε: () (x ) + (y ) = x x + + y 4y + 4 = 8 x + y x 4y = 3 (3) () (x ) + y = (x + ) + (y 3) x 4x y = x + x + + y 6y + 9 y = x + (4) Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (3) και (4) προκύπτει (x = 3 και y = 4) ή ( x = και y = 0). Άρα z = 3 + 4i ή z =.

89 Άσκηση 6. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, w να δείξετε ότι z+ w 6z + 3w. Είναι z+ w 6z + 3w ( z+ w) ( z+ w) 6zz 3ww 0 zz + zw + wz + ww 6zz 3ww 0 4zz zw wz + ww 0 z( z w) w ( z w) 0 ( z w) ( z w) 0 ( ) ( ) z w z w 0 z w 0 που ισχύει.

90 Άσκηση 7. Αν για τους μιγαδικούς z, w ισχύει z και w, να δείξετε ότι z + w + zw. z+ w + zw z + w + zw ( z+ w) ( z+ w) ( + zw) ( + zw) 0 zz+ zw + wz + ww wz zw zw zw 0 + zwzw zz ww 0 zz ww( zz) 0 ( zz) ( ww) 0 ( ) ( ) z w 0 που ισχύει διότι z z z 0 και w w w 0.

91 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου] ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με z = 3 και w = 6 + 8i. Να δείξετε ότι: 7 z + w 3 Ισχύει z w z+ w z+ w. Όμως z = 3 και Άρα 3 0 z + w z + w 3 w = = 0.

92 Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με z = 4 και w = 3 4i. Να δείξετε ότι: z w 9 Ισχύει z w z+ w z + w (). Ακόμα w = = 5. Θέτουμε στην () όπου w το -w και έχουμε: z w z w z + w. Όμως w = w, έτσι: z w z w z + w δηλαδή 4 5 z w 4+ 5 z w 9

93 Άσκηση 3. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει z 3i = 3, να δείξετε ότι: z 4 8 Γράφουμε z 4 = ( z 3i) + ( 3i 4 ), οπότε z 3i 3i 4 ( z 3i) + ( 3i 4) z 3i + 3i 4 δηλαδή 3 5 z z 4 8

94 Άσκηση 4. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει z 6i 4 να δείξετε ότι: 6 z Είναι z + 8 = ( z 6i) + ( 6i + 8 ). Άρα z 6i 8 + 6i ( z 6i) + ( 6i + 8) z 6i i (). Όμως z 6i 4 z 6i 0 6 z 6i 8 + 6i 6 άρα 6 z 6i 8 + 6i () και z 6i 4 z 6i z 6i i 4 (3) Από τις (),(),(3) προκύπτει ότι 6 z 6i (z 6i) + (6i + 8) z 6i + 6i Δηλαδή 6 z Β τρόπος επίλυσης Ο σκιασμένος κυκλικός δίσκος με κέντρο Κ (0, 6) και ακτίνα 4, είναι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z 6i 4 Το σημείο Α αντιστοιχεί στον μιγαδικό 8+ 0i Τα Β και Γ είναι τα σημεία τομής του κύκλου με την ευθεία ΑΚ. Έχουμε ( ΑΚ ) = = 0, (ΑΒ) = 0-4 = 6 και (ΑΓ) = = 4

95 Όμως (ΑΒ) (ΑΜ) (ΑΓ) Άρα 6 z + 8 4

96 Άσκηση 5. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τον οποίο ισχύει: α) z 3 = z+ 4 β) z 3 z+ 4 γ) 3 4 +,z 0 z z δ) z 4i = z 0i και Re(z) 3 Έστω z= x+ yi,x,y R α) Έχουμε z 3 = z+ 4 z 3 = z+ 4 (z 3)(z 3) = (z+ 4)(z+ 4) zz 3z 3z + 9 = zz + 4z + 4z + 6 7(z + z) = 7 z + z = Re(z) = Re(z) = x =. Άρα οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία x =. β) Έχουμε z 3 z+ 4 ή z (3 + 0i) z ( 4 + 0i). Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι το ημιεπίπεδο που ορίζει η μεσοκάθετος του ΑΒ όταν Α(3,0) και Β(-4,0) δηλαδή η ευθεία x = όπως βρήκαμε και στο α) ερώτημα με το σημείο Α(3,0). γ) Είναι 3 4 z 3 z+ 4 + z 3 z+ 4,z 0. Δηλαδή έχουμε το β) ερώτημα. z z z z δ) Είναι z 4i = z 0i (z 4i)(z + 4i) = (z 0i)(z + 0i) zz + 4zi 4zi + 6 = zz 0zi + 0zi (z z)i = 84 6i Im(z) = 84 y = 84 y = 7. Άρα οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία y=7. Όμως Re(z) 3 για αυτό τελικά οι εικόνες κινούνται στην ημιευθεία y=7 με αρχή Α(3,7).

97 Άσκηση 6. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τον οποίο ισχύει: α) z = 3 β) z 4 = 3 γ) z 4i = 3 δ) z (4 + 4i) = 3 α) Έστω z= x+ yi,x,y R τοτε κύκλος κέντρου K (0,0) και ακτίνας ρ = 3. z = 3 x + y = 3. Έτσι ο γεωμετρικός τόπος είναι β) Είναι z (4 + 0i) = 3. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος κέντρου K (4,0) και ακτίνας ρ = 3 δηλαδή ο κύκλος με εξίσωση (x 4) + y = 9. γ) Είναι z (0 + 4i) = 3. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος κέντρου K 3(0, 4) και ακτίνας ρ 3 = 3 δηλαδή ο κύκλος με εξίσωση x + (y 4) = 9. δ) Είναι z (4 + 4i) = 3. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος κέντρου K 4(4, 4) και ακτίνας ρ 4 = 3 δηλαδή ο κύκλος με εξίσωση (x 4) + (y 4) = 9.

98 Άσκηση 7. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των Μ(x,y) για τα οποία ισχύουν: z= ( x ) + ( y+ i ) και z 4 + 3i = 6 Είναι z 4 + 3i = 6 ( x ) + ( y + ) i 4 + 3i = 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 5 + y+ 5 i = 6 x 5 + y+ 5 i = 6 x 5 + y+ 5 = 6. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος κέντρου Κ(5,-5) και ακτίνας 6.

99 Άσκηση 8. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει: α) z < 3 β) < z + 6i < 4 α) Είναι z < 3. Έστω z=x+yi x, y R τότε x + y < 9. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι όλα τα σημεία τα εσωτερικά του κύκλου κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας 3. β) Είναι < z + 6i < 4 < z + 3i < < z ( 3i) <. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι τα σημεία του κυκλικού δακτυλίου που δημιουργείται από δύο ομόκεντρους κύκλους κέντρου Κ(,-3) και ακτίνων ρ = και ρ =.

100 Άσκηση Αν για το μιγαδικό z ισχύει ( z ) ( z ) = + να αποδείξετε ότι η εικόνα του ανήκει σε κύκλο του οποίου να υπολογίσετε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ. Έστω z= x+ yi,x,y R Έχουμε ( z ) ( z ) = + τότε z = z + ( ) ( ) ( ) ( ) z = z + z = z + z z = z + z + ( ) 4 z z z+ = z + z+ z+ 3 z 3 z+ z = 0 3x + 3y 3 x = 0 x + y x = 0 (x ) + y = Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο Κ(,0) και ακτίνα ρ=

101 Άσκηση 0. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με z = 4 και w = 5 + i. Να αποδείξετε ότι 9 z + w 7. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z w z+ w z + w () Είναι z = 4 και w = ( 5) + = 69 = 3, οπότε από () έχουμε: 4 3 z + w z + w 7

102 Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με z = 8 + 6i και w = 3. Να αποδείξετε ότι 4 3z + w 36. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: 3z w 3z + w 3z + w 3z w 3z+ w 3z+ w () Είναι z = ( 8) + 6 = 00 = 0 και w = 3, οπότε από () έχουμε: z + w z + w 36

103 Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με z = και w = 3+ i. Να αποδείξετε ότι z w 3. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z w z+ w z + w () Αν στην () θέσουμε, όπου w το z w z + ( w) z + w w έχουμε: Είναι w = w, οπότε ισχύει: z w z w z + w () Είναι z = και ( ) w = 3 + = 4 =, οπότε από () έχουμε: z w + z w 3

104 Άσκηση 3. Αν z και z + 3i =, να αποδείξετε ότι 3 z 5 + 7i 7. Είναι z 5+ 7i = (z + 3i) + ( 3+ 4i) = z+ z, όπου z = z + 3i και z = 3 + 4i. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z z z+ z z + z () Είναι z = z + 3i = και 5 z+ z z 5 7i 7 z 3 4i ( 3) = + = + = =, οπότε από () έχουμε:

105 Άσκηση 4. Αν z και z+ i = 6, να αποδείξετε ότι 4 z + 9 4i 6. Έχουμε z + i = z + + i = z + + i = z + + i. Άρα z + + i = 6. Είναι z + 9 4i = (z+ + i) + (8 6i) = z+ z, όπου z = z+ + i και z = 8 6i. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z z z+ z z + z () Είναι z = z+ + i = 6 και z 8 6i 8 ( 6) 00 0 = = + = =, οπότε από () έχουμε: 6 0 z+ z z + 9 4i 6

106 Άσκηση 5. Αν z και z 4 i 3, να αποδείξετε ότι z + i 8. Είναι z+ i = (z 4 i) + (4 + 3i) = z+ z, όπου z = z 4 i και z = 4 + 3i. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z z z+ z z + z () Είναι z = z 4 i 3 z 5, άρα z 5 και οπότε από () έχουμε: z 4 3i = + = + = =, z 5 z+ z z z+ z 3+ 5 z+ i 8

107 Άσκηση 6. Αν z,w, z + i 3 και w 4 + 5i, να αποδείξετε ότι z w 9. Είναι z w = (z+ i) (w 4 + 5i) + ( 4 + 3i) = z z + z3, όπου z = z+ i, z = w 4 + 5i και z3 = 4+ 3i. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: ( ) z z + z = z z + z z z + z z + z + z, για κάθε z,z,z3 () Είναι z = z+ i 3, z = w 4 + 5i και z3 = 4 + 3i = ( 4) + 3 = 5 = 5, οπότε από () έχουμε: z z + z z w 9

108 Άσκηση 7. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. 3 z 8= 0 στο μιγαδικό επίπεδο είναι Είναι: ( )( ) ( )( ) z 8 0 z 0 z z z 0 z z z 4 0 = = + + = + + = ± i 3 z = 0 ή z + z+ 4= 0 z= ή z= z= ή z= ± i 3 Άρα η εξίσωση 3 z 8= 0 έχει ρίζες τους αριθμούς z =, z = + i 3 και z3 = i 3. Έστω Α, Β, Γ οι εικόνες των μιγαδικών z, z και z 3 αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο. Είναι: ( ) ( ) ( ΑΒ ) = z z = + i 3 = 3 i 3 = = = 3 () 3 ( ) ( ) ( ΒΓ ) = z z = + i 3 i 3 = 3i = 3 i = 3 () 3 ( ) ( ) ( ΓΑ ) = z z = i 3 = 3 i 3 = ( 3) + 3 = = 3 (3) Από (), () και (3) έχουμε ( ΑΒ ) = ( ΒΓ ) = ( ΓΑ ), οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.

109 Άσκηση 8. Έστω z μιγαδικός αριθμός τέτοιος ώστε z και έστω w z 4. α) Να δείξετε ότι οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε κύκλο του οποίου να βρεθεί η εξίσωση. β) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του μέτρου z w. w 4 α) Έχουμε w z 4 z. Επομένως w 4 z z w 4 w 4 w ( 4 0i). Άρα οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν στον κύκλο με κέντρο K( 4,0) και ακτίνα R. Ο κύκλος αυτός έχει εξίσωση x 4 y β) Επειδή ισχύει z, ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με κέντρο O(0,0) και ακτίνα. Επειδή z w z (z 4) z 4 z 4, η απόσταση των εικόνων των z και w είναι ίση με την απόσταση της εικόνας του z από το σημείο M(4,0). Άρα η ελάχιστη τιμή του μέτρου z w είναι ίση με 3 και η μέγιστη τιμή του z w είναι ίση με 5 (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα) Σχόλιο: Επειδή ο w εξαρτάται από τον z, δεν μπορούμε να πούμε ότι το ελάχιστο του z w είναι ίσο με το μήκος του τμήματος ΒΓ, δηλαδή ίσο με (όπως ίσως μπορεί λαθεμένα να συμπεράνει κάποιος βασιζόμενος μόνο στο σχήμα ), αφού, όταν ο z έχει την εικόνα του στο Β (δηλαδή είναι z ), τότε w ( ) 4 6, οπότε ο w έχει την εικόνα του στο σημείο Δ. Αντίστοιχες σκέψεις ισχύουν και για το μέγιστο του z w.

110 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Αν z,w, να αποδείξετε ότι: α) z z w + z+ w β) w z w + z+ w γ) z + w z w + z+ w α) Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z+ z z + z, για κάθε z,z C () Αν θέσουμε z = z wκαι z = z+ w, τότε από τη σχέση () έχουμε: (z w) + (z+ w) z w + z+ w z z w + z+ w z w + z+ w z z w+ z+ w z () β) Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z z z + z, για κάθε z,z C (3) Αν θέσουμε z = z w και z = z+ w, τότε από τη σχέση (3) έχουμε: (z w) (z+ w) z w + z+ w w z w + z+ w z w + z+ w w z w+ z+ w w (4) γ) Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις () και (4) έχουμε: z w + z+ w z + w z + w z w + z+ w

111 Άσκηση. Έστω Α, Β, Γ οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z,w,uαντίστοιχα στο επίπεδο. Αν 00w + u z = () και w u, να αποδείξετε ότι: 0 α) Τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. β) w z < w u γ) Το σημείο Α είναι εσωτερικό σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ. α) Αρκεί να δείξουμε ότι: Τα σημεία Α, Β, Γ είναι διαφορετικά μεταξύ τους ανά δύο. ( ΒΑ ) + ( ΑΓ ) = ( ΒΓ ) δηλαδή w z + z u = w u. Είναι: Από υπόθεση είναι w u, άρα Β Γ. Αν υποθέσουμε ότι z = w, τότε από τη σχέση () έχουμε 00w + u w = 0 0w = 00w + u w = u, άτοπο. Άρα z w, οπότε Α Β. Αν υποθέσουμε ότι z = u, τότε από τη σχέση () έχουμε 00w + u u = 0 00w + u = 0u 00w = 00u w = u, άτοπο. Άρα z w, οπότε Α Γ. Επομένως τα Α, Β, Γ είναι τρία σημεία διαφορετικά μεταξύ τους ανά δύο. 00w + u 00w + u ( ΒΑ ) + ( ΑΓ ) = w z + z u = w + u = 0 0 0w 00w u 00w + u 0u w u 00 w u = + = + = w u = = w u = ( ΒΓ ) 0

112 β) Τα σημεία Α, Β, Γ είναι διαφορετικά μεταξύ τους ανά δύο και ικανοποιούν τη σχέση ( ΒΑ ) + ( ΑΓ ) = ( ΒΓ ) (), άρα ( ΒΑ ) < ( ΒΓ ) (3), οπότε w z < w u. γ) Από τις σχέσεις () και (3) συμπεραίνουμε ότι το Α είναι εσωτερικό σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ.

113 Άσκηση 3. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z = +συν( π t) + ( 5 +ηµ ( πt) ) i, t [ 0, + ). α) Να αποδείξετε ότι z 5i =. β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z. γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει t [ 0, + ) τέτοιος, ώστε η εικόνα του z να βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση δ :y= x. δ) Έστω w τέτοιος, ώστε w = w i. Να αποδείξετε ότι 3 z w. α) Είναι z 5i = συν( π t) + i ηµ ( π t) = συν ( π t) + ηµ ( π t) =. β) Επειδή z ( + 5i) =, η εικόνα M(z) κινείται στον κύκλο C με κέντρο K (,5) και ακτίνα ρ=. Καθώς η εικόνα M(z) κινείται στον κύκλο C, διαπιστώνουμε ότι ισχύει : ( OM ) ( OM) ( OM ) ( OM ) z ( OM ), όπου M,M είναι τα σημεία τομής της ευθείας ΟΚ και του κύκλου C. Επομένως: Η ελάχιστη τιμή του z είναι: min z = ( OK) ρ= 9 Η μέγιστη τιμή του z είναι max z = ( OK) +ρ= 9 +

114 5 3 γ) Βρίσκουμε την απόσταση d(k, δ ) = = > =ρ, άρα ο κύκλος C και η ευθεία δ δεν έχουν κοινό σημείο, επομένως δεν υπάρχει εικόνα M(z) η οποία να ανήκει στην ευθεία δ. δ) Επειδή w = w i, η εικόνα N(w) κινείται στην ευθεία δ : y= x. Καθώς η εικόνα M(z) κινείται στον κύκλο C και η εικόνα N(w) κινείται στην ευθεία δ : y ότι η ελάχιστη τιμή του z w = ( MN) είναι 3 3 min z w = ( M0N0) = d ( K, δ ) ρ= =. = x διαπιστώνουμε Επομένως ισχύει: 3 z w.

115 ΘΕΜΑ Δ Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,z,z 3,διαφορετικοί ανά δύο, που ικανοποιούν τη σχέση z z 3 = i z z3. Αν ΑΒΓ,, οι εικόνες τους αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. Είναι: 3 z 3 z 3 = i = i = + z z z z z z3 z z3 z z3 z z z z 3 = z z = z z ( ΑΒ ) = ( ΒΓ) (). 3 Χρησιμοποιώντας τη γνωστή ιδιότητα των αναλογιών έχουμε: α γ α+β γ+δ = = β δ β δ, με βδ, 0, z z 3i z z + z z 3i+ z z 3i z z z z z z 3 3 = = = z z3 3 z z 3 z z = i = + = z z3 z z3 z z3 z z3 = z z 3 ( ΑΓ ) = ( ΒΓ ) (). Από () και () έχουμε ( ΑΒ ) = ( ΒΓ ) = ( ΑΓ ), οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.

116 Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση z i w =,z i. iz + α) Να αποδείξετε ότι (w + i)(z i) =. β) Αν η εικόνα του z κινείται στον κύκλο γραμμή πάνω στην οποία κινείται η εικόνα του w. γ) Να αποδείξετε ότι z w 5. δ) Να αποδείξετε ότι z+ w 3. C με κέντρο ( 0,) Κ και ακτίνα ρ =, να βρείτε τη α) Είναι: z i z i (z i) i w + i = + i = = = i(z i) i(z i) i(z i) z i Άρα (w + i)( z i) = (z i) =. z i β) Είναι: z (0 + i) = z i = και από το (α) ερώτημα έχουμε (w + i)(z i) = w + i z i = w + i =. Άρα η εικόνα του w κινείται στον κύκλο C με κέντρο ( 0, ) Λ και ακτίνα ρ =. γ) Ο αριθμός z w εκφράζει την απόσταση ενός σημείου του κύκλου C από ένα σημείο του κύκλου C. Είναι ( OB) z w ( AΓ) d ( ρ +ρ) z w d + ( ρ +ρ) z w 5 αφού d = ( ΚΛ ) = 3 και ρ +ρ = + =.

117 δ) Έχουμε z + w 3 z ( w) 3. Οι εικόνες των μιγαδικών w και w στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Ο ( 0,0), οπότε οι εικόνες των μιγαδικών w κινούνται σε κύκλο 3 C με κέντρο ( 0,) ίδια συμμετρία. Α και ακτίνα ρ= 3, που είναι ο συμμετρικός κύκλος του C στην Η μέγιστη απόσταση των κύκλων C, C 3 είναι η ( Ο ) = 3, οπότε z+ w 3.

118 Άσκηση 3. Έστω z,w C με zw 0 και z zw + w = 0 (). Να αποδείξετε ότι: α) z+ w 0 και 3 3 z + w = 0. β) Οι εικόνες Α, Β αντίστοιχα των μιγαδικών z,w και η αρχή των αξόνων O(0, 0) είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. γ) Οι εικόνες Α, Β, Γ αντίστοιχα των μιγαδικών z,w, w είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα την ΒΓ. δ) 0 0 z w + = w z α) Αν υποθέσουμε ότι z+ w = 0, τότε z= wκαι από τη σχέση () έχουμε: ( w) ( w) w + w = 0 3w = 0 w = 0, που είναι άτοπο. Άρα z+ w 0. Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της σχέσης () με z+ w 0έχουμε: 3 3 (z + w)(z zw + w ) = 0 (z + w) z + w = 0 () 3 3 β) Από τη σχέση () έχουμε z = w, οπότε z = w z = w z = w z = w (3). Αν αφαιρέσουμε και από τα δύο μέλη της () το zw έχουμε: z zw + w = zw (z w) = zw, οπότε (z w) zw z w zw = = (3) z w = z w z w = z = w z w = z = w (AB) = (OA) = (OB). Άρα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο.

119 γ) Αρκεί να δείξουμε ότι (AB) + (A Γ ) = ( ΒΓ ), όπου (AB) = z w, (A Γ ) = z+ w και ( ΒΓ ) = w. Είναι: (AB) (A ) z w z w + Γ = + + = = (z w)(z w) + (z+ w)(z+ w) = = (z w)(z w) + (z+ w)(z + w) = ( ) = zz zw zw+ ww+ zz+ zw+ zw+ ww= z + w = 4w = w = ( ΒΓ ) δ) Είναι z z z + w = 0 z = w = = = = ( ) = z z z z z w w w w w w w, ομοίως w z, οπότε 0 w =. z Άρα 0 0 () z w z w z + w zw + = + = = =. w z w z zw zw

120 Άσκηση 4. Έστω z,w με zw 0, 4z + w = και z = (). Να αποδείξετε ότι: w z α) z w =± i 3z. β) Οι εικόνες Α, Β αντίστοιχα των μιγαδικών z,w και αρχή των αξόνων O(0, 0) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. γ) δ) 3 3 z w = = w z 0 0 z w + = w z α) Είναι 4z w 4z w zw 3z z zw w 0 3z (z w) 0 w + = + = + + = + = z (z w) = 3z (z w) = (i 3z) z w =± i 3z (). β) Από τη σχέση () έχουμε: () z w= ± i 3z z w= 3 i z z w = 3 (AB) = 3 z± i 3z= w w = (± i 3)z (3), οπότε w = (± i 3)z w = ± i 3 z w = w = (OB) = Είναι (AB) + (OA) = z w + z = ( 3 ) + = 4 και (OB) = w = = 4, άρα (AB) + (OA) = (OB), οπότε το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο. γ) Από τη σχέση (3) έχουμε: w i 3 z = + ή w i 3 z =. Αν w i 3 z = +, τότε: w 3 = + i και z 3 3 w = + i = + i i = = z

121 z ( i 3) ( i 3) 3 = = = = i w + i 3 (+ i 3) ( i 3) 4, οπότε 3 3 z = i = i + i = = w Αν w i 3 z =, τότε ομοίως βρίσκουμε ότι 3 3 z w = =. w z δ) Είναι z w z z w w + = + = w z w w z z 670 z 670 w z w z w 4z w = ( ) + ( ) = + = + = + = = w z w z w z w z

122 Άσκηση 5. Έστω z μιγαδικός αριθμός. Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( z) = iz. =, να αποδείξετε ότι o z είναι πραγματικός. =, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z. γ) Aν z,z είναι δύο μιγαδικοί με f( z) = f( z) =, να αποδείξετε ότι z z. i δ) Θεωρούμε τον μιγαδικό w =. Nα βρείτε τους μιγαδικούς z που ικανοποιούν τις α) Aν ισχύει f( z) f( z) β) Αν f( z) σχέσεις f( z) = και z-w =. α) Από τη σχέση f( z) f( z) = έχουμε ( )( ) ( )( ) iz = iz iz = iz iz iz = iz iz z = x + yi iz iz = 0 i z z = 0 z = z x + yi = x yi yi = 0 y = 0, άρα z. ( ) β) f( z) = z = x + yi iz = i(z+ i) = i z+ i = z+ i = z ( i) = ( ) x + y+ = (), άρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z είναι κύκλος με κέντρο το 4 σημείο K( 0, ) και ακτίνας ρ=. γ) Οι μιγαδικοί z,z ανήκουν στον παραπάνω κύκλο, επομένως το z z εκφράζει το μήκος της χορδής με άκρα τις εικόνες των z,z, που είναι μικρότερο ή ίσο της διαμέτρου του παραπάνω κύκλου. Δηλαδή z z. i δ) H σχέση z w =, δηλαδή z = «δηλώνει» κύκλο κέντρου R =. Eπομένως αρκεί να βρούμε τα κοινά σημεία των κύκλων: Λ 0, και ακτίνας ( ) + + = και 4 C:x y C :x + y =

123 3 3 Κατ αρχάς παρατηρούμε ότι ( ΚΛ ) = (0 0) + + = και ρ+ R = + = δηλαδή ( ΚΛ ) = ρ + R, οπότε οι δύο κύκλοι εφάπτονται και μάλιστα εξωτερικά. Λύνουμε το σύστημα: ( ) x + y+ = 4 + = x y και βρίσκουμε ένα κοινό σημείο το Μ 0,, δηλαδή z= 0 i= i.

124 Άσκηση 6. Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z 4 3i =, τότε: α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z. β) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του z. γ) Ποιος μιγαδικός αριθμός z έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο μέτρο; δ) Αν z,z είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου, να αποδείξετε ότι z z 4. ε) Αν z,z είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου τέτοιοι, ώστε z z = 4, να αποδείξετε ότι z+ z = 0. α) Έστω z = x+ yi, x,y με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M(x, y). Είναι z 4 3i = z ( 4 + 3i ) = ( ΜΚ ) =, όπου Μ=Μ(z) η εικόνα του z και Κ (4,3). Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού z απέχει από το σταθερό σημείο Κ (4,3), σταθερή απόσταση. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (4,3) και ακτίνα ρ=, που έχει εξίσωση (x 4) + (y 3) = 4. β) Είναι ( ΟΚ ) = (4 0) + (3 0) = 5. Η ευθεία ΟΚ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α, Β, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Είναι γνωστό από τη Γεωμετρία ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ του κύκλου ισχύει ( ΟΑ) ( ΟΜ) ( ΟΒ ). Άρα ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο έχει εικόνα το σημείο Α και ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο έχει εικόνα το σημείο Β. Επομένως έχουμε: min z = ( ΟΑ ) = ( ΟΚ) ρ = 5 = 3 max z = ( Ο B) = ( ΟΚ ) + ρ = 5 + = 7

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1. .. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

2(z 2) οι εικόνες των z 1

2(z 2) οι εικόνες των z 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ 3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου Θεωρούμε το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ ο Ερωτήσεις του τύπου σωστό λάθος. Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς Σελίδα από 8 Θέματα από τους μιγαδικούς Θέμα ο Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης K, με, A γ) Αν, Aμε,να βρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ 4 α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στους ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ.Περιγράψτε το σύνολο των μιγαδικών αριθμών και δώστε τους ορισμούς της πρόσθεσης, του πολ/σμού και της ισότητας δύο μιγαδικών αριθμών.(σελ. 86-87, τα μπλε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Οι µιγαδικοί αριθµοί και w συνδέονται µε την σέση a β w =, όπου γ α,β,γ R Όταν =0 τότε w= και όταν =-i τότε w=- i Να βρείτε τις σταθερές α,β,γ α Αν το άθροισµα και το γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. Ε ι σ α γ ω γ ή Στο 3 ο θέμα των μαθηματικών θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης του 006, δίνονταν τρεις μιγαδικοί,, 3 με = = 3 = και + + 3 = 0 και, μεταξύ άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (1)

2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (1) 2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (1) 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Εισαγωγή Η δημιουργία των μιγαδικών αριθμών οφείλεται στην προσπάθεια επίλυσης των εξισώσεων 3ου βαθμού. Αν στην αx 3 +βx 2 +γx + δ = 0 θέσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς. χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς. χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Σελίδα από Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς Η ανισότητα α β α ± β α + β με α, β C χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. και η Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός, Ιούνιος 008 Α. Εισαγωγή Το κείμενο αυτό ξεκίνησε να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ MIΓΑ ΙΚΟΣ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ MIΓΑ ΙΚΟΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [] ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ MIΓΑ ΙΚΟΣ λέγεται κάθε αριθµός ο οποίος έχει ή µπορεί να πάρει τη µορφή α+βi όπου α, β είναι πραγµατικοί αριθµοί και i η φανταστική µονάδα για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Πράξεις διανυσμάτων. Πρόσθεση. Αφαίρεση. Συντεταγμένες στο επίπεδο. Συντεταγμένες διανύσματος και. Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμηματος

Πράξεις διανυσμάτων. Πρόσθεση. Αφαίρεση. Συντεταγμένες στο επίπεδο. Συντεταγμένες διανύσματος και. Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμηματος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ Πράξεις διανυσμάτων Πρόσθεση Αφαίρεση Συντεταγμένες στο επίπεδο Συντεταγμένες διανύσματος με (x 1, y1) (x, y ) (x x, y y ) 1 Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμηματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα