ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[ α, β ] με παράγουσα συνάρτηση F. Τι ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f από το α έως το β;

Transcript

1 Ανκτήθηκε πό την Εκπιδευτική Κλίμκ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[, ] με πράγουσ συνάρτηση F. Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ της συνάρτησης f πό το έως το ; ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ Μονάδες 6 Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς, δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή ή τη λέξη Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη. ) Εάν η τιμή του συντελεστή μετλητότητς είνι κάτω του 10%, ο πληθυσμός του δείγμτος θεωρείτι ομοιογενής. (Μον. ) ) Εάν οι συνρτήσεις f,g:a είνι πργωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους, με g(x) 0, τότε ισχύει: f ' f '(x) g(x) f(x)g '(x) (x) =. g g (x) (Μον. ) γ) Εάν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, τότε είνι πργωγίσιμη στο x 0. (Μον. )

2 Ανκτήθηκε πό την Εκπιδευτική Κλίμκ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ δ) Ισχύει ότι: ex dx e e = + 1 με 1 κι (Μον. ) ε) ίνοντι οι συνρτήσεις f,g συνεχείς στο [,]. Αν f(x) g(x) γι κάθε x [, ], τότε f(x) dx g(x) dx. (Μον. ) Μονάδες 10 Α3. Ν μετφέρετε στο τετράδιό σς τις πρκάτω ισότητες κι ν τις συμπληρώσετε: ) ημ xdx =... (Μον. 3) ) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο κι c μί στθερά, τότε: (c f) (x)=... γ) Αν * κι x > 0, τότε: (x ) =... (Μον. 3) (Μον. 3) ΘΕΜΑ B ίνετι η συνάρτηση f:(0, + ) με τύπο: Μονάδες 9 f(x) x+ lnx, ν 0< x 1κι = x x x+ 3, ν x > 1 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

3 Ανκτήθηκε πό την Εκπιδευτική Κλίμκ ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Β1. Ν ρείτε το lim f(x). x 1 - Β. Ν δείξετε ότι Μονάδες 7 lim x 1 + f(x)=4. Μονάδες 10 Β3. Ν ρείτε γι ποιες τιμές του η συνάρτηση f είνι συνεχής στο x 0 =1. ΘΕΜΑ Γ Μονάδες 8 Στον πρκάτω πίνκ προυσιάζοντι οι μισθοί των υπλλήλων μίς ετιρείς (σε εκτοντάδες ): Μισθός (εκτοντάδες ) x i Συχνότητ (ριθμός υπλλήλων) ν i Σχετική συχνότητ f i % Σύνολ ν= x i ν i Γ1. Ν μετφέρετε στο τετράδιό σς τον πρπάνω πίνκ κι ν τον συμπληρώσετε. Μονάδες 5 Γ. Ν υπολογίσετε τη μέση τιμή x των μισθών των υπλλήλων. Μονάδες 5 Γ3. Τι ποσοστό υπλλήλων έχουν μισθό το πολύ 1000 ; Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

4 Ανκτήθηκε πό την Εκπιδευτική Κλίμκ ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ4. Ν υπολογίσετε τη δικύμνση s των μισθών των υπλλήλων της ετιρείς. ΘΕΜΑ ίνετι η συνάρτηση f(x) = (x ) (x + ), x,. Μονάδες 8 1. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f είνι f(x) ' = (x )(3x+ ), x. Μονάδες 5. Ν ρείτε τον ριθμό, ν η συνάρτηση f προυσιάζει κρόττο στο x 0 =4. Μονάδες 5 3. Γι =-5, ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονί κι ν ρείτε το είδος κι τις τιμές των κροτάτων. Μονάδες 8 4. ίνοντι οι συνρτήσεις g(x)=3x -1x, x κι h(x)=6x-4, x. Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου Ω, που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων g(x) κι h(x). Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ Μονάδες 7 1. Στο τετράδιο ν γράψετε μόνον τ προκτρκτικά (ημερομηνί, εξετζόμενο μάθημ). Ν μην ντιγράψετε τ θέμτ στο τετράδιο.. Ν γράψετε το ονομτεπώνυμό σς στο πάνω μέρος των φωτοντιγράφων μέσως μόλις σς πρδοθούν. εν επιτρέπετι ν γράψετε κμιά άλλη σημείωση. Κτά την ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

5 Ανκτήθηκε πό την Εκπιδευτική Κλίμκ ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ποχώρησή σς ν πρδώσετε μζί με το τετράδιο κι τ φωτοντίγρφ. 3. Ν πντήσετε στο τετράδιό σς σε όλ τ θέμτ. 4. Ν γράψετε τις πντήσεις σς μόνον με μπλε ή μόνον με μύρο στυλό νεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε πάντηση τεκμηριωμένη επιστημονικά είνι ποδεκτή. 6. ιάρκει εξέτσης: τρεις (3) ώρες μετά τη δινομή των φωτοντιγράφων. 7. Χρόνος δυντής ποχώρησης: π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

6 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 013 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕΜΑ A A1. Θεωρί σχολικού ιλίου σελίδ 34 A.. Σωστό,. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Λάθος ν κι Σωστό ν =, ε. Σωστό. Α3... γ. ημx dx = c f (x) = c f (x) x = x - 1 -συνx = -συν + συν ΘΕΜΑ Β Β1. im f (x) = im x + nx = - - x1 x1 + x1 x - x Β. im f (x) = im = im x1 x1 x x1 x x = x (x - 1) im x(x - 1) x x im x - 1 x1 + = x x = 4. Β3. f (1) = 1 + n1 = - + x1 x1 = 4 Γι ν είνι η f συνεχής στο x = 1 πρέπει im f (x) = im f (x) = f (1) = 0

7 ΘΕΜΑ Γ Γ1. x i v i f i % x. i v i ΣΥΝΟΛΑ ν = Γ. x v + x v + x v + x v 450 v + v + v + v x = = = 9 εκτοντάδες ευρώ Γ = 10 εκτοντάδες f 1 % + f % = 50% + 34% = 84% άρ το 84% των υπλλήλων έχουν μισθό το πολύ Γ4. x i v i x. i v i x - x i ( x - x i ) ( x - x i ) v i ΣΥΝΟΛΑ ν = (x-x 1) v 1 + (x-x ) v + (x-x 3 ) v 3 + (x-x 4 ) v4 700 s = = = 14 v + v + v + v

8 ΘΕΜΑ Δ Δ1. f (x) = (x - ) (x + ) f (x) = (x - ) (x + ) = (x - ) (x + ) + (x - ) (x + ) = (x - ) (x - ) (x + ) + (x - ) 1 = (x - ) (x + ) + (x - ) = (x - ) (x + ) + (x - ) = (x - ) (x + + x - ) = (x - ) (3x + - ) Δ. Γι ν προυσιάζει η συνάρτηση κρόττο στο x 0 = 4, πρέπει f (4) = 0 (4 - )( ) = 0 ( + 10) = = 0 = -10 = -5 Δ3. f (x) = (x - ) (x - 5) f (x) = (x - ) (3x - 1) = 3x - 6x + 4 f (x) = 0 (x - ) (3x - 1) = 0 x = ή x = 4 x f (x) f (x) H f είνι γνησίως ύξουσ στ (-, ] κι [4, +) ενώ είνι γνησίως φθίνουσ στο [, 4]. Η f προυσιάζει τοπικό μέγιστο γι x = την τιμή f () = 0 Η f προυσιάζει τοπικό ελάχιστο γι x = 4 την τιμή f (4) = -4 Δ4. g (x) - h (x) = 3x - 1x - (6x - 4) = 3x - 6x + 4 = f (x) Είνι f (x) 0 στο [, 4] πό Δ3 ερώτημ 4 4 Ε = - f (x) dx = - f (x) = - f (4) - f () = f () - f (4) = 4 τ.μ.